TNS CM Elec 2021

C o u r s

T r a i t e m e n t N u m e r i q u e d u S i g n a l

M. Frikel

1 A - ENSICAEN - E P A

Table des matieres

1 Les signaux discrets 5

1.1 Generalites - Signal - Mesure - Capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Generalites sur les signaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Classification des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Modelisation des signaux-Theorie du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Systemes - Filtres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Applications du TNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Domaines d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Signaux continus, discrets, echantillonnes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Signaux elementaires - distributions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 signaux discrets et periodiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Transformee de Fourier : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Application aux signaux periodiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Application aux signaux discrets : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Reconstruction d’un signal echantillonne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Signaux discrets et periodiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Signaux reels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 Transformee de Fourier, transformee de Laplace et transformee en Z : . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Transformee de Fourier discrete : TFD et principe des analyseurs de spectre ”numeriques” 21

2.1 Transformee de Fourier Discrete. Definition mathematique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Estimation de la transformee des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Principe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Cas general : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Signaux periodiques : TFD et serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Signaux periodiques, signaux discrets : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Signaux echantillonnes et periodiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 lien avec la serie de Fourier : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Quelques applications de la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1 Amelioration de la precision frequentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.2 Interpolation temporelle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2

2.6 Analyseur de spectre - Fenetres de ponderation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.1 Analyseur de spectre ”numerique” (principe) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.2 Elargissement des raies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.3 Exemple d’une sinusoıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.4 Limite de resolution : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.5 Utilisation d’une fenetre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Les systemes discrets 45

3.1 Etude des systemes discrets. Discretisation-Numerisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Systeme discret, filtres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2 Systeme discret-Systeme numerique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Systemes discrets lineaires invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 Linearite. Equation recurrente : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2 Recursivite. Forme recursive. Forme non recursive : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.3 Invariance temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.4 Causalite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Operateur retard : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2 Reponse impulsionnelle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.3 Convolution discrete : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Utilisation de la transformee en Z : Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.1 Resolution des equations aux differences : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.2 Fonction de transfert : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Inversion de la transformee en Z analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.1 Division selon les puissances de z−1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.2 Resolution de l’equation aux differences : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5.3 Decomposition en elements simples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6 Methode des residus : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.1 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6.2 Mode dominant - Mode auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7 Theoremes de la valeur initiale et finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8 Analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8.1 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8.2 Reponse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.8.3 Analyse sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Filtres a reponses impulsionnelle infinie - Filtres RII 63

4.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 Fonction de transfert (Rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.2 Principe de la transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Approximation de la derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.2 Qualite de l’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3 Invariance impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.1 Principe de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.2 Qualite de l’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3

4.4 Transposition par bloqueur d’ordre N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.2 Bloqueur d’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.3 Autres bloqueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5 Transposition par poles et zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Transformation bilineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.1 Transformation bilineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.2 Qualite de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.6.3 Transformation avec pre-decalage (transformation de Tustin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6.4 Equivalence discret-continu] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Filtres a reponse impulsionnelle finie : Filtres RIF ( FIR en notation anglo-saxonne) 81

5.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1 Fonction de transfert (rappels) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.2 Exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.3 Forme Recusrsive : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Filtres a phase lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.1 Interet d’une phase lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.2 Conditions d’obtention d’une phase lineaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3 Synthese par la methode des fenetres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.2 Probleme general de la troncature par une fenetre de ponderation : . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.3 Fenetre rectangulaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.4 Autres fenetres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4 FILTRES PASSE-HAUT, PASSE-BANDE, COUPE-BANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.1 Filtre passe-tout : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.2 Filtre passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.3 Filtre passe-bande : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.4 Filtre coupe-bande : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Chapitre 1Les signaux discrets

1.1 Generalites - Signal - Mesure - Capteurs

1.1.1 Generalites sur les signaux :

Un signal est une grandeur physique accessible a la mesure. En general, un signal depend des coordonnees d’espace

(l’endroit ou il se situe et le temps) soit {x, y, z, t}. On attribue a un signal des proprietes elementaires comme

l’intensite, la puissance, l’energie ... Ce sont ces grandeurs auxquelles sont sensibles les capteurs qui constituent

l’instrument de mesure du signal.

Un capteur mesure l’un des aspects du signal par exemple :

Signal electrique intensite (amperes), tension (volts), puissance (watts).Signal thermique intensite (◦C, Kelvin), energie (calorie ou joule ).Signal lumineux intensite (lumen), puissance (watts), energie (joules)...Melange chimique concentration (mol/l), acidite (pH), taux de calcaire( tH).

Signal magnetique(tesla)Signal barometrique (hectopascal)Vitesse d’un mobile (m/s,rd/s) acceleration...

etc ...

Bon nombre de capteurs sont aussi en general des transducteurs c’est a dire qu’ils transforment la grandeur physique

etudiee en une autre grandeur physique eventuellement proportionnelle et plus aisee a traiter avec les outils modernes

d’ou la grande vogue des signaux electriques (tensions ou courants).

1.1.2 Classification des signaux

Les signaux sont classables selon des grands groupes de proprietes :

• Signaux continus ou discrets.

• Signaux periodiques ou non.

• Signaux deterministes ou aleatoires.

5

1.1.3 Modelisation des signaux-Theorie du signal

Afin de pouvoir prevoir des comportements ou de concevoir des appareils susceptibles de modifier, d’analyser les

signaux il est interessant de les modeliser grace a des outils mathematiques les plus puissants possibles.

La modelisation du signal peut se faire grace a des ”fonctions” mathematiques plus ou moins compliquees decrivant

la maniere dont le signal evolue dans l’espace et le temps s(x, y, z, t). Pour l’etude d’un signal en un point de

l’espace la fonction sera uniquement dependante du temps : s(t). Si le signal est une image statique formee par

exemple sur une barrette CCD, la fonction devient s(x). S’il s’agit d’une image statique : s(x, y), d’une image

a 3 dimensions (hologramme,...) : s(x, y, z). Si ces images sont animees on retrouve soit s(x, t) soit s(x, y, t) soit

s(x, y, z, t). L’etude du signal de maniere elementaire se fait sur des fonctions d’une seule variable s(t) ou s(x). La

generalisation a plusieurs dimensions utilise les memes concepts, seule est ajoutee un peu de complexite.

1.1.4 Systemes - Filtres :

Les signaux sont traites par des systemes ou filtres dont le but est de les modifier pour leur conferer certaines

proprietes ou d’en extraire des informations. De meme que les signaux, les systemes se classent en grandes categories :

continus ou discrets. Dans l’une et l’autre de ces categories le cas particulier des systemes lineaires invariants

par translation (SLI, LTI) est particulierement interessant car nous disposons pour l’etude de ceux-ci d’outils

mathematiques performants tout en restant d’approche relativement aisee.

Outils mathematiques :

Type Modelisation Analyse frequentielle

Signaux continus Fonctions - Distribution δ(t) Transformee de Fourier desfonctions et des distributions

signaux discrets Distributions Transformee de Fourier desfonctions et des distributions

Systemes continus convolution - Transformee de Laplace Transformee de Fourier desfonctions et des distributions

Systemes discrets Convolution discrete - Transformee en Z Transformee de Fourier desfonctions et des distributions

Signaux aleatoires Moments statistiques - correlations statis-tiques

Transformee de Fourier desfonctions et des distributions

Signaux periodiques Serie de Fourier et transformee de Fourierdiscrete

1.2 Applications du TNS

Domicile sur la route Au Bureau

Television a la demande Telephone mobile VideoconferenceJeu Video Radar et Sonar Modems

DVD, HDTV, CD, DAB GPS FaxRealite Virtuelle Automobile WiFi

Reseaux Commande vocale ATM, ISDN, PBX, ADSLElectromenager Modems sans-fil Telephone

... ... ...

1.2.1 Domaines d’applications

• Graphisme et imagerie, rotation 3D, vision, reconnaissance de formes, restauration d’images, stations de

travail, animation, cartographie

6

0 20 40 60 80 100−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Musique

Temps (s)

• Communication homme machine, synthese, transformation texte-parole et inverse, reconnaissance de parole,

identification et verification du locuteur

• Musique, numerique, MIDI, echantillonneurs (samplers), synthetiseurs, melangeurs, reverberation et echo,

effets speciaux, filtrage, enregistrement (DAT)

• Telecommunications, codage et restauration de la parole, courrier vocal, telecopie, audionumerique (CD,

DAB), TV numerique, compression et transmission d’images, cryptage et protection, transmission de donnees,

tele informatique, annulation d’echo, codage a debit reduit, tele et visioconference, telephonie cellulaire, ...

• Defense, systemes d’armes, surveillance, guidage, navigation

• Instrumentation, capteurs, metrologie, analyse spectrale, generation de signaux, analyses de transitoires

• Biophysique, genie biomedical, EEG, ECG, radiographie, tomographie, scintigraphie, gammagraphie, echographie,

aide aux handicapes, ...

• Acoustique, aerienne, sous-marine, sonar, ultrasons, nuisances

• Geophysique, sismique, de surface, oceanographique, teledetection

• Electromagnetisme, radar, radionavigation, optique, astrophysique

• Automobile injection electronique, ABS, positionnement global, commande d’assiette adaptative

1.2.2 Exemples

- Compact Disc Audio :

Echantillonnage a 44.1 kHz sur 16 bits des deux voies : 1.41 Mbit/s

Information + correction d’erreurs, controle et affichage : 4.32 Mbit/s

90 dB de rapport Signal a Bruit et de separation stereo (contre 60 et 30 dB)

- Annulation d’echo :

Reseau telephonique utilisant les satellites geostationnaires (540ms)

Telephone main libre en voiture (echo + bruit)

Teleconference

reponse impulsionnelle de la salle

7

Effets : echo, Larsen, reverberation

probleme de deconvolution

- Telecommunications : detection de tonalite

1.3 Signaux discrets

1.3.1 Signaux continus, discrets, echantillonnes :

Signal continu :

Classe de signaux largement etudiee dans les cours precedents. Un signal continu est connu a chaque instant t sauf

en un nombre de points de mesure nulle (discontinuites de premiere espece).

Les signaux elementaires ont deja ete largement etudies :

l’echelon d’Heaviside e(t) e−ate(t) te(t) cos (ωt+ ϕ) ej2πft ...

Signal discret :

Un signal discret n’est connu qu’a certains instants tk soit un tableau de valeurs numeriques x(t = tk). Le cas le

plus simple et le plus important est celui ou : (tk+1 − tk) = cste = Ts ∀ k.

Le signal est alors connu par sa serie de valeurs contenues dans un tableau {x(kTs)} ≡ {xk}.

La representation d’un signal discret par un tableau de valeurs {xk} n’est pas vraiment satisfaisante car un tableau

n’est pas un objet mathematique aise a manipuler tel quel en comparaison avec les fonctions.

Nous allons voir ensuite comment lui associer un modele mathematique plus interessant a manipuler.

Signal echantillonne :

Un signal echantillonne est un signal discret dont les valeurs {xk} sont prelevees (mesurees) sur un signal continu.

Par convention cela se schematise comme suit :

t

x

t = kTs

Signal discret

Signal continu Signal echantillonne

echantillonneur

8

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Signal Continu

Temps (s)

Am

plitu

de

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Signal Discret (Fs=200Hz)

Temps (s)

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Signal Discret (Fs=800Hz)

Temps (s)

1.3.2 Signaux elementaires - distributions :

Nous verrons par la suite que les signaux discrets et periodiques sont intimement lies. Pour palier a l’insuffisance de

la modelisation par un tableau de valeurs et ainsi pouvoir manipuler les signaux discrets de maniere analytique il

est interessant d’utiliser la theorie des distributions de Laurent Schwartz (1915-2002). Cette meme theorie permet

de modeliser les signaux periodiques et constitue ainsi un excellent outil pour l’etude globale des signaux discrets.

9

Par ailleurs rappelons que c’est la seule approche satisfaisante pour l’etude de la derivation generalisee dans le cas

des signaux continus ayant des discontinuites de premiere espece.

Il n’est pas necessaire de reprendre les details de cette theorie developpee dans les cours de mathematiques mais

simplement de rappeler les quelques resultats elementaires qui nous interessent.

Deux signaux fondamentaux seront ainsi utilises :

t

δ(t)

t

PgnTs(t)

La distribution de Dirac δ(t) Le peigne de Dirac

PgnTs(t) =

+∞∑

n=−∞

δ(t− nTs)

Ts 2Ts−Ts−2Ts

Proprietes mathematiques fondamentales de la distribution de Dirac :

parite δ(−t) = δ(t)

facteur d’echelle δ(at) = (1

|a|)δ(t) avec a ∈ R

produit d’une fonction par δ(t) x(t).δ(t − t0) = x(t0).δ(t− t0)produit de convolution d’une fonction δ(t) x(t)⊗ δ(t− t0) = x(t− t0)

Le produit de deux distributions de Dirac n’existe pas δ(t− t1).δ(t− t2) n’a pas de sensLe produit de convolution de deux distributions δ(t− t1)⊗ δ(t− t2) = δ(t− t1 − t2)

Transformee de Fourier TF [δ(t)] = 1

Ces proprietes ne dependent bien evidemment pas de la variable (ici le temps t), nous pouvons l’utiliser dans tout

autre espace comme celui des frequences :

par exemple y(f)⊗ δ(f − f0) = y(f − f0) ce qui represente la translation frequentielle.

Propriete mathematique fondamentale du peigne de Dirac :

Le peigne de Dirac est une distribution periodique nous savons calculer sa transformee de Fourier :

TF

[+∞∑

n=−∞

δ(t− nTs)

]=

1

Ts

+∞∑

k=−∞

δ(f −k

Ts) = fs

+∞∑

k=−∞

δ(f − kfs) (1.1)

”La transformee d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac”.

Attention au coefficient fs =1

Ts.

Representation des signaux periodiques :

Un signal periodique est constitue par une fonction motif xm(t) = x(t). La modelisation complete du signal est

obtenue en periodisant a la periode T0 le motif xm(t) puis en superposant les composantes obtenues soit :

x(t) =

+∞∑

n=−∞

xm(t− nT0) (1.2)

10

Un cas particulier tres utilise pour les representer est de definir xm(t) pour t ∈ [0, T0] (ou tout autre intervalle de

largeur T0) et nulle en dehors de la periode T0

La convolution par la distribution de Dirac fournissant la representation d’une translation, nous aurons :

x(t) =

+∞∑

n=−∞

xm(t− nT0) = xm(t)⊗

+∞∑

n=−∞

δ(t− nT0) (1.3)

Periodicite ≡ convolution par un peigne de Dirac.

Remarque : ceci est aussi valable pour tout autre variable que t en particulier la frequence f .

Representation des signaux discrets et des signaux echantillonnes :

Par definition, la modelisation mathematique d’un signal discret est effectuee par un peigne de Dirac pondere par

les echantillons du signal :

x(t) =

+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs) (1.4)

Un signal echantillonne est un signal discret obtenu a partir d’un signal continu dont on preleve les valeurs a

intervalles de temps reguliers Ts (periode d’echantillonnage) :

xe(t) =

+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs) = x(t)

+∞∑

k=−∞

δ(t− kTs) (1.5)

Echantillonnage ≡ produit simple par un peigne de Dirac.

Un probleme pratique pour l’echantillonnage :

Certains signaux continus, en tout cas leur representation mathematique (signaux definis presque partout sauf en

un ensemble de points de mesure nulle), presentent des discontinuites de premiere espece : e(t), signal carre,...

Les proprietes d’une de ces discontinuites a t = t0 sont :

• A l’instant t0 le signal n’est pas connu. Seule hypothese : sa valeur est bornee.

• f(t+0 ) = limε→0

[f(t0 + ε)] 6= f(t0) = limε→0

[f(t0 − ε)] et ∆f(t0) = f(t+0 )− f(t−0 )

• La derivee n’existe qu’au sens des distributions : f ′(t0) = ∆f(t0)δ(t− t0).

Que se passe-t-il si nous echantillonnons un tel signal a l’instant t = t0 ? La valeur de l’echantillon ne peut etre

f(t0) qui n’existe pas. Si nous considerons la discontinuite en t0 comme un cas limite, selon le cas choisi la valeur

sera f(t−0 ), f(t+0 ), 1/2f(t

−0 ) + f(t+0 ). Ce raisonnement est purement theorique.

11

Si nous nous interessons au probleme pratique, l’echantillonnage est realise par un circuit electronique type SAH

(sample and hold), convertisseur analogique-numerique,,... Quelque soit le circuit utilise, entre l’instant ou il recoit

l’ordre d’effectuer l’echantillonnage et l’instant de realisation, il y aura toujours un retard (meeme extremement

faible : qqs ns ou µs).. Cette facon de voir les choses nous amene donc a considerer que la valeur de l’echantillon

en t0 sera systematiquement f(t+0 ).

Sauf indication contraire nous choisirons par la suite cette valeur. Ce n’est en aucun cas rigoureux et nous parlerons

alors de ”convention d’echantillonnage reel”.

1.3.3 signaux discrets et periodiques :

Un signal peut etre a la fois echantillonne et periodique. Sa representation devient simple lorsque le nombre

d’echantillons dans une periode est entier soit : T0 = N.Ts avec N entier.

Sa representation peut se faire de trois facons completement equivalentes :

Motif discret periodise xed =

[N−1∑

k=0

xkδ(t− kTs)

]⊗

+∞∑

n=−∞

δ(t− nT0)

Motif continu echantillonne et periodise xed =

[x(t)

N−1∑

k=0

δ(t− kTs)

]⊗

+∞∑

n=−∞

δ(t− nT0)

Motif continu periodise et echantillonne xed =

[xm(t)⊗

+∞∑

n=−∞

δ(t− nT0)

].N−1∑

k=0

δ(t− kTs)

1.4 Analyse frequentielle

1.4.1 Transformee de Fourier :

L’analyse de Fourier largement utilisee dans le domaine du signal permet de decomposer une fonction sur une base

d’exponentielles :

Transformation directe :

12

TF [x(t)] = X(f) =

∫ +∞

−∞

x(t)e−j2πftdt

Transformation inverse :

TF−1 [X(f)] = x(t) =

∫ +∞

−∞

X(f)ej2πftdf

Cette transformee definie au sens des fonctions de L(1) est etendue aux distributions temperees avec les resultats

suivants :

• Translation temporelle → Dephasage frequentiel

TF [δ(t− t0)] = e−j2πft0

|TF [δ(t− t0)]| = 1

• Dephasage temporel - Translation frequentielle

TF[ej2πf0t

]= δ(f − f0)

La derivation generalisee appliquee aux series de Fourier a termes complexes permet d’etablir les formules de

Poisson :

+∞∑

n=−∞

e−j2πfnT0 = f0

+∞∑

n=−∞

δ(f−nf0); avec f0 =1

T0(1.6)

Ce qui permet d’etablir les formules deja rappelees pour le peigne de Dirac (avec f0.T0 = 1) :

TF

[+∞∑

n=−∞

δ(t− nT0)

]=

+∞∑

n=−∞

e−j2πfnT0 = f0

+∞∑

n=−∞

δ(f − nf0)

TF−1

[+∞∑

n=−∞

δ(f − nf0)

]= T0

+∞∑

n=−∞

δ(t− nT0) (1.7)

1.4.2 Application aux signaux periodiques :

Spectre discret (methode no1) :

Un signal periodique possede une decomposition en serie de Fourier a termes complexes :

x(t) =

+∞∑

n=−∞

Cnej2πnf0t

avec Cn =1

T0

∫

(T0)

x(t)ej2πnf0tdt

TF [x(t)] =

+∞∑

n=−∞

CnTF[ej2πnf0t

]=

+∞∑

n=−∞

Cnδ(f − nf0) (1.8)

d’ou le resultat important suivant : la transformee de Fourier d’un signal periodique est discrete.

Signal periodique ⇐⇒ TF discrete

13

Spectre discret (methode no 2) :

En utilisant l’expression du signal periodique defini a partir de sa fonction motif xm(t) :

TF [x(t)] = TF

[xm(t)⊗

+∞∑

n=−∞

δ(t− nT0)

]= f0Xm(f).

+∞∑

n=−∞

δ(f − nf0) (1.9)

Le resultat est toujours un peigne de Dirac pondere =⇒ la transformee de Fourier est discrete.

Lien serie-transformee de Fourier :

Les deux methodes precedentes sont equivalentes et aboutissent bien sur a la meme conclusion. En comparant les

deux resultats il vient :

Cn = f0Xm(nf0)

Ce resultat nous permet de concevoir differemment le coefficient de decomposition en serie de Fourier a termes

complexes : le coefficient Cn est obtenu par discretisation frequentielle d’intervalle f0 de la transformee de Fourier

du motif du signal periodique multipliee par f0.

Cas particulier des sinusoıdes :

Les sinusoıdes peuvent etre exprimees par les formules d’Euler :

cos (2πf0t) =ej2πf0t + e−j2πf0t

2

TF [cos (2πf0t)] =1

2δ(f − f0) +

1

2δ(f + f0)

f

Re

f0−f0 0

Im

12

12

sin (2πf0t) =ej2πf0t − e−j2πf0t

2j

TF [sin (2πf0t)] =1

2jδ(f − f0)−

1

2jδ(f + f0)

14

f

Re

f0−f00

Im

12

12

1.5 Application aux signaux discrets :

Signaux discrets (methode no 1) :

x(t) =+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs)

TF [x(t)] =

+∞∑

k=−∞

xke−j2πkTsf (1.10)

C’est une serie de Fourier a termes complexes dans le domaine des frequences =⇒ TF [x(t)] est une fonction

periodique de la frequence f .

Signal discret ⇐⇒ TF periodique

Consequence :

Les xk sont des coefficients de decomposition en serie de Fourier a termes complexes nous pouvons donc les retrouver

a partir de la transformee de Fourier :

X(f) = TF [x(t)] ⇒1

fs

∫

(fs)

X(f)ej2πkTsfdf = Ts

∫

(1/Ts)

X(f)ej2πkTsfdf

Signaux echantillonnes (methode no 2) :

Cette propriete peut etre etablie de maniere plus elegante en faisant intervenir les distributions. Le signal echantillonne

x(t) est obtenu a partir du signal continu xc(t).

x(t) =

+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs) = xc(t).

+∞∑

k=−∞

δ(t− kTs)

(1.11)

TF [x(t)] = Xc(f)⊗ fs

+∞∑

n=−∞

δ(f − nfs) = fs

+∞∑

n=−∞

Xc(f − nfs) (1.12)

15

Nous retrouvons ainsi la periodicite du spectre.

Bande de frequence de Shannon :

Pour etudier le spectre d’un signal discret, il suffit de le connaıtre sur une periode frequentielle de duree fs le reste

du spectre etant obtenu par periodisation de ce motif. Par convention, nous utiliserons la bande de frequence de

Shannon (ou de Nyquist)

[−fs2,fs2

]≡

[−

1

2Ts,

1

2Ts

]. L’utilisation de frequences normalisees justifiant la notation

abregee

[−1

2,1

2

].

Pour les calculs, bon nombre de logiciels utilisent la bande de frequences [0, fs] soit [0, 1] en frequences normalisees.

Ceci sera utilise en particulier avec la transformee discrete (TFD) et son algorithme rapide (FFT).

Phenomene de recouvrement frequentiel : (repliement, folding, aliasing)

Si le spectre fsXc(f) est plus etendu que la bande de Shannon, la periodisation va introduire un recouvrement dont

la consequence est que X(f) 6= fsXc(f) ce qui interdit par simple filtrage (troncature frequentielle) de retrouver le

signal continu d’origine.

T h e o r e m e d e S h a n n o n(1916-2001)

C’est le premier resultat fondamental de la theorie des signaux

discrets.

Si on appelle fM la frequence maximale du spectre Xc(f) du signal

continu, celui-ci pourra etre retrouve sans distorsion si on respecte

la condition :

fs ≥ 2.fM ⇒ Ts ≤1

2.fM(1.13)

1

2.fMest la periode d’echantillonnage critique (pour un signal

sinusoıdal, 2 echantillons par periode).

Remarque :

En pratique, pour un grand nombre de signaux, le spectre de Fourier n’est pas limite mais tend asymptotiquement

vers 0 lorsque f → +∞. Dans ce cas, fM = +∞ et il est impossible de respecter rigoureusement la condition

16

de Shannon. On peut quand meme chercher a la respecter approximativement par exemple en negligeant dans le

spectre toutes les frequences pour lesquelles le module de la transformee de Fourier du signal est inferieur a α% de

son maximum.

Consequences experimentales :

Experimentalement il est necessaire de supprimer toutes les frequences superieures fM en particulier celles qui

peuvent etre dues a des bruits. Il faut donc de proceder au prealable a un filtrage du signal par un filtre passe-bas :

le filtre anti-repliement. Ce filtre ne peut etre evidemment realise que de maniere analogique puisqu’il precede

l’echantillonnage.

Signal continu filtre Signal echantillonne

echantillonneur

Signal continu

Filtre Analogiquepasse-bas

anti-repliement

Principe d’une chaıne d’acquisition d’un signal continu et de sa transformation en signal discret

Systeme Frequence d’echantillonnage

GSM 8000 HzMini DV 32000Hz, 48000 HzCd Audio 44100 HzDVD Video 48000 HzHD Video 96000 Hz

1.6 Reconstruction d’un signal echantillonne :

Celle-ci est theoriquement possible si la condition d’echantillonnage de Shannon a ete respectee. Il suffit de faire le

raisonnement suivant :

• Isoler le spectre du signal continu dans la bande de Shannon :

Xc(f) =1

fs.X(f).rect(

f

fs) (1.14)

• Effectuer la transformation de Fourier inverse : xc(t) = TF−1 [Xc(f)]

xc(t) =1

fsx(t)⊗ fs

sin (πfst)

πfst

xc(t) =+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs)⊗sin (πfst)

πfst(1.15)

17

En utilisant la propriete de la distribution exposee precedemment, nous etablissons le theoreme :

xc(t) =

+∞∑

k=−∞

xksin (πfs(t− kTs))

πfs(t− kTs)(1.16)

Connaissant les echantillons xk nous sommes donc capables de reconstituer le signal. Il y a cependant un in-

convenient : cette reconstruction n’est pas causale puisque, a un instant t donne, il nous faut tous les echantillons

y compris ceux qui interviennent dans le futur. Elle necessite le calcul avec tous les echantillons qui peuvent etre

en nombre infini ⇒ temps de calcul prohibitif.

Cette technique peut neanmoins etre utilisee en temps differe sur des signaux possedant un nombre limite d’echantillons.

Dans la pratique nous levons ces inconvenients en s’adressant a des techniques de reconstruction approximatives

mais causales et de temps de calcul raisonnable.

La formule exprime quand meme le fait theorique important qui est que, si on respecte la condition de Shannon,

le signal echantillonne possede la totalite des ”informations” contenues dans le signal continu.

1.7 Signaux discrets et periodiques :

Ils seront etudies en detail dans le chapitre sur la transformee de Fourier discrete. Compte tenu des chapitres

precedents, le spectre aura les deux proprietes de periodicite et de discretisation.Temporel Transformee de Fourier

Signal discret periodiqueSignal periodique discrete

Signal periodique et discret discrete et periodique

1.8 Signaux reels :

Signaux dont la mesure est exprimee par un nombre reel (xk ∈ R) c’est a dire la grande majorite des signaux traites

dans la pratique. Que le signal soit discret ou continu leur spectre a les memes proprietes generales. Ce sont ces

proprietes deja etablies dans le cas continu qui sont ici brievement rappelees.

Proprietes de la transformee de Fourier d’un signal reel :

Utilisons les proprietes de la transformee de Fourier (cf preuve en fin de paragraphe) :

� X(f) = TF [x(t)]

� X(−f) = TF[x(t)

]= TF [x(−t)]

� Pour un signal x(t) reel :

– TF [x(t)] = X(f) = A(f) + jB(f) ou A(f) et B(f) sont reels

– X(−f) = A(−f) + jB(−f) = TF [x(t)] = A(f)− jB(f)

⇒ La transformee de Fourier d’un signal reel est telle que :

• sa partie reelle A(f) est paire

• sa partie imaginaire B(f) est impaire.

18

X(f) peut etre exprimee aussi sous la forme module-argument : X(f) = |X(f)|ejϕ(f)

Cas du module : |X(f)|2 = |A(f)|2 + |B(f)|2 = |X(−f)|2

Cas de l’argument : ϕ(f) = Arg[X(f)] = Arctg[B(f)/A(f)] = −Arg[X(−f)]

⇒La transformee de Fourier d’un signal reel est telle que :

• le module |X(f)| est pair

• l’argument Arg[X(f)] est impair.

Application au calcul de la transformee de Fourier d’un signal reel :

Dans le cas d’un signal reel et discret, il suffit de calculer la transformee de Fourier sur la moitie de la bande de

Shannon [0 ; 0.5] l’autre partie [-0.5 ; 0] ou [0.5 ; 1] etant completee :

• par symetrie pour le module qui est pair.

• par antisymetrie pour l’argument qui est impair.

Cas particulier d’un signal pair :

Si x(t) est pair ⇒ la transformee de Fourier est paire : X(f) = X(−f).

Si de plus il est reel ⇒ seul A(f) existe ⇒ X(f) est reel.

La transformee de Fourier d’un signal reel et pair est reelle et paire.

Cas particulier d’un signal impair :

Si x(t) est impair ⇒ la transformee de Fourier est impaire : X(f) = −X(−f).

Si de plus il est reel ⇒ seul B(f) existe X(f) est imaginaire.

La transformee de Fourier d’un signal reel et impair est imaginaire et impaire.

Annexe : proprietes de la transformee de Fourier d’un signal reel :

Cas de signaux continus :

TF [x(t)] = X(f) =

∫ +∞

−∞

x(t)e−j2πftdt

X(−f) =

∫ +∞

−∞

x(t)ej2πftdt =

∫ +∞

−∞

x(t)e−j2πftdt = TF[x(t)

]=

∫ +∞

−∞

x(−t)e−j2πftdt = TF [x(−t)]

Cas de signaux discrets :

TF [x(t)] = TF

[+∞∑

−∞

xkδ(t− kTs)

]= X(f) =

+∞∑

−∞

xke−j2πkTsf

X(−f) =

+∞∑

−∞

xkej2πkTsf =

+∞∑

−∞

xkej2πkTsf = TF[x(t)

]=

+∞∑

−∞

x−ke−j2πkTsf = TF [x(−t)]

1.9 Transformee de Fourier, transformee de Laplace et transformee

en Z :

Ce sujet est plus largement discute dans l’etude de la transformation en Z dont nous rappelons ici les points

essentiels.

19

La transformee de Fourier n’existe que pour les signaux de L(1) (ensemble des signaux stables). En continu, elle

a ete generalisee par la transformee de Laplace (moyennant quelques conditions de convergence) et l’extension de

cette transformation de Laplace peut se faire avec precautions aux distributions et en particulier a la distribution

de Dirac. Nous sommes ainsi en mesure de l’etendre a l’etude des signaux discrets.

TL[x(t)] = X(p = σ + jω) =

∫ +∞

0

x(t)e−ptdt (1.17)

au sens des fonctions.

TL[δ(t)] = 1 TL[δ(t− τ)] = e−pτ pour les distributions.

x(t) =

+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs)

TL[x(t)] =

+∞∑

k=−∞

xke−kpTs (1.18)

La transformee de Laplace d’un signal discret ne se met plus sous forme polynomiale comme dans le cas continu

ce qui nous fait perdre un outil puissant. Pour le retrouver un changement de variable complexe suffit et amene a

definir la transformee en Z d’un signal discret :

z = epTs

TL[x(t)] =

+∞∑

k=−∞

xke−kpTs

TZ[x(t)] =+∞∑

k=−∞

xkz−k

Le passage de cette transformee en Z a la transformee de Fourier se fait en posant z = ejwTs et n’est possible que

si le cercle unite appartient a l’anneau de convergence de la transformee en Z etudiee (cf : notions de base sur la

transformee en Z)

20

Chapitre 2Transformee de Fourier discrete : TFD et principedes analyseurs de spectre ”numeriques”

La transformee de Fourier discrete est la transformee de Fourier ”exacte” d’un signal periodique et discret. Elle est

tres simple a calculer a partir de series mathematiques limitees et ce calcul s’implante facilement sur calculateur

ou circuit specialise (DSP) avec un algorithme FFT (Fast Fourier Transform) permettant d’en accelerer le temps

de calcul de plusieurs centaines de fois. Moyennant quelques precautions d’emploi, elle permet d’approximer en

un temps record la transformee de Fourier d’un signal continu a partir de sa version echantillonnee d’ou le grand

interet de cette transformation pour les ingenieurs, scientifiques et traiteurs de signaux.

2.1 Transformee de Fourier Discrete. Definition mathematique :

Mathematiquement, la transformee de Fourier discrete est une transformation qui fait correspondre deux series de

donnees de N points chacune :

{xk} ↔ {Xn} avec k, n entiers ≥ 0 n’appartenant pas a [0;N − 1]

Transformation directe :

Xn =

[N−1∑

k=0

xke−j2π k.n

N

](2.1)

Transformation inverse :

xk =1

N

[N−1∑

n=0

Xnej2π k.n

N

](2.2)

Realisation pratique : Pour calculer ces series il existe un algorithme de transformee de Fourier rapide ou FFT

(Fast Fourier Transform) qui dans le cas ou N = 2M est particulierement performant (en utilisant cet algorithme

pour N = 1024, le temps de calcul est divise par un facteur environ 1000 par rapport a l’utilisation directe de la

definition. Implante sur des ordinateurs ou realisations a base de processeurs actuels, il dure moins d’une µs). Cet

algorithme tres celebre est largement etudie dans les cours d’informatique et d’algorithmique.

21

2.2 Estimation de la transformee des signaux

2.2.1 Principe :

Echantillonnons a la periode Ts un signal continu xc(t) pendant un temps d’acquisition Ta. Ce temps d’acquisition

dure N echantillons d’ou la relation : Ta = N.Ts

Le signal echantillonne est :

x(t) = xc(t)

+∞∑

k=−∞

δ(t− kTs) =

N−1∑

k=0


xk = xc(kTs) xc(t ≥ NTs) = 0

En prenant la transformee de Fourier des deux membres :

TF [x(t)] = Xc(f)⊗ fs.

+∞∑

k=−∞

δ(f − kfs)

X(f) =

+∞∑

k=−∞

fs.Xc(f − kfs)

22

TF [x(t)] =

N−1∑

k=0

xke−j2π.fkTs (2.4)

Cette relation rappelle le fait que le spectre est continu et periodique. Si nous calculons N points de ce spectre pour

les frequences f = n.fsN

avec n ∈ [0;N − 1] en absence de repliement nous obtenons N points du spectre frequentiel

tels que :

fsXc(nfsN

) = TF [x(t)] =

N−1∑

k=0

xke−j2π.fkTs = Xn (2.5)

en remarquant quefsN

=1

Ta

nous obtenons donc, si l’effet du repliement est negligeable une bonne approximation de la transformee de Fourier

du signal :

Xn ≈ fs.Xc(n

Ta) (2.6)

•1

Taest l’intervalle entre deux points frequentiels ou pas frequentiel.

•1

Tsest la largeur de la bande [0; 1] sur laquelle est effectuee l’estimation

23

• Nous mesurons N points en temporel et estimons ainsi N points en frequentiel.

2.2.2 Cas general :

+∞∑

k=−∞

fsXc(n

Ta−

kN

Ta) =

N−1∑

k=0

xke−j2π.fkTs = Xn (2.7)

Xn = fsXc(n

Ta) +

∑

k 6=0

fsXc(n

Ta−

kN

Ta) (2.8)

Xn = terme ”principal” + terme de repliement.

△!Il faut donc soigneusement eviter le repliement

24

2.3 Signaux periodiques : TFD et serie de Fourier

2.3.1 Signaux periodiques, signaux discrets :

Signaux periodiques :

Un signal periodique possede une decomposition en serie de Fourier a termes complexes :

x(t) =

+∞∑

n=−∞

Cnej2π.nf0t = Xn (2.9)

avec Cn =

∫

(T0)

x(t)e−j2π.nf0tdt

⇒ TF [x(t)] =+∞∑

n=−∞

CnTF[ej2π.nf0t

]=

+∞∑

n=−∞

Cnδ(f − nf0) (2.10)

⇒ la transformee de Fourier d’un signal periodique est discrete : Signal periodique ⇔ TF discrete

Signaux discrets : Un signal echantillonne x(t) est obtenu a partir d’un signal continu xc(t).

x(t) =+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs) (2.11)

TF [x(t)] =+∞∑

k=−∞

xke−j2π.kTsf

= Xc(f)⊗ fs

+∞∑

n=−∞

δ(f − nfs)

TF [x(t)] = fs

+∞∑

n=−∞

Xc(f − nfs) (2.12)

⇒ la transformee de Fourier d’un signal discret est periodique : Signal discret ⇔ TF periodique

2.4 Signaux echantillonnes et periodiques :

Hypothese : Le nombre N d’echantillons par periode est suppose entier :

T0 = N.Ts ⇒ f0.Ts =1

N.

Transformation de Fourier directe :

Le signal periodique et echantillonne peut etre modelise par un motif discret de duree T0 = N.Ts periodise :

xep(t) =

[N−1∑

k=0

xkδ(t− kTs)

]⊗

+∞∑

n=−∞

δ(t− nT0) (2.13)

25

TF [xep(t)] = Xep(f) =

[N−1∑

k=0

xke−j2πkfTs

].f0

+∞∑

n=−∞

δ(f − nf0)

=

+∞∑

n=−∞

f0

[N−1∑

k=0

xke−j2πknf0Ts

]δ(f − nf0)

=

+∞∑

n=−∞

f0

[N−1∑

k=0

xke−j2π kn

N

]δ(f − nf0) (2.14)

{xk} etant la serie d’echantillons du motif du signal echantillonne periodique, nous voyons apparaıtre sa transformee

de Fourier discrete {Xn} et :

Xn =

[N−1∑

k=0

xke−j2π kn

N

](2.15)

⇒ TF [xep(t)] = Xep(f) =

+∞∑

n=−∞

f0Xnδ(f − nf0)

Remarques :

• Xn est la transformee de Fourier du motif temporel echantillonne prise pour la valeur f = n.f0.

• Xn+αN = Xn ∀α la TF est periodique de periode frequentielle N.f0 = fs soit la largeur de la bande de

Shannon. (propriete deja vue, typique d’un signal discret).

• La TF est echantillonnee avec la periodicite frequentielle f0 (propriete d’un signal periodique).

Transformation de Fourier inverse :

La procedure est la meme que pour la transformee directe puisque nous avons un spectre a la fois discret et

periodique. La transformee de Fourier Xep(f) est donc un motif frequentiel de largeur fs echantillonne a la cadence

f0 et periodise a la distance fs. Ceci peut s’ecrire mathematiquement sous la forme :

Xn =

[N−1∑

k=0

xke−j2π kn

N

]

26

Xep(f) =

[N−1∑

n=0

f0Xnδ(f − nf0)

]⊗

+∞∑

k=−∞

δ(f − kfs)

La transformation de Fourier inverse donne :

TF−1 [Xep(f)] =

[N−1∑

n=0

f0Xnej2πnf0t

].Ts

+∞∑

k=−∞

δ(t− kTs)

= f0Ts

+∞∑

k=−∞

[N−1∑

n=0

Xnej2πnf0kTs

]δ(t− kTs)

=1

N

+∞∑

k=−∞

[N−1∑

n=0

Xnej2π nk

N

]δ(t− kTs)

= xep(t) =

+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs) (2.16)

d’ou l’expression de la transformee de Fourier discrete inverse (TFD−1) :

xk =1

N

[N−1∑

n=0

Xnej2π kn

N

](2.17)

Conclusion :

La transformee de Fourier Discrete (TFD) est la maniere rigoureuse de calculer la transformee de

Fourier d’un signal a la fois periodique et discret. La TFD et sa transformation inverse permettent

de relier les echantillons {xk} du motif du signal periodique aux echantillons {Xn} du motif de

sa transformee de Fourier.

2.4.1 lien avec la serie de Fourier :

Un signal periodique se decompose en serie de Fourier et nous pouvons l’echantillonner en prenant N echantillons

par periode T0 = N.Ts :

xp(t) =

[+∞∑

m=−∞

Cmej2πmf0t

](2.18)

⇒ xk = xp(t = kTs) =

+∞∑

m=−∞

Cme−j2π mkN

Xn =1

N

[N−1∑

k=0

xke−j2π kn

N

]=

[N−1∑

k=0

[+∞∑

m=−∞

Cmej2πkmN

]e−j2π kn

N

](2.19)

D’ou la relation :

27

Xn =

N−1∑

k=0

+∞∑

m=−∞

[Cmej2π

k(m−n)N

]=

+∞∑

m=−∞

[Cm

N−1∑

k=0

ej2πk(m−n)

N

]

=

+∞∑

m=−∞

Cm

ejπ(m−n)e−jπ

(m−n)N

sin (π(m− n))

sin(π (m−n)

N

)

(2.20)

Le coefficient de Cm est tel que :

sin (π(m− n))

sin(π (m−n)

N

) = 0 pour m− n 6= αN et = N pour m− n = αN

d’ou :

Xn =+∞∑

α=−∞

N.Cn+αN = N.Cn +∑

α6=0

N.Cn+αN

Terme principal + terme de repliement

Dans certaines conditions liees a l’absence de repliement subsiste seul le terme principal correspondant a α = 0 et

on aura la relation :

Xn ≈ N.Cn (2.21)

Application pratique :

La TFD des echantillons d’un signal periodique est une evaluation du coefficient de decomposition en serie de Fourier

a termes complexes de ce signal. Cette estimation sera rigoureuse si nous respectons lors de l’echantillonnage la

condition de Shannon. Par ailleurs il ne faut pas oublier la condition T0 = N.Ts c’est a dire un nombre entier

d’echantillons dans une periode du signal (le non respect, de cette condition est vu plus tard dans le chapitre V)

Nous disposons ainsi d’une methode numerique de calcul de la serie de Fourier permettant de remplacer le calcul

d’une integrale par celui d’une serie de nombre finis de termes.

2.5 Quelques applications de la TFD

Une fois les acquisitions du signal realisees, il n’est pas toujours possible de les recommencer. Pour obtenir des

”donnees” supplementaires sur le signal, il n’est pas theoriquement necessaire de reprendre l’acquisition car, si

l’echantillonnage a ete correctement effectue, le theoreme de reconstruction prouve que le signal echantillonne

contient autant ”d’indications” que le signal continu d’origine. Les ”donnees” recherchees peuvent ainsi etre obtenues

directement a partir du fichier. De nombreuse applications utilisent ce fait cependant, elles sont deduites des deux

grandes methodes d’interpolation permettant d’augmenter soit la precision frequentielle soit la precision temporelle.

28

2.5.1 Amelioration de la precision frequentielle :

Probleme :

Un signal a ete echantillonne en respectant la condition de Shannon. Nous avons acquis N points de ce signal qui,

grace a la TFD, nous ont permis d’obtenir une estimation de sa transformee de Fourier en N points repartis dans

la bande de frequences de Shannon. Nous avons montre que l’ecart entre deux de ces points adjacents est defsN

constituera ainsi notre precision frequentielle.

Cette precision ne nous convient pas et nous souhaitons l’ameliorer sans pour autant reprendre l’experience. Est-ce

possible ?

Interpolation frequentielle (”zero padding”) :

Le probleme precedent est possible et meme trivial. Il suffit d’avoir rempli une condition : eviter une troncature

temporelle lors de l’acquisition du signal.

Le temps d’acquisition du signal est T0 = N.Ts. Nous evitons la troncature si a t = T0 le signal est termine c’est a

dire suppose pratiquement nul. Pour augmenter la precision frequentielle il faut diminuer f0 soit augmenter T0. Si

le signal n’a pas ete tronque lors de la premiere acquisition, augmenter T0 revient a faire l’acquisition d’echantillons

supplementaires de valeur nulle. Inutile de refaire une manipulation pour cela, il suffit de les ajouter a la fin du

fichier de donnees. Donc pour augmenter la precision frequentielle, il suffit d’ajouter autant de zeros que souhaite

en fin de fichier (”zero padding”) puis de traiter celui-ci.

• premier fichier N points → precision frequentiellefsN

.

• deuxieme fichier N points + M zeros → nouvelle precision frequentielle fsN+M .

2.5.2 Interpolation temporelle :

C’est le meme probleme que precedemment mais en permutant le role du temps et des frequences. Cependant cela

n’est pas evident au premier abord et nous allons tenter de montrer ce resultat ainsi que les dispositions pratiques

qui permettent de l’obtenir.

Probleme :

Un signal a ete echantillonne en respectant la condition de Shannon et nous avons acquis N points de ce signal. En

realite ce nombre de points est insuffisant et nous voulons des points ”intermediaires”. Pour obtenir ce resultat, il

faudrait recommencer l’acquisition avec une periode d’echantillonnage plus faible cependant, le signal echantillonne

contenant toutes les informations du signal continu, il doit suffire pour retrouver ces echantillons et eviter de refaire

l’experience.

Proprietes de base :

Nous avons un signal continu xc(t) echantillonne a une periode Ts1 pendant un temps d’acquisition T0 = N.Ts1 ce

qui nous donne le signal x1(t).

Supposons le meme signal xc(t) echantillonne a la periode Ts2 pendant le meme temps T0 = M.N.Ts2. Ceci donne

un autre signal x2(t) possedant M fois plus d’echantillons que x1(t).

Quelles sont les points communs et les differences entre x1(t) et x2(t) ?

• Les deux signaux proviennent du meme signal continu xc(t) et ont meme duree T0 ⇒ l’intervalle entre les

echantillons frequentiels est le meme dans les deux cas = f0 =1

T0.

29

• Pour les deux la condition de Shannon est supposee respectee ⇒ Ts2 < Ts1 <1

2fmax, (fmax etant la plus

haute frequence du spectre de xc(t)).

• La largeur de la bande de Shannon pour x1(t) est1

Ts1=

N

T0.

• La largeur de la bande de Shannon pour x2(t) est1

Ts2=

M.N

T0soit M fois plus large que celle associee a

x1(t). Le theoreme de Shannon etant respecte dans les deux cas, le spectre de x2(t) est donc le meme que

celui de x1(t) mais sur une bande de Shannon plus large ⇒ le spectre de x2(t) est le spectre de x1(t) complete

par des zeros.

Nous retrouvons ici l’analogie avec le ”zero padding” : pour interpoler un signal temporel, il suffit de surechantillonner

a la periode desiree et de faire en sorte que son spectre de frequence soit complete par des zeros.

Exemple :

xc(t) = t2exp(−3.t) avec T0 = 3s.

Ce signal a la forme ci-dessous :

En choisissant : Ts1 = 0.15s, Ts2 = 0.05s

⇒ N = 20 M = 3

Les spectres et bandes de Shannon associees sont les suivants :

Interpolation temporelle :

Il faut donc changer de periode d’echantillonnage, la diminuer. La methode est basee sur la propriete que nous

venons de voir et se fait en trois etapes illustrees par l’exemple choisi :

etape 1 : Echantillonnage du signal a la periode Ts1 conformement au theoreme de Shannon.

Etape 2 :

Changement de periode d’echantillonnage, nous intercalons (M−1) zeros entre les echantillons du fichier→ nouvelle

periode d’echantillonnage Ts2 =Ts1

Met extension de la bande de frequence de Shannon.

En effet, les donnees numeriques sont inchangees (des zeros ne donnent rien dans la TFD).

Soit x(t) le signal echantillonne a la periode Ts1 (N echantillons) et y(t) le signal obtenu avec des zeros intercales

donc de periode d’echantillonnage Ts2 (M.N echantillons).

30

y(t) est tel que : yp = xk pour p = M.k et yp = 0 pour p 6= M.k

le calcul de la TFD nous donne :

Xn =

[N−1∑

k=0

xke−j2π kn

N

]n ∈ [0;N − 1] (2.22)

Yq =

[M.N−1∑

p=0

ype−j2π pq

MN

]n ∈ [0;M.N − 1] (2.23)

les seuls echantillons yp non nuls etant pour p = M.k nous pouvons effectuer le changement de variable et :

Yq =

[N−1∑

k=0

yM.ke−j2πM.kq

MN

]n ∈ [0;M.N − 1] (2.24)

le nouveau signal ainsi obtenu a donc meme transformee de Fourier que le precedent, seule la bande de frequence

de Shannon est changee puisque multipliee par M . Nous representons donc M bandes de Shannon du signal x(t).

Etape 3 : Nous effectuons un filtrage passe-bas de frequence de coupure1

2.Ts1=largeur de la bande de Shannon

du premier signal ⇒ nous mettons a zero les echantillons frequentiels ajoutes.

Realisation pratique :

31

Signal continu filtre Signal x1(t) discret

echantillonneur

Signal continu Filtre Analogiquepasse-bas

anti-repliementxc(t) Ts1

Stockage x1(t)echantillonne a Ts1

anti-repliement

Filtre passe-bas

Zeros

Ts2

Zeros intercales

32

0 10 20 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Signal − Ts = 0,4 s

Temps en secondes−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fréquences en Hz

FFT signal

0 10 20 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1signal+zéro padding

Temps en secondes−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1FFT signal + zéros padding

Fréquences en Hz

ApplicationsC’est une methode de compression du signal discret, il suffit de stocker juste

les donnees necessaires correspondant a une periode d’echantillonnage Ts1 voisine

de l’echantillonnage critique. Si un besoin d’echantillons se fait ressentir, la

technique ci-dessus permet de les retrouver en temps reel.

L’un des domaines d’utilisation de ce procede est le CD audio. A l’heure

actuelle, un enregistrement musical est effectue a la limite de la frequence de

Shannon mais cela est insuffisant pour obtenir une restitution satisfaisante car

il faut reconstruire un signal continu en temps reel. Pour cela, a la lecture

du CD il est procede a une interpolation avec M = 8 pour fournir le signal de

qualite satisfaisante. Le stockage sur le CD y a quand meme gagne ce facteur 8.

33

0 1 2 3 40

0.5

1

Signal − Ts = 0,4 s

−2 0 20

0.5

1TFD du signal

Fréquences en Hz

0 1 2 3 40

0.5

1Signal + zéros interpolés

−2 0 20

0.5

1Signal + zéros interpolés

Fréquences en Hz

−2 0 20

0.5

1Signal + zéros interpolés + filtrage

Fréquences en Hz0 1 2 3 4

0

0.5

1Signal + zéros interpolés + signal interpolé

2.6 Analyseur de spectre - Fenetres de ponderation.

2.6.1 Analyseur de spectre ”numerique” (principe) :

Au chapitre III nous avons montre que si nous calculons la TFD des echantillons d’un signal continu xc(t) de

transformee de Fourier Xc(f),celle-ci nous donne :

Xn = fsXc(nf0) +∑

k 6=0

fsXc(nf0 − kNf0)

terme principale + terme de repliement

Si l’effet du repliement est negligeable, la TFD devient une bonne approximation de la transformee de Fourier du

signal :

Xn ≈ fsXc(nf0)

Deja discute, le resultat precedent montre que :

• La TFD appliquee a un signal quelconque permet d’avoir une estimation de la valeur de sa transformee de

Fourier en N points distants de f0 =fsN

.

• Pour cela, la TFD permet de remplacer une integrale par une serie a nombre fini de termes ce qui est une

methode numerique qui s’implante tres facilement sur calculateur, microprocesseur ou processeur de signal

(DSP).

34

• Il a ete developpe des algorithmes mathematiques dits FFT (Fast Fourier Transform) qui accelerent le temps

de calcul dans certains cas par des facteurs 100 voire 1000 et calculer une TFD sur 1024 points peut etre

une operation qui ne prend que quelques µs. De ce fait, la TFD et FFT sont devenus des outils puissants de

traitement de signal.

Nous avons ici tous les ingredients permettant de developper un appareil performant pour l’analyse de Fourier :

analyseur de spectre.

2.6.2 Elargissement des raies :

Cas des sinusoıdes : Le signal dont le spectre de frequences est le plus simple est le signal sinusoıdal de periode

Tp. Son spectre ne contient theoriquement que deux raies aux frequences1

Tpet −

1

Tp. Ceci est montre sur la figure

ci-dessous.

Pour obtenir ce resultat, nous avons utilise un temps d’acquisition Ta du signal egal a un nombre entier de fois la

periode Tp de la sinusoıde. Si cette condition n’est pas verifiee nous obtenons le resultat suivant : nous ne retrouvons

plus deux raies mais un spectre dit elargi.

Explication : L’un des resultats fondamentaux de l’analyse Fourier est le principe d’incertitude. Si DT est

l’etalement de la distribution d’energie dans le temps et DF l’etalement associe dans le domaine frequentiel nous

savons que :

∆t.∆f ≥1

4π

Nous pouvons traduire cette relation par : plus un signal est etendu dans le domaine temporel, moins il le sera

dans le domaine frequentiel. L’utilisation de la TFD implique un nombre fini d’echantillons et donc un signal de

duree finie. Pour les signaux de longue duree (signaux tendant asymptotiquement vers une valeur non nulle, signaux

periodiques...) l’utilisation de la TFD introduira une troncature temporelle plus ou moins importante dont l’effet

peut etre indesirable sur les raies du spectre du signal.

2.6.3 Exemple d’une sinusoıde

Ce type de signal tres etendu dans le temps donne theoriquement lieu a un spectre avec deux raies spectrales de

largeur nulle (etalement frequentiel faible).

35

xc(t) = a.cos (2πfpt)

xc(t) =a

2

(ej2πfpt + e−j2πfpt

)

TF [(xc(t)] =a

2(δ(f − fp) + δ(f + fp))

Si nous estimons son spectre grace a une TFD calculee sur N points, cela revient a effectuer une troncature sur

l’intervalle de temps Ta = N.Ts ce qui limite l’etalement temporel du signal et doit conduire a un etalement

frequentiel.

Le signal tronque modelisable avec l’utilisation d’une fonction porte est :

x(t) = a.cos (2πfpt) .P

(t

Ta

)

P

(t

Ta

)= rect

(t− Ta/2

Ta

)

TF

[P

(t

Ta

)]= Ta.e

−jπfTasin (πfTa)

πfTa

Le signal reel et sa transformee de Fourier seront :

x(t) = xc(t).rect

(t− Ta/2

Ta

)

TF [x(t)] = TF [x(t)]⊗

[Ta.e


πfTa

]

X(f) =a

2(δ(f − fp) + δ(f + fp))⊗ Ta.e


πfTa

TF [x(t)] =aTa

2

(e−jπ(f−fp)Ta

sin (π(f − fp)Ta)

π(f − fp)Ta+ e−jπ(f+fp)Ta

sin (π(f + fp)Ta)

π(f + fp)Ta

)(2.25)

La troncature d’un signal sinusoıdal a deux consequences :

• Plutot que deux raies ”fines”, nous trouvons des raies ”elargies” correspondant aux deux sinus cardinaux. La

largeur du lobe central (prise entre les deux premiers minima nuls) des raies est 2∆f =2

Ta=

2

(NTs).

• Outre ce phenomene d’elargissement de la raie, il apparaıt des lobes lateraux que nous pourrions etre tentes

d’interpreter comme d’autres raies presentes au pied de la raie principale (phenomene d’apodisation des raies

par troncature). Pour un sinus cardinal, le premier lobe secondaire a une amplitude relative d’environ 22%

ce qui est loin d’etre negligeable.

Cas general : Un signal quelconque est une superposition de signaux sinusoıdaux et l’utilisation de la TFD a deux

consequence sur les raies spectrales :

• Un elargissement d’autant plus grand que la troncature est importante. Cela nous limite dans la separation

(la resolution) de raies voisines.

• L’apparition de raies secondaires qui peuvent cacher des raies principales d’une autre composante du signal.

36

2.6.4 Limite de resolution :

Si le signal est compose de deux sinusoıdes de frequences voisines :

x(t) = a1cos (2πf1t) + a2cos (2πf2t) (2.26)

Le spectre de ce signal doit comporter deux raies qui vont se trouver elargies par la troncature du signal. Quand

peut-on dissocier (separer) ces deux raies ? Nous pouvons estimer cela en utilisant un critere correspondant a un

cas limite : c’est le critere de resolution de Rayleigh.

Critere : Deux raies d’un spectre sont considerees comme separables, si le maximum de l’une correspond au

premier minimum nul de l’autre.

En appelant 2∆f la ”largeur” d’une raie prise par convention comme etant l’ecart entre les frequences correspondant

aux deux premiers minima nuls encadrant le maximum de la raie, la limite de resolution sera donc telle que

|f2 − f0| = ∆f.

Ceci est illustre par les figures suivantes (elles correspondent a des raies avec fenetre de Hamming etudiee ensuite).

37

2.6.5 Utilisation d’une fenetre :

Pour eviter ces inconvenients, nous pouvons realiser une troncature avec ponderation des echantillons : fenetre de

ponderation. La fenetre doit etre choisie de maniere a ce que sa transformee de Fourier ait un lobe central le plus

etroit possible et des lobes lateraux d’amplitude la plus faible possible. Le compromis entre ces deux exigences est

realise par un certain nombre de fenetres : Hanning, Hamming, etc.

Fenetre rectangulaire : C’est la troncature simple, son lobe central est de largeur 2∆f =2

(NT0)=

2

(NTs)et

l’amplitude du premier lobe de l’ordre de 22%.

38

L’effet des lobes lateraux se met en evidence sur le traitement d’un signal compose de deux raies theoriquement

resolues mais d’amplitudes de rapport 10. La TFD donne le resultat ci contre ou la ”petite” raie est non detectable.

Fenetre de Hanning : Fenetre dite en ”cosinus”, son lobe central est de largeur 2∆f =4

(NTs)et son premier

lobe lateral d’amplitude relative d’environ 3%.

f(t) =

[0.5 + 0.5cos

(2πt

T0

)]

TF [f(t)] = F (f) =1

2δ(f).

1

4

[δ(f −

1

T0) + δ(f +

1

T0)

]⊗ [T0

sin (πfT0)

πfT0(2.27)

Nous perdons un facteur 2 en resolution spectrale mais l’importance des lobes lateraux est moindre ce qui permet

par rapport a la troncature de mieux separer les raies d’amplitudes differentes. Ceci est montre sur la figure ci-contre

qui reprend le traitement par TFD avec fenetre de Hanning de l’exemple precedent de deux raies theoriquement

resolues et d’amplitudes de rapport 10

Fenetre de Hamming : Dite en ”cosinus rehausse”, son lobe central est de largeur 2∆f =4

(NTs)et ses lobes

lateraux d’amplitude relative inferieure a 1%.

f(t) =

[α+ (1− α)cos

(2πt

T0

)]rect

(t

T0

)(2.28)

39

Le parametre α est ajuste pour minimiser les lobes lateraux en particulier le second ⇒ α = 0.54 :

f(t) =

[0.54 + 0.46cos

(2πt

T0

)]rect

(t

T0

)(2.29)

Tout en concedant toujours un facteur 2 sur la resolution de la fenetre rectangulaire, l’importance des lobes lateraux

est moindre ce qui ameliore le resultat de la fenetre de Hanning pour la detection de raies d’amplitudes differentes.

La figure ci-contre reprend le traitement par TFD de l’exemple de deux raies theoriquement resolues et d’amplitudes

de rapport 10 avec une fenetre de Hamming

Autres fenetres : De nombreuses autres fenetres ont ete developpees. Elles sont aussi utilisees dans les methodes de

synthese des filtres RIF. Elles sont traitees a ce niveau, les analyseurs de spectre se contentant largement de celles

que nous venons d’etudier. Signalons une fenetre dite a ”toit plat” (flat top) utilisee dans les analyseurs de spectre

travaillant par TFD. Lors de la restitution du spectre, et donc des differentes raies, l’utilisation d’une fenetre peut

introduire une incertitude sur la mesure de l’amplitude de la raie. Pour comparer avec precision les amplitudes des

diverses raies d’un spectre, il vaut mieux utiliser une fenetre de ponderation qui les preserve : c’est le role de cette

fenetre a ”toit plat”.

Caracteristiques des principales fenetres de ponderation :

40

Type de fenetre Largeur spectrale ∆f Amplitude du 1er lobe

Rectangulaire 1NTs

-13 dB (22%)

Triangulaire 2NTs

-25 dB

Hanning 2NTs

-31 dB

Hamming 2NTs

-40 dB

41

−1 0 1 20

0.5

1

FENETRE RECTANGULAIRE

−10 −5 0 5 100

0.5

1Transformée de Fourier de la Fenêtre

Fréquence normalisée en Hz

−1 0 1 20

0.5

1

FENETRE HANNING

−10 −5 0 5 100

0.5



−1 0 1 20

0.5

1

FENETRE HAMMING

−10 −5 0 5 100

0.5



42

−1 0 1 20

0.5

1

FENETRE BLACKMAN

−10 −5 0 5 100

0.5

1

Transformée de Fourier de la Fenêtre


−1 0 1 20

0.5

1

FENETRE gausswin

−10 −5 0 5 100

0.5

1



−1 0 1 2

0

0.5

1

FENETRE FLATTOP

−10 −5 0 5 100

0.5

1



43

−10 −5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Transformée de Fourier des différentes Fenêtres

RectangleHanningHammingBlackmanGaussienFlat

44

Chapitre 3Les systemes discrets

3.1 Etude des systemes discrets. Discretisation-Numerisation

3.1.1 Systeme discret, filtres :

Un systeme discret repond a la definition generale des systemes : ensemble qui introduit une relation entre ses

signaux d’entree et signaux de sortie. Ici, tous ces signaux sont discrets. L’une des methodes d’etude de l’action

des systemes discrets etant l’approche frequentielle (utilisation de la transformee de Fourier) nous parlons alors de

filtrage. Ainsi, nous utiliserons indifferemment de maniere equivalente le terme de systeme discret ou celui de filtre

discret.

Nous developperons le cas monovariable SISO (Single Input Single Output) :

y(t)

S y s t e m e

x(t)

x(t) =

+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs)

y(t) =+∞∑

n=−∞

ynδ(t− nTs) (3.1)

Relation de filtrage : yn = f({xk}, {yn6=m}.

3.1.2 Systeme discret-Systeme numerique :

Les signaux physiques sont transformes en signaux discrets par echantillonnage. Ensuite, pour traiter ces signaux,

nous utilisons des machines qui sont soit de simples microprocesseurs, des processeurs dedies au traitement du

signal (DSP : Digital Signal Processor), des ordinateurs, etc....Tous ces systemes comportent une partie acquisition

du signal a base de convertisseurs analogique → numeriqe (CAN = Convertisseur Analogique Numerique ou ADC

= Analog to Digital Converter) et de convertisseurs numeriqe → analogique (CNA = Convertisseur Numerique

45

Analogique ou DAC = Digital to Analog Converter). Comme l’indique le nom de ces composants, le signal continu

(analogique) est numerise (digitalise) ce qui recouvre deux operations :

• Une discretisation par echantillonnage a une periode Ts.

• Une numerisation : la valeur de l’echantillon devant etre traitee par des composants travaillant en binaire, elle

est codee soit en virgule fixe soit en virgule flottante sur un nombre fini de bits. Ce type de codage comporte

une perte de precision par arrondi des donnees. C’est le probleme de la quantification liee a la numeration

binaire a nombre fini de bits.

Le traitement du signal se fait alors sur ces donnees : traitement des donnees (ou filtrage des donnees). Compte

tenu des remarques precedentes il y a deux aspects dans ce traitement :

• Un aspect filtrage ou le filtre est un systeme qui agit sur des grandeurs d’entree pour les traiter et fournir des

grandeurs de sortie. Agissant sur des signaux discrets le filtre est un systeme discret.

• Un aspect numerisation : la numerisation introduit sur les coefficients du filtre un effet d’arrondi ce qui genere

des imperfections de fonctionnement. Ces effets peuvent etre parfois prejudiciables au bon fonctionnement

du filtre. Le filtre concu, la realisation peut se faire de plusieurs manieres ou structures. D’un point de vue

theorique toutes ces structures sont equivalentes mais elles sont plus ou moins sensibles aux erreurs commises

par quantification des coefficients et cela justifie le choix d’une structure par rapport a une autre.

En resume : Filtre numerique = systeme discret+numerisation.

L’ambition de ce chapitre est de donner les notions necessaires pour l’etude des systemes discrets l’aspect numerisation

n’etant pas etudie.

3.2 Systemes discrets lineaires invariants

3.2.1 Linearite. Equation recurrente :

Un systeme est lineaire s’il repond au principe de superposition :

Si y1(t) = f [x1(t)] et y2(t) = f [x2(t)] x(t) = α1x1(t) + α2x2(t)

alors f [x(t)] = f [α1x1(t) + α2x2(t)] = α1f [x1(t)] + α2f [x2(t)] = α1y1(t) + α2y2(t) = y(t) ∀α1 et α2 ∈ C.

En consequence, pour un systeme lineaire, la relation ”entree → sortie” yn = f({xk, ym 6= n}) est une relation

lineaire du type equation recurrente (ou equation aux differences) :

yn =∑

k

bkxn−k −∑

m 6=0

amyn−m

terme recursif

ou avec la convention a0 = 1

∑

m

amyn−m =∑

k

bkxn−k (3.2)

Les {bk} et {am} etant les coefficients de l’equation recurrente.

46

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

échantillons

son

Son initialSon filtré

Figure 3.1 – Exemple de debruitage d’un signal par filtrage

3.2.2 Recursivite. Forme recursive. Forme non recursive :

La recursivite est, dans la modelisation mathematique, la dependance du signal yn vis a vis de ses valeurs aux

autres instants soit le terme∑

m 6=0

amyn−m

expression non recursive, exemple : yn = xn + a1yn−1

avec yn−1 = xn−1 + a1yn−2 ⇒ yn = xn + a1xn−1 + a21yn−2

puis yn−2 = xn−2 + a1yn−3 ⇒ yn = xn + a1xn−1 + a21xn−2 + a31yn−3

yn−3 = xn−3 + a1yn−4 ⇒ yn = xn + a1xn−1 + a21xn−2 + a31xn−3 + a41yn−4

En poursuivant le procede a l’infini yn ne depend plus que des xn−i mais dans une expression comportant a priori

une infinite de termes.

Nous pouvons appliquer ceci a tout systeme en exprimant les yn−m pour m 6= 0 grace a l’equation recurrente

elle-meme ce qui amenera a une equation non recurrente. La relation d’entree-sortie du systeme a donc une forme

recursive deja evoquee et aussi une forme non recursive :

yn =∑

i

hixn−i (3.3)

Les {hi} sont les coefficients de cette forme. Ils sont appeles aussi sequence de ponderation du systeme et sont

etroitement lies aux {bk} et {am}. Comme nous l’etablirons par la suite ils ont pour le systeme une signification

particuliere puisqu’ils sont les echantillons de sa reponse impulsionnelle.

47

5 10 15−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Signal foetus estimé

Temps en secondes

10 12 14 16 18 20−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Signal électrocardiogramme mère seule

Temps en secondes

Figure 3.2 – Exemple d’extraction d’un ECG de Foetus de celui de la mere par filtrage

3.2.3 Invariance temporelle.

L’invariance temporelle (ou invariance par translation) est liee a la propriete du systeme d’avoir une relation

entree-sortie independante du temps :

y(t) = f [x(t)] ⇒ y(t− τ) = f [x(t− τ)] ∀τ ∈ R

Pour un systeme lineaire, cela implique que les coefficients {hi}, {bk} et {am} sont independants du temps.

3.2.4 Causalite :

La cause precede la consequence. Pour un systeme causal, les equations recurrentes auront donc necessairement la

forme :

+∞∑

m=0

amyn−m =

+∞∑

k=0

bkxn−k yn =

+∞∑

i=0

hixn−i (3.4)

La causalite permet de calculer immediatement a un instant t = nTs la valeur yn de la sortie du systeme puisque

toutes les donnees necessaires sont connues. Ce n’est pas le cas pour un systeme non causal puisque celui-ci necessite

la connaissance de l’entree du systeme a des instants suivant celui ou on opere.

Ces notions sont souvent associees a celle de temps reel :

48

Systeme causal ⇒ temps reel

Systeme non causal ⇒ temps differe

3.3 Analyse temporelle

3.3.1 Operateur retard :

La reponse temporelle d’un systeme est connue si nous sommes capables de calculer ses echantillons {yn} en

temps reel ou differe. Ceci est donc directement lie a la connaissance de l’equation recurrente sous l’une de ses

formes. Ces formes peuvent etre simplifiees mathematiquement en utilisant l’operateur retard temporel defini par :

q−1x(t) = x(t − Ts) ou d’une maniere plus generale q−dx(t) = x(t− dTs).

Ces relations sont etendues aux echantillons du signal soit : q−1xn = xn−1 et q−rxn = xn−r et permettent de

formaliser les equations recurrentes en faisant intervenir des operateurs fonctions de q−1.

∑

m

amq−myn =∑

k

bkq−kxn yn =

∑

i

hiq−ixn (3.5)

[∑

m

amq−m

]y(t) =

[∑

k

bkq−k

]x(t)

A(q−1

)y(t) = B

(q−1

)x(t) (3.6)

yn =

[∑

i

hiq−i

]x(t)

y(t) = H(q−1

)x(t) (3.7)

3.3.2 Reponse impulsionnelle :

Elle correspond a une entree x(t) = δ(t) ⇒ x0 = 1, xk 6=0 = 0.

En utilisant la forme non recursive n = i ⇒ yn = hn

Les echantillons de la reponse impulsionnelle sont les coefficients de l’equation recurrente du systeme mise sous

forme non recursive.

La reponse impulsionnelle est donc une caracteristique du systeme et cela permet de les classer en deux categories :

• Filtres a reponse impulsionnelle finie : filtres RIF. La suite {hi} comporte un nombre fini : yn

max∑

i=min

hixn−i

• Filtres a reponse impulsionnelle infinie : filtres RII. La suite {hi} comporte un nombre infini d’echantillons

hi ⇒ au moins l’une des bornes min ou max est infinie (le plus souvent min = 0 et max = +∞).

49

3.3.3 Convolution discrete :

La relation entree-sortie yn =∑

i

hixn−i provient du produit de convolution. En effet un systeme est caracterise

par sa reponse impulsionnelle h(t) et nous pouvons ecrire :

h(t) = h(t)⊗ δ(t) (3.8)

Pour une excitation quelconque : x(t) =

+∞∑

−∞

xmδ(t−mTs)

Le systeme etant lineaire et invariant, la reponse a x(t) peut s’ecrire :

y(t) =

+∞∑

−∞

ynδ(t− nTs) =∑

m

h(t)⊗ xmδ(t−mTs) = h(t)⊗∑

m

xmδ(t−mTs) = h(t)⊗ x(t)

Nous retrouvons un resultat caracteristique des systemes lineaires invariants : la sortie y(t) est le produit de

convolution de la reponse impulsionnelle h(t) par l’entree x(t). L’equation qui permet de calculer les echantillons du

signal de sortie est yn =∑

i

hixn−i et constitue la convolution discrete etudiee lors des proprietes de la transformee

en Z.

En resume :

Cas general des SLI continus ou discrets : ce sont des systemes dits de convolution ⇒ le calcul de la sortie y(t) se

fait par un produit de convolution.

Cas particulier des SLI discrets : le calcul des echantillons {yn} de y(t) se fait par le produit de convolution discret.

3.4 Utilisation de la transformee en Z : Fonction de transfert

3.4.1 Resolution des equations aux differences :

Forme en z−1

Elle est obtenue par utilisation de l’outil transformee en Z sur les equations recurrentes decrites avec l’operateur

retard.

Exemple :

Pour illustrer la demarche prenons l’exemple de :

yn = xn + a1yn−1

En utilisant l’operateur retard :

y(t)− a1q−1y(t) = x(t)

Puis la transformee en Z :

Y (z)− a1[z−1Y (z) + y(−1)

]= X(z)

ce qui fait intervenir la condition initiale y(−1).

50

En arrangeant les termes :

Y (z) =1

a1 − z−1X(z) +

a1y(−1)

a1 − z−1=

B(z−1)

A(z−1)X(z) +

CI(z−1)

A(z−1)

La methode generale est identique :

equation recurrente en q−1 :

[∑

m

amq−m

]y(t) =

[∑

k

bkq−k

]x(t)

Transformation en Z :

[∑

m

amz−m

]Y (z)− CI(z−1) =

[∑

k

bkz−k

]X(z)

CI(z−1) : conditions initiales

⇒ Y (z) =B(z−1)

A(z−1)X(z) +

CI(z−1)

A(z−1)

regime force + regime libre

Par convention, les coefficients sont normalises par le coefficient a0 donc a0 = 1. Cette forme est directement liee

aux equations recurrentes et on passe aisement de l’un a l’autre en faisant la correspondance q−1 ↔ z−1 en absence

de conditions initiales.

Forme en z : Pour etudier les signaux avec la transformee en Z, il est necessaire de passer a une forme polynomiale

en z et non en z−1.

En reprenant l’exemple :

Y (z) =z

z − a1X(z) +

a1zy(−1)

z − a1

Soit, dans le cas general :

Y (z) =B(z)

A(z)X(z) +

CI(z)

A(z)(3.9)


Il y a un lien evident entre B(z−1) et B(z) ainsi qu’entre A(z−1) et A(z). Bon nombre d’auteurs utilisent une

simplification d’ecriture commode en ecrivant B(z) au lieu de B(z) et A(z) au lieu de A(z). D’un point de vue

strictement mathematique B(z) et A(z) ne sont bien sur pas deduits de B(z−1) et A(z−1) par le simple changement

de z−1 en z et la notation est donc l’objet de confusions pour des neophytes. Pour passer d’une forme a l’autre

il faut utiliser la relationB(z)

A(z)=

B(z−1)

A(z−1). Nous utiliserons cette pratique et il faudra ainsi interpreter les choses

comme A(z) ≡ forme en z du numerateur et A(z−1) ≡ forme en z−1 du numerateur. Il en sera de meme pour B(z)

et B(z−1)

La forme en z est la seule a prendre en compte pour utiliser la transformee en Z et definir les poles et les zeros du

systeme.

51

Regime libre , regime force : Dans la solution temporelle, la transformee en Z fait apparaıtre 2 termes qui

se superposent (propriete des systemes lineaires) l’un dependant des conditions initiales du probleme et l’autre de

l’excitation x(t) du systeme.

Le regime libre est la partie de la solution qui ne depend que des conditions initiales. La transformee en Z du regime

libre a comme poles les racines de DH(z) soit les poles du systeme. Les modes associes ne dependront donc que de

la nature du systeme etudie.

Le regime force est la partie de la solution faisant intervenir l’excitation. La transformee en Z de cette fraction de

solution a deux types de poles :

• Ceux provenant des racines de A(z) = poles du systeme.

• Ceux provenant des racines de Dx(z) denominateur de X(z) = poles de l’excitation.

Le regime force est une caracteristique du systeme s’il n’y a pas de poles de l’excitation soit, cas le plus simple,

X(z) = 1 ⇒ x(t) = δ(t). C’est la reponse impulsionnelle.

Regime transitoire, Regime permanent : Dans de nombreux cas, les poles de l’excitation sont differents de

ceux du systeme et le regime force pourra alors se separer en deux termes : regime transitoire et regime permanent.

A l’interieur du regime force, il y a des modes qui proviennent des poles du systeme : ils constituent le regime

transitoire.

Il y a des modes qui proviennent des poles de l’excitation x(t) : ils forment le regime permanent.

3.4.2 Fonction de transfert :

La fonction de transfert H(z) est definie avec conditions initiales nulles :

H(z) =B(z)

A(z)⇒ Y (z) = H(z)X(z) +

CI(z)

A(z)(3.10)


En utilisant l’expression non recursive de l’equation aux differences sans conditions initiales :

y(t) =

[∑

i

hiq−i

]x(t) ⇒ Y (z) =

[∑

i

hiz−i

]X(z)

La fonction de transfert prend donc deux formes principales :

H(z−1) =

[∑

i

hiz−i

]=

B(z−1)

A(z−1)=

[∑k bkz

−k]

[∑

m amz−m]

Si x(t) = δ(t) ⇒ X(z) = 1 ⇒ Y (z) = H(z).

Avec la meme discussion que sur B et A on utilisera indifferemment une notation H(z−1) ou H(z).

La fonction de transfert H(z) est la TZ de la reponse impulsionnelle du systeme avec conditions initiales nulles.

remarque : Au premier abord, la connaissance de la fonction de transfert ne permet d’obtenir que le regime force

mais comme elle permet de remonter a l’equation recurrente par la demarche inverse de celle adoptee pour l’etablir,

elle nous permet aussi d’atteindre le regime libre.

52

Exemple :

H(z) =1

1− az−1→ y(t)− ay(t− 1) = x(t)

→ TZ : Y (z)− a[z−1Y (z) + y(−1)] = X(z)

→ regime libre Y (z) = azy(−1)z−a

3.5 Inversion de la transformee en Z analyse temporelle

Dans ce paragraphe, nous nous contentons de rappeler les techniques etablies dans tout cours d’etude de la trans-

formee en Z.

Pour les SLI les fonctions etudiees se mettent sous forme d’un rationnel de polynomes :

X(z) =N(z)

D(z)

et nous n’etudierons que ce cas correspondant a 99, 9% des applications en ingenierie.

La transformee en Z utilisee est la transformee monolaterale qui ne fournit que la partie causale d’un signal soit

t ≥ 0).

X(z) =

+∞∑

k=−∞

xkz−k =

−1∑

k=−∞

xkz−k +

+∞∑

k=0

xkz−k

partie anticausale + partie causale

3.5.1 Division selon les puissances de z−1 :

SiX(z) est une fraction rationnelle de deux polynomes en z, il suffit de la mettre sous forme d’une fraction rationnelle

de deux polynomes en z−1 et d’effectuer la division ce qui nous donne les echantillons par identification avec la

definition de la TZ.

TZ[x(t)] = X(z) =

+∞∑

k=0

xkz−k (3.11)

X(z) =z

(z − a)(z − b)⇒ X(z) =

z−1

(1− az−1)(1− bz−1)=

z−1

(1− (a+ b)z−1 + abz−2)

z−1 1− (a+ b)z−1 + abz−2

0 + (a+ b)z−2 − abz−3

−abz−3 + (a+ b)2z−3 − ab(a+ b)z−4

z−1 + (a+ b)z−2 + (a2 + ab+ b2)z−3 + ...

⇒ x0 = 0 x1 = 1 x2 = a+ b x3 = a2 + ab+ b2...

Nous ressortons ainsi la valeur de chaque echantillon sans faire apparaıtre une expression analytique generale. C’est

une methode qui est plus interessante avec des expressions a coefficients numeriques, les coefficients

53

3.5.2 Resolution de l’equation aux differences :

X(z) =

+∞∑

k=0

xkz−k =

N(z−1)

D(z−1)(3.12)

⇒ D(z−1)

+∞∑

k=0

xkz−k = N(z−1)

Les coefficients des polynomes D et N sont connus et on retrouve les xk en identifiant les deux membres :

X(z) =z

(z − a)(z − b)⇒ X(z) =

z−1

(1− az−1)(1 − bz−1)=

z−1

(1− (a+ b)z−1 + abz−2)

(1− (a+ b)z−1 + abz−2)

+∞∑

k=0

xkz−k = z−1 (3.13)

termes de degre 0 ⇒ x0 = 0

termes de degre 1 ⇒ −(a+ b)x0 + x1 = 1 ⇒ x1 = 1

termes de degre 2 ⇒ abx0 − (a+ b)x1 + x2 = 0 ⇒ x2 = a+ b

termes de degre 3 ⇒ abx1 − (a+ b)x2 + x3 = 0 ⇒ x3 = (a+ b)2 − ab

Cette methode peut etre interessante dans des cas simples mais se trouve elle aussi vite limitee dans son application.

3.5.3 Decomposition en elements simples :

Le passage de X(z) = TZ[x(t)] a x(t) peut se faire a partir des elements de base contenus dans les tables :

decomposition en elements simples.

Poles, zeros :

L’element de base de la methode est : TZ[αt

Ts ] =z

z − α=

+∞∑

k=0

αkz−k avec α complexe.

La fonction X(z) est sous forme polynomiale : X(z) =N(z)

D(z). Nous pouvons definir :

• les poles zi tels que D(z) = 0. C’est l’equation caracteristique associee a X(z). Cela permet d’ecrire : D(z) =

K1

∏

i

(z − zi).

• les zeros zk tels que N(z) = 0. Cela permet d’ecrire : N(z) = K2

∏

k

(z − zk).

• la forme poles et zeros de X(z) : X(z) = K

∏k(z − zk)∏i(z − zi)

Decomposition, modes :

Si le degre de N(z) est inferieur ou egal a celui de D(z) nous pouvons ecrire dans le cas ou tous les poles sont

simples :

X(z) =∑

i

Ciz

z − zidecomposition en elements simples de X(z).

54

Le calcul de Ci se fait par Ci =

[(z − zi)

X(z)

z

]

z=zi

L’inversion sera telle que : xk =∑

i

Cizki chaque terme de la somme est un mode de X(z).

Exemple :

X(z) =z

(z − a)(z − b)

X(z) =1

a− b

[z

(z − a)

z

(z − b)

]

xk =1

a− b

[ak − bk

]

Poles simples reels : zi est reel.

Si zi est complexe et si les coefficients des polynomes N(z) et D(z) sont reels (cas des problemes correspondant a

la realite), zi est aussi pole du systeme et le coefficient de decomposition en elements simples associe sera Ci .

Dans la solution temporelle apparaıtrons les termes :

Xk = ...+ Cizki + Ciz

ki + ...

en posant

Zi = | Zi | ejωiTs et Ci =| Ci | e

jϕi

Xk = ...+ | Zi |k[| Ci | (e

jωikTsejϕi)+ | Ci |[(e−jωikTse−jϕi)

]]+ ....

Xk = 2 | Ci || Zi |k cos (ωikTs + ϕi) + ...

les deux poles complexes conjugues correspondent a un mode sinusoıdal amorti si |zi| < 1 ou divergent si |zi| > 1.

Poles multiples :

Dans l’equation caracteristique D(z) = 0, il se peut que zi soit une racine multiple d’ordre m.

⇒ D(z) = (.....).(z − zi)m.(....).

Dans ce cas la decomposition en elements simples est un peu plus delicate :

X(z) = ...+Ci,1z

z − zi+

Ci,2z

z − zi

2

+ ...+Ci,mz

z − zi

m

+ ....

Le calcul des coefficients Ci,q est realisable en prenant des cas particuliers (z = 0, z → ∞, ...) mais cette methode

est vite limitee et ne s’applique veritablement bien que pour m = 2. Pour une multiplicite plus grande il y a une

formulation generale que nous ne justifierons pas ici :

Ci,q =

[1

(m− q)!

dm−q

dpm−q

[(z − zi)

mX(z)

z

]]

z=zi

Nous verifions aisement que pour q = m : Ci,q =

[(z − zi)

mX(z)

z

]

z=zi

55

de meme que pour une multiplicite m = 1 : Ci =

[(z − zi)

X(z)

z

]

z=zi

Exemple :

g(t) = t.x(t) etx(t) = zt/Tsi avec zi reel.

xk = zki et gk = kTszki .

X(z) =z

(z − zi)et, en appliquant le theoreme de la derivation

G(z) = −zTsd

dz

[z

(z − zi)

]=

zziTs

(z − zi)2

Utilisons ce resultat :

Un pole zi de multiplicite 2 correspond aux echantillons (a quelques coefficients pres) : (k.zki ).

Le mode correspondant est donc une puissance zki multipliee par un temps echantillonne k. La croissance comparee

des deux fonctions pour k → +∞ donne priorite a zki (pour |zi| 6= 1) et nous retrouvons ainsi en partie le cas d’un

pole simple :

• si | zi |< 1 ⇒ mode amorti.

• si | zi |> 1 ⇒ mode divergent

• si | zi |= 1 ⇒ ce qui etait un mode borne dans le cas du pole simple devient un mode divergent d’amplitude

donnee par k.

Generalisation :

Le calcul precedent peut etre generalise a un pole zi de multiplicite m quelconque. Sans detailler, nous pouvons

rapidement retracer les grandes lignes du raisonnement :

X(z) =(...)

...(z − zi)m......+

Ci,1z

z − zi+

Ci,2z

z − zi

2

+ ...+Ci,mz

z − zi

m

+ ....

Ceci donne comme echantillons :

xk = ...+ (.)zki + (.)k.zki + ....+ (.)km−1zki + ...

xk = ...+ [(.) + (.)k.+ ...+ (.)km−1]zki + ...

ou (.) designe des coefficients a calculer.

Si nous appelons mode associe au pole de multiplicite m le terme :

[(.) + (.)k.+ ...+ (.)km−1]zki = Pm−1(k).zki

il est constitue du produit d’un polynome en k(Pm−1(k)) d’ordre (m− 1) par la puissance zki .

Pour les limites asymptotiques lorsque k → +∞ nous aurons les trois points suivants :

• si |zi| < 1 ⇒ mode amorti.

• si |zi| > 1 ⇒ mode divergent.

• si |zi| = 1 ⇒ ce qui etait un mode borne dans le cas du pole simple devient un mode divergent d’amplitude

bornee par Pm−1(k) equivalent a km−1 lorsque k → +∞.

56

3.6 Methode des residus :

Methode de calcul beaucoup plus puissante que la decomposition en elements simples. Elle permet de calculer en 1

seule fois l’ensemble du mode associe a un pole multiple. D’un point de vue pratique elle necessite des calculs qui sont

toujours plus simples que ceux impliques par la decomposition en elements simples et elle dispense de l’apprentissage

fastidieux de resultats tabules. C’est donc une methode a utiliser de preference lorsque nous sommes obliges de

faire nous meme le calcul a la main.

Basee sur la methode des residus, il est etabli que :

Residus[F (z)]z=zi =

[1

(m− 1)!

d(m−1)

dz(m−1)[(z − zi)

mF (z)]

]

z=zi

(3.14)

La fonction que l’on integre est F (z) = zn−1X(z), les points singuliers intervenant dans le calcul des residus sont

ses poles. Le calcul d’un echantillon par la methode des residus se fait donc par :

xn =∑

/poles zn−1X(z)

[1

(m− 1)!

d(m−1)

dz(m−1)[(z − zi)

mzn−1X(z)]

]

z=zi

(3.15)

Le residu par rapport a un pole de la fonction zn−1X(z) fournit le mode associe a ce pole.

Calcul pratique des residus : La methode des residus est une methode simple a utilisermalgre la forme peu ”attractive” de sa formule. Pour calculer un residu il faut :

1. multiplier X(z) par zn−1

2. enlever la singularite sur laquelle nous calculons : multiplication par (z − zi)m

3. faire la derivee d’ordre m− 1

4. ajouter un facteur1

m− 1

5. faire z = zi

De toutes ces operations c’est la derivation de l’etape 3 qui est la plus compliquee.

Toujours se simplifier le travail : Les points singuliers intervenant dans le calcul des residus peuvent etre de deux

origines : les poles de X(z) et eventuellement des poles a l’origine provenant du terme en zn−1 si celui-ci n’a pas

ete simplifie par X(z).

Exemple :

X(z) =1

(z − a)(z − b)

avec a et b reels.

zn−1X(z) =zn−1

(z − a)(z − b)

pour n > 0 deux poles simples z1 = a et z2 = b ⇒ deux residus a calculer.

57

residu en z = a :an−1

(a− b)

residu en z = b :bn−1

(b− a)

⇒ solution pour n ≥ 1 :

xn =an−1

(a− b)+

bn−1

(b− a)=

an−1 − bn−1

(a− b)

pour n = 0 trois poles simples z1 = a et z2 = b et z3 = 0 ⇒ trois residus a calculer.

residu en z = a :1

a(a− b)

residu en z = b :1

b(b− a)

residu en z = 0 :1

ab⇒ solution pour n = 0 :

x0 =1

a(a− b)+

1

b(b− a)+

1

ab= 0

Une simple remarque permet d’eviter les etats d’ame et de savoir quels sont les termes qu’il est utile de calculer.

Repartons de l’hypothese ou X(z) est sous forme rationnel polynomial :

X(z) =N(z)

D(z)=

∑nb

k=0 bkzk

∑na

i=0 aizi

na et nb sont respectivement les degres du denominateur et du numerateur.

Nous pouvons nous ramener a une forme en z−1 en factorisant znb au numerateur et zna au denominateur

3.6.1 Stabilite

Lors de l’etude de l’inversion de la TZ nous avons etabli qu’il existe une representation par poles et zeros telle que :

- Zeros du systeme ≡ Racines du numerateur N(z) = 0 → {zk}.

- Poles du systeme ≡ Racines du denominateur D(z) = 0 → {zi}.

H(z) = K

∏k(z − zk)∏i(z − zi)

(3.16)

A un pole zi simple ou multiple nous pouvons associer un mode qui diverge si |zi| > 1 et converge si |zi| < 1.

Pour un pole complexe, on lui associe son complexe conjugue ce qui fait apparaıtre un mode oscillant amorti ou

divergent selon la valeur de |zi|.

La reponse impulsionnelle ou une reponse libre sont caracteristiques du systeme. Dans ces reponses nous avons la

superposition de tous les modes du systeme associes a ses poles. Pour que le systeme soit stable, il faut que tous

ses modes le soient et donc que tous les poles du systeme soient situes a l’interieur du cercle unite.

Un systeme lineaire invariant discret est asymptotiquement stable lorsquetous les poles de sa fonction de transfert sont situes a l’interieur du cercleunite du plan z.

Nous aurons les trois situations suivantes :

58

• Tous les poles sont a l’interieur du cercle unite : le systeme est dit strictement stable.

• Un ou plusieurs poles de multiplicite simple sont situes sur le cercle unite : le systeme est a la limite de

stabilite ou stabilite au sens large.

• Un ou plusieurs poles sont situes a l’exterieur du cercle unite : systeme instable. Autre consequence un filtre

RIF a tous ses poles a l’origine et sera donc toujours stable.

3.6.2 Mode dominant - Mode auxiliaire

Dans le cas de modes amortis, plusieurs modes peuvent se superposer dans l’expression temporelle. Il est evident

que lorsque k → +∞ le mode qui a tendance a subsister est celui qui est le moins amorti et nous le qualifieront de

dominant.

• lors de la comparaison de deux modes, on appellera mode dominant celui dont l’expression s’amortit le plus

lentement. L’autre sera qualifie de mode auxiliaire.

• le mode dominant correspond donc a un ou des poles plus proches du cercle unite que dans le cas d’un mode

auxiliaire. Par extension on parle aussi de pole(s) dominant(s) et de pole(s) auxiliaire(s).

3.7 Theoremes de la valeur initiale et finale

Ce theoreme n’a de sens que pour la transformee monolaterale. La valeur initiale etant la condition x0, le theoreme

vient immediatement de la definition :

x0 = limz→+∞

X(z)

Par contre le theoreme de la valeur finale est donne par :

x+∞ = limz→1

[(z − 1)X(z)]

3.8 Analyse frequentielle

L’analyse frequentielle est liee a une des proprietes essentielles des SLI continus et discrets : ej2πft est valeur propre

du systeme.

3.8.1 Justification

x(t) = ej2πft ⇒ y(t) = f [ej2πft]

Le systeme etant invariant, pour une valeur de t fixee :

x(t− τ) = ej2πf(t−τ) ⇒ y(t− τ) = f [ej2πf(t−τ)]

ej2πft est une constante vis a vis de t et comme le systeme est lineaire :

59

y(t− τ) = f [ej2πf(t−τ)] = ej2πftf [ej2πfτ ] = ej2πfty(−τ) ⇒ ej2πft

est valeur propre de la transformation. Ceci est vrai quelque soit t et aussi pour la valeur particuliere τ = 0 :

⇒ y(t) = ej2πfty(0) lorsque x(t) = ej2πft

Lorsque l’entree du SLI comporte une seule frequence f la sortie ne comporte, elle aussi, que cette frequence. Nous

pouvons donc etudier le comportement du systeme sur l’ensemble des frequences f : analyse harmonique, le signal

d’entree etant decompose sur la base des ej2πft ce qui est le role de la transformation de Fourier.

3.8.2 Reponse harmonique

C’est la reponse du systeme lorsque l’entree ne comporte qu’une seule frequence.

xm = ej2πfmTs

yn =∑

i

hixn−i (3.17)

yn =∑

i

hiej2πf(n−i)Ts =

[∑

i

hie−j2πfiTs

]ej2πfnTs = H(e−j2πfTs)ej2πfnTs (3.18)

Le signal de sortie est a la meme frequence que celui d’entree. L’amplitude et la phase ont ete modifiees par le

systeme par le facteur H(e−jωTs) qui est la transmittance du systeme ou sa fonction de transfert isochrone. On

verifie aisement un second resultat du filtrage lineaire :

La transmittance est la transformee de Fourier de la reponse impulsionnelle du systeme.

h(t) =∑

i

hiδ(t− iTs)

TF [h(t)] =∑

i

hie−j2πifTs = H(ej2πfTs) (3.19)

Usuellement on separe la transmittance sous la forme module-argument :

H(ej2πfTs) = A(f)ejϕ(f). Module A(f) = |H(ej2πfTs)| Phase ϕ(f) = Arg[H(ej2πfTs)].

Ces grandeurs peuvent etre representees sur les diagrammes habituels de Bode, de Nyquist, etc....

Cependant il y a une difference essentielle avec le continu due au fait que h(t) est un signal discret et sa transformee

de Fourier H(e−j2πfTs) est donc periodique.

Pour les diagrammes de representation frequentielle, nous nous contentons de la representer dans la bande de

frequences de Shannon [−1/2, 1/2] ou plutot [0, 1] en frequences normalisees ceci impliquant une echelle de frequences

lineaire plutot que logarithmique. Le lien avec la transformee en Z est immediat : H(z = ej2πfTs)

A partir de la transmittance nous pouvons retrouver les echantillons temporels de la reponse impulsionnelle du

systeme en appliquant le resultat general des signaux discrets :

hi =1

fs

∫

(fs)

H(j2πfTs)ej2πifTsdf = Ts

∫

(1/Ts)

H(j2πfTs)ej2πifTsdf (3.20)

60

3.8.3 Analyse sommaire

Elle utilise la forme poles et zeros du systeme et permet une analyse rapide, souvent qualitative des caracteristiques

du systeme. On reprend l’analogie entre les complexes et leur representation geometrique vectorielle.

M

Pi

Zi

ω = 0

x

y

ωTs

O

b

b

Plan Complexe z

Dans le plan complexe on associe :

1. z → vecteur−−→OM .

2. z = ejωTs ⇒ M sur le cercle unite

3. Zero αi → vecteur−−→OZi

4. (z − αi) → vecteur−−→ZiM

5. pole βj → vecteur−−→OPj

6. (z − βj) → vecteur−−−→PjM

H(ej2πfTs) = K

∏i(e

j2πfTs − αi)∏j(e

j2πfTs − βj)(3.21)

|H(ej2πfTs)| = A(f) = K

∏i ZiM∏j PjM

ϕ(f) =∑

i

(−→Ox,

−−→ZiM)−

∑

j

(−→Ox,

−−−→PjM)

61

De l’expression du module nous tirons les remarques suivantes :

1. un zero ou un pole a l’origine n’influent pas sur le module de la reponse frequentielle.

2. Un zero sur le cercle unite introduit une annulation du module pour la frequence correspondant a OZi

3. Un zero au voisinage du cercle unite introduit une attenuation dans le module de la reponse en frequence.

Attenuation d’autant plus importante que le zero est proche du cercle unite.

4. Un pole sur le cercle unite introduit une resonance infinie dans le module de la reponse en frequence pour la

frequence correspondant a−−→OPj .

5. Un pole au voisinage du cercle unite introduit une resonance d’autant plus importante dans le module de la

reponse en frequence que le pole est proche du cercle unite.

A partir de ces remarques, dans le cas d’un nombre faible de poles et zeros, nous aurons une idee des attenuations ou

des resonances introduites par un systeme. On peut aussi avoir une idee de son comportement general : passe-bas,

passe-haut ou passe-bande. Elles peuvent aussi etre utilisees pour mener a bien une synthese sommaire des filtres.

62

Chapitre 4Filtres a reponses impulsionnelle infinie - FiltresRII

Les methodes de synthese de ces filtres se classent en deux categories :

1. Les methodes de transposition : elles partent du principe que le probleme de la synthese des filtres a deja ete

largement developpe dans le domaine du signal continu. Il a ete etabli plusieurs methodes d’approximation

polynomiale d’un gabarit aboutissant aux filtres de Butterworth, Tchebychev, Cauer, Legendre....Le filtrage

des signaux discrets reprend ces methodes en cherchant simplement une technique de passage du continu au

discret qui preserverai au mieux les caracteristiques du filtre.

2. Les methodes directes : elles cherchent a faire une synthese directe dans le domaine discret a partir du gabarit.

Ce sont des methodes iteratives basees sur la minimisation d’un critere comme celui des moindres carres utilise

par l’algorithme de Fletcher et Powel.

L’ambition de ce chapitre se limite a l’etude des seules methodes de transposition.

4.1 Proprietes

4.1.1 Fonction de transfert (Rappels)

Un filtre RII est un systeme lineaire invariant discret dont le comportement entree-sortie est caracterise par les

coefficients {gi} de sa reponse impulsionnelle.

y(t)S y s t e m ex(t)

g(t) → G(z)

Le calcul de la sortie se fait grace au produit de convolution discret et la transformee en Z permet de definir sa

fonction de transfert G(z).

x(t) =

+∞∑

k=−∞

xkδ(t− kTs)

63

y(t) =

+∞∑

n=−∞


yn =

+∞∑

i=−∞

gixn−i

G(z) =

+∞∑

i=−∞

giz−i (4.2)

Dans cette premiere forme, la suite des {gi} est illimitee et cette forme est donc inadaptee a une implantation du

filtre (meme pour des filtre causaux ou la somme debute en i = 0).

La seconde description sous forme de fraction rationnelle des polynomes A(z) et B(z) de dimension finie menant a

l’equation recurrente est celle qui fournit la base de l’implantation du filtre :

G(z) =

∑nb

k=0 bkz−k

∑na

m=0 amz−m=

B(z)

A(z)(4.3)

yn =

nk∑

k=0

bkxn−k −

na∑

m=0

amxn−m (4.4)

Le premier terme de cette description correspond a une moyenne mobile MA et le second est un terme autoregressif

AR d’ou l’appellation de filtres ARMA (AR si le numerateur est restreint a b0) pour ce type de filtres.

La fonction de transfert peut se mettre aussi sous forme factorisee poles et zeros :

- Zeros du systeme ≡ Racines du numerateur B(z) = 0 → {zj}.

- Poles du systeme ≡ Racines du denominateur A(z) = 0 → {zi}.

G(z) = K

∏j(z − zj)∏i(z − zi)

(4.5)

Cette forme est aussi pratique pour realiser une analyse frequentielle rapide des caracteristiques du filtre.

Nous devrons toujours nous assurer que la methode de synthese utilisee aboutit a un filtre stable soit : |zi| < 1. Si

le filtre continu est stable, la stabilite theorique du filtre discret est en general assuree cependant, dans le cas de

poles au voisinage du cercle unite ceux-ci peuvent se retrouver translates en dehors de ce cercle a la suite d’arrondis

numeriques.

4.1.2 Principe de la transposition

Nous supposons posseder un filtre continu dont la fonction de transfert isochroneH(jω) constitue une approximation

satisfaisante du gabarit du filtre recherche. Il nous reste a chercher le filtre discret de transfert isochrone G(ejωTs)

equivalent.

H(p) → G(z)

64

Il nous faut une methode a laquelle nous imposons les contraintes suivantes :

- Etre simple.

- Faire en sorte que G(ejωTs) soit la plus proche possible de H(jω).

- Obtenir une fonction de transfert discrete G(z) qui puisse s’implanter sous forme d’equation recurrente ce qui

necessite une forme de rapport de polynomes B(z)/A(z).

La transposition peut etre en toute rigueur parfaite puisque nous savons faire le passage du plan Z au plan p par

le changement de variable : z = epTs ⇔ p =1

TsLn(z).

Cependant cette transposition ne permet pas de conserver le caractere polynomial de la fonction de transfert, il

faut donc rechercher des methodes d’approximation.

4.1.3 Exemple

Afin d’illustrer et comparer l’ensemble des differentes methodes, nous utiliserons pour toutes un exemple de trans-

position d’un filtre continu de type selecteur de frequence. Les caracteristiques de ce filtre sont les suivantes :

- Fonction de transfert :

H(p) =ω20

p2 + 2ξω0p+ ω20

=2.25

p2 + 0.3p+ 2.25

- ω0 = 1.5rd/s ; ξ = 0.1 ⇒ resonance pour ωr = ω0

√1− ξ2

Soit ωr = 1.492rd/s ≃ ω0. Nous aurons donc une frequence de resonance tres proche de f0 = 0.237Hz ≃ 0.24Hz.

- Gain statique : H(0) = 1

- Gain a la resonance : |H(wr)| = 5.

- Limite vers les hautes frequences : |H(+∞)| = 0.

- Poles de H(p) p1,2 = −0.15± j1.4925

Le module de la fonction de transfert isochrone est porte sur toutes les courbes d’illustration. Dans tous les cas, la

periode d’echantillonnage est choisie Ts = 1s.

4.2 Approximation de la derivee

La variable complexe de Laplace p, est associee a la derivee temporelle d/dt. Nous pouvons chercher a approximer

cette derivee de maniere discrete et lui associer un operateur polynomial en q−1 ce qui substituera a la variable

complexe p une fonction polynomiale D(z).

4.2.1 Approximations

Nous savons tres bien approximer une derivee de courbe par la methode des rectangles a un instant t = kTs. Parmi

les approximations possibles, les trois plus elementaires sont :

- Derivee ”arriere” (backward) :

d

dtx(t) ∼=

xk − xk−1

Ts

p →1− z−1

Ts=

z − 1

zTs

65

- Derivee ”avant” (forward) :

d

dtx(t) ∼=

xk+1 − xk

Ts

p →z − 1

Ts

- Derivee ”centrale” :

d

dtx(t) ∼=

xk+1 − xk1

2Ts

p →z − z−1

2Ts=

z2 − z

2zTs

Remarque : la premiere approximation est causale ce qui n’est pas le cas des deux dernieres.

4.2.2 Qualite de l’approximation

Pour avoir une idee de la qualite de la methode, il suffit de comparer les caracteristiques frequentielles des deux

fonctions complexes :p, associee a la derivee rigoureuse et (1 − z−1)/Ts associee a son approximation discrete.

En frequentiel :

- p = jω ⇒ |jω| = ω et arg(jω) = π/2. Resultat classique du derivateur.

- p → D(z) =1− z−1

Ts⇒ D(jω) =

1− e−jωTs

Ts=

2j

Tse−j ωTs

2 sin

(ωTs

2

)

⇒ | D(jω) |=1

Tssin

(ωTs

2

)et Arg(D(jω)) =

π

2−

ωTs

2

La comparaison des modules et des arguments est indiquee ci-dessous :

De l’examen des courbes nous pouvons conclure :

- L’approximation des modules est correcte vers les basses frequences, mais nettement moins bonne vers les hautes

frequences.

- L’approximation de la phase est peu satisfaisante.

66

La methode utilisee aura donc l’avantage de la simplicite de mise en oeuvre, mais la transposition ne peut qu’etre

mediocre surtout vers les frequences elevees de la bande de Shannon.

Avec l’exemple propose :

H(p) =2.25

p2 + 0.3p+ 2.25p =

z − 1

z

G(z) =2.25z2

3.55z2 − 2.3z + 1(4.6)

Soit un systeme discret ayant un zero double et deux poles z1,2 = 0.3239± j0.4204.

La reponse en frequence donnee ci-dessous n’est pas dans ce cas satisfaisante :

67

4.3 Invariance impulsionnelle

4.3.1 Principe de la methode

Une autre idee pour realiser la transposition continu-discret est de se rappeler qu’un systeme est caracterise par

sa reponse impulsionnelle. Nous pouvons donc prendre comme systeme discret celui dont la reponse impulsionnelle

est la version echantillonnee de celle du systeme continu d’origine. D’un point de vue mathematique l’operation est

donc simple : pour un systeme continu de reponse impulsionnelle h(t) et de fonction de transfert H(p) on obtiendra

un systeme discret de fonction de transfert G(z) correspondant a une reponse impulsionnelle g(t)

g1(t) = h(t)

+∞∑

k=−∞

δ(t− kTs) (4.7)

et H (p = TL[h(t)]) ⇒ G1(z) = TZ[g1(t)] = TZ[TL−1[H(p)]]

Il faut se rappeler que ce que nous voulons voir coıncider au mieux, ce sont non pas les reponses impulsionnelles

mais les reponses frequentielles. Lors de l’etude des systemes discrets il a ete etabli que, pour une pulsation

d’echantillonnage ωs :

G(ejωTs) =1

Ts

+∞∑

k=−∞

H(j(ω − kωs)) (4.8)

68

Cette expression rappelle que, lors d’une discretisation, nous avons une periodisation du spectre qui donne lieu

eventuellement a un phenomene de repliement. Si la condition d’echantillonnage (ici de discretisation) de Shannon

est respectee, ce phenomene n’a pas lieu. La reponse frequentielle du systeme discret coıncide donc, dans la bande

de frequences de Shannon, avec celle du systeme continu cependant il y a un coefficient 1/Ts entre les deux introduit

par l’echantillonnage. Un coefficient Ts annulera cet effet.

G(z) = Ts.TZ[TL−1[H(p)]]

Dans les cas simples, cette operation peut etre tres rapide avec l’utilisation de tables ayant en regard les TL et TZ

des fonctions usuelles. Pour les fonctions de transfert H(p) d’ordre superieur ou egal a trois, une decomposition de

H(p) en elements simples du premier et du second ordre sera necessaire pour utiliser les tables.

4.3.2 Qualite de l’approximation

Pour comparer le filtre discret au filtre continu d’origine, il suffit de comparer leurs reponses frequentielles G(ejωTs)

et H(jω) dans la bande de frequence de Shannon. Nous venons de rappeler que la transposition du filtre continu

par la methode de l’invariance impulsionnelle ne peut se faire que si la reponse en frequence de ce filtre respecte

la condition de Shannon : 2wmax < ws. Il est rare que cette condition soit rigoureusement respectee car en general

H(jω) ne tend vers zero qu’asymptotiquement et la transposition introduira donc plus ou moins d’ecart dans les

reponses frequentielles. Pour les filtres continus de type passe-haut, cette condition n’est a coup sur pas verifiee et

la methode ne peut donner de resultat satisfaisant. C’est une methode qu’il vaut mieux reserver a des filtres ayant

un comportement passe-bas ou passe-bande. M.

Exemple :

H(p) =2.25

p2 + 0.3p+ 2.25

invariance impulsionnelle ↓

G(z) =1.292z2

z2 − 0.13416z + 0.7396

Soit un systeme discret ayant un zero double et deux poles z1,2 = 0.0671 ± j0.8574 d’ou une resonance pour

ωTs = Arctg(0.8574/0.0671)⇒ ωr = 1.493rd/s

4.4 Transposition par bloqueur d’ordre N

4.4.1 Principe

Nous avons un filtre continu dont le comportement est conforme a ce que nous attendons pour des signaux continus :

s(t) = h(t)⊗ h(t) ⇔ S(p) = H(p).E(p)

Comment obtenir le meme comportement pour des signaux discrets x(t) et y(t) obtenus respectivement par

echantillonnage de e(t) et s(t) ?

y(t) = g(t)⊗ x(t) ⇔ Y (z) = G(z).X(z)

69

Nous pouvons imaginer le scenario suivant :

• Le signal continu e(t) est echantillonne ce qui donne le signal x(t).

• Le signal discret x(t) est mis en forme par un dispositif de transfert B(p) pour donner un nouveau signal

continu e(t).

• Le signal continu e(t) est filtre par le filtre continu de transfert H(p) qui fourni le signal continu de sortie

s(t).

• Ce signal de sortie s(t) est echantillonne pour fournir le signal discret y(t).

Le systeme qui relie x(t) discret a y(t) discret a pour fonction de transfert G(z) et le systeme qui relie e(t) continu a

s(t) continu a pour fonction de transfert H(p). La condition evidente pour que ces systemes aient des comportements

frequentiels identiques est que e(t) = e(t). C’est le role du systeme de transfert B(p) qui est un systeme hybride

puisqu’il transforme un signal discret en un signal continu. Aucun systeme lineaire ne peut remplir cette condition

et nous sommes donc amenes a envisager une approximation e(t) ≈ e(t)

70

4.4.2 Bloqueur d’ordre 0

Un des dispositifs les plus simples pour reconstruire approximativement un signal continu. Il suffit de maintenir le

signal a sa valeur xk entre les instant kTs et (k+1)Ts : blocage du signal entre les deux instants d’echantillonnage.

Un bloqueur d’ordre 0 est donc un dispositif qui transforme une impulsion en un signal maintenu pendant une

periode d’echantillonnage. Sa reponse impulsionnelle b0(t) et sa fonction de transfert B0(p) sont donc les suivantes :

b0(t) = u(t)− u(t− Ts) ⇒ B0(p) =1

p(1− epTs)

La fonction de transfert ainsi obtenue est la fonction de transfert echantillonnee-bloquee notee G(z) = B0H(z).

Son expression s’etablit comme suit :

- La reponse temporelle du systeme continu de transfert B0(p)H(p) est

TL−1 [B0(p)H(p)] = TL−1

[H(p)

p(1− epTs)

]= TL−1

[H(p)

p

]− TL−1

[epTs

H(p)

p

]

71

TL−1 [B0(p)H(p)] = f(t)− f(t− Ts), avec f(t) = TL−1

[H(p)

p

]

- Si nous echantillonnons l’entree et la sortie de ce systeme, on obtient le systeme discret de fonction de transfert

G(z) :

G(z) = TZ[f(t)− f(t− Ts)] = (1 − z−1)TZ[f(t)] = (1− z−1)TZ

[TL−1

[H(p)

p

]]

⇒ Transposition avec bloqueur d’ordre 0 :

G(z) = (1 − z−1)TZ

[TL−1

[H(p)

p

]]

Exemple :

H(p) =2.25

p2 + 0.3p+ 2.25

Bloqueur d′orde 0 ↓

G(z) =0.8464z + 0.7597

z2 − 0.1347z + 0.7408

Soit un systeme discret ayant un zero en -0.897 qui aura donc pour effet d’attenuer vers les hautes frequences et

deux poles z1,2 = 0.0671± j0.8574 d’ou une resonance pour ωTs = Arctg( 0.8574 / 0.0671 ) ⇒ ωr = 1.493rd/s

Avantage de la methode :

72

Le bloqueur d’ordre zero ajoute un filtrage frequentiel passe-bas sur le filtre continu :

B0(p) =1

p(1− epTs)

⇒ B0(jω) = Ts(e−jωTs/2)

sin (ωTs/2)

ωTs/2

⇒ |B0(jω)| = |Ts.sin (ωTs/2)

ωTs/2|

Ce filtrage passe-bas minimise les effets d’un eventuels du repliement du a la discretisation ce qui peut etre vu

comme une amelioration par rapport a la methode de l’invariance impulsionnelle.

Remarque 1 :

Le calcul de la fonction de transfert echantillonnee-bloquee G(z) fait intervenir l’echantillonnage de f(t) qui est

la reponse indicielle du systeme continu. Si le filtre continu est strictement propre (le degre du numerateur de sa

fonction de transfert est inferieur au degre de son denominateur), la valeur de la reponse indicielle en t = 0 est :

f(0) = limp→+∞

[pH(p)

p

]= 0

Le premier echantillon non nul de l’echantillonnage de f(t) est f(Ts) ⇒ on peut factoriser dans la fonction de

transfert echantillonnee-bloquee un terme en z−1 qui correspond dans la reponse impulsionnelle du filtre discret a

un retard d’une periode d’echantillonnage G(z) = z−1G ∗ (z). G(z) est de la forme :

Remarque 2 :

Lors de l’application d’un signal de commande a un systeme continu par l’intermediaire d’un convertisseur numerique-

analogique, ce convertisseur a un effet de bloqueur d’ordre 0. Du point de vue de l’echantillonne, le systeme com-

mande est donc constitue de ce bloqueur suivi du procede continu. Le modele discret de l’ensemble est donc un

modele avec bloqueur d’ordre 0 systematiquement utilise par les automaticiens.

G(z) = h1z−1 + h2z

−2 + · · · =b1z

−1 + b2z−2 + b3z

−3 + · · ·

a1z−1 + a2z−2 + a3z−3 + · · ·

4.4.3 Autres bloqueurs

Bloqueur d’ordre 1 :

73

Plutot que de bloquer simplement le signal echantillonne entre deux periodes d’echantillonnage, une meilleure

approximation e(t) peut etre obtenue en maintenant pendant l’intervalle [kTs, (k+1)Ts] la pente a l’instant t = kTs.

On utilise alors un bloqueur d’ordre 1 dont la fonction de transfert est une fonction triangle Tri(t/Ts). La meme

demarche que pour le bloqueur d’ordre 0 permet de calculer la fonction echantillonnee-bloquee d’ordre 1 :

G(z) =(1− z−1)2

z−1TsTZ

[TL−1

[H(p)

p2

]]

Bloqueurs d’ordre 2,3,... :

Obtenus en maintenant le signal pendant une periode d’echantillonnage avec des approximations polynomiales

d’ordre n¿1. Les expressions de calcul deviennent plus complexes, ces cas sont peu interessants pour les applications.

Bloqueur exponentiel :

Le principe est toujours le meme avec un maintient du signal assure par une fonction exponentielle.

4.5 Transposition par poles et zeros

Un filtre est rigoureusement caracterise par la position de ses poles et ses zeros dans le plan p (en continu) ou dans

le plan z (en discret). La donnee de ces points singuliers permet de calculer la fonction de transfert du systeme a

une constante pres. Cette constante est precisee par une donnee supplementaire par exemple le gain statique.

L’idee de cette methode de transposition est : la transposition z = epTs ⇔ p =1

TsLn(z) n’est pas applicable pour

conserver a la fonction de transfert une forme polynomiale, elle est par contre applicable sur les points singuliers

que sont les poles et les zeros. La transposition par poles et zeros calcule la fonction de transfert discrete G(z) ayant

comme points singuliers les transposes rigoureux des points singuliers de la fonction de transfert continue H(p).

H(p) = Kp

∏n(p− pn)∏k(p− pk)

G(z) = Kd

∏n(z − zn)∏k(z − zk)

(4.9)

La transposition des points singuliers etant faite par : zn = epnTs , zk = epkTs et l’ajustement du coeifficient K − d

par l’ajustement du gain statique par exemple : H(0) = G(1) (ou tout autre point de la reponse en frequence).

La plus part des filtre transposes par cette methode etant des filtres passe-bas dont la fonction de transfert est

strictement propre, nous pouvons renforcer ce caractere passe-bas en discret en annulant la fonction de tranfert

pour la plus haute frequence possible c’est a direfs2.

Pour cela il suffit d’ajouter un ou des zeros en z = −1.

La methode se resume donc ainsi :

74

1. A partir des zeros {pn} de H(p) nous calculons les zeros {zn} de G(z).

2. A partir des poles {pk} de H(p) nous calculons les poles {zk} de G(z).

3. Nous renforcons le caractere passe-bas en completant l’ensemble des zeros {pj} par autant de zeros que

possible en z = −1 tout en conservant a G(z) son caractere propre (degre du numerateur egal au degre du

denominateur).

4. On ajuste le coefficient Kd par identite des transferts en un point frequentiel donne, par exemple en realisant

l’egalite des gains statiques.

Exemple :

H(p) =2.25

p2 + 0.3p+ 2.25

G(z) =K(z + 1)2

z2 − 0.1347z + 0.7408(4.10)

Soit un systeme discret ayant :

1. deux poles transposes z1,2 = 0.0671± j0.8574 d’ou une resonance pour ωTs = Arctg(0.8574/0.0671) ⇒ ωr =

1.493rd/s

2. pas de zero a transposer : caractere passe-bas complete en placant deux zeros en z = −1.

3. Le coefficient K est ajuste pour avoir un module de 5 a la resonance.

Validite de la methode :

Sur le plan theorique, cette methode est plus difficile a justifier que les precedentes. L’experience permet de constater

que c’est la methode de transposition qui conserve le mieux les variations de phase et elle donc particulierement

indiquee dans la transposition de filtres continus obtenus a partir des fonctions de Bessel.

Remarque :

Lors des applications, il a ete remarque que l’invariance impulsionnelle et la methode avec bloqueur d’ordre zero

donnent comme poles de la fonction de transfert discrete les poles transposes de ceux de la fonction de transfert

continue. Les trois methodes different essentiellement par les zeros du filtre discret et donnent des resultats tres

proches. Le premier defaut de la methodes des rectangles est justement une mauvaise transposition des poles du

filtre continu ce qui explique qu’elle soit beaucoup plus approximative.

4.6 Transformation bilineaire

4.6.1 Transformation bilineaire

Principe : Hormis les methodes d’approximation de la derivee, les autres methodes se revelent rapidement lourdes

au niveau du calcul, nous ne pouvons envisager les realiser ”a la main” et cela demande des moyens de calcul.

La transformation bilineaire consiste a rechercher une methode simple d’approximation de la derivee ayant de

meilleures performances que celles que nous avons etudiees. L’approximation de la derivee par la methode des

rectangle est satisfaisante pour une frequence nulle mais se degrade vers les moyennes et hautes frequences.

Dans la transposition z = zpTs ⇔ p =1

TsLn(z), nous allons rechercher, pour conserver le caractere polynomial

des fonctions de transfert, une approximation par developpement limite de z autour de z = 1 (basses frequences).

75

z = 1 + ε, ⇒ ε = z − 1

p =1

TsLn(z) ≈

1

TsLn(1 + ε)

p =ε

Ts=

z − 1

Ts

nous retrouvons ici la la methode des rectangles ”avant”.

La transformation bilineaire utilise une meilleure approximation de z autour de 1 :

z =1 + ε

1− ε⇒ ε =

z − 1

z + 1

p =1

TsLn(z) =

1

TsLn

(1 + ε

1− ε

)=

1

TsLn (1 + ε)− Ln (1− ε)

p ≈1

Ts

[(ε−

ε2

2!+

ε3

3!+ ...

)−

(−ε−

ε2

2!−

ε3

3!+ ...

)]=

1

Ts[2ε− ...]

En conservant que les termes du premier ordre on obtient l’approximation suivante :

76

p =1

TsLn(z) ≈

2ε

Ts=

2

Ts

z − 1

z + 1=

2

Ts

1− z−1

1 + z−1

La transformation bilineaire est une approximation de la derivee telle que :

p →2

Ts

z − 1

z + 1=

2

Ts

1− z−1

1 + z−1

Approximation de l’integration :

Les methodes des rectangles ont ete presentees comme des approximations de la derivee par une derivee ”numerique”,

nous allons montrer que la transformation bilineaire peut etre interpretee comme une approximation de l’integration

par un integrateur ”numerique”.

La variable complexe p est associee a la derivee ddt , son inverse 1

p sera donc associe a l’integration : I(t) =

∫ t

0

x(u)du.

A l’instant t = kTs, nous pouvons appoximer cette integration par :

Ik = Ik−1 +Xk +Xk−1

2Ts

L’equation recurrente correspondant est :

(1− q−1

)Ik =

Ts

2

(1 + q−1

)xk

Ce qui revient a exprimer le fait que nous remplacons la variable complexe 1p par : 2

Ts

z−1z+1 = 2

Ts

1−z−1

1+z−1 , soit

p →2

Ts

z − 1

z + 1=

2

Ts

1− z−1

1 + z−1, ce qui est bien la proposition de l’approximation bilineaire.

4.6.2 Qualite de la methode

Comme pour les methodes des rectangles, nous allons comparer les proprietes frequentielles de la variable complexe

p associee a la derivation exacte et D(z) celle utilisee par la transformation bilineaire.

En frequentiel :

- p = jω ⇒ |jω| = ω et arg(jω) = π2 . Resultat classique du derivateur.

- p → D(z) =2

Ts

z − 1

z + 1⇒ D(jω) = 2

Ts

ejωTs−1ejωTs+1

Qu’on peut l’ecrire sous la forme : D(jω) = 2Ts

2jsin(ωTs/2)2cos(ωTs/2)

= 2jTstg (ωTs/2)

|D(jω)| = 2Tstg (ωTs/2) et Arg [D(jω)] = π

2 .

Une premiere remarque evidente : l’accord des phases est parfait. Qu’en est-il des modules ? Ceux-ci sont representes

sur le graphe ci-dessous :

Nous mettons en evidence la propriete essentielle de cette transformation : elle effectue une compression des

frequences en faisant correspondre a la bande ”continue” [0 ;+∞] la demi-bande de Shannon [0; 0.5]. Ce decalage

frequentiel est plus important vers les hautes frequences pour devenir negligeable vers les frequences basses.

77

Il a deux consequences :

• En comprimant toutes les frequences dans la bande de Shannon, il assure l’absence totale de repliement.

• Le decalage frequentiel ne preserve pas tout a fait les caracteristiques du filtre continu. En effet si nous

concevons un filtre selecteur de frequence centre sur la pulsation ω0, le filtre discret effectuera bien la meme

operation mais autour de la frequence decalee ω1 telle que

ω0 =2

Tstg

(ω1Ts

2

)⇔ ω1 =

2

TsArctg

(ω0Ts

2

)

Exemple :

H(p) =2.25

p2 + 0.3p+ 2.25− bilineaire → G(z) =

0.3285(z + 1)2

z2 − 0.511z + 0.825

Soit un systeme discret ayant :

1. Deux poles z1,2 = 0.2555± j0.8715, d’ou une resonance pour ωTs = Arctg (0.8715/0.2555) ⇒ une resonance

decalee ωr = 1.2857 rd/s qui est bien egale a[

2Ts

Arctg(1.5 Ts/2)].

2. Deux zeros en z = −1.

78

4.6.3 Transformation avec pre-decalage (transformation de Tustin)

Le decalage frequentiel est un inconvenient dans certains cas comme ceux des filtres selecteurs ou rejecteurs de

frequence. Pour palier a cet inconvenient nous adoptons la demarche suivante :

1. Conception du filtre continu pour la pulsation ω0 requise → H(p).

2. Decalage frequentiel de ses caracteristiques vers les hautes frequences autour de la pulsation ω∗0 telle que

ω∗0 =2

Tstg

(ω0Ts

2

)H(p) → H(p.ω0/ω∗0).

3. Discretisation du filtre qui decalera les caracteristiques vers les basses frequences telles que :

ω1 =2

TsArctg

(ω ∗0 Ts

2

)=

2

TsArctg

(tg

(ω0Ts

2

))

H(p.ω0/ω∗0) → G(z).

Remarque : ce decalage ne peut etre realise que pour une seule frequence.

Exemple :

Pour le predecalage ωr = 1.495 rd/s → ω∗r = 1.8539 rd/s →(

ωr

ω∗r

)= 0.806 : soit le changement de p en 0.806 p.

H(p) =2.25

p2 + 0.3p+ 2.25− predacalage→ H(p) =

2.25

0.6496p2 + 0.2418p+ 2.25

79

H(p) =2.25

0.6496p2 + 0.2418p+ 2.25− bilineaire → G(z) =

0.422(z + 1)2

z2 − 0.1307z + 0.8126

Soit un discret ayant :

1. Deux poles z1,2 = 0.0654± j0, 9024 d’ou une resonance pour ωTs = Arctg(0.9024/0.0654) ⇒ une resonance

ωr = 1.4895 rd/s qui est bien celle desiree.

2. Deux zeros en z = −1

4.6.4 Equivalence discret-continu]

La transformation bilineaire est une methode interessante pour passer du continu a un equivalent discret. Elle permet

eventuellement de traiter des problemes comme etant ceux du continu puis d’implanter la solution technique sur

des outils travaillant en discret (ordinateurs, processeurs).

Elle peut etre aussi utilisee dans l’autre sens c’est a dire pour faire eventuellement le passage du discret a un

equivalent continu. Dans ce cas bien sur nous utilisons :

G(z) → H(p) avec z =1 + Ts

2 p

1− Ts

2 p

80

Chapitre 5Filtres a reponse impulsionnelle finie : Filtres RIF( FIR en notation anglo-saxonne)

5.1 Proprietes

5.1.1 Fonction de transfert (rappels) :

Un filtre FIR est un systeme lineaire invariant discret dont le comportement entree-sortie est caracterise par les

coefficients {hi} de sa reponse impulsionnelle. Le calcul de la sortie se fait grace au produit de convolution discret

et la transformee en Z permet de definir sa fonction de transfert H(z).

y(t)x(t) SYSTEME

h(t) → H(z)

x(t) =

+∞∑

k=−infty


y(t) =+∞∑

n=−infty


=⇒ yn =max∑

i=min

hixn−i et H(z) =max∑

i=min

hiz−i

La suite des {hi} est limitee par i ∈ [min,max]. Le calcul de la sortie yn consiste a prendre les echantillons de x(t)

dans une fenetre de dimension finie, de ponderer par les hi, puis d’effectuer la somme : c’est une moyenne ponderee.

Cette operation se realise a chaque instant t = nTs et, pour passer a l’instant suivant, on decale d’une periode

d’echantillonnage la fenetre d’acquisition : la moyenne ponderee est mobile. Cela justifie les noms parfois utilises

de filtre a moyenne mobile ou de filtre MA (Mobile Average).

Poles et zeros :

En supposant max > 0 nous pouvons factoriser z−max dans l’expression de la fonction de transfert :

81

H(z) = z−maxmax∑

i=min

hizmax−i =

∑maxi=min hiz

max−i

zmax

Cette forme montre que les seuls poles possibles pour un filtre FIR sont des poles a l’origine (z = 0) et la consequence

importante est que ces filtres sont assurement stables.

5.1.2 Exemples :

t

h(t) h(t) h(t)

tt

H(z) = 1 + z−1 + z−2 + z−3 + z−4

H(z) = z4+z3+z2+z+1z4

H(z) = 12z

−1 + z−2 + 12z

−3

H(z) =12 z

2+z+ 12

z3

H(z) = 12z + 1 + 1

2z−1

H(z) =12 z

2+z+ 12

z

5.1.3 Forme Recusrsive :

Pour certaibs filtres FIR, on peut trouver une forme recursive equivalente au calcul de la serie. Par exemple :

H(z) = 1 + z−1 + z−2 + z−3 + · · ·+ z−m+2 + zm+1 =1− z−m

1− z−1=

zm − 1

zm(z − 1)

Cette forme fait apparaıtre ici un pole en z = 1 mais cela n’est qu’une apparence car celui-ci est compense par le

zero en z = 1.

Les formes recursives peuvent avoir un interet pratique lors de la programmation. Pour le filtre precedent en prenant

par exemple m = 50, nous pouvons le programmer sous les deux formes :

1. Forme directe : yn = xn + xn−1 + xn−2 + xn−3 + xn−4 + xn−5...+ xn−47 + xn−48 + xn−49 une somme de 50

termes.

2. Forme recursive : yn = xn − xn−50 + yn−1 une somme de 3 termes.

La forme recursive peut cependant avoir des inconvenients dus a la numerisation et a l’approximation sur les

coefficients. Ces erreurs se propagent et s’amplifient parfois dangereusement avec la recursivite.

5.2 Filtres a phase lineaire

5.2.1 Interet d’une phase lineaire

Le but du filtrage est d’extraire d’un signal x(t) un autre signal y(t) en enlevant une partie b(t) que nous pouvons

appele bruit.

Lors de la transmission d’un signal par un SLI on peut raisonner dans le domaine temporel par le produit de

convolution : y(t) = h(t) ⊗ x(t) ou par l’analyse frequentielle grace a la transformation de Fourier : Y (ejωTs) =

H(ejωTs).X(ejωTs).

Dans une approche frequentielle, pour les composantes du spectre de b(t). nous devons avoir H(ejωTs) = 0. Par

ailleurs il est souhaite de retrouver integralement le signal y(t) avec le minimum de deformation et donc pour les

frequences de son spectre avoir une transmittance H(ejωTs) = 1.

82

Pour un signal x(t) dont on connaıt le spectre X(ejωTs) le filtrage par un systeme de transmittance H(ejωTs) se

traduit mathematiquement par les equations :

H(ejωTs) = A(ejωTs) ejϕ(f) et Y (ejωTs) = H(ejωTs) X(ejωTs) (5.3)

yn = Ts

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs ) ejϕ(f)X(ejωTs)ej2πfnTs df (5.4)

Si on se contente de filtrer au voisinage d’une frequence µ la phase peut etre approximee par un developpement

limite au premier ordre :

ϕ(f) = ϕ(η) + 2π(f − η)dϕ

df|f=η (5.5)

⇒ yn = Ts

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)X(ejωTs)ejϕ(η)ej2π(f−η) dϕdf

|f=ηej2πfnTs df (5.6)

= Tsejϕ(η)

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)X(ejωTs)e−j2π(f−η)τ(η)ej2πfnTs df (5.7)

Le filtre introduit un retard τ(η) = − dϕdf |f=η. Ce temps τ est le temps de groupe (ou retard de groupe) pour les

frequences voisines de η.

Si le signal x(t) n’a pas un spectre confine aux alentours d’une seule frequence, les differents ”groupes” de frequences

sont transmis avec des retards differents ce qui donnera une distorsion lors de la reconstitution de yn. Cet in-

convenient est evite si le temps de groupe est independant de la frequence soit la condition :

τ(η) = −dϕ

df|f=η= cste ⇒ ϕ(f) = ϕ0 − 2πfτ

⇁ il faut une phase lineaire.

Une approche plus directe et moins physique permet d’aboutir au resultat :

yn = Ts

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)X(ejωTs)ejϕ(fej2πfnTs df =

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)X(ejωTs)ej(2πfnTs+ϕ(f) df (5.8)

= Ts

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)X(ejωTs)ej2πf(nTs+ϕ(f)2πf df = Ts

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)X(ejωTs)ej2πf(nTs+τ(f) df (5.9)

Il apparaıt le terme de retard τ(f) = −ϕ(f)2πf qui n’introduira pas de distorsion (retard identique quelque soit la

frequence) si τ(f) = cste soit la condition de phase lineaire :

ϕ(f) = ϕ0 − 2πfτ

yn = Ts ejϕ0

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)X(ejωTs)e−j2πfnTs df (5.10)

83

5.2.2 Conditions d’obtention d’une phase lineaire :

Deux hypotheses :

1. Le filtre est a phase lineaire.

2. Le filtre est realise avec des coefficients {hn} reels.

La phase lineaire ϕ(f) = ϕ0 − 2πfτ peut s’obtenir d’une infinite de facons mais, en vue de la realisation pratique,

deux cas particuliers sont importants : ϕ0 = 0 et ϕ0 = −π/2.

hn = Ts ejϕ0

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)ej2πfnTse−j2πfτ df (5.11)

ou A(ejωTs) est le module de H(ejωTs) et donc reel. Si on exprime h(t+ τ), les coefficients restent reels :

hn+ τTs

= Ts ejϕ0

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)ej2πfnTs df

hn+ τTs

= Ts

[ejϕ0

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs )cos(2πfnTs) df

]+ jTs

[ejϕ0

∫ + 12Ts

− 12Ts

A(ejωTs)sin(2πfnTs) df

](5.12)

5.3 Synthese par la methode des fenetres

La synthese est menee sur le cas particulier du filtre passe-bas, les autres filtres pouvant s’en deduire par simple

transposition.

5.3.1 Principe

Le filtre passe-bas ideal est completement defini par son gabarit frequentiel ideal :

H(ejωTs

)= rect

(f

2fB

)

H(ejωTs

)

f

fBfs2−fB− fs

2

1

84

La reponse impulsionnelle du filtre peut se calculer :

hn = Ts

∫ +1/2Ts

−1/2Ts

H(ejωTs

)ej2πfnTsdf = Ts int+fB

−fBej2πfnTsdf

hn = Tsej2πfnTs

j2πnTs|fB−fB

= 2fBTssin(2πfBnTs)

2πfBnTs(5.13)

Le gabarit ideal demande un filtre avec des echantillons hn tels que n ∈ [−∞,+∞], ce qui n’est pas une reponse

impulsionnelle finie.

Nous devons donc nous contenter d’une approximation en ne retenant qu’un nombre fini de coefficients : la reponse

impulsionnelle finie est obtenue par troncature du resultat du cas ideal. La troncature simple est la troncature par

fenetre rectangulaire, d’autres troncatures peuvent etre envisagees par ponderation des echantillons. Nous sommes

confrontes avec le probleme du choix de la fenetre de troncature et les deux soucis contradictoires : obtenir la

meilleure approximation possible avec la fenetre la plus simple possible.

5.3.2 Probleme general de la troncature par une fenetre de ponderation :

En notant hr(t) la reponse impulsionnelle finie obtenue par ponderation et troncature de la reponse ideale h(t) par

une fenetre fe(t) :

hr(t) = h(t).fe(t) ⇒ Hr

(e(jωTs)

)= H

(e(jωTs)

)⊗ Fe

(e(jωTs)

)

Pour un gabarit passe-bas ideal, H(e(jωTs)

)est egal a 1 pour f ∈ [−fB, fB], d’ou :

Hr

(ejωTs

)= int+fB

−fBFe(f − µ) dµ = intf+fB

f−fBFe(η) dη = intf+fB

0 Fe(η) dη − intf−fB0 Fe(η) dη (5.14)

Nous appelons fonctions integrale de la fenetre : FI(a) = inta0Fe(η) dη

Hr

(ejωTs

)= intf+fB

0 Fe(η) dη − intf−fB0 Fe(η) dη = FI(f + fB)− FI(f − fB) (5.15)

⇒ Le spectre du filtre RIF reel n’est pas exactement le gabarit mais la difference entre deux fonctions integrales

de la fenetre.

5.3.3 Fenetre rectangulaire :

C’est la troncature simple ou la fonction de fenetre est une fonction rectangle, sa transformee de Fourier un sinus

cardinal et la fonction integrale une superposition de sinus integral (SI) :

fe(t) = rect

(t

θ

)⇒ TF [fe(t)] = Fe(f) = ϑ

sin(πfϑ)

πfϑ

Par definition SI(a) =

∫ a

0

sin(u)

udu

85

FI(α) =

∫ α

0

F (η)dη =

∫ α

0

ϑsin(πηϑ)

πηϑdη

FI(α) =1

π

∫ πηϑ

0

sin(πηϑ)

πηϑd(πηϑ) =

1

πSI(παϑ)

Hr(f) =1

π[SI (π(f + fB)ϑ]− SI (π(f − fB)ϑ]] (5.16)

Les fonctions sinus cardinal et sinus integral sont rappelees ci-apres et ont les proprietes suivantes :

Sinus cardinal : sinc(0) = 1 sinc(πx) = 0 ⇒ x = [1, 2, 3, ...] parite : sinc(−πx) = sinc(πx)

bf Sinus Integral : SI(0) = 0 x → +∞ SI(πx) → π/2 parite : SI(−πx) = −SI(πx)

La fonction frequentielle reelle du filtre sera donc :

L’examen de la reponse en frequence permet de mettre en evidence les points essentiels suivants :

• Une bande passante de largeur [0, f −B−∆f/2] avec des depassements (ou ”oscillations”) en bande passante

caracterises par leur maximum δ1 et leur resserrement δf .

• Une bande coupee de largeur [fB + ∆f/2; fs/2] avec des depassements (ou ”oscillations”) en bande coupee

caracterises par leur maximum δ2 et leur resserrement δf.

• Une bande de transition de largeur ∆f : [fB −∆f/2; fB +∆f/2]. ∆f est caracteristique de la ”rapidite” de

la coupure entre bande passante et bande coupee.

86

Figure 5.1 – Reponse en frequence du filtre FIR : Troncature par une fenetre rectangle

Le filtre ideal souhaite est tel que δ1 = δ2 = 0 et ∆f = 0. Ces parametres vont etre une maniere d’evaluer la qualite

de l’approximation realisee selon le choix de fenetre effectue.

Pour la fenetre rectangulaire afin de conserver l’echantillon en t = 0 et une symetrie paire a la reponse impulsionnelle,

nous choisirons un filtre constitue d’un nombre impair N + 1 d’echantillons. La largeur de la fenetre de troncature

est donc θ = NTs. Les parametres de qualite de l’approximation sont :

• Les depassements δ1 et δ2 sont identiques et correspondent au maximum de la fonction SI qui est independant

du nombre d’echantillons. Quelque soit N , ces depassements subsisterons : c’est le phenomene de Gibbs lie au

fait qu’une serie peut converger en energie vers une fonction sans que l’on aie la convergence uniforme. Leur

importance est liee a la surface des lobes lateraux de Fe(f) transformee de Fourier de la fonction de fenetre

de troncature. Pour le SI/π le premier depassement vaut 0.09 soit δ1 = δ2 = 21dB (exprime positivement

par convention sachant qu’il s’agit bien d’une attenuation).

• δf , le resserrement des depassements en bande passante ou coupee, depend de la distance entre les maxima

de la fonction SI et donc de la distance entre les valeurs qui annulent la fonction Fe(f). Pour le sinus cardinal

cela correspond a δx = 2 = δ(fθ) = δf.θ ⇒ δf = 2/(NTs) = (2/N)(1/Ts). Si on elargit la fenetre de

troncature, N augmente et ces ”oscillations” se resserrent.

• ∆f , la largeur de la bande de transition est caracterisee par deux fois la distance entre l’origine et le premier

maximum de la fonction SI : c’est aussi deux fois la distance entre le maximum et le premier point nul de

la fonction Fe(f) soit la largeur du lobe central. Pour le sinus cardinal ∆x = 2 = ∆(fθ) = ∆f.θ ⇒ ∆f =

2/θ = 2/(NTs) = (2/N)(1/Ts). Augmenter le nombre de points ameliorera aussi ce parametre.

Les figures ci-dessous montrent les diverses etapes de la conception d’un filtre passe-bas avec fenetre rectangulaire :

87

5.3.4 Autres fenetres

Nous pouvons etudier les autres fenetres possibles comme etant une amelioration par rapport a la fenetre rectan-

gulaire. Comment agir sur les parametres de qualite du filtre ?

L’etude du cas de la fenetre rectangulaire nous a donne de precieuses indications qualitatives :

• La largeur ∆f de la bande de transition est directement liee a la largeur du lobe central de Fe(f) transformee

de Fourier de la fonction de fenetre.

88

• Les depassements en bande passante ou coupee sont directement lies a l’importance des lobes lateraux de la

fonction Fe(f).

Fenetre triangulaire (Bartlett)

fe(t) = Tri

(t

θ

)= rect

(2t

θ

)⊗

(2t

θ

)

TF [fe(t)] = Fe(f) =

[ϑ

2

sin (πϑf/2)

πϑf/2

]2(5.17)

La transformee de Fourier fait intervenir le carre de la transformee de Fourier d’une fenetre rectangulaire de largeur

moitie ⇒ le lobe central sera deux fois plus large et les lobes lateraux d’amplitude plus faible. On aura moins

d’oscillations en bande passante au prix d’une pente de coupure deux fois plus faible.

Fenetre de Hann (ou Hanning)

Fenetre en ”cosinus” d’allure proche de la fenetre triangulaire :

89

fe(t) =

[0.5 + 0.5cos

(2πt

θ

)]rect

(t

θ

)

TF [fe(t)] = Fe(f) =

[1

2δ(f) +

1

4

[δ

(f −

1

θ

)+ δ

(f +

1

θ

)]⊗

sin (πϑf)

πϑf

]2

Fe(f) =ϑ

2

sin (πϑf)

πϑf+

ϑ

4

sin (πϑ(f − 1/θ))

πϑ(f − 1/θ)+

ϑ

4

sin (πϑ(f + 1/θ))

πϑ(f + 1/θ)(5.18)

Une plus forte attenuation des lobes lateraux ce qui diminuera les depassements en bande-passante.

Fenetre de Hamming :

Devant les resultats tres satisfaisants de la ponderation avec fenetre de Hanning, on peut rechercher une meilleure

optimisation de ses performances en choisissant :

fe(t) =

[α+ (1 − α)cos

(2πt

θ

)]rect

(t

θ

)(5.19)

Le parametre α est ajuste pour minimiser les lobes lateraux en particulier le second

90

α = 0.54 ⇒ fe(t) =

[0.54 + 0.46cos

(2πt

θ

)]rect

(t

θ

)(5.20)

communement appele ”Cosinus rehausse”.

N+1=15 ∆f = 4/N = 0.28 fB = 0.25 δ1 = δ2 = 53dB

91

Fenetre de Blackman :

Elle poursuit l’optimisation en ajoutant des termes supplementaires a la fonction de fenetre :

fe(t) =

M∑

m=0

amcos

(2πmt

θ

)rect

(t

θ

)(5.21)

avecM∑

m=0

am = 1 et θ = M.Ts

Ce qui, avec trois coefficients donne :

fe(t) =

[0.42 + 0.5cos

(2πt

θ

)+ 0.08cos

(4πt

θ

)]rect

(t

θ

)(5.22)

Les lobes lateraux de la transformee de Fourier sont bien attenues au prix d’un lobe central elargi.

Remarque :

Tous les cas precedents peuvent etre inclus dans celui-ci :

1. Fenetre rectangulaire : α = 1 ; β = γ = 0.

2. Fenetre de Hanning : α = β = 0.5; γ = 0.

3. Fenetre de Hamming : α = 0.54; β = 0.46 ; γ = 0.

92

Fenetre de Kaiser :

Kaiser utilise des fonctions spheroıdales. Intervient un parametre β d’attenuation des lobes lateraux qui optimise

le rapport des energies du lobe central et du second lobe qui s’exprime a partir du choix αdB de l’attenuation du

premier lobe (en energie) et ∆f la largeur de la bande de transition :

N =α− 8

14.357∆f+ 1 (5.23)

93

et,

β = 0.1102(α− 8.7) si α > 50

β = 0.5842(α− 21)0.4 + 0.07886(α− 21) si 21 < α < 50 (5.24)

94

5.4 FILTRES PASSE-HAUT, PASSE-BANDE, COUPE-BANDE

5.4.1 Filtre passe-tout :

Un filtre passe-tout a une reponse en frequence H(f) = 1 quelque soit f . Sa reponse impulsionnelle est donc

h(t) = δ(t) soit h0 = 1 et hi6=0 = 0.

5.4.2 Filtre passe-haut

Il correspond a une reponse en frequence telle que Hpasse−haut/fc = Hpasse−tout −Hpasse−bas/fc et donc la reponse

temporelle est telle que hpasse−haut = hpasse−tout − hpasse−bas. La fonction passe-tout etant simple et connue, la

synthese du filtre passe-haut de frequence de coupure fc se ramene a la synthese d’un filtre passe-bas de frequence

de coupure fc dont il suffira de changer le signe des coefficients de la reponse impulsionnelle et d’ajouter 1 au

coefficient h0 ainsi obtenu.

H(f)

f

fs2fc−fc− fs

2

1

5.4.3 Filtre passe-bande :

Ce filtre possede deux frequences de coupure fc1 et fc2. Sa reponse en frequence est telle que :

Hpasse−bande/fc1/fc2 = Hpasse−bas/fc2 −Hpasse−bas/fc1

Sa synthese se ramene ainsi a celle de deux filtres passe-bas.

H(f)

f

fs2

fc1−fc1− fs

2

1

fc2−fc2

5.4.4 Filtre coupe-bande :

Ce filtre possede deux frequences de coupure fc1 et fc2. Sa reponse en frequence est telle que :

Hcoupe−bande/fc1/fc2 = Hpasse−tout −Hpasse−bande/fc1/fc2 = Hpasse−tout −Hpasse−bas/fc2 +Hpasse−bas/fc1

Sa synthese se ramene ainsi a celle de deux filtres passe-bas.

95

H(f)

f

fs2

fc1−fc1− fs

2

1

fc2−fc2

96

Bibliographie

[1] Guy BINET, Notes de cours de Traitement Numerique du signal, Universite de Caen Basse-Normandie.

98

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