DEVOIR SURVEILLE N̊ 2

Le 17/11/2010

MATHEMATIQUES

Série S

Enseignement obligatoire

Durée de l’épreuve : 3 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de

recherche, même incomplète ou non fructueuse qu’il aura développée. Il est

rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des

raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 (6 points)On considère la fonction f définie sur ]−∞ ; 6[ par

f(x) =9

6− x

On définit pour tout entier naturel n la suite (un) par{

u0 = −3un+1 = f (un)

1. La courbe représentative de la fonction f est donnée sur la feuille jointe accompagnée de celle de la droited’équation y = x.Construire, sur cette feuille annexe les points M0 (u0 ; 0) , M1 (u1 ; 0) , M2 (u2 ; 0) , M3 (u3 ; 0) et M4 (u4 ; 0).

Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de lasuite (un) ?

2. a. Etudier les variations de la fonction f sur ]−∞ ; 6[.

b. Démontrer que si x < 3 a alors9

6− x< 3.

c. En déduire que un < 3 pour tout entier naturel n. On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.

d. Étudier le sens de variation de la suite (un).

e. Que peut-on déduire des questions 2. c. et 2. d. ?

3. On considère la suite (vn) définie par vn =1

un − 3pour tout entier naturel n.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite arithmétique de raison −1

3.

b. Déterminer vn puis un en fonction de n.

c. Calculer la limite de la suite (un).

Exercice 2 (7 points)

On considère la suite de nombres réels (un) définie sur N par :

u0 = −1, u1 =1

2et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 −

1

4un.

1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n :

vn = un+1 −1

2un.

a. Calculer v0.

b. Montrer que vn+1 =1

2vn.

c. En déduire la nature de (vn).

d. Exprimer vn en fonction de n.

3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n :

wn =un

vn.

a. Calculer w0.

b. En utilisant l’égalité un+1 = vn +1

2un, montrer que wn+1 = wn + 2.

c. En déduire la nature de la suite (wn).

d. Exprimer wn en fonction de n.

4. Montrer que pour tout entier naturel n

un =2n− 1

2n.

5. Pour tout entier naturel n, on pose : Sn =

k=n∑

k=0

uk = u0 + u1 + · · ·+ un.

Démontrer par récurrence que pour tout n de N :

Sn = 2−2n+ 3

2n.

Exercice 3 (5 points)

On considère le polynôme P défini sur C par :

P (z) = z4 − 6z3 + 24z2 − 18z + 63

1. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout complexe z :

P (z) = (z2 + 3)(az2 + bz + c)

2. Résoudre dans C l’équation : P (z) = 0.

3. On considère dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O ; ~u , ~v ) les points A, B, C et D d’affixesrespectives :

zA = i√3 , zB = −i

√3 , zC = 3 + 2i

√3 , zD = zC

a. Montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle de centre I d’affixe 3. On précisera le rayonde ce cercle.

b. Placer (précisément) ces points dans le repère joint en annexe, le cercle étant déjà tracé.

4. On note E le symétrique de D par rapport à O.Déterminer la nature du triangle BEC.

Exercice 4 (2 points)Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Les deux questions sont indépendantes.

1. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; ~u , ~v ) .Déterminer et représenter l’ensemble des points M d’affixe z telle que z2 soit un imaginaire pur.

2. On considère la fonction f définie sur [0 ; 2] par :

f(x) = E(x) + [x− E(x)]2

où E(x) désigne la partie entière de x.Démontrer que f est continue sur [0 ; 2].

Rappel : Si n désigne un entier relatif, pour tout réel x de [n ; n+ 1[, E(x) = n.

NOM : Prénom : Classe :ANNEXE EXERCICE 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

O

ANNEXE EXERCICE 3

~u

~v

IO