Fiches VaR VBA

download Fiches VaR VBA

of 76

Transcript of Fiches VaR VBA

MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA) Universit dOrlans Site Value-at-Risk http://193.49.79.89/esa_prof/index.php Sous la Direction de Christophe Hurlin Anne Universitaire 2006-2007 Master Economtrie et Statistique Applique (ESA) Universit dOrlans Facult de Droit, dEconomie et de Gestion Bureau A 224 Rue de Blois BP 673945067 Orlans Cedex 2 www.univ-orleans.fr/deg/masters/ESA/ Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 1Master Economtrie et Statistique Applique Universit dOrlans Site Value-at-Risk http://193.49.79.89/esa_prof/index.php Fiche 1. Dfinition de la Value-at-Risk LanotiondeValue-at-Risk(VaR)estapparuepourlapremirefoisdanslesecteurde l'assurance. A la fin des annes 1980, la banque Bankers Trust fut lune des premires institutions utilisercettenotionsurlesmarchsfinanciersauxEtats-Unis,maiscestprincipalementla banqueJPMorganquidanslesannes90apopularisececonceptnotammentgrceson systme RiskMetrics (pour un historique complet de la notion de Value-at-Risk et de sa diffusion sereporteraulivredeDowd,2005).LaValue-at-Riskestensuitedevenue,enmoinsdune dizainedannes,unemesurederfrencedurisquesurlesmarchsfinanciers,consacre notamment par la rglementation prudentielle dfinie dans le cadre des accords de Ble II. Defaongnrale,laValue-at-Riskestdfiniecommelapertemaximalepotentiellequine devraittreatteintequ'avecuneprobabilitdonnesurunhorizontemporeldonn(Engleet Manganelli,2001).LaValueatRiskestdonclapireperteattenduesurunhorizondetemps donnpourunniveaudeconfiancedonn.Cettedfinitiontrssimpleconstituelundes principaux attraits de la Value-at-Risk : il est en effet trs facile de communiquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesure homogne et gnrale (quelque soit la nature de lactif, la composition du portefeuille etc.) de lexposition au risque. Ainsi,laValue-at-Risknestriendautrequunfractiledeladistributiondeperteetprofit associe la dtention dun actifou dun portefeuille dactifs sur une priode donne. La mesure deValue-at-Risknefaitquereflterlinformationcontenuedanslaqueuegauche(associeaux pertes)deladistributiondesrendementsdunactif.Silonconsidreuntauxdecouverturede %(oudefaonquivalenteunniveaudeconfiancede1- %)laValue-at-Riskcorrespond Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 2toutsimplementaufractiledeniveau %deladistributiondeperteetprofitvalablesurla priode de dtention de lactif : ( ) ( )1VaR F =o( ) . F dsignelafonctionderpartition associe ladistributiondeperteetprofit.Decette dfinition gnrale dcoulent plusieurs dfinitions techniques tout aussi simples. 1.DfinitionsAinsi,laValue-at-Riskdpenddetroislments :(i)ladistributiondespertesetprofitsdu portefeuillevalablepourlapriodededtention(ii)leniveaudeconfiance(oudefaon quivalenteletauxdecouverturegalunmoinsleniveaudeconfiance)et(iii)lapriodede dtention de lactif. 1.1. Taux de couverture et Niveau de ConfianceLe niveau de confiance choisi est un paramtre compris entre 0 et 1 (95% ou 99% en gnral) quipermetdecontrlerlaprobabilitquelonobtienneunrendementsuprieurougalela Value-at-Risk.Supposonsqueladistributiondespertesetprofitsassocieladtentiondun actifsurunepriodecorrespondeunedistributionnormalestandard.SurlaFigure1est reproduite cette distribution de perte et profit suppose normale : sur la partie gauche de laxe des abscisses figurent les rendements ngatifs (pertes) tandis qu droite figure les rendements positifs (profits). Dans ce cas, la Value-at-Risk dfinie pour un niveau de confiance de 95% ( 5% = ) est galetoutsimplement-1.645.Ditautrement,danscetexempleilya95%dechancesquele rendement de lactif, not r, soit au moins gal -1.645 sur la priode de dtention.( ) [ ]Pr 0.05 Pr 1.645 0.05 r VaR r < = < = De la mme faon, la Value-at-Risk dfinie pour un niveau de confiance de 99% ( 1% = ) est gale -2.326. Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 3 Ainsi,laValue-at-Riskcorrespondgnralementuneperte(valeurngative).Toutefois,on trouve souvent une Value-at-Risk dfinie non pas partir de la distribution de perte (-) et profit (+), mais partir au contraire dune distribution de profit(-) et perte(+). Dit autrement, une telle dfinitionrevientomettrelesignemoinsdevantlaperteetdoncafficheruneValue-at-Risk positive.Danscecas,ladfinitiondelaValue-at-Riskcorrespondlopposdufractiledela distribution de perte et profit : ( ) ( )1VaR F = Si lon reprend notre exemple de distribution normale, on affiche alors une Value-at-Risk pour unniveaudeconfiancede95%( 5% = )gale1.645.Celasignifiequilya95%dechances que la perte associe la dtention de lactif nexcde pas 1.645. 1.2. Horizon de dtentionLedeuximelmentfondamentaldanslecalculdelaValue-at-Riskestlapriodede dtention de lactif ou du portefeuille dactifs. La formule de calcul de la Value-at-Risk doit alors treajustedefaontenircomptedelacompositiondesrendements.Ilnexisteaucunergle quantauchoixdelapriodededtentiondanslecalculdelaValue-at-Riskpuisquecechoix dpendfondamentalementdelhorizondereportingoudinvestissementdesoprateurs. Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 4Toutefois,lesautoritsdergulationpeuventspcifierdeshorizonsdedtentionspcifiques notamment dans le cadre es procdures de validation de la Value-at-Risk. Danslecadredecesite,touslescalculspropossportentsuruneValue-at-Risk dfiniepartirdeladistributiondepertes(-)etprofits(+)(cequiimpliqueunevaleur ngative de la Value-at-Risk) et pour un horizon de dtention dune priode (une journe, un mois etc. suivant les donnes utilises pour les calculs). 2. Value-at-Risk conditionnelleIlestpossiblededistinguerdeuxtypesdedistributiondepertesetprofits :ladistribution conditionnelleetladistributionnonconditionnelle.Dslors,onpeutnaturellementdfinirune mesure de Value-at-Risk conditionnelle un ensemble dinformation. SoitRle rendement dun actif.Onsupposequelerendementestunevariablealatoirerellededensit(distributionde perte et profit) ( )Rf r r \ . Naturellement, pour cette variable alatoire il est possible de dfinir une densit conditionnelle un certain ensemble dinformation, not. Soit( )Rf r r \ la densit conditionnelle associe au rendement (densit conditionnelle de perte et profit).LaValue-at-Riskconditionnellelensembledinformation,associeuntauxde couverture de %, correspond au fractile dordre de la distribution conditionnelle de pertes et profits. 1( ) ( )RVAR F = Cettenotiondedistributionconditionnelleprendtoutesonimportancedansunedimension temporelle.Eneffet,jusquprsentnousavonsconsidrlesrendementsdunactifoudun portefeuillesansindicationdedate.Or,onpeutreprendreleraisonnementenintroduisantde faon explicite le temps dans la dtermination (et donc par consquent la prvision) de la Value-at-Risk. SoittRle rendement la date t et soit( )tRf r r \ la distribution des pertes et profits pour cette mme date.Cette densit peut tre diffrente dune date lautre, et sans l sans doute que rsideladifficultmajeuredelvaluationduneValue-at-Risknonconditionnelle.Delamme faon on peut dfinir une densit conditionnelle un ensemble dinformation disponible la date t,not t (distributionconditionnelledeperteetprofit).Cettedensitconditionnelle,note Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 5( )tR tf r r \ ,peutelleaussitrediffrentedunedatelautre,maisgnralementonse restreintdesdensitsconditionnellesinvariantesdansletemps,i.e.( )R tf r r \ .Cela revientsupposerqueconditionnellementunensembledinformation t (ou 1 t lorsque lonchercheprvoirlaValue-at-Risk),lesrendementssontidentiquementdistribus.Cest prcisment cette hypothse qui permet de raliser une prvision de Value-at-Risk dans le cas des modlesparamtriques(modlesGARCHparexemple).LaValue-at-Riskladatetobtenue conditionnellement lensemble dinformation tscrit sous la forme : 1( ) ( )tt R tVAR F = Pour une discussion sur les avantages et les limites de la Value-at-Risk, on renvoie louvrage deDowd(2005).RetenonssimplementquelaValue-at-Risknestpasunemesurederisque cohrenteausensdeArtzneretal.(1997),parcequenotammentlaValue-at-Risknestpasde faon gnrale subadditive. Une mesure de risque, note , est subadditive si et seulement pour deuxactifsAetBona( ) ( ) ( ) A B A B + + .Cestunproblmefondamentalcarcela impliquequelaValue-at-Risknepeutpastreconsidrecommeunemesure propre du risquerattacheunethorieetunensembledaxiomespermettantdedfinircequestune mesure du risque. La Value-at-Risk nest rien dautre quun fractile et doit tre considre en tant que telle. Rdacteurs : Chevreau Antoine, Godin Sylvain, Ivanof Mihaela et Patin AntoineCorrection : Hurlin Christophe Master ESA, Universit dOrlans : Novembre 2006 Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 1Master Economtrie et Statistique Applique Universit dOrlans Site Value-at-Risk http://193.49.79.89/esa_prof/index.php Fiche 2. Distribution de Pertes et Profits Mesures de Rendements LesdonnespartirdesquellesoncalculeuneValue-at-Riskpeuventprendrediffrentes formes(Dowd,2005).RappelonsquelaValue-at-Risksedfinitcommeunfractiledela distribution de pertes et profits associe la dtention dun actif ou dun portefeuille dactifs sur une priode donne. Ds lors, la forme la plus simple consiste prsenter les donnes en termes de profits et pertes. On note tPla valeur dun actif (ou dun portefeuille) la fin de la priode tet tD lensembledespaiementsintermdiairesobtenusentrelesdates1 t ett.Lesperteset profits associs la dtention de lactif (ou du portefeuille) sont alors dfinis par la diffrence : 1/t t tP L P D P= + Danscecas,unevaleurpositivecorrespondunprofitetunevaleurngativeuneperte. Gnralement,cespertesetprofitssontexprimssouslaformedunrendementgomtrique not tR: 1lnt tttP DRP += Lesbasesdexemplesfourniessurcesite(Nasdaq,SP500,Nikkei,CAC40)sont constitues de sries historiques de rendements gomtriques (pertes (-) et profits (+)). On suppose que le rendement la date t, i.e. tR , est une variable alatoire relle. On appelle fonctiondedistributiondepertesetprofits,lafonctiondedensitassociecettevariable alatoire relle, note : ( )tRf r r \ Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 2Cettedensitpeuttrediffrentedunedatelautre,etsanslsansdoutequersidela difficult majeure de lvaluation dune Value-at-Risk (non conditionnelle). Paralllement, on peut dfinir une distribution de pertes et profits conditionnelle, c'est--direunefonctiondedensitconditionnelleunensembledinformationdisponibleladatet, not t . Cette densit conditionnelle est note : ( )tR tf r r \ Cettedensitconditionnellepeutelleaussitrediffrentedunedatelautre,mais gnralementonserestreintdesdensitsconditionnellesinvariantesdansletemps,i.e.telles que : ( ) ( ) ,tR t R tf r f r r t \ = Celarevientsupposerqueconditionnellementunensembledinformation t (ou 1 t lorsquelonchercheprvoirlaValue-at-Risk),lesrendementssontidentiquementdistribus. Cestprcismentcettehypothsequipermetderaliserune prvisiondeValue-at-Riskdansle casdesmodlesparamtriques(modlesGARCHparexemple).LaValue-at-Riskladatet obtenue conditionnellement lensemble dinformation tscrit alors sous la forme : 1( ) ( )tt R tVAR F = Rdacteurs : Chevreau Antoine, Godin Sylvain, Ivanof Mihaela et Patin AntoineCorrection : Hurlin Christophe Master ESA, Universit dOrlans : Novembre 2006 Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 1Master Economtrie et Statistique Applique Universit dOrlans Site Value-at-Risk http://193.49.79.89/esa_prof/index.php Fiche 3. Prvisions de Value-at-Risk et Modle GARCH Surcesitepeuventtreexcutsenlignediffrentsprogrammespermettantderaliserdes prvisions out of sample de Value-at-Risk lhorizon dune priode. UneprvisiondeValue-at-Riskpourunniveaudeconfiancede1 % pourladate t+1 correspond simplement au fractile de niveau% de la distribution conditionnelle depertesetprofits (voirFicheDistributiondePertesetProfits).Formellementondfinitla prvision 1( )t tVAR + sous la forme suivante : 111( ) ( )tR t t tVAR F ++= o 1( )tR tF + dsignelafonctionderpartitionassocielafonctiondedistributiondes rendements la date t+1, nots 1 tR+, conditionnelle lensemble dinformation tdisponible la date t. Afin dillustrer cette dfinition, considrons le cas des prvisions de Value-at-Risk obtenues partir des modles paramtriques de type GARCH univaris. 1. Prvisionsde Value-at-Risk et Modles GARCH CommentobteniruneprvisiondeValue-at-RiskpartirdunmodleGARCH ?La dmarcheestindirecte :dansunpremiertemps,onfaitunehypothsesurladistribution conditionnelle des rendements de lactif, puis lon estime les paramtres du modle GARCHsur lesobservationsdelapriode1T,gnralementparuneprocduredetypemaximumde vraisemblance. Dans une seconde tape, on dduit du modle GARCH estim une prvision de varianceconditionnelle,quicouplelhypothseretenuesurladistributiondesrendements, Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 2permetdeconstruireuneprvisionsurlefractiledeladistributiondepertesetprofitsvalable pour T+1. Considronslexempledunmodle GARCH sous hypothse de distribution de Student.On suppose ainsi que les rendements dun actif, nots tr , satisfont le modle suivant : t tr c = +t t th z = 20 1 1 1 1 = + +t t th hzt i.i.d.( ) Student vo tz dsigne un bruit blanc faible homoscdastique et o les paramtres 0 1 1, , , , v c sont des relsvrifiantlescontraintessuivantes 00 > , 10 , 10et2 v > .Leterme 1 t t th E = dsigne(unfacteurconstantprs)lavarianceconditionnelledursidu t et doncdesrendements tr .Onsupposequelondisposedelasriehistoriquedesrendements { }1,..,Tr robservs entre les dates1 t =ett T = . Soient 0 1 1 , , , , v c desestimateursconvergents(dumaximumdevraisemblancepar exemple)desparamtres 0 1 1, , , , v c (voirficheModleGARCH).Soit 1h unecondition initialesurleprocessusdevarianceconditionnelle th (danslecadredenosprogrammescette conditioninitialeestfixedefaonarbitraireauniveaudelavariancenonconditionnelle).A partirdecesdiffrentslments,ilestpossibledeprvoirlavarianceconditionnelledesrendements pour la date1 T +de la faon suivante : 21 0 1 1 1 avec donnT T Th h h + = + +soit encore( )21 0 1 1 1 avec donnT T Th r c h h + = + + On note 1( )T TVAR + la prvision de la Value-at-Risk de niveau1 anticipe pour la date 1 T + conditionnellementlinformationdisponibleladateT .PardfinitiondelaValue-at-Risk (cf. Fiche Dfinition de la Value-at-Risk), on a : 1 1Pr ( )T T T Tr VAR + + < = Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 3On en dduit immdiatement que : 111( )PrT TT TTVAR czh+++ < = En remplaant le paramtrecpar sa valeur estime et la variance conditionnelle 1 Th + par sa valeur anticipe 1Th +, il vient :111 ( )PrT TT TTVAR czh+++ < = Sachantquelonsupposequeladistributionconditionnelledesrendementsestune distributiondeStudentv degrsdelibertsdevariancegale( ) / 2 v v v(cf.Fiche DistributionConditionnelle),onpeutendduireimmdiatementuneprvisiondufractiledela distribution conditionnelle valable pour la date1 T + , c'est--dire de la Value-at-Risk. Soit( ) ; G x vla fonction de rpartition de la loi de Student vdegrs de libert. La prvision de Value-at-Risk est finalement dfinie par la quantit suivante : ( )11 1 ( ) ;T T TVAR h G v c + += + o vdsigne la valeur estime du paramtrev . 2. Prvisions out of sample La squence dcrite dans la section prcdente permet dobtenir une prvision out of sample deValue-at-Risk,danslesensolaprvisionestralisepourunepriodequisesitue lextrieur de lchantillon utilis pour lestimation des paramtres du modle GARCH. En effet,comme lindique la Figure 1, les paramtres du modle sont estims partir des observations des rendements{ }1,..,Tr r , tandis que la prvision porte sur la Value-at-Risk de la priode1 T + . Figure 1. Prvision Out-of-Sample EstimationPrvision temps 1TT+1 Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 4Ainsi,lissuedelexcutiondenosprogrammes,pourchaquemodleGARCH,est reportelaprvisionoutofsampledelaValue-at-RiskpourladateT+1partirdes donnes historiques de rendements fournies par lutilisateur pour les date 1 T+1. Afindevaliderunmodledecalculet/oudeprvisiondeValue-at-Risk,ilestcourantde sparerlchantilloninitialendeuxsouschantillons :unchantillondestimationetun chantillon de prvision. Cela permet ainsi dobtenir une squence de prvisions de Value-at-Risk et de les comparer aux rendements historiques afin notamment de mettre en uvre des tests de validation (cf. Fiche Tests de Validation). SupposonsquelondisposeautotaldeTobservationsdesrendementsetquelonpartage lchantillonendeuxsouschantillons :lesecondchantillon,ditchantillondeprvision, comprenantNobservations.Dansnosprogrammes,lchantillondeprvisioncorrespond aux 25% des observations les plus rcentes : 4TN = N A partir desT N observations du premier chantillon (chantillon destimation), on estime le modleGARCHetlonconstruituneprvisionoutofsamplepourlapremireobservationde lchantillon de prvision. On obtient ainsi une prvision de la Value-at-Risk pour la date T-N+1, note 1( )T N T NVAR + .Onpeutalors reproduire cette procdureafindobtenirunesquence deNprvisions,notes { }11( )Tt Tt T NVAR +=.Pourceladiffrentesapprochespeuventtre utilises.Laplusvidenteconsister-estimerlemodlesdesdates2T-N+1inclus,puis raliser une prvision pour la date T-N+2 et ainsi de suite (rolling estimate ou estimation par fentre glissante) comme lindique la Figure 2. Figure 2.Prvisions Out-of-Sample et Estimation Glissante temps 1re Estimation GARCHPrvision 1T-N T-N+1 2me Estimation GARCH Prvision 1T-N+1T-N+22 Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 5LinconvnientdecettemthodeestquellencessitedestimersuccessivementNmodles GARCH, ce qui peut prendre beaucoup de temps pour des modles plus compliqus. Cest pourquoi, afin de limiter le temps de calcul sur nos serveurs, nos applications en lignepermettentdeconstruireunensembledeprvisionsoutofsamplesansr-estimer lesparamtresdesmodlesGARCH.Onestimeunefoispourtoutelesparamtressur lchantillondestimation(soietles75%dobservationsdesdates1T N )etlon construit ensuite la squence des variances conditionnelles sur lchantillon de prvision partir desquelles sont dduites les prvisions de Value-at-Risk. Formellement,danslecasdunmodleGARCHsousloideStudent,silonnote 0 1 1 , , , , v c lesestimateursdesparamtres 0 1 1, , , , v c obtenussurlchantillon destimation, on construit alors la squence des variances conditionnelles { }1t T NTth= +comme suit : ( )21 0 1 1 1,..,t t th r c h t T N T + = + + = +et lon en dduit les prvisions successives de Value-at-Risk : ( )11 1 ( ) ; 1,..,t t tVAR h G v c t T N T + += + = +o( ) ; G x vla fonction de rpartition de la loi de Student vdegrs de libert.Ainsi on obtient, sans r-estimation du modle GARCH, une squence de N prvisions de Value-at-Risk aux date 1,.., T N T +comme lindique la Figure 3. Figure 3.Squence de Prvisions Out-of-SampleEstimationPrvision temps 1T-N T-N+2 NaturellementunetelledmarchesupposequelemodleGARCHestimsurlapriode destimationsoitstablesurlapriodedeprvision.Maiscettehypothsedestabilitdumodle sur les 25%dernires observations est le prix payer pour acclrer le traitement informatique de nos applications. Rdacteurs : Chevreau Antoine, Godin Sylvain, Ivanof Mihaela et Patin AntoineCorrection : Hurlin Christophe Master ESA : Janvier 2007Site Value-at-Risk. Master Economtrie et Statistique Applique 1Master Economtrie et Statistique Applique Universit dOrlans Site Value-at-Risk http://193.49.79.89/esa_prof/index.php Fiche 4. Violations de la Value-at-Risk et Expected Shortfall A partir de la fin des annes 90, plusieurs tests ont t proposs afin dvaluer la validit des mesures et des prvisions de Value-at-Risk. La plupart de ces tests de validation sont fonds sur les occurrences de violations de la Value-at-Risk. 1.Violations de la VaR Soit( )1 t tVaR laValue-at-Riskpouruntauxdecouverturede% prvuepourladatet conditionnellementunensembledinformationdisponibleladate1 t ,not 1 t . Formellement, on note :( ) ( )11 1tR t t tVaR F = o ( )1tR tF u dsignelafonctionderpartitionassocieladistributionconditionnellede pertes et profits des rendements de lactif financier (ou portefeuille), nots tR . On dfinit la violation comme une situation dans laquelle on observe ex-post une perte plus importante en valeur absolue que la VaR prvue ex-ante. Formellement, il y a violation si et seulement si : ( )1 t t tR VaR