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Vecteurs Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme et égalités vectorielles Exercice 3 : coordonnées d’un vecteur par lecture graphique Exercice 4 : coordonnées de vecteurs par le calcul Exercice 5 : somme de vecteurs et calcul de coordonnées d’un vecteur Exercice 6 : relation de Chasles et vecteurs opposés Exercice 7 : multiplication d’un vecteur par un réel Exercice 8 : milieu de segment et écritures vectorielles Exercice 9 : vecteurs colinéaires / colinéarité Exercice 10 : vecteurs colinéaires et points alignés Exercice 11 : vecteurs colinéaires et droites parallèles Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

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Vecteurs – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux

Exercice 2 : parallélogramme et égalités vectorielles

Exercice 3 : coordonnées d’un vecteur par lecture graphique

Exercice 4 : coordonnées de vecteurs par le calcul

Exercice 5 : somme de vecteurs et calcul de coordonnées d’un vecteur

Exercice 6 : relation de Chasles et vecteurs opposés

Exercice 7 : multiplication d’un vecteur par un réel

Exercice 8 : milieu de segment et écritures vectorielles

Exercice 9 : vecteurs colinéaires / colinéarité

Exercice 10 : vecteurs colinéaires et points alignés

Exercice 11 : vecteurs colinéaires et droites parallèles

Vecteurs – Géométrie dans le plan

Exercices corrigés

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2

Soit un rectangle de centre .

1- Représenter les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .

2- Représenter les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .

3- Représenter les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .

Rappel : Translation de vecteur

Soient deux points et du plan. La translation qui transforme en associe à tout point du plan l’unique

point image du plan tel que les segments et ont le même milieu.

La transformation qui transforme en est appelée la translation de vecteur .

Un vecteur est caractérisé par :

sa direction : il s’agit de la droite

son sens : il s’agit de l’orientation de vers (matérialisée par la flèche orientée vers le point )

sa norme : il s’agit de la distance , c’est-à-dire de la longueur du segment

Remarque : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont même direction, même sens et même norme.

Soit un rectangle de centre .

1- Représentons les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .

La translation de vecteur transforme le point en . On dit que le point est l’image du point

par la translation de vecteur .

Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même

direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et

la translation de vecteur sont la même transformation.

Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

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3

Point méthode : Pour placer le point , image du point par la translation de vecteur , on construit

l’unique représentant du vecteur (même direction, même sens et même norme que le vecteur ) ayant

pour origine le point , de sorte que (c’est-à-dire de sorte que les vecteurs et soient égaux) .

Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même

direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et

la translation de vecteur sont la même transformation. On peut noter : .

2- Représentons les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .

La translation de vecteur transforme le point en .

Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même

direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et

la translation de vecteur sont la même transformation.

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Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même

direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et

la translation de vecteur sont la même transformation.

3- Représentons les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .

Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même

direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et

la translation de vecteur sont la même transformation.

Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même

direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et

la translation de vecteur sont la même transformation.

La translation de vecteur transforme le point en .

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Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse :

1- est un parallélogramme donc .

2- Une translation transforme en et en donc et ont même milieu.

3- et sont deux parallélogrammes donc est un parallélogramme.

4- est un parallélogramme donc est l’image de par la translation de vecteur .

1- Soit un parallélogramme. Il en résulte les égalités vectorielles suivantes :

L’affirmation proposée est donc fausse.

2- Une translation transforme en et en .

Par conséquent, le quadrilatère est un

parallélogramme.

Or, les diagonales d’un parallélogramme se coupent

en leur milieu donc et ont même milieu.

L’affirmation proposée est donc vraie.

3- et sont deux parallélogrammes.

Correction de l’exercice 2

Exercice 2 (4 questions) Niveau : moyen

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D’une part, est un parallélogramme donc

, , et .

D’autre part, est un parallélogramme donc

, , et .

Ainsi, et , c’est-à-dire .

Donc est un parallélogramme.

L’affirmation proposée est donc fausse.

4- Soit un parallélogramme.

Par conséquent, le point est l’image du point par

la translation de vecteur .

L’affirmation proposée est donc vraie.

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Dans le repère ci-contre, lire

les coordonnées des vecteurs suivants :

Rappel : Ecriture d’un vecteur dans un repère

Dans un repère , tout vecteur de coordonnées ( ) se décompose de façon unique sous la forme :

Remarque : Dans cet exercice, est un repère orthogonal mais pas orthonormal. En effet, les axes

et du repère sont orthogonaux, mais les unités d’axes ne sont pas égales puisque la norme du

vecteur est le double de celle de .

Dans le repère , on a :

d’où ( )

d’où ( )

d’où ( )

d’où ( )

d’où ( )

d’où ( )

d’où ( )

d’où (

)

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 3

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Remarque : Ci-dessous figure la représentation du vecteur , accompagnée d’une explication permettant de

mieux comprendre l’écriture vectorielle de dans le repère .

Pour « aller » de à , on effectue :

d’une part un déplacement

horizontal suivant un axe parallèle à

l’axe vert des abscisses

(direction), dans le sens du vecteur

, c’est-à-dire de la gauche vers la

droite (sens), en parcourant une

distance de 3 carreaux, c’est-à-dire

une distance de 3 fois la norme du

vecteur unitaire (norme) ;

d’autre part un déplacement vertical

suivant un axe parallèle à l’axe

rouge des ordonnées

(direction), dans le sens du vecteur

, c’est-à-dire du bas vers le haut

(sens), en parcourant une distance de

2 carreaux, c’est-à-dire une distance

d’1 fois la norme du vecteur unitaire

(norme).

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Dans un repère, on donne les points suivants :

Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :

Rappel : Coordonnées d’un vecteur dans un repère

Soient et deux points dans un repère. Les coordonnées du vecteur sont :

(

)

Dans un repère, on donne les points suivants :

Le vecteur a pour coordonnées :

(

) (

) (

)

Le vecteur a pour coordonnées :

(

) (

) (

) (

)

Le vecteur a pour coordonnées :

(

) (

) (

) (

)

Le vecteur a pour coordonnées :

(

) (

) (

)

Exercice 4 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 4

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Remarque : En considérant que les points , , et sont placés dans un repère :

(

)

(

)

(

)

(

)

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Dans un repère du plan, on donne les points :

Placer le point tel que et donner les coordonnées du vecteur .

Dans le repère orthonormé ci-contre, on a

commencé par placer les points suivants :

Plaçons désormais le point tel que .

1ère

étape :

On représente le vecteur d’origine le point . On

choisit le point comme origine puisqu’on cherche à

placer le point tel que , c’est-à-dire

à placer le point image de par la translation de

vecteur .

Exercice 5 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 5

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2ème

étape :

On construit le représentant du vecteur d’origine

le point .

3ème

étape :

On construit le représentant du vecteur d’origine

le point (point extrémité du vecteur ). Ce vecteur

a par conséquent même direction, même sens et même

norme que le vecteur et a pour origine .

On vient par conséquent de représenter finalement le

vecteur .

4ème

étape :

On représente désormais (en noir) le représentant du

vecteur d’origine . Le point extrémité est

le point puisque .

Déterminons dès lors les coordonnées du vecteur .

Comme , le vecteur a pour

coordonnées : ( )

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En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes :

Rappel : Relation de Chasles

Soient et deux points. Alors, quel que soit le point ,

Complétons les égalités proposées en faisant appel à la relation de Chasles.

Rappel : Vecteurs opposés

est le vecteur opposé au vecteur et on note .

Ainsi,

Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 6

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Soient et deux points distincts du plan. Placer les points , , et tels que :

Soient et deux points distincts. Représentons le vecteur .

L’égalité vectorielle indique que les vecteurs et ont même direction et même sens et

que la norme de est 4 fois plus grande que la norme de .

L’égalité vectorielle équivaut , c’est-à-dire à . Autrement dit, les

vecteurs et ont même direction mais sont de sens contraires et la norme de est 3 fois plus

grande que la norme de .

L’égalité vectorielle équivaut

, c’est-à-dire à . Autrement dit, les

vecteurs et ont même direction mais sont de sens contraires et la norme de est

fois plus

grande que la norme de .

( )⏟

Les vecteurs et ont même direction et même sens et la norme de est

fois plus grande que

celle de .

Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 7

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Soit le milieu du segment . Déterminer la valeur des réels , , et des écritures vectorielles

suivantes :

Soit le milieu du segment .

Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et même sens (de vers ). En outre,

comme est le milieu du segment , . Ainsi :

Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et même sens (de vers ). En outre, comme

est le milieu du segment , . Ainsi :

Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et sont de sens contraires. En outre, comme

est le milieu du segment , . Ainsi :

D’après ce qui précède, donc l’égalité vectorielle équivaut à ,

c’est-à-dire : . En factorisant dans le membre de gauche par le vecteur , on obtient :

. Autrement dit, comme , . D’où .

Exercice 8 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 8

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Dans chaque cas, justifier si les vecteurs et sont colinéaires.

1)

(

)

et (

)

2)

(

)

et (

)

3)

(

√ )

et (

√ )

Rappel : Vecteurs colinéaires

Définition : Dire que deux vecteurs et non nuls sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction.

Théorème : Deux vecteurs et non nuls sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel non

nul tel que .

Théorème : Deux vecteurs ( ) et (

) non nuls sont colinéaires si, et seulement si, .

L’expression est le déterminant des vecteurs et et on note |

| .

1)

1ère

méthode : calcul du déterminant

|

|

Le déterminant des vecteurs et est nul donc les vecteurs sont colinéaires.

Exercice 9 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 9

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2ème

méthode : recherche d’un réel non nul tel que .

Supposons ( ) et (

) dans un repère . Alors :

(

)

donc les vecteurs et sont colinéaires.

2)

|

|

Le déterminant des vecteurs et n’est pas nul donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

3)

| √

√ √ | √ √ ( √ ) √ √ √ ⏟

√ √

√ √

Le déterminant des vecteurs et est nul donc les vecteurs sont colinéaires.

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Soit un triangle et soient les points et définis respectivement par et .

1- Démontrer que les points , et sont alignés.

2- En déduire une construction du point .

Rappel : Alignement de points et colinéarité

Trois points , et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Remarque : On

peut aussi montrer que les vecteurs et sont colinéaires ou que les vecteurs et sont colinéaires.

1- Pour montrer que les points , et sont alignés, montrons que les vecteurs et sont

colinéaires.

D’après l’énoncé, .

Or, ⏟

( )⏟

( )

donc les vecteurs et sont colinéaires. Par conséquent, les points , et sont alignés.

2- De l’égalité vectorielle , on peut déduire que et que . Ainsi, pour tracer

le point , il suffit de tracer un arc de cercle de centre et de rayon sur la demi-droite . est

alors le point d’intersection de la demi-droite et de l’arc de cercle.

Exercice 10 (2 questions) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 10

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Soient les points , , et dans un repère . Les droites et

sont-elles parallèles ?

Rappel : Parallélisme de droites et colinéarité

Deux droites et sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.

Remarque : Les vecteurs et sont des vecteurs directeurs respectifs des droites et .

Soient les points , , et dans un repère . Les droites et

sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

Calculons dès lors les coordonnées des vecteurs et .

a pour coordonnées :

(

) (

) (

) (

)

a pour coordonnées :

(

) (

) (

)

Calculons désormais le déterminant des vecteurs et .

( ) |

|

( ) donc les vecteurs et sont colinéaires. Il en résulte que les droites et sont

parallèles.

Remarque : On pouvait également montrer la colinéarité en observant que .

En effet,

Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 11