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Chapitre 1 Topologie 1.1 Espaces topologiques 1.1.1 Cas le plus général d’espace topologique Définition 1 (Topologie) Une topologie T sur l’ensemble X est une partie T⊂ P (X) vérifiant : L’ensemble vide et X sont dans T •T est stable par réunions arbitraires •T est stable par intersections finies Un tel couple (X, T ) est appelé espace topologique. Les éléments de T sont appelés les ouverts de la topologie. Une partie de X est dite fermée si son complémentaire est ouvert. Exemples : La topologie discrète sur l’ensemble X est la topologie T d = P (X) La topologie grossière sur l’ensemble X est la topologie T g = {∅,X} Sur N = N ∪{+∞}, la topologie usuelle est l’ensemble des U tels que U N ou +∞∈ U N \ U est cofini. On verra aussi d’autres exemples en parties 1.1.2 et 1.2. Proposition 2 Si X est un espace topologique alors X et sont des fermés de X Une intersection quelconque de fermés est un fermé Une union finie de fermés est un fermé 1
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  • Chapitre 1

    Topologie

    1.1 Espaces topologiques

    1.1.1 Cas le plus gnral despace topologique

    Dfinition 1 (Topologie) Une topologie T sur lensemble X est une partieT P (X) vrifiant : Lensemble vide et X sont dans T T est stable par runions arbitraires T est stable par intersections finies

    Un tel couple (X, T ) est appel espace topologique. Les lments de T sontappels les ouverts de la topologie.Une partie de X est dite ferme si son complmentaire est ouvert.

    Exemples : La topologie discrte sur lensemble X est la topologie Td = P (X) La topologie grossire sur lensemble X est la topologie Tg = {, X} Sur N = N {+}, la topologie usuelle est lensemble des U tels que U N ou+ U N \ U est cofini.

    On verra aussi dautres exemples en parties 1.1.2 et 1.2.

    Proposition 2 Si X est un espace topologique alors X et sont des ferms de X Une intersection quelconque de ferms est un ferm Une union finie de ferms est un ferm

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    Dmonstration : Immdiat, par passage au complmentaire.ut

    Dfinition 3 (Sparation par des ouverts) On dit que la partie A et la partieB sont spares par des ouverts sil existe deux ouverts U et V tels que A U et B V tels que U V = .

    1.1.2 Espaces mtriques et espaces norms

    Dfinition 4 (Mtrique) Une mtrique ou distance sur lensembleX est uneapplication d : X X [0,+[ vrifiant : d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (proprit dite ingalit triangulaire)On dit alors que (X, d) est un espace mtrique.

    Exemples : dp = (

    |xi yi|p)1/p

    d = max|xi yi|

    Proprit : |d(x, z) d(y, z)| d(x, y)

    Dfinition 5 (Boules) Si x est un point de lespace mtrique X et r [0,+[, on appelle boule ouverte (resp. ferme) de centre x et de rayonr, lensemble des y tels que d(x, y) < r (resp. d(x, y) r).On appelle sphre de lespace mtriqueX de centre x et de rayon r lensembledes y tels que d(x, y) = r.

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    Proposition 6 Si X est un espace mtrique, la famille de parties de X dontles lments sont les runions arbitraires de boules ouvertes est une topologiesur X . Cette topologie est appele la topologie associe la mtrique.Une partie X dun espace mtrique E est dite borne si tant donn un pointe dans E la distance de x e pour x dans X est majore par une certaineconstante a. Cela quivaut aussi au fait que la distance entre deux points quel-conques de X est borne. Cest dire que :- si pour un point x, y 7 d(x, y) est borne, alors pour tout point x, y 7d(x, y) est borne.- si pour tout point x y 7 d(x, y) est borne, alors (x, y) 7 d(x, y) est aussiborne.

    aLa notion est indpendante du point e choisi, grce lingalit triangulaire.

    Dmonstration : La vrification est fastidieuse et ne prsente pas de difficult.ut

    La notion de born dpend de la mtrique et pas de la topologie ! Cest direque mme si deux mtriques sont topologiquement quivalentes (voir dfinition 9) ellesnont pas ncessairement les mmes parties bornes. En fait pour toute mtrique d, onpeut construire une mtrique quivalente d par d(x, y) = ln(1 + d(x,y)1+d(x,y) ), telle quetoute partie soit borne.

    Proprits : Dans un espace mtrique, une partie est ferme si et seulement si elle contient lalimite de toute suite convergente valeurs dans cette partie. Une boule ouverte est ouverte, et donc un espace mtrique est spar Une boule ferme est ferme Une sphre est ferme Dans un espace mtrique, une suite (xn)nN tend vers x si et seulement si d(xn, x)tend vers 0.

    Exercice 7 La topologie usuelle sur R ou C est la topologie associe la distanced(x, y) = |x y|. La fonction qui x et y associe 0 si x = y et 1 sinon est une mtrique. Cette mtriqueest associe la topologie discrte, pour laquelle toute partie est la fois un ouvert etun ferm. Si f est injective de X dans R, alors la fonction qui x et y associe |f(x) f(y)|est une distance sur X . La topologie usuelle sur R = R {,} est dfinie par la distance d(x, y) =|f(x) f(y)|, avec f(x) = x1+|x| , f(+) = 1 et f() = 1.

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    Dfinition 8 (Isomtrie) Etant donns deux espaces mtriques E et F , uneapplication f de E dans F est une isomtrie si (x, y) dF (f(x), f(y)) =dE(x, y).

    Dfinition 9 (Mtrisable) Une topologie est dite mtrisable si et seulementsi il existe une mtrique telle que la topologie soit associe cette mtrique.Deux mtriques d1 et d2 sont dites quivalentes si il existe et tels qued1 < d2 < d1

    a, avec , > 0.Deux mtriques sont dites topologiquement quivalentes si elles dfinissentla mme topologie.

    aOn dit aussi que d1 et d2 sont Lipschitz-quivalentes.

    Soient deux distances d1 et d2 sur un espace E ; alors lidentit de (E, d1)dans (E, d2) est un homomorphisme si et seulement si d1 et d2 sont topologiquementquivalentes, et elle est lipschitzienne et dinverse lipschitzien 1 si et seulement si d1 etd2 sont quivalentes.

    Proposition 10 (Existence de topologie non mtrisables) Il existe des topo-logies, mme spares, non mtrisables.

    Dmonstration : Il est clair que toute topologie non spare nest pas mtrisable.Considrons, pour avoir un contre-exemple plus intressant, une topologie spare

    non mtrisable. Ce contre-exemple fait appel quelques notions qui seront dfiniesultrieurement, et peut donc tre laiss de ct en premire lecture.

    Soit RR, muni de la topologie produit.Supposons que cet espace topologique soit mtrisable.Alors tout point est base dnombrable de voisinage.Soit (Un) une base de voisinages de 0.Alors pour tout n, Un contient un voisinage de 0 (la fonction nulle de R dans R) de

    la formeVn = {f RR/i [1, Nn]|f(xn,i)| < n}

    On considre alors T lensemble des xn,i pour i Nn et n N.Cet ensemble est dnombrable comme union dnombrable densemble finis.Soit maintenant x dans R nappartenant pas T .Alors {f RR/|f(x)| < } est un ouvert, qui nest manifestement inclus dans

    aucun Vn.

    1Une application est dite bilipschitzienne si elle est lipschitzienne et dinverse lipschitzien.

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    Il est noter que {0, 1}R convient aussi.ut

    Proposition 11 Une topologie mtrisable est entirement caractrise parles proprits de convergence de suites.Cest dire que si pour deux topologies mtrisables, les suites convergentessont les mmes et ont mmes limites, alors ces deux topologies sont gales.

    Dmonstration : Il suffit de voir que lon caractrise un ferm F dun mtriquepar le fait quil contient les limites de toute suite convergente dlments de F . Donc lesferms sont caractriss par les proprits de convergence de suite, et donc les ouvertsaussi par passage au complmentaire.ut

    Proposition 12 Si deux distance d1 et d2 sont quivalentes alors d1 et d2dfinissent la mme topologie. on peut avoir la mme topologie sans avoir cette relation.

    Dmonstration : Le premier est facile, le second sobtient en considrant d(x, y) =min(1, d(x, y)), avec d une distance quelconque non borne.utIl est intressant de noter que mme en ajoutant une condition lquivalence tradui-sant que lon peut se limiter aux "petites" distances, on a un contre-exemple avec parexemple d1/2 et d1 qui dfinissent la mme topologie sans tre Lipschitz-quivalentes,mme sur les petites distances.On peut aussi noter que les dp pour p 1 sont Lipchitz-quivalentes entre elles, celase montre par d dp n1/pd

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    Dans la suite K dsigne un des deux corps R ou C muni de sa topologie usuelle.

    Dfinition 13 (Norme) SoitE un espace vectoriel sur le corpsK, avecK = Rou K = C. Une norme sur E est une application . de E dans [0,+[ v-rifiant : x = 0 si et seulement si x = 0 x, y E, on a x+ y x + y K x E on a .x = || x Sil ne manque que la premire proprit, on parle de semi-norme.On appelle vecteur unitaire un vecteur x tel que x = 1.Un espace muni dune norme est appel espace norm ou espace vectorielnorm.Dans un espace norm une srie (

    xn) est dite normalement convergente

    sini=1 xi converge.

    Enfin une dfinition ncessitant la notion de continuit (dfinie ultrieure-ment) : on appelle isomorphisme de lespace vectoriel norm E dans les-pace vectoriel norm F une application linaire continue bijective de rci-proque continue (cest dire quil sagit dun morphisme algbrique (i.e. ausens des espaces vectoriels ) et dun homomorphisme).

    Exemples : Sur Rn, les applications suivantes sont des normes :- (x1, ..., xn) 7 x = maxi{1,...,n} |xi|- pour p rel 1, x 7 xp = (

    i{1,...,n} |xi|p)1/p Un peu plus difficile : sur

    R[X], les applications suivantes sont des normes :- P 7 P0 = supx[0,1]|P (x)|- P 7 P1 =

    10|P (t)dt

    Proprits : La norme est convexe.

    Dfinition 14 (Distance associe) Etant donne une norme on dfinit une dis-tance associe par d(x, y) = x y

    Dfinition 15 (Normes quivalentes) Deux normes . 1 et . 2 sur unmme espace vectoriel sont quivalentes si il existe , > 0 tels que . x 1

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    Thorme 16 Deux normes sont quivalentes si et seulement si elles dfi-nissent la mme topologie.

    Dmonstration : Lune des deux implications rsulte de 12. Lautre sobtient fa-cilement, lune des deux ingalits aprs lautre, en constatant quune boule de centre0 et de rayon 1 pour lune des normes contient une boule pour lautre norme.ut

    1.1.3 Notion de voisinage

    Dfinition 17 (Voisinage) Soit X un espace topologique. Un voisinage V dex X est un ensemble tel quil existe un ouvert U avec x U V .On note par V(x) lensemble des voisinages de x.

    Proposition 18 Un sous-ensemble dun espace topologique est ouvert si etseulement si il est un voisinage de chacun de ses points.

    Dmonstration : Soit un ouvert U , et x dans U . On a x U U ... Donc U est voisinage de x. Soit U voisinage de chacun de ses points. A chaque point x associons louvert

    Ux tel que x Ux U . La runion des Ux est un ouvert, contient tous les x de U etest incluse dans U ; cest donc U . Donc U est un ouvert. ut

    Proposition 19 Si x X , X espace topologique, et V V , et V V(x),alors V V(x). pour tout V, V V(x), alors V V V(x)

    Dmonstration : V contient par dfinition un ouvert contenant x ; V tant inclusdans V , V contient ce mme ouvert. Donc V est un voisinage de x. V et V contiennent chacun un ouvert contenant x ; lintersection de ces deux ou-

    verts est un ouvert, contient x et est inclus dans V V ; donc V V est un voisinagede x. ut

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    1.1.4 Fermeture, intrieur, extrieur, frontire

    Dfinition 20 (Fermeture ou adhrence) Si A X , ladhrence (dite aussifermeture) de A est lintersection de tous les ferms contenant A, cest doncle plus petit ferm contenant A. On note A ladhrence de A.

    Proprit :A, B parties de X ; alors A B = A B et A B A B.

    Dfinition 21 (Point daccumulation dune partie) On appelle point dac-cumulation dune partie A un point x adhrent A \ {x}.On appelle ensemble driv deA lensemble des points daccumulation deA.

    Proprit :Un ensemble driv dans un espace spar est toujours un ferm.

    Lemme 22 Si A est une partie de lespace topologique X , on a lquivalencesuivante :

    x A V V(x), V A 6=

    Dmonstration : Il suffit de constater les points suivants : y 6 A si et seulement si on peut trouver un ferm F contenant A et ne contenant pasy. On considre le complmentaire de F .ut

    Dfinition 23 (Ensemble dense) Un sous-ensemble deX est dense dansX sison adhrence est X .

    La densit sera utilise dans les thormes de prolongement, prolongementdes identits, prolongement de fonctions uniformment continues (capital par exemplepour le thorme de Plancherel, cit dans la partie 1.1.8 et dmontr dans [16]). Le pro-longement de fonctions continues servira aussi construire des solutions maximalesdquations diffrentielles (voir thorme de Cauchy-Lipschitz ??). On pourra aussivoir lexercice ? ? rfrence selon lequel tout espace mtrique complet connexe locale-ment connexe est connexe par arcs.

    La densit servira aussi pour prouver le thorme dArzla-Ascoli ??, le thormede Moore (voir livre ? ?), lingalit de Hardy (voir livre [2]).

    De nombreux rsultats de densit dans les Banach auront de vastes applications ;il y a dj toutes les applications du thorme de Baire 190 (thorme de lapplica-

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    tion ouverte, thorme du graphe ferm, thorme disomorphisme de Banach, quelon trouvera tous la suite du thorme de Baire 190). On pourra enfin consulter lethorme de Goldstine, dans le livre ? ?.

    Par ailleurs, la sparabilit est par dfinition lie la densit, voir la dfinition 37et la liste dapplications qui y est donne.

    Enfin, certains rsultats de densit seront fondamentaux pour de multiples appli-cations pratique (approximation) : on pourra consulter le chaptre ??. Cela servira parexemple pour la transforme de Fourier - en fait les bases hilbertiennes sont bases surla densit.

    Noublions pas aussi de petits rsultats dus la densit de Q dans R : le fait quetout ouvert de R sexprime comme union dnombrable dintervalles ouverts.

    Proposition 24 A est dense dans X si et seulement si tout ouvert non videintersecte A.

    Dmonstration : Cela rsulte directement du lemme ci-dessus.ut

    Dfinition 25 (Intrieur) Lintrieur du sous-ensemble A de lespace topo-logique X , not Int(A), est la runion de tous les ouverts inclus dans A, cestdonc le plus grand ouvert contenu dans A.

    Proprits : A, B inclus dans X ; alors Int (A B) = Int A Int B et Int (A B) =Int AInt B. Si deux ouverts sont disjoints, alors les intrieurs de leurs adhrencessont disjoints. Int(X \A) = X \A (ie Int A = X \ (X \A)).

    Proposition 26 Le point x est dans Int(A) si et seulement si A V(x)Le point x est dans Int(A) si et seulement sil existe V V(x) avec V A

    Dmonstration : Je ne vous ferai pas linjure de le dmontrer.ut

    Dfinition 27 (Extrieur) Lextrieur de A, not Ext(A), est lintrieur ducomplmentaire de A.

    Proposition 28 Ext(A) = {x|V V(x)/V A = }

    Dmonstration : Evident.ut

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    Dfinition 29 (Frontire) La frontire de A, note Fr(A) est son adhrenceprive de son intrieur.

    Proprit : Fr(A) = A X \A.

    Proposition 30 Un ensemble est la fois ouvert et ferm si et seulement si safrontire est vide.

    Dmonstration : Soit A cet ensemble. Comme A est ferm, il est gal son adhrence, et comme

    il est ouvert, il est gal son intrieur, donc sa frontire, gale son adhrence privede son intrieur, est vide. Rciproquement, si la frontire de A est vide, et sil est non vide, cela signifie

    que son intrieur est au moins gal A, donc quil est ouvert. Et si sa frontire est vide,cela signifie que son adhrence ne peut pas tre plus grande que lui, donc il est ferm.ut

    Thorme 31 Int(A) = {x X|V V(x), V X \A = } Ext(A) = {x X|V V(x), V A = } Fr(A) = {x X| 6 V V(x), V A = V (X \ A) = } = {x X/V V(x), V A 6= V (X \A) 6= }X est runion disjointe de son intrieur, son extrieur et sa frontire.

    Dmonstration : Chacune de ces proprits se dmontre en deux lignes, simple-ment en crivant bien formellement ce que lon cherche dmontrer.ut

    1.1.5 Base douverts et base de voisinages

    Dfinition 32 (Base douverts) Soit X un espace topologique. Une famille Bdouverts de X est une base douverts si tout ouvert est une runion dl-ments de B.

    Proposition 33 Une famille B douverts est une base douverts si et seulementsi quel que soit louvert U et x U il existe V B tel que x V U .

    Dmonstration : Si B est une base douverts, alors tant donns x et U , on consi-dre un lment V de B qui contient x ; la rciproque se fait en considrant pour unouvert donn la runion des V obtenus par la proprit en considrant les diffrents x.ut

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    Proposition 34 Dans un espace mtrique, les boules ouvertes de rayon ra-tionnel forment une base douverts Dans le cas de Rn muni de la mtrique usuelle, les boules ouvertes de rayonrationnel et coordonnes toutes rationnelles forment une base dnombrabledouverts Dans R tout ouvert est en fait une runion dnombrable dintervalles ouvertsdeux deux disjoints (et rciproquement).DansR un ferm nest pas ncessairement une runion dnombrable dinter-valles ferms deux deux disjoints, et une runion dnombrable dintervallesferms deux deux disjoints nest pas ncessairement ferme.

    Dmonstration : Soit U un ouvert dun espace mtrique, et x dans U ; on montre que U contient

    une boule de rayon rationnel contenant x. Pour cela on note que U est runion deboules ouvertes, donc contient au moins une boule ouverte B de rayon r et de centreO contenant x ; on note alors r la distance de x O ; toute boule ouverte centre en xde rayon rationnel infrieur r r convient (on peut aussi choisir de raisonner sur lesboules centres sur O de rayon adquat...). Soit U un ouvert de Rn, et x un point de U . On considre une boule ouverte

    contenant x et incluse dans U ; soitO son centre et r son rayon. Alors soit r la distancede x O, et y un point de coordonnes rationnelles situ une distance d infrieure rr

    3 de O. Alors toute boule centre sur y de rayon rationnel compris entre r + rr

    3

    et r + 2. rr

    3 convient. En plusieurs points :- Soit U un ouvert de R ; alors tant donn un rationnel de U on considre lin-

    tervalle maximal le contenant. On parcourt ainsi tout U , et on a bien un ensemblednombrable dintervalles ouverts.

    - Une runion douverts est toujours un ouvert. Deux contre-exemples :- le cantor K3 (voir partie 1.6.13) nest pas une runion dnombrable dintervalles

    ferms disjoints.- lensemble des 1/n est une runion dnombrable dintervalles ferms disjoints,

    mais nest pas ferm. ut

    Dfinition 35 (Base dnombrable douverts) X est base dnombrabledouverts si on peut trouver une base douverts qui soit dnombrable.

    Proposition 36 Un espace base dnombrable douverts contient un en-semble dnombrable dense

    Dmonstration : Il suffit de considrer un point par ouvert non vide dune basednombrable.ut

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    Dfinition 37 (Espace sparable) Un espace est sparable si il contient unensemble dnombrable dense.

    Cela sera notamment utile pour dfinir une mtrique sur la boule unit fermedu dual dun espace sparable (pour la topologie faible). Ceux qui veulent en savoirplus peuvent aller voir la proposition 135.

    On note en particulier quun ensemble base dnombrable douverts est sparable(il suffit de prendre un point dans chaque ouvert) ; il sagit de la proposition prcdente.La rciproque est vraie dans le cas des espaces mtriques :

    Thorme 38 Un espace mtrique est sparable si et seulement sil admet unebase dnombrable douverts.

    Ce rsultat permettra de conclure que tout espace mtrique compact admet unebase dnombrable douverts (voir rsultat 137) et den dduire que tout espace m-trique compact est de cardinal au plus la puissance du continu (voir rsultat 135).

    Dmonstration : La remarque prcdente donne lun des deux sens. Rcipro-quement supposons que X soit mtrique sparable. Soit {xn/n N} un ensembledense dnombrable. Alors lensemble des boules de centre xi et de rayon 1/j avec(i, j) N N est une base dnombrable douverts.ut

    Dfinition 39 (Base de voisinages) Soit x X , une famille B(x) de voisi-nages de x est une base de voisinages de x si pour tout V V(x) il existeV B(x) avec V V .

    Dfinition 40 Un espace est base dnombrable de voisinages si chacun deses points admet une base dnombrable de voisinages.

    Exercice 41 Tout espace mtrique est base dnombrable de voisinages.

    Dmonstration : Il suffit de considrer les boules de rayon 1/i de centre x pouravoir une base dnombrable de voisinages de x.ut

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    1.1.6 Continuit et limite

    Dfinition 42 (Continuit ponctuelle) Soit f une application entre espacestopologiques. f est continue en x si et seulement si quel que soit V V(f(x)),limage rciproque f1(V ) est un voisinage de x (ie si U V(X)/f(U) U ).f est continue si f est continue en tout point.

    Exemples : La distance est continue (en vertu de la proprit |d(x, z) d(y, z)| d(x, y)). La norme est continue (comme compose dapplications continues, puisque x 7(x, x) est continue, et (x, y) 7 d(x, y) est continue, avec d la distance associe lanorme. La multiplication par un scalaire et laddition sont continues pour la topologie asso-cie la norme.

    Dfinition 43 (Semi-continuit) Une application f de X dans R est semi-continue infrieurement si pour tout c on a f1(]c,+[) ouvert.Une application f de X dans R est semi-continue suprieurement si pourtout c on a f1(], c[) ouvert.

    Proposition 44 Une fonction valeurs dans R est continue si et seulementsi elle est la fois semi-continue infrieurement et semi-continue suprieure-ment. La borne sup dune famille de fonctions semi-continues infrieurement estsemi-continue infrieurement. La fonction caractristique dun ouvert (resp. ferm) est semi-continue inf-rieurement (resp. suprieurement).

    Thorme 45 (Stabilit de la continuit par composition) Si f est continueen x et si g est continue en f(x), alors g f est aussi continue en x.

    Dmonstration : Limage rciproque dun voisinage de g(f(x)) est un voisinagede f(x), limage rciproque dun voisinage de f(x) par f est un voisinage de x, donclimage rciproque dun voisinage de g f(x) par g f est un voisinage de x. Do lacontinuit de g f en x.ut

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    Corollaire 46 Si f et g sont continues, alors g f est continue.

    Dmonstration : Limage rciproque dun ouvert par f est un ouvert, limage r-ciproque dun ouvert par g est un ouvert, donc limage rciproque par g f est unouvert.ut(on peut aussi simplement utiliser le thorme 48)

    Proposition 47 Soit B une base de voisinages de f(x).f est continue en x si et seulement si quel que soit V B, f1(B) V (x).

    Dmonstration : Soit un voisinage U de f(x), il contient un certain V apparte-nant B. Limage rciproque de V tant un voisinage de x, limage rciproque de Ucontient V et est donc aussi un voisinage de x.ut

    Thorme 48 Les assertions suivantes sont quivalentes : f est continue Pour tout ouvert U , f1(U) est un ouvert de X . Pour tout ferm F , f1(F ) est un ferm de X . Pour tout ouvert V B, avec B une base douverts, f1(V ) est ouvert Pour tout A, f(A) f(A)

    Dmonstration : Lquivalence entre les 4 premires assertions est claire. La cin-quime assertion est une consquence facile de la continuit de F (il suffit de voirquelle quivaut A f1(f(A)) et de rappeler que ladhrence de A est linter-section de tous les ferms contenant A). Rciproquement, en supposant la cinquimeassertion vraie, on montre facilement que tout ferm F de limage de f vrifie f1(F )ferm. Il suffit de voir alors que f est continue de X vers Y si et seulement si elle estcontinue en tant que restriction de X sur f(X).ut

    On peut noter alors que si f est une application de X dans Y , alors si X estmuni de la topologie discrte (topologie gale lensemble des parties deX) ou si Y estmuni de la topologie grossire (topologie limite {, Y }) alors f est ncessairementcontinue.

    Dfinition 49 (Limite) Soit f : X \ {x0} Y , avec x0 X . On dit que yest une limite de f en x0, si pour tout voisinage V de y dans Y , la runionf1(V ) {x0} est un voisinage de x0.

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    Proposition 50 Les proprits suivantes sont quivalentes au fait que l soitlimite de xn : pour tout voisinage V de l, il existe un nombre fini de xn en dehors de V . Dans le cas o lespace est mtrique : la distance de xn c tend vers 0.

    Lemme 51 f est continue en x0 si et seulement si f(x0) est limite de f|X\{x0}en x0.

    Dmonstration : Faisable sans trop de difficults.ut

    Dfinition 52 (Point isol) x0 est isol si et seulement si {x0} est ouvert.Un espace topologique est dit discret si tous ses lments sont des points isols.

    Lemme 53 Le point x0 nest pas isol si et seulement si V \ {x0} 6= , pourtout V V(x0), et encore si et seulement si x0 X \ {x0}.

    Dmonstration : Clair.ut

    Un problme est la non-unicit de la limite, a priori. Nous avons donc besoin de lanotion despace spar, que lon dfinira un peu plus loin.

    Dfinition 54 (Homomorphisme) Un homomorphisme est une applica-tion bijective continue et de rciproque continue.

    Exercice 55 (Quelques proprits des homomorphismes.) Lidentit est un ho-momorphisme. Une composition dhomomorphisme est un homomorphisme. Sur un espace norm, la translation et lhomothtie de rapport non nul sont des ho-momorphismes. Lensemble des homomorphismes de X vers X est un sous-groupe de lensembledes bijections de X vers X .

    Dmonstration : Rien de difficile dans tout a ; notons que la rciproque dunehomothtie est une homothtie, et quune homothtie est continue parce que les opra-

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    tions algbriques sont continues (voir proposition 104). ut

    1.1.7 Espace spar

    Dfinition 56 (Espace spar) Un espace est spar si pour toute paire depoints (x, y) on peut trouver un voisinage de x et un voisinage de y disjoints.

    Exercice 57 Un espace mtrique est spar. Une topologie discrte est spare.

    Exercice 58 Tout ensemble fini dun espace spar est ferm.

    Dmonstration : Dans le cas dun singleton il est clair que le complmentaire estvoisinage de chacun de ses points, donc ouvert, par 18. Le passage un ensemble finise voit par les proprits immdiates des ferms donnes en 2.ut

    Thorme 59 Soit f : X Y .Si x0 nest pas isol et si Y est spar, alors lapplication f a au plus unelimite en x0.

    Dmonstration : On considre les voisinages respectifs de deux limites, et onconsidre lintersection de leurs images inverses respectives ; cette intersection est r-duite un singleton ; or cest un voisinage de x0.ut

    Thorme 60 Soient f1 et f2 deux applications continues ayant mme en-semble de dpart et mme ensemble spar darrive. Alors {x|f1(x) =f2(x)} est ferm.

    Lhypothse de sparation est ncssaire (de mme que dans le thorme sui-vant, mme contre-exemple) ; considrer par exemple f1 et f2 deux applications deR (muni de sa topologie usuelle) dans {0, 1} muni de la topologie grossire. f1 estlapplication nulle, f2 est nulle sauf en 0 ; f2(0) = 1.

    Dmonstration : On montre que lensemble complmentaire est ouvert. Pour celaon considre x dans ce complmentaire, et deux voisinages disjoints de f1(x) et f2(x) ;lintersection des images rciproques de ces voisinages est un voisinage de x qui

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    montre que notre complmentaire est bien un voisinage de x.ut

    Corollaire 61 Si f1 et f2 concident sur un ensemble dense et ont valeurs dansun espace spar, alors elle concident partout.

    Dmonstration : Il suffit de se rappeler quun ferm est gal son adhrence, etque ladhrence dun ensemble dense est lespace tout entier.ut

    Lemme 62 Si f est continue et injective, et si lespace darrive est spar,alors lespace de dpart est aussi spar.

    Ce lemme servira montrer le thorme 101Dmonstration : On considre deux points distincts de lespace de dpart, leurs

    images sont distinctes par linjectivit, on peut les sparer par deux ouverts, dimagesrciproques ouvertes. La suite est triviale. ut

    1.1.8 Continuit et limite dans les espaces mtriques ou norms

    Dfinition 63 (Continuit squentielle) f est squentiellement continue enx si et seulement si pour toute suite xn convergeant vers x les f(xn) convergentvers f(x).

    Thorme 64 Soit X base dnombrable de voisinages, alors toute fonctionsquentiellement continue est continue.

    Dmonstration : On considre une suite de voisinages dcroissants (Vn) de x.Soit W un voisinage de f(x). Si f1(W ) nest pas un voisinage de x, alors on peuttrouver xn Vn \ f1(W ) ; xn tend vers x ; or f(xn) 6 W , et donc f(xn) ne peutpas tendre vers f(x).ut

    Corollaire 65 Si f est squentiellement continue sur un espace mtrique,alors f est continue.

    Dmonstration : Il faut simplement considrer lexercice 41ut

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    Ce corollaire servira notamment pour le thorme ??.

    Proposition 66 (Dfinition de la continuit) Soit f application entreespaces mtriques ; f est continue en x si pour tout il existe tel qued(x, x) < d(f(x), f(x)) <

    Dmonstration : Il suffit de remarquer que la famille des boules ouvertes de rayon et de centre f(x) est une base de voisinages de f(x), et que la famille des boules ou-vertes de rayon et de centre x est une base de voisinages de x.ut

    Dfinition 67 (Continuit uniforme) Une application f dun espace m-trique dans un autre espace mtrique est dite uniformment continue si, pourtout > 0 il existe > 0 tel que, pour tout (x, y) X2, d(x, y) < d(f(x), f(y)) < .

    La continuit uniforme nest pas une notion topologique mais une notion m-trique ; i.e. deux distances quivalentes ont la mme notion de continuit uniforme (quelon change la distance dans lespace de dpart ou dans lespace darrive), mais le faitque deux mtriques soient associes la mme topologie ne suffit pas pour quellesaient la mme notion de continuit uniforme.ut

    La continuit uniforme est une notion trs importante ayant de nombreusesapplications.

    Pour montrer la continuit uniforme, on dispose des outils suivants :- une fonction Lipschitzienne entre mtriques est uniformment continue- une fonction borne de R dans R et monotone est uniformment continue- une fonction continue sur un compact est uniformment continue (thorme de Heine139, voir le dit thorme pour dinnombrables applications)- si p et q sont conjugus et si f et g appartiennent Lp et Lq de Rn respectivement,alors f g (convolue) est uniformment continue.

    Une proprit essentielle est le thorme 187.

    Dfinition 68 On dit quune suite fn dapplications de X dans Y avec Y unespace mtrique converge uniformment vers f si pour tout positif il existeN tel que pour tout n N et tout x dans X d(f(x), fn(x)) < .

    Les applications et des exemples classiques :Tout dabord, quelques rsultats clbres de densit pour la topologie de la conver-

    gence uniforme : voir le thorme de Runge ??, le thorme de Stone ?? (avec soncorollaire le thorme de Stone-Weierstrass ; voir en particulier les polynmes de Bern-

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    stein Bn(f)(x) =nk=1 f(

    kn )C

    knx

    k(1 x)nk qui convergent uniformment vers fsur [0, 1], voir thorme ??).

    Il faut absolument se rappeler la convergence uniforme dune srie entire sur toutdisque de rayon strictement infrieur au rayon de convergence.

    Quelques rsultats clbres utilisant la convergence uniforme : ??,?? (intgrationde fonctions rgles), ?? (sur la limite uniforme dune suite de fonctions holomorphes).Quelques variantes notre convergence uniforme ci-dessus dfinie, et dautres rsultats(notamment mtrisabilit) : voir dfinition ??, et les rsultats qui suivent ; voir aussiAscoli et ses consquences, ??.

    Il convient enfin de signaler quelques applications de la convergence uniforme auxespaces Lp et lintgration :- thorme de Plancherel : il existe un unique isomorphisme de L2 dans L2 appeltransformation de Fourier L2 note f 7 f telle que pour tout f dans L1 L2 f est latransforme de Fourier L1 de f , f2 = f2 (voir par exemple le livre [16])- thorme de Sard : voir [6].- Intgration au sens de Riemman : voir partie ??.

    Dfinition 69 (Applications lipschitzienne) Une application h est dite lip-schitzienne sil existe K [0,+[ tel que

    d(h(x), h(x)) K.d(x, x)

    On dit aussi quelle est K-lipschitzienne.On dfinit la constante de Lipschitz par

    Lip(h) = sup{d(h(x), h(x))

    d(x, x)|x, x X,x 6= x}

    Proposition 70 Les fonctions lipschitziennes sont continues, et mme uniformment conti-nues. Les fonctions C1 dun compact de R dans un espace vectoriel norm sontLipschitziennes, ainsi que les fonctions drivables de R dans un espace vecto-riel norm drive borne (voir le thorme ??).

    Exemple : la distance x 7 d(x, x0) sur un espace mtrique E avec x0 appartenant E est 1-lipschitzienne de E dans R. La distance de E E dans R est lipschitzienne,

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    pour toutes les normes usuelles.

    Dfinition 71 (Norme dune application linaire) Si est une applicationlinaire entre espaces norms, on dfinit sa norme par = sup{ (x) / x 1}Cette norme peut a priori tre infinie - ce qui signifie donc que lappellation"norme", bien que classique, est abusive. Il ne sagit dune norme quen serestreignant lensemble des applications pour lesquelles cette "norme" estfinie.

    Lemme 72

    = sup{ (x) / x = 1} = sup{ (x) x

    /x 6= 0}

    Dmonstration : Il suffit davoir la patience de le vrifier...ut

    Thorme 73 Une application linaire entre espaces norms est continue siet seulement si sa norme est < . Elle est continue si et seulement si elle estlipschitzienne et son coefficient de Lipschitz est gal sa norme.

    Dmonstration : Si est continue en zro, il est clair que pour r suffisammentpetit, x < r implique (x) < 1 ; on constate alors par linarit que r1.

    Rciproquement si a une norme finie, alors est lipschtzienne (x)(y) =(x y) . (x y) , et Lip() ; en considrant x de norme 1, onconstate que Lip() = ; do le rsultat.ut

    Exercice 74 (Critre de continuit pour une forme linaire sur un espace norm) fonction de E dans son corps K = R ou K = C est continue si et seulement si sonnoyau 1(0) est ferm.

    Dmonstration : Si est continue, il est clair que limage rciproque dun sin-gleton est un ferm. Rciproquement, par contrapose, supposons que nest pascontinue, alors f nest pas non plus squentiellement continue (voir le corollaire 65),donc il existe une suite xn tendant vers 0 telle que (xn) ne tend pas vers 0. La suiteyn = xn(xn) (dfinie pour les n tels que (xn) soit > > 0 aprs extraction dunesous-suite) tend vers 0. On considre alors un certain a tel que (a) = 1 (si est nulleelle est continue), et on constate que la suite zn = yna tend versa 6 1(0), alorsque zn 1(0).ut

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    Dfinition 75 (Born) Soit E un espace norm. Un sous-ensemble A E estdit born si sup{ x |x A} < +.On dit que lapplication f est borne sur B si et seulement si f(B) est born.

    Exercice 76 Soit une application linaire entre espaces norms. Les assertions sui-vantes sont quivalentes : est continue est continue en 0 est borne sur une boule de rayon > 0 est borne sur une sphre de rayon > 0

    Dmonstration : Ces preuves sont faciles, je me contente de rappeler quelquesfaits qui permettent de les rdiger proprement.

    La topologie est invariante par translation (puisque toute translation est un homo-morphisme), donc la continuit en 0 quivaut la continuit en un point quelconque.

    Le fait que soit borne sur une boule quivaut trivialement au fait que soitborne sur une sphre (par linarit).

    Si est borne sur une boule, par linarit il est clair quelle tend vers 0 en 0.Enfin si est continue, on a montr un peu plus tt que sa norme est finie, ce qui se

    voit facilement au fait que pour x suffisamment petit, on doit avoir (x) petit, et doncpour x < 1, (x) 1/r. ut

    1.1.9 Valeur dadhrence

    Dfinition 77 (Valeur dadhrence) Soit f : X \ {x0} Y , avec X et Ydes espaces topologiques ; on dit que y Y est une valeur dadhrence def en x0 si et seulement si pour tout Vx0 V(x0) et tout Vy V(y) on aVy f(Vx0 \ {x0}) 6= .

    Lemme 78 Lensemble des valeurs dadhrence de f en x0 est donn par lin-tersection des f(Vx0 \ {x0}), pour Vx0 voisinage de x0 ; en particulier cestun ferm.

    Dmonstration : Soit y une valeur dadhrence, alors par dfinition y appartient ladhrence de f(V \ {x0}) pour tout V voisinage de x0. La rciproque, tout aussisimple, est laisse de ct.ut

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    Corollaire 79 Si x0 nest pas isol, alors les limites sont des valeurs dadh-rence.

    Dmonstration : Clair.ut

    Proposition 80 (Le cas des suites) Soit xn une suite dans un espace topolo-gique X . Les limites de suites extraites sont des valeurs dadhrence Si une valeur dadhrence a une base dnombrable de voisinages, alors cestla limite dune suite extraite.

    Dmonstration : linfini nest pas isol pour la topologie usuelle de N. Donc les limites dune

    suite sont des valeurs dadhrence. Et les valeurs dadhrence dune suite extraite sontclairement des valeurs dadhrence de la suite. Soit (Vn) une suite de voisinages de l, valeur dadhrence de xn ; soit (1) tel

    que x(1) soit inclus dans V1, (2) tel que (2) soit inclus dans V2 et (1) < (2),(3) tel que (3) soit inclus dans V3 et (2) < (3), et ainsi de suite...ut

    Corollaire 81 Dans un espace mtrique, les valeurs dadhrence dune suitesont exactement les limites des sous-suites extraites.

    Attention lhypothse mtrique ! Dans le cas gnral, ce nest pas vrai, voir1.6.7.

    1.2 Construction de topologies

    Dfinition 82 Etant donn A X , on appelle topologie induite par la topo-logie de X sur A lensemble des intersections douverts de X avec A.

    Il est facile de vrifier quil sagit bien dune topologie.

    Exercice 83 Si X est spar, alors A est spar pour la topologie induite. A est ouvert (resp. ferm) dans X si et seulement si tout B A est ouvert (resp.ferm) pour la topologie induite si et seulement si B est ouvert (resp. ferm) pour latopologie de X Si A est ouvert (resp. ferm) dans X , alors lintrieur (resp. ladhrence) de B A

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    est le mme dans X et dans A

    1.2.1 Topologie quotient

    On suppose X muni dune relation dquivalenceR. On note la projection cano-nique de X sur lensemble quotient.

    Dfinition 84 (Topologie quotient) La topologie quotient est dfinie commesuit :U X/R est ouvert si et seulement si 1(U) est ouvert.

    On peut vrifier facilement quil sagit bien dune topologie.

    Proposition 85 Soit X un espace topologique, et R une relation dquiva-lence sur X . On note la projection canonique de X sur X/R.Les proprits suivantes de la topologie quotient sur X/R sont fondamen-tales :- la projection canonique est continue (cest dire que limage rciproque detout ouvert est un ouvert)- la projection canonique est ouverte (cest dire que limage de tout ouvertest un ouvert) si la relation dquivalence est associe un groupe agissantpar homomorphismes sur X (voir partie ??).

    Dmonstration : Il est clair par dfinition que la projection canonique est conti-nue. Pour la rciproque il suffit de voir que si U est un ouvert de X , 1((U)) est larunion des g(U) pour g dans le groupe dhomomorphismes agissant sur X .ut

    La topologie quotient sert un peu partout, par exemples elle dfinit une topo-logie sur un espace projectif et le rend compact pour cette topologie (voir le thorme??).

    1.2.2 Topologie sur un espace dapplications linaires

    On note L(E,F ) lespace vectoriel norm des applications linaires continues delespace norm E dans lespace norm F . Cet espace est norm par

    = sup{ (x) | x 1} = sup{ (x) x

    | x 6= 0}

    On peut vrifier facilement quil sagit bien dun espace vectoriel norm.

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    Dfinition 86 (Dual topologique) Lespace dual topologique du K-espacevectoriel norm E est lespace E = L(E,K) des formes linaires continues.

    Dfinition 87 (topologie forte) On appelle topologie forte la topologie dfi-nie sur le dual par la norme usuelle.

    On va voir un peu plus loin des topologies plus ludiques sur le dual. La topo-logie usuelle sur le dual est la topologie faible, et pas la topologie forte (voir dfinitionplus loin...). Notamment la partie ?? est plus fournie en la matire.

    1.2.3 Topologie dfinie par une famille de parties dun ensemble

    Lemme 88 Une intersection quelconque de topologies est une topologie.

    Dmonstration : Evident en revenant la dfinition dune topologie.ut

    Dfinition 89 Si une topologie T est incluse dans une topologie T , on dit queT est plus fine que T , ou que T est moins fine que T .

    Proposition 90 SoitA une famille de parties deX ; lintersection de toutes lestopologies contenant A est une topologie, cest la plus petite topologie conte-nant A. On la note T (A), et on dit que cest la topologie engendre par A.T (A) est la famille des runions arbitraires dintersections finies de parties deA{, X}. Les intersections finies de parties de A{, X} forment une basedouverts pour cette topologie.

    Dmonstration : Il suffit de considrer le lemme 88 pour avoir lexistence de laplus petite topologie contenant A. Le reste est un petit exercie pas trop dur...ut

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    1.2.4 Topologie dfinie par une famille dapplications

    Proposition 91 Etant donn Z un ensemble, et Xi une famille despaces to-pologiques, avec fi : Z Xi, il existe une plus petite topologie sur Z rendanttoutes les fi continues ; cest la topologie engendre par les f

    1i (U) avec U

    ouvert. Une base de cette topologie est donc lensemble des intersections finiesdimages rciproques douverts par des fi.

    Dmonstration : Facile avec la proposition 90ut

    Remarquons que pourA X la topologie engendre par la fonction (dite injectioncanonique) qui x dans A associe x dans X est la topologie induite sur A par celle deX .

    Thorme 92 Dans la situation ci-dessus, une application f de Y dans Z estcontinue si et seulement si toutes les composes fi f sont continues.

    On verra une application pour la continuit lorsque lespace darrive est unespace produit ; thorme 100. Ce thorme permet aussi de montrer la proposition 96.

    Dmonstration : Application immdiate des dfinitions.ut

    Dfinition 93 On dit que la famille dapplications fi est sparante si et seule-ment si pour tout (x, y) il existe i tel que fi(x) 6= fi(y).

    Proposition 94 Si les fi sont sparantes et si les topologies sur les Xi sontspares, alors la topologie engendre est spare.

    Ce lemme permettra de montrer quun produit despaces spars est spar,thorme 101.

    Dmonstration : Supposons que x et y soient distincts ; alors puisque la familledapplications est sparante il existe fi telle que fi(x) 6= fi(y) ; et puisque Xi estspar, il existe un ouvert U contenant x et un ouvert V contenant y tels que U et Vsont disjoints. Les ensembles f1i (U) et f

    1i (V ) sont ouverts, puisque fi est continue

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    (par dfinition de la topologie engendre !), et disjoints. Le rsultat en dcoule.ut

    Dfinition 95 (Topologie faible et topologie faible *) On appelle topologiefaible sur lespace norm E la topologie engendre par lensemble des formeslinaires continues de E dans K. On appelle topologie faible * sur le dual delespace norm E la topologie engendr par lensemble des applications qui associent (x), tant donn x X .

    Proposition 96 La topologie forte dfinie en 87 est plus fine que la topologiefaible *.

    Dmonstration : En vertu du thorme 92, il suffit de voir que pour tout x la fonc-tion qui associe (x) est continue pour la norme, ce qui est facile prouver (ense ramenant en zro, une application linaire tant continue si et seulement si elle estcontinue en zro).ut

    Proposition 97 La topologie forte dun espace vectoriel norm est plus fineque la topologie faible.

    Dmonstration : En vertu du thorme 92, il suffit de voir que toute dans E estcontinue pour la norme, ce qui est vident.ut

    Proposition 98 La topologie forte sur le dual E est plus fine que la topologiefaible, elle mme plus fine que la topologie faible *.

    Dmonstration : La premire partie tant dj montre, il suffit de voir que latopologie faible est plus fine que la topologie faible *. Or ceci dcoule simplementdu fait que si deux familles dapplications sont incluses lune dans lautre, alors lestopologies engendres sont plus fines lune que lautre.ut

    1.2.5 Topologie produit

    Dfinition 99 (Topologie produit) On appelle topologie produit sur le pro-duit des Xi la topologie engendre par les projections canoniques de X surXi.

    Thorme 100 Avec i les projections canoniques, une application f de Ydans X est continue si et seulement si pour tout i i f est continue.

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    Dmonstration : Il suffit dutiliser le thorme 92. ut

    Thorme 101 Un produit despaces topologiques non vides est spar si etseulement si chacun des facteurs lest.

    Dmonstration : Les i sont sparantes, donc si chaque Xi est spar, X est s-par, par la proposition 94.Rciproquement, il suffit de considrer un lment du produit, grce laxiome duchoix ; grce cet lment, on peut facilement construire une application de Xi dansX qui soit continue et injective ; donc Xi est spar par le lemme 62.ut

    Proposition 102 La topologie sur X1X2 avec Xi mtrique est la topologieassocie la mtrique d((x1, x2), (y1, y2)) = max(d(x1, y1), d(x2, y2)) ; onpourrait aussi prendre la somme.

    Dmonstration : On rappelle simplement que les boules constituent une basedouverts dans un espace mtriqueut

    Cette proposition se gnralise un produit fini, et mme un produit dnom-brable ; la distance entre (x1, x2, ...) et (y1, y2, ...) est donne par

    nmin(1,dn(xn,yn))

    2n ,avec dn la distance sur Xn.

    Exercice 103 Le lemme prcdent se gnralise un produit fini quelconque.

    Proposition 104 Sur un espace norm la somme (opration entre deux l-ment des lespace) et la multiplication (dun lment du corps par un lmentde lespace) sont continues.

    Dmonstration : Laddition est continue grce lingalit triangulaire. La multi-plication est continue grce x = ||x.ut

    Proposition 105 Soit E1, ..., En et F des espaces vectoriels norms . Soit fmultilinaire de E1 ... En dans F , alors f est continue si et seulement si = sup{ (x1, ..., xn) | x1 1, ..., xn 1} < +

    Dmonstration : Facile.utContrairement au cas des applications linaires, notons quune application multili-naire continue nest pas ncessairement lipschitzienne.

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    Exercice 106 Une application multilinaire continue entre un produit despaces vec-toriels norms et un espace vectoriel norm est lipschitzienne sur chaque sous-ensembleborn.

    Dmonstration : Facile.ut

    1.3 Compacit - liens entre compltude et compacit

    1.3.1 Gnralits

    Dfinition 107 (Recouvrement ouvert) Un recouvrement ouvert de les-pace topologique X est une famille douverts Ui avec X = Ui.

    Dfinition 108 (Compact) X est compact sil est spar et si de tout recou-vrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.Un sous-ensemble K de lespace X est dit compact sil est compact pour latopologie induite.Une partie A de X est dite relativement compacte si sa fermeture A est com-pacte.

    On verra plus tard (voir lemme 118) que tout compact dun espace spar est ferm,et que tout compact dun mtrique est born (sil ntait pas born on extrairait unesous-suite convergente dune suite non borne, par le thorme 140).

    Un compact, dans le cas gnral, nest absolument pas ncessairement ferm !Considrer par exemple un point, dans un ensemble X contenant au moins deux pointset dont la topologie est rduite {, X}.

    Dfinition 109 Un espace vrifie la proprit de Borel-Lebesgue si de toutrecouvrement ouvert on peut extraire un recouvrement fini.

    Un espace est donc compact sil est spar et sil vrifie la proprit de Borel-Lebesgue.

    La compacit : claircissements, utilisation.On verra dautres caractrisations de la compacit que la dfinition par "spar+Borel-

    Lebesgue". Nanmoins cette dfinition servira par exemple pour le thorme ?? (r-sultats de rgularit sous le signe somme). Elle permettra aussi, en partie 1.6.12, demontrer que la compactifi dAlexandrov est compact. Les deux premiers points delexercice 111, la proposition 112 (limage continue dun compact dans un spar est

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    compact), le thorme 117 de sparation des compacts, le thorme ?? (semblable authorme de Heine dans le cas de familles quicontinues), le rsultat selon lequel toutmtrique compact est homomorphe une partie du cube de Hilbert en partie 1.6.9, lethorme de Stone ??, le corollaire du champ rentrant dans la sphre 254, le thormedAscoli ?? utilisent cette mme caractrisation.

    Les mthodes usuelles pour montrer la compacit dun ensemble sont le fait quunsous-ensemble ferm dun compact est compact, le fait quun produit (quelconque)de compacts est compact (voir le thorme de Tykhonov 1272, le thorme dArzla-Ascoli ?? (aux multiples applications), et le fait que limage continue dun compactdans un spar est compacte (par exemple, dans le cas des espaces projectifs).

    Des thormes incontournables en matire de compacit sont le thorme de Banach-Alaoglu 134 (utilisant Tykhonov), le thorme de Heine 139 ; le thorme de Baire(sous une forme moins connue que la forme classique base sur la compltude) 190sapplique aux espaces localement compacts. Citons aussi le thorme de Riesz 133,le thorme de Krein-Milman (soit E un espace vectoriel norm de dimension finie,K un compact convexe de E non vide, alors K est lenveloppe convexe de ses pointsextrmaux : on trouvera une preuve dans [13]), le thorme de Montel ??.

    La compacit dans le cas mtrique offre des rsultats fondamentaux : thorme de Bolzano-Weierstrass 140 un espace mtrique compact est sparable une isomtrie dun espace mtrique compact dans lui-mme est une isomtrie3 un espace mtrique compact est complet (voir corollaire 176)4

    Thorme 110 Un espace mtrique prcompacta et complet est compact.

    aUn espace mtrique E est dit prcompact si quel que soit > 0 il existe un recouvrement finide E par des boules de rayon < .

    Dmonstration : On a dj vu quun espace compact mtrique est complet (corol-laire un peu plus haut). Il est clair quil est aussi prcompact. Cest donc la rciproquequi pose problme.

    Supposons donc E prcompact et complet. Pour montrer sa compacit, nous allonsutiliser le thorme de Bolzano-Weierstrass 140. Considrons donc une suite (xn) deE. Nous allons en chercher une sous-suite convergeante.

    Il existe, par dfinition, pour i entier 1, yi,1, yi,2, ..., yi,Ni tels que les boulescentres sur les yi,j et de rayon 12j recouvrent E. Construisons par rcurrence sur i1 ji Ni tel quune infinit de points xn soit dans lintersection des boule de rayon12l

    centre sur xl,jl pour l i. On choisit alors ai N, construit aussi par rcurrence,2Le thorme de Tykhonov, conjoint au fait quun ferm dun compact est compact, implique dailleurs

    que la sphre unit de Rn est compacte, et donc notamment lquivalence des normes en dimension finie -voir thorme 129

    3On en trouvera une preuve en application de Bolzano-Weierstrass.4On en dduit notamment que le thorme du point fixe ?? sapplique dans un compact mtrique et donc

    que la boule unit ferme l2(N) nest pas compacte ; en cas contraire, lapplication (xn)n0 7 (yn)n0avec yi = xi1 si i > 0 et y0 = 0 serait bijective car une isomtrie dun espace complet compact surlui-mme est une bijection comme dit ci-dessus.

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    tel que la suite des ai soit croissante, et xai soit dans lintersection des boule de rayon12l

    centre sur xl,jl pour l i.Ceci dfinit une suite extraite de la suite des xn, dont on montre facilement quelle

    est de Cauchy. Elle converge donc, par compltude de E. Donc, E est compact.

    Une belle application est la proposition 225. utUn ensemble discret5 dans un compact est fini ; on en dduit en particulier quune

    fonction holomorphe non nulle a un nombre fini de zros dans un compact convexe.Enfin il est capital que limage dun compact par une application continue valeurs

    dans un espace spar est compacte (voir thorme 112). Cela entraine en particu-lier quune fonction continue sur un intervalle ferm de R atteint ses bornes (do lethorme de Darboux ??, le thorme de Rolle ??, et certains critres de recherche deminima - voir partie ??).

    Dans les ouvrages en anglais, "compact space" est simplement un espace vrifiantla proprit de Borel-Lebesgue. Lquivalent de notre espace compact est "compactHausdorff space".

    Exercice 111 Toute partie finie dun espace spar est compacte. Tout intervalle ferm born [a, b] de R est compact. Soit (xn)nN une suite dlments dun espace topologique X spar tendant

    vers une limite x. Alors {xn/n N} {x} est un compact (preuve facile, en consid-rant un recouvrement par des ouverts, puis en considrant un des ouverts contenant x,et en voyant quun nombre fini des lments de la suite est en dehors de cet ouvert. On(R), SOn(R) sont des compacts (en tant que ferms borns de Rn, qui est de

    dimension finie). Les espaces projectifs sont compacts (voir ??). Le cube de Hilbert (voir 1.6.9) est compact. Le compactifi dAlexandrov dun espace spar non compact localement com-

    pact est compact (voir 1.6.12)

    Dmonstration : La premire assertion est triviale. Pour la deuxime, on se donneun recouvrement ouvert U on considre le plus grand x tel que [a, x] peut tre recou-vert par un recouvrement fini extrait de U . La suite est facile ou comporte une rfrencevers une preuve complte.ut

    Proposition 112 Si f est une application continue dun espace compact Kdans un espace spar Y , alors f(K) est compact.

    Dmonstration : f(K) est videmment spar. Etant donn un recouvrement ou-vert de f(K) on peut considrer le recouvrement ouvert de K constitu des imagesrciproques de ces ouverts ; on en extrait un recouvrement fini, et il ny a plus qurepasser dans Y .ut

    5I.e. tout point est isol.

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    Cette proprit servira notamment pour le thorme de Rolle ??, ou pour mon-trer quun espace projectif est compact (thorme ??). Elle permettra aussi de montrerque tout compact mtrique est isomorphe un sous-espace topologique du cube de Hil-bert (voir partie 1.6.9). Enfin, elle permet de montrer que toute isomtrie dun mtriquecompact sur lui-mme est une bijection (corollaire 201).

    Il faut noter quune proprit plus fine sera parfois utile :

    Proposition 113 Soit f une application semi-continue suprieurement duncompact dans R. Alors f est majore et atteint sa borne sup.

    Cela servira notamment pour le thorme ??.Dmonstration : Soit K un compact, et f semi-continue suprieurement de K dans R. Soit x la

    borne sup de f(t) pour t dans K ( priori x peut tre gal +). Soit (xn)nN croissante tendant vers x avec xn lment de limage de f pour tout

    n. Supposons que la borne sup ne soit pas atteinte (soit elle est infinie, soit xn tend versx sans jamais latteindre). On a alors K = nNf1(] , xn[). On peut extraire de ce recouvrement

    de K un recouvrement fini (en fait, un recouvrement par un seul des f1(, xn[puisque ces ensembles sont croissants) ; donc f est bien majore.K est alors gal f1(], xn[) pour un certain n, ce qui contredit le fait que

    xn croisse vers x sans jamais latteindre - en effet xn < x implique quil existe t dansK tel que f(t) > xn.ut

    Dfinition 114 (Proprit dintersection finie non vide) Une famille A departies de X a la proprit dintersection finie non vide si et seulement sitout sous-ensemble fini de A a une intersection non vide.

    Proposition 115 Un espace topologique est compact sil est spar et si toutefamille de ferms qui a la proprit dintersection finie non vide a une inter-section non vide.

    Dmonstration : Il suffit de considrer les complmentaires des ferms, qui ont lebon got dtre ouverts.ut

    Outre les corollaires qui suivent, on pourra voir la proposition 124, ou le lemme??.

    Corollaire 116 Un ferm dun compact est compact.

    Voir (par exemple...) ??.Dmonstration : Un ferm dun compact est videmment spar ; il suffit ensuite

    de voir quun ferm de notre ferm est un ferm de notre espace et dutiliser la propo-

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    sition prcdente.ut

    Thorme 117 Deux compacts disjoints dun espace spar peuvent tre s-pars par des ouverts.

    Dmonstration : On montre tout dabord le lemme suivant :

    Lemme 118 Si X est spar, et K compact inclus dans X , alors K est ferm.

    Cela servira chaque fois quon voudra montrer que compact quivaut fermborn dans un espace donn, par exemple ??.

    Dmonstration : On considre x dans le complmentaire de K ; pour tout y ap-partenant K on peut sparer x et y par des ouverts Uy et Vy . On peut alors considrerle recouvrement deK par les ouverts Vy et en extraire un recouvrement fini. En prenantlintersection desUy correspondants notre recouvrement fini, on a un ouvert autour dex, nintersectant pas K. Donc le complmentaire de K est ouvert, donc K est ferm.ut

    On peut donc terminer la preuve de notre thorme, en considrant un deuximecompact K , et pour tout x de K , on peut trouver un ouvert Uy autour de x et unouvert Vx contenant K ; on applique la compacit de K , et on obtient facilement deuxouverts disjoints sparant K de K.

    Corollaire 119 Dans un espace compact, les sous-ensembles ferms sont lessous-ensembles compacts.

    Dmonstration : Il suffit de considrer le corollaire 116 et le lemme 118.

    Corollaire 120 Tout point dun compact possde une base de voisinage com-pacts.

    Dmonstration : (voir figure 1.1) Soit W un voisinage ouvert de x dans lespacecompact X . Le ferm X \W est compact. On peut donc sparer les compacts {x} etX \W par deux ouverts U et V . Alors X U X \ V W ; et donc X \ V est unvoisinage compact de x inclus dans W .ut

    Corollaire 121 Une fonction continue bijective dun compact dans un espacespar est un homomorphisme.

    On peut citer en applications les rsultats 220 et 208 (proprits du cube deHilbert et du Cantor triadique).

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    Frontires des ouvertssparant les compacts

    Compactrecherch

    FIG. 1.1 Construction dune base de voisinages compacts dans un compact.

    Dmonstration : Il suffit de voir que limage dun ferm (donc compact) est com-pacte dans lespace image, et donc elle est aussi ferme. Donc limage rciproque detout ferm par la fonction inverse est un ferm.ut

    On peut utiliser ce rsultat pour montrer que tout compact mtrique est homo-morphe une partie du cube de Hilbert, partie 1.6.9.

    Thorme 122 Les compacts de R sont les ferms borns.

    Dmonstration : Il suffit de considrer un interval ferm born autour dune partieborne pour montrer facilement ce rsultat partir des rsultats prcdents et de 111.ut

    Corollaire 123 Etant donne une fonction continue dun compact dans R, sesbornes suprieures et infrieures sont atteintes.

    Ce rsultat sert dans la vie de tous les jours, mais on peut par exemple citerle joli thorme 231, le theorme de Rolle ??, la recherche de points extrmaux surun compact (voir ??). Citons aussi le rsultat 233 sur les billards strictement convexesdu plan. Enfin, il servira pour le thorme 231 (point fixe commun un sous-groupecompact dautomorphismes dun espace de Hilbert).

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    Dmonstration : Trivial au vu du rsultat prcdent et de la proposition 112.ut

    Proposition 124 Toute suite valeurs dans un compact admet une valeurdadhrence.

    Dmonstration : La suite des {xm/m n} a la proprit dintersection finie nonvide ; il ne reste plus qu appliquer la proposition 115.ut

    Dfinition 125 (Localement compact) Un espace topologique est locale-ment compact sil est spar et si tout point possde un voisinage compact.

    Proposition 126 Tout point dun espace localement compact possde une basede voisinages compacts.

    Dmonstration : Si x Int(K) avec K compact, alors x possde une base devoisinages compacts dans K muni de la topologie induite (par 120). Comme x Int(K), cette base de voisinages est aussi une base de voisinages de x dans X .ut

    1.3.2 Le thorme de Tykhonov

    Thorme 127 (Thorme de Tykhonov) Soit Xi une famille despaces tousnon vides. Le produit est compact si et seulement si chacun des facteurs lest.

    Dmonstration : On a dj montr que le produit est spar si chacun des fac-teurs lest (voir 101). La compacit du produit X entrane la compacit de chacun desfacteurs comme on peut sen rendre compte en considrant la projection canonique surchacun des facteurs. Il reste donc voir la rciproque, cest dire queX est compact, sichacun des facteurs lest. On trouvera une dmonstration dans Bourbaki, ou bien dans[13]. La dmonstration utilise le lemme de Zorn ??.

    Il est important de noter que lon peut prouver Tykhonov dans le cas dunproduit dnombrable de compacts mtriques (Xi, di) sans faire appel laxiome duchoix. Cela se fait simplement en considrant : La mtrique di associe la mtrique di, avec di = min(di, 1). La mtrique sur le produit des compacts dfinie par D(x, y) =

    12i di(xi, yi).

    La topologie de cette mtrique est la topologie produit. Il ne reste plus qu utiliser la caractrisation des compacts mtriques par les sous-

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    suites (thorme de Bolzano-Weierstrass, thorme 140).ut

    Dans le cas dun produit fini de compacts mtriques, la preuve est vi-dente.

    Corollaire 128 Les compacts de Rn sont les ferms borns.

    Dmonstration : Etant donne une partie borne, on considre un produit dinter-valles ferms borns dans lequel cette partie est incluse, et le rsultat vient tout seul.ut

    1.3.3 Application aux espaces vectoriels norms

    Thorme 129 Toutes les normes sur un R- ou C- espace vectoriel de dimen-sion finie sont quivalentes.

    Dmonstration : On considre une base, et la norme qui a un lment de E as-socie la somme des valeurs absolue de ses composantes. On montre quune normequelconque est quivalente cette norme. Il suffit pour cela de noter que la sphreunit (pour notre norme) est compacte, par compacit de la mme sphre dans Rn etcontinuit des oprations algbriques, et de vrifier que toute norme est continue etdonc atteint sur cette sphre un minimum et un maximum (NB : toute norme est conti-nue car K-lipschitzienne pour K le max des normes dimages dlments dune baseorthonormale).ut

    Corollaire 130 Un sous-espace vectoriel (de dimension finie) dun espacenorm est ferm.

    Une application se trouve juste aprs le thorme de Baire 190 : un espace deBanach de dimension infinie ne possde pas de base dnombrable.

    Dmonstration : Nous avons tout dabord besoin dun lemme :

    Lemme 131 Un sous-espace vectoriel de dimension finie dun espace vecto-riel de dimension finie est ferm.

    Dmonstration : On considre la mme norme que dans le thorme prcdent.Pour cette norme notre espace est clairement ferm (au vu des quations le dfinis-sant). Plus prcisment, on considre une base de notre espace vectoriel E, telle que Fsoit engendr par les k premiers lments de cette base (cest possible grce au tho-

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    rme de la base incomplte). Alors F est lintersection dhyperplans ferms dqua-tions xi = 0.utOn peut maintenant finir notre preuve ; soit x F , avec F de dimension finie ; alorson se place dans lespace gnr par une base de F plus le vecteur x, et on utilise lelemme ci-dessus.ut

    Exercice 132 Toute application linaire dun espace norm de dimension finie dansun espace norm est continue.

    Dmonstration : Il suffit de considrer une base et la norme dfinie plus haut.ut

    Thorme 133 (Thorme de Riesz) Un espace norm est de dimension finiesi et seulement si sa boule unit ferme est compacte.

    On verra une application amusante avec le corollaire ??, une autre (utilisantaussi le thorme dArzla-Ascoli et le thorme disomorphisme de Banach) avec lethorme ??.

    Dmonstration : Supposons E de dimension finie, alors toutes les normes sontquivalentes, on peut se ramener E = Rn ; comme la boule unit est ferme borne,elle est compacte. Rciproquement (voir figure 1.2), supposons la boule unit fermecompacte, alors on peut la recouvrir par des boules ouvertes de diamtre 0.5 en nombrefini. On considre alors lespace F engendr par les centres de ces boules, et on montreque lon peut approcher tout point de la boule arbitrairement bien avec des points deF ; ensuite on utilise le fait que F est de dimension finie et donc est ferm.ut

    Thorme 134 (Thorme de Banach-Alaoglu) Soit E le dual dun espacenorm, alors sa boule unit ferme est compacte pour la topologie faible * (iela topologie engendre par les applications qui E associent (x) pourun certain x E.

    La boule unit ferme est lensemble des formes linaires telles que (x) x.

    Dmonstration : (voir figure 1.3) On identifie E une partie du produit KE , enidentifiant ((x))xE . La topologie faible * est alors la topologie induite surE parla topologie produit sur KE . La boule unit BE est contenue dans = xEB(0, x ) KE . Par le thorme de Tykhonov ce produit est compact. Il suffit donc main-tenant de montrer que BE est ferm comme sous-ensemble de muni de la topologieproduit, ce qui se fait aisment en considrant les quations dfinissant BE (qui sontsimplement les quations dfinissant les fonctions linaires).ut

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    FIG. 1.2 Le thorme de Riesz. On approxime x de la boule par le centre du cercle leplus proche, et on ritre avec le double de la distance entre x et ce centre.

    Voir la proposition ?? par exemple.

    Proposition 135 La boule unit ferme du dual dun espace sparable est m-trisable pour la topologie faible *.

    Dmonstration : On considre une suite xn dense dans E, valeurs non nulles ;la topologie faible sur la boule unit ferme peut tre dfinie par la mtrique

    d(, ) =n0

    |(xn) (xn)| xn .2n

    Cette (courte) vrification tant faite, le rsultat est acquis.ut

    Corollaire 136 On peut en outre extraire de toute suite de la boule unit fer-me du dual dun espace sparable une suite convergeant faiblement.

    Dmonstration : Laisse au lecteur...ut

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    Limitesde

    (compactpar Tykhonov)

    E

    B(E), ferm dun compact, est compact.

    Elments de E

    KE

    FIG. 1.3 Schma explicatif de la preuve du thorme de Banach-Alaoglu.

    1.3.4 Espaces mtriques compacts

    Thorme 137 Un espace mtrique compact est sparable. Il possde doncune base dnombrable douverts.

    Dmonstration : Soit X mtrique compact. Pour tout n on peut trouver une suitefinie de points telle que les boules centres sur ces points et de rayon 1n recouvrent X .La suite obtenue en mettant bout bout toutes ces suites finies est dense dans X .ut

    Corollaire 138 Un espace mtrique compact est de cardinal infrieur ou gal celui de R.

    Dmonstration : Un espace mtrique compact est sparable ; donc il admet unebase dnombrable douverts. En prenant un xi dans chaque ouvert, on obtient donc quetout point est limite dune suite de xi. Il suffit alors de voir que lensemble des suitesdun ensemble au plus dnombrable est de cardinal au plus la puissance du continu, cequi se voit facilement, en considrant par exemple la fonction qui un rel x [0, 1]dont le dveloppement binaire comporte une infinit de 1 associe la suite (un)nN telleque un est gal au nombre de 0 entre le n-ime 1 et le n+ 1-ime 1.ut

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    Thorme 139 (Thorme de Heine) Une application continue dun espacemtrique compact vers un espace mtrique est uniformment continue.

    Ce thorme servira par exemple pour le thorme ??. Il peut aussi servir montrer quune application continue de R dans R tendant vers une limite finie en pluset moins linfini est uniformment continue.

    Dmonstration : On considre, pour > 0, pour chaque x X , x > 0 tel qued(x, y) < x d(f(x), f(y)) < /2. Par compacit, on peut recouvrir X par unnombre fini de boules de centre x et de rayon x/2. On prend alors = infi, et lersultat vient tout seul...ut

    Thorme 140 (Thorme de Bolzano-Weierstrass) Un espace mtrique estcompact si et seulement si toute suite valeurs dans X contient une sous-suiteconvergente.

    Voir par exemple le thorme de Brouwer 252, le thorme de Tykhonov dansle cas dun produit dnombrable despaces mtriques (voir juste aprs le thorme 127)sans utiliser laxiome du choix. Le thorme est aussi utilis dans le lemme ??, quiservira dmontrer le thorme de Runge. Le corollaire 142 est une autre application :toute isomtrie dun espace mtrique compact dans lui-mme est une bijection.

    Dmonstration : Si X est mtrique compact, alors toute suite (xn) a une valeurdadhrence (considrer la suite dcroissante de parties de X constitues des lmentsXn = {xk/k n} ; la suite des adhrences de ces parties a la proprit dintersectionfinie), et X tant mtrique, une sous-suite converge vers cette valeur dadhrence.Rciproquement, considrons tout dabord les deux lemmes suivants :

    Lemme 141 (Lemme de Lebesgue) Soit (X, d) un espace mtrique tel quetoute suite contienne une sous-suite convergente. Si Vi est un recouvrementouvert de X , alors il existe > 0 tel que pour tout x X , il existe i tel queB(x, ) Vi.

    Dmonstration : Dans le cas contraire, on peut pour tout entier n trouver un xntel que la boule de centre xn et de rayon 1/n ne soit contenue dans aucun Vi. Alors onextrait de cette suite une sous-suite convergente. On obtient que pour n assez grand lesboules en question seront incluses dans le Vi qui contient x.ut

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    Corollaire 142 Une isomtrie dun espace mtrique compact sur lui-mme estune bijection.

    Dmonstration : Supposons E un tel espace, et f une isomtrie de E dans E.Supposons que x nappartienne pas limage de f . Alors, x est distance > >

    0 de limage de f (en effet limage de f est compacte comme image continue duncompact, voir proposition 112, or la distance entre un compact et un ferm disjoint delui est > 0, voir corollaire 201).

    Considrons alors un = fn(x), et supposons que ukn converge, pour (kn) une cer-taine suite strictement croissante. Si lon aboutit une contradiction, alors le thormede Bolzano Weierstrass permettra de conclure que lespace ne peut tre compact.

    d(ukn , ukn+1) = d(ukn+1kn , x) puisque f est une isomtrie. Or d(ukn+1kn , x) > par dfinition de x et puisque les un appartiennent limage de f pour n > 0. Dola contradiction recherche.ut

    Lemme 143 Sous les mmes hypothses que le lemme 141, pour tout > 0, ilexiste une suite finie xi telle que les boules B(xi, ) recouvrent X .

    Dmonstration : Si le lemme est faux pour un certain , alors on peut construirepar rcurrence une suite telle que chaque point soit une distance au moins des autrespoints, ce qui contredit lhypothse.utAvec ces deux lemmes on conclut facilement ; si toute suite contient une sous-suiteconvergente, alors tant donn un recouvrement ouvert (Vi), on peut construire par lepremier lemme un ensemble de boules recouvrantX et tel que chaque boule est inclusedans lun des Vi ; ensuite par le deuxime lemme, on se ramne un nombre fini depoints, et il ne reste plus qu cueillir le bon sous-ensemble des Vi.ut

    1.4 Connexit

    Dfinition 144 Un espace topologique est dit connexe si les seuls sous-ensembles de X la fois ouverts et ferms sont et X . Une partie dun espacetopologique est connexe si elle est connexe pour la topologie induite.

    On utilisera la connexit pour montrer : certaines formes du thorme des valeurs intermdiaires 150. le corollaire ?? sur la drivabilit dune limite dune suite de fonctions. les lemmes ?? et ??, utile pour une dmonstration du thorme de Jordan la proposition ?? utilisera la connexit pour dfinir une distance dans un ouvert

    connexe dun espace vectoriel norm thorme de Runge, ??.

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    Tous les rsultats bass sur lindice, par exemple le thorme de Cauchy ??, etbeaucoup de rsultats sur les fonctions holomorphes.

    Lexercice de la partie 1.6.18, montrant quune fonction f C de R dans R telleque x n f (n)(x) = 0 est polynomiale.

    On trouvera diverses autres applications de la connexit plus loin dans ce chapitre.

    Proposition 145 Les assertions suivantes sont quivalentes :(i) X est connexe(ii) Une application de X dans {0, 1} continue est constante, avec {0, 1}muni de la topologie discrte.(iii) Pour tout couple douverts A et B de X , si X = A B et A B = ,alors A = ou B = (iv) Pareil avec des ferms(v) Toutes les parties deX non triviales (i.e. autres queX et ) ont une frontirenon vide.

    Dmonstration : Facile :(i) (ii) Si X est connexe, montrons que toute application continue de X dans

    {0, 1} est constante.En effet, si une telle application f ntait pas constante, on partitionnerait X en

    deux ouverts non vides (f1(0) = f1(] 12 ,12 [) et f

    1(1) = f1(] 12 ,32 [)) ; chacun

    deux serait alors la fois ouvert, ferm, et non trivial.La rciproque (ii) (i) est non moins simple (raisonner par labsurde : si A ouvert

    et ferm non vide et diffrent de X , alors prendre la fonction caractristique de A dansX).

    (ii) (iii) Facile, en voyant que si A et B contredisent lhypothse, A est ouvertet ferm et non trivial.

    Le reste est du mme niveau de difficult, je le passe sous silence... ut

    Proposition 146 Si A X est connexe et si A B A, alors B estconnexe. Si les Ai sont des parties connexes de X et Ai 6= , alors Ai est connexe. Si les Ai sont des parties connexes de X et pour tout couple Ai, Aj il existei0, ..., ik avec i0 = i et ik = j tels que Ail intersecte Ail+1 , alors Ai estconnexe.

    Dmonstration : Pour montrer la premire assertion on utilise la deuxime descaractrisations des connexes donnes en 145.La deuxime assertion nest quun cas particulier de la troisime.La troisime assertion l aussi se montre en utilisant la seconde des caractrisations desconnexes donnes en 145.ut

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    Thorme 147 Les connexes de R sont les intervalles.

    Dmonstration : Facile.ut

    Thorme 148 Limage dun connexe par une fonction continue est unconnexe.

    Dmonstration : Facile toujours en utilisant la mme caractrisation des connexes.ut

    Thorme 149 Soit f une application continue dfinie sur un connexe et valeurs dans R. Alors limage de f est un intervalle.

    Dmonstration : Facile au vu des deux thormes prcdents.ut

    Corollaire 150 Le thorme des valeurs intermdiaires (dans le cas dunefonction continue, pas dans le cas dune fonction drive) dcoule immdia-tement du thorme ci-dessus.

    Thorme des valeurs intermdiaires pour une fonction drive, dit aussi tho-rme de Darboux, ??.

    Thorme 151 (passage la douane) Soit X un espace topologique et A X connexe. Si A intersecte la fois B et son complmentaire, alors A inter-secte la frontire de B.

    Dmonstration : Il suffit de voir que les deux ouverts Int(B) et Ext(B) nepeuvent recouvrir A.ut

    Thorme 152 Un produit densembles non vides est connexe si et seulementsi chacun des facteurs lest.

    Dmonstration : Il est facile de voir, via les projections canoniques, que si le

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    produit est connexe, chacun des facteurs lest. La rciproque est plus difficile. On com-mence par le cas o le produit est un produit de deux espaces (voir figure 1.4). Pourcela on montre que tous les couples (x, y) = (x1, x2), (y1, y2) sont contenus dans unsous-ensemble connexe de X1 X2 ; on utilisera ensuite la proposition 146. Il suffitpour ce rsultat intermdiaire de considrer lunion de X1{y2} et de {x1}X2. Parrcurrence, on gnralise ce rsultat tout produit fini de connexes.

    {x } F1

    2E {y }

    E F

    y

    x

    F

    E

    FIG. 1.4 Un produit fini densembles est connexe si et seulement si chacun des fac-teurs lest. La gnralisation un produit infini se fait par un argument de connexit deladhrence dune partie connexe convenablement choisie (voir le texte).

    On considre maintenant un produit quelconques X de facteurs Xi connexes nonvides. On considre un lment y de X , en utilisant laxiome du choix. Pour A finiinclus dans I (I est lindex de Xi), on dfinit alors le sous-ensemble XA de X dfinipar (xi) XA si et seulement si xi = yi pour tout i tel que i 6 A. XA est connexepuisquhomomorphe un produit fini de Xi. On peut vrifier que la runion des XAest dense dans X (en se rappelant quune base douverts dune topologie produit estlensemble des intersections finies dimages douverts par les projections inverses) etconnexe (par le deuxime point de la proposition 146), et on conclut par le premierpoint de la proposition 146.ut

    Thorme 153 Une fonction localement constante sur un connexe estconstante.

    Dmonstration : Il suffit de voir que limage rciproque dun singleton est lafois ouverte et ferme.ut

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    Dfinition 154 (Composante connexe) Avec x X , la composante connexede x, note C(x), est la runion de tous les connexes contenant x.

    Proposition 155 Tout point appartient sa composante connexe La composante connexe dun point est le plus grand connexe contenant cepoint Les composantes connexes sont fermes Deux composantes connexes sont disjointes ou confondues. En particulier, lafamille des composantes connexes forment une partition de lespace.

    Dmonstration : Le premier point est trivial, le deuxime aussi par 146, le troi-sime dcoule de la connexit de C(x), le quatrime point dcoule du fait que larunion de deux connexes non disjoints est un connexe (deuxime point de la pro-position 146).ut

    Dfinition 156 (Arc ou chemin, ligne brise) Un arc ou chemin est une ap-plication continue de [0, 1] dans X . Limage de 0 et limage de 1 sont les ex-trmits de larc.Une ligne brise entre a et b est une suite finie de segments [xi, xi+1] aveci [0, n 1], x0 = a et xn = b.On appelle longueur dune ligne brise la somme des longueurs de ses seg-ments.

    Exercice 157 Dans un espace norm, lapplication qui t associe (1 t).x + t.yest un arc dextrmits x et y (on dit aussi un arc entre x et y). Limage de cet arc estappele segment, not [x, y]. Dun arc entre x et y et un arc entre y et z on peut dduire un arc entre x et z.

    Dfinition 158 (Connexe par arcs) Un espace topologique est dit connexepar arcs si il existe un arc entre toute paire de points.Une partie dun espace topologique est dite connexe par arcs si elle est connexepar arcs pour la topologie induite.

    Exemples : Un convexe est connexe par arcs.

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    Dmonstration : Cela dcoule des exemples ci-dessus.ut

    Proposition 159 Un connexe par arcs est connexe. La rciproque est fausse.

    Dmonstration : On fixe x dans un espace connexe par arcs. Chaque arc est unconnexe, car image dun connexe ([0, 1]) par une fonction continue ; la runion desarcs partant de x est connexe (par la proposition 146), or par dfinition cette runionest lespace tout entier. Pour la rciproque, considrer la figure 1.5.ut

    FIG. 1.5 Un connexe qui nest pas connexe par arcs. La mme figure fournit unexemple de connexe qui nest pas localement connexe. Il sagit de la courbe des(x, sin(1/x)) vers 0 par valeurs infrieures, plus la frontire {0} [1, 1]. On voitque la figure nest pas localement connexe en considrant ce quil se passe au voisi-nage du point (0, 1).

    Exercice 160 Soit lapplication f :]0, 1] R, qui x associe 1/sin(x). Montrer quela fermeture de son graphe est connexe mais pas connexe par arcs.

    Dmonstration : On suppose quil existe une fonction continue qui 0 associe(0, 1) et 1 associe (1, sin(1)), et telle que pour tout x on ait (x) appartienne augraphe de f . On considre x0 le sup de lensemble des x tels que la premire compo-sante de (x) soit nulle. Il suffit ensuite de considrer la limite de la deuxime compo-sante pour x tendant vers x0.ut

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    Proposition 161 Soit Ci une famille de parties connexes par arcs. Si pourtoute paire i, j il existe une suite finie Ca0 , ..., Cak avec Cah Cah+1 6= eta0 = i et ak = j, alors la runion est connexe par arcs.

    Dmonstration : Facile.ut

    Dfinition 162 (Composante connexe par arcs) La composante connexepar arcs de x est la runion de tous les connexes par arcs passant par x ;on la note Ca(x).

    Proposition 163 La composante connexe par arcs dun point est connexepar arcs. Deux composantes connexes par arcs sont soit disjointes soit confondues. Ca(x) C(x), car Ca(x) est un connexe contenant x, et C(x) est le plusgrand connexe contenant x par dfinition.

    Dfinition 164 (Localement connexe (par arcs)) Un espace est localementconnexe (resp. par arcs) si tout point de lespace possde une base de voisi-nage connexes (resp. par arcs).

    Attention ; un espace peut tre connexe sans tre localement connexe. Voir parexemple la figure 1.5.

    Notamment, alors quun espace dont tout point possde un voisinage compact (parexemple un espace compact !) est localement compact, un espace dont tout point pos-sde un voisinage connexe nest pas ncessairement localement connexe.

    Thorme 165 Dans un espace localement connexe (resp. localementconnexe par arcs), les composantes connexes (resp. par arcs) des ouverts sontouvertes.

    Dmonstration : Facile.ut

    Corollaire 166 Dans un espace localement connexe (resp. localementconnexe par arcs) tout point possde une base de voisinages ouverts etconnexes (resp. connexes par arcs).

    Dmonstration : Il suffit de considrer, tant donn x et un voisinage V de x, un

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    ouvert inclus dans V et contenant x,et une composante connexe (resp. par arcs) de xdans cet ouvert.ut

    On peut noter le thorme suivant :

    Thorme 167 Dans un espace localement connexe par arcs, les ouvertsconnexes sont connexes par arcs. Notamment, les ouverts connexes de Rn, oude tout espace vectoriel norm a sont connexes par arcs.

    aOu mme de tout espace vectoriel topologique.

    1.5 Compltude

    1.5.1 Suites de Cauchy. Espace complet

    Dfinition 168 (Suite de Cauchy) Une suite (xn) dans un espace mtriqueest dite suite de Cauchy si pour tout > 0 il existe un N N tel que n,m >N on a d(xn, xm) < .

    La notion de suite de Cauchy est une notion mtrique et non une notion topolo-gique. Mme si deux distances sont quivalentes, on ne peut tre sr que les suitesde Cauchy soient les mmes pour les deux mtriques. Par exemple avec d(x, y) =|arctan(x)arctan(y)|, la topologie sur R est la mme que pour la topologie usuelle,mais la suite un = n nest pas de Cauchy pour la mtrique usuelle, alors quelle est deCauchy pour cette mtrique.

    Proposition 169 Etant donne une suite xn, notons Xn = {xk/k n} ;alors la suite xn est de Cauchy si et seulement si le diamtre de Xn tend vers0. Dans un espace mtrique toute suite convergente est de Cauchy. Limagedune suite de Cauchy par une application uniformment continue est une suitede Cauchy.

    Dfinition 170 (Espace complet) Un espace mtriqueX est complet, si toutesuite de Cauchy de X a une limite dans X .

    Quelques exemples despaces complets :

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    les exemples de Banach donns un peu plus loin. Ck() avec un ouvert de Rn, voir partie ??.

    Une proprit fondamentale des espaces complets est le thorme du point fixe ??.

    Dfinition 171 (Espace de Banach) Un espace de Banach est un espace vec-toriel norm complet.Un isomorphisme entre lespace de Banach E et lespace de Banach F estun isomorphisme des espaces vectoriels norms sous-jacents.

    Quelques exemples despaces de Banach : R Rn muni dune des normes suivantes :- (x1, ..., xn) 7

    ni=1 |xi|

    - (x1, ..., xn) 7n

    i=1 x2i

    - (x1, ..., xn) 7 maxni=1|xi| Lensemble des applications continues bornes dun espace topologique X dans Rou C, muni de la norme f 7 supxX |f(x)| Les espaces Lp, comme on le verra en ?? Si F est un Banach et E un espace vectoriel norm , alors L(E,F ) (ensembledes fonctions linaires continues de E dans F ) est un Banach (pour la norme f 7supx=1f(x)).

    On rappelle que deux normes sont dites quivalentes si elles dfinissent la mmetopologie.

    Tout dabord quelques proprits des Banachs issues directement de la partie 1 : Un isomorphisme algbrique (i.e. un isomorphisme au sens des espaces vectoriels )continu entre espaces de Banach est un isomorphisme despaces vectoriels norms . Toutes les normes sont quivalentes sur des R-espaces vectoriels de dimension finie. Deux normes sont quivalentes si et seulement si chacune delle est infrieure unecertaine constante multiplie par lautre Un espace vectoriel norm de dimension finie est complet, et donc est un Banach. Les compacts dun espace vectoriel norm de dimension finie sont les ferms borns.

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    Proposition 172 Etant donns des espaces mtriques Ei en nombre fini, leproduit E0 ...En peut tre quip dune mtrique dfinie par d((xi), (yi))de lune des formes suivantes (entre autres) :i d(xi, yi)

    i d(xi, yi)2

    p

    i d(xi, yi)pmaxid(xi, yi)Ce sont bien des distances et elles sont quivalentes entre elles. La topologieainsi dfinie est la topologie produit, que lon a dfinie plus tt.

    Proposition 173 Un espace mtrique est complet si et seulement si lintersec-tion de toute suite dcroissante de ferms non vides de diamtre tendant vers 0est non vide et donc rduite un point.

    Dmonstration : Si lespace mtrique est complet, alors on considre xn apparte-nant au n-ime ferm ; la suite est de Cauchy, et converge donc vers un point ; quel quesoit n, ce point est limite dune suite de points de Xn ; donc il appartient Xn puisqueXn est ferm. En outre, le diamtre tendant vers 0, le diamtre de lintersection est 0 ;donc il sagit dun seul point.Rciproquement, tant donne une suite de Cauchy xn, on considre la suite des Xnavec Xn = {xk/k n} ; cette suite vrifie les hypothses, donc lintersection des Xnest rduite un point. On montre facilement que ce point est limite des xn.ut

    Proposition 174 Un produit fini despaces mtriques complets, muni dunemtrique comme dfini ci-dessus, est complet.Rciproquement un produit fini despaces mtriques, muni dune mtriquecomme dfini ci-dessus, est complet si et seulement si chacun des facteurs lest.

    Dmonstration : La dmonstration (pas trs difficile) est laisse au lecteur.ut

    Proposition 175 Si une suite de Cauchy a une valeur dadhrence, elle estconvergente.

    Dmonstration : On considre une suite extraite qui converge, et on montre faci-lement que la suite tend vers la mme limite.ut

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    Corollaire 176 Un espace mtrique compact est complet.

    Dmonstration : Sil est compact, toute suite a une valeur dadhrence (par lethorme de Bolzano-Weierstrass 140) ; il suffit alors dappliquer la proposition prcdente.ut

    Thorme 177 Le corps R est complet pour sa mtrique ; de mme Rn munidune norme est complet pour cette norme. Plus gnralement un espace normde dimension finie est complet.

    Dmonstration : On considre une norme sur E de dimension finie et une suitede Cauchy xn. On montre que pour un certain N la suite est valeurs dans la boule decentre xN et de rayon 1 partir du rang N , directement par la dfinition dune suitede Cauchy ; on a donc une suite dans un compact, et donc la suite de Cauchy convergevers un lment de cette boule.ut

    On trouvera par exemple une utilisation de ce thorme dans 185.

    Proposition 178 Un sous-ensemble dun mtrique complet est complet si etseulement si il est ferm.

    Dmonstration : Soit A un sous-ensemble ferm de X complet. Si xn est unesuite de Cauchy dans A, cest aussi une suite de Cauchy dans X , donc elle converge.SiA est ferm la limite est dansA. Rciproquement, on suppose x dansA, et on choisitune suite xn qui tend vers x ; et on remarque que xn est de Cauchy et donc convergevers une limite dans A puisque A est complet.ut

    Dfinition 179 (Srie absolument convergente) Soit E un espace vectorielnorm. (xn) dansE est appele une srie absolument convergente si

    n0

    xn < +.

    Thorme 180 Un espace vectoriel norm E est complet si et seulement sitoute srie absolument convergente (xn) est convergente dans E.

    Dmonstration : Supposons E complet.Soit une srie xn absolument convergente. Pour m > n on a

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    d(ni=0

    xi,mi=0

    xi) =m

    i=n+1

    xi

    m

    i=n+1

    xi

    +i=n+1

    xi

    0Donc la suite yn =

    ni=0 xi est de Cauchy, et donc converge.

    Rciproquement supposons maintenant que toute srie absolument convergenteconverge. On se donne xn une suite de Cauchy. On en extrait une sous-suite, et xmxnk 12k pourm nk ; la srie correspondante est absolument convergente ; ilest facile den dduire que la suite a une valeur dadhrence, et donc quelle converge.ut

    Thorme 181 Si E est norm et si F est de Banach, alors lespace normL(E,F ) est aussi de Banach.

    Dmonstration : Soit fn une suite de Cauchy dans L(E,F ). Pour tout x E, ona fn(x) fm(x) fn fm . x , donc la suite fn(x) est de Cauchy dansF ; elle co