UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI DE TIZI-OUZOU

FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE

DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE

Binôme : DJEMAI Djamel DJEBRANI Hakim

I- Introduction   :

Compte rendu du TP n°02

Résolution par la méthode des éléments finisd’équations électromagnétiques

MODULE : TEC 431

40mm

5mm

30mm

10mm

Z

X

Y

5mm

30mm

La méthode des éléments finis nous permet de résoudre dans un domaine un problème

défini par les équations aux dérivées partielles et qui est déterminé par Les conditions aux limites de DIRICHLET lorsqu’elles portent sur la fonction et de NEUMANN lorsqu’elles portent sur la dérivée. La méthode des éléments finis nécessite un maillage du domaine qui représente les sous domaines dont la solution totale est la somme de toutes les solutions de ces sous domaines.

II- But de TP   : Le TP a pour but d’utiliser la méthode des éléments finis pour résoudre des équations aux dérivées partielles représentant des phénomènes physiques, dans les dispositifs électromagnétiques à l’aide d’un logiciel de calcul numérique.

III- Manipulation   :

III- 1 Problème électrostatique   :

L’étude se fait sur un dispositif qui représente un conducteur parallélépipédique creux soumis à une différence de potentiel.

III- 1-1 Equations aux dérivées partielles en termes de potentiel Vecteur magnétique :

Equations de MAXWELL   :

15mm

20mm

1

Equations de milieu   :

Loi d’ohms :

Problème statique donc la dérivée par rapport au temps est nulle .

et

On a d’où

= 0

Le plan d’étude est [x,y]

Alors , c’est l’équation aux dérivées partielles régissant le phénomène en

termes de potentiel électrique V.

Dans ce TP on se propose de résoudre un problème électromagnétique sous le logiciel PDEtool qui nous permet d’étudier et de résoudre les équations dérivées partielles en 2D. pour cela nous avons suivi les étapes suivantes sous le logiciel MATLAB :

» Taper la commande PDEtool sur la page de commande de MATLAB

» Aller aux options , puis à l’option «  axes limites ».

» aller au draw, puis à l’option « rectangle/square ».

» aller au Boundry,puis à l’option boundry Mode et par la suite la

détermination des condition aux limites du type :

1) Dirichlet U =U0

Γ

2

2) Neumann =g

Γ

»Aller au pde, puis à loption pde mode.

-div(CgradU)+aU =f -div(εgradV) =ρ

Avec : C= ε a=0 f= ρ » Aller au mesh, puis à l’option Mesh mode.

» Aller au plote,puis à l’option plote solution et par la suite aux paramétres afin de déterminer les différents graphes suivants : u abs(grad(u)) abs(c*grad(u))

III- 1-2 Définition des conditions aux limites   :

III- 1-3 la répartitions du potentiel électrique V   et du champ électrique E   :

1) Pour C=ε=ε 0  :

Vecteur potentiel électrique V   :

3

y V=0 V

V

V=10V x

V

Vecteur champ électrique E   :

Interprétation   :

Les lignes blues à l’intérieur de la tôle représentent la circulation de flux, ce dernier est canaliser par la tôle et il n y a pas de flux circulant à la surface de la tôle (à l’interface air tôle) puisqu’il n y a pas de lignes.

2) Pour c =ε= 4ε 0  :

Vecteur potentiel électrique V

4

Vecteur champ électrique E

Interprétation   :

Les figures 2 et 3 montrent respectivement la répartition du potentiel électrique et du champ électrique E dans la tôle, ils sont concentrés sur les coins à cause de la forme pointeuse qui ont ces coins, ce qui fait apparaître l’effet de pointe.

III-1-4 Calcul de l’énergie électrostatique emmagasinée   et le capacité de condensateur :

1) pour εr = 1   :

L’énergie électrostatique :

5

X

Y

D’après la figure du vecteur du champ électrique E on aura E=2500(au milieu de la partie étudier).

A.N :

L’énergie total du dispositif vaut La capacité :

2) pour εr = 4   :

L’énergie électrostatique   :

A.N :

Alors l’énergie total du dispositif est égale à :

La capacité   :

Conclusion   :

On conclut qu’on augmentant εr la valeur de l’énergie emmagasinée et de la capacité augmentes.

III-2 Problème magnétostatique   :

Le dispositif à étudier est représenté dans la figure suivante, il représente une partie de pôles d’une machine asynchrone.

III-2-1 L’équation représentant le phénomène physique en terme de potentiel vecteur magnétique A   :

6

Equations de MAXWELL   :

Equations de milieu   :

Loi d’ohms   :

Problème statique donc la dérivée par rapport au temps est nulle .

Js =0 car il n y a pas de de source dans les poles.On obtient

Le plan d’étude est [x,y]

7

On a alors

= 0

C’est l’équation qui représente le phénomène physique

en terme de potentiel vecteur magnétique A.

III-2-2 Définition des conditions aux limites   :

Avec : h=25mm

c=20mml= 20mmb=15mm

III-2-3 Les répartitions du potentiel vecteur magnétique et du champ magnétique   :

Toujours avec PDETOOL de MATLEB, on réalise le schéma de la figure 2 avec sa fonction et ses conditions aux limites (A=10-3 T.m), et les conditions de Neumann) en suivant les mêmes étapes faites dans la détermination de potentiel électrique.Nous avons obtenu les schémas suivants :

Pour c =1/μ=1/μ0  :

Vecteur potentiel magnétique V   : 8

y A=10-3 T.m

c h b A= 0 A=0 L

La figure montre la canalisation du flux par la tôle, il est reparti dans la tôle d’une manière uniforme

Vecteur champ magnétique H   :

. Pour c =1/μ=1/5µ 0  :

9

Vecteur magnétique A   :

Vecteur magnétique H   :

Interprétation des figures   :

10

Les figures 5 et 6 représentent la répartition du potentiel vecteur magnétique et de champ magnétique respectivement, elles montrent la concentration des lignes du champ sur les pointes.

III-2-4 calcule des pertes dans le fer   P m :

On a :

Or

Alors

D’apres la figure précédente du champ H on aura H=2*105 A/m (au milieu du sustème).

1) Pour μ r = 1 :

D’après la figure du champ H, on aura H=2*105 A/m (au milieu du système).

D’où les pertes totales du dispositif

2) Pour μ r = 5 :

D’après la figure du champ H, on aura H=5.25*10-8 A/m (au milieu du système).

D’où les pertes totales du dispositif

Conclusion   :

On remarque que la variation de la perméabilité relative fait varie les pertes magnétiques tel que si on augmente la perméabilité, la valeurs des pertes magnétiques diminue, alors on conclu que pour construire une tôle,il est de préférable d’utiliser des matériaux qui ont une perméabilité élevée.

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