Ts Devoir 20112012

TS sujets

Année 2011-2012

P FONTANIER

2 juillet 2012

Table des matières

1 Devoir n 1 Septembre 2011 2 heures 3

2 Corrigé Devoir n 1 5

3 Devoir n 2 Octobre 2011 2 heures 10

4 Corrigé Devoir n 2 12

5 Devoir n 3 Novembre 2011 1 heure 17

6 Devoir n 4 Novembre 2011 2 heures 18

7 Devoir n 5 Décembre 2011 4 heures 20

8 Devoir n 5 corrigé 26

9 Devoir n 6 Janvier 2012 2 heures 27


11 Devoir n 7 Février 2012 4 heures 32


13 Devoir n 8 Mars 2012 2 heures 37

14 Devoir n 9 Mai 2012 BAC BLANC n 1 : 4 heures 40

15 Devoir n 10 Mai 2012 BAC BLANC n 2 : 4 heures 44

16 Spécialité devoir n 1 Octobre 2011 : 1 heure 48

17 Spécialité corrigé devoir n 1 49

18 Spécialité devoir n 2 Novembre 2011 : 1 heure 51

19 Spécialité devoir n 3 Janvier 2012 : 1 heure 53

1

20 Spécialité corrigé devoir n 3 54

2

1 Devoir n 1 Septembre 2011 2 heures

EXERCICE 1 (4 points)Vrai ou Faux ? Justifier la réponse.Soit f une fonction strictement décroissante sur l’intervalle [0, 1] telle que f(0) = 2.

1. Si f est continue sur [0, 1], alors, pour tout réel k, l’équation f(x) = k admet une uniquesolution dans l’intervalle [0, 1].

2. Si f(1) < 0, alors l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0, 1].

3. Si f est continue sur [0, 1] et f(1) = 0, alors f est une bijection de l’intervalle [0, 1] surl’intervalle [0, 2].

4. Si f n’est pas continue sur [0, 1], alors l’équation f(x) = 0 peut avoir deux solutions dans[0, 1].

EXERCICE 2 (5 points)Les courbes représentatives demandées seront tracées sur le même graphique.

1. Tracer la courbe représentative Γ de la fonction g définie sur R par g(x) = x2 − x.

2. Soit P la fonction définie sur R par P (x) = 2x3 + 3x2 − 5. Montrer que P (x) ne s’annulequ’en 1, et en déduire le signe de P (x) suivant les valeurs de x.

3. Soit f la fonction définie sur R \ {−1} par f(x) =x3 − x+ 4

x+ 1, et soit C sa courbe.

(a) Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire uneasymptote à C .

(b) Déterminer les limites à l’infini de f(x)−g(x). Que peut-on en déduire pour les courbesΓ et C ?

(c) Étudier les positions de Γ et C.

(d) Déterminer les variations de f et construire le tableau de variations.

(e) Tracer C.

EXERCICE 3 (3 points)

Déterminer le nombre de solutions à l’équation x5 − 5x+ 1 = 0 et encadrer chaque solution pardeux entiers consécutifs.


Soit f la fonction définie sur R \ {−3} par f(x) =

√x2 + 6x+ 10

x+ 3.

3

1. Pourquoi f est-elle définie sur R \ {−3} ?

2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition, et en déduire lesasymptotes à sa courbe.

3. Sachant que f est strictement décroissante sur ] − ∞,−3[ et sur ] − 3,+∞[ , tracer sontableau de variations.

4. Quelles sont les valeurs de m pour lesquelles l’équation f(x) = m admet une uniquesolution ?


Soit f la fonction définie par f(x) = 1 +xE(x)

|x|+ 1, où E(x) est le plus grand des entiers inférieurs

ou égaux à x.

1. Où la fonction f est-elle définie ? Déterminer f(−1), f(−0, 5), f(0, 5) et f(1).

2. Exprimer f(x) sur les intervalles [−1, 0[, [0, 1[ et [1, 2[.

3. Étudier la continuité de f sur [−1, 2[.

4. Sur un schéma rapide donner l’allure de la représentation graphique de f sur [−1, 1].

4

2 Corrigé Devoir n 1

Septembre 2010 2 heures, sans calculatrice Terminales S.

Corrigé du devoir N°1

EXERCICE 1 Vrai ou Faux ?Soit f une fonction strictement décroissante sur l’intervalle [0, 1] telle que f(0) = 2.

1. Faux : il suffit de prendre k = 3, l’équation f(x) = 3 n’a pas de solution dans [0, 1].Rq : c’est seulement pour k ∈ [f(1), 2] que le th de la bijection peut s’appliquer et donnerune solution unique à l’équation f(x) = k.

2. Faux : il manque l’hypothèse de la continuité, il suffit donc de prendre une fonction noncontinue qui ne prend pas la valeur 0 :

0.5

1.0

1.5

2.0

−0.5

−1.0

0.5 1.0

3. Vrai c’est exactement le th de la bijection.

4. Faux f est strictement décroissante , elle ne peut donc pas prendre deux fois la mêmevaleur.

EXERCICE 2

1. g est dérivable sur R et g′(x) = 2x− 1, donc le tableau de variations de g est

x −∞1

2+∞

g(x)

+∞@@@R−

1

4

��

�

+∞

et Γ est une parabole de sommet

(

1

2,−

1

4

)

.

2. Deux manières de faire :

5

(a) P est dérivable sur R et P ′(x) = 6x2 + 6x = 6x(x+ 1).Donc le tableau de variations est

x −∞ −1 0 1 +∞P ′(x) + 0 − 0 + +

P (x)

−∞

��

�

−4

@@@R−5

�*��

0

�*��

+∞

P (x) − − − 0 +

limx→−∞

P (x) = limx→−∞

2x3 = −∞ et limx→+∞

P (x) = +∞ par somme.

Sur [−∞, 0], P (x) 6 −4, donc P (x) ne s’y annule pas.Sur [0,+∞[, P est continue et strictement croissante, donc c’est une bijection de[0,+∞[ sur [−5,+∞[.Or 0 ∈ [−5,+∞[, donc l’équation P (x) = 0 a une seule solution sur [0,+∞[.Or P (1) = 0, donc P (x) ne s’annule qu’en 1.Le tableau de variations de P nous donne le signe de P .

(b) OU BIENOn remarque que 1 est racine évidente de P (x), donc P (x) est factorisablepar (x− 1), donc il existe a, b et c tels que P (x) = (x− 1)(ax2 + bx+ c) pour tout x

réel.Et (x− 1)(ax2 + bx+ c) = 2x3 + 3x2 − 5 pour tout x

⇐⇒ a = 2, b− a = 3, c− b = 0 et −c = −5⇐⇒ a = 2, b = 5 et c = 5Donc P (x) = (x− 1)(2x2 + 5x+ 5) pour tout x réel.Or 2x2 + 5x + 5 a un discriminant négatif, donc 2x2 + 5x + 5 est strictement positifsur R , par conséquent P ne s’annule qu’en 1 et a le même signe que x− 1 :

x −∞ 1 +∞P (x) −0+

3. f(x) =x3 − x+ 4

x+ 1sur R \ {−1}

(a) limx→−∞

f(x) = limx→−∞

x3

x= lim

x→−∞

x2 = +∞ .

Et limx→+∞

f(x) = limx→+∞

x3

x= lim

x→+∞

x2 = +∞ .

limx→−1

x− 1 = 0 et limx→−1

x3−x+4 = 4, et grâce au signe de x− 1, limx→−1x>−1

f(x) = +∞ et

limx→−1x<−1

f(x) = −∞, donc la courbe C admet une asymptote verticale d’équation x = −1.

(b) f(x)− g(x) =x3 − x+ 4

x+ 1− (x2 − x) =

4

x+ 1et lim

x→+∞

4

x+ 1= 0 et lim

x→−∞

4

x+ 1= 0,

donc la courbe Γ est asymptote à C en +∞ et −∞.

(c) f(x)− g(x) =4

x+ 1dont le signe est celui de x+ 1

Donc sur ]−∞,−1[ C est en dessous de Γ.Sur ]− 1,+∞[ C est au-dessus de Γ.

6

(d) f est dérivable sur R\{−1} et f ′(x) =(3x2 − 1)(x+ 1)− (x3 − x+ 4)

(x+ 1)2=

(2x3 + 3x2 − 5)

(x+ 1)2=

P (x)

(x+ 1)2qui est du signe de P (x).

x −∞ −1 1 +∞f ′(x) − − 0 +

f(x)

+∞@@

@R−∞

+∞@@@R2

��

�

+∞

2

4

6

8

−2

−4

−6

2 4−2−4

C

Γ

EXERCICE 3Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x5 − 5x+ 1.f est dérivable sur R car c’est un polynôme, et f ′(x) = 5x4 − 5 = 5(x2 − 1)(x2 +1) qui s’annuleen 1 et -1 et est du signe de x2 − 1, donc :

x −∞ α −1 β 1 γ +∞f ′(x) + + 0 − − 0 + +

f(x)

−∞�*��

0

�*��

7 HHHj0HHHj−3

�*��

0

�*��

+∞

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

x5 = +∞, et de même limx→−∞

f(x) = −∞.

Sur ] −∞,−1], f est continue et strictement croissante, donc c’est une bijection de ] −∞,−1]sur ]−∞, 7], or 0 ∈]−∞, 7] donc l’équation f(x) = 0 a une unique solution α sur ]−∞,−1].Comme f(−1) = 7 et f(−2) = −21, −2 < α < −1.De la même manière, l’équation f(x) = 0 a une seule solution β sur [−1, 1] et une seule solutionγ sur [1,+∞[.Finalement l’équation x5 − 5x+ 1 = a exactement trois solutions α, β et γ sur R telles que :

7

−2 < α < −1, 0 < β < 1 et 1 < γ < 2.

EXERCICE 4

f(x) =

√x2 + 6x+ 10

x+ 3sur R \ {−3}.

1. x2+6x+10 a un discriminant strictement négatif, donc x2+6x+10 > 0 donc√x2 + 6x+ 10

est définie sur R , donc f est définie sur R \ {−3}.

2. Pour x > 0,

√x2 + 6x+ 10

x+ 3=

√

x2(1 +6

x+

10

x2)

x+ 3=

x

√

1 +6

x+

10

x2

x(1 +3

x)

=

√

1 +6

x+

10

x2

1 +3

x

.

Donc limx→+∞

f(x) = 1 et la droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe en +∞.

Pour x < 0,

√x2 + 6x+ 10

x+ 3=

√

x2(1 +6

x+

10

x2)

x+ 3=

− x

√

1 +6

x+

10

x2

x(1 +3

x)

=

−

√

1 +6

x+

10

x2

1 +3

x

.

Donc limx→−∞

f(x) = −1 et la droite d’équation y = −1 est asymptote à la courbe en −∞.

limx→−3

√

x2 + 6x+ 10 = 1 et limx→−3

x+3 = 0 et grâce au signe de x+3, limx→−3x>−3

f(x) = +∞ et

limx→−3x<−3

f(x) = −∞, donc la droite d’équation x = −3 est asymptote à la courbe.

On a trouvé trois asymptotes : les droites d’équation x = −3, y = 1, et y = −1..

3.

x −∞ −3 +∞

f(x)

−1

@@@R−∞

+∞@@@R

1

4. f étant strictement décroissante et continue sur ]−∞,−3[, c’est une bijection de ]−∞,−3[sur ]−∞,−1[, donc tout m ∈]−∞,−1[ a un antécédent unique dans ]−∞,−3[.De même tout m ∈]1,+∞[ a un antécédent unique dans ]− 3,+∞[.Donc l’équation f(x) = m a une solution unique pour tout m ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[.

EXERCICE 5

f(x) = 1 +xE(x)

|x|+ 1

1. |x|+ 1 > 0 donc f est définie sur R .

f(−1) = 1 +− E(−1)

| − 1|+ 1= 1 +

1

2=

3

2, car E(−1) = −1.

f(−0, 5) = 1 +− 0, 5E(−0, 5)

| − 0, 5| + 1= 1 +

0, 5

0, 5 + 1= 1 +

1

3=

4

3, car E(−0, 5) = −1.

f(0, 5) = 1 +0, 5E(0, 5)

|0, 5| + 1= 1 car E(0, 5) = 0.

8

f(1) = 1 +1

2=

3

2, car E(1) = 1.

2. Pour x ∈ [−1, 0[ , E(x) = −1 et |x| = −x, donc f(x) = 1 +− x

−x+ 1= 1 +

x

x− 1.

Pour x ∈ [0, 1[, E(x) = 0, donc f(x) = 1.

Pour x ∈ [1, 2[, E(x) = 1 et |x| = x, donc f(x) = 1 +x

x+ 1.

3. D’abord f est continue à l’intérieur de chaque intervalle formé par deux entiers consécutifs,car la partie entière l’est et la valeur absolue aussi,donc f est continue sur ]− 1, 0[∪]0, 1[∪]1, 2[.Étudions la continuité en -1, 0 et 1.en 1 : Prenons les expressions de f sur [0, 1[ et sur [1, 2[ et faisons les limites de chaquecôté de 1 :

limx→1x>1

f(x) = limx→1x>1

1 +x

x+ 1=

3

2et lim

x→1x<1

f(x) = limx→1x<1

1 = 1, donc f n’est pas continue en 1.

en 0 : limx→0x>0

f(x) = limx→0x>0

1 = 1 et limx→0x<0

f(x) = limx→0x<0

1 +x

x− 1= 1.Donc f est continue en 0.

en -1 :On a besoin de l’expression de f sur [−2,−1[ où E(x) = −2 et |x| = −x, donc

f(x) = 1 +− 2

−x+ 1sur [−2,−1[

limx→−1x>−1

f(x) = limx→−1x>−1

1 +x

x− 1=

3

2et lim

x→−1x<−1

f(x) = limx→−1x<−1

1 +− 2

−x+ 1= 2, donc f n’est pas

continue en -1.Finalement f est continue sur ]− 1, 1[∪]1, 2[.

1

2

1 2 3−1−2

9

3 Devoir n 2 Octobre 2011 2 heures

EXERCICE 1 (7 points)Les trois parties sont indépendantes.Partie A

2

4

−2

2−2−4−6

B

A

C

Parmi ces trois courbes A, B et C ,l’une représente la fonction f , une autre sa dérivée f ′ et la

troisième sa dérivée seconde f ′′. Retrouver quelle courbe représente f , f ′ et f ′′, et justifier votrechoix.

Partie B : Vrai ou faux ? justifierSoit f une fonction dérivable sur R , f ′ sa dérivée et h la fonction définie sur R par h(x) =f(x+ 1)− f(x).

1. Si on sait que f ′ est croissante sur R , peut-on conclure que f est croissante sur R ?

2. Si on sait que f ′ est croissante sur R , peut-on conclure que h est croissante sur R ?

3. Si on sait que f ′ est positive sur R , peut-on conclure que f est positive sur R ?

4. Si on sait que f ′ est positive sur R , peut-on conclure que h est positive sur R ?

Partie C : Question de cours

Soit f et g deux fonctions définies sur R telles que , pour tout h réel on a f(2+h) = −5−h

2+hg(h)

avec limh→0

g(h) = 0.

Montrer que f est dérivable en 2 , déterminer f ′(2) et une équation de la tangente au pointd’abscisse 2 à la courbe de f dans un repère.


10

1. On désigne par g la fonction définie sur [0, π] par g(x) = x cos x− sinx.Étudier g et dresser son tableau de variation.En déduire le signe de g(x) sur [0, π].

2. Soit f la fonction définie sur [0, π] par f(x) =sinx

xsi x ∈]0, π] et f(0) = 1.

Etudier les variations de f sur ]0, π].

3. Etude de f en 0

(a) Justifier limx→0

sinx

x= 1 et en déduire que f est continue sur [0, π].

(b) Prouver que pour tout réel x positif ou nul, −x3

66 sinx− x 6 0.

(pour cela on introduira la fonction ϕ définie sur [0,+∞[ par ϕ(x) = sinx− x+x3

6.

On calculera les dérivées ϕ′, ϕ′′ et ϕ′′′ et on en déduira le signe de ϕ).

(c) Calculerf(x)− 1

xet montrer que f est dérivable en 0. Déterminer f ′(0).

4. Etude de f enπ

2

Montrer qu’au point d’abscisseπ

2, la courbe de f coupe l’hyperbole d’équation y =

1

xet

que la tangente en ce point est commune aux deux courbes.

5. Construire la courbe de f dans un repère orthonormé d’unité 3 cm. Faire intervenir tousles résultats précédents.

EXERCICE 3 (6 points)Soit f la fonction définie sur R par f(x) = −x+

√x2 + 4.

1. Montrer que f est décroissante sur R .

2. Montrer que l’axe des abscisses et la droite d’équation y = −2x sont asymptotes à la courbeCf de f .Étudier les positions relatives de la courbe et de ses asymptotes.

3. Pour tout réel x non nul, on désigne par M et M ′ les points de Cf d’abscisses respectivesx et −x.

(a) Montrer que f(x)− f(−x) = −2x et f ′(x) + f ′(−x) = −2.

(b) En déduire que• La droite (MM ′) a une direction fixe.• Les tangentes à Cf en M et M ′ se coupent sur l’axe des ordonnées.

(c) tracer Cf et illustrer les propriétés de la question précédente lorsque x = 1.

EXERCICE 4 (Bonus : 2 points)Simplifier les expressions suivantes :

a =ex − 1

ex + 1+

e−x − 1

e−x + 1b =

√

2e3x+1

e2x−1c =

ex2−4

ex−2d =

(

ex + e−x

2

)2

−(

ex − e−x

2

)2

.

11

4 Corrigé Devoir n 2

Octobre 2011 2 heures, sans calculatrice Terminales S.


EXERCICE 1Partie A

C représente f , A représente f ′ et B représente f ′′, car C présente un maximum en x = −4, oùA coupe l’axe des abscisses,et on a bien f croissante là où f ′ est positive et de même pour B etA.Partie B : Vrai ou faux ? justifier

1. Faux : ex : x 7→ 4x3 ,croissante sur R , est la dérivée de x 7→ x4 ,décroissante sur ]−∞, 0[.

2. Vrai car, puisque f est dérivable sur R , h l’est aussi et h′(x) = f ′(x+ 1)− f ′(x) > 0 carf ′ est croissante et x+ 1 > x. Donc h est croissante sur R .

3. Faux : ex : x 7→ 3x2 est positive sur R et est la dérivée de x 7→ x3 qui n’est pas positivesur R .

4. Vrai : f ′ est positive donc f est croissante sur R , donc h(x) = f(x + 1) − f(x) > 0, carx+ 1 > x.

Partie C : Question de cours

f(2 + h) = −5 −h

2+ hg(h), donc f(2) = −5 et

f(2 + h)− f(2)

h= −

1

2+ g(h) et puisque

limh→0

g(h) = 0, limh→0

f(2 + h)− f(2)

h= −

1

2

La fonction f est dérivable en 2 et f ′(2) = −1

2.

Une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2 est alors : y+5 = −1

2(x− 2),

soit y = −1

2x− 4.

EXERCICE 2

1. g(x) = x cos x− sinx sur [0, π].g est dérivable sur [0, π] et g′(x) = cos x− x sinx− cos x = −x sinx 6 0 sur [0, π].

x 0 π

g′(x) −

g(x)

0

@@@R−π

g(x) 0 −

g étant décroissante sur [0, π] et g(0) = 0 ,g est donc négative sur [0, π]

12

2. f(x) =sinx

xsi x ∈]0, π] et f(0) = 1.

f est dérivable sur ]0, π] et f ′(x) =x cos x− sinx

x2=

g(x)

x2du signe de g(x).

Or d’après la question précédente g est négative sur ]0, π] donc f est décroissante sur ]0, π].

3. Etude de f en 0

(a) limx→0

sinx

x= lim

x→0

sinx− sin 0

x− 0.

Or la fonction sin est dérivable en 0 donc limx→0

sinx

x= sin′ 0 = cos 0 = 1.

limx→0

f(x) = 1 et f(0) = 1, donc la fonction f est continue en 0,

et comme f est continue sur ]0, π] ( car f y est dérivable), f est continue sur [0, π].

(b) ϕ(x) = sinx− x+x3

6sur [0,+∞[.

ϕ est dérivable sur [0,+∞[ et ϕ′(x) = cos x− 1 +x2

2,

ϕ′ est dérivable sur [0,+∞[ et ϕ′′(x) = − sinx+ x,ϕ′′ est dérivable sur [0,+∞[ et ϕ′′′(x) = − cos x+ 1 > 0 sur [0,+∞[.

x 0 π

ϕ′′′(x) +

ϕ′′(x)

0

��

�

ϕ′′(x) 0 +

ϕ′(x)

0

��

�

ϕ′(x) 0 +

ϕ(x)

0

��

�

ϕ(x) 0 +

ϕ′′ étant croissante sur [0,+∞[ et ϕ′′(0) = 0 ,ϕ′′ est donc positive sur [0,+∞[.Donc ϕ′ est croissante sur [0,+∞[ or ϕ′(0) = 0 ,ϕ′ est donc positive sur [0,+∞[.donc ϕ est croissante sur [0,+∞[ et ϕ(0) = 0 ,ϕ est donc positive sur [0,+∞[.

Donc sinx− x+x3

6> 0 sur [0,+∞[, donc −

x3

66 sinx− x sur

[0,+∞[, et comme ϕ′′ est positive sur [0,+∞[, sinx− x > 0.

Donc −x3

66 sinx− x 6 0 sur [0,+∞[.

(c)f(x)− 1

x=

sinx

x− 1

x=

sinx− x

x2.

Or d’après la question précédente −x3

66 sinx− x 6 0 sur [0,+∞[,

donc −x

66

sinx− x

x26 0 sur ]0,+∞[, car x est strictement positif.

−x

66

f(x)− 1

x6 0 sur ]0,+∞[, lim

x→0−x

6= 0, donc d’après le théorème des gendarmes,

limx→0

−f(x)− 1

x= 0, donc f est dérivable en 0 t f ′(0) = 0.

Remarque : ici on n’étudie les limites que pour x > 0 car f n’est définie que sur [0, π].

13

4. Etude de f enπ

2

sinπ

2= 1 donc pour x =

π

2, f(x) =

1

x, et donc au point d’abscisse

π

2les courbes de f et de

la fonction inverse se coupent.

Or pour x =π

2, g(x) = −1, donc pour x =

π

2, f ′(x) = −

1

x2qui est la valeur de la dérivée

de la fonction inverse.

Donc au point d’abscisseπ

2, les deux courbes coïncident et ont la même tangente (car même

coefficient directeur).

0.5

1.0

1.5

0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

y=f(x)

y=1/x

EXERCICE 3

f(x) = −x+√x2 + 4 sur R .

1. f est dérivable sur R et f ′(x) = −1 +2x

2√x2 + 4

= −1 +x√

x2 + 4=

−√x2 + 4 + x√x2 + 4

.

Or si x 6 0, −√x2 + 4 + x 6 0 comme somme de deux négatifs.

Si x > 0, comme x2 < x2 + 4, x <√x2 + 4 et −

√x2 + 4 + x < 0.

Donc f ′ est négative pour tout x réel, et f est décroissante sur R .

2. Visiblement f(x) tend vers +∞ en −∞ donc l’axe des abscisses ne peut être asymptotequ’en +∞, cherchons donc la limite en +∞ :

f(x) =(−x+

√x2 + 4)(−x−

√x2 + 4)

−x−√x2 + 4

=x2 − (x2 + 4)

−x−√x2 + 4

=− 4

−x−√x2 + 4

.

Le dénominateur est négatif pour x > 0 et tend vers +∞ par somme quand x tend vers+∞.

14

Donc limx→+∞

f(x) = 0 et f(x) > 0 sur [0,+∞[ : l’axe des abscisses est asymptote à Cf en

+∞ et Cf est au-dessus de son asymptote sur [0,+∞[.

Étudions maintenant la limite de f(x)− (−2x) en −∞ :

f(x) + 2x = x+√x2 + 4 =

(x+√x2 + 4)(x−

√x2 + 4)

x−√x2 + 4

=x2 − (x2 + 4)

x−√x2 + 4

=− 4

x−√x2 + 4

.

Le dénominateur est négatif pour x < 0 et tend vers −∞ par somme quand x tend vers−∞.

Donc limx→−∞

f(x) + 2x = 0 et f(x) + 2x > 0 sur ] −∞, 0[ : la droite d’équation y = −2x

est asymptote à Cf en −∞ et Cf est au-dessus de son asymptote sur ]−∞, 0[.

3. M(x, f(x)) et M ′(−x, f(−x)),

(a) ce n’est que du calcul : f(x)− f(−x) = −2x et f ′(x) + f ′(−x) = −2.On peut toutefois trouver la deuxième relation en dérivant le première : on dérive lafonction du membre de gauche : x 7→ f(x) − f(−x), on obtient x 7→ f ′(x) + f ′(−x)et on dérive le membre de droite : x 7→ −2x on obtient x 7→ −2 et on égalise les deuxdérivées.

(b) • La droite (MM ′) a pour coefficient directeurf(x)− f(−x)

x− (−x)=

− 2x

2x= −1, toutes

les droites (MM ′) sont parallèles puisqu’elles ont le même coefficient directeur -1,ladroite (MM ′) a donc une direction fixe.

• La tangente T à Cf en M a pour équation : Y − f(x) = f ′(x)(X −x) (attention, ici,x est fixe c’est l’abscisse du point M où on cherche la tangente, et X et Y sont les va-riables), cette tangente T coupe l’axe des ordonnées en X1 = 0 et Y1 = f(x)−xf ′(x).

La tangente T’à Cf en M ′ a pour équation : Y − f(−x) = f ′(−x)(X + x) , cettetangente T’ coupe l’axe des ordonnées en X2 = 0 et Y2 = f(−x) + xf ′(−x).

Or Y1−Y2 = f(x)−xf ′(x)−(f(−x)+xf ′(−x)) = f(x)−f(−x)−x(f ′(x)+f ′(−x)) = 0,donc Y1 = Y2 et les deux tangentes T et T’ se coupent sur l’axe des ordonnées.

15

1

2

3

4

5

1 2 3 4−1−2−3

y=f(x)

y = −2x

b M′

b M

T

T ′

y = −x

EXERCICE 4

a =ex − 1

ex + 1+

e−x − 1

e−x + 1=

(ex − 1)(e−x + 1) + (e−x − 1)(ex + 1)

(ex + 1)(e−x + 1)= 0.

b =

√

2e3x+1

e2x−1=

√2ex+2 =

√2e

x+2

2 .

c =ex

2−4

ex−2= ex

2−x−2.

d =

(

ex + e−x

2

)2

−(

ex − e−x

2

)2

=

(

e2x + 2 + e−2x

4

)

−(

e2x − 2 + e−2x

4

)

= 1.

16

5 Devoir n 3 Novembre 2011 1 heure

EXERCICE 1 (4 points)Montrer que la droite d d’équation y = x− 1 est asymptote à la courbe d’équationy =

√x2 − 2x+ 3.


Soit f la fonction définie sur R par f(x) =x

|x|+ 1.

f est-elle continue en 0 ?f est-elle dérivable en 0 ?

EXERCICE 3 (4 points)Soit f une fonction dérivable et impaire sur R .Soit g la fonction définie par g(x) = f(x)+ f(−x). Calculer g′(x), et en déduire que f ′ est paire.Que peut-on dire de f ′ lorsque f est dérivable et paire sur R ?

EXERCICE 4 (8 points)Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x+ 2− e−x.

1. Étudier les variations de f .

2. Déterminer les limites de f en +∞ et −∞.

3. Montrer que la droite d d’équation y = x+ 2 est asymptote à la courbe Cf de f .

4. Étudier les positions relatives de Cf et de son asymptote d.

5. Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 0.

6. Étudier les positions relatives de Cf et de sa tangente T .

17

6 Devoir n 4 Novembre 2011 2 heures

Novembre 2011 2 heures, avec calculatrice Terminales S.

Devoir N°4


1. question de cours Soit (E) l’équa diff y′ + 2y = 0.

(a) Montrer que la fonction h définie sur R par h(x) = e−2x est solution de (E).

(b) Soit f une solution de (E), montrer que la fonction g définie sur R par g(x) = f(x)e2x

est constante.

(c) En déduire toutes les solutions de (E).

2. Dans la figure ci-dessous, les courbes représentent toutes des solutions de l’équation diffé-rentielley′ + 2y = 2.

(a) Déterminer des équations de chacune des six courbes de la figure.

(b) Prouver que ces courbes ont toute la même asymptote.

(c) Cinq de ces courbes coupent l’axe des abscisses, montrer qu’en ces points les tangentesà ces courbes sont toutes parallèles.

1

2

−1

−2

1 2−1−2

C4C5

C6C2C3

C1

18


Le but de l’exercice est d’étudier le signe de la différence ex −(

1 + x+x2

2

)

suivant les valeurs

de x et d’en déduire un encadrement de e−1

100 .

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ex −(

1 + x+x2

2

)

.

1. Déterminer la fonction f ′ dérivée de f , puis la fonction f ′′ dérivée de f ′.

2. Étudier le signe de f ′′(x), puis le signe de f ′(x).

3. En déduire le sens de variation de f et le signe de f(x). ( On ne demande pas les limitespour x infini.)

4. Déduire du signe de f ′

(

−1

100

)

et de f

(

−1

100

)

la double inégalité :

0, 99 < e−1

100 < 0, 99005.

EXERCICE 3 (8 points)Le problème propose l’étude de la fonction f définie sur R par f(x) = (2x− 4)e

x

2 + 2− x.On note C sa courbe dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.

1. Etude d’une fonction auxiliaire : soit g la fonction définie sur R par g(x) = x− e−x

2 .

(a) Étudier les variations de g. Préciser les limites de g en +∞ et −∞.(On ne demande pas de construire la courbe de g.)

(b) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution et une seule α

et que 0, 70 6 α 6 0, 71.

(c) Déterminer le signe de g(x).

2. (a) Exprimer f ′(x) à l’aide g(x) et en déduire les variations de f .

(b) α étant le nombre défini en 1(b), démontrer que f(α) = 4− α−4

α.

En déduire un encadrement de f(α) d’amplitude 0,1.

3. (a) Déterminer la limite de f(x) en +∞. (On pourra mettre x en facteur dans f(x).)

(b) En remarquant que (2x − 4)ex

2 = 4x

2e

x

2 − 4ex

2 , prouver que la droite D d’équation

y = 2− x est asymptote à C en −∞.Préciser la position de C par rapport à D, et la limite de f(x) en −∞.

4. Dresser le tableau de variation de f

et tracer C , D, et la tangente à C au point d’abscisse 0.

BONUS (2 points)

f est la fonction définie sur R par : f(x) = e−

1

x2 si x est un réel non nul et f(0) = 0

1. Montrer que f est continue en 0.

2. Montrer que f est dérivable en 0.

19

7 Devoir n 5 Décembre 2011 4 heures

Décembre 2011 4 heures, avec calculatrice Terminales S.

Devoir N°5

EXERCICE 1 (5 points)Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. (a) Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul n le reste dans la divisioneuclidienne par 9 de 7n.

(b) Démontrer alors que 20052005 ≡ 7 [9].

2. (a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :

10n ≡ 1 [9].

(b) On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de seschiffres. Démontrer la relation suivante : N ≡ S [9].

(c) En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.

3. On suppose que A = 20052005 ; on désigne par :– B la somme des chiffres de A ;– C la somme des chiffres de B ;– D la somme des chiffres de C.

(a) Démontrer la relation suivante : A ≡ D [9].

(b) Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s’écrit en numération décimale avec auplus 8020 chiffres. En déduire que B 6 72180.

(c) Démontrer que C 6 45.

(d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petitque 15.

(e) Démontrer que D = 7.

EXERCICE 1 (5 points)Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Résoudre l’équation différentielle :

2y′ + y = 0 (E),

dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur R .

2. On considère l’équation différentielle :

2y′ + y = e−x

2 (x+ 1) (E′)

(a) Montrer que la fonction h définie sur R par :

h(x) =1

4e−

x

2

(

x2 + 2x)

est solution de (E′).

20

(b) Soit g une fonction définie et dérivable sur R . Montrer que g est solution de l’équation(E′) si et seulement si g − h est solution de l’équation (E).

Résoudre l’équation (E′).

(c) Déterminer la solution g de (E′) qui vérifie g(0) = −3

4.

3. Étudier les variations de la fonction h définie sur R par : h(x) =1

4e−

x

2

(

x2 + 2x)

.

4. Déterminer les limites en −∞ et en +∞ de la fonction h.

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé(

O,−→i ,

−→j)

, on note C la courbe représen-

tative de h et Γ celle de la fonction : x 7−→ 3

4e−

x

2 .

(a) Étudier les positions relatives de C et Γ.

(b) Tracer ces deux courbes sur un même graphique.

EXERCICE 2 (5 points)Les deux parties sont indépendantes.

Partie IDans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche proposée, deuxrésultats de cours.

On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, positive sur [1 ; +∞[, etvérifie :

ln 1 = 0Pour tout réel strictement positif x et tout entier naturel n, ln(xn) = n lnx

Pour tout réel strictement positif x, ln′ x =1

xln(2) ≈ 0, 69 à 10−2 près

1. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par

f(x) =√x− lnx.

(a) Étudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur ]0 ; +∞[.

(b) En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0 <lnx

x<

√x

x.

(c) En déduire que limx→+∞

lnx

x= 0.

2. Soit n un entier naturel non nul.

On considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞[ par :

fn(x) =lnxn

√x.

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en +∞ de la fonction fn.

21

Partie IISur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C1 et C2représentatives de deux fonctions f1 et f2 définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

1

2

3

−1

1 2 3 4

C1

C2

O

On sait que :– l’axe des ordonnées est asymptote aux courbes C1 et C2– l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C2– la fonction f2 est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[– la fonction f1 est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[– la limite quand x tend vers +∞ de f1(x) est +∞.

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte.Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie, ainsi que la justification. Chaque réponsejuste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’est pas sanctionnée.

1. La limite quand x tend vers 0 de f2(x) est :

• 0 • +∞ • On ne peut pas conclure

2. La limite quand x tend vers +∞ de f2(x) est :

• 0 • 0, 2 • On ne peut pas conclure

3. En +∞, C1 admet une asymptote oblique :

• Oui • Non • On ne peut pas conclure

4. Le tableau de signes de f2(x)− f1(x) est :

•

x 0 +∞f2(x)− f1(x) + •

x 0 +∞f2(x)− f1(x) − •

x 0 +∞f2(x)− f1(x) +0 −

22


Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f(x) = x(1− lnx) pour x > 0 et f(0) = 0.

La courbe représentative C de la fonction f est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie).

1. Étudier le signe de f(x) suivant les valeurs du nombre réel x.

2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

3. Montrer que f est continue en 0. f est-elle dérivable en 0 ?

4. Déterminer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et dresser le tableau devariations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

5. Soit a un nombre réel strictement positif. On considère la tangente (Ta) au point A de lacourbe C d’abscisse a.

(a) Déterminer, en fonction du nombre réel a, les coordonnées du point A′, point d’inter-section de la droite (Ta) et de l’axe des ordonnées.

(b) Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente (Ta). Sur l’annexe1 (à rendre avec la copie) construire la tangente (Ta) au point A placé sur la figure.


Partie 1

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = ex − xex + 1.

1. Déterminer la limite de g en +∞.

2. Étudier les variations de la fonction g.

3. Donner le tableau de variations de g.

4. (a) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution. On noteα cette solution.

(b) À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

(c) Démontrer que eα =1

α− 1.

5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Partie 2

Soit A la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ telle que A(x) =4x

ex + 1.

1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A′(x) a le même signe que g(x), où g est lafonction définie dans la partie 1.

2. En déduire les variations de la fonction A sur [0 ; +∞[.

23

Partie 3

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) =4

ex + 1.

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé(

O,−→i ,

−→j)

.

La figure est donnée en annexe.Pour tout réel x positif ou nul, on note :

M le point de (C) de coordonnées (x ; f(x)),

P le point de coordonnées (x ; 0),

Q le point de coordonnées (0 ; f(x)).

1. Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.

On rappelle que le réel α a été défini dans la partie 1.

2. Le point M a pour abscisse α.

La tangente (T) en M à la courbe (C) est-elle parallèle à la droite (PQ) ?

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

ANNEXE exercice 4

1

2

−1

−2

1 2 3−1x

y

O

C

24

ANNEXE 1 (Exercice 3)(à rendre avec la copie)

0,5

1,0

1,5

2,0

−0,5

−1,0

−1,5

−2,0

−2,5

1 2 3 4 5−1a

f(a)

O

A

C

25

8 Devoir n 5 corrigé

Décembre 2011 4 heures, avec calculatrice Terminales S.


polynesie sept 2010 exo 4 pour l’exo ex − xex + 1.france sept 2010 exo1 partie A pour l’exo x(1− lnx)

amerique du sud nov 2008 pour l’équa diff des non-spé et pour le ROClnx

xInde avril 2011 pour le qcmAntilles-Guyane juin 2005 pour la spé

26

9 Devoir n 6 Janvier 2012 2 heures

Janvier 2012 2 heures, sans calculatrice Terminales S.

Devoir N°6


Partie A : Restitution organisée de connaissances

1. On rappelle que

quels que soient les nombres complexes non nuls z et z′,

arg (z × z′) = arg(z) + arg (z′) à 2π près.

Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z′,

on a : arg( z

z′

)

= arg(z)− arg (z′) à 2π près.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v)

.

Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives a, b, c.

On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C.

On rappelle que(−→u ,

−−→AB

)

= arg(b− a) à 2π près.

Montrer que(−−→AB ,

−−→AC

)

= arg

(

c− a

b− a

)

à 2π près.

Partie B :Cette partie comporte deux propositions indépendantes.Indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponsechoisie.

1. L’ensemble des points M d’affixe z du plan complexe rapporté au repère orthonormé(

O,−→u ,

−→v)

, vérifiant |z − 2| = |z − 2i| est la droite d’équation y = x.

2. Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts du plan complexe d’affixes a, b et c

vérifiantb− a

c− a= −3 alors A, B et C sont alignés.


Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v)

.

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation d’inconnue z :

z2 − 2√3z + 4 = 0.

2. On considère les points A d’affixe zA =√3 − i, B d’affixe zB =

√3 + i et C le milieu de

[OB] d’affixe zC.

(a) Déterminer la forme exponentielle de zA, zB et zC.

27

(b) Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2 cm pour unité.

(c) Montrer que le triangle OAB est équilatéral.

3. Soit D l’image de C par la rotation r de centre O, d’angle −π

2et E l’image de D par la

translation t de vecteur 2−→v .

(a) Placer les points D et E sur une figure.

(b) Montrer que l’affixe zE du point E vérifie : zE =1

2

[

1 + i(

4−√3)]

.

(c) Montrer que OE = BE =√

5− 2√3.

4. Montrer que les points A, C et E sont alignés.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative , mêmenon fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.


Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal(

O,−→u ,

−→v)

.

1. On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2+2i, zB = 2i et zC = 2 ainsique le cercle Γ de centre A et de rayon 2.

La droite (OA) coupe le cercle Γ en deux points H et K tels que OH < OK. On note zH etzK les affixes respectives des points H et K,

(a) Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.

(b) Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.

(c) Justifier, à l’aide des notions de module et d’argument d’un nombre complexe, que

zK =(

2√2 + 2

)

eiπ

4 zH =(

2√2− 2

)

eiπ

4 .

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixez 6= 0 associe le point M ′ d’affixe z′ telle que :

z′ =−4

z.

2. (a) Déterminer et placer les points images de B et C par f .

(b) On dit qu’un point est invariant par f s’il est confondu avec son image. Déterminerles points invariants par f .

3. (a) Montrer que pour tout point M distinct de O, on a :

OM × OM ′ = 4.

(b) Déterminer arg(z′) en fonction de arg(z).

4. Soient K′ et H′ les images respectives de K et H par f .

(a) Calculer OK′ et OH′.

28

(b) Démontrer que zK′ =

(

2√2− 2

)

ei3π

4 et zH′ =

(

2√2 + 2

)

ei3π

4 .

(c) Expliquer comment construire les points K′ et H′ en utilisant uniquement la règle etle compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.

EXERCICE 4 (4 points)Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0 ; +∞[ par :

f(x) =ln(x)

x2.

Sa courbe représentative (C), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variationssont donnés en annexe,

1. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, leslimites aux bornes de l’ensemble de définition ainsi que l’extremum.

Énoncer puis démontrer ces propriétés.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dansl’évaluation.

Existe-t-il des tangentes à la courbe (C) qui contiennent le point O origine du repère ? Sioui donner leur équation.

ANNEXE exercice 4

0.5

1.0

1.5

−0.5

−1.0

−1.5

−2.0

1 2 3 4−1−2 O

(C)

29

x 0 e1

2 +∞

f(x)

−∞

1

2e

0

30


Janvier 2012 2 heures, sans calculatrice Terminales S.

Corrigé du devoir 6


cf cours. Ne pas oublier de prouver que arg(1

z) = − arg(z) à 2π près en utilisant arg(1) = 0.

pour le V/F : les deux propositions sont vraies.La première car cet ensemble est la médiatrice de [AB] où A(2) et B(2i).

La deuxième car−−→AB = −3

−→AC.

EXERCICE 2 (5 points)Antilles-Guyane sept 2008

EXERCICE 3 (7 points)Nouvelle-Calédonie novembre 2008

EXERCICE 4 (4 points)La Réunion juin 2008 exo 2 partie A

31

11 Devoir n 7 Février 2012 4 heures

Février 2012 4 heures, avec calculatrice Terminales S.

Devoir N°7

EXERCICE 1 (5 points)On considère la suite (un)n∈N définie par :

u0 = 5 et, pour tout entier n > 1, un =

(

1 +2

n

)

un−1 +6

n.

1. (a) Calculer u1.

(b) Les valeurs de u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10, u11 sont respectivement égales à : 45,77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.

À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (dn)n∈N définie pardn = un+1 − un.

2. On considère la suite arithmétique (vn)n∈N de raison 8 et de premier terme v0 = 16.

Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à

4n2 + 12n.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a :

un = 4n2 + 12n + 5.

4. Valider la conjecture émise à la question 1. b..

EXERCICE 2 (5 points)Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que{

N ≡ 5 (13)N ≡ 1 (17)

(a) Vérifier que 239 est solution de ce système.

(b) Soit N un entier relatif solution de ce système.

Démontrer que N peut s’écrire sous la forme N = 1 + 17x = 5 + 13y où x et y sontdeux entiers relatifs vérifiant la relation 17x − 13y = 4.

(c) Résoudre l’équation 17x− 13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs.

(d) En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k.

(e) Démontrer l’équivalence entre N ≡ 18 (221) et

{

N ≡ 5 (13)N ≡ 1 (17)

.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, mêmeinfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

(a) Existe-t-il un entier naturel k tel que 10k ≡ 1 (17) ?

32

(b) Existe-t-il un entier naturel l tel que 10l ≡ 18 (221) ?

EXERCICE 2 (5 points)Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f(x) = lnx et g(x) = (lnx)2.

On note C et C′ les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal. Lescourbes C et C′ sont données en annexe.

1. (a) Étudier le signe de (ln x)(1− lnx) sur ]0 ; +∞[.

(b) En déduire la position relative des deux courbes C et C′ sur ]0 ; +∞[.

2. Pour x appartenant à ]0 ; +∞[, M est le point de C d’abscisse x et N est le point de C′

de même abscisse.

(a) Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = f(x)− g(x). Étudier les variationsde la fonction h sur ]0 ; +∞[.

(b) En déduire que sur l’intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance MN estobtenue pour x =

√e.

(c) Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’équation (lnx)2 − lnx = 1.

(d) En déduire que, sur ]0 ; 1[ ∪ ]e ; +∞[, il existe deux réels a et b (a < b) pour lesquelsla distance MN est égale à 1.

3. Vérifier que la fonction G définie sur ]0 ; +∞[ par G(x) = x[

(lnx)2 − 2 ln x+ 2]

est uneprimitive de la fonction g sur ]0 ; +∞[.


Dans le plan muni d’un repère orthonormé(

O,−→u ,

−→v)

, on considère les points A et B d’affixes

respectives 2 et (−2) et on définit l’application f qui à tout point M d’affixe z et différent de Aassocie le point M’ d’affixe

z′ =z(z − 2)

z − 2.

1. (a) Déterminer l’affixe du point P’ image par f du point P d’affixe (1 + i).

(b) Montrer que les droites (AP) et (BP’) sont parallèles.

(c) Établir que les droites (AP) et (PP’) sont perpendiculaires.

2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est à dire l’ensemble des points telsque M’=M).

On cherche à généraliser les propriétés 1.b et 1.c pour obtenir une construction de l’image M’d’un point M quelconque du plan.

3. (a) Montrer que pour tout nombre complexe z, le nombre (z − 2)(z − 2) est réel.

(b) En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2,z′ + 2

z − 2est réel.

33

(c) Montrer que les droites (AM) et (BM’) sont parallèles.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera priseen compte dans l’évaluation.Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de laquestion 1.c.

5. Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du pointM’ image de M par f . Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3− 2i.


On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]− 1 ; +∞[ par :

f(x) = x− ln(1 + x)

1 + x.

La courbe C représentative de f est donnée sur le document annexe 2 que l’on complétera et quel’on rendra avec la copie.

Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C

1. On note f ′ la fonction dérivée de f . Calculer f ′(x) pour tout x de l’intervalle ]− 1 ; +∞[.

2. Pour tout x de l’intervalle ]− 1 ; +∞[, on pose N(x) = (1 + x)2 − 1 + ln(1 + x).

Vérifier que l’on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ]− 1 ; +∞[.

Calculer N(0). En déduire les variations de f .

3. Soit D la droite d’équation y = x. Calculer les coordonnées du point d’intersection de lacourbe C et de la droite D.

Partie B : Étude d’une suite récurrente définie à partir de la fonctionf

1. Démontrer que si x ∈ [0 ; 4], alors f(x) ∈ [0 ; 4].

2. On considère la suite (un) définie par :

{

u0 = 4 etun+1 = f (un) pour tout n de N.

(a) Sur le graphique de l’annexe 2, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les pointsde C d’abscisses u0 , u1, u2 et u3.

(b) Démontrer que pour tout n de N on a : un ∈ [0 ; 4].

(c) Étudier la monotonie de la suite (un).

(d) Démontrer que la suite (un) est convergente. On désigne par ℓ sa limite.

(e) Utiliser la partie A pour donner la valeur de ℓ.

34

ANNEXE

À compléter et à rendre avec la copie

Exercice 4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

3

4

5

1

1

O x

y

CD

Exercice 2 non-spé

1

2

1

2

1 2 3 4

35


Février 2012 4 heures, avec calculatrice Terminales S.


EXERCICE 1 (5 points)La Réunion juin 2008

EXERCICE 2 (5 points)spé : Asie juin 2009non-spé :Liban juin 2007

EXERCICE 3 (5 points)Amérique du sud nov 2009

EXERCICE 4 (5 points)Métropole juin 2007

36

13 Devoir n 8 Mars 2012 2 heures

Mars 2012 2 heures, avec calculatrice Terminales S.

Devoir N°8


Partie A : étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f(x) = x ln(x+ 1).

Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal(

O,−→u ,

−→v)

est donnée en annexe.

1. (a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.

(b) L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe (C) au point O ?

2. On pose I =∫

1

0

x2

x+ 1dx.

(a) Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout x 6= −1,

x2

x+ 1= ax+ b+

c

x+ 1.

(b) Calculer I.

3. À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, enunités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équationsx = 0, x = 1 et y = 0.

4. Montrer que l’équation f(x) = 0, 25 admet une seule solution sur l’intervalle [0 ; 1]. Onnote α cette solution. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Partie B : étude d’une suite

La suite (un) est définie sur N par un =

∫

1

0

xn ln(x+ 1) dx.

1. Montrer que la suite (un) est décroissante.

La suite (un) converge-t-elle ?

2. Démontrer que pour tout x ∈ [0; 1] on a 0 6 ln(x+ 1) 6 ln 2 et en déduire que

pour tout entier naturel n non nul, 0 6 un 6ln 2

n+ 1.

En déduire la limite de la suite (un).

37


Partie AOn considère les fonctions f et g définies sur R par

f(x) = e−x2

et g(x) = x2e−x2

.

On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal(

O,−→i ,

−→j)

, dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera complétée et rendue

avec la copie.

1. Identifier Cf et Cg sur la figure fournie. (Justifier la réponse apportée).

2. Étudier la parité des fonctions f et g.

3. Étudier le sens de variation de f et de g.Étudier les limites éventuelles de f et de g en +∞.

4. Étudier la position relative de Cf et Cg.

Partie B : Question de coursRappel : soit φ une fonction continue sur R , alors la fonction Φ définie sur R par

Φ(x) =

∫ x

0

φ(t)dt est la primitive de φ sur R qui s’annule en 0.

Montrer que si Ψ est une primitive de φ sur R alors les fonctions Φ et Ψ diffèrent d’une constante

et en déduire que si b ∈R ,∫ b

0

φ(t)dt = Ψ(b)−Ψ(0) .

Partie C

On considère les fonctions F , G et H définie sur R par

F (x) =

∫ x

0

e−t2 dt , G(x) =

∫ x

0

t2e−t2 dt et H(x) =1

2

[

F (x)− xe−x2]

.

1. Que représente G pour la fonction g ?

2. Donner, pour x > 0, une interprétation de G(x) en termes d’aires.

3. Étudier le sens de variations de G sur R .

4. Démontrer, que, pour tout réel x, G(x) = H(x) ; (on pourra commencer par comparer lesfonctions dérivées de G et de H).On admet que la fonction F admet une limite finie ℓ en +∞, et que cette limite ℓ est égale

à l’aire, en unités d’aire, du domaine A limité par la courbe Cf et les demi-droites [O;−→ı )

et [O;−→ ).

5. (a) Démontrer que la fonction G admet une limite en +∞ que l’on précisera.

(b) Interpréter en termes d’aires le réel N =

∫

1

0

(

1− t2)

e−t2 dt.

(c) En admettant que la limite de G en +∞ représente l’aire P en unités d’aire du domaine

D limité par la demi-droite[

O ;−→ı)

et la courbe Cg justifier graphiquement que :

∫

1

0

(

1− t2)

e−t2 dt >ℓ

2.

(on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie)

38

Annexe

Exercice 1

Représentation graphique de la fonction f obtenue à l’aide d’un tableur

Courbe (C)

0 1 2 30

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

0 1 2x

y

Exercice 2

−→ı

−→

O

39

14 Devoir n 9 Mai 2012 BAC BLANC n 1 : 4 heures

Avril 2012 4 heures, avec calculatrice Terminales S.

Bac Blanc

Exercice 1 5 pointsCommun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v)

.

On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans C l’équation z2 − 2z + 2 = 0.

2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1 + i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3.

Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D donton précisera le rayon.

4. CalculerzC − 3

zA − 3. En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation de centre D et

d’angleπ

2. On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image de C′ par r.

Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires.

Exercice 2 5 pointsCandidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner unejustification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois,toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise encompte dans l’évaluation.

• Proposition 1 : « Le reste de la division euclidienne de 20112011 par 7 est 2 ».

• Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls.Proposition 2 : « S’il existe un couple de nombres entiers relatifs (u, v) tel que ua+ vb = 3,alors PGCD(a, b) = 3 ».

• Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5.Proposition 3 : « L’entier n2 − 3n− 10 n’est jamais un nombre premier ».

• Soit a et b deux entiers relatifs quelconques, n et p deux entiers naturels premiers entre eux.Proposition 4 : « a ≡ b [p] si et seulement si na ≡ nb [p] ».

• On considère l’équation (E) : x2 + y2 ≡ 0 [3], où (x, y) est un couple d’entiers relatifs.Proposition 5 : « Les seuls couples solutions de l’équation (E) sont les couples de multiplesde 3 ».

40

Exercice 2 5 pointsCandidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner unejustification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois,toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise encompte dans l’évaluation.

• Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et un+1 =√7un.

Proposition 1 : « 0 6 un 6 7 pour tout entier n. ».

• Soit I =

∫ π

0

ex sinx dx et J =

∫ π

0

ex cos x dx.

Proposition 2 : « I = −J ».

• Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct(

O,−→u ,

−→v)

.

Proposition 3 : « L’ensemble des points M d’affixe z tels que z = 2i+ 2ieiθ,où θ décrit R ,est un cercle de centre A d’affixe 2. ».

• Soit (vn) une suite strictement décroissante et soit (un) la suite définie par un = e−vn + 1.Proposition 4 : « (un) est strictement croissante et majorée par 2 ».Proposition 5 : « ln(un) + vn > 0 pour tout entier n ».

Exercice 3 4 pointsCommun à tous les candidatsPartie A : Question de coursEn utilisant le résultat suivant :Soit a un réel non nul, les solutions sur R de l’équation différentielle y′ = ay sont les fonctionsx 7→ Ceax, où C décrit R .Montrer que, si a et b sont des réels, a non nul, les solutions sur R de l’équation différentielle

z′ = az + b sont les fonctions x 7→ Ceax −b

a, où C décrit R .

Partie B

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; +∞[vérifiant l’équation différentielle

(E) : (2x+ 1)f(x)− xf ′(x) = 6x2.

1. (a) Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g(x) =f(x)

xest solution de l’équation différentielle (E′) : y′ = 2y − 6.

(b) Démontrer que si h est solution de (E′) alors la fonction f définie par f(x) = xh(x)est solution de (E).

2. Résoudre (E′) et en déduire toutes les solutions de (E),

3. Existe-t-il une fonction f solution de l’équation différentielle (E) dont la représentationgraphique dans un repère donné passe par le point A(ln 3 ; 0) ? Si oui la préciser.

41


Partie A

La courbe (C), donnée ci-contre dans un repèreorthogonal, est la courbe représentative d’unefonction f dérivable sur R , de fonction dérivéef ′ continue sur R .La fonction f admet un maximum en -1.La courbe (C) passe par les points : A(−1 ; e), B(0 ; 2), C(−2 ; 0) et sur [-2 ; 0], elle est audessus du segment [BC].

1. Montrer que∫

0

−1

f ′(x) dx = 2− e·

2. Montrer que 2 6

∫

0

−2

f(x) dx 6 2e·

1

2

−1

−2

1 2−1−2−3−4 O

yA

B

C

Partie B

k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur l’ensemble R par :

fk(x) = (x+ k)e−x.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal(

O,−→i ,

−→j)

.

1. Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞.

2. Calculer f ′

k(x) pour tout réel x.

3. En déduire le tableau de variations de fk.

Partie C

1. On considère la suite d’intégrales (In) définie par I0 =∫

0

−2

e−x dx et

pour tout entier naturel n > 1 : In =

∫

0

−2

xne−x dx.

(a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0.

(b) En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :

In+1 = (−2)n+1e2 + (n+ 1)In.

(c) En déduire les valeurs exactes des intégrales I1 et I2.

2. Le graphique ci-dessous représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’unefonction fk définie à la partie B.

42

a. À l’aide des renseignements donnéspar le graphique, déterminer la valeurdu nombre réel k correspondant.b. Soit S l’aire de la partie hachurée(en unité d’aire) ; exprimer S en fonc-tion de I1 et I0 et en déduire sa valeurexacte.

1

2

3

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4 O x

y

43

15 Devoir n 10 Mai 2012 BAC BLANC n 2 : 4 heures

mai 2012 4 heures, avec calculatrice Terminales 5 et 7

Bac Blanc N°2


Dans l’espace muni d’un repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→ ,

−→k)

, on considère :

– les points A(1 ; 1 ; 1) et B(3 ; 2 ; 0) ;

– le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur−−→AB pour vecteur normal ;

– le plan (Q) d’équation : x− y + 2z + 4 = 0 ;– la sphère (S) de centre A et de rayon AB.

1. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P) est : 2x+ y − z − 8 = 0

2. Déterminer une équation de la sphère (S).

3. (a) Calculer la distance du point A au plan (Q). En déduire que le plan (Q) est tangentà la sphère (S).

(b) Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ?

4. On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées(0 ; 2; −1).

(a) Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants.

(b) Soit (D) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).

Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :

x = t

y = 12− 5tz = 4− 3t

avec t ∈ R.

(c) Vérifier que le point A n’appartient pas à la droite (D)

(d) On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite (D).

L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?

« Tout point du plan (R ) est équidistant des points B et C ».

Justifier votre réponse.

44

Exercice 2 5 pointsCandidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v)

d’unité graphique

4 cm, on considère le point A d’affixe a = −1 et l’application f , du plan (P) dans lui·même, quiau point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ = f(M) d’affixe z′ tel que :

z′ =iz

z + 1.

1. Déterminer l’affixe des points M tels que M ′ = M .

2. Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a :

OM ′ =OM

AMet(−→u ,

−−−→OM ′

)

=(−−−→MA ,

−−−→MO

)

+π

2à 2π près.

3. (a) Soit B le point d’affixe b = −1

2+ i. Placer dans le repère le point B et la médiatrice

(∆) du segment [OA].

(b) Calculer sous forme algébrique l’affixe b′ du point B′ image du point B par f . Établirque B′ appartient au cercle (C) de centre O et de rayon 1.

Placer le point B′ et tracer le cercle (C) dans le repère.

(c) En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M appartient à la médiatrice(∆), son image M ′ par f appartient au cercle (C).

(d) Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s’aidant des résultatsde la question 2, construire, à la règle et au compas, l’image du point C par f (Onlaissera apparents les traits de construction.)

4. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble(Γ) des points M distincts de A et de O dont l’image M ′ par f appartient à l’axe desabscisses.

Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.

(a) On pose z = x + iy avec x et y réels tels que (x, y) 6= (−1, 0) et (x, y) 6= (0, 0).Démontrer que la partie imaginaire de z′ est égale à :

Im(

z′)

=x2 + y2 + x

(x+ 1)2 + y2

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (Γ) et le tracerdans le repère.

(b) À l’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble (Γ).

45

Exercice 2 5 pointsCandidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v)

.

Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1− i et zB = 7 +7

2i.

1. On considère la droite (d) d’équation 4x+ 3y = 1.

Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont entières est l’ensembledes points Mk(3k + 1,−4k − 1) lorsque k décrit l’ensemble des entiers relatifs.

2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B enM−1(−2 ; 3).

3. Soit s la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe

z′ =2

3iz +

1

3− 5

3i.

Déterminer l’image de A par s, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de s.

4. On note B1 l’image de B par s et pour tout entier naturel n non nul, Bn+1 l’image de Bn

par s.

(a) Déterminer la longueur ABn+1 en fonction de ABn.

(b) À partir de quel entier n le point Bn, appartient t-il au disque de centre A et de rayon10−2 ?

(c) Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels A, B1 et Bn sont alignés.


Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

fn(x) = ln (1 + xn)

et on pose In =

∫

1

0

ln (1 + xn) dx.

On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal(

O,−→i ,

−→j)

.

1. (a) Déterminer la limite de f1 en +∞.

(b) Étudier les variations de f1 sur [0 ; +∞[.

(c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1 et interpréter graphiquement lerésultat.

(Pour le calcul de I1 on pourra utiliser le résultat suivant :

pour tout x ∈ [0 ; 1],x

x+ 1= 1− 1

x+ 1)

2. (a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a 0 6 In 6 ln 2.

(b) Étudier les variations de la suite (In)

(c) En déduire que la suite (In) est convergente.

46

3. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

g(x) = ln(1 + x)− x.

(a) Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[.

(b) En déduire le signe de g sur [0 ; +∞[. Montrer alors que pour tout entier naturel nnon nul, et pour tout x réel positif, on a

ln (1 + xn) 6 xn.

(c) En déduire la limite de la suite (In).


On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparenceidentiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir

6 lors d’un lancer est égale à1

3.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoiredonnant le nombre de 6 obtenus.

(a) Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?

(b) Quelle est son espérance ?

(c) Calculer P (X = 2).

2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le déchoisi trois fois de suite.

On considère les événements D et A suivants :

• D « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;• A : « obtenir exactement deux 6 ».

(a) Calculer la probabilité des événements suivants :• « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».

(On pourra construire un arbre de probabilité).

(b) En déduire que : p(A) =7

48.

(c) Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenuexactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?

3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n

fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On note Bn l’événement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».

(a) Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de l’événement Bn.

(b) Calculer la limite de la suite (pn). Commenter ce résultat.

47

16 Spécialité devoir n 1 Octobre 2011 : 1 heure

Octobre 2011 1 heure, avec calculatrice Spécialité.

Devoir N°1


1. Montrer en utilisant la définition de la divisibilité que si a divise b et si b divise c alors a

divise c.

2. Vrai ou faux ? Justifier la réponse

(a) Si a divise b et si a divise c alors a divise b+ c.

(b) Si a divise b+ c alors a divise b et a divise c.

(c) Si a divise un nombre pair, alors a est pair.

(d) Si a divise bc alors a divise b ou a divise c.

(e) Si a2 divise b alors a divise b.

(f) Si a divise b2 alors a divise b.

EXERCICE 2 (4 points)x et y désignent des entiers naturels non nuls.

(E) est l’équation1

x+

1

y=

1

7.

1. Montrer que l’équation (E) a les mêmes solutions que l’équation (E’) : (x− 7)(y− 7) = 49.

2. Résoudre (E).

EXERCICE 3 (4 points)Déterminer les entiers naturels n tels que n+ 3 divise n2 − 5n+ 10.

EXERCICE 4 (4 points)Dans la division euclidienne de 527 par l’entier naturel non nul b, le quotient est 21.Donner toutes les valeurs possibles du diviseur et du reste.

EXERCICE 5 (4 points)x et y désignent des entiers naturels tels que : 3x2 + 2y2 = 30.

1. Démontrer que 0 6 x 6 3.

2. En examinant les différents cas, déterminer tous les couples (x, y).

48

17 Spécialité corrigé devoir n 1

Octobre 2011 1 heure, sans calculatrice Spécialité.


EXERCICE 1

1. Si a divise b alors il existe un entier k tel que b = ka

Si b divise c alors il existe un entier k′ tel que c = k′b

Alors c = k′b = k′ka, or k′k est un entier, donc a divise c.

2. Vrai ou Faux :

(a) Vrai car si b s’écrit ka et si c s’écrit k′a, avec k et k′ entiers, alors b+ c = ka+ k′a =(k + k′)a est divisible par a car k + k′ est un entier.

(b) Faux il suffit de prendre a = 2, b = 5 et c = 7.

(c) Faux :5 divise 10 qui est pair, et 5 n’est pas pair.

(d) Faux : 6 divise 12, mais 6 ne divise ni 3, ni 4.

(e) Vrai : a2 divide b donc il existe un entier k tel que b = ka2 = (ka)a donc a divise b

car ka est un entier.

(f) Faux : 8 divise 16, mais 8 ne divise pas 4.

EXERCICE 2

1.1

x+

1

y=

1

7⇔

y + x

xy=

1

7⇔

xy

x+ y= 7 ⇔ xy = 7(x+ y) ⇔ xy − 7x− 7y = 0

Et (x− 7)(y − 7) = 49 ⇔ xy − 7x− 7y + 49 = 49 ⇔ xy − 7x− 7y = 0Les deux équations (E) et (E’) ont donc les mêmes solutions.

2. Résoudre (E) revient donc à résoudre (E’). Les diviseurs de 49 étant -49,-7,1,7,49,et x et y étant positifs , seuls les diviseurs strictement plus grands que -7 seront concernés :(E)⇔ (x− 7 = 1 et y − 7 = 49) ou (x− 7 = 7 et y − 7 = 7) ou (x− 7 = 49 et y − 7 = 1)On obtient les couples solutions : (8,56), (14,14) et (56,8).

EXERCICE 3 (5 points)n+ 3 divise n2 − 5n+ 10, or n+ 3 divise n+ 3 donc n+ 3 divise n2 − 5n+ 10− (n+ 3)(n − 8)soit n + 3 divise 34. Or les diviseurs positifs de 34 sont 1,2,17 et 34, et n + 3 > 3, on a doncnécessairement n+ 3 ∈ {17, 34}, soit n ∈ {14, 31}.Réciproquement , pour n = 14, n2 − 5n + 10 = 136 et 17 divise 136. donc 14 est solutionpour n = 31, n2 − 5n+ 10 = 816 et 34 divise 816. donc 31 est solutionConclusion : l’ensemble solutions est S = {14, 31}.

EXERCICE 4

527 = 21b + r avec 0 6 r < b donc 0 6 527 − 21b < b, soit, d’une part 21b 6 527 donc b 6527

21,

49

et d’autre part 527 < 22b donc527

22< b

On obtient527

22< b 6

527

21, soit, puisque b est entier 24 6 b 6 25, les seules valeurs de b sont 24

et 25 :Donc soit b = 24 et r = 527− 21b = 23, soit b = 25 et r = 527 − 21b = 2.

EXERCICE 53x2 + 2y2 = 30 où x et y sont des entiers naturels.

1. 3x2 6 3x2 + 2y2 donc 3x2 6 30 donc x2 6 10, or les seuls carrés inférieurs à 10 sont lescarrés de 0, de 1 , de 2 et de 3. Donc 0 6 x 6 3.

2. si x = 0, y2 = 15 ne donne pas de solution entière.si x = 1, 2y2 = 27 ne donne pas de solution entière.si x = 2, 2y2 = 18 et y = 3.si x = 3, 2y2 = 3 ne donne pas de solution entière.Finalement il y a une seule solution : le couple (2,3).

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18 Spécialité devoir n 2 Novembre 2011 : 1 heure

Novembre 2011 1 heure, avec calculatrice Spécialité.

Devoir N°2


1. Question de cours :En utilisant :" pour tous a et b entiers relatifs et n entier naturel,a ≡ b [n] signifie a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n"Montrer que :a ≡ b [n] si et seulement si n divise a− b.

2. Vrai ou Faux ? Ne pas justifier (mais des pénalités sont prévues en cas de réponse fausse).Soit a un entier relatif tel que a ≡ −5 [12].

(a) Il existe k entier relatif tel que a = 5 + 12k.

(b) Il existe k entier relatif tel que a = 12k − 5.

(c) Il existe k entier relatif tel que a = 7 + 12k.

(d) 5 + a est un multiple de 12.

(e) 5 + a est un multiple de 2.

(f) 7− a est un multiple de 24.

(g) 7− a est un multiple de 6.


1. En utilisant un tableau de congruences modulo 11, déterminer tous les entiers x tels quex2 ≡ 9 [11].

2. Déterminer tous les couples d’entiers (x, y) tels que x2 + y2 + 1 ≡ 0 [11].

EXERCICE 3 (5 points)Arthur monte un escalier trois marches par trois. A la fin il lui reste deux marches à monter. Ilsait par ailleurs que l’escalier compte entre 80 et 90 marches.Combien de pas peut-il avoir fait, et combien de marches peut compter l’escalier ?Claire a, quant à elle, monté l’escalier quatre marches par quatre marches et il lui restait troismarches à monter à la fin.Donner le nombre de marches de l’escalier, et le nombre de pas faits par Claire.


1. Déterminer les restes dans la division euclidienne par 13 de : 52 , 53, 54 et 55. (On vérifieraque 54 ≡ 1 [13] ).

2. En déduire que 20072007 − 8 est divisible par 13.

51

3. Quel est le reste dans la division euclidienne de 20202020 par 13 ?

4. Démontrer que , pour tout entier naturel n, le nombre N = 31n+1+18n+3 est divisible par13.

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19 Spécialité devoir n 3 Janvier 2012 : 1 heure

Janvier 2012 1 heure, avec calculatrice Spécialité.

Devoir N°3

EXERCICE 1 (5 points)Soit n un entier naturel non nul.On considère les nombres a et b tels que a = 2n3 + 5n2 + 4n + 1 et b = 2n2 + n.

1. Montrer que 2n+ 1 divise a et b.

2. Le pgcd de a et b est-il 2n+ 1 ?

EXERCICE 2 (15 points) Ne traiter que la partie A.Soit (E) l’ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme abba où a est un chiffresupérieur ou égal à 2 et b est un chiffre quelconque.Exemples d’éléments de (E) : 2002 ; 3773 ; 9119. Les parties A et B peuvent être traitées séparé-ment.

Partie A : Nombre d’éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.

1. (a) Décomposer 1001 en produit de facteurs premiers.

(b) Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.

2. (a) Quel est le nombre d’éléments de (E) ?

(b) Quel est le nombre d’éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 5 ?

3. Soit n un élément de (E) s’écrivant sous la forme abba.

(a) Montrer que : « n est divisible par 3 » équivaut à « a+ b est divisible par 3 ».

(b) Montrer que : « n est divisible par 7 » équivaut à « b est divisible par 7 ».

4. Déduire des questions précédentes le nombre d’éléments de (E) qui admettent 11 commeplus petit facteur premier.

Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.Soit (F) l’ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile.On admet que pour tout élément n de (F), il existe des entiers naturels p et q tels que :

n = 2000 + 4p et n = 2002 + 11q.

1. On considère l’équation (e) : 4p − 11q = 2 où p et q sont des entiers relatifs.Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l’équation (e) puis résoudre l’équation (e).

2. En déduire que tout entier n de (F) peut s’écrire sous la forme 2024 + 44 k où k est unentier relatif.

3. À l’aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F).N.B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 :2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37.

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20 Spécialité corrigé devoir n 3

Janvier 2012 1 heure, avec calculatrice Spécialité.



1. a = 2n3 + 5n2 + 4n + 1 = (2n + 1)(n2 + 2n + 1) et b = 2n2 + n = n(2n + 1) et puisquen2 + 2n + 1 et n sont des entiers, 2n+ 1 divise a et b.

2. oui, car pgcd(a, b) = (2n + 1)pgcd(n2 + 2n+ 1, n).Or pgcd(n2 + 2n + 1, n) = pgcd(n2 + 2n+ 1− n(n+ 2), n) = pgcd(1, n) = 1.

EXERCICE 2 (15 points)Amérique du nord juin 2002

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Ts Devoir 20112012

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