GELE2511 Chapitre 2 : Transformée de Laplace€¦ · GELE2511 Chapitre 2 : Transform ee de Laplace...
Transcript of GELE2511 Chapitre 2 : Transformée de Laplace€¦ · GELE2511 Chapitre 2 : Transform ee de Laplace...
GELE2511 Chapitre 2 :Transformee de Laplace
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Universite de Moncton
Hiver 2013
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 1 / 40
Introduction
Contenu
Contenu
Definition de la transformee de Laplace
Transformees fonctionnelles
Transformees operationnelles
Transformee inverse
Application a la convolution
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 2 / 40
Introduction
Introduction
Pourquoi utiliser la transformee de Laplace ?
Permet de simplifier les calculs de la convolution.
Est tres utilise dans l’analyse de circuits.
Tres utile pour le design de filtres analogiques.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 3 / 40
Introduction
Definition
La transformee de Laplace d’une fonction f(t) est :
Transformee de Laplace
F (s) = L{f(t)} =∫ ∞0
f(t)e−st dt
Le resultat sera fonction de s, et non pas de t. L’operateur s est l’inversedu temps, et donc represente une frequence.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 4 / 40
Introduction
Transformee de Laplace
La transformee de Laplace permet de transformer le probleme dudomaine du temps au domaine de frequence.
Lorsqu’on obtient la reponse voulue dans le domaine de frequence, ontransforme le probleme a nouveau dans le domaine du temps, a l’aidede la transformee inverse de Laplace.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 5 / 40
Introduction
Transformee de Laplace
Domainedu temps
Analysedu systeme
Domainedu temps
Domainede
frequence
Transformee de Laplace
Transformee inversede Laplace
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 6 / 40
Introduction
Transformee de Laplace
L’avantage principal d’analyser des systemes de cette facon est queles calculs sont plus simples dans le domaine de Laplace.
Dans le domaine de Laplace, les integrales et derivees se combinent al’aide de simples operations algebriques ; pas besoin d’equationsdifferentielles.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 7 / 40
Conditions
Transformee de Laplace
Certaines observations :
L’integrale de la transformee de Laplace est impropre (bornesuperieure est ∞).
Il faut donc verifier si l’integrale converge.
Dans le cas d’analyse de circuits, on utilise toujours des fonctions quiconvergent.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 8 / 40
Conditions
Transformee de Laplace
La borne inferieure de l’integrale est 0. F (s) ne tient compte que ducomportement de f(t) pour t > 0. On appelle ceci la transformee deLaplace unilaterale.
S’il y a une discontinuite a l’origine, on utilise la valeur a 0−.
La transformee unilaterale ignore les valeurs de f(t) pour t < 0. Cequi se passe avant ca est tenu compte a l’aide des conditions initiales
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 9 / 40
Conditions
Transformee de Laplace
Il y a deux types de transformee :
Transformee fonctionnelle : c’est la transformee d’une fonctionspecifique, comme sin(ωt), t, e−at, etc.
Transformee operationnelle : c’est une propriete mathematique dela transformee de Laplace, comme le calcul de la derivee de f(t).
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 10 / 40
Transformees fonctionnelles
Transformee fonctionnelle : δ(t)
On utilise les proprietes de l’impulsion pour trouver la transformee deLaplace de δ(t) :
L{δ(t)} =∫ ∞0
δ(t)e−st dt = e−st∣∣∣t=0
= 1
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 11 / 40
Transformees fonctionnelles
Transformee fonctionnelle : u(t)
La transformee de l’echelon est :
L{u(t)} =∫ ∞0
(1)e−st dt =e−st
−s
∣∣∣∣∣∞
0
=1
s
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 12 / 40
Transformees fonctionnelles
Transformees fonctionnelles
Exponentiel decroissant e−at :
L{e−at} =∫ ∞0
e−ate−st dt =
∫ ∞0
e−(s+a)t dt =1
s+ a
Sinusoıde sin(ωt) :
L{sin(ωt)} =∫ ∞0
sin(ωt)e−st dt =
∫ ∞0
(ejωt − e−jωt
2j
)e−st dt
=
∫ ∞0
e−(s−jωt) − e−(s+jωt)
2jdt =
ω
s2 + ω2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 13 / 40
Transformee operationnelles
Transformees operationnelles
Les transformees operationnelles indiquent comment des operationseffectuees sur f(t) ou F (s) vont affecter l’autre domaine.
Ces transformees permettent de simplifier le calcul des transformeesde Laplace.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 14 / 40
Transformee operationnelles
Multiplication par une constante
Si la transformee de Laplace de f(t) est F (s), alors,
L{Kf(t)} = KF (s)
On multiplie F (s) par la meme constante.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 15 / 40
Transformee operationnelles
Addition (soustraction)
Si on a
L{f1(t)} = F1(s)
L{f2(t)} = F2(s)
L{f3(t)} = F3(s)
alorsL{f1(t) + f2(t)− f3(t)} = F1(s) + F2(s)− F3(s)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 16 / 40
Transformee operationnelles
Derivee
Pour une derivee :
L
{df(t)
dt
}= sF (s)− f(0−)
De facon generale,
L
{dnf(t)
dtn
}= snF (s)− sn−1f(0−)− sn−2df(0
−)
dt· · · d
n−1f(0−)
dtn−1
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 17 / 40
Transformee operationnelles
Integrale
Pour une integrale :
L
{∫ t
0f(t) dt
}=F (s)
s
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 18 / 40
Transformee operationnelles
Translation
Dans le temps :
L{f(t− a)u(t− a)} = e−asF (s), t > 0
En frequence :L{e−atf(t)} = F (s+ a)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 19 / 40
Transformee operationnelles
Echelonnage
Si le temps est compresse ou etire :
L{f(at)} = 1
aF(sa
), a > 0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 20 / 40
Transformee operationnelles
Convolution
La convolution est simplifiee :
L{h(t) ∗ x(t)} = H(s)X(s)
C’est un des avantages principal de la transformee de Laplace
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 21 / 40
Transformees inverses
Transformees inverses
Apres avoir analyse un probleme dans le domaine de Laplace, il fauteffectuer la transformee inverse pour obtenir la solution dans ledomaine du temps.
L’expression obtenue est souvent une fonction rationnelle de s. C’estle cas pour la plupart des systemes physiques.
La transformee inverse est notee :
f(t) = L−1 {F (s)}
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 22 / 40
Transformees inverses
Transformees inverses
De facon generale, il faut trouver la transformee inverse d’une fonction quia la forme suivante :
F (s) =N(s)
D(s)=
ansn + an−1s
n−1 + · · ·+ a1s+ a0bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0
ou
a et b sont des constantes reelles,
m et n sont des entiers positifs. Generalement, m > n.
F (s) est souvent appelee la fonction de transfert
la technique utilisee pour resoudre ce probleme est appeleel’expansion en fractions partielles.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 23 / 40
Transformees inverses
Fonction de transfert
On peut ecrire l’expression de F (s) sous une autre forme :
F (s) = k(s+ z1)(s+ z2) · · · (s+ zn)
(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pm)
ou
zi est appele un zero de F (s) : ce sont les racines du numerateur.
pi est appele un pole de F (s) : ce sont les racines du denominateur.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 24 / 40
Transformees inverses
Fractions partielles
La methode :
Il faut factoriser le denominateur en une somme de termes, puistrouver la transformee inverse de chaque terme.
La methode est un peu differente selon le type de racines audenominateur : reelles et distinctes, reelles et repetees, ou complexes.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 25 / 40
Transformees inverses
Racines reelles et distinctes
Exemple : F (s) =2
(s+ 1)(s+ 2)
On peut separer en 2 termes : F (s) =2
(s+ 1)(s+ 2)=
K1
s+ 1+
K2
s+ 2
Pour isoler K1, on multiplie chaque cote par s+ 1 :
2
s+ 2= K1 +
(s+ 1)K2
s+ 2
Si on prend s = −1,
K1 =2
s+ 2
∣∣∣∣∣s=−1
= 2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 26 / 40
Transformees inverses
Racines reelles et distinctes
Pour K2, on fait le meme processus :
K2 =2
s+ 1
∣∣∣∣∣s=−2
= −2
Et on obtient :
F (s) =2
s+ 1+−2s+ 2
La transformee inverse est obtenue selon les tables :
f(t) =(2e−t − 2e−2t
)u(t)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 27 / 40
Transformees inverses
Racines reelles et repetees
Exemple : F (s) =2
(s+ 1)(s+ 2)2
On peut separer en 3 termes :
F (s) =2
(s+ 1)(s+ 2)2=
K1
s+ 1+
K2
(s+ 2)2+
K3
s+ 2
Il y a 2 methodes pour resoudre ce probleme.
Methode 1K1 est obtenu de la meme facon qu’au probleme precedent. K1 = 2.On obtient K2 en multipliant par (s+ 2)2 de chaque cote :
K2 =2
s+ 1
∣∣∣∣∣s=−2
= −2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 28 / 40
Transformees inverses
Racines reelles et repetees
K3 est obtenu en derivant l’expression de K2.
K3 =d[2(s+ 1)−1]
ds=
−2(s+ 1)2
∣∣∣∣∣s=−2
= −2
ce qui donne :
F (s) =2
s+ 1+
−2(s+ 2)2
+−2s+ 2
et doncf(t) =
(2e−t − 2te−2t − 2e−2t
)u(t)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 29 / 40
Transformees inverses
Racines reelles et repetees
Methode 2
F (s) =2
(s+ 1)(s+ 2)2=
K1
s+ 1+
K2
(s+ 2)2+
K3
s+ 2
On multiplie chaque cote par le denominateur.
2 = K1(s+ 2)2 +K2(s+ 1) +K3(s+ 1)(s+ 2)
= s2(K1 +K3) + s(4K1 +K2 + 3K3) + (4K1 +K2 + 2K3)
et on a 3 equations et 3 inconnues :
K1 +K3 = 04K1 +K2 + 3K3 = 04K1 +K2 + 2K3 = 2
K1 = 2K2 = −2K3 = −2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 30 / 40
Transformees inverses
Racines complexes
Pour les racines complexes, on peut utiliser les 2 methodes presentees pourle cas precedent.
Utiliser les racines complexes, de la meme facon que les racines reelles.
Resoudre un systemes d’equations
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 31 / 40
Transformees inverses
Racines complexes
Exemple : F (s) =3
s(s2 + 2s+ 5)
On separe les termes :
F (s) =3
s(s2 + 2s+ 5)=K1
s+
K2s+K3
s2 + 2s+ 5
On multiplie chaque cote par le denominateur.
3 = K1(s2 + 2s+ 5) + (K2s+K3)s
= s2(K1 +K2) + s(2K1 +K3) + (5K1)
et on a 3 equations et 3 inconnues :
K1 +K2 = 02K1 +K3 = 0
5K1 = 3
K1 = 0.6K2 = −0.6K3 = −1.2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 32 / 40
Transformees inverses
Racines complexes
La fonction est :
F (s) =0.6
s− 0.6
s+ 2
s2 + 2s+ 5
ce qui donne :
f(t) = 0.6− 0.6e−t(cos(2t) + 0.5 sin(2t))
= 0.6− 0.671e−t cos(2t− 26.57◦)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 33 / 40
Theoreme de la valeur initiale et finale
Theoreme de la valeur initiale et valeur finale
Les theoremes de la valeur initiale et de la valeur finale sont utilesparce qu’ils permettent de calculer F (s) a partir de f(t) a 0 ou ∞.
On peut donc calculer les valeurs initiales et finales de f(t) avant defaire la transformee inverse d’une fonction, pour s’assurer que toutfait du sens.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 34 / 40
Theoreme de la valeur initiale et finale
Theoreme de la valeur initiale et valeur finale
Theoreme de la valeur initiale
limt→0+
f(t) = lims→∞
sF (s)
Restriction : f(t) ne doit pas contenir d’impulsions.
Theoreme de la valeur finale
limt→∞
f(t) = lims→0
sF (s)
Restriction : la partie reelle des poles de F (s) doit etre negative.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 35 / 40
Theoreme de la valeur initiale et finale
Exemple
Calculer la valeur finale de f(t), si F (s) =3
s(s2 + 2s+ 5)
On applique le theoreme (les poles de F (s) ont des parties reellesnegatives).
f(∞) = lims→0
sF (s) = lims→0
3
s2 + 2s+ 5= 0.6
On peut confirmer ce resultat avec la valeur calculee de f(t).
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 36 / 40
Convolution
Convolution
Rappel : la convolution dans le domaine du temps est unemultiplication dans le domaine de Laplace.
Convolution(domaine du temps)
Multiplication(domaine de Laplace)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 37 / 40
Convolution
Exemple
Faire la convolution des 2 fonctions suivantes :
0 2 4
0
1
2
3
u(t− 1)
Temps (s)
x(t)
0 2 4
0
1
2
3
3e−2tu(t)
Temps (s)
h(t)
On fait la transformee de Laplace de chaque fonction.
X(s) = L{u(t− 1)} = e−s
s
H(s) = L{3e−2t} = 3
s+ 2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 38 / 40
Convolution
Exemple (2)
On multiplie les transformees ensemble :
Y (s) = H(s)X(s) =3e−s
s(s+ 2)
A l’aide des fractions partielles, on fait la transformee inverse.
f(t) = L−1{Y (s)} = (1.5− 1.5e2−2t)u(t− 1)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 39 / 40
Conclusion
Conclusion
Les points cles de ce chapitre sont :
Calcul des transformees de Laplace.
Utilisation des transformees fonctionnelles.
Application au calcul de la convolution.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 40 / 40