De la mécanique classique à la mécanique quantique: pourquoi et
Travaux dirigés de Mécanique n°2 - Prépa TSI Louis Vincent...
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TD M2 Mécanique 2014/15 O.KELLER - TSI 1 Page 1 sur 4 Lycée Louis Vincent Metz Travaux dirigés de Mécanique n°2 Mouvement dans le champ de pesanteur. Exercice 1 : L’aventure de Philae Le 12 novembre 2014, la sonde Rosetta, en orbite autour de la comète Tchourioumov-Guérassimenko (67P, 510 millions de km de la Terre), libère un robot nommé Philae pour étudier la surface de cette comète. Les mesures fournies par la sonde Rosetta indiquent que la masse de la comète est de 1, 0 ± 0,1.10 13 kg et que ses dimensions sont 4,1x5,4 km. 1. Estimer la valeur de l’accélération de la pesanteur à la surface de la comète. (On rappelle la constante universelle de gravitation G = 6,67.10 -11 m 3 .kg -1 .s -2 ) Dans de nombreuses publications (y compris celles du CNES), on peut trouver l’affirmation suivante : « si Philae pèse 100 kg sur Terre, son poids à la surface de la comète n'est plus, du fait de la très faible force de gravité sur 67P, que de 1 gramme ». 2. Commenter cette affirmation. Peut-on en déduire une valeur de l’accélération de la pesanteur au voisinage de 67P ? Exercice 2 : Cascade hollywoodienne Pour les besoins d’un film, un cascadeur effectue une chute du cinquième étage d’un immeuble. Pour amortir sa chute, on dispose au sol un matelas (appelé « Air- Pack ») afin qu’il ne se blesse pas. 1. Analyser les différentes phases du mouvement. 2. En précisant les hypothèses et les valeurs numériques utilisées, estimer l’épaisseur du matelas à choisir pour que le cascadeur ne se blesse pas. (On pourra prendre comme critère que le corps peut subir jusqu’à 10g de décélération sans dommage). 3. Comparer le résultat obtenu à la situation représentée ci-contre. Exercice 3 : Coup franc On étudie un coup franc de football tiré à 20m, face au but de hauteur 2,44m (cf figure). Le ballon de masse m=430g est assimilé à un point matériel M posé sur le sol initialement en O. Le mur, de hauteur 1,90m, est situé à 9,15m du ballon. Le ballon est lancé avec une vitesse initiale V 0 de norme 20m/s et formant un angle α de 20° avec l’horizontale. L’origine des dates correspond au départ du ballon. y x α € V0 Mur But TD M2 Mécanique 2014/15 O.KELLER - TSI 1 Page 2 sur 4 Lycée Louis Vincent Metz 1. Dans un premier temps, on néglige totalement les frottements de l’air. a. Etablir l’équation de la trajectoire. b. Le ballon passe-t-il au dessus du mur ? c. Le tir est-il cadré ? d. Quelle est la durée du tir ? 2. En réalité, des frottements existent, qu’on modélise par une force F = − hv où h est une constante positive de valeur 5.10 -3 kg/s et v le vecteur vitesse de M à chaque instant. a. En appliquant le PFD, montrer que le vecteur vitesse de la balle vérifie une équation différentielle du premier ordre. b. Montrer que la vitesse tend vers une valeur limite. Donner un ordre de grandeur du temps nécessaire à cette évolution. c. Les frottements ont-ils une grande importance au football ? Mouvement à un degré de liberté. Exercice 4 : Masse liée à un ressort sur un plan incliné On considère un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k, dont les extrémités sont reliées à un point fixe O et un point matériel M de masse m. On suppose qu’il n’existe pas de frottement sur le plan incliné. On choisira un axe Ox parallèle au plan incliné (voir figure) 1. Déterminer le, la longueur du ressort à l’équilibre en fonction de l0, m, g, k et α. 2. A partir de la position d’équilibre, M est déplacé d’une distance d comptée algébriquement sur Ox et lâché sans vitesse initiale. Etablir l’équation horaire du mouvement de M en fonction de d, k, m et le. Exercice 5 : Une partie de curling Le curling est un sport de précision pratiqué sur la glace avec de lourdes pierres en granite poli. Il est aussi appelé «pétanque de glace». Le but est de placer les pierres le plus près possible d'une cible dessinée sur la glace, appelée maison. L’équipe marque un point lorsque la pierre est arrivée dans la maison. Le schéma de la piste est représenté ci-dessous. Piste de Curling vue du dessus On suppose que la trajectoire de la pierre est rectiligne d’axe Ox. On considère que la pierre subit un frottement solide. On note T et N les composantes tangentielle et normale de la force de contact exercée par la glace, et f le coefficient de frottement solide tel que T = f N lors du glissement. La vitesse initiale de la pierre, dirigée suivant l’axe Ox est V 0 = V 0 e x .
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Travaux dirigés de Mécanique n°2 Mouvement dans le champ de pesanteur. Exercice 1 : L’aventure de Philae Le 12 novembre 2014, la sonde Rosetta, en orbite autour de la comète Tchourioumov-Guérassimenko (67P, 510 millions de km de la Terre), libère un robot nommé Philae pour étudier la surface de cette comète. Les mesures fournies par la sonde Rosetta indiquent que la masse de la comète est de 1,0 ± 0,1.1013kg et que ses dimensions sont 4,1x5,4 km. 1. Estimer la valeur de l’accélération de la pesanteur à la surface
de la comète. (On rappelle la constante universelle de gravitation G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2)
Dans de nombreuses publications (y compris celles du CNES), on peut trouver l’affirmation suivante : « si Philae pèse 100 kg sur Terre, son poids à la surface de la comète n'est plus, du fait de la très faible force de gravité sur 67P, que de 1 gramme ». 2. Commenter cette affirmation. Peut-on en déduire une valeur de
l’accélération de la pesanteur au voisinage de 67P ? Exercice 2 : Cascade hollywoodienne Pour les besoins d’un film, un cascadeur effectue une chute du cinquième étage d’un immeuble. Pour amortir sa chute, on dispose au sol un matelas (appelé « Air-Pack ») afin qu’il ne se blesse pas. 1. Analyser les différentes phases du mouvement. 2. En précisant les hypothèses et les valeurs numériques
utilisées, estimer l’épaisseur du matelas à choisir pour que le cascadeur ne se blesse pas. (On pourra prendre comme critère que le corps peut subir jusqu’à 10g de décélération sans dommage).
3. Comparer le résultat obtenu à la situation représentée ci-contre.
Exercice 3 : Coup franc On étudie un coup franc de football tiré à 20m, face au but de hauteur 2,44m (cf figure). Le ballon de masse m=430g est assimilé à un point matériel M posé sur le sol initialement en O. Le mur, de hauteur 1,90m, est situé à 9,15m du ballon. Le ballon est lancé avec une vitesse initiale V0
de norme 20m/s et formant un angle α de 20° avec
l’horizontale. L’origine des dates correspond au départ du ballon.
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V0 Mur
But
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1. Dans un premier temps, on néglige totalement les frottements de l’air. a. Etablir l’équation de la trajectoire. b. Le ballon passe-t-il au dessus du mur ? c. Le tir est-il cadré ? d. Quelle est la durée du tir ?
2. En réalité, des frottements existent, qu’on modélise par une force F= −hv
où h est une constante positive de valeur 5.10-3 kg/s et v
le vecteur vitesse de M à chaque instant.
a. En appliquant le PFD, montrer que le vecteur vitesse de la balle vérifie une équation différentielle du premier ordre.
b. Montrer que la vitesse tend vers une valeur limite. Donner un ordre de grandeur du temps nécessaire à cette évolution.
c. Les frottements ont-ils une grande importance au football ? Mouvement à un degré de liberté.
Exercice 4 : Masse liée à un ressort sur un plan incliné On considère un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k, dont les extrémités sont reliées à un point fixe O et un point matériel M de masse m. On suppose qu’il n’existe pas de frottement sur le plan incliné. On choisira un axe Ox parallèle au plan incliné (voir figure) 1. Déterminer le, la longueur du ressort à l’équilibre en fonction de l0, m, g, k et α. 2. A partir de la position d’équilibre, M est déplacé d’une distance d comptée algébriquement sur Ox et
lâché sans vitesse initiale. Etablir l’équation horaire du mouvement de M en fonction de d, k, m et le. Exercice 5 : Une partie de curling Le curling est un sport de précision pratiqué sur la glace avec de lourdes pierres en granite poli. Il est aussi appelé «pétanque de glace». Le but est de placer les pierres le plus près!possible d'une cible dessinée sur la glace, appelée maison. L’équipe marque un point lorsque la pierre est arrivée dans la maison. Le schéma de la piste est représenté ci-dessous.
Piste de Curling vue du dessus
!On suppose que la trajectoire de la pierre est rectiligne d’axe Ox. On considère que la pierre subit un frottement solide. On note T
et N
les composantes tangentielle et normale de la force de contact exercée par la glace, et f le coefficient de frottement solide tel que
T
= f N
lors du glissement. La vitesse initiale de la pierre, dirigée suivant l’axe Ox est V0
=V0 ex
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1. Schématiser la situation et représenter les différentes forces appliquées à M. 2. Déterminer l’expression des forces de contact
N = N
et
T = T
en fonction de f, m et g.
3. Déterminer l’équation du mouvement. Donner l’expression de la vitesse et de la position de la pierre au cours du temps en fonction de f, g, V0 et t.
4. Quelle est la distance parcourue par la pierre jusqu’à son arrêt ? 5. La distance entre le point de tir et le centre de la maison est L=38,41m. Donner la valeur de la vitesse
initiale V0 que le lanceur doit communiquer à la pierre pour qu’elle s’arrête pile au centre de la maison. Faire l’application numérique. On prendra g = 10m.s-2 et f = 0,02.
6. En fait, l’équipe peut marquer un point tant que la pierre se trouve à l’intérieur de la maison (cercle de 1,83m de rayon). Quelles sont les valeurs possibles de L ? En déduire les valeurs possibles de la vitesse V0 pour qu’un point soit marqué. Commenter.
7. Si le lanceur ne communique pas la bonne vitesse, deux autres joueurs peuvent augmenter la distance parcourue par la pierre en frottant vigoureusement la piste avec un balai. Donner sans calcul une interprétation de ce phénomène. Pourquoi la pierre va-t-elle plus loin ?
Exercice 6 : Mouvement sur un cerceau. Un anneau de masse m, assimilable à un point matériel M, peut coulisser sans frottement sur un cerceau vertical de rayon R fixé au sol. 1. Quelles coordonnées doit-on a priori utiliser pour décrire la
position de l’anneau ? 2. Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour l’anneau. 3. Projeter l’expression précédente sur la base choisie. 4. En déduire la période des petites oscillations. On pourra utiliser
l’approximation sin x ≈ x pour x
