Travaux Pratiques UE55P –Partie1– Ann´ee 2013-2014 · C’est en 1913, que N. Bohr interpr`ete...

Licence Sciences et TechnologieParcours Physique, 3eme annee

Travaux Pratiques

UE55P

– Partie 1 –

Annee 2013-2014

Contact : Sandrine Ferri ([email protected])

PreambuleLes Travaux Pratiques se deroulent dans les salles de Physique pour les L3-Masters du2eme et 3eme etages du Batiment Alfred Perot 1

Les TP sont repartis sur le semestre en 2 blocs de 6 TP. Le premier bloc porte essentielle-ment sur des TP de physique quantique, physique atomique, d’optique et d’electromagnetisme.Les TP de physique statistique, de mecanique et d’electronique seront traites dans ledeuxieme bloc. Au terme de chaque bloc, on demandera un compte-rendu par binomequi sera la synthese de 2 ou 3 TP (suivant les sujets choisis par l’enseignant). Un examensur table completera le controle des connaissances que vous aurez acquises sur les TPdudit bloc.

Les seances de TP durent 4 heures. Il est indispensable de preparer les TP avant laseance. La preparation consiste essentiellement a lire le TP, a repondre aux questionsmarquees par une ! dans le texte, a faire les calculs lies a la theorie si il y en a, arelever les phases d’experimentation et a reflechir aux mesures, aux types d’erreurs lesentachant et a leur traitement. L’experience montre que les groupes d’etudiants n’ayantpas prepare les TP n’ont pas le temps de les faire correctement !

Pour faciliter l’ecriture du compte-rendu, il est aussi indispensable de tenir un cahierde TP dans lequel vous pourrez relever la demarche experimentale, les mesures et leur

1. Jean Baptiste Gaspard Gustave Alfred Perot est un scientifique francais, ne a Metz en 1863 etmort a Paris en 1925.Sorti de l’Ecole polytechnique en 1884, il revient a Nancy e!ectuer sa these dans le laboratoire de ReneBlondlot ou il met deja en uvre des methodes ingenieuses et directes. En 1888, il soutient sa these dedocteur es sciences devant la Faculte des sciences de Paris avec ses travaux sur la determination precisedes constantes thermodynamiques pour le calcul de lquivalent mecanique de la chaleur.En 1888, Perot est nomme maıtre de conferences a la faculte des sciences de Marseille. Avec CharlesFabry, ils inventent l’interferometre a ondes multiples, a lames semi-argentees, o"ciellement denommeinterferometre de Perot-Fabry, mais plus frequemment nomme aujourd’hui interferometre de Fabry-Perot.

analyse ainsi que les remarques des enseignants. Il est tres profitable de montrer a l’en-seignant votre cahier et de discuter des resultats au cours de chaque seance de TP afinde rectifier les incomprehensions et d’obtenir un maximum d’information aidant a laredaction du compte-rendu.

A la fin du fascicule, vous trouverez un formulaire des principales constantes issus duNaval Research Laboratory. C’est une veritable mini-bible des physiciens du plasma. Laversion complete peut etre telechargee a l’adresse suivante :http ://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/

Table des matieres

0.1 DETERMINATION DE LA CONSTANTE DE RYDBERG . . . . . . . . 70.2 NATURE CORPUSCULAIRE ET/OUONDULATOIRE D’UN ELECTRON

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.3 EFFET PHOTOELECTRIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.4 EXERIENCE DE MILLIKAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370.5 INTERFEROMETRE DE MICHELSON - Partie 1 . . . . . . . . . . . . . 400.6 INTERFEROMETRE DE MICHELSON - partie 2 . . . . . . . . . . . . . 43

Universite d’Aix-Marseille - Licence Sciences et Technologie - L3Travaux Pratiques 2013-2014

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0.1 DETERMINATION DE LA CONSTANTE DE RYDBERG

But

A partir des mesures de longueur d’onde des raies de la serie de Balmer du spectre del’hydrogene on estimera la valeur de la constante de Rydberg.

Nota Bene :– La partie decrivant le reglage de l’appareil de mesure et qui est donc a lire et a realiser

avant de commencer la calibration sur le mercure et la mesure sur l’hydrogene estsituee a la fin de cet enonce.

– Le travail d’estimation des incertitudes est crucial dans ce TP, un travail prealable auTP sur ces aspects est absolument necessaire.

Rappel : Les ! dans le texte indiquent les questions auxquelles il faut repondre avantde venir en TP

I. Introduction

Au moment ou naıt la theorie des quanta (fin XIXe siecle), l’emission de lumiere par lesatomes reste incomprise. Dans les annees 1860, des progres importants sont realises parG. Kirchho! et R. Bunsen, professeurs de physique et de chimie respectivement a l’Uni-versite d’Heidelberg, qui decouvrent les spectres optiques atomiques, en introduisant dessels dans la flamme d’un bruleur. Le spectre emis n’avait rien de continu mais presentaitdes raies tres fines correspondant a des longueurs d’onde bien definies. Ils montrerentdonc que les raies apparaissant dans un spectre sont dues a la presence d’un elementdetermine dans la source.

1. Spectre de l’hydrogene

A la meme epoque, de nombreux scientifiques essaient de comprendre les resultats concer-nant les raies emises par l’atome d’hydrogene. Un tube a decharge contenant de la vapeurd’eau est place devant la fente d’entree d’un spectroscope. Sous l’action de la dechargeles molecules d’eau sont dissociees et dans le riche spectre d’emission du tube (spectre debande de la molecule d’eau, raies d’elements parasites, ...) on observe des raies de l’atomed’hydrogene, celles situees dans le domaine visible. La lumiere emise est de couleur rose.Ce rayonnement resulte de la combinaison de quatre raies visibles :– raie rouge appelee raie H! a 6563 A,– raie bleue appelee raie H" a 4861 A,– raie indigo appelee raie H# a 4340 A,– raie violette appelee raie H$ a 4102 A.

Dans le proche ultraviolet, les raies se resserrent et semblent tendre vers une limite au-dela de laquelle commence le spectre continu. Elles sont observees par impression surune plaque photographique.

En 1885, le physicien et mathematicien suisse J. Balmer analyse le spectre visible de

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l’hydrogene et remarque que les longueurs d’onde suivent la loi empirique suivante :

1

!= R(

1

4! 1

p2), (1)

ou R = 109677 cm!1 est une constante (aujourd’hui connue sous le nom de constantede Rydberg) et ou p est un nombre entier tel que p ! 2.

En 1890, J. Rydberg, puis Ritz ulterieurement (1908) generalisent cette relation sous laforme du principe dit de combinaison :

1

!= R(

1

n2! 1

m2), avec m > n, entiers. (2)

C’est en 1913, que N. Bohr interprete cette loi en utilisant le langage des photons. Ene!et le nombre d’onde 1

% est proportionnel a la frequence ", ou encore a l’energie h" desphotons correspondants avec h = 6, 6256 10!34 Js. On a la relation :

h" =hc

!= hcTn ! hcTm (3)

ou Tn = R/n2 et Tm = R/m2 sont appeles termes spectraux et c = 2, 99795 108 ms!1.

Ainsi, la loi de combinaison enoncee plus haut sur les nombres d’ondes s’applique aussibien a l’energie des divers photons qui peuvent etre emis par un meme atome. Si l’onadmet que le processus d’emission s’e!ectue independamment pour chaque atome isole,l’energie h" represente la perte d’energie subie par un atome au cours du processusd’emission ; et la loi generale de conservation d’energie exige alors que :

h" = Ei ! Ef , (4)

en appelant Ei l’etat initial de l’atome avant l’emission du photon et Ef son etat final.

Puisque l’energie d’un photon emis ne peut pas avoir d’autre valeur que la di!erenced’energie entre deux termes spectraux hcTn ! hcTm, on en conclut que l’atome ne peutpas posseder de valeurs d’energie autres que les valeurs hcTn = hcR/n2.

! L’energie emmagasinee par un atome ne peut prendre que certaines valeurs parti-culieres formant une suite discontinue ", telle est finalement l’hypothese faite par Bohrpour expliquer la loi de combinaison de Rydberg-Ritz en tenant compte de l’existencedes photons.

Ainsi, a partir du modele atomique elementaire de Bohr l’energie d’un niveau atomiquen est donnee par :

En = ! e4me

8#20h2

1

n2avec n = 1, 2, 3, ..., (5)

et #0 = 8, 8542 10!12 Fm!1, e = 1, 602 10!19 C, me = 9, 1091 10!31 kg.

Les raies emises correspondent aux transitions entre deux niveaux d’energie (voir figure1), leur energie est donnee par :

h"nm =e4me

8#20h2(1

n2! 1

m2) avec m > n, n = 1, 2, 3, ..., (6)

8


Figure 1: Diagramme d’energie de l’atome d’hydrogene

et "nm la frequence de la radiation observee. On mesure generalement des longueursd’onde et on a la relation : "nm = c

%nmavec c = 2, 99795 108 ms!1.

On obtient finalement :

1

!nm= R(

1

n2! 1

m2) avec R =

e4me

8#20h3c

la constante de Rydberg. (7)

Les series de raies sont associees au niveaux d’energie le plus bas :n = 1 serie de Lyman : les raies sont situees dans l’ultra violetn = 2 serie de Balmer : les raies sont situees dans le visiblen = 3 serie de Paschen : les sont situees dans l’infrarougen = 4 et au dela les raies sont infrarouges

Malgre le succes remarquable de la theorie de Bohr basee sur un modele planetaire, ondut se rendre a l’evidence : elle est incomplete et possede de facheuses limites. En par-ticulier, en examinant les spectres optiques avec une plus grande precision, on s’apercutqu’il existait plus de raies que ne prevoyait la theorie de Bohr : en autre la serie de Bal-mer possede des doublets. Afin d’expliquer cette ! structure fine ", Sommerfeld, en 1916,a"ne la theorie de Bohr en faisant l’hypothese que les electrons suivent des trajectoireselliptiques dont l’un des foyers est confondu avec le noyau. Il definit alors de nouveauxnombres quantiques et propose une nouvelle expression pour le calcul de l’energie desniveaux. Cependant cette avancee ne permet pas d’expliquer le spectre des atomes lourdset il faudra attendre le developpement de la mecanique quantique, au cours du XXemesiecle, pour elucider le mystere de la structure de l’atome.

L’experience proposee dans ce TP consiste a observer le spectre de l’hydrogene a traversun spectroscope constitue d’un goniometre sur la platine duquel un reseau de dif-

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fraction sert de disperseur. La constante de Rydberg sera mesuree experimentalementa partir des mesures des longueurs d’onde des raies de la serie de Balmer.

2. Rappels sur les reseaux de di!raction

La formule generale des reseaux est :

sin$! sin% = kN!, (8)

avec $ l’angle d’incidence, % l’angle de di!raction, k l’ordre du spectre di!racte et Nle nombre de traits su reseau par unite de longueur (on utilise ici un reseau avec N lenombre de traits par milimetre du reseau). Dans le cas d’une incidence normale et dansle premier ordre (k = ±1 ) on obtient : sin% = ±N!. Attention a l’homogeneite de cetteformule, selon la dimension de N vous obtiendrez des longueurs d’ondes en mm, m, µm,...

Figure 2: Schema de la di!raction des rayons lumineux par transmission.

On s’a!ranchit de la determination de la valeur origine des angles en faisant une mesure

de la deviation a droite et une mesure de la deviation a gauche ainsi : % =|$droite!$gauche|

2 .

3. Calibration du reseau

Lors d’une mesure deduite de l’experience, l’une des premieres etapes fondamentalesconsiste a s’assurer de la maıtrise des outils de la mesure. Dans l’experience proposeel’une des premieres incertitudes concerne le nombre de traits du reseau. Il est doncnecessaire de calibrer la mesure et donc de mesurer avec une source dont les raies sontconnues la valeur moyenne et la barre d’erreur sur N .

Commencez donc par placer a l’entree de l’appareil de mesure prealablement regle (cf.Chapitre III. Reglage du goniometre) une lampe a vapeur de mercure (Hg) dont les raiesobservables sont :– un doublet jaune (579,07 et 576,96 nm),– une raie verte a 546,07 nm,– une raie bleue violette a 435,83 nm,– une raie violette a 404,66 nm,– et enfin une raie dans le proche UV a 365,02 nm.Il est envisageable que vous ne voyez pas toutes ces raies, vous devez donc prendre desprecautions quant aux mesures.

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Le but de cette partie introductive est d’estimer la valeur de N , moyennee sur plusieursraies et que doit accompagner une barre d’erreur tenant compte des incertitudes dans ladetermination des angles.

II. Experience et mesures

A l’aide du spectroscope (voir reglage du goniometre ci-dessous) mesurer la longueurd’onde des raies les plus intenses H!, H" , H# situees respectivement dans le rouge, lebleu et le violet. En deduire a chaque fois R, donner la valeur moyenne de R et l’in-certitude sur R et comparer avec la valeur obtenue par le calcul utilisant les valeursactuellement admises des constantes fondamentales.

Vous tiendrez compte dans ces mesures des incertitudes directement deduites des incer-titudes sur les mesures des angles et aussi de l’incertitude reportee de celle entachant laconnaissance parfaite de N , telle que vous l’avez mesuree dans la partie sur la calibrationdu reseau.

III. Reglage du goniometre

Le goniometre est muni d’une lunette pouvant tourner autour d’un axe vertical, saposition est reperable par une lecture sur un cercle gradue (limbe) exactement perpen-diculaire a cet axe. Celui-ci porte un plateau mobile, reglable en hauteur et orientablepar trois vis calantes. On peut faire tourner la lunette autour de l’axe, et le plateau surlui meme de facon independante.

La lunette comme le plateau peuvent etre immobilises par des vis de blocages ; a partird’une position bloquee, de petits deplacements peuvent etre e!ectues au moyen de vismicrometriques.

Un collimateur constitue d’une fente d’entree et d’un objectif est place a hauteur de lalunette. Il est lie rigidement au limbe. La fente peut etre amenee dans le plan focal del’objectif en agissant sur une bague moletee permettant de realiser un faisceau de rayonsparalleles qui intercepte l’axe de rotation du systeme.

La lunette est constituee d’un objectif achromatique, d’un reticule et d’un oculaire. L’en-semble oculaire-reticule est mobile et le reticule peut etre place exactement dans le planfocal de l’objectif en agissant sur une bague moletee. Un dispositif constitue d’une petitelampe et d’un miroir semi-reflechissant situe a l’interieur de la lunette permet d’eclairerle reticule.

1. Reglage a l’infini de la lunette

On regle l’oculaire pour obtenir une image parfaite du reticule, puis on place sur le pla-teau mobile un support portant un miroir. On cherche alors l’image du reticule donneepar le miroir, pour cela il peut etre necessaire de faire tourner la platine et de la basculerautour de l’axe vertical (au moyen des trois vis de positionnement). L’image du reticuleetant obtenue on regle la nettete en faisant varier le tirage de l’objectif au moyen de lamolette jusqu’a obtenir une image nette du reticule et de son image dans le miroir. Cette

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methode de reglage par auto-collimation permet de placer exactement le reticule dansle plan focal de l’objectif.

2. Reglage simplifie de l’othogonalite

On place le plan du miroir le plus exactement parallele a deux des vis de reglage de laplatine ; on observe l’image du reticule donnee par une face du miroir puis celle obte-nue apres une rotation de 180" de la platine par la meme face. A priori le plan de cemiroir et l’axe de la lunette ne sont pas orthogonaux. Le reglage consiste a amener encoıncidence le reticule et son image obtenue dans le miroir. Ces images ne coıncidentgeneralement pas avec le reticule mais en sont situees de part et d’autre. On amene encoıncidence ces images en jouant moitie avec la vis de reglage de la platine permettantle basculement du miroir par rapport a l’axe passant par les deux autres vis, et moitieavec la vis de reglage du basculement de la lunette, puis on tourne la platine de 180" ;on observe alors que l’ecart entre les images et le reticule est reduit. On reprend lereglage precedemment decrit. Apres trois ou quatre rotations le reglage doit etre acheve.La lunette se deplace alors dans un plan parfaitement perpendiculaire a l’axe du systeme.

3. Reglage de la mise au point du collimateur

Le collimateur doit fournir un faisceau de rayons paralleles. Pour cela on cherche l’imagede la fente d’entree du collimateur vue a travers la lunette. Le reglage sera correct lorsque,en agissant sur la bague de reglage du collimateur, la fente sera vue nettement.

4. Reglage des angles

On fait la lecture des angles au moyen d’un oculaire qu’il est necessaire de regler a savue. Le limbe est gradue en degres, une graduation de 60 minutes solidaire de la lunettepermet d’apprecier la valeur de l’angle a 20 secondes pres environ.

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Figure 3: Schema du goniometre et de ses reglages

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0.2 NATURE CORPUSCULAIRE ET/OU ONDULATOIRE D’UNELECTRON

But

Dans ce TP, vous realiserez deux experiences mettant en evidence la nature corpuscu-laire puis ondulatoire des electrons. Vous verifierez la relation de de Broglie, analyserezla structure d’un cristal et enfin, determinerez la distance inter-atomique d’un cristal.


I. Introduction

En mecanique classique le mouvement de particules ponctuelles est decrit en leur as-signant une quantite de mouvement. En mecanique quantique, nous apprenons que lemouvement de particules est egalement decrit par des ondes, les deux points de vue sontlies par la relation de de Broglie :

! = h/p, (9)

ou p est la quantite de mouvement, ! la longueur d’onde, et h la constante de Planck(h = 6, 64" 10!34 J.s = 4, 136" 10!15 eV.s).

Nous allons au cours de ce TP realiser deux experiences mettant successivement enevidence le caractere corpusculaire et le caractere ondulatoire d’un electron. Le caracterecorpusculaire sera verifie en reproduisant (partiellement) les travaux fondateurs de J.J.Thomson (1897). L’analyse d’un faisceau d’electrons generes dans un tube cathodiqueet soumis a une force electrostatique et/ou magnetique, permettant de determiner lacharge e et la masse m de l’electron, ou plus precisement le rapport e/m.

Pour observer un comportement ondulatoire, nous avons besoin d’une sorte de maillageou ”la distance entre fentes” soit de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde. Auxenergies typiques utilisees en laboratoire, la longueur d’onde d’un electron de Broglieest de l’ordre d’un angstrom (10!10 m), ce qui correspond a la taille que presentent lesespacements interatomiques dans les cristaux communs. L’arrangement periodique desatomes d’un cristal est parfaitement adapte pour creer une figure de di!raction d’ondesde matiere, mesurant sa longueur d’onde et verifiant l’equation (9). En prime, lorsquece principe est verifie, les figures de di!raction s’averent etre de puissants outils pourl’etude de structures cristallines.

Dans cette experience, vous utiliserez un tube cathodique avec pour cible un cristal degraphite qui permet d’obtenir une figure de di!raction sur un ecran. Vous verifierez larelation de de Broglie, analyserez la structure du cristal et enfin, determinerez la distanceinter-atomique du cristal.

II. Principe de base

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1. Charge et masse de l’electron

Dans le tube cathodique, dont le fonctionnement est decrit dans l’annexe 1, un electronest accelere par une haute tension V . Son energie et sa quantite de mouvement sont liespar :

E = p2/2m = e ·V. (10)

En l’absence d’interactions exterieures la trajectoire des electrons est rectiligne. L’appli-cation d’une force electrostatique va provoquer une deviation du faisceau genere, l’am-plitude de la deviation pouvant etre reliee a la masse et la charge de l’electron. L’appli-cation conjointe d’une force magnetique adaptee permet d’annuler la deviation induitepar le champ electrique, et de determiner plus precisement le rapport charge/masse del’electron.

2. Longueur d’onde de de Broglie vs. tension

En remplacant la quantite de mouvement dans l’eq. 9, on obtient :

! = h/#2eV m. (11)

! Verifiez que ceci peut etre re-ecrit sous la forme pratique suivante :

!(A) =!151, 3/V (volts). (12)

Ainsi, un electron de 150V a une longueur d’onde de de Broglie de 1 Angstrom dont lesvariations devraient etre inversement proportionnelles a la tension d’acceleration.

3. Distances inter-reticulaires d’un cristal

Un cristal est un arrangement tres regulier d’atomes. La regularite peut etre quantifieeen termes de motifs d’atomes, appeles cellules elementaires, qui sont repetes sur des tresgrandes distances. Aux sommets d’une cellule elementaire, on trouve souvent un atomeet la taille de cette cellule est donc naturellement liee aux distances inter-atomiques ouau parametre de maille d’un cristal que l’on appelle habituellement a.

L’experience de di!raction electronique sera realisee avec un cristal de graphite dontla structure est hexagonale. Pour un cristal hexagonal simple comme le graphite, lereseau est comme indique sur la figure ci-dessous (fig. 4). Les plans (100) et (110) quisont a l’origine respectivement des anneaux interieurs et exterieurs de la figure de dif-fraction electronique sont indiques a droite. Ces plans sont separes par les distancesinter-reticulaire d100 et d110 dont le ratio est d100/d110 =

!(3)/1. Ces espacements ont

ete definis en termes des vecteurs unites a et b avec a = b dans le cas particulier de lastructure hexagonale. Les indices (100), (110), etc sont appeles indices de Miller.

Pour plus de detail, reportez-vous a l’annexe 3.

4. Reflexion de Bragg

Une description rigoureuse de di!raction (electronique) par un cristal commence parla propagation d’une onde plane (electronique), traite chaque atome comme une source

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Figure 4: Cellule elementaire et distance inter-reticulaire du graphite.

individuelle de re-di!usion de cette onde plane en ondes spheriques et resout le problemetridimensionnel de la sommation de l’ensemble des fronts dondes en expansion (propa-gation d’ondes spheriques). La solution standard est une tres interessante et eleganteapplication de la cristallographie et de l’analyse de Fourier. Vous pourrez en apprecierle traitement dans les chapitres 1-2 du Kittel 2, qui partant du probleme de di!ractionelabore une theorie de la structure cristalline, ou encore dans les chapitres 4-6 d’Ashcroftand Mermin 3, qui en s’appuyant sur la cristallographie developpe une analyse de la dif-fraction.

Cependant, comme dans bien des cas, il existe une description basee sur un modele phy-sique simple, qui est facile a comprendre et donne exactement la bonne reponse. Cetteimage a ete formulee par W.H. et W. L. Bragg (le pere et le fils) en 1913, pour expliquerles maxima tres etroits observes a certains angles en reflexion de rayons X par des cris-taux. Pour leurs contributions a l’analyse de la structure cristalline au moyen des rayonsX, W.H et W.L Bragg ont obtenu le prix Nobel de physique en 1915.

Parce qu’elle implique vraiment la nature ondulatoire des di!useurs, l’image de Braggs’applique egalement au cas des electrons. Nous imaginons l’arrangement periodique d’uncristal en termes de plans d’atomes. Chaque plan reflechit l’onde comme un miroir plansimple, avec un angle de reflexion egal a l’angle d’incidence (reflexion speculaire).

La somme des reflexions d’un grand nombre de miroirs paralleles tous separes par lameme distance, d, produira des maxima de di!raction tres intenses quand l’angle entrele rayon et la surface verifie la condition de Bragg :

2dsin& = n!. (13)

En 1927, quatorze ans apres le travail de Bragg avec des rayons X, Davisson et Ger-mer, travaillant aux Bell Labs, ont observe un pic de di!raction intense dans la di!usion

2. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics.3. N. Ashcroft and D. Mermin, Solid State Physics.

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Figure 5: Representation de Bragg de la di!raction d’un cristal vue comme de multiplesreflexions speculaires (Ashcroft et Mermin).

d’electrons par du nickel. La longueur d’onde de ”l’onde electronique”, calculee a partirde la formule Bragg et du parametre de maille du nickel, a confirme la prediction de deBroglie. Ceci a ete verifie peu de temps apres par G. Thompson en Ecosse.

De Broglie a obtenu le Prix Nobel en 1929. Le resultat de Davison etait completementaccidentel (voir note 4 pour l’anecdote). Thompson, qui a verifie que l’electron etait uneonde, etait le fils de J.J. Thompson, qui a decouvert que l’electron etait une particule !Davison et Thompson ont obtenu le Prix Nobel en 1937.

4. La ”methode des poudres”

La representation de Bragg nous dit qu’un rayon de longueur d’onde donnee (i.e. d’energiefixe) arrivant sur un cristal avec le bon angle verra sa reflexion renforcee par une in-terference constructive. La demarche experimentale qui s’impose alors est de mesurerl’intensite en fonction de l’angle. Cependant, etant donne un cristal unique uniforme, leprobleme qui n’est pas si evident est de savoir comment l’on doit proceder pour etre surde sonder tous les angles possibles... Une des facons de le faire est d’avoir un detecteurfixe et de faire tourner le cristal. On pourrait egalement faire varier l’energie du rayon-nement, en esperant rencontrer la bonne longueur d’onde pour une orientation inconnuedu cristal.

Le probleme est habilement contourne par l’idee de Debye et Scherrer d’utiliser unepoudre ou un echantillon polycristallin. Un poly-cristal est un conglomerat d’un grandnombre de petits domaines cristallins, ou chaque domaine est assez grand pour contenir”la vraie” structure cristalline, mais ou tous les domaines sont orientes aleatoirement lesuns par rapport aux autres. (Pourquoi les cristaux se formeraient-ils de cette facon ?)Un faisceau incident arrivant sur un echantillon de ce type trouvera forcement beaucoupde domaines orientes selon l’angle Bragg adapte a son energie.

4. http ://en.wikipedia.org/wiki/Davisson-Germer experiment

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! Reflechissez a cette geometrie simple et convainquez-vous que le lieu ou l’onde est forte-ment reflechie sera un cone avec le demi-angle egal a deux fois l’angle de Bragg.

Cette situation est decrite de facon schematique a gauche dans la figure 6. De plus, cettetechnique permet de projeter naturellement la figure de di!raction, sur un ecran, dontl’enregistrement via une photographie, ou une technique similaire, facilitera l’analyse.

Figure 6: A gauche, la technique de Debye-Scherrer. A droite, une figure de di!ractionobtenue a partir d’un cristal d’or polycristallin (Eisberg et Resnick).

Un maximum de di!raction forme un cercle dans le plan de projection. Ce cercle est labase d’un cone dont le demi-angle est donne par :

$ = 2&Bragg = tan!1(r/L), (14)

ou r est le rayon du cercle et L la distance de l’echantillon a l’ecran. En combinant celaavec la relation de Bragg et en admettant que r $ L, on trouve :

dr/L = n! = nh/#2eV m. (15)

Ainsi, connaissant L et !, la mesure du rayon conduit a d la distance entre les plans deBragg.

La di!raction electronique devient un outil puissant pour mesurer des distances inter-atomiques de cristaux et, comme nous le verrons, les nombreux details de la structurecristalline. Debye a obtenu le Prix Nobel de Physique en 1936.

III. Technique experimentale.

1. Deviation des electrons dans un tube cathodique

a. Physique des tubes cathodiques

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Un tube cathodique (Cathode Ray Tube : CRT) est un tube a vide semblable a ceux quel’on trouve dans de vieux modeles de postes de television, d’ordinateur ou d’oscilloscopes(cf. Fig. 7). Il est constitue d’un filament chau!e (1) qui permet de controler l’emissiondes electrons de la cathode (2) et de plusieurs electrodes (3, 4 et 5) qui correctement pola-risees permettent d’accelerer et de focaliser les electrons sur un ecran electroluminescent(7).

Figure 7: Schema de principe d’un tube cathodique.

La propagation des electrons de la cathode vers l’ecran est rendue possible en polari-sant positivement une electrode, appelee anode (5) entre le filament et l’ecran. C’estprecisement ce potentiel UA de l’anode (% 2000V ) qui va fixer l’energie cinetique deselectrons. Entre la cathode et l’ecran sont egalement placees des electrodes jouant le rolede deflectrices (6) qui vont permettre par l’application d’une di!erence de potentiel UD

de devier le faisceau d’electrons.

b. Action des champs electriques et magnetiques sur les electrons

Les electrons comme toutes particules chargees sont sensibles aux forces electriques (forcede Coulomb) et aux forces magnetiques (force de Laplace). On rappelle que les expres-sions des forces de Coulomb et Laplace sont donnees par :

'FC = q 'E et 'FL = q'v " 'B, (16)

et que la somme de ces deux forces est appelee force de Lorentz.

Nous verrons comment, au travers d’une simple mesure de la deviation (#y), nous pour-rons etudier l’influence respective des champs 'E et 'B sur un faisceau d’electrons devitesse 'v et ainsi atteindre une grandeur physique caracteristique de tout faisceau departicules chargees independamment de leur nature (cf. Fig. 8).

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Figure 8: Representation des champs electrique 'E et magnetique 'B agissant sur unfaisceau d’electrons de vitesse uniforme 'v.

b. Procedure experimentale

! A preparerPour simplifier les calculs, nous ferons les deux approximations suivantes :– la ddp UD appliquee autour du potentiel UA etant petite devant UA nous considererons

que la composante horizontale de la vitesse des electrons ( vx ) est constante.– la taille l de la deflectrice (du moins dans la portion ou le champ est le plus intense)

etant beaucoup plus petite que la distance deflectrice-ecran L nous considererons quela trajectoire des electrons est rectiligne.

1. Exprimez la composante horizontale de la vitesse des electrons a l’entree deselectrodes deflectrices en fonction de la tension d’acceleration UA.

2. En appliquant le premier principe de la dynamique, exprimez la composante ver-ticale de la vitesse (vy) des electrons en fonction de la tension de deflection UD, et

d’un champ magnetique 'B oriente comme sur la figure 8.

3. Decrire les proprietes d’un champ magnetique dans un montage de type bobinesde Helmholtz.

Manipulation :

1. Pour une tension de filament de l’ordre de 7!8V , en utilisant une tension d’accelerationUA = 1800V , et une tension de deflection nulle, regler les tensions du Wenhelt etde la lentille electrostatique afin de focaliser le faisceau d’electrons sur l’ecranelectroluminescent. Relevez precisement la position du faisceau sur l’ecran.

2. On applique maintenant une tension de deflection UD = 20V . Mesurez le deplacementinduit par la force de Coulomb du faisceau sur l’ecran.

3. Que nous apprend ce resultat quant a la nature de la charge de l’electron ?

20


4. En utilisant les expressions definies precedemment, comparez la deflection mesureea la valeur attendue.

5. A l’aide de deux solenoıdes (bobines de Helmholtz), appliquez un champ magnetiqueoriente comme sur la figure 8 afin d’annuler la deflection induite par le champelectrique. Mesurez alors l’intensite du courant parcourant le solenoıde.

6. Dans la meme configuration, mais sans le canon a electrons, mesurer le champmagnetique au centre des bobines en utilisant un teslametre axial.

7. En utilisant les valeurs des champs electriques et magnetiques appliques, estimerle rapport q/m.

8. Comparez ce resultat aux valeurs de q/m des electrons et des protons. Conclure.

2. Di!raction electronique

1. Appareil

Le principe de fonctionnement du tube de di!raction electronique est decrit dans l’annexe1. Les electrons passent au travers d’un echantillon de graphite poly-cristallin (constituede seulement quelques couches moleculaires) depose par evaporation sur une grille decuivre de maille micrometrique. L’echantillon est cristallin sur de tous petits domaines,ce qui donne lieu a une figure de di!raction de poudre constituee de deux anneauxconcentriques autour du spot central sur lcran fluorescent. Voir le diagramme ci-dessous.La distance entre l’echantillon et l’ecran est 2R = 13 cm.

Figure 9: Representation schematique d’un tube cathodique.

2. Procedure experimentale.

! A preparer : Determinez les distances inter-reticulaires d110 et d100 du graphite (voirannexe 3).

Manipulation :

1. Familiarisez vous avec l’appareil, un tube de di!raction electronique PHYWE (voirannexe 2) avec un echantillon de graphite. Une alimentation electrique fournit la

21


haute tension (HT) qui peut aller de 0 et 10 kV . Mettez la haute tension a 0avant l’allumage de l’alimentation. Changez la HT et comprenez qualitativementla reponse du faisceau electronique. Determinez la tension la plus basse pour la-quelle les figures de di!raction peuvent etre obtenues. Mesurez le rayon r des deuxanneaux du graphite pour plusieurs valeurs de la HT. On pourra utiliser un mor-ceau d’adhesif passant par le centre du tube sur lequel on reperera les positionsdu centre et du rayon. Pour eviter un echau!ement excessif de l’echantillon ou lacombustion du phosphore sur l’ecran, veillez a couper la HT lorsque vous n’e!ec-tuez pas de mesures. Vous devrez eteindre les lumieres de la salle afin de voir lesanneaux le plus distinctement possible.

2. Verifiez la calibration de l’indicateur de HT a l’aide d’une sonde adaptee si vousen disposez.

3. Tracez r en fonction V en reportant les incertitudes pour les deux jeux d’anneaux.

4. En deduire les valeurs de d110 et d100 du graphite et estimez leurs incertitudes.

5. Est-ce que les donnees sont compatibles avecR & V !1/2 comme predit par l’equation(15) ?

6. Avez-vous verifie l’hypothese de de Broglie ? Avez-vous observe la nature ondula-toire de l’electron ? Discutez vos resultats.

22

Annexe 1 : Canon à électrons Vous allez utiliser un canon à électrons sous vide, représenté schématiquement ci-dessous :

Ce canon est composé des éléments suivants :

Un filament H, d'où les électrons vont être extraits par émission thermo-ionique. C'est à dire que l'on chauffe un matériau conducteur jusqu'au point où les électrons situé au niveau de Fermi EF du métal gagnent suffisamment d'énergie pour dépasser le travail de sortie du matériau EW et s'échappent alors du filament.

Extraction des électrons du filament : lorsque l'énergie thermique fournie à un électron situé au niveau de Fermi (EF) est supérieure au travail de sortie (EW) du métal, cet électron peut s'échapper du métal.

Un Wehnelt porté à un potentiel négatif G1, réglable. Il a pour but, avec l'anode portée à un potentiel positif G2, de concentrer les électrons émis (à faible vitesse) de la cathode en un point A situé entre l'anode d'accélération et le Wehnelt. L'anode, portée à un potentiel positif, accélère les électrons. Les électrons, repoussés par le pourtour du Wehnelt, se concentrent plus ou moins au point A. Le réglage de la

tension négative du Wehnelt assure une convergence d'un plus ou moins grand nombre d'électrons.

Principe de fonctionnement de l'ensemble Filament / Wenhelt / Anode : les électrons émis par le filament vont être focalisés par les lignes de champ formées autour de l'orifice du Wenhelt, puis accélérés par l'anode La lentille électrostatique qui va jouer deux rôles : accélérer et focaliser le faisceau d'électrons.

Schéma de principe d’une lentille électrostatique La lentille électrostatique est formée par un ensemble de 3 électrodes cylindriques. Elles ont pour but de ramener le faisceau issu du point A en un point A' aussi fin que possible sur l'écran ou l'échantillon de graphite dans notre cas. L'électrode I (l'anode) et l'électrode III sont à un même potentiel positif UA = G3 qui va fixer l'énergie des électrons du faisceau. L'électrode II, intermédiaire, est à un potentiel (positif ou négatif UF = G4 ) différent de UA. L'effet de focalisation est provoqué par les discontinuités du potentiel aux interfaces entre ces 3 électrodes. Le faisceau d'électrons ainsi focalisé va pouvoir traverser l'échantillon de graphite, subir des phénomènes de diffusion avant de venir former une image sur l'écran fluorescent.

LEP5.1.13

-00Electron diffraction

PHYWE series of publications • Laboratory Experiments • Physics • © PHYWE SYSTEME GMBH & Co. KG • D-37070 Göttingen 25113-00 1

Related topicsBragg reflection, Debye-Scherrer method, lattice planes, gra-phite structure, material waves, de Broglie equation.

PrincipleFast electrons are diffracted from a polycrystalline layer of gra-phite: interference rings appear on a fluorescent screen. Theinterplanar spacing in graphite is determined from the dia-meter of the rings and the accelerating voltage.

EquipmentElectron diffr. tube a. mounting 06721.00 1High voltage supply unit, 0-10 kV 13670.93 1High-value resistor, 10 MOhm 07160.00 1Connecting cord, 30 kV, 500 mm 07366.00 1Power supply, 0...600 VDC 13672.93 1Vernier caliper, plastic 03014.00 1Connecting cord, l = 250 mm, red 07360.01 2Connecting cord, l = 250 mm, blue 07360.04 2Connecting cord, l = 750 mm, red 07362.01 2Connecting cord, l = 750 mm, yellow 07362.02 1Connecting cord, l = 750 mm, blue 07362.04 1Connecting cord, l = 750 mm, black 07362.05 2

Tasks1. To measure the diameter of the two smallest diffraction

rings at different anode voltages.

2. To calculate the wavelength of the electrons from theanode voltages.

3. To determine the interplanar spacing of graphite from therelationship between the radius of the diffraction rings andthe wavelength.

Set-up and procedureSet up the experiment as shown in Fig. 1. Connect thesockets of the electron diffraction tube to the power supply asshown in Fig. 2. Connect the high voltage to the anode G3through a 10 M! protective resistor.

Fig. 1: Experimental set-up: electron diffraction.

where d is the spacing between the planes of the carbonatoms and u is the Bragg angle (angle between electron beamand lattice planes).

In polycrystalline graphite the bond between the individuallayers (Fig. 3) is broken so that their orientation is random. Theelectron beam is therefore spread out in the form of a coneand produces interference rings on the fluorescent screen.

The Bragg angle u can be calculated from the radius of theinterference ring but it should be remembered that the angleof deviation a (Fig. 2) is twice as great:

a = 20.

From Fig. 2 we read off

(5)

where R = 65 mm, radius of the glass bulb.

Now, sin 2a = 2 sin a cos a.

sin 2a !rR

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-00Electron diffraction

25113-00 PHYWE series of publications • Laboratory Experiments • Physics • © PHYWE SYSTEME GMBH & Co. KG • D-37070 Göttingen2

Set the Wehnelt voltage G1 and the voltages at grid 4 (G4) andG3 so that sharp, welldefined diffraction rings appear.Read the anode voltage at the display of the HV power supp-ly.To determine the diameter of the diffraction rings, measure theinner and outer edge of the rings with the vernier caliper (in adarkened room) and take an average. Note that there is an-other faint ring immediately behind the second ring.

Theory and evaluationTo explain in the interference phenomenon, a wavelength l,which depends on momentum, is assigned to the electrons inaccordance with the de Broglie equation:

(1)

where h = 6.625 · 10–34 Js, Planck’s constant.

The momentum can be calculated from the velocity " that theelectrons acquire under acceleration voltage UA:

(2)

The wavelength is thus

(3)

where e = 1.602 · 10–19 As (the electron charge) andm = 9.109 · 10–31 kg (rest mass of electron).

At the voltages UA used, the relativistic mass can be replacedby the rest mass with an error of only 0.5%.

The electron beam strikes a polycrystalline graphite film depo-site on a copper grating and is reflected in accordance withthe Bragg condition:

2d sin u = n · l, n = 1, 2, … (4)

l !h22me · UA

12

mv2 !p2

2m! e · UA

l !hp

Fig. 2: Set-up and power supply to the electron diffractiontube.

Fig. 3: Crystal lattice of graphite.

Fig. 4 : Graphite planes for the first two interference rings.

Annexe 3 : Quelques rudiments de cristallographie Sur la droite de la figure 3, est présentée une figure de diffraction obtenue à partir d’un polycristal d’Or. La prédiction d'une figure de diffraction circulaire est correcte, mais il y a beaucoup de maximums. Nous devons conclure qu'il y a beaucoup de plans de Bragg différents avec des espacements différents. En fait, ceci est une conséquence simple du fait que pour une structure de réseau donnée, il y a beaucoup de façons pour "dessiner des plans". Un exemple de structure cubique à deux dimensions, de paramètre de maille a, est présenté dans la figure ci dessous. Au delà des évidentes rangées "horizontales et verticales" de la Fig. 2, nous pouvons dessiner un jeu de plans où chaque atome est à "2 x a" selon -y et "1 x a" selon x de son voisin. La distance entre ces plans diffère de la distance entre atomes, menant à un angle Bragg différent et ainsi un rayon d'anneau différent comparé à la situation présentée dans la figure 2. Chacune des nombreuses autres façons de tracer des plans ("2 x a" selon x et "2 x a" selon y, etc.) mène à une distance d différente, un cercle différent et à finalement obtenir la figure de diffraction assez complexe de la figure 3.

Plans de Bragg dans un « cristal cubique bidimensionnel » et son vecteur perpendiculaire u dont les coordonnées numériques dans le repère (a1, a2) sont ses indices de Miller. La version tridimensionnelle du réseau de la figure 2 est appelée un réseau cubique simple sachant qu’il existe deux autres réseaux cubiques : le cubique centré et le cubique à face centrée (Fig. suivante). On trouve dans la nature 7 systèmes cristallins (cubique, quadratique, hexagonal, etc.) se déclinant en 14 réseaux dit de Bravais (simple, centré, base centrée, face centrée) se distinguant chacun par des combinaisons d’éléments de symétrie qui leurs sont propres [réf.1]. De plus, il existe un grand nombre d’arrangements cristallins (hexagonal compact, diamant, etc.) et la possibilité de mélanger différentes espèces atomiques (menant à autant de modèles périodiques) fait que les possibilités "de dessiner" des plans Bragg sont différentes dans toutes ces structures et la diffraction électronique (ou de rayons X) s’avère être une méthode de choix pour les comprendre et les distinguer.

La compréhension de la correspondance physique entre une figure de diffraction et la structure d’un cristal exige un formalisme pour décrire le réseau cristallin. Le traitement minutieux de ce problème est un exercice mathématique fascinant, la base de cristallographie et le point de départ de la physique du solide.

Cellules unités du système cristallin cubique : cubique simple, cubique centré et cubique à faces centrées (Kittel) Pour cela, nous disposons d’une construction et d’une terminologie issue de la cristallographie. Nous sommes intéressés par la détermination des plans de Bragg et de la distance entre eux. Considérons la représentation bidimensionnelle de la Fig. 4 où la cellule unité de ce réseau est un carré de côté a dont les vecteurs de base sont a1 et a2. Les plans de Bragg, décrits dans la figure 4 par "2xa" selon -y et "1xa" selon x, seront repérés par le vecteur normal1 u = 2xa1 + 1xa2 et notés (2,1). Les chiffres 2 et 1 sont appelés des indices de Miller. A trois dimensions, les indices de Miller pour un plan de Bragg sont le jeu d'entiers (h, k, l) les plus petits indiquant la direction du vecteur normal dans la base définie par a1, a2 et a3. On montre quelques exemples pour le réseau cubique simple ci-dessous.

Figure 6 : quelques plans de Bragg du système cubique simple (Kittel) Au delà de la détermination de la distance d entre plans, cette indexation des plans de Bragg est largement utilisée dans l’analyse des intensités diffractées. La solution générale à ce problème qui est un exercice élégant combinant la symétrie du cristal et l'analyse de Fourier est discutée en détails dans le second chapitre du Kittel [réf.1].

1 Le vecteur normal, u, est un élément du réseau réciproque. Un maximum d'interférence se produira si le changement du vecteur d’onde électronique !k est un vecteur du réseau réciproque! Voir Kittel.


0.3 EFFET PHOTOELECTRIQUE

But

Ce TP a pour but de demontrer la nature corpusculaire de la lumiere, et de deduire desmesures une estimation de la constante de Planck, qui fixe la relation de proportionnaliteentre l’energie et la frequence d’un quantum de lumiere.


I. Petite introduction historique

En 1839, une experience d’Antoine Becquerel et de son fils Alexandre Edmond Becque-rel, presentee a l’Academie des Sciences, permet d’observer pour la premiere fois que sion illumine une electrode d’un dispositif compose de deux electrodes identiques plongeesdans un electrolyte , il peut apparaıtre une di!erence de potentiel (ou tension electrique)entre ces deux electrodes d’environ 1mV. Puis en 1887, Heinrich Hertz demontre que lalumiere ultraviolette provoque l’emission d’electrons a partir d’une surface metalliquecomme le zinc.

En 1905, Albert Einstein proposa une explication de cet e!et en utilisant le concept departicule de lumiere (que nous appelons aujourd’hui le photon) et de quantum d’energie(qui avait ete introduit par Max Planck dans son modele des proprietes d’emission d’uncorps noir). Dans son explication, le phenomene d’emission d’electrons par un materiauetait provoque par l’absorption de photons. C’est cette decouverte qui lui valut le prixNobel de Physique en 1912. Einstein lui-meme considerait que, si la relativite etaitinteressante d’un point de vue conceptuel, les idees concernant l’e!et photoelectriqueetaient revolutionnaires. En e!et, l’e!et photoelectrique balayait la theorie classique,vieille de plusieurs siecles, representant la lumiere comme une onde, et etait un argu-ment fort en faveur de la mecanique quantique en plein developpement a cette epoque.

II. Procedure experimentale

D’un point de vue purement experimental, les di!erentes observations et mesures ontmenees aux conclusion suivantes :– Les electrons ne sont emis que si la frequence de la lumiere est su"samment elevee et

depasse une frequence limite appelee frequence seuil.– Cette frequence seuil depend du materiau.– Le nombre d’electrons emis lors de l’exposition a la lumiere (et donc le courant

electrique genere) est proportionnel a l’intensite de la source lumineuse.– L’energie cinetique des electrons emis depend lineairement de la frequence de la lumiere

incidente.Ces observations sont basees sur la mesure de courants electriques, et bien entendu surla mesure de l’energie cinetique des electrons. Comment realiser de telles mesures ?Si l’on irradie une plaque metallique, il va falloir fournir une certaine quantite d’energiea un electron pour l’arracher au metal, cette quantite d’energie represente le travail

29


de sortie du metal W . Si l’energie fournie a l’electron vaut exactement W (ou si lafrequence lumineuse vaut la frequence seuil), alors celui-ci sera arrache au metal avecune energie cinetique nulle. Si l’energie fournie E excede W (la frequence lumineuseexcede la frequence seuil) alors l’energie cinetique de l’electron

1

2mv2 = E !W (17)

sera non nulle. L’electron pourra alors se deplacer hors de son electrode de depart.

Figure 10: E!et photoelectrique : des electrons sont ejectes d’un metal. L’energienecessaire est fournie par l’absorption de lumiere (source Wikipedia).

Imaginons maintenant deux plaques metalliques en vis a vis, reliees electriquement, l’uned’elle etant eclairee par une lumiere de frequence superieure a la frequence seuil. Si deselectrons sont arraches a la plaque eclairee et peuvent rejoindre la deuxieme plaque (cesera le cas si l’experience est realisee sous vide, condition sous laquelle les electronspeuvent voyager sur des distances su"samment longues), un courant electrique net seragenere. Ce courant pourra etre mesure si l’on dispose d’un amperemetre su"sammentsensible.La mesure de l’energie cinetique n’est pas beaucoup plus compliquee. En e!et si leselectrons sont ejectes avec une energie cinetique non nulle, du fait de leur charge electriquee, l’application d’une di!erence de potentiel V entre les deux electrodes va empecher leselectrons d’atteindre l’electrode chargee negativement (et donc l’etablissement du cou-rant photoelectrique) si :

eV ' 1

2mv2max, (18)

v2max etant la vitesse maximale des electrons emis. Il est donc aise de determiner aucours d’une experience l’energie cinetique des electrons si l’on dispose d’un amperemetreet d’une source de tension.On peut imaginer un dispositif experimental un peu di!erent, ou les deux plaques nesont plus reliees que par l’intermediaire d’un voltmetre (dont on supposera l’impedanceinfinie). Dans ce cas le dispositif peut-etre assimile a un condensateur de capacite C.Chaque electron qui va rejoindre l’electrode de collection va creer une di!erence de po-tentiel e/C, lorsque N electrons auront rejoint, une di!erence de potentiel V va s’etablir

V =N.e

C(19)

30


ce potentiel aura pour valeur limite

V =1

e.1

2mv2max (20)

et donnera une mesure de l’energie cinetique des electrons extraits de l’electrode illu-minee.

1. Comportement classique attendu

La theorie classique de la lumiere ne definit pas de limite a ce potentiel d’arret au coursde l’experience. Si de l’energie est continuellement absorbee par la plaque irradiee, etest communiquee a ses electrons, ils doivent pouvoir s’echapper a un moment ou a unautre, independamment de la di!erence de potentiel qui s’oppose a leur mouvement. Sil’on appelle #N le nombre d’electrons qui voyagent entre les deux electrodes durant unintervalle de temps #t, alors #N est egal a la quantite d’energie fournie aux electronspendant cet intervalle de temps divisee par l’energie necessaire a un electron pour fairele trajet entre les electrodes

#N = (P.#t!W.#N)/(e.V ), (21)

ou P est l’energie deposee par la lumiere incidente sur l’electrode par unite de temps(en d’autres termes, la puissance), W la quantite d’energie necessaire a la liberationd’un electron de l’anode (ce que nous appelons le travail de sortie du materiau), et V ladi!erence de potentiel entre electrodes. Pour un #t infiniment petit

dN

dt=

P

e.V +W. (22)

De plus, C.V = e.N , ou N est le nombre total d’electrons ayant atteint l’electrode decollection, et C la capacite entre les 2 electrodes. En integrant l’equation precedente (enposant N(t = 0) = 0) on obtient :

WN +e2.N2

2.C= P.t (23)

d’ou l’on deduit (en introduisant V = e.N/C et en resolvant l’equation d’ordre 2) :

V = !W

e±

"W 2

e2+ 2.C.P.t (24)

que l’on peut approximer par :V =

#2.C.P.t, (25)

si l’on suppose que W est negligeable devant l’energie totale deposee par la lumiere in-cidente. On voit donc que V est proportionnel a t1/2 et egalement a la racine carree del’intensite incidente (puisque l’energie des ondes lumineuses est proportionnelle a l’in-tensite lumineuse).

2. Comportement quantique

L’energie d’un quantum de lumiere, un photon est donne par la relation E = h." ou "est la frequence du photon et h la constante de Planck. Comme la lumiere est constitue

31


de paquets discrets, un electron ne peut interagir et n’etre ejecte de l’electrode que parun photon unique qui va lui communiquer son energie sous forme d’energie cinetique.Ainsi, si l’energie du photon est finie, celle de l’electron le sera aussi.

1

2m.v2 ( h.". (26)

Cela signifie qu’au cours de l’experience decrite precedemment, lorsque su"sammentd’electrons auront atteint l’electrode de collection, la di!erence de potentiel V sera tropimportante pour permettre a de nouveaux electrons de l’atteindre. Cette condition seraatteinte lorsque

h." = e.Vmax +W, (27)

et donc que

Vmax =h."

e! W

e, (28)

Cela signifie donc que si la frequence est constante, ce potentiel sera constant, independammentde l’intensite lumineuse absorbee. De plus comme Vmax = N.e/C, ce potentiel d’arret nedepend pas de la rapidite du deplacement des electrons d’une electrode a l’autre, maissimplement de leur nombre. Une variation d’intensite lumineuse (a frequence constante)n’a!ectera que la vitesse d’emission des electrons, et n’aura donc pas d’influence sur lavaleur Vmax.

III. Mise en evidence de l’e!et photoelectrique

Vous allez utiliser deux sources lumineuse monochromatiques, des diodes lasers dans lerouge et dans le vert. Faire diverger le faisceau a l’aide d’une lentille, de telle sorte que latache resultante recouvre correctement l’entree du detecteur, un phototube tel que celuirepresente sur la figure 11, dont la photocathode est en sulfure de plomb.

Figure 11: Un phototube du commerce : la photocathode est l’electrode semi-cylindrique, l’electrode de collection est situee en vis a vis. Le dispositif est enfermedans une ampoule sous vide pour permettre le deplacement des electrons.

Pour les deux longueurs d’ondes disponibles vous allez mesurer Vmax pour le faisceaulibre, puis vous realiserez la meme mesure en disposant un filtre attenuateur sur le trajetoptique.

32


Ces quatre mesures permettent-elles de mettre en evidence l’e!et photoelectrique ?

IV. Estimation de la constante de Planck

Figure 12: Diagramme d’energie pour les electrons d’une photopile illuminee et pola-risee par une di!erence de potentiel U0.

Le diagramme d’energie de notre photopile est represente sur la figure 12. Les electronssont extraits de la cathode et peuvent etre collectes par l’anode tant que V < Vmax. Ala sortie de la cathode leur energie cinetique Ec vaut :

Ec = h." !WC . (29)

Les electrons pourront ensuite atteindre l’anode si Ec est superieure a l’energie qu’ilsperdent en remontant le champ electrique cree par la di!erence de potentiel V plus unchamp electrique inconnu cree par ce que nous appelerons le potentiel de contact entrel’anode et la cathode (WA !WC sur la figure 12). Ce dernier a la meme direction queV . Ce potentiel de contact est calcule d’apres les potentiels electrochimiques de l’anodeVA et de la cathode VC . Ces potentiels multiplies par la charge de l’electron donne lestravaux de sortie des 2 electrodes WA et WC . A Vmax nous avons

Ec = e(Vmax + VAC) = e.Vmax +WA !WC . (30)

A partir de ces relations nous pouvons calculer la constante de Planck avec l’equation :

Ec = e.Vmax +WA !WC = h." !WC (31)

d’ou

e.Vmax = h." !WA ) Vmax =h."

e! VA (32)

comme VA est une constante, la representation Vmax = f(") est lineaire, et sa pente vauth/e.Le protocole experimental de cette mesure que vous allez realiser a l’aide d’une lampespectrale au mercure (les raies de cette lampe sont reportees dans la table 1) figure enannexe de ce document. Comme dans le cas de la mesure precedente vous veillerez a ceque la raie analysee a la sortie du reseau de di!raction recouvre le plus completementpossible l’entree du photodetecteur.

33


longueur d’onde (nm) couleur intensite404,66 violet407,78 violet faible435,83 indigo491,60 vert chou faible546,07 vert jaune576,96 jaune579,07 jaune

Table 1: Spectre etalonne d’une lampe spectrale au mercure

1. Pour une longueur d’onde, realisez une mesure de Vmax a la lumiere et dans l’obs-curite. Commentez les resultats obtenus

2. Realisez les mesures de Vmax pour les di!erentes raies de la lampe

3. Tracez Vmax = f(")

4. En deduire une estimation de la constante de Planck

5. Discutez l’ecart a la valeur tabulee de h, quelles peuvent etre les sources d’erreurs ?

34

LEP5.1.05

-01

Planck’s “quantum of action” from the photoelectric effect(line separation by defraction grating)

PHYWE series of publications • Laboratory Experiments • Physics • © PHYWE SYSTEME GMBH & Co. KG • D-37070 Göttingen 25105-01 1

Related topicsExternal photoelectric effect, work function, adsorption, pho-ton energy.

PrincipleA photocell is illuminated with monochromatic light of differentwavelengths. Planck’s quantum of action, or Planck’s constanth, is determined from the photoelectric voltages measured.

EquipmentPhotocell, for h-det., w. housing 06778.00 1Diffraction grating, 600 lines/mm 08546.00 1Colour filter, 580 nm 08415.00 1Colour filter, 525 nm 08414.00 1Diaphragm holder, attachable 11604.09 2Slit, adjustable 08049.00 1Lens holder 08012.00 2Lens, mounted, f = +100 mm 08021.01 1Mercury high pressure lamp 80 W 08147.00 1Screened cable, BNC, l = 300 mm 07542.10 1Connecting cord, l = 250 mm, red 07360.01 1Connecting cord, l = 250 mm, blue 07360.04 1Lamp holder E 27, on stem 06176.00 1Power supply for spectral lamps 13662.97 1Universal measuring amplifier 13626.93 1Digital multimeter 07134.00 1

Optical profile bench l = 60 cm 08283.00 2Base f.opt.profile-bench, adjust. 08284.00 3Turning knuckle f. opt. prof.-bench 08285.00 1Slide mount f. opt. pr.-bench, h = 80 mm 08286.02 4

Set-up and procedureFig. 1 shows the experimental set-up. Place the mercuryvapour lamp and the photocell at the respective ends of theoptical bench. Place the diffraction grating into a diaphragmholder, and mount it in the turning knuckle with the aid of alens holder. Position the slit at approximately 9 cm. Using theconvex lens (located at approximately 20 cm), sharply focusthe slit on the location of the photocell’s entrance diaphragm.Select the slit width such that the width of the slit image isapproximately 1 cm. For better control, fix a strip of typingpaper which is approximately 3 cm wide above the entrancediaphragm with transparent adhesive tape. With its help, theotherwise invisible UV lines can be seen due to the slight flu-orescence of the paper.

By turning an arm of the optical bench, superimpose thecoloured slit images successively on the entrance diaphragmand after several seconds determine the corresponding,stable voltage levels. To avoid having the UV fractions fromsecond order diffraction falsify the measured values for the

Fig. 1: Experimental set-up: Planck’s “quantum of action” from the photoelectric effect (line separation by defraction grating).

LEP5.1.05

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Planck’s “quantum of action” from the photoelectric effect(line separation by defraction grating)

25105-01 PHYWE series of publications • Laboratory Experiments • Physics • © PHYWE SYSTEME GMBH & Co. KG • D-37070 Göttingen2

yellow and red spectral lines, place colour filters in front of theentrance diaphragm with the aid of an attachable diaphragmholder (525-nm coloured glass for the yellow spectral line and580-nm coloured glass for the red spectral line)

Before each measurement, discharge the entrance capacitorof the measuring amplifier and check its zero point with thediaphragm closed. When the measuring amplifier has beenswitched on for approximately ten minutes, it is ready to use.The setting parameters of the measuring arrangement are asfollows:

Measuring amplifier:– Electrometer = Re > 1013 !

– Amplification = 10°– Time constant = 0

Voltmeter: 2 V DC

Theory and evaluationHalf of the inside of the high-vacuum photo-cell is metal-coat-ed potassium-cathode. The anular anode is opposite thecathode.

If a photon of frequency f strikes the cathode, then an elec-tron can be ejected from the metal (external photoelectriceffect) if there is sufficient energy.

Some of the electrons thus ejected reach the (unilluminated)anode so that a voltage is set up between anode and catho-de, which reaches the limiting value U after a short (charging)time. The electrons can only run counter to the electric fieldset up by the voltage U if they have the maximum kinetic ener-gy, determined by the light frequency,

(Einstein equation)

where A = work function from the cathode surface, n = elec-tron velocity, m = rest mass of the electron.

Electrons will thus only reach the anode as long as their ener-gy in the electric field is equal to the kinetic energy:

with e = electron charge: 1.602·10-19 As.

Fig. 2: Voltage of the photo-cell as a function of the frequencyof the irradiated light.

An additional contact potential f occurs because the surfacesof the anode and cathode are different:

If we assume that A and f are independent of the frequency,then a linear relationship exists between the voltage U (to bemeasured at high impedance) and the light frequency f:

If we assume U = a + bf to the values measured in Fig. 2 weobtain:

h = (6.7 ± 0.3) · 10-34

Literature value: h = 6.62 · 10-34 Js.

U " #1A $ f 2

e$

he

f

eU $ f "m2

n2

eU "m2

n2

hf # A " m2

n2


0.4 EXERIENCE DE MILLIKAN

But

La manipulation a pour but de refaire d’une maniere simplifiee l’experience historiquepar laquelle Millikan, en 1909, a determine la valeur exacte de la charge ”e” de l’electron.Elle consiste a etudier le mouvement d’une gouttelette d’huile chargee, soumise au champelectrique d’un condensateur plan.

I. Principe

On etudie le mouvement d’une gouttelette d’huile chargee, soumise au champ electriqued’un condensateur plan. Soient a le rayon de la goutte, m sa masse telle que m = 4

3(a3),

q sa charge, v sa vitesse de chute, V la di!erence de potentiel entre les armatures ducondensateur, d la distance des armatures du condensateur, E = V/d le champ electriquea l’interieur du condensateur, ) la masse specifique de l’huile () = 800kg/m3), )# lamasse specifique de l’air ()# = 1, 29kg/m3) et n le coe"cient de viscosite de l’air (n =18.10!6Ns/m2).Les forces qui s’exercent sur la goutte sont :

1. son poids = 43(a

3)g,

2. la poussee d’Archimede due a l’air = 43(a

3)#g,

3. la force due a la resistance de l’air = 6(nav,

4. la force electrostatique = qE.

L’equation du mouvement de la spherule est donc (en prenant un axe de reference verticaldescendant) :

mdv

dt=

4

3(a3()! )#)g ! qE ! 6(nav, (33)

qui a pour solution, pour une vitesse initiale nulle :

v =43(a

3()! )#)g ! qE

6(na(1! exp!

6!nam t). (34)

Le coe"cient de t dans l’exponentielle etant tres grand, celle-ci devient negligeable aubout d’un temps court (de l’ordre de 10!4s) et l’on peut admettre que la goutte acquiertinstantanement sa vitesse limite :

v =43(a

3()! )#)g ! qE

6(na. (35)

Dans cette relation les deux seules inconnues sont q et a, si l’on mesure v et E.

Les equations necessaires seront obtenues de la facon suivante :

1. E = 0On mesure le vitesse limite de la chute libre de la goutte dans l’air :

v =43(a

3()! )#)g

6(na=

2

9· a

2()! rho#)g

n. (36)

37


2. v = 0On immobilise la goutte par l’action d’un champ electrique calculable :

4

3(a3()! )#)g = qE, (37)

d’ou l’on tire :

a = 3

"nv

2()! )#)get q = 6(nanv

d

V. (38)

II. Description de l’appareil

ll se compose de deux parties : l’appareil proprement dit qui comprend, montes sur unmeme socle : le condensateur plan, un microscope a oculaire micrometrique, le nebuliseurd’huile, le systeme d’eclairage. Le generateur a voltmetre incorpore qui delivre une ten-sion continue reglable de 0 a 600 Volts. Il fournit egalement le courant necessaire a lalanterne d’eclairage, le condensateur est constitue de deux plaques d’alliage leger parfai-tement dressees et distantes de 6 mm. Il est parfaitement isole par une plaque de base enmatiere plastique et un capot de plexiglas. Il est facilement amovible et se monte sur lesupport par une goupille et un ergot de centrage. Deux trous lateraux perces dans le capotlaissent le passage aux fiches bananes permettant de connecter les plaques du conden-sateur au generateur. Le capot est egalement perce de deux petits trous par lesquelsentrent les gouttelettes d’huile obtenues en pressant vivement la poire du nebuliseur ;certaines se chargent par frottement.

Figure 13: Schema de principe.

Le microscope, fixe sur le meme support, a un objectif a long foyer qui permet de viser,a travers un verre plan serti dans le capot, les gouttelettes d’huile qui tombent selonl’axe du condensateur et se detachent comme des points brillants sur fond sombre. Sonoculaire possede un reticule. Le systeme d’eclairage est egalement fixe sur le support, ilcomprend une lanterne et une optique. Cet ensemble est fixe sur un socle par une tigetelescopique permettant de mettre le microscope a hauteur convenable. Le generateurdelivre une tension continue reglable de 0 a 600 volts par un potentiometre. Il est munid’un voltmetre. Un voyant lumineux indique que l’appareil est sous tension. Deux borneslaterales fournissent la tension de 6 volts necessaire a la lanterne.

38


III. Manipulation

Determiner le grandissement du microscope en nombre de graduations du reticule parmillimetre. Pour cela, retirer le condensateur de son support en le tirant vers le haut ;la goupille de centrage est percee d’un trou dans lequel on va poser la tige de l’echellemicrometrique.

Regler le tirage de l’oculaire pour voir nettement le reticule qui est a l’interieur puis, enagissant sur le bouton de la cremaillere, regler le microscope pour voir nettement l’echellemillimetrique. Superposer les graduations (le microscope peut tourner d’un petit angleautour de son axe de fixation). Definir l’incertitude.

Remettre le condensateur a sa place. Connecter les douilles rouge et bleu du generateuraux plaques haute et basse du condensateur. Connecter la prise de courant de la lanterneaux bornes marquees 6V et allumer la lanterne. Sans polariser les armatures, vaporiserdes gouttes et les observer.

Quand le mouvement tourbillonnaire a cesse, mettre la tension et reperer la ou les gouttesqui sont freinees par le champ electrique. Retenir celle que l’on parvient a immobiliseravec une tension convenable.

La profondeur de champ du microscope est faible et l’on peut observer les gouttes enavant ou arriere de la zone initialement visee en modifiant legerement le reglage du mi-croscope par le gros bouton molete.

Si la goutte choisie est sur le bord du champ, on peut l’amener au centre en tournantun peu le microscope.

Noter la tension permettant d’immobiliser parfaitement la goutte.

Couper la tension et declencher simultanement un chronometre. Mesurer le temps mispar la goutte reperee pour franchir un certain nombre de graduations du micrometreoculaire.

Calculer la vitesse de chute compte tenu du grandissement de l’objectif du microscope.

En deduire la charge de la goutte.

Faire un grand nombre d’ experiences avec plusieurs gouttes. Placer les resultats sousla forme d’un histogramme. Constater que les valeurs trouvees mettent en evidence lanature discontinue de la charge electrique.

Remarque : pour de meilleurs resultats, choisir de petites gouttes.

39


0.5 INTERFEROMETRE DE MICHELSON - Partie 1

But

A partir d’un interferometre de Michelson mesurer la di!erence de longueur d’onde entreles composantes du doublet jaune du sodium.


I. Principe de l’interferometre

Le Michelson est un interferometre a separation de faisceaux, les deux bras portent desmiroirs plans, orientables, et sont situes symetriquement par rapport a la separatrice(Sp), l’un des miroirs est monte sur un chariot mobile dont le deplacement est assurepar une vis micrometrique. Une lame ”compensatrice” (Cp) est placee dans un des brasafin de rendre possible l’egalite des trajets optiques.

Figure 14: Description sommaire de l’interferometre.

! Montrer la necessite de disposer une lame compensatrice dans un bras du Michelson.Faites pour cela le calcul de la di!erence de chemin optique entre les deux bras avec etsans la lame compensatrice. Que constatez-vous ?

! Vous allez observer des figures d’interferences en sortie du Michelson : decrire prealablementau TP les deux types de figures que vous allez observer en expliquant leur provenanceet en precisant leur localisation.

! duree conseillee pour la partie reglage : 3/4 d’heure

1. Pre-reglage de l’interferometre

40


1. Les vis V21 et V22 qui permettent de regler l’orientation du miroir fixe M2 agissentsur des lames d’acier qui transmettent une contrainte reglable au support du miroirM2. Commencer par agir sur les vis V21 et V22 de facon a ce que les deux lamesd’acier soient a peine cambrees.

2. Verifier que separatrice (Sp) et compensatrice (Cp) sont sensiblement paralleles.Si ce n’est pas le cas, on peut obtenir un parallelisme approche par action sur lebouton molete B2 .

3. Verifier que M1 et M2 sont sensiblement symetriques par rapport a Sp. Si ce n’estpas le cas, agir sur le bouton molete B1 qui assure la translation de M1.

2. Reglage de l’interferometre a l’aide de la lampe a vapeur de mercure

1.! On dispose d’une source a vapeur de mercure qui eclaire un petit trou perce dansune plaque d’aluminium et d’une lentille convergente. Le trou est place, par auto-collimation, au foyer de la lentille. On obtient un faisceau de rayons parallelesqui tombe normalement sur le miroir M1.

2. Dans la direction visee, on voit deux series d’images du trou. En agissant surl’orientation de la compensatrice, on ramene chacune de ces 2 series a une imageunique. On a donc deux images du trou.

3. On superpose ces deux images en agissant sur les vis V11 et V12 de reglage du miroirmobile M1. On apercoit alors des franges d’interferences dans l’image unique ainsiobtenue.

4. On eclaire le Michelson avec une source etendue : supprimer la lentille et le trou,rapprocher la source du Michelson et interposer, entre les deux, un ecran translu-cide. On apercoit alors, dans tout le champ de visee, une figure d’interferences (engeneral mal definie et peu visible).

5. En agissant sur les vis V11 et V12, ameliorer progressivement la visibilite de lafigure d’interferences jusqu’a obtenir des anneaux bien visibles dont l’aspect semodifie tres peu lorsque, regardant toujours les anneaux, on deplace la tete soithorizontalement soit verticalement.

6. On peut alors (et alors seulement) utiliser les vis de reglage fin V21 et V22 dumiroir fixe. Le reglage est bon lorsque l’aspect des anneaux reste le meme lorsqueon deplace la tete, comme indique en (5.).

II. Mesures

1. Mesure de l’ecart en longueur d’onde du doublet jaune du sodium

! duree conseillee pour cette partie : 3/4 d’heure pour les mesures et 1/2 heure pourl’analyse des resultats

Lorsqu’on eclaire un dispositif a deux ondes, avec deux raies voisines de longueurs d’onde!1 et !2 telles que D% = |!1 ! !2| $ !m ou !m = (!1 + !2)/2 (avec !m = 589, 3 nm), lavisibilite du systeme d’anneaux est modulee sinusoıdalement en fonction de la di!erencede marche * :

V (*) = |cos((*D&)| ou + = 1/! et D& = |+1 ! +2|. (39)

41


La visibilite s’annule pour * = (2k + 1)/2D& avec k entier.

! Lorsque l’on fait varier *, on observe donc successivement des anneaux tres visibles :V (*) * 1 (systemes d’anneaux en concordance) et des anneaux tres peu visibles :V (*) * 0 (systemes d’anneaux en discordance ou intercales). Le contraste de ces frangesdecroıt avec *, expliquez pourquoi ceci est du a la largeur spectrale non nulle des deuxraies.

On repere sur la vis micrometrique de translation de M1, la position d’une discordancequelconque (k = k0 ), puis on fait varier *, en comptant les discordances. A la dixieme(k = k0 + 10), on repere a nouveau la position de M1. Si D est le deplacement de M1

entre les discordances k0 et k0 + 10, on a :

2D = 10/D&,

! d’ou l’on en deduit D& et donc D%.

! On e!ectuera plusieurs series de mesures (au moins 5), afin dobtenir une valeur moyenneet un ecart type. Le resultat sera donne sous la forme : < D% > ±E.T (D%) ou E.T (A)est l’ecart type sur A.

! De maniere a ameliorer la precision, on fera attention de rattraper le jeu dela vis micrometrique en la deplacant toujours dans le meme sens pour uneserie de mesure.

42


0.6 INTERFEROMETRE DE MICHELSON - partie 2

But

A partir d’un interferometre de Michelson mesurer les longueurs de coherence de di!erencessources de lumiere.


I. Principe de l’interferometre

Reprendre l’enonce TP Interferometre de Michelson : partie 1

II. Mesures

2. Mesure de la longueur de coherence temporelle

L’interferometre de Michelson est l’un des outils les plus pertinents pour estimer la lon-gueur de coherence des sources de lumieres.

Il existe deux types de coherence utilisee dans la description des sources de lumieres.

La premiere et la plus simple a saisir est appelee coherence temporelle. Elle se quantifiepar la donnee d’une longueur : appelee longueur de coherence. Qualitativement, on peutse representer cette longueur de coherence comme la longueur au bout de laquelle lalumiere ne contient plus d’informations pertinentes sur la lumiere emise precedemment.Longueur et temps de coherence sont liees par la vitesse de la lumiere.

Le deuxieme type de coherence que nous n’etudierons pas dans ce TP s’appelle coherencespatiale et quantifie les pertes d’informations dans une direction transverse a sa propa-gation. Soyez vigilant : la longueur de coherence est associee a la coherence temporelle,pas a la coherence spatiale !

Mais revenons a la coherence temporelle, mathematiquement cela se formalise par l’etudedes correlations de phase de l’onde electromagnetique. Au bout d’un certain temps, ou cequi est parfaitement equivalent, au bout d’une certaine distance de propagation, la fonc-tion d’autocorrelation de l’amplitude chute et tend vers 0. Cette longueur (ou temps) decoherence est directement liee a la largeur naturelle spectrale de la source consideree. Plusune source est ! monochromatique " , plus faible est sa largeur spectrale et plus grandesera sa longueur de coherence. Cette coherence est egalement en jeu dans la constructionde figure d’interference. En e!et, tout se passe comme si au dela de cette longueur decoherence les deux bras de l’interferometre etaient eclaires par deux sources di!erentes :aucune figure d’interferences ne sont plus visibles. Une description de ces phenomenesest donnee ici : http ://www.unice.fr/DeptPhys/optique/coh/ctemp/node2.html.

Manipulation :

43


– Reprenez les reglages avec la lampe a vapeur de mercure (Hg) et regler le Michelsonpour n’avoir plus qu’une fraction d’un anneau visible dans tout le champ. Notez cetteposition que nous appellerons contact optique . Augmentez alors la distance entre lemiroir mobile et la separatrice a l’aide de la vis du chariot. Le nombre d’anneaux doitaugmenter. Continuez a eloigner le miroir. Qu’observez-vous ? Comment interpretez-vous cela ? Deduisez-en la longueur de coherence de la lampe a vapeur de mercure.

– Reiterez cette experience en placant comme source un laser. ATTENTION de nepas mettre l’œil comme detecteur. Placez une lentille en sortie de l’interferometreet un ecran place a la distance focale par rapport a la lentille. Les anneaux sontobserves sur l’ecran. Pouvez-vous donner la longueur de coherence du laser ? Queconcluez-vous ?

– Revenez a la situation ou vous ne voyez qu’une fraction d’anneau dans le champd’observation (situation appelee ! contact optique ") et mettez a la place du laserune lampe blanche. A l’aide de l’enseignant trouvez de jolies couleurs en sortie del’interferometre : les teintes de Newton en ne jouant que sur le chariot et en restanttres proche du point de depart. Sur quelle distance observez-vous ces couleurs ? Quepouvez-vous en deduire sur la longueur de coherence de cette lampe ?

– Concluez cette partie en expliquant ce que vous avez compris du rapport entre largeurnaturelle spectrale d’une source, monochromaticite et distance sur laquelle une figured’interferences peut etre observee a l’aide d’un Michelson.

44

PHYSICAL CONSTANTS (SI)7

Physical Quantity Symbol Value Units

Boltzmann constant k 1.3807 ! 10!23 J K!1

Elementary charge e 1.6022 ! 10!19 C

Electron mass me 9.1094 ! 10!31 kg

Proton mass mp 1.6726 ! 10!27 kg

Gravitational constant G 6.6726 ! 10!11 m3s!2kg!1

Planck constant h 6.6261 ! 10!34 J sh = h/2! 1.0546 ! 10!34 J s

Speed of light in vacuum c 2.9979 ! 108 m s!1

Permittivity of "0 8.8542 ! 10!12 F m!1

free space

Permeability of µ0 4! ! 10!7 H m!1

free space

Proton/electron mass mp/me 1.8362 ! 103

ratio

Electron charge/mass e/me 1.7588 ! 1011 C kg!1

ratio

Rydberg constant R" =me4

8"02ch31.0974 ! 107 m!1

Bohr radius a0 = "0h2/!me2 5.2918 ! 10!11 m

Atomic cross section !a02 8.7974 ! 10!21 m2

Classical electron radius re = e2/4!"0mc2 2.8179 ! 10!15 m

Thomson cross section (8!/3)re2 6.6525 ! 10!29 m2

Compton wavelength of h/mec 2.4263 ! 10!12 melectron h/mec 3.8616 ! 10!13 m

Fine-structure constant # = e2/2"0hc 7.2974 ! 10!3

#!1 137.04

First radiation constant c1 = 2!hc2 3.7418 ! 10!16 W m2

Second radiation c2 = hc/k 1.4388 ! 10!2 m Kconstant

Stefan-Boltzmann $ 5.6705 ! 10!8 W m!2K!4

constant

15

Physical Quantity Symbol Value Units

Wavelength associated %0 = hc/e 1.2398 ! 10!6 mwith 1 eV

Frequency associated &0 = e/h 2.4180 ! 1014 Hzwith 1 eV

Wave number associated k0 = e/hc 8.0655 ! 105 m!1

with 1 eV

Energy associated with h&0 1.6022 ! 10!19 J1 eV

Energy associated with hc 1.9864 ! 10!25 J1 m!1

Energy associated with me3/8"02h2 13.606 eV

1 Rydberg

Energy associated with k/e 8.6174 ! 10!5 eV1 Kelvin

Temperature associated e/k 1.1604 ! 104 Kwith 1 eV

Avogadro number NA 6.0221 ! 1023 mol!1

Faraday constant F = NAe 9.6485 ! 104 Cmol!1

Gas constant R = NAk 8.3145 J K!1mol!1

Loschmidt’s number n0 2.6868 ! 1025 m!3

(no. density at STP)

Atomic mass unit mu 1.6605 ! 10!27 kg

Standard temperature T0 273.15 K

Atmospheric pressure p0 = n0kT0 1.0133 ! 105 Pa

Pressure of 1 mm Hg 1.3332 ! 102 Pa(1 torr)

Molar volume at STP V0 = RT0/p0 2.2414 ! 10!2 m3

Molar weight of air Mair 2.8971 ! 10!2 kg

calorie (cal) 4.1868 J

Gravitational g 9.8067 m s!2

acceleration

16

OSCILLATIONS LIBRES D’UN SYSTÈME DE DEUX CIRCUITS ÉLECTRIQUES COUPLÉS PAR MUTUELLE INDUCTANCE

BUT DE LA MANIPULATION : étude des variations des pulsations propres en fonction du couplage en régime libre.

1) Étude théoriqueOn considère deux circuits oscillants identiques couplés par une mutuelle de valeur M.

Les équations décrivant le comportement des circuits s’écrivent:

Ld 2 i1d t2

d i1d t

i1C=−M

d 2 i2

d t2dEd t

Ld 2 i2d t2

d i2d t

i2C=−M

d 2 i1

d t2

Posons 02 =

1LC

,L=2 m 0 et k =

ML

.

Le terme m est le coefficient d’amortissement et k le coefficient de couplage.

En cherchant les solutions de la forme i1 t =I1 ePt et i2 t =I2 e

Pt , il vient (en négligeant le terme dE/dt) :

P22 m 0 P02 I1kP2 I2=0

kP2 I1 P22 m 0 P02 I2=0

Les équations montrent que les deux grandeurs couplées sont les courants.Ce système est satisfait quand :

P22 m 0 P02=±kP2

Si les circuits sont peu amortis, les solutions sont oscillatoires et on écrit :

P1=0

1k−m j1k−m 2

P2=0

1−k−m j1−k−m 2

1

Dans le cas général, le système est donc le siège d’une combinaison linéaire de deux oscillations de

courant de pulsations 1 et 2 et d’amortissements respectifs 1 et 2

12=0

2 1k−m 2

1k 2, 1=

m 0

1k et 22=0

2 1−k−m 2

1−k 2, 2=

m 0

1−k

Ces formules se simplifient si on considère des circuits très peu amortis et si le couplage k n’est pas trop grand. On peut alors écrire à l'ordre 2

1=0

1k~0 1− k

23 k2

8 2=

0

1−k~0 1 k

2

3 k2

8

l’approximation effectuée est de l'ordre de 6% pour k = 0,4.

Sur l'ordinateur, tracer la courbe théorique représentant f k =1

0

et g k =2

0

en fonction de k

pour k ∈ [0 ;0 , 2 5 ] .

2) Étude expérimentale

L’excitation du circuit primaire s’effectue par la tension E t . Il est donc souhaitable d’utiliser une

source de tension à très faible résistance interne. C’est pourquoi on a interposé entre le générateur et le circuit un ampli de puissance dont la résistance de sortie est de l’ordre de 5 Ω, l’ampli et le générateur sont dans le même boîtier.

L’utilisation de l’ampli de puissance garantit une tension d’attaque constante, même si l’impédance du circuit varie beaucoup (c’est le cas du circuit ρ-L-C série, par exemple, lorsque ρ est faible).

Mesures préliminaires: mesure des inductances mutuelles.On met les condensateurs hors circuit, de façon à conserver seulement les deux bobines. Réaliser le montage, et attaquer en signaux triangulaires.

L’écriture de la loi de Lenz au secondaire donne

V 2=Mdi1d t

.

2

=1 k

Au primaire, E t = i1Ld i1d t

; s i i1≫Ld i1d t

, i1≈E t

e t V 2=MdE t d t

L’attaque en signaux triangulaires permet de vérifier facilement si la condition

i1≫Ld i1d t

est vérifiée, car le signal obtenu à l’oscilloscope doit se rapprocher du signal rectangulaire.

MesurerdE t d t

à l’oscilloscope.

En fonction de l'écartement x entre les bobines, mesure l’amplitude crête à crête, 2V2 m a x de V 2 . On

fera varier x centimètre par centimètre entre 0 et 10 cm environ En déduire les valeurs M et de k en fonction de x.

Tracer sur ordinateur la courbe donnant la variation du couplage k en fonction de la distance x entre les

deux bobines. Imprimer cette courbe qui vous servira de courbe d'étalonnage dans la suite du TP.

dE t d t

=4 Em a x

T.

V 2 m a x=MdE t d t

.

3) ManipulationRéaliser le montage ci-dessous, et attaquer le circuit en signaux rectangulaires, afin d’étudier la

réponse en courant du circuit à une excitation en échelons de tension.

Ajuster la fréquence des signaux rectangulaires afin d’observer le régime oscillatoire amorti en entier. Pour cela

on prendra une fréquence faible pour le signal d’attaque afin de simuler au mieux une alimentation continue. sera pris de l’ordre de 10-100 Ohms.

a) Mesure de 0

Éloigner au maximum la bobine couplée (à 10 cm, le signal est ensuite trop faible pour être correctement

mesuré) et mesurer à l’oscilloscope la pseudo-période des oscillations. Celle-ci est voisine de T 0=2 0

.

3

Comparer avec la valeur théorique 0=1

LC.

b) Mesures sur les modes propresPour exciter un seul des modes propres, il faut jouer sur les conditions initiales.

Les deux circuits sont excités de la même façon, et la sortie de l’ampli de puissance est connectée simultanément aux deux circuits.

Mode (1) (ω 1 diminue lorsque k augmente)

Observer le régime oscillatoire amorti ; mesurer la pseudo période pour différents couplages, calculer

en fonction de k le rapport

T 0

T 1

=1

0

=f k .

On fera varier k entre 0,02 et 0,20 par pas de 0,02.

La valeur de T0 est obtenue lorsque les bobines sont éloignées au maximum.

Sur l'ordinateur, reporter les points expérimentaux [k ; f(k)] et les comparer à la courbe théorique

représentée précédemment.

Remarque : si le branchement réalisé donne le deuxième mode, inverser les connections A et B de la bobine secondaire.

mode (2) (ω 2 augmente lorsque k augmente)

Pour obtenir l’autre mode, il suffit de changer le signe de la mutuelle, ce que l’on réalise en permutant les deux bornes A et B de la bobine secondaire.

Mesurer la pseudo période pour les valeurs de couplage k précédents et calculer le rapport,

T 0

T 2

=1

2

=g k .

Comme précédemment la valeur de T0 est obtenue lorsque les bobines sont éloignées au maximum.

Sur l'ordinateur, reporter les points expérimentaux [k ; g(k)] et les comparer à la courbe théorique

représentée précédemment.

4

cas général

Pour observer le signal dans le cas le plus général, les conditions initiales sont choisies de façon arbitraire : par exemple, on réalise le branchement ci-dessous.

Montrer à l’oscilloscope que le régime oscillatoire comporte des battements. En faisant varier le couplage, montrer que:

la période 1 des battements augmente quand le couplage diminue;

la période 2 des oscillations intérieures aux battements ne change pas de façon appréciable.

Pour k =0 , 0 2 5 ;0 , 0 5 ;0 , 0 7 5 ;0 , 1 ;0 , 1 2 5 ;0 , 1 5 ;0 , 1 7 5 ; 0 , 2 , mesurer :

la période 1 des battements (pulsation1=2 1

) ;

la période 2 des oscillations (pulsation 2=2 2

).

Dans un tableau, reporter pour chaque valeur k, les valeurs de Ω 2 et Ω 1, et vérifier que

2=12

2≈0 ,

Sur ordinateur, tracer la courbe Ω 1 en fonction de k, et montrer que :

1=2−1

2≈0 1k

2 −0 1−k2

2≈0 k

2.

5

ÉTUDE DU HAUT PARLEUR ÉLECTRODYNAMIQUE

BUT DE LA MANIPULATION: Modélisation et mesure des différents paramètres du haut-parleur.

I- RAPPELS THÉORIQUES1) Modélisation du haut parleur électrodynamique

Représentation schématique du haut-parleur.

Dans l’entrefer annulaire de l’aimant permanent, on a placé une bobine mobile qui, parcourue par un courant I,

subit le déplacement horizontal x t . On néglige la capacité C.

a) Oscillateur mécanique

L'équipage mobile (bobine + membrane) est rappelé par une suspension élastique de raideur k. Cet équipage est supposé se déplacer en translation; Il s’agit en fait d’une modélisation, car les déplacements des

différentes zones de la membrane ont des amplitudes différentes. Si x t est le déplacement de la bobine, le

déplacement de tout point P de la membrane est a P x t , où 0≤a P ≤1 . Dans la modélisation, nous

supposerons que cet équipage se déplace “en bloc”, ce qui conduit à affecter à la masse oscillante une valeur m très inférieure à la masse réelle que l’on peut mesurer en pesant l’ensemble mobile.Nous supposerons (ceci est vérifié par l’expérience) que l’action de l’air sur la membrane introduit une force de

frottement de type visqueux, d’intensité égale à−fd xd t

.

b) Le “moteur” électromagnétique

La bobine mobile a pour résistance R et pour inductance L. Elle est placée dans le champ radial de module constant B créé par l’aimant permanent.

La longueur totale de fil soumis à l’action du champ a pour valeur l=N 2 r , où N est le nombre de

spires et r le rayon de la bobine.

6

c) Le couplage électromagnétique

La force de Laplace qui s’exerce sur la bobine est

FL=−Bli .

Lorsqu’elle se déplace à la vitesse v, elle est le siège d’une f.e.m induite donnée par la loi de Lenz,

e=−d d t

=Blv=Bld xd t

.

Les termes de couplage possèdent le même facteur Bl .

2) Équation du mouvement

Appliquons la tension E aux bornes de la bobine mobile. Il vient :

E=Re iLd id t

−Bld xd t

et md 2 x

d t2f d x

d tk x=−Bli

En régime sinusoïdal, l’élimination de x donne l’impédance du haut parleur :

Z =EI=R e jL

Bl 2

f j m −k

Le couplage a eu pour effet d’ajouter à l’impédance électrique Ze l'impédance motionnelle Zm.

Z e=Re j L

et

Z m=

Bl 2

f j m −k

II - DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DU MODÈLE

1) Mesure de la raideur k

La mesure de k nécessite la mesure précise (1/10e mm) du déplacement x de la bobine. Dans ce but, on place sur le diaphragme du haut parleur un émetteur d’ultrasons (fréquence 40 kHz). Le récepteur, accordé à la même fréquence est fixé sur un support, au-dessus de l’émetteur. L’émetteur d’ultrasons est monté sur le haut parleur (boitier noir). Ne pas utiliser de générateur extérieur.

7

La mesure du déphasage entre les signaux émis et reçus utilise l’oscilloscope en double trace, en synchronisant sur le signal d’émission (le signal d’émission, issu du générateur sera envoyé sur la voie 1 et on veillera à ce que le bouton CHI / CHII trig I / II de l’oscilloscope ne soit pas enfoncé).

La figure est dilatée de façon à ce que le décalage des deux figures soit mesuré dans de bonnes

conditions. On place une surcharge de masse (100 g à 200 g) sur la membrane. Le déphasage entre les deux

courbes augmente de :

=2 T=2

x

où =c T=8 , 5 0 mm, on obtient ainsi : x= tT

Ainsi, pratiquement on mesure t sans avoir à calculer .

La détermination de k se fait par l'utilisation de la relation g−k x=0 . On déterminera x en mesurant T et

Δ t à l’oscilloscope, à l’aide de la base de temps étalonnée; Son étalonnage (précision 5 % environ) peut être

vérifié en représentant à l’écran un signal de fréquence connue. Quelle est la précision maximale sur la mesure de k ?

2) Mesure du produit Bl

On fait passer un courant I dans la bobine en utilisant une alimentation continue et une résistance R de 10 Ohms afin de déplacer la membrane vers le haut, (inverser les bornes de l’alimentation, si nécessaire) sous l’action de la force de Laplace. L’amplitude de cette force va être ajustée pour contrebalancer la force due à une surcharge placée sur la membrane du haut parleur (cf II 1). L’alimentation du haut-parleur se fait à l’aide des deux bornes centrales sur le boitier du haut parleur.

On procède de façon similaire à celle employée pour la mesure de k :

on repère la position des signaux émis et reçus sur l’oscilloscope, en l’absence de surcharge et de courant

continu dans le haut parleur. on met une surcharge variant de 50 g à 200 g sur la membrane et on fait passer un courant dans le haut-

parleur, on ajuste ce courant de façon à ramener la bobine à la position qu’elle occupait au repos (sans surcharge et sans courant). On mesure le courant ainsi ajusté à l’aide d'un voltmètre placé en dérivation aux bornes de R.

En déduire le produit Bl . On rappelle que l'on a à l'équilibre : m g−Bli=0

N.B. La mesure séparée de B et l nécessite le sacrifice d’un haut parleur, car il faut détruire une bobine et mesurer

la longueur du fil. Or, seul le produit Bl intervient dans les calculs, et cette mesure n’était pas indispensable.

Pour fixer les idées, les longueurs utilisées vont de 10 m environ (HP de graves de bonne qualité) à 1 m environ.

===============================================================================TRAVAIL PERSONNEL

3) Mesure de la masse oscillante M et du coefficient d'amortissement fLe haut-parleur est excité par une percussion sur sa membrane. Celle-ci revient à l'équilibre en décrivant

des oscillations amorties de pulsation ω. La f.e.m e induite par le déplacement de la bobine est enregistrée en fonction du temps (cf. graphique). L'équation du mouvement d'écrit :

d 2 v

d t22 0

d vd t

02 v=0 ,

avec 02=

kM

et 20=fM

.

Mesurer la pseudo période T=2 /

8

Mesurer le décrément logarithmique =l ne 0

e 1

= f2M

T

En déduire kM=0

2=2 2

T 2, puis M.

Calculer f =2MT

===============================================================================4) Mesure de l’impédance électrique Ze

Cette mesure s’effectue sur un haut parleur bloqué, la membrane ne bougeant plus. Un haut parleur dont la membrane est immobilisée servira pour cette mesure (un seul haut parleur pour les deux groupes).On utilisera une fréquence élevée pour l’alimentation du haut parleur. En pratique la fréquence d’alimentation du haut parleur sera prise égale à 2 kHz. On laissera libres les bornes de l'émetteur et du récepteur du haut parleur. L’impédance présentée par le haut parleur est alors Z = Ze. On mesure le module de Ze,

∣Z e∣=Re2L2 2

et le déphasage courant-tension,

=arctan LRe .

La résistance est de l’ordre de grandeur de la résistance à mesurer; une valeur de 10 Ω convient.

9

∣V Y 2∣=∣Z e∣I=∣Z e∣∣V Y 1∣

, où ∣Z e∣=Re 1t a n2 .

Mesurer V Y 1 , V Y 2 et Calculer Re et L.

III- ÉTUDE DU HAUT-PARLEUR en fonctionnement

À présent, on va mesurer l’impédance et la bande passante du haut-parleur en fonctionnement.

Le module de Z est calculé par ∣Z∣=U2U3 . (à vérifier)

Faire les mesures en utilisant deux voltmètres numériques pour différentes valeurs de la fréquence

délivrée par le générateur f . Sur ordinateur , tracer la courbe de variation de ∣Z ∣ en fonction de ω= 2π f et définir la bande passante à -

3 db du haut parleur. Attention les variations étant fortes entre f = 60 Hz et f = 90 Hz, il faudra bien resserrer les mesure dans cet intervalle.

Sur la même courbe, représenter la courbe théorique ∣Z∣=f que l'on obtient à partir des équations

établies en section I.2. (optionnel)

Remarque : le calcul du facteur de qualité à partir de la largeur Δf de la bande passante à -3 db :

Q=f 0

f

10

ANALYSE ET SYNTHÈSE DE SIGNAUX PÉRIODIQUES

BUT DE LA MANIPULATION:

Analyse en fréquence de quelques signaux périodiques à l'aide de la décomposition en

série de Fourier.

Reconstitution de quelques signaux périodiques simples à l'aide d'un générateur

d'harmoniques.

les calculs de la décomposition en séries de Fourier des fonctions proposées sont à faire avant

la séance de TP

I. Introduction

Toute fonction f(t), périodique de période T continue, dérivable dont la dérivée étant continue et dérivable

sauf éventuellement en un nombre fini de points est développable en série de Fourier :

f t =∑n [ An c o sn 2 tT + Bn s i nn 2 t

T ]le calcul des coefficients donne :

A 0=1T∫T

f t d t

la valeur moyenne de f(t).

A n=2T∫T

f t c o s n 2 tT d t et Bn=

2T∫T

f t s i nn 2 tT d t

Ce développement s’écrit souvent sous la forme :

f t =A0∑nCncos n2 t

T−n

ou

f t =<f(t)>C1sin t−n C2 sin 2 t−n ...C nsin n t−n

où Cn=A n2 + Bn

2 et n=a r c t a n B n

An .

L’obtention des différents coefficients Cn constitue l’analyse spectrale du signal temporel. Un calculateur

effectue les opérations mathématiques définissant les coefficients et donne directement la valeur de Cn, associée

à la fréquence n =n 2/T . C’est une méthode numérique basée sur un algorithme de calcul de Transformée

de Fourier rapide (FFT) qui sera utilisée ici.

11

Remarque générale: L'ordinateur ne sait calculer une transformée de Fourier uniquement sur un nombre entier de

périodes. Pour cela, il faut choisir des bornes périodiques pour le calcul de la transformée de Fourier.

II – Analyse de quelques signaux simples

1°) Le générateur délivre un signal sinusoïdal, de l’ordre de 200-500Hz, par exemple. Effectuer la transformée de

Fourier du signal et analyser la décomposition en série de Fourier obtenue.

2°) Le générateur délivre maintenant un signal rectangulaire, sur le graphe de la transformée de Fourier de ce

signal, mesurer les amplitudes et les fréquences de chacun des pics présents. Vérifier par le calcul des

coefficients de Fourier Cn que les résultats expérimentaux sont cohérents.

3°) Le générateur délivre un signal triangulaire symétrique d'amplitude A :

Effectuer la décomposition en série de Fourier et, mesurer la fréquence et l’amplitude des pics observés.

Vérifier par le calcul des coefficients de Fourier Cn que les résultats expérimentaux sont cohérents. Noter

en particulier le déphasage de l’harmonique 3 par rapport au fondamental.

12

III – Synthèse de signaux périodiques

Le générateur d’harmoniques permet de choisir la fréquence F0 et l'amplitude du fondamental puis

automatiquement de générer des signaux de fréquence multiple 2F0 , 3F0 ... et de choisir leurs amplitudes. À partir

des mesures des amplitudes sur les transformées de Fourier précédentes, effectuer la synthèse approchée de

signaux rectangulaires, puis triangulaires. Attention si les déphasages entre les harmoniques sont laissés à 0 le

générateur délivre une somme de sinusoïdes positives.

IV Analyse du son

A l'aide du micro on peut enregistrer sur l'ordinateur un signal correspondant au son. Comparer les différents son et

leurs transformées de Fourier :

•le son du diapason,

•le même son mais par l'orgue électronique

•et le même son une octave au-dessus.

Compression de données audio:

Le format mp3 est un algorithme de compression audio capable de réduire considérablement la quantité de données nécessaire pour stocker des sons. Ce format est partiellement destructif, il ne retransmet pas intégralement le spectre des fréquences audio. En revanche il tente d'annuler d'abord les sons les moins perçus de façon à ce que les dégradations se fassent le moins remarquer possible. Pour cela il annule les amplitudes des fréquences en dessous d'un certain seuil.

13

OSCILLATIONS FORCÉES D’UN SYSTÈME DE DEUX CIRCUITS

ÉLECTRIQUES IDENTIQUES COUPLÉS PAR MUTUELLE

BUT DE LA MANIPULATION: étude des variations des pulsations propres en fonction du

couplage en régime forcé.

I) ÉTUDE THÉORIQUE

On considère deux circuits oscillants identiques couplés par une mutuelle de valeur M attaqué en

régime sinusoïdal.

L'écriture de la loi d'Ohm au primaire et au secondaire donne : E=Z i1 j Mi2 et

Z i 2 j M i1=0 avec Z = j X , où X est la réactance de chaque circuit,

X= LC2−1C

En éliminant i1 entre ces 2 équations, on obtient : i2=− jME

jX 2M2 2

Introduisons les pulsations propres ω0 de chaque circuit, pris isolément, et le coefficient de qualité,

Q=L0

.

En se limitant aux faibles écarts de fréquence par rapport à la résonance, on introduit

x=−0

0

,

où x«1. Il vient alors : X≈2 Q x , M=kL≈kL0=k Q . Le courant parcourant le circuit

secondaire est donné par,

i2=− j k Q

E

1Q 2 k 2−4 x2 4 j Q=YE

14

L'écriture de la formule donnant Y, montre que :

à la fréquence centrale (x = 0), les signaux d'entrée et de sortie sont en quadrature de phase.

l'étude de la dérivée du module du dénominateur par rapport à x donne la position des extrema :

a) k< 1/Q : couplage lâche

Il y a un seul extremum, c'est un maximum qui est atteint pour x = 0,

la valeur de Y pour x=0 est égale à

Y x =0 =k Q

1

1k 2Q2

b) k= 1/Q : c'est le couplage critique appelé souvent couplage transitionnel.

Il n'y a qu'un seul extremum pour x = 0 , mais la courbe de réponse est très plate, car la dérivée seconde

s'annule aussi pour x = 0 .

Y x =0 =k Q

12

c) k > 1/Q : le couplage est serré. Trois valeurs de x annulent la dérivée :

x = 0 : Y est minimum et égal à

Y x =0 =k Q

1

1k 2Q2

x=±12 k 2− 1

Q 2≈±k /2 (le coefficient de qualité Q est grand devant 1)

Ces valeurs de x donnent deux maxima, d'amplitude égale,

Y=k Q

12

On remarquera que les valeurs de x=±k /2 correspondent aux pulsations propres étudiées dans le TP «

Oscillation Libre » car =0 1±k /2 correspond à

−0

0

=±k /2

Pour x=−k2

(fréquence inférieure) i2 et E sont en opposition de phase.

Pour x=k2

(fréquence supérieure) i2 et E sont en phase.

15

II) ÉTUDE EXPÉRIMENTALE

1) Mesure préliminaire : étude du circuit RLC en régime Forcé

a) Mesurer les différentes fréquences de résonance dans le circuit RLC série. Étudier la résonance en charge aux

bornes du condensateaur. On choisira une amplitude du générateur de ~ 1,5 V.

b) On souhaite déterminer la somme des résistances r (résistance du GBF) et r’ (résistance de la bobine) dans le

circuit ci-dessous, pour cela étudier les variations de tension aux bornes de la capacité en fonction de la fréquence

du générateur.

Mesurer la fréquence de résonance ωc et le facteur de qualité Q.

Sachant que Q=Lω0

R et ωc~ω0, déterminer la résistance totale (r+r'+ ρ) du circuit ci-dessous. (lors de

l'acquisition).

L a réponse du circuit est de la forme :

La valeur f0 de la fréquence correspond à la réponse est maximale, et les fréquences f1 et f2 limitent la

bande passante :

Q=f 0

f 2−f 1

16

VS

VMax

2

Vmax

ω1

ω0 ω

2 ω

2) Circuits couplés

a) Réaliser le montage ci-dessous :

b)

Mode opératoire

Dans ce qui suit, noter les fréquences caractéristiques sur les courbes. En couplage serré, vérifier que

les fréquences correspondant aux maxima sont données par :

f 1=f 0 1k2

et,

f 2=f 0 1−k2 .

Relever la courbe de réponse pour différentes valeurs du coefficient de couplage : k =0,4 ; 0,3 ; 0,1 ;

0,05. Se reporter au graphe k=f(x) ci-dessous et tracer f1 et f2 en fonction de k. On choisira une

amplitude autours de 5 V pour le générateur et prendre ρ = 100 Ω.

Repérer le couplage critique (ou transitionnel) s'il existe puis tracer la courbe de réponse

correspondante. Vérifier que k est égal à 1/Q. Mesurer la bande passante. Comparer cette courbe avec

celle relevée pour le circuit RLC série non couplé.

Fixer la valeur du couplage à k=0,3 et procéder comme précédemment :

Relever la courbe de réponse pour différentes valeurs de ρ. (N. B. la valeur des résistances doivent

être les mêmes dans les 2 circuits)

Repérer le couplage critique (s'il existe) et tracer la courbe de réponse correspondante ; vérifier que

k est égal à 1/Q. Mesurer la bande passante et comparer la courbe avec celle qui a été relevée

pour le circuit unique.

Mettre en évidence le phénomène d'antirésonance dans ce système électrique et déterminer la

fréquence d'antirésonance.

Conclusion : La principale application de ce circuit concerne la réalisation de filtres de bande. Les courbes

relevées montrent qu'il est possible d'augmenter le bande passante en augmentant le couplage. En

télécommunications (radio, TV, etc.) la transmission de signaux modulés exige une bande passante quelquefois

très importante, ce qui ne peut être obtenu qu'en utilisant des filtres à 2 voire 3 circuits couplés.

17

k

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0 2 4 6 8 10 12 14 16

d(cm)

18

OSCILLATIONS MÉCANIQUES

A. Étude du mouvement du pendule simple non amorti.

1. É tude théorique.

a. Dans le cas d’un pendule simple non amorti, de masse m, pour lequel on néglige la masse de la

tige, écrire l’équation différentielle qui régit la position angulaire φ(t) où φ désigne l’angle entre l’axe du pendule et la verticale (position de repos). On suppose que la tige de liaison à l’axe de rotation O est rigide et de longueur l.

b. Donner la solution de cette équation différentielle dans la limite des petits angles ( φ ≤ 15°).

En déduire la pulsation propre ω0 du pendule.

2. Manipulation

Écarter le pendule de sa position d’équilibre d’environ 10 cm et observer les oscillations. Réaliser les branchements nécessaires afin d’enregistrer l’amplitude de l’oscillation sur l’ordinateur à l’aide de GENERIS. Le

capteur est de type potentiométrique. Sa sortie fournit une tension proportionnelle à la position angulaire φ du

pendule. Utiliser l’enregistrement pour déterminer la pulsation propre ω0 du pendule. Montrer que cette valeur de

ω0 ne dépend ni de la déviation initiale ω0 ni de la masse m du pendule que l’on peut rendre plus massif à l’aide de l’aimant permanent fixé sur son flanc.

B. Étude du mouvement du pendule simple amorti.

1. Étude théorique.

Nous étudions ici le régime oscillatoire amorti dans le cas d’un frottement fluide ou visqueux c'est-à-dire dans

l’approximation où la force de frottement est proportionnelle à θ .

L’angle de déviation obéit à une équation du second ordre de la forme θ2α θ +ω 02 θ= 0 où α est le

coefficient d’amortissement. Dans le cas du régime pseudopériodique obtenu avec des amortissements faibles,

l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées r1=−α+jω e t r2=−α− jω où

ω=ω02−α2 représente la pseudo pulsation.

Donner la forme de la solution de l’équation différentielle.

19

2. É tude expérimentale.

Utiliser le pendule en ayant pris soin de fixer l’aimant permanent sur son flanc. Approcher la tôle en aluminium à quelques centimètres du pendule et l’aligner sur le plan du mouvement oscillatoire. Les courants de Foucault résultant du phénomène d’induction ainsi générés par le déplacement du pendule freinent son mouvement. Utiliser GENERIS pour enregistrer les oscillations faiblement amorties. A l’aide du menu de simulation, tester le modèle du frottement visqueux. Donner la valeur des différents paramètres c'est-à-dire, le coefficient d’amortissement, la pseudo période, le décrément logarithmique (voir la définition dans le cours).

C. Étude du système constitué de deux pendules couplés par un ressort.

1. É tude théorique.

Le ressort de constante de raideur k est mis en place. On appelle λ la longueur de couplage.

Chacune des masses est soumise :

- au couple dû à la pesanteur (par exemple pour P1) :

M P=−mgLsin 0≈−mgL0

- et au couple dû au ressort :

M R=−kx0 cos 0≈−k20

où x0 est l’allongement du ressort.

L’équation fondamentale de la dynamique donne : I =∥ M∥ où I est le moment d’inertie d’un pendule autour de

son axe de rotation et M le couple total auquel il est soumis. Pour simplifier l’étude théorique, considérons la position de repos comme celle où les 2 pendules sont verticaux.

I 1=−mgL1−k 21k

22=−mgL1k 22−1

I 2=−mgL2−k22k 21=−mgL1k

21−2

20

λ

φ0 m

O

L

m

O

φ2

L

φ1

φ0

P1 P2

k

On pose alors : ω02=mgL

I et 2= kλ2

I

On obtient :

1021=

22−110

22=−21−2

dont les solutions sont selon les conditions initiales :

Cas A :

Pour t = 0, φ1 = φ2 =φA, 1=2=0

1 t =2 t =A cos0 t Les 2 pendules vibrent en phase avec la même amplitude et la même fréquence ω0 que celle d’un pendule non couplé.

Cas B :

Pour t = 0, φ1 = −φ2 =φA, 1=2=0

1 t =−2 t =Acos 0222 t0

Les 2 pendules vibrent en opposition de phase avec la même amplitude et la même fréquence ωc = ω0222 .

Cette fréquence ωc dépend de la longueur de couplage λ. Le déphasage ϕ 0 devrait normalement être nul. Pour

la modélisation, il sera pris non nul à priori puisque l’acquisition pourra être lancée après avoir relâché les pendules.

Cas C :

Pour t = 0, φ1 = φA, φ2 = 0, 1=2=0 . Alors,

1t =2Acos [ t2 0222−0 ]cos [ t2 0

2220 ]2t =−2Asin [ t2 0

222−0 ]sin [ t2 02220 ]

On ne considèrera que les couplages faibles : ω0 >> Ω. On a alors :

1=0

222−0

2≈

2

20

et 2=0

2220

2≈0

2

20

Le mouvement des pendules correspond à un battement, l’énergie de vibration passe d’un pendule à l’autre et ainsi de suite.

21

2. É tude expérimentale.

Étudier systématiquement en fonction de la longueur de couplage λ (prendre 3 valeurs de λ ou plus si nécessaire):

- cas a : la vibration en phase. Vérifier alors que la fréquence est indépendante de la longueur de couplage et qu’elle est approximativement égale à celle d’un pendule libre.

- cas b : la vibration en opposition. L’étude théorique a montré que :

c2=0

22k 2

I

Vérifier graphiquement cette relation. En déduire ω0 et k/I et comparer ces valeurs à celles obtenues plus haut.

- cas c : la vibration en battement. Vérifier graphiquement les relations déduites de l’étude théorique :

1=k2

2I0

et 2=0k2

2I0

Comme pour le cas b, ajouter un déphasage pour chacune des fonctions sinusoïdales puisque l’acquisition peut être lancée après le relâchement du pendule 1.

22

OSCILLATEUR DE VAN DER POL

BUT DE LA MANIPULATION : Réalisation d'un dipôle dont la caractéristique dynamique est assimilable à

Réalisation à l'aide d'un montage électronique de l'oscillateur de van der Pol.

Étude spectrale en fonction des paramètres.

I- INTRODUCTION : rappel de coursOn considère l'équation différentielle linéaire régissant l'évolution de la grandeur x(t) fonction du temps :

d 2 x

d t22 d x

d t0

2 x=0

Le paramètre λ est le coefficient d'amortissement et 0=1 /LC est la pulsation propre de l'oscillateur.

Lorsque le système est peu amorti, l'excitation donne naissance à des oscillations amorties de pulsation ω telle que :

La réalisation d'oscillations entretenues exige que le paramètre d'amortissement soit inférieur ou égal à zéro dans un domaine déterminé D, ce qui ne peut être réalisé qu'en utilisant un dipôle actif non linéaire. L'équation différentielle s'écrit alors :

Lorsque la fonction F(x) est représentée de façon satisfaisante dans ce domaine par F x =1−a x 2 , où a

est un coefficient positif, l'équation est dite de « van der Pol ». Les changements de variables, t '=0 t et

y=x a conduisent à l'équation :

d 2 y

d t '2−2 0

1−y 2 d yd t '

y=0 .

En posant =2 0

, l'équation précédente s'écrit sous la forme :

y ' '−1−y 2 y 'y=0 .Elle ne contient plus que des grandeurs sans dimension. La développement en série de Fourier de la solution exacte de cette équation conduit au résultat approché suvant :

y t ≈ 2

acos0 t−

aa

cos30 t.

Ce résultat est valable tant que ε reste petit devant 1 :8≪1 . La vérification de ces formules exige le calcul

des paramètresε, a et ω0. Lorsque est grand (10 par exemple), l'oscillation cesse d'être quasi sinusoïdale

et se rapproche du signal rectangulaire. La période augmente et tend vers la valeur approchée,

T=1 , 6 2 0

.

23

I=A0V−A1V3

d 2 x

d t 22 F x d x

d t0

2 x=0

II- ÉTUDE DE LA MAQUETTELa maquette comporte :

un circuit LC parallèle.

Un amplificateur opérationnel en montage à résistance négative de conductance GN.

Un dipôle non linéaire : c'est une résistance VDR ou varistance (Voltage Dependent Resistor) de

conductance GV.

Ces trois dipôles sont montés en parallèle : l'admittance du circuit équivalent est égale à la somme des admittances.

1) Le circuit LC parallèleLes pertes par effet Joule sont modélisées par la conductance GC, et l'admittance complexe du circuit

est donnée par,

G=GC j C− 1L .

Cette admittance est minimale à la résonance, atteinte à la pulsation propre ω0 et vaut alors GC.

2) Le circuit à résistance négativeIl utilise un amplificateur opérationnel en régime linéaire. Il est supposé idéal et on le considère vu de

l'entrée, la tension de sortie ne servant que d'intermédiaire de calcul.

La loi d'Ohm écrite aux bornes de R2 donne :

i=v−V S

R2

.

24

2=02−2 .

La tension présente à l'entrée inverseuse v– est une fonction de VS puisque le courant consommé sur les entrées est nul :

v -=V S

RRR1

.

L'amplificateur étant en régime linéaire, v– = v+ = v et l'élimination de VS permet d'écrire :

i=−vR 1

R2 R=−GN v ,

où GN=R1

R 2 Rest la conductance du circuit à résistance négative.

3) Le dipôle non linéaireLe dipôle doit impérativement avoir le même comportement vis à vis des deux alternances du signal, ce

qui exclut tout dipôle non symétrique (diodes, en particulier). Un dipôle non linéaire symétrique possède un

caractéristique i=f v fonction impaire de la tension appliquée :

i=A0 vA1 v3A 2 v

5. . .

Pour la varistance que nous allons utiliser ici, les deux premiers coefficients sont positifs, le troisième est négatif ; on limitera l'étude au domaine où la caractéristique est correctement représentée par les deux

premiers termes et la modélisation du dipôle n'est satisfaisante que pour ∣v ∣2 , 5 volts environ.

4) Réalisation du montage oscillateurOn cherche à établir l'équation différentielle régissant l'évolution du circuit.

Tous les dipôles étant en parallèle, ils sont soumis à la même tension v. La loi des noeuds permet d'écrire

i1i2i3i4i5=0 . Par ailleurs,

v=Ld id t

i1=1L∫t

v t d t ,

soit,

1L∫t

v t dtC dvdtGC vA0 vA1v

3−GN v=0.

En dérivant par rapport au temps, il vient :

25

Cd 2 v

d t 2GCA03 A1 v

2−GNd vd t

vL=0 .

En transformant cette équation, on obtient :

d 2 v

d t2−GN−GC−A0

C 1− 3 A 1

GN−GC−A0

v 2 d vd t vLC

=0

Cette équation s'identifie facilement avec l'équation de van der Pol en posant :

2 =GN−GC−A0

C

a=3 A1

GN−GC−A0

Soit,

d 2 vdt 2 −2 1−a v2 dv

dt0

2 v=0

Le paramètre =2 0

est donc égal à GN−GC−A 0 LC . Comme on l'a vu auparavant

GN=R1

R 2 R. Sur la maquette

R1

R2

=5 donc GN=5R

.

III- MESURES PRÉLIMINAIRESLa vérification des formules écrites précédemment nécessite la connaissance complète des

caractéristiques du circuit anti-résonant ainsi que la connaissance des coefficients A0 et A1 de la varistance.

1. Mesures sur le circuit oscillant

Le circuit comporte une inductance marquée L=0 , 1H et une capacité de valeur

C=0 , 3 4F. La résistance de la bobine est supposée négligeable. Pour mesurer à la fois ω 0 et la

conductance du circuit GC, on réalise le montage suivant :

Le générateur délivrant un signal sinusoïdal, faire varier la fréquence et repérer la fréquence de

26

résonance du circuit. Pour cette fréquence, les deux signaux sont en phase et on observe un maximum de tension sur la voie Y2. On a,

V Y 2

V Y 1

=

1GC

1GC

R.

Calculer GC et ω0 puis comparer la fréquence de résonance trouvée expérimentalement avec celle

donnée par le calcul.

2. Caractéristique de la varistance

Il s'agit d'observer la caractéristique i=f v à l'oscilloscope. Pour cela, on réalise le montage

suivant :

Relever les coordonnées de quelques points (tous les 0,5 V par exemple) puis tracer la caractéristique

i=f v de la varistance.

Remarques : dans le montage précédant, le courant est donnée par la valeur de la tension aux bornes de r, c'est à

dire par la quantité −ri. Il faut donc inverser la tension sur la voie Y pour observer la caractéristique

dans le bon sens.

On prendra dans la suite du TP : A0= 10-3 A.V-1et A1= 2 10-4 A.V-3.

IV- ÉTUDE DE L'OSCILLATEUR DE VAN DER POL

1. Tracé de la caractéristique dynamique de l'oscillateurSur un même graphique, tracer les caractéristiques du courant :

du circuit LC parallèle à la résonance, i3=GCv ;

de la résistance dynamique négative du montage II-2), i4=−GN v ;

de la varistance i5=A0 vA1 v3 .

Il est nécessaire de choisir une valeur déterminée pour cette dernière caractéristique. On prendra par exemple la

valeur de R qui correspond à =0 , 5. On a vu précédemment que :

=GN−GC−A0 LC avec GN=5R

Ces dipôles étant placés en parallèle, il suffit, pour une abscisse v0, de faire la somme algébrique des

différentes intensités : i=i3i4i5=v .

27

Tracer la caractéristique i=v et mettre en évidence la domaine à résistance dynamique négative

encadré par deux portions de caractéristique à résistance dynamique positive.

2. Étude de l'oscillation

Lorsque /8≪1 , la résolution de l'équation de van der Pol conduit à la solution suivante :

y t =2

ac o s0 t −

4 a

c o s3 0 t .

La vérification de cette solution exige le calcul des paramètres ε, a et ω0.

Réaliser le montage oscillateur ci-dessous. L'analyse spectrale est effectuée à l'aide d'un filtre à capacités commutées dont la fréquence d'accord est égale à 100 fois la fréquence de commande délivrée par le générateur (prendre une tension de commande supérieure à 1 volt).

Amorçage des oscillations

Régler la résistance variable de façon à voir apparaître les oscillations sur la voie 1 (sensibilité maximale de l'oscilloscope). Repérer la valeur R0 de R pour laquelle la tension oscillante de fréquence f a une amplitude de

l'ordre de 250 mV. Cette valeur de R correspond à ≈0 et vérifier que 5 /R0−GC−A0=0 aux erreurs de

détermination près.

ANALYSE SPECTRALE :

Maintenant que le montage de van der Pol est réalisé, il faut effectuer une analyse spectrale de la tension de

sortie VS(t) de l'oscillateur à l'aide du logiciel GENERIS. Tant que reste petit devant 1, la tension VS(t) prend

la forme suivante :

V S t =Y 0 mc o s0 t Y 1 mc o s3 0 t

Il s'agit donc d'une tension périodique de fréquence F0, somme de deux fonctions sinusoïdales de fréquences F0 et 3F0.

28

Étude de l'oscillation pour petit

Remplir le tableau suivant.

R Y0m Y1m f R Y0m Y1m f

0,01 0,4

0,02 0,5

0,05 0,6

0,1 0,7

0,2 0,8

0,3 0,9

Les quantités Y0m et Y1m sont respectivement les amplitudes de crête du fondamental et de l'harmonique 3. Ces amplitudes sont mesurées en effectuant une analyse de Fourier à l'aide du logiciel GENERIS.

Lorsque est très petit, le signal est quasi sinusoïdal et sa fréquence reste très voisine de

0=0

2 Lorsque augmente, le signal se déforme et sa fréquence décroît. Montrer que seul

l'harmonique 3 est présente tant que 0,5 . Sur le même graphique, tracer les courbes théoriques donnant respectivement Y0m et Y1m en

fonction de . Comparer ces courbes à celles obtenues expérimentalement et vérifier le bon accord lorsque

reste petit. Comment peut-on montrer simplement à l'aide de la maquette utilisée que le modèle de van der

Pol s'écarte de la réalité lorsque le paramètre grandit ?

Étude de l'oscillation lorsque est supérieur à 1

Observer le signal pour des valeurs de comprise entre 1 et 10 : il se déforme et présente pour élevé deux phases bien différentiées un palier où il varie peu à pente sensiblement constante suivi d'une phase

à variation rapide. Mesurer sa période et montrer qu'elle augmente considérablement. Pour =2 0 ,comparer la valeur de la période mesurée avec la limite,

T=1 , 6 2 0

.

29

Aix-Marseille Universite - Licence Sciences et Technologie - L3Travaux Pratiques 2012-2013

1.4 ETUDE DE L’ELARGISSEMENT COLLISIONNEL DESRAIES SPECTRALES A L’AIDE D’UN DIAPASON

But

Le but de ce TP est d’etudier le phenomene d’elargissement collisionnel des raies spec-trales emises dans les gaz ou les plasmas. Les collisions sont modelisees par l’excitationd’un diapason a l’aide d’un marteau 6. La reponse a cette excitation est enregistree viaun microphone sur un ordinateur. Le spectre en frequence est alors obtenu a l’aide dela Transformee de Fourier du signal enregistre. L’analyse de ces spectres permet de ca-racteriser le phenomene d’elargissement en fonction de la frequence de collisions.

I. Introduction

L’analyse spectroscopique des raies apporte une information riche sur les atomes ou lesmolecules qui emettent ce rayonnement ainsi que sur leur environnement. Les spectresdes atomes et des molecules consistent en une serie de raies dispersees a di!erentes lon-gueurs d’onde (ou frequences). Chaque raie represente une resonance entre deux etatsquantiques di!erents. La position de ces raies sur l’echelle des frequences permet de ca-racteriser l’element emetteur. La largeur des raies decrit les phenomenes des desexcitationdes etats quantiques : une raie large correspond a une desexcitation rapide, une raieetroite correspond a une desexcitation lente. Il existe quatre contributions majeures a lalargeur des raies dans les gaz ou les plasmas : (i) la largeur naturelle liee a la duree de vied’un etat quantique, (ii) l’elargissement collisionnel lie a l’environnement de l’emetteur,(iii) l’elargissement Doppler lie a la vitesse de l’emetteur et (iv) l’elargissement lie ades champs perturbatifs exterieurs. Le profil des raies (forme et largeur) permet doncde caracteriser l’environnement de l’emetteur. Dans la suite, seules les deux premierescauses d’elargissement des raies seront etudiees.

Tout systeme quantique excite relaxe sur l’etat fondamental via l’emission d’un photon(voir figure 15).La puissance totale rayonnee par unite de frequence, P (!) est donnee par :

P (!) =4!4

3c3I(!), (16)

avec I(!) le profil de raies que l’on peut exprimer sous la forme :

I(!) =1

"!e

! +!

"!e"i!tp(t)dt, (17)

ou p(t) correspond a la probabilite qu’a le systeme quantique de se desexciter entre letemps t et t+ dt.Si l’on considere le systeme quantique isolee, le processus de relaxation est modelise parune exponentielle decroissante avec un taux #n (l’inverse de ce taux s’appelle la dureede vie du niveau). Dans ce cas on a :

p(t)dt = e""ntdt (18)

6. A. Boreen, Am. J. Phys. 68, 768 (2000)

32


longueur d’onde (nm) couleur intensite404,66 violet407,78 violet faible435,83 indigo491,60 vert chou faible546,07 vert jaune576,96 jaune579,07 jaune

Table 1: Spectre etalonne d’une lampe spectrale au mercure

Figure 15: Schema de desexcitation d’un systeme quantique et emission d’un photond’energie !!0.

! Montrez que la partie reelle de la transformee de Fourier (TF) de la fonction e""nt est unefonction lorenztienne de demi-largeur #n. On considerera la symetrie par renversementdu temps, c’est-a-dire qu’il su"ra de calculer la TF sur l’intervalle [0;+"].

A pression non nulle, l’environnement contribue a l’elargissement du profil de la raieemise. Cette contribution est appelee l’elargissement collisionnel. Les collisions entreles molecules (dans un gaz) ou entre les ions (dans un plasma) interrompent le traind’onde emis par l’emetteur. Cette interruption du train d’onde entraıne l’apparition defrequences additionnelles dans le spectre et elargit donc la raie en plus de l’elargissementnaturel. L’elargissement collisionnel etant caracterise par un taux #c, la demi-largeurtotale du profil est donc : #t = #n + #c. C’est cet elargissement que nous cherchons acaracteriser dans ce TP.

II. Experience

Un simple diapason vibrant a 105Hz est utilise pour modeliser le systeme quantique.La frequence principale du diapason represente la frequence de transition du systeme.Les collisions entre molecules ou entre ions sont modelisees en tapant avec un marteausur le diapason. Chaque frappe perturbe le diapason et cause une interruption du traind’onde (acoustique dans ce cas). Le signal audio emis par le diapason (voir figure 16)est l’analogue du signal optique emis par le systeme quantique perturbe. Le detecteurdans ce modele est donc un microphone qui est relie a un ordinateur via une carted’acquisition. Pour representer le milieu collisionnel, il su"t d’exciter le diapason puisde frapper (pas trop fort) celui-ci de maniere aleatoire a la frequence de collision choisie.Cette derniere est definie par le nombre total de coups de marteau donne sur la duree

33


de l’enregistrement.

Figure 16: Exemple de signal enregistre lors de l’excitation du diapason a la frequencede collision de 1Hz et sa FFT en haut a droite.

Manip preliminaire :

– Enregistrez le phonogramme du signal emis par le diapason soumis a aucune pertur-bation a l’aide du logiciel IGOR Pro (voir annexe 1). A partir de celui-ci, calculezle spectre en frequence en prenant la transformee de Fourier du phonogramme (voirannexe 2). Quels sont les e!ets de l’echantillonnage sur le spectre de ce signal ?

– On travaille avec une frequence d’echantillonnage de l’ordre de 6 kHz et une dureed’acquisition de l’ordre de 40 s. Enregistrez le signal emis par le diapason non perturbepuis calculez sa transformee de Fourier. Reiterez l’experience 5 a 10 fois afin d’obtenirune mesure statistique du signal. Le spectre du diapason non perturbe sera obtenu enfaisant la moyenne des spectres acquis (voir annexe 1). Mesurez la largeur du spectredu diapason non perturbe. A quoi correspond cette largeur ?

Manipulation :

L’etude de la largeur du profil de raies en fonction de la frequence de collision se ferapour 4 ou 5 frequences de collisions $c bien choisies.

Pour chaque frequence de collision : enregistrez le phonogramme puis calculez le spectreen frequence. Enregistrez le spectre sous un nouveau nom a chaque experience (’spec1Hz-1’, par exemple) car, afin d’obtenir une bonne statistique, on reiterera l’experience 5 a 10fois pour chacune des frequences de collisions. E!ectuez la moyenne des spectres avantde passer a leur analyse (voir annexe 1).

Que remarquez-vous sur les spectres lorsque la frequence de collision augmente ?

La largeur du profil de raie est obtenue en ajustant le spectre moyenne par une fonctionLorenztienne. En utilisant l’outil d’ajustement (fit en anglais) de IGOR Pro (voir annexe1), mesurez la largeur du profil pour chacune des frequences de collisions et tracez lalargeur du profil en fonction celles-ci. Qu’en deduisez-vous ? Commentez.

34


Annexe 1 : Utilisation de IGOR Pro

IGOR Pro est un logiciel qui permet de collecter, d’analyser et de visualiser des donneesexperimentales.

Reconnaissance de la carte d’acquisition

– Avant de proceder aux mesures, IGOR Pro doit reconnaıtre le signal envoye par lacarte d’acquisition.Ouvrir IGOR Pro en cliquant sur l’icone situee sur le bureau.Aller a Windows # Procedure Windows # Procedure Windows. Une fenetre Procedures’ouvre.Ecrire la ligne de commande suivante : #include <NIDAQmxwavescanprocs>Cliquer sur compile en bas de la fenetre ProcedureFermer cette fenetre.

– Pour ouvrir la fenetre de dialogue avec la carte d’acquisition du signal il su"t d’allerdans :Data # NIDAQ Tools MX # Wave Scan ControlsLa fenetre Scan Control Dev3 s’ouvre.

Pour enregistrer le signal

Dans la fenetre Scan Control Dev3, fixez le nombre de points de votre echantillonnage(Number of Samples), la periode d’echantillonnage (Sample Period (sec.)). Attention, lenombre de points et la periode d’echantillonnage doivent satisfaire la regle d’echantillonnagede Shannon (voir Annexe 2).Selectionner le mode One Shot pour une seule acquisition a la fois et Return Immediatlypour voir se dessiner le phonogramme pendant la duree de l’acquisition.Selectionner le Channel to Scan qui correspond a la voie sur la carte d’acquistion surlaquelle le micro est relie.

Appuyer sur Start pour commencer l’enregistrement. D’apres l’exemple ci-dessus le pho-nogramme sera enregistre dans le fichier : Input1

Pour tracer le signal

Aller dans l’onglet Windows # New GraphChoisir ’Input1’ pour YWave et ’ calculated ’ pour XWave

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Pour prendre la transformee de Fourier du signal

IGOR Pro utilise un algorithme de FFT pour calculer la transformee de Fourier discretedu signal.

La fenetre graphique du signal etant selectionnee, aller a : Analysis # Fourier Trans-forms.Une fenetre de dialogue s’ouvre.Choisir comme Source votre fichier (’Input1’).SelectionnerOutput Type :Magnitude,Output Wave : Auto,Where : Current Data Folder.Ouvrir une nouvelle fenetre graphique et tracer le spectre en frequence (par ex, In-put1 FFT). Vous pouvez limiter votre fenetre des frequences autour de la frequenceetudiee en ”double-cliquant” sur l’axe des abscisses et en choisissant les frequences mi-nimales (manual min) et maximales (manual max) dans l’onglet Axis Range. Memeoperation pour l’axe des ordonnees.

Pour ajuster une fonction sur les mesures

La fenetre graphique du spectre en frequence etant selectionnee, limiter la fenetre desfrequences autour de la frequence etudiee.On limite l’ajustement entre deux bornes de frequences autour de la frequence centrale.Pour cela, aller a l’onglet Graph # Show Info. Une barre apparaıt en-dessous de lafenetre graphique. Cliquer et deplacer le curseur A sur la borne inferieure choisie duspectre puis le curseur B sur la borne superieure.Pour choisir la fonction d’ajustement aller sur l’onglet : Analysis # Fit.Dans Function and Data, choisir la fonction d’ajustement, puis selectionner pour YData le fichier correspondant au spectre mesure ( ou au spectre moyenne sur plusieursmesures).Dans Data Options selectionner Cursors dans Range pour limiter l’ajustement entre lesdeux bornes A et B choisies precedemment. Relever dans la barre des commandes (enbas de l’ecran) les coe"cients de l’ajustement.N.B. Le formule de la fonction utilisee pour l’ajustement est donnee dans la fenetre dedialogue Curve Fitting.

Quelques astuces pour manipuler les fichiers

Toutes les manipulations sur les fichiers (creation, duplication, operations sur les donnees,etc...) sont realisables a partir des onglets d’IGOR ou directement en ligne de commandedans la barre des commandes situee en bas de l’ecran. Chaque action realisee dans Igorest listee dans cette barre.

– On peut par exemple reperer l’action prendre la transformee de Fourier du signal’Input1’ :

FFT/OUT=5/PAD=262144/DEST=Input1 FFT Input1,Pour repeter cette commande copiez la et puis collez la dans la ligne en-dessous dubandeau rouge (voir figure ci-dessous).

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– Pour renommer le fichier ’Input1 !t’ and ’!t 1hz’ :duplicate Input1 FFT ’!t 1hz’

– Pour moyenner deux colonnes de donnees ’!t 1’ et ’!t 2’ par exemple, et pour ecrirele resultat dans ’!t moy’ :

’!t moy’=(’!t 1’+’!t 2’)/2.

Annexe 2 : la Transformee de Fourier discrete (TFD)

La plupart des signaux rencontres lors d’une mesure physique 7 (intensite lumineuse enprovenance d’un astre, courant electrique, son emis par une source, etc...) sont a tempscontinu. Or on travaille tres souvent non pas avec le signal analogique (a temps continu),mais avec des echantillons de ce signal (appele signal a temps discret) lorsque celui-ciest traite par un ordinateur.

On rappelle qu’un signal s(t) est dit ! signalanalogique " (ou encore a temps continu)si la variable independante t varie conti-nument sur un intervalle de temps [t1, t2].Un ! signal a temps discret " est defini surtoutes les valeur entieres de son domainede definition : on le note avec la variableindependante n entre crochet, comme parexemple : s[n], n $ [n1, n2].

L’echantillonnage transforme le signal continu s(t) en un signal discret s[n] composede plusieurs mesures du signal continu, relevees a des instants separes par un pas tem-porel constant. Ainsi : s[n] = s(nTe) ou Te est la periode d’echantillonnage. C’est uneetape necessaire pour pouvoir enregistrer, analyser et traiter un signal par ordinateur,car celui-ci ne peut traiter que des nombres.

Sous certaines conditions, on peut passer de la forme discrete a la forme continue demaniere reversible, et on peut en particulier reconstruire exactement le signal analogiques(t) a partir de ses echantillons. Une condition necessaire pour que cette reconstructiondu signal analogique soit possible est que la frequence d’eechantillonnage fe = 1/Te (soit l’inverse de la periode d’echantillonnage ou encore le nombre d’echantillons par se-

7. texte extrait du cours de Jean-Marc Themlin ”Traitement du Signal”

37


conde ) soit su"samment grande par rapport a la frequence (maximale) fmax du signalanalogique que l’on echantillonne. Le theoreme de Shannon exige que fe soit au moinsegale au double de fmax. Ce critere est tres important car les frequences superieures ala moitie de fe introduisent un recouvrement spectral appele repliement lors du calculde la transformee de Fourier discrete du signal.

La transformee de Fourier discrete (TFD) est un outil mathematique de traitement dusignal numerique, qui est l’equivalent discret de la transformee de Fourier continue quiest utilisee pour le traitement du signal analogique. Il est a noter que la FFT (FastFourier Transform rencontre dans IGOR Pro) est un algorithme particulier de la TFD.La definition mathematique de la TFD pour un signal s deN echantillons est la suivante :

S[k] =N"1"

n=0

s[n] · e"2i#k nN pour 0 ! k < N.

On obtient ainsi une representation spectrale discrete, S[k] du signal echantillonne s[n].La DFT transforme donc la variable de temps en frequence et la resolution en frequencedu spectre est donnee par : #f = 1

NTe. Si le signal original est reel, alors sa DFT a pour

frequence minimum fmin = 0 et pour frequence maximum fmax = fN/2 =N2

1NTe

= 12Te

.

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Travaux Pratiques UE55P –Partie1– Ann´ee 2013-2014 · C’est en 1913, que N. Bohr interpr`ete...

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