Troisième séance de regroupement PHR004 Rappels de cours (Leçons 6 à 8) Commentaires sur les...

Troisième séance de regroupement PHR004

Rappels de cours (Leçons 6 à 8)

Commentaires sur les exercices

Questions / Réponses

Dynamique des systèmes

Deux sortes de systèmes en mécanique

i i i ir ; v ; a ; F etc...��

r ; v ; a ; dF etc...��

Un système discret :

un ensemble fini de particules

chaque particule, affectée d'une masse mi, est considérée comme

un point matériel avec les vecteurs associés

Dans un système continu :

la matière est répartie dans un domaine

la particule est l'élément de masse dm contenu dans l'élément de

volume dV, soumis aux vecteurs

Grandeurs attachées aux systèmes

Complément sur le centre de masse R : un repère galiléen R' : le repère lié au centre de masse G

et sont colinéaires :

, i ; ; kO j

i ' ; ', kG j ' ;

i ; j ; k

i ' ; j ' ; k '

t i i ' ; j j ; k k '

Pour l’élément de masse dm :

R dm m RPar def mR

r d m R d m r ' d m

d r 'r ' d

r

m r ' d m 0 v ' d m 0

R

m RRd

r

m d mt

'

��

��

��

��

��

O G

d d d

dt dt dt

Quantité de mouvement totale ou impulsion totale du système


L’impulsion totale du système est :

P C dm m C 0

v C v ' v d m C d m v ' d m P m C

��

��

��

��

C v'v

d r d R d r 'r R r '

dt dt dt

��

��

P v d m

��

"L'impulsion totale du système est équivalente au produit de la masse totale du système

par la vitesse du centre de masse".

(C’est ce qu’on fait généralement quand on applique le PFD)

Théorème du centre d'inertie (ou de la résultante)

La résultante des forces appliquées à un système :


"Le mouvement du centre d'inertie d'un système est celui d'un point matériel affecté de la

masse totale du système et soumis à la résultante des forces s'appliquant sur ce système".

(C’est ce qu’on fait généralement quand on applique le PFD)

dF d F v d m

d t

0

d d d dF v d m C v ' d m C d m v ' d m

d t d t d t d t

d dF C d m v ' d m

d t d t

d CF m

d t

��

��

��

Relation entre le moment cinétique et le moment des forces

Le moment cinétique du système :

Dérivation par rapport au temps :

"La dérivée par rapport au temps du moment cinétique total du système est égale à la somme des

moments des forces (ou moment dynamique)".

En cas d’oubli :

L r v d m

��

0 a

v

d d d dL r v d m r v d m r v d m

d t d t d t d t

d L dv v d m r v d m r d F

d

d L

t d td t

��

��

��

��

��

��

0F

d L d(r m v) d r d v d vm v r m v m v r m

d

d Lr F

d tt d t d t d t d t

��

��

Premier théorème de KOENIG

Le moment cinétique du système dans le repère du centre de masse: Relation entre

Le moment cinétique par rapport aux repère de référence est égal au moment cinétique

calculé dans le repère du centre de masse augmenté de la quantité

L' r ' v' d m

��

L'0 0m

d m ' d m ' d m ' ' d m

d m ' d m ' d m ' ' d m

d m R r ' C v ' d m

L R C R v r C r v

L R C R v r C r v

L R m C L'

L r v

��

��

��

��

��

��

��

��

R P L ' ��

R m C R P ��

L et L' ??��

Second théorème de KOENIG

L’énergie cinétique dans le repère du centre de masse:

L’énergie cinétique dans le repère de référence :

L'énergie cinétique par rapport aux repère de référence est égale à l'énergie cinétique

calculée dans le repère du centre de masse augmentée de la quantité 2m C

2

2v 'K' d m

2

22 2 2

K '

2

2

0

C v 'v C 1 v 'K d m d m d m 2 C v ' d m d m

2 2 2 2 2

CK K ' d m C v ' d

m CK K

2

m2

'

��

��

Théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique

Le moment des forces :

' '

' '

R r d F R d F r d F

R d F r

d Lr d F

d

d

t

rF FR Fd

��

��

��

��

Or la somme des moments des forces par rapport au barycentre G :

* r ' dF

��

*R F ��

Premier théorème de KOENIG :

0

m C

d P

d

R

d t

dP R

t

d L d d L ' d L 'L R P L ' R P R

d t d t dtF

dt

��

��

��

Bilan : *

*

d L 'd L 'dtdt

d tR F

L

F

d

R

��

��

��

��

"Le théorème du moment cinétique est applicable en G, dans le

référentiel barycentrique, que celui-ci soit galiléen ou non".

Dynamique des solides

bi

bibi

Moment cinétique d’un solide Solide = un corps dans lequel les distances entre les particules qui le composent

restent fixes lorsqu'on lui applique une force ou un moment Il conserve sa forme durant son mouvement.

Rappels: Le vecteur vitesse angulaire : La vitesse de la masse élémentaire dm dans le système : Le moment cinétique d’une particule Ai par rapport à l’origine O :

* Sa direction est perpendiculaire au plan déterminé par les vecteurs et

* Il fait un angle de avec l'axe de rotation Z

* La grandeur de Li est : mi ri vi

* Sa composante parallèle à l’axe des Z est :

i i i iL m r v ��

k ��

i iv r ��

ir��

iv��

i2

i

2iZ i i i i i i i ii i

b

i i iiL m r v m r mcos 2 sin sinr bb m b

La composante selon l’axe des Z du moment cinétique total du solide en rotation

suivant l'axe Z est :

1z 2z iz nz

2 2 2 2Z 1 1 2 2 i i n n

L L L

i n2

z i ii 1L

L m b m b ....m b ....m L m b Ib

Moment d'inertie d’un solide en rotation (1/2)

Il s'obtient en additionnant, pour chaque particule, le produit de sa masse par le

carré de sa distance à l'axe de rotation :

Le moment cinétique total du système est :

En général n'est pas parallèle à l'axe de rotation puisque les moments cinétiques

individuels qui figurent dans la somme ne sont pas parallèles à cet axe.

On peut montrer que pour chaque corps, quelle que soit sa forme, il y a au moins

trois directions orthogonales pour lesquelles le moment cinétique est parallèle à

l'axe de rotation. Elles sont appelées axes principaux d'inertie, et les moments

d'inertie correspondants sont appelés les moments principaux d'inertie, notés I1, I2,

et I3.

Lorsque le solide a une certaine symétrie, les axes principaux coïncident avec les

axes de symétrie .

1 2 i nL L L ...L .... L ��

L��

i n2

i ii 1

I m b

Moment d'inertie d’un solide en rotation (2/2)

Lorsqu’un corps tourne autour d'un axe principal d'inertie, le moment

cinétique total est parallèle à la vitesse angulaire , qui est toujours dirigée

suivant l'axe de rotation

A la place de l’équation scalaire : Lz = I w, qui est valable pour les composantes Z

suivant l'axe de rotation, nous pouvons écrire la relation vectorielle :

Pour un solide homogène de densité r constante :

Formule des plaques minces

L��

��

L I ��

2 2I b d m b dV

y x

2 2 2 2 2Z z x y

I I

I R dm x y dm x dm y dm I I I

Faites attention lors du calcul des distances par rapport aux axes.

Les distances font toujours intervenir des projections orthogonales.

Formule d’Huygens (ou théorème de Steiner)

I0 = Le moment d'inertie d'un corps tournant autour d'un axe

(O) passant par le point O

IG = Le moment d'inertie du corps par rapport à un axe (G)

parallèle à (O) et passant par le centre d'inertie G

Relation entre I0 et IG ?

2GI b ' d m

2OI b d m

b OP

b

O

' GP

G

��

��

�� 2 2 2b' b b ' 2 .b' b ��

G

2 2 2 2 20

2 20

m I

I b d m b ' 2 . b' d m d m b ' d m 2 .b'd m

I d m b ' d m 2 . b'd m

��

��

0 car z k

0

D'autre part : r ' z k b' . r ' . z k . b ' . b ' . r ' . b'd m . r'd m

��

��

D'où le théorème de Huygens : 20 GI I m

Faites attention lors du calcul desdistances par rapport aux axes.Les distances font toujours intervenir des projections orthogonales

Energétique des solides en rotation

Energie cinétique de rotation

L’énergie cinétique d'un système de particules :

Dans le cas d'un solide tournant autour d’un axe avec une vitesse

angulaire w, la vitesse de chaque particule est : vi = w bi

Cette expression est valable pour tout axe, même s'il n'est pas un

axe principal, car la grandeur de la vitesse est toujours vi = w bi

Lorsque la rotation se fait autour d'un axe principal :

Cas général : le solide tourne autour d'un axe passant par son centre de

gravité + en même temps a un mouvement de translation L’énergie

cinétique « totale » est telle que :

i n2

c i ii 1

1K E m v

2

i n i n2 2 2

c i i i ii 1 i 1

2

I

1 1K E

1K Im v

2m b

2 2

2 2 2

c

1 I LE

2 I 2 I

2 2c CG

1 1E m v I

2 2

Comparaison entre les dynamiques de rotation et de translation

Translation Rotation

Quantité de mouvement : p = m v Moment cinétique (axe principal) : L = I w

Force : F = m a Moment des forces (axe principal) : G = I a

Energie cinétique : Energie cinétique :

Puissance : Puissance :

21Ec M v

2 21

Ec I2

P F . v

P . ��

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