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Travaux dirigés d’hydrogéologie quantitative

Thème I : porosité, perméabilité, charge hydraulique, pression matricielle, loi de Darcy.

Exercice I.1

Une usine de traitement d'eau potable utilise 25 filtres à sable pour produire, de façon continue, 300 000 m3.j-1. Combien de filtres peuvent être arrêtés simultanément pour un nettoyage estival, sans baisse de la production d'eau, si la température de l'eau traitée est de 5 °C en hiver et de 20 °C en été. Le tableau I.1-1 donne quelques valeurs de la viscosité dynamique de l'eau et de sa masse volumique en fonction de la température.Tableau I.1-1. Variations de la viscosité dynamique et de la masse volumique de l'eau avec la température

Température en °C

0 5 10 15 20 30 40 60 80 100

Masse volumique en kg.m-3

999.8 1000.0 999.7 999.1 998.2 995.7 992.2 983.2 971.8 958.4

Viscosité dynamique en 103.Pa.s

1.781 1.518 1.307 1.139 1.002 0.798 0.653 0.466 0.354 0.282

Exercice I.2

Dans un sol non saturé, on installe 2 tensiomètres, l'un - A - à 0,50 m de profondeur, l'autre - B - à 1 m de profondeur, selon le montage présenté à la figure I.2.1.

Figure I.2.1. Dispositif expérimental pour la mesure de la succion du sol.

Les cannes tensiométriques sont reliées par des tubes capillaires à un réservoir à mercure dont le niveau est celui du sol. Les cannes et les tubes sont remplis d'eau.

Une fois l'équilibre atteint, on observe une remontée du mercure dans les tubes capillaires de 12 cm pour le tensiomètre A et 10 cm pour le tensiomètre B.

I.2.1) Donner la succion (pression capillaire) du terrain aux côtes 0,50 et 1 m.

I.2.2) En déduire le sens du déplacement de l'eau dans le sol.

Pour ce sol, la courbe de pression capillaire en fonction de la teneur en eau a été mesurée sur échantillon, ainsi que la courbe de la perméabilité en fonction de la teneur en eau (figure I.2.2).

I.2.3) Calculer le flux vertical qui circule entre les cotes 0.5 et 1 m.

I.2.4) Calculer le temps que mettrait un polluant pour migrer d’une cote à l’autre.

TD-HQ-0910.doc 1 Hocine Bendjoudi

Figure I.2.2. Courbes pression capillaire/teneur en eau (gauche) et perméabilité/teneur en eau (droite).

Exercice I.3

On mesure à un instant donné, les pressions interstitielles de l’eau à différentes profondeurs d’un sol. Les mesures sont données dans le tableau suivant :

Profondeur mesurée à partir du sol (en m) Pression interstitielle (en cm d’eau)

0.3 -200

0.6 -80

0.78 -60

0.9 -50

1.4 -25

1.8 -8

2 -4

2.25 -2.3

2.5 0

2.75 25

3 50

Décrire, en fonction de la profondeur, le sens des mouvements de l’eau à l’instant de la mesure.

Exercice I.4

On considère un sol dont le profil de teneur en eau est supposé homogène sur toute la profondeur du sol et égal à θi = 0.20 (figure I.4-1) correspondant à une pression interstitielle de – 250 cm.

Au temps t = 0, ce sol reçoit une pluie qui provoque l'apparition à sa surface d'une lame d'eau de hauteur l0 = 1 cm, constante pendant toute la durée de la pluie.


sol

z

θ θi

A

B

0.6

l0

θs

sol

z

θ θi

Figure I.4-1 Figure I.4-2 Figure I.4-3

I.4.1) Calculez la charge hydraulique hA au point A à la surface du sol et au point B, à la base de la colonne de sol limitée par le front d'infiltration situé à la profondeur de 0.6 m (figure I.4-2), à l'instant t = t1. On admettra que sur toute cette profondeur, la colonne de sol est saturée avec θs = 0.45 (figure I.4-3, modèle de Green et Ampt).

I.4.2) Quelle est entre A et B, la valeur du gradient hydraulique ?

Exercice I.5

Une nappe captive est constituée de 3 couches de sable superposées, de granulométries différentes : la couche de base, d'épaisseur 5 m, a une perméabilité de 10-3 m.s-1, la couche intermédiaire, d'épaisseur 10 m, a une perméabilité de 5. 10-3 m.s-1 et la couche supérieure, d'épaisseur 20 m, a une perméabilité de 10-4 m.s-1. Le toit de la nappe (argiles) est à la cote NGF – 540 m. 3 forages, F1, F2 et F3 sont réalisés dans cette nappe. Ils captent simultanément les trois couches de sable. Les trois couches de sable possèdent la même charge hydraulique, les gradients de charge sont donc uniquement horizontaux. La figure I.5.1 donne la position de chacun des forages. Au sommet des forages artésiens est placé un manomètre pour mesurer la pression en tête, le forage étant fermé par une vanne. On observe :

- F1 : cote du sommet 45 m, pression d'artésianisme à cette cote, 5 Bars.

- F2 : cote du sommet 30 m, pression d'artésianisme à cette cote, 2 Bars.

- F3 : cote du sommet 15 m, pas d'artésianisme, le niveau statique de l'eau est de 8 m sous le sommet du tubage.

I.5.1) Calculer la charge hydraulique dans chaque forage.

I.5.2) Donner sur la figure 3 la direction d'écoulement de la nappe.

I.5.3) Estimer le débit qui s'écoule dans cette nappe, par kilomètre de largeur perpendiculaire à l'écoulement.


F2 : artésien

F1 : artésien

2 km

F3 : non artésien

Figure I.5.1

Exercice I.6

On envisage de créer une décharge de déchets industriels spéciaux dans une ancienne carrière d'argiles du Sparnacien en région parisienne. L'épaisseur résiduelle d'argile est de 10 m, elle repose sur une couche de craie (d'épaisseur 15 m) qui contient une nappe captive dont le niveau piézométrique est dessiné en pointillé sur la figure I.6.1. Le sommet de la couche de craie est à la cote + 30 m NGF. Une fois la décharge créée, on supposera que s'accumulent au fond de celle-ci des eaux d'infiltration polluées, sur une hauteur de 1 m, comme indiqué sur la figure I.6.1. Au dessus de ce niveau de 1 m, les eaux seront supposées reprises et évacuées par l'exploitant.

On a prélevé un échantillon de cette argile du Sparnacien pour étude en laboratoire. Les résultats bruts des mesures sont les suivants :

- diamètre de la carotte prélevée : 76 mm ; longueur testée : 10 cm ; poids saturé en eau : 816 g ; poids après étuvage à 105 °C : 676 g.

- débit qui circule dans la carotte quand elle est saturée en eau et que l'on applique une surpression d'eau de 20 bars (1 bar = 105 Pa) sur la face amont, la face aval étant à la pression atmosphérique prise comme pression nulle de référence, et sa longueur étant toujours de 10 cm (figure I.6.2) : 0,555 millilitre par minute.


1 0 m

100 m

Eau 1m sur le fond

Niveau piézométrique de la craie

Sources

Mur de la craie

Craie Argile

Cote 30 m NGF

10 m

100 m

Eau 1m sur le fond


Sources

Mur de la craie

Craie Argile

10 m

100 m

10 m

100 m

Eau 1m sur le fond


Sources

Mur de la craie

Craie Argile

Cote 30 m NGF

Figure I.6.1.

Carotte d’argile : Φ76 mm, l 10 cm

P = 20 bars P = 0 bars





Figure I.6.2.

I.6.1) Calculez la porosité totale de l'argile.

I.6.2) Calculez la perméabilité de l'argile.

I.6.3) Calculez la charge hydraulique h1, dans la décharge au dessus du banc d'argile, sous le niveau de l'eau polluée.

I.6.4) Donnez la charge hydraulique h2, au contact de l'argile et de la nappe de la craie.

I.6.5) Calculez le débit d'eau polluée qui est susceptible de s'écouler de la décharge vers la nappe de la craie à travers la couche d'argile, par hectare de décharge (1 ha = 10 000 m²).

I.7.6) En admettant que certains polluants contenus dans cette eau ne sont pas retenus par l'argile (organochlorés ou phénols par exemple), et avec les éléments dont vous disposez estimez le temps qu'il faudra à ce flux pollué pour traverser la couche d'argile et arriver à la nappe, le système restant en régime permanent par ailleurs. Commentez votre estimation.

Exercice I.7

On considère deux milieux isotropes M1 et M2, de perméabilités respectives k1 et k2 séparés par une interface rectiligne F. Un écoulement traverse le milieu M1 et arrive à l’interface F avec un angle θ1 avec la normale à F (figure I.7.1). Quelle sera la direction de l’écoulement dans le milieu M2 ? Discuter en fonction des valeurs relatives de k1 et k2.


Interface FM2

M1

k2

k1

θ1

Interface FM2

M1

k2

k1

θ1

Figure I.7.1. Géométrie du milieu

Exercice I.8

Dans son ouvrage « Mécanique des sols appoliquée »1, Terzaghi pose le petit problème suivant :

Une grande fouille a été creusée dans une couche d’argile consistante dont le poids spécifique à l’état saturé est de 1,76 g/cm3. Quand la fouille a atteint une profondeur de 7,60 m, le fond de la fouille s’est soulevé et s’est fissuré progressivement. La fouille a alors été envahie par un mélange d’eau et de sable. Des sondages effectués après cet accident ont montré qu’il existait sous l’argile une couche de sable dont la face supérieure se trouvait à 11,25 m au dessous de la surface du sol. Déterminer la cote que l’eau aurait atteinte dans un forage descendu jusqu’à la couche de sable avant le début des travaux.

Expliquez ce qui a pu se passer et formalisez les phénomènes entrant en jeu pour pouvoir répondre à la question.

Exercice I.9

On considère un massif dunaire côtier constitué de dépôts alluvionnaires et éoliens recouvrant un substratum imperméable. Ce substratum affleure à environ 5 km de la cote et se trouve à la cote -80 m par rapport au niveau de la mer (figure I.9.1).

1 Terzaghi K. et Peck R. B., 1965. Mécanique des sols appliquée, Dunod, Paris, 565 p.


Figure I.9.1

Parallèlement à la cote, la longueur du massif est de 10 km (perpendiculairement au plan de la figure).En régime naturel, la nappe s'écoule vers la mer avec un gradient moyen de 1%. Un essai de débit effectué sur un forage complet (allant jusqu'au substratum) et situé à une distance de 500 m du rivage a donné une transmissivité de : 8,5 . 10-3 m².s-1.I.9.1) Calculer le débit qui se perd en mer.I.9.2) Les précipitations annuelles affectant ce massif sont de l'ordre de 1500 mm.an-1. Calculer le taux d'infiltration moyen de la pluie.

Figure I.9.2

I.9.3) En profondeur l'interface eau salée-eau douce aura la forme d'un biseau tel qu'illustré par la figure I.9.2. La masse volumique de l'eau de mer est de 1025 kg/m3. Etablir une relation liant la charge hydraulique h (mesurée à partir du niveau de la mer) et la profondeur z de l'interface (même origine).I.9.4) On décide de capter la nappe à l’aide d’un forage, de diamètre De 7,5 pouces, foré à 500 m de la cote et crépiné jusqu’à la cote – 70 m. Calculer le débit maximum que l’on peut extraire, en régime permanent, sans atteindre l’eau salée. Le rayon du forage est de 15 pouces.

Thème II : Equations d’écoulement.

Exercice II.1

On considère un filtre à café circulaire dont une coupe diamétrale est donnée à la figure II.1.1. On utilise un café de mouture telle que sa perméabilité est de 10-3 m.s-1 et dont on remplit le godet inférieur. Estimer le temps que mettra le café pour « passer ».


Figure II.1.1. Coupe du filtre à café.

Exercice II.2

On considère une bande terre comprise entre deux canaux selon la disposition de la figure suivante ;

La pluviométrie annuelle est de 1800 mm et l’infiltration est de 40%. La largeur de la bande L est égale à 1000 m et les hauteurs d’eau sont h0 = 20 m et H0 = 22 m. La perméabilité est supposée uniforme et égale à 10-4 m.s-1.

On veut calculer le débit entrant (ou sortant) dans chaque canal par kilomètre de longueur de la bande de terre.

II.2.1) Une première solution, dite intégrale, serait de calculer l’équation de la surface libre de la nappe dans la bande de terre et d’en déduire le débit.

II.2.2) Une deuxième solution, dite différentielle, consiste à remarquer que, du fait de l’apport de la pluie, la nappe est bombée et qu’entre les deux canaux, il devrait exister une section à travers laquelle le débit est nul, selon le schéma de la figure suivante :

A droite et à gauche de x1, le débit est alors du uniquement à l’apport de la pluie.

II.2.3) Une troisième solution consiste à remarquer qu’en fait on a une superposition de deux écoulements, l’un du à l’apport de la pluie et l’autre du à la différence de niveau entre les deux canaux selon la figure ci-dessous :

Exercice II.3

Deux puits sont perforés à 50 m l’un de l’autre dans une strate de sable dont la perméabilité est de 500 . 10-4 cm/s et qui repose sur une limite imperméable horizontale.

La hauteur initiale H de la nappe souterraine au-dessus de cette limite imperméable est de 40 m. Un débit Q = 1000 litres/mn est pompé de chaque puits. On estime atteindre un état permanent à l’intérieur d’un cylindre de rayon R = 500 m et la charge originale de 40 m est inchangée au delà de ce cylindre. Les deux puits ont un rayon de 0,5 m. On suppose que, pour chaque puits individuel, la rayon au delà duquel la charge originale n’est pas affectée est aussi de 500 m.

II.3.1) Montrez que la charge h au point M (x ;y) d’une nappe libre de perméabilité K, induite par le pompage d’un débit Q dans un puits de coordonnées (xi ; yi), est donnée, en régime permanent par l’équation :

( ) cte)yy()xx(lnK2

Q)y;x(h 2i

2i

2 +−+−π=

II.3.2) Tracer la courbe de la surface piézométrique le long du plan vertical passant à travers les 2 puits, lorsqu’ils fonctionnent tous les deux.

II.3.3) De combien la présence du 2e puits affecte-t-elle la charge au premier puits ?II.3.4) Intuitivement on peut penser que plus on s’éloigne d’un puits, plus le rabattement de la surface se rapproche de ce qui existerait pour un seul puits situé à mi-distance des deux et pompant un débit égal à la somme des débits des puits individuels. Vérifiez cette affirmation.


Exercice II.4

On considère un polder délimité par une digue imperméable, de base 2L = 40 m, reposant sur un sol constitué d’une couche peu perméable d’épaisseur e2 = 2 m et de perméabilité k2 = 5.10-9 m.s-1, reposant elle-même sur une couche d’épaisseur e1 = 10 m, de perméabilité k1 = 10-5 m.s-1, limitée par un substratum imperméable. La hauteur moyenne h1 de l’eau de mer au dessus de la première couche est de 8 m (figure II.4.1).

Calculer le débit de fuite par km de digue.

Figure II.4.1. Géométrie et caractéristiques hydrauliques du polder.

Thème III : Applications.

Exercice III.1 : Influence d’une modification du niveau d’une rivière

Dans la région Nord - Pas de Calais se situe le Parc Naturel Régional de la Scarpe et de l’Escault, selon la carte ci-jointe.

Ce parc contient dans la vallée de la Scarpe, une « zone humide » classée Zone Naturelle d’Intérêts Ecologique et Faunistique (ZNIEF), constituant un enjeu écologique à préserver. S’y développent en effet des prés humides, des peupleraies et marais avec une Zone d’Intérêt pour la Conservation des Oiseaux (ZICO).

La rivière principale, la Scarpe, est entièrement canalisée et son niveau est maintenu à une cote imposée par un jeu d’écluses, qui y permettent la navigation. Il s’agit d’un canal de petit gabarit de type Freycinet (300 t).

Il est prévu de modifier le gabarit de ce canal et de réaliser des travaux sur l’Escault, ce qui pourrait conduire à une baisse de 50 cm du niveau de l’eau dans la Scarpe. Or une telle variation affecterait le niveau de l’eau de la zone humide ce qui pourrait engendrer un assèchement de marais et une modification du type de végétation.


Il vous est demandé de prédire la baisse du niveau piézométrique de la nappe de la vallée de la Scarpe, suite à une modification du niveau de la Scarpe de 50 cm. On se placera pour cela dans une section de la nappe, au niveau des Prés de Warlaing, qui constitue la zone la plus


sensible. On constate dans la carte jointe, que coulent dans la vallée de la Scarpe deux petites rivières plus ou moins parallèles à la Scarpe, le Décours et la Traitoire. Vous étudierez, la plaine alluviale entre la Scarpe et le Décours, au droit de Warlaing. La largeur de la plaine entre ces deux rivières (voir carte et la coupe) est d’environ 1300 m.

La cote du Décours est supposée ne pas varier et rester fixée à + 15 m NGF. Celle de la Scarpe est, dans l’état actuel de + 15 m mais serait rabattue à + 14,5 m, si les travaux sont autorisés. Bien que la Scarpe soit assez polluée et que son fond peut être colmaté, on fera l’hypothèse que, tant la Scarpe que le Décours imposent leur cotes respectives à la nappe dans la bande de plaine représentée sur la coupe ci-jointe. La topographie du sol entre les deux cours d’eau est aussi représentée sur la coupe, elle avoisine la cote + 16 m NGF.

Du point du vue géologique, un sondage a été réalisé dans la plaine au voisinage de Warlaing et des échantillons ont été ramenés au laboratoire pour mesure de la perméabilité, avec les résultats suivants :

Epaisseurs (cm) Perméabilité (m.s-1)

Terrain naturel Cote + 16 m NGF

Tourbe 50 2.10-4

Sable légèrement argileux 300 2.10-4

Sable avec mélange d’argiles 500 1,6.10-4

Limons sablo-argileux 300 1.10-4

Substratum des argiles de Louvil Cote + 4,5 m NGF

La pluie moyenne interannuelle est de 750 mm. L’évapotranspiration potentielle est estimée à 600 mm.an-1. Des études faites sur des zones humides analogues (vallée de la Seine) ont montré que l’évapotranspiration réelle pouvait atteindre les 95 % de l’ETP. Compte tenu du relief relativement plat, le ruissellement peut être supposé négligeable.

On souhaite connaître l’étendue de la plaine, comptée à partir de la Scarpe, où la baisse du niveau de la nappe sera supérieure à 20 cm en moyenne annuelle.

Vous donnerez d’abord une réponse rapide avec des hypothèses simplificatrices que vous aurez soin de préciser.

Dans une deuxième étape, vous ferez un calcul plus précis tenant compte des conditions réelles. Vous aurez peut être à procéder par tâtonnement.

A partir de cette approche, donnez la baisse maximale acceptable pour le niveau de la Scarpe si on veut que 90 % au moins de la zone humide n’en soit pas affectée, c'est-à-dire que le niveau piézométrique n’y baisse pas de plus de 20 cm. Vous pourrez procéder en deux étapes comme pour la première question.

Exercice III.2 : Protection d’une nappe alluviale contre une pollution accidentelle

Les risques de pollution d'une nappe par une raffinerie se présentent de deux façons distinctes :

1) En marche normale, des fuites accidentelles ou pernicieuses peuvent se produire au niveau des conduites et circuits. On tente d'y remédier en imperméabilisant le sol et en drainant les écoulements de surface.

2) En cas d'accident grave, la rupture d'un réservoir de stockage pourrait répandre une très grande quantité d'hydrocarbures à la surface du sol. Pour limiter ce risque, on construit, autour


des réservoirs, des digues imperméables formant un bassin de telle sorte que le volume d'hydrocarbures puisse y être retenu :

Réservoir volume du bassin = volume du réservoir

On ne peut éviter, cependant, que ces bassins puissent laisser percoler des hydrocarbures vers la nappe sous-jacente. C'est un tel problème que nous voulons étudier. Nous nous placerons dans le cas d'une nappe alluviale, car les raffineries sont souvent implantées au voisinage des fleuves, pour faciliter les problèmes de transport. Nous étudierons un emplacement hypothétique dans la plaine de la Garonne.

III.2.1) Indiquez brièvement (plutôt un dessin que beaucoup de texte) le schéma de pollution de la nappe alluviale qui résulterait d'une rupture de réservoir.

L'aquifère est formé par une couche de sables moyens avec graviers (terrasse récente de la Garonne) reposant sur des marnes vertes constituant la substratum (voir coupe de forage en figure III.2.1). Un essai de débit effectué dans la zone a donné une transmissivité T = 0,02 m².s-1 et un coefficient d’emmagasinement S = 0,01. La figure III.2.2 donne un état piézométrique de la nappe en régime naturel.

On décide de protéger la nappe en implantant à l'aval de la raffinerie un forage pouvant prélever un débit important, suivant le schéma de la figure III.2.2.

III.2.2) Expliquez brièvement comment un tel dispositif de protection peut fonctionner. On supposera, pour simplifier, le milieu alluvial infini et la transmissivité de la nappe constante et égale à la valeur trouvée à l’essai de débit.

III.2.3) Etablissez, en fonction de xM, rM (voir figure III.2.2) et du débit q pompé, l'expression de la charge hydraulique, en régime permanent, en tout point M de la nappe, en tenant compte de l’écoulement naturel et de l’influence du pompage de protection.

III.2.4) Calculez le débit qu'il faut prélever en régime permanent dans le forage pour être sûr d'y récupérer toute source de pollution qui pourrait percoler de la raffinerie vers la nappe.

Figure III.2.1. Coupe du forage


0 (7 m NGF)

Figure III.2.2. Position de la raffinerie, du forage et des isopièzes de la nappe en régime naturel (m).

Figure III.2.3. Plan de situation simplifié de l’implantation de la raffinerie, du forage de protection (F) et du pompage (P).

La nappe alluviale est en fait bordée à droite par la Garonne, à gauche par des coteaux calcaires que nous supposerons imperméables. La largeur de la plaine alluviale est d'environ 500 m. suivant le schéma de la figure III.2.3. A 1 km à l'aval du forage de la raffinerie existe une station de pompage. Nous supposerons que la raffinerie et la station de pompage, se situent au centre de la plaine alluviale.

III.2.5) Calculez l'influence de ce pompage de protection, au bout d'un mois de prélèvement, au débit de 960 m3/h, sur les forages de la station de pompage (c'est à dire le rabattement supplémentaire engendré à la station).

Exercice III.3 : Risques de pollution des pompages dans une nappe alluviale

En aval de Paris, la nappe alluviale de la Seine, en continuité avec la nappe de la Craie, est captée par pompage dans la région d’Aubergenville, pour l’alimentation en eau de la région Sud-Ouest de l’agglomération parisienne.

Le problème que nous voulons étudier est celui d’une pollution éventuelle des puits, dans le cas où la Seine viendrait à être accidentellement polluée, en admettant que la nappe et la rivière soient connectées hydrauliquement.

La coupe géologique schématique, transversalement à la rivière, se présente comme suit :


Les alluvions reposent en continuité sur la craie, nous ne considérerons donc qu’une seule nappe dont l’épaisseur mouillée est d’environ 50 m, la craie devenant ensuite très peu perméable en profondeur.

La planche 1 donne une carte piézométrique en régime permanent moyen de cette nappe avant l’implantation des captages.

La planche 2 donne la carte observée alors qu’un seul puits était implanté dans la nappe, et en route depuis un temps suffisamment long pour que les niveaux soient stabilisés.

1) A partir des planches 1 et 2, et en particulier des valeurs des charges lues dans les piézomètres A, B et C, donner une estimation de la transmissivité de la nappe, sachant que le débit du puits est de 100 m3.h-1. La Seine est supposée communiquer parfaitement avec la nappe.

2) Donner une expression analytique (équation) de la charge hydraulique dans la nappe lorsque le captage fonctionne au débit Q.

3) On pousse le débit du puits à 250 m3.h-1. Y a-t-il un danger d’infiltration des eaux de la rivière vers le puits ? Si c’est le cas, donner la longueur du front de rivière le long duquel une telle infiltration peut prendre naissance (c'est-à-dire le long de laquelle le flux d’eau est orienté de la rivière vers la nappe).

4) On va se placer sur le filet de courant le plus rapide reliant la Seine au puits. L’écoulement étant radial vers le puits, la vitesse de l’eau varie lorsqu’on va vers le puits. Donner l’expression de la vitesse moyenne de pore de l’eau en fonction de la distance x du point considéré à la rivière. On donne :

a. Transmissivité de la nappe, celle calculée à la question 1.

b. Perméabilité de la nappe, tabler sur une épaisseur de 50 m, et une perméabilité uniforme sur la verticale.

c. Porosité cinématique, 15 %.

5) A la vitesse v(x), établie à la question précédente, le temps dt mis pour parcourir la distance dx est dx / v(x). En déduire le temps de transfert d’un polluant éventuel, qui ne serait pas absorbé par le terrain, et en négligeant la dispersion, pour cheminer de la rivière au puits.

On rappelle que : ∫ =+ a

xArctg

aax

dx 1

²² .

Cependant, si vous n’y parvenez pas assez rapidement, estimez le temps de parcours en calculant numériquement quelques valeurs de la vitesse donnée par l’expression établie à la question 3 en un petit nombre de points de parcours.

6) A partir du temps déterminé ci-dessus, calculer la vitesse moyenne équivalente de convection, ainsi que la vitesse de Darcy entre la rivière et le puits. On supposera par la suite cette vitesse constante dans l’espace et on va raisonner sur un modèle de transport monodimensionnel de dispersion-convection, entre la rivière et le puits.


7) Le polluant que l’on redoute de voir arriver est du chrome en solution à l’état cationique. Il est donc vraisemblable que cet élément soit adsorbé par le milieu poreux. Pour déterminer cette adsorption, on réalise l’expérience suivante : Dans un bécher, contenant 0,1 litre de solution titrée à 50 mg.l-1 d’ions chrome, on ajoute 5 g de matériau sec extrait de l’aquifère. Après mélange et stabilisation, la concentration dans la solution dans le bécher est tombée à 30 mg.l-1. On supposera que l’adsorption est linéaire, réversible et instantanée. La masse volumique des grains du milieu est de 2,2 t.m-3. Calculer le coefficient de distribution du chrome dans le milieu puis le coefficient de retard du transfert. En déduire le temps au bout duquel la concentration de l’eau arrivant au puits sera de 10 % de la concentration dans la rivière. On admettra que la dispersivité longitudinale est de 20 m et on négligera la diffusion moléculaire. La concentration est supposée rester constante dans la rivière.

8) Une partie seulement de l’eau pompée provient de la rivière. Même si, après un temps très long, tous les filets de courant venant de la rivière au puits étaient pollués intégralement, la concentration de l’eau pompée serait inférieure à celle de la rivière. En fonction de vos réponses aux questions précédentes, donner le facteur de dillution correspondant.


Annexe : extrait du polycopié « Hydrogéologie » de Ghislain de Marsily


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