Travail pratique : Contrôle actif de vibrations d’une ... · (on néglige l’inertie de...

Jean Luc Dion Gaël Chevallier

SUPMECA

Travail pratique : Contrôle actif de vibrations d’u ne maquette de ski avec un actionneur piézoélectrique

Cedrat - Supmeca 2 2011

CE TRAVAIL A OBTENU LE PREMIER PRIX AU

CONCOURS UNIVERSITY CHALLENGE BRUEL & KJAER 2011


Durée : 4 à 8h (selon les objectifs visés) en binôme ou trinôme

Niveau : 1er à 3e cycle d’ingénieur

Contexte :

En compétition, les vibrations des skis sont source d’inconfort et de performances sportives réduites. Il est important de les limiter au maximum.

Ce travail pratique illustre une manière active d’amortir les vibrations du ski. Pour cela, un actionneur piézoélectrique compact et consommant peu d’énergie, est installé avec un accéléromètre sur le ski. Ils sont asservis avec un contrôleur PID. Il

en résulte un facteur d’amortissement multiplié par 10 du ski.

Objectifs pédagogiques: Mécanique des solides : poutre en flexion encastrée libre

Dynamique des structures : fréquences propres, oscillations libres, amortissement, Automatismes / Asservissements : Contrôle PID, filtres notch, filtres passe bande, Traitement du signal et capteurs : diagrammes de bode, analyse de convergence

Matériel nécessaire :

1 Kit TP Cedrat, 1 Oscilloscope, 1 GBF, 1 PC Tous les assemblages 3D sont téléchargeables depuis notre site.


Tables Des Matières 1. Contexte technologique ........................................................................................................ 5 2. Description du montage expérimental .................................................................................. 6 3. Travail demandé ................................................................................................................... 7

Modélisation analytique du système dynamique .............................................................. 8 Modélisation éléments finis du système dynamique ........................................................ 9 Observation et mesures en oscillations libres ................................................................. 10 Observation et mesures en oscillations forcées.............................................................. 11 Observation et mesures sous excitation aléatoires ........................................................ 12 Synthèse des résultats obtenus......................................................................................... 12 Recalage du modèle analytique......................................................................................... 13 Recalage du modèle élément fini ...................................................................................... 13 Simulation en oscillations libres ......................................................................................... 14 Simulation en excitation aléatoire...................................................................................... 14

Etude expérimentale du contrôle actif en oscillation libre ................................................. 15 Discussions ............................................................................................................................... 16 ANNEXE 1: plan du montage expérimental ........................................................................ 17 ANNEXE 2 : Théorie des poutres de type Euler - Bernoulli.............................................. 18

Modes propres de poutres .............................................................................................. 18 ANNEXE 3 : Asservissements P.I.D. source wikipédia .................................................... 20

Principe général.................................................................................................................... 20 Réglage d'un PID ................................................................................................................. 20


1. Contexte technologique

Les performances des skis sont étroitement liées à leur comportement dynamique. Au delà de la notion de "raideur" ce sont avant tout des caractéristiques vibratoires particulières qui sont recherchées et qui faciliteront la réactivité et la contrôlabilité des skis par leur utilisateur. Selon que le ski est dédié au slalom, à la descente ou au saut , les performances attendues sont très variables mais toujours étroitement liées à la dynamique de la structure du ski. Les vibrations excessives d'un ski sont une sources d'inconfort pour l'utilisateur mais elles conduisent surtout à un contrôlabilité réduite et des performances sportives moindre.

D'un point de vue de la pratique sportive les caractéristiques de masse et de raideur définissent la réactivité du ski. D'un point de vue structure ces caractéristiques définissent les fréquences propres et modes propres du ski qui peuvent être observés localement (à la fixation de la chaussure) comme une rigidité dynamique dans le domaine fréquentiel. Ces caractéristiques ne permettent pas de limiter et de contrôler l'amplitude et la durée des vibrations du ski lors de sollicitation transitoires brusques telles que les virages serrés d'un slalom ou la perte de contact du ski avec la neige lors d'un saut. Le contrôle de ces vibrations est principalement déterminé par l'amortissement. Les solutions technologiques retenues par les constructeurs sont presque toujours basées sur un amortissement passif obtenu grâce à des matériaux fortement dissipatif tels que les polymères.

Le TP présenté se propose d'étudier, sur la base d'une maquette à échelle réduite, le comportement dynamique d'un ski et s'intéressant plus particulièrement à l'amortissement dans un premier temps. Un dispositif original de contrôle actif de vibration utilisant un stack piézoélectrique est présenté dans un deuxième temps. Ce dispositif qui permet d'obtenir un amortissement apparent très largement supérieur aux solutions passives est alors étudié et optimisé .


2. Description du montage expérimental

Le montage est constitué d'une structure, poutre, support, actionneur piézoélectrique et son montage. Ce montage est détaillé sur la figure suivante et le plan d'ensemble donné en annexe.

Montage expérimental avec le boitier de commande, conditionnement et asservissement et la structure instrumentée.

Accéléromètre

Actionneur Piézo et son montage

Commande de l’actionneur

Conditionnement accéléromètre

Asservissement

Montage complet


3. Travail demandé

Dans ce travail pratique, vous devez analyser la structure en terme de comportement vibratoire. Dans un premier temps, vous proposerez un modèle analytique et un modèle numérique (éléments finis) de la structure. Ces deux modèles devront permettre de prédire les fréquences et les modes propres de la structure avec un degré croissant de précision. Dans un deuxième temps, vos caractériserez la structure du point de vue expérimentale en vibrations libres puis en vibrations forcées. Cette caractérisation permettra d'obtenir les valeurs vraies des fréquences propres. Par ailleurs, cette étude expérimentale permettra d'affecter des valeurs d'amortissement aux modes étudiés, valeurs difficilement accessibles par la mesure.

Q1. Réaliser un schéma synoptique du montage expérimental (partie mécanique et instrumentation électronique).


Modélisation analytique du système dynamique

L'objectif de cette partie est de construire un modèle analytique basé sur la théorie des poutres avec hypothèse d'Euler Bernoulli pour déterminer les fréquences propres et les déformées propres de la lame.

Q2. A partir de l'annexe 2 démonter que les pulsations propres sont de la forme :

avec 2

4. .

.SE I

ρ ωλ =

Q3. Résoudre et effectuer l'application numérique. (Vous pourrez discucter au préalable de la pertinence des valeurs numériques à retenir, en particulier celle de la longueur de la poutre.


Modélisation éléments finis du système dynamique

L'objectif de cette partie est de construire un modèle "mécanique des milieux continus" de la structure. Pour cela le point de départ est la représentation 3D du montage. La structure est relativement complexe, constituée de nombreuses pièces : supports, poutre, actionneur, capteur "accéléromètre" ...

Q4. Dans un premier temps, vous devez effectuer une analyse qualitative du montage et proposer des simplifications pour effectuer une analyse qui ne soit pas trop couteuse en temps de calcul. Préciser les hypothèses que cela implique.

:

Q5. Proposez une modélisation de la structure dans l'atelier de simulation de structures de CATIA V5. Précisez vos choix de conditions aux limites et de chargement. Précisez également le maillage que vous avez utilisé.

Q6. Calculez les déformées et fréquences propres des 4 premiers modes. Comparez ces résultats aux résultats analytiques. Quelles sont les hypothèses qui diffèrent entre les deux approches.

Q7. Présentez une brève analyse de convergence sur la fréquence par rapport au maillage. Vous prendrez comme indicateur la taille globale.


Observation et mesures en oscillations libres

Q8. A partir d'un relevé expérimental en oscillations libres, déterminer la première fréquence propre naturelle de la poutre ainsi que son amortissement. (La fréquence pourra être déterminée à partir de la période moyenne observée sur plus de 10 oscillations. Le taux d'amortissement pourra être obtenu par la méthode du décrément logarithmique sur plus d'une dizaine de périodes). Discuter : - de la linéarité du système, - de l'incertitude des grandeurs observées et quantifiées.


Observation et mesures en oscillations forcées

Q9. A l'aide d'un générateur de signaux (GBF), déterminez la réponse forcée en régime sinusoïdale du système avec une tension d'alimentation de 0,5V du stack piézoélectrique. Déterminez les 3 premières fréquences résonance du système.

Q10. L'étude expérimentale sera conduite autour du premier mode de flexion. En déduire le taux d'amortissement par la méthode de la bande passante. Comparez et discutez ce résultat avec l'amortissement obtenu précédemment.


Observation et mesures sous excitation aléatoires

Q11. A partir d'une excitation aléatoire produite par un générateur de signaux et appliquée au stack piézoélectrique, représenter le spectre du signal accélérométrique ou la Fonction de Réponse en Fréquence H1 entre l'excitation (signal émis) et la réponse (accélération). En déduire les 3 premières fréquences propres du système. Commentez.

Synthèse des résultats obtenus

Q12. Proposez un tableau synthétique des résultats obtenus à ce stade. Commentez.


Recalage du modèle analytique

Q13. En vue d'améliorer la prédiction du comportement dynamique du système, proposez et discutez d'une méthode de recalage (choix d'un ou de plusieurs paramètres de recalage). Réaliser l'application numérique de la méthode retenue. Que peut-on dire de l'amortissement dans le modèle de poutre proposé ?

Recalage du modèle élément fini

Afin d'améliorer la représentativité du modèle EF, nous choisissons de prendre en compte le stack et son montage dans le modèle.

Q14. Construire le modèle EF de la poutre avec son stack.


Q15. Effectuez un calcul des fréquences dans cette configuration. Commentez

Simulation en oscillations libres

Simulation en excitation aléatoire


Etude expérimentale du contrôle actif en oscillatio n libre

Q16. En utilisant le module de contrôle actif en vibration et en vous appuyant sur l'annexe 3, Réaliser différents réglages en étudiant l'influence des paramètres P, I et D. Quel est la paramètre le plus influent pour le contrôle actif de vibration pour un amortissement apparent maximal ? Justifiez votre réponse.

.

Q17. Quelles sont les configurations paramètriques qui conduisent à un système instable ? Justifiez votre réponse. Partie à réaliser en présence de l'enseignant

Risque de détérioration du système si l'instabilité est maintenue trop longtemps.

Q18. Déterminer une configuration optimale pour le contrôle de vibration du premier mode propre de la structure. Vous discuterez et quantifierez les performances obtenus pour quelques configurations d'asservissement différentes(entre 3 et 7).


Discussions

Q19. Proposer une méthode et un plan d'action pour réutilisation ce travail à échelle réduite sur la conception d’un ski grandeur nature : Calcul de structures, Choix d’actionneur, mise en œuvre de l’asservissement

Q20. Quels est la nature et l'origine possible des non linéarités de l’amortissement ?

Q21. Quels sont les limites et contraintes technologiques de l'asservissement proposé ?

Q22. Quels sont selon vous les autres domaines d'application possible à cette maquelle ?


ANNEXE 1: plan du montage expérimental


ANNEXE 2 : Théorie des poutres de type Euler - Bern oulli

Modes propres de poutres Le modèle d'une poutre de type Euler – Bernoulli. Les efforts tranchants (projetés sur Oy) conduisent à :

2

2. .

T vT T dx S dx

x tρ∂ ∂ − + + = ∂ ∂

soit : 2

2.

T vS

x tρ∂ ∂=

∂ ∂

Les moments (exprimé sur la partie droite du volume élémentaire conduisent à :

. 0M

T dx M M dxx

∂ − − + + = ∂ soit

MT

x∂=∂

(on néglige l’inertie de rotation)

Par ailleurs la RDM nous fournit l’expression du Moment fléchissant : 2

2. .

vM E I

x∂= −∂

(Avec E le module d’Young et I, le moment d’inertie quadratique en flexion de la section

droite) La dynamique d’une poutre est donc décrite par :

4 2

4 2. . . . 0

v vE I S

x tρ∂ ∂+ =

∂ ∂ (dans le cas ou la poutre est excitée en force, le second membre est non nul)

Ce qui par Transformée de Fourier conduit à : 4

24

ˆ . ˆ 0.

V SV

x E Iρω∂ − =

∂

Dont la solution générale est de la forme :

Avec : 2

4. .

.SE I

ρ ωλ =

A B

T

TT dx

x∂+∂

MM dx

x∂+∂

M

2

2. .

vS dx

tρ ∂

∂

v

dx


Les conditions aux limites de la poutre permettent de restreindre la forme générale de la solution :

Dans le cas d’une poutre Cantilever (encastrée - libre) les solutions sont définies par :

Dont les solutions sont : Pour les modes d’ordre plus élevé la solution peut être approximée : ( )1

2kL kλ π= +

La déformée est de la forme : Avec :


ANNEXE 3 : Asservissements P.I.D. source wikipédia

Principe général

L'erreur observée est la différence entre la consigne et la mesure. Le PID permet 3 actions en fonction de cette erreur :

• Une action Proportionnelle : l'erreur est multipliée par un gain G • Une action Intégrale : l'erreur est intégrée sur un intervalle de temps s, puis divisée par un gain

Ti • Une action Dérivée : l'erreur est dérivée suivant un temps s, puis multipliée par un gain Td

Il existe plusieurs architectures possibles pour combiner les 3 effets (série, parallèle ou mixte), on présente ici une architecture parallèle :

La fonction de transfert avec la transformée de Laplace du régulateur PID parallèle est la somme des 3 actions:

; Les différents paramètres à trouver sont G, Td et Ti pour réguler le procédé ayant pour fonction de transfert H(s). Il existe de nombreuses méthodes pour trouver ces paramètres. Cette recherche de paramètre est communément appelée synthèse. La procédure expérimentale pour calculer ces paramètres s'appelle aussi procédure d’identification paramétrique . La fonction de transfert du contrôleur PID idéale est irréalisable car l'ordre du numérateur est supérieur à l'ordre du dénominateur. Dans la réalité, on rajoute toujours un paramètre alpha sur l'action dérivée de manière à obtenir un ordre 2 au numérateur et au dénominateur :

avec α < < 1 On obtient alors une nouvelle fonction de transfert réalisable :

Néanmoins, pour limiter les effets néfastes du bruit du signal de mesure sur le signal de commande u, on modère l'effet de l'action dérivée dans les régulateurs industriels en adoptant généralement alpha :

.

Réglage d'un PID

Le réglage d'un PID consiste à déterminer les coefficients G, Td et Ti afin d'obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation. L'objectif est d'être robuste , rapide et précis . Il faut pour cela limiter le ou les éventuels dépassements (overshoot).


• La robustesse est sans doute le paramètre le plus important et délicat. On dit qu'un système est robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle change un peu. Par exemple, les fonctions de transfert de certains procédés peuvent varier en fonction de la température ambiante ou de l'hygrométrie ambiante relativement à la loi de Pascal. Un régulateur doit être capable d'assurer sa tâche même avec ces changements afin de s'adapter à des usages non prévus/testés (dérive de production, vieillissement mécanique, environnements extrêmes...).

• La rapidité du régulateur dépend du temps de montée et du temps d'établissement du régime stationnaire.

• Le critère de précision est basé sur l'erreur statique (ou de statisme).

La réponse type d'un procédé stable est la suivante :

Les paramètres du PID influencent la réponse du système de la manière suivante :

• G : Lorsque G augmente, le temps de montée (rise time) est plus court mais il y a un dépassement plus important. Le temps d'établissement varie peu et l'erreur statique se trouve améliorée.

• Ti : Lorsque 1/Ti augmente, le temps de montée est plus court mais il y a un dépassement plus important. Le temps d'établissement au régime stationnaire s'allonge mais dans ce cas on assure une erreur statique nulle. Donc plus ce paramètre est élevé, plus la réponse du système est ralentie.

• Td : Lorsque Td augmente, le temps de montée change peu mais le dépassement diminue. Le temps d'établissement au régime stationnaire est meilleur. Pas d'influences sur l'erreur statique. Si ce paramètre est trop élevé dans un premier temps il stabilise le système en le ralentissant trop mais dans un deuxième temps le régulateur anticipe trop et un système à temps mort élevé devient rapidement instable.

Pour ces trois paramètres, le réglage au-delà d'un seuil trop élevé a pour effet d'engendrer une oscillation du système de plus en plus importante menant à l'instabilité.

L'analyse du système avec un PID est très simple mais sa conception peut être délicate, voire difficile, car il n'existe pas de méthode unique pour résoudre ce problème. Il faut trouver des compromis, le régulateur idéal n'existe pas. En général on se fixe un cahier des charges à respecter sur la robustesse, le dépassement et le temps d'établissement du régime stationnaire. Les méthodes de réglage les plus utilisées en théorie sont la méthode de Ziegler-Nichols, la méthode de P. Naslin (polynômes normaux à amortissement réglable), la méthode du lieu de Nyquist inverse (utilise le diagramme de Nyquist).


Dans la pratique, les professionnels utilisent soit l'identification par modèle de Broïda pour les systèmes stables ou le modèle intégrateur retardé pour les systèmes instables soit la méthode par approches successives, qui répond à une procédure rigoureuse : on règle d'abord l'action P seule pour avoir un dépassement de 10 à 15% puis l'action dérivée de façon à "raboter" au mieux le dépassement précédent, enfin on ajuste si nécessaire l'action intégrale en se fixant un dépassement final compris entre 5 et 10%.

Dans environ 15% des cas les performances d'un PID peuvent devenir insuffisantes en raison de la présence d'un retard trop important dans le modèle du procédé, on fait alors appel à d'autres algorithmes de réglage (notamment : régulateur PIR ou à modèle interne ou à retour d'état).

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