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1

Équations de Maxwell

!∇×!E = − ∂

∂t!B

!∇×!H = Jc +

∂∂t!D

!∇⋅!D = ρ

!∇⋅!B = 0

Équation de Faraday (induction)

Équation d’Ampère

Équations de Gauss

Relations constitutives!D = ε

!E

!B = µ

!H

James-Clerck Maxwell-Grenier���1831-1879

Relation spatio-temporelle

-1.5 0-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

δ(t-z/vp) δ(t+z/vp)

z(m) z(m)-1.5 -0.5-1.0 0 0.5 1.0 1.5

t=0 t=1/vp t=0t=1/vp

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2

Longueur d’onde et période

ωT=2π

βλ=2πz=λ

t=T

Champs E et H onde plane EM

Paramètres électriques vs fréquence

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3

Eau : εr et σ vs fréquence

A=eau de merC=eau douceF=eau pureG=glace

Rappel sur puissance moyenne et valeurs efficaces

V (t) =V0 cos(ωt)I(t) = I0 cos(ωt −ϕ )

P(t) =V (t)I(t) =V0 I0 cos(ωt)cos(ωt −ϕ ) =V0 I012

cos(2ωt −ϕ ) + cos(ϕ )( )< P >= 1

2V0 I0 cos(ϕ ) =Veff Ieff cos(ϕ ) < P >: puissance moyenne

Veff =V0 2 Veff : tension efficace

Ieff = I0 2 Ieff : courant efficace

117V=

100R=Ω

Voltage (115 Veff)Puissance moyennePuissance instantanée

Bilan de puissance d’une onde EM

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4

Paramètres de propagation dans matériaux /dans diélectrique parfait

γ = jωµ(σ + jωε)

η = jωµσ + jωε

Diélectrique parfait (σ =0)

γd = jωµ jωε = jω µε

⇒αd = 0;βd = β0 µrεr ;vpd =1µε

= cµrεr

ηd =jωµjωε

= µε

⇒ηd =η0µrεr

Paramètres de propagation dans diélectrique Diélectrique à faibles pertes (σ

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5

Paramètres de propagation dans conducteur Bon conducteur (σ>>ωε)

γc ≈ jωµ(σ ) = ωµσ1+ j

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⇒α = β = ωµσ2

ηc ≈jωµσ

= ωµσ

1+ j2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⇒ηc ≈ωµσ45o

Direction quelconque

O

λx

λz

λ

Longueurs d’onde apparentes

vp = c

f = 300MHzθ = 25°

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Vitesse de phase et de groupe���(modulation AM-DSB-SC)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

−0.5

0

0.5

1

t(sec)=0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

−0.5

0

0.5

1

t(sec)=5e−09

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

−0.5

0

0.5

1

t(sec)=1e−08

Dispersion

0 0.002 0.004 0.006 0.008−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t (sec)

x10x2 courbe rouge :

σ=4x10-7S/mεr=16μr=1;courbe brune :σ=2x10-6S/mεr=81μr=1;

7 harmoniquesl=100 km

Polarisation circulaire

t4t3

t2t1

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7

Incidence normale entre diélectriques

�

E1, =

E2,

⇒Ei, +

Er , =

Et ,

H1, =H2, car

Js = 0

⇒

Hi, +Hr , =

Ht ,

Incidence qcq entre diélectriques

λi, = λr , = λt ,⇒ θi = θr = θ1

θt = θ2vp1

sinθ1=

vp2sinθ2

Ei, +

Er , =

Et ,

Hi, +Hr , =

Ht ,

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Polarisations pour incidence qcq

polarisation perpendiculaire polarisation parallèle

Loi de Snell /1Réfraction et réflexion n1n2

Loi de Snell /2Angle de BrewsterRéflexion totale interne

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9

Comportement du coefficient de réflexion

Réflexion selon polarisationUtilisation d’un filtre polarisanthorizontale verticale