TSCPI 1 (2008--2009) Devoirs surveillés

8/8/2019 TSCPI 1 (2008--2009) Devoirs surveills

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Fascicule de devoirs

1re anne pour BTS

Conception de produits industrielsAnne 20082009


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tscpi1 Devoir n1

I. Soit (E) lquation diffrentielle xyy = 0 oy est une fonction numrique de la variable

rellex, dfinie et drivable sur ]0, +[.

1) Rsoudre sur ]0, +[ lquation diffrentielle (E).2) Trouver la solution particulirefde (E) telle que f(1) = 4.

II. Soit lquation diffrentielle (E) : xy+ (x3)y =0 oy est une fonction numrique de la

variable rellex, dfinie et drivable sur ]0, +[.

On se propose de trouver sur ]0, +[ la solutionfde lquation diffrentielle linaire

(E) telle quef(1) = 1 .

1) On crit pour 0


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tscpi1 Corrig du devoir n1

I 1) On crit pour 0


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Tscp 1 Devoir n2

Partie A

On considre lquation diffrentielle (E) :xy + y =x21

4

dans laquelley dsigne une fonction

inconnue de la variable rellex,ysa fonction drive etxappartient lintervalle ]0,+[.

1) Dterminer la solution gnrale de lquation diffrentielle (E0) :xy + y = 0.

Autrement dit kest la fonction numrique dfinie sur ]0,+[ par k(x)=y(x)x; kest en particulier

drivable sur ]0, +[.a) Calculer k(x) en fonction dey(x) ety(x) seulement.b) Calculer la fonction kpour quey soit solution de (E).

c) Dterminer la solution gnrale de (E) sur ]0, +[. 4) Parmi les solutions de (E), prciser la solutiony=f(x), vrifiantf(1)=0.

Partie B

Soit (E) lquation diffrentielley+4 y =5

1e4x oy est une fonction numrique de la variable relle

x, dfinie et drivable sur .

1) R d l i diff i ll (E ) 4 0


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Tscp1 Corrig du devoir n2

Partie A Pour 0


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5) Pourfsolution de (E), on critf(x)=5

x

e4x

+ Ce-4x

o Cest une constante relle.

f(0) = 0e0 + Ce0 = C1 = C;f(0) = 2 pour C= 2.

Finalementf(x)=5

xe4x

+ 2 e-4x

.


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Tscpi1 Devoir surveill n3

1re

partie (8 points)

On considre lquation diffrentielle (E) : +2x= 0,7+tox est une fonction numrique

de la variable relle t, dfinie et drivable sur [0, +[, est la fonction drive dex.

1) Rsoudre sur [0, +[ lquation diffrentielle (E0) :dt

dx+2x=0.

2) Soit a et b 2 rels constants et la fonction numrique dfinie sur [0, +[par lgalit :

(t)=at+b..

a) Calculer en fonction de a, b et t, (t)+2(t).b) Calculer a et b pour que soit une solution particulire de (E) sur [0, +[.

3) Rsoudre sur [0, +[, lquation diffrentielle (E).

4) Dterminer la solution particulirefde (E) telle que :f(0)= 1.

2me

partie (8 points)

On considre la fonction numriquefdfinie par :f(t)= 0,5t+0,1+ 0,9e-2t

pour 0t.

(C) est la reprsentation graphique defdans un repre orthonormR=(O, ) du plan o

lunit de longueur vaut 5 cm.

1) C l l l li it d f + C l l l f ti d i d f

dt

dx

dt

dx

ji

,


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Nom : Document-rponse rendre

tscp1

(C) est le trigonomtrique associ au repre = ( ) du plan, il est gradu de manire habituelle.

(D) est la droite dquationx=1 ; elle est gradue.

(D)

1

(C)


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Tscpi1 Corrig du devoir surveill n3

1re

partie

1) On crit pour 0t, r(t)=2 etR(t)=2t:R(t)=r(t). Ainsi sur [0, +[, les solutions de (E0)

sont toutes les fonctions tC.e-2t


2) a) Pour 0t, (t)=a et (t)+2 (t) = a+ 2(at+b)= a+2b+2at.

2) b) Les propositions () suivantes sont quivalentes : ( est solution de (E) sur [0, +[),

((t)+2(t)= 0,7+tpour 0t), (a+2b+2at= 0,7+ 1.tpour 0t).On est ramen la recherche de a et bvrifiant un des systmes dgalits quivalents

suivants : { 2a=1 et a+2b= 0,7}, {a=0,5 et 0,5+2b=0,7}, {a=0,5 et 2b= 0,2},

{a=0,5 et b= 0,1}.

Dsormais on crit pour 0t, (t)= 0,5t+0,1 : est une solution particulire de (E) sur

[0, +[.

3) A la solution particulire de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) pour avoir toutes

les solutions de (E) surI: Sur [0, +[, toutes les solutions de (E) sont toutes les fonctions

t 0,5t+0,1+Ce-2t


4)ftant une solution particulire de (E), on crit pour 0t,f(t)=0,5t+0,1+Ce-2t

avec C

constante relle ;f(0)= 0,50+0,1+Ce0= 0,1+Cetf(0)=1 pour C=10,1=0,9. Finalement :

f(t)=0,5t+0,1+0,9e-2t

pour 0 t.

2

me

ti


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5) Reprsentation graphique

(C)

f(t0)

(D)

(T)


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(D)

/2 1

(C)

(-0,8) 2


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Tscp1 Devoir surveill n31re

partie

On considre lquation diffrentielle (E) : dt

dx

+2x= 0,7+tox est une fonction numrique de

la variable relle t, dfinie et drivable sur [0, +[,dt

dxest la fonction drive dex.

1) Rsoudre sur [0, +[ lquation diffrentielle (E0) :dt

dx+2x=0.

2) Soit la fonction numrique dfinie sur [0, +[par lgalit : (t)= 0,5t+0,1. Vrifier si

est solution de lquation diffrentielle (E) sur [ 0, +

[.3) Rsoudre sur [0, +[, lquation diffrentielle (E).

4) a) Dterminer la solution particulirefde (E) telle que :f(0)= 1.

b) Calculer lintgraleI= 1

0)( dttf

2me

partie(S)

O i

| X

G

Un solide (S) se trouve au repos sur une surface horizontale jusqu linstant t=0. A partir de

linstant t=0, on le soumet une force horizontale constante et le solide (S) se dplace suivant

un mouvement rectiligne en tant soumis une force de frottement proportionnelle sa

vitesse. Le centre de gravit G de (S)se dplace sur laxe (O, )i

(voir le schma ci-dessus) et


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tscp1 Corrig du devoir surveill n3

1re

partie

1) On crit pour 0t, r(t)=2 etR(t)=2t:R(t)=r(t). Ainsi sur [0, +[, les solutions de (E0)sont toutes les fonctions tC.e-2to Cest une constante relle.

2) On a pour 0t, (t)= 0,5 et (t)+2t= 0,5 + 2(0,5t+0,1)=0,5+t+0,2. Do :(t)+2t=0,7+tpour 0t.On a prouv que est une solution particulire de (E) sur [0, +[.3) A la solution particulire de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) pour avoir toutes

les solutions de (E) surI: Sur [0, +

[, toutes les solutions de (E) sont toutes les fonctionst 0,5t+0,1+Ce-2to Cest une constante relle.

4) a)ftant une solution particulire de (E), on crit pour 0t,f(t)=0,5t+0,1+Ce-2tavec Cconstante relle ;f(0)= 0,50+0,1+Ce0= 0,1+Cetf(0)=1 pour C=10,1=0,9. Finalement :f(t)=0,5t+0,1+0,9e-2tpour 0 t.

b) On remarque quef(t) = 0,25 (2t) + 0,10,45 (-2e-2t) pour 0 t; par dfinition des

intgralesI= [0,25 t2 + 0,1t0,45 e-2t]10 soitI= 0,25 + 0,10,45 e-2( -0,45 e0) o e0 = 1.

Comme 0,45 +0,25 + 0,1 = 0,8 , il ne reste que :I = 0,80,45 e-2 .

2me

partie1) On crit pour 0t, r(t)=2/5=0,4 etR(t)=0,4.t:R(t)=r(t).

Les solutions sur [0, +[ de lquation diffrentielle (F) sont toutes les fonctions

tC.e-0,4.tavec Cconstante relle.


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tscp 1 Devoir surveill n5La qualit de la rdaction o on justifie clairement et prcisment les calculs intervient pour

une part importante dans lapprciation des copies.

Une machine compacter est constitue dun bloc dacier appel marteau ; ce marteau sedplace le long dune tige place verticalement. Ltude physique montre que la vitesse v (exprime en mtres par seconde) est une fonctiondu temps t(exprim en secondes), solution de lquation diffrentielle (E) :

dt

dy+3y = 9 +3 e-3t oy est une fonction de la variable relle tavec 0t.

On admet que v(0)= 0.Partie A

1) Rsoudre sur [0, +[, (E0) :dt

dy+3y = 0.

2) Avec a et b rels constants, on crit (t)= a +bt.e-3tpour 0t.a) Calculer (t) en fonction de a, b et t.b)

Calculer (t) + 3(t) en fonction de a, b et t.c) Calculer a et b pour que soit une solution particulire de (E).

3) Rsoudre (E).4) En dduirela fonction vdfinie dans lintroduction.

Partie BPour la suite on admet que la fonction v est dfinie par v(t)=3+3(t1).e-3t. On note Clareprsentation graphique de v dans le repre (O, ).

t t

ji

,


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tscp1 Corrig du devoir surveill n 5Partie A

1) On crit pour 0t, r(t)=3 etR(t)=3t:R(t)=3. Alors sur [0, +[, les solutions de (E) sont

toutes les fonctions tCe-3t

o Cest une constante relle.2) a) On tient compte que a et b sont des constantes et on drive le produit te

3t .

Pour 0t, (t)=0+b(1.e-3t

+t[-3e-3t

]) do : (t) = -3 bt.e-3t

+be-3t

b) On a aussi pour 0 t, 3(t)= 3 bt.e-3t

+ 3a

Par addition : (t)+3(t)= 3a+be-3t

pour 0t.

c) est une solution de (E) lorsque pour 0t, (t)+3(t)= 9+ 3e-3t. Cest--dire est

solution de (E) lorsque a et bvrifient les systmes dgalits quivalents suivants : {3a=9 etb=3},{a=3 et b=3}.

Pour la suite on crit pour 0 t, (t)=3+3te-3t

. est une solution particulire de (E) sur [0,

+[.

4) A la solution particulire de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) pour avoir toutes

les solutions de (E): Sur [0, +[, toutes les solutions de (E) sont toutes les fonctions

t3+3t.e-3t

+C.e-3t


5) v tant une solution de (E) sur [0,+[, on a : Pour 0t, v(t)= 3+3t.e-3t

+C.e-3t

o Cest uneconstante relle, v(0)=3+Ce

0= 3+Calors v(0)=0 pour C=-3. Finalement pour 0t,

v(t)=3+3t.e-3t3e

-3t= 3+3(t1).e

-3t.

Partie B

1) a) Pour 0 t, v(t) = 3+ 3t e-3t

3 e-3t

do v(t)= 3 3 (1/e3t

) + (3t/e3t

) .

La question est rsolue avec 3 et


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2) T

01dt=[t] T

0=T0=Tet par linarit du calcul des intgrales on obtient les galits

suivantes:

3T+I=3 T

0

1dt+ T

0

3 (1t)e-2t

dt= T

0

3 dt+ T

0

3 (1t)e-3t

dt = T

0

3( 3(1t)e-3t) dt=D, et

D=3T+IdonneD= 3TTe-2T+2e

-2T/32/3.


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tscpi 1 Devoir surveill n6La qualit de la rdaction o on justifie clairement et prcisment les calculs intervient pour une part

importante dans lapprciation des copies.

Partie AAu cours dune raction chimique, on assiste la production dun corps A.La vitesse v de production du corps A est une fonction du temps t(exprim en secondes), solution de

lquation diffrentielle (E) :

dt

dy+4y = 4 + e

-4t oy est une fonction de la variable relle tavec 0t,dt

dyest la fonction drive

dey.

On admet que v(0)= 0.

a) tude dune fonctionPour la suite on admet que la fonction v est dfinie par v(t)=1+(t1).e-

4t. On note Cla reprsentation

graphique de v dans le repre (O, ).

1) On a les deux limites de rfrence :x

lim (1/ex)=0=

xlim (x/e

x) . Comme

tlim 4t = +, en

faisantx=4t, on obtientt

lim [1/e4t]=0=

tlim [4t/e

4t] .

a)

Montrer que lon peut crire v(t)= 1 + (4t/e4t

) +( 1/e

4t

) o et sont deux relsconstants que lon calculera.b) Que donne

tlim v(t) ? Quen dduit-on pour le trac de C?

2) Vrifier, en prsentant les calculs, si v(t)= e-4t(54t).3) En dduire les variations de v. Pour quelle valeur tde t, la vitesse v est elle maximale ?

Quelle est la valeur maximale prise par v ?

b) Calcul dintgralesT l i if l l i d A d i

ji

,


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tscpi1 Corrig du devoir surveill n 6Partie A

1)a) e-4t

= 1/e4t

alors pour 0t, v(t)=1+ (t1)/e4t

=1+ t/e4t1/e

4t= 1+

4

1(4t/e

4t)(1/e

4t) .

Autrement dit =1/4 et

b)t

lim (1/e4t

)=0= (4t/e4t

) donne : v(t)= 1+4

100 soit v(t)=1 .

Cadmet une asymptote horizontale dquationy=1.

2) Pour 0t, v(t)= 0+1.e-4t+(t1)[-4e

-4t]= e

-4t[14(t1)] do v(t)=(14t+4)e

-4tsoit :

Pour 0 t, v(t)=e-4t

(54t) et v(0)= e05= 5.

3) Comme 0< e-4t

, v(t) est du signe de 54tet on a le tableau de variation suivant :

v(5/4)=1+(5/41).e-5

= 1+(1/4)e-5

=1+(1/4)e-5

.

Daprs ce tableau la vitesse v est maximale

pour t= 5/4 et la valeur maximale prise par v

est v(5/4)= 1+(1/4)e-5

.

b) Calcul dintgrales

1) On crit : o u et w sont drivables et continues

sur alors :

I=

Tt

et0

4)1(4 dt= [(1t).e

-4t]

TT

00

e-4t

dt=[(1t).e-4t

] T

T

00

4

14e

-4tdt do :

I=(1T).e-4T

1.e0[e

-4t] T0/4=e

-4TT.e-4Te

0( e

-4Te0)/4=-Te

-4T+(11/4)e

-4Te0(11/4) o e

0=1

et 11/4=3/4 alorsI=-Te-4T

+3e-4T/43/4.

T T

tlim

tlim

tlim

t 0 5/4 +

v(t) 5 + 0

v(t) 0 v(5/4) 1

u(t)=1t u(t)=-1w(t)=-4e-4t

w(t)=e-4t u(t)w(t)=-e-4t


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tscpi 1 Devoir surveill n7La qualit de la rdaction o on justifie clairement et prcisment les calculs intervient pour une part

importante dans lapprciation des copies.

Partie ALa vitesse vdun solide A est une fonction v du temps t(exprim en secondes) dfinie par

v(t)=2 +(3t2).e3t pour 0 t. On note Cla reprsentation graphique de v dans le repre (O, ).

1) On a les deux limites de rfrence :x

lim (1/ex)=0=x

lim (x/ex) . Commet

lim 3t = +, en

faisantx=3t, on obtientt

lim [1/e3t]=0=t

lim [3t/e3t] .

a) Montrer que lon peut crire v(t)= 2 + (3t/e3t) +( 1/e3t) o et sont deux relsconstants que lon calculera.

b) Que donnet

lim v(t) ? Quen dduit-on pour le trac de C?

2) Calculer en justifiant la fonction drive de v.3) tudier en fonction de tle signe de v(t).4) En dduire les variations de v. Pour quelle valeur tde t, la vitesse v est elle maximale ?

Quelle est la valeur maximale prise par v ?Partie BOn crit f(x) = sin (7x) . cos (3x)

Partie C

1. Rsoudre dans l'quation du second degr d'inconnue rsuivante :

(E) r2+3r+3=0

ji

,


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tscp1 Corrig du devoir n7

Partie A

La question est rsolue avec = 1 et =2.

Le tableau de signe de v(t) en fonction de test donn la question suivante en mme temps que lesvariations de v sur [0 ; +[.

4) v(1) = 2 + (32)e3

= 2+ e3

.

Comme e0

= 1, on obtient v(0) = 2 + (-2)1= 0 et v(0) = 911=9 ; en connaissant le signe de 1ten

fonction de t, on obtient le tableau de variation suivant :

A i dfi i [0 [ ! O i di l l b !


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Partie C

1.= 32413=912= -3 ;=

22

2)3(3 ii

. Les racines r1

et r2

sont donnes par :


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Les systmes dgalits suivant sont quivalents x(0)=2 et x(0)= -3 :

{=2 et -1,5+23 =-3}, {=2 et -1,52+

23 =-3}, {=2 et

23 =0}, {=2 et=0}.

Finalement on obtient avec=2 et=0 :

x0 (t) = 2e1,5tcos

t

2

3pour 0t .


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Nom : Prnom :

Annexe rendre avec la copie

z

(C)

t

ProblmeOn considre un systme mcanique form dun plateau soutenu par un amortisseur. Il estreprsent par le schma ci- contre de lannexe.

On notez la cote du centre de gravit du plateau. On suppose quez est une fonction de la

variable relle t, dfinie et deux fois drivable sur un intervalle de , o treprsente le

temps exprim en seconde.Ltude de ce systme mcanique permet de considrer que la fonctionz est solution de

lquation diffrentielle (E) : 10z+9z+ 2z=6.Partie A

1) Rsoudre sur lquation diffrentielle 10z+9z+ 2z =0 .

2) Chercher une solution particulire constantede lquation (E) et en dduire la

solution gnrale de (E).3) Donner la solution g de (E) qui vrifie les conditions g(0)= 6 etg(0)=1,4 .

Partie BOn suppose pour la suite du problme quez(t)=f(t), ofest la fonction dfinie sur

lintervalle [0 ; +[ parf(t)= 2e0,5t+ e

0,4t+3.

1) Etudier les variations def.

2) Dterminer la limite def(t) quand ttend vers +.3) Dduire des 2 questions prcdentes lvolution de la cote du point G en fonction d u

temps t.4) On note (C) la courbe reprsentative defdans un repre orthonormal ),,( jiO

du plan.

Justifier lexistence dune asymptote la courbe (C) quand ttend vers + ; en donner unequation. Tracer cette asymptote sur le graphique de lannexe.

Partie C

1) Dterminer une primitive de la fonction h, dfinie pour tout tde lintervalle [0, +[,

par h(t)= 2e0,5t

+ e0,4t

.

2) a) Calculer 6

0)3)(( dttf .

b) Interprter gomtriquement ce rsultat en utilisant le graphique de lannexe.

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Extrait de formulaire

Equations Solution sur un intervalle Iax+bx+cx=0

quationcaractristique :

ar2+br+c=0

de discriminant

Si 0,f(t)=tr

e 1 tre 2 ...o r1 et r2 sont les racines de

lquation caractristique.

Si =0,f(t)=(t+)ert...o rest la racine double de lquation

caractristique.

Si < 0,f(t)=[cos(t)+sin(t)]et...o r1=iet r2=i

sont les racines complexes conjugues de lquation

caractristique.

z G Plateau

Amortisseurs

1

0


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Corrig du problmePartie A1 On rsout dabord lquation caractristique dinconnue r, 10r2 + 9r+ 2 = 0.94102=1= 1. Les racines r1 et r2 sont donnes par

r1 = 4,010

4

102

8

102

19

et r2 = 5,0

2

1

102

10

102

19

. Ce sont 2 rels

distincts.

Surles solutions de lquation diffrentielle (E0) : 10z+ 9z+ 2z = 0 sont toutes les

fonctions t e -0,4t+ e-0,5to et sont 2 rels constants.(E0) est lquation diffrentielle linaire homogne associe (E).

2) Pour fonction constante sur , on crit, avec c rel constant : Pour tout rel t,(t)=c, '(t)= 0 et (t)=0 alors 10 (t)+ 9(t) +2 t)=2 c. nest solution de (E) que dans le cas o 2c =6 soit c=3 .Dsormais on crit pour tout rel t, (t)= 3 et est une solution particulire (E).

la solution particulire de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenirtoutes les solutions de (E) :

Il sagit de toutes les fonctions t 3 + e -0,4t+ e-0,5to et sont 2 rels constants.

3)g

tant une solution de (E) , on crit pour tout relt,g(t)= 3 + e -0,4t+ e-0,5t o et sont 2 rels constants, alors

g(t)= 00,4e -0,4t0,5e-0,5t

Comme e0=1, on obtient : g(0)=3+ etg(0)=0,40,5 et les systmes dgalitssuivants sont quivalents g(0)= 6 etg(0)= -1,4 :{ =3 et 0,40,5 = -1,4}, avec lopration sur les lignes L1 + 2L2 L2 :{ =3 et 0,2=0,2}, { =3 et =1}, {=1 et 1+=3}, {=1 et= 2}.Finalement la fonction g cherche est dfinie par : g(t)= 3 + e -0,4t+ 2 e-0,5t.

Partie B1) Pour 0t,f(t)= -0,4e-0,4t+2-0,5e-0,5t= -0,4e-0,4te-0,5t.On a pour 0t, 0

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