Adnen Cours TNS

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Cours et exercices de traitement du Signal - CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________ 2 Faculté des sciences de Tunis Section : Electronique & Génie Electrique COURS ET EXERCICES DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL Sections: 4 ième année de Maîtrise Electronique 2 ième année de Génie Electrique Par : CHERIF Adnène 2003

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Faculté des sciences de TunisSection : Electronique & Génie Electrique

COURS ET EXERCICES DETRAITEMENT NUMERIQUE DU

SIGNAL

Sections: 4ième année de Maîtrise Electronique 2ième année de Génie Electrique

Par :

CHERIF Adnène

2003

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COURS DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Table des matières

Introduction

Chap I : Généralités sur les signaux et systèmes

1 - Définitions2 - Classification des signaux.3 - Représentation mathématique d'un signal4 - Opérations sur les signaux ( convolution,filtrage,corrélation...)5 - Systèmes linéaires

6- Analyse temporelle et fréquentielle ( Bode, Nyquist…)

Chap II : Numérisation et échantillonnage des signaux

1 - Principe de la numérisation2- Echantillonnage d'un signal

- T.Z- Théorème de Shanoon

3- Quantification- principe de conversion A/N- quantification uniforme- quantification par compression des données

4- Codage- différents types de codage- paramètres d'un codeur

5 – Transformée de Fourier discrète DFT - Algorithme FFT - Transformée en cosinus discrète DCT

Chap III : Filtrage numérique

1 - Définition d'un filtre numérique2 - Etude des filtres R.I.F3 - Etude des filtres R.I.I4 - Méthodes de synthèses des filtres numériques5 – Exemples et applications

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Chap IV: Techniques de transmission numérique

1 - Constitution d'un système de transmission2 - Modulation et démodulation analogique

- modulations AM, SSB, DSB- modulations FM et PM- détection synchrone par PLL

3 - Modulation et démodulation numérique- modulation P.C.M- modulation ASK, FSK et PSK- techniques de multiplexage temporel des canaux FDM- techniques de multiplexage fréquentiel des canaux TDM

4 - Introduction à la transmission de données

Bibliographie

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INTRODUCTION

Le signal est le support physique de l'information. Il se trouve sous la forme d'une grandeurobservable de type électrique, mécanique, acoustique ou optique. Cette notion s'oppose à celledu bruit qui peut modifier l'information ou même la masquer.

La description, la modélisation et l'analyse mathématique des signaux fait l'objet de lathéorie du signal, alors que le traitement des signaux les interprète, en extrait ou y ajoute del'information.

Les champs d'application de cette discipline sont très vastes tels que : - la télécommunication - l'instrumentation - les radars et sonar - le traitement et la reconnaissance de la parole - le traitement d'image - la reconnaissance de forme

- l'analyse des vibrations dans les machines outils.- La médecine et la biotechnologie.

Ce cours qui est destiné essentiellement aux étudiants de deuxième année de la maîtriseElectronique et du cycle d’Ingénieurs est divisé en deux grandes parties représentant lessignaux et les systèmes continus et discrets. Dans les deux premiers chapitres, nous sommesintéressés à permettre à l'étudiant de maîtriser les outils et les concepts de base de l'analysed'un signal (Transformée de Fourier, analyse spectrale, analyse statistique,...) avant d’aborderles techniques d'analyse des systèmes et le filtrage linéaire.Le troisième chapitre est consacré à la présentation des signaux aléatoires, de leurs propriétéset de leurs méthodes d’analyse statistique.Les chapitres quatre et cinq représentent la partie numérique de ce cours et dans la quelle nousprésentons en détails toutes les étapes de numérisation d’un signal ainsi que les conditions deréalisation de chacune.

Cela permet d'aborder la dernière partie qui est la transmission analogique etnumérique des signaux et dans la quelle on verra les techniques de modulation et dedémodulation AM, SSB, FM, PM, PCM, QPSK ainsi que leurs applications.

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Chapitre 1

GENERALITES SUR LES SIGNAUXET SYSTEMES

1- définition d’un signal

Un signal est un support physique de l'information qui représente un phénomène physique quipeut être du type :

- électrique ( courant, tension, champ électrique ou magnétique ) - mécanique ( vibration ) - optique, etc…

Il peut prendre une représentation scalaire ( signal à la sortie d'un microphone) ouvectorielle ( champ électrique dans l'espace ).

Pour illustrer ce concept, prenons le signal sinusoïdal x(t) de la figure 1 mélangé avecun bruit d’acquisition b(t).

x(t) = sin(628.t ) b(t) : bruit uniforme.

Dans le premier cas ( figure 3 ), nous avons choisi un faible niveau de bruit de façon que celui-ci ne masque ou ne modifie pas trop le signal original, soit :

y(t) = x(t) + b(t) .

Alors que dans le deuxième cas ( figure 4 ), nous avons choisi un niveau plus élevé du bruitde façon que celui-ci masque complètement le signal original, soit :

y(t) = x(t) +10 b(t) .

Figure 1: signal sinusoïdal Figure 2 : signal bruit

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 signal bruité : x(t)+b(t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 signal bruité : x(t)+8 b(t)

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Figure 3: signal faiblement bruité Figure 4 : signal masqué par le bruit

2- Paramètres temporels et énergétiques

Un signal est caractérisé par des paramètres temporels, énergétiques et statistiques quicaractérisent sa variabilité, sa dynamique, son intensité et sa puissance.

2-1- paramètres temporels:

Ce sont des grandeurs physiques qui peuvent être explicitées par l’observation de la variationtemporelle du signal ou suite à un traitement de ces données, telles que : - l’amplitude, la période et la phase pour les signaux déterministes - la valeur moyenne, la variance, la densité de probabilité et la fonction d’autocorrélationpour les signaux aléatoires.• Pour un signal discret, la valeur moyenne et la variance ont l’expression :

∑=

=N

iN 1

moy x(i)1 x

2

1

moyX )x-(x(i)1Var ∑=

=N

iN

• Dans le cas d'un signal continu périodique x(t) = A sin(ω t +ϕ), on définit :

- la valeur moyenne par : Xm = 1T

∫T/2

x(t) dt où T désigne la période

-T/2

- la valeur efficace par : Xeff = [ 1T

∫T/2

|x|2(t) dt ]1/2 -T/2

- la puissance moyenne par: Pmoy = (Xeff )2

- l'amplitude par : A = Xeff . √2

- la phase par : ϕ

- la période par : T = 2π/ω où ω désige la pulsation

2-2- paramètres énergétiques:

! l’énergie : dans le cas d’un signal apériodique x(t) à énergie finie, l’énergie s’écrit :

Ex = ∫∞

x(t).x*(t) dt où x*(t) désigne le conjugué de x(t). -∞ Si le signal x(t) est réel alors l’expression de l’énergie devient:

Ex = ∫∞

| x(t) | 2 dt .

-∞

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! la puissance moyenne : elle est définie pour les signaux périodiques comme :

Pmoy = 1T

∫T/2

|x(t)|2 dt -T/2

La valeur de Pmoy est toujours nulle dans le cas des signaux à énergie finie.

! la distorsion harmonique : elle représente le pourcentage des harmoniques du signal( généralement indésirables et se manifestent par des pertes énergétiques) par rapportau fondamental. Pour mieux comprendre ce phénomène, prenons l’exemple d’unmoteur à courant alternatif fonctionnant normalement à 50 Hz, qui alimenté par lesignal suivant :

x(t) = 255 sin(2π.50.t) + 60 sin(2π.100.t) + 25 sin(2π.250.t) .

Seule la première composante x1(t) = 255 sin(2π50.t) est utile pour le fonctionnement dumoteur. Cependant les deux autres composantes sont indésirables puisqu’elles augmentent lespertes par effet Joule et par conséquent l’échauffement du moteur. Cela a pour effet dediminuer le rendement du moteur et même d’endommager ses enroulements. Dans ce cas , la valeur de la distorsion harmonique est égale à :

σx = = 255

25602

22 + ≈ 0.25

Figure 5 Prenons maintenant, le signal bruit uniforme de la figure 1, d’après le calcul des différentesvaleurs du signal ,on obtient : ! valeur moyenne : bmoy = 0.505! variance = 0.084! écart type = 0.29! énergie = 0.34. Cependant, pour le signal sinusoïdal de la figure 2, on a : ! valeur moyenne : xmoy = 0! variance = 0.50

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-300

-200

-100

0

100

200

300

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! écart type = 0.7! énergie = 0.50 .

2-3- exemple: Soit à calculer la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance moyenne du signal dela figure suivante : x(t) τ/2 0 τ/2 τ Τ t figure 6 ! La valeur moyenne est donnée par :

Xm = 1T

∫T

x(t) dt = 1T

∫ τ/2

t dt + 1T

∫ τ

(τ - t ) dt = T4

0 0 τ/2 ! La puissance moyenne est égale à :

Pmoy = 1T

∫T

x2(t) dt = 1T

∫ τ/2

t2 dt + 1T

∫ τ

(τ - t ) 2 dt = T12

0 0 τ/2 ! La valeur efficace se déduit de Pmoy comme suit :

Xeff = (Pmoy )1/2 =

T12

2- Représentation mathématique d’un signal 2-1- décomposition en fonctions orthogonales Un signal peut se décomposer en une combinaison linéaire de fonctions φ(k) complexes quipeut se définir à partir d’une base orthogonale [cos(2πfo t) ; sin(2πfo t)], tels que:

e = (t) où (t) . a = )( tfj2k

-=kkk

k.πϕϕ∑∞

tx

Si cette fonction est de dimension unitaire alors le signal est du type scalaire si non on parle designal vectoriel.

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• Exemple : Prenons le cas du signal suivant : x(t) = cos 2t sin ej2 t

cos Figure 7 Alors, on peut écrire x(t) sous la forme :

x(t) = 2

2.2. tjtj ee −+

ce qui permet correspond aux coordonnées suivants dans la base orthgonale B1= [ej2 t, e-j2 t] : x(t) = (0.5 0.5)B1 2-2- décomposition en somme d’impulsions rectangulaires On peut approcher x(t) par une fonction en escalier (quantifiée) selon figure suivante :

x(t)

kT t

Figure 8

On peut dans ce cas faire l’approximation suivante :

kT)-(t x(kT) txk

T∑∞

−∞=Π= .)(~

∏Τ(t) est la fonction fenêtre de largeur T. 3- Classification des signaux On peut classer les signaux selon les catégories suivantes : 3-1- Classification déterministe-aléatoire : Un signal déterministe est un signal dont la variation peut étre régie par unereprésentation mathématique ou une suite de données ( signal sinusoïdal, carré,...) . Par contreun signal aléatoire n'est pas modélisable mais il est plutôt caractérisé par ses propriétésstatistiques ( moyenne, variance, loi de probabilité,...).Il peut être approché à des lois pseudo-aléatoires ( poisson, binomiale,...).

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3-2- Classification énergétique : a- Signaux à énergie finie Ils sont caractérisés par une énergie finie (constante) et une puissance moyenne nulle.Cette catégorie comprend les signaux non périodiques .

Ex = ∫+∞

x(t)2 dt

-∞ Px = 0 b- Signaux à puissance moyenne finie Ils sont caractérisés par une énergie infinie et une puissance moyenne constant. Cetteclasse comprend les signaux périodiques .

Px = lim 1T

∫ T/2

x(t)2 dt

T→∞ -T/2 Ex = ∞ Cette catégorie comprend les signaux périodiques et les signaux aléatoires permanents . 3-3- Classification continu-discret Un signal discret n'est défini qu'à des instants réguliers dits instants d'échantillonnage.Malgré que la plupart des signaux rencontrés et mesurés dans la nature sont des signauxcontinus, on retrouve souvent ces signaux dans les systèmes numériques.

continu discret

t

Figure 9 4- Opérations sur les signaux 4-1-addition Prenons le cas des deux signaux suivants: x1(t) = A1 cos (2π f1 t) x2(t) = A2 cos (2π f2 t) • Si f1 = f2 , alors :

x1(t)+ x2(t) = (A1+A2) cos (2π f1 t).

• Si f1 ≠ f2 , alors il faut faire la somme instantanée terme à terme.

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4-2- Multiplication La multiplication de deux signaux revient à une transposition de fréquence. Prenons le cas des deux signaux suivants : x1(t) = A1 cos (2π f1 t) x2(t) = A2 cos (2π f2 t) alors, y(t) = x1(t) . x2(t) = 0.5 A1 A2 cos [2π (f1+f2 )t ] + 0.5 A1 A2 cos [2π (f1-f2 )t ]. x1(t) y(t) x2(t) f1-f2 f1 f1+f2 f Figure 10 Le multiplieur de la figure 10 est très utilisé dans les modulateurs et les démodulateurs AM. 4-3- déphasage Le déphasage d’un signal conduit à un décalage temporel, en avant ou en retard selon la valeurde ce déphasage. Si celui-ci est positif alors le signal déphasé est en avance de phase parrapport au signal original et vice versa. Par exemple, dans le cas des signaux de la figure 6, lesignal y1(t) est en avance de phase puisque le déphasage est positif par contre y2(t) est en retradphase.

y1(t) = y(t+ ϕ1) avec ϕ1> 0 y2(t) = y(t+ ϕ2) avec ϕ2 < 0

y(t) y1(t) y2(t)

-ϕ1 0 −ϕ2 t figure 11 4-4- produit scalaire Le produit scalaire de deux signaux continus à énergies finies est défini par :

<x(t),y(t)> = ∫∞x(t).y*(t) dt

-∞ Dans le cas discret, cette expression se ramène à :

<x(n),y(n)> = (n)*x(n).y0

∑∞

=n

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Pour les signaux périodiques, le produit scalaire a pour expression :

<x(t),y(t )> = 1T

∫Tx(t) y*(t) dt .

0 Si ce produit scalaire est nul, alors les deux signaux sont orthogonaux. • Exemple

Les deux signaux x(t) et y(t) suivants sont orthogonaux.

x(t) = cos t et y(t) = sin tEn effet,

<x(t),y(t )> = 1T

∫Tcos t. sin t dt avec T=2 π .

0

<x(t),y(t )> = 21T ∫

Tsin 2t dt = 0 .

0

4-5- Convolution

On appelle produit de convolution de deux signaux à énergie finie x(t) et y(t), la fonctiondéfinie par :

d )-y(t )x( tytxtyx

.)(*)())(*( θθθ∫∞

∞−

==

D'après l'inégalité de Schwartz, ce produit est toujours définie puisque les énergies||x||2 et ||y||2 sont finies.

a- Propriétés :

•••• Commutativité : [x * y](t) = [y * x](t) .

On peut démontrer cette propriété en utilisant la propriété suivante :

posons u = t - θ ⇒ du(- )uy( u)-x(t tytx

.))(*)( ∫∞

∞−

=

•••• Distributivité : [x * ( y + z)](t) = [(x * y) + (x * z](t)

•••• Associativité : [x * ( y * z )](t) = [(x * y) * z](t)

•••• Elément neutre δ(t) : x(t) * δ(t) = x(t)

•••• Dérivation : dt

tdy* x(t) tydt

tdxdt

tyxd .)()(*)())(*( ==

b- Exemples de convolution

•••• Convolution d’un signal avec l'échelon de position Γ(t) :

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d )x( d )-(t )x( txt

.))(*( θθθθθ ∫∫∞−

∞−

=Γ=Γ

A titre d’exemple, calculons la convolution de l’échelon de position avec lui même. Dans cecas, reprenons la dernière expression et remplaçons x(t) par Γ(t) :

d )( tt

.))(*( θθ∫∞−

Γ=ΓΓ

si t < 0 , alors : (Γ * Γ )(t) = 0 ,

si t ≥ 0 , alors : . t d tt

==ΓΓ ∫ θ0

))(*(

Γ(t)*Γ(t)

0 t

Figure 12

•••• Convolution d’un signal avec la fonction fenêtre ∏τ(t), τ > 0

d )x( txt

t

.))(*(2

2

θθ

τ

ττ ∫

+

A titre d’exemple, calculons la convolution de l’échelon de position avec la fonction fenêtre delargeur τ. Dans ce cas, reprenons la dernière expression et remplaçons x(t) par Γ(t) :

d )( tt

t

.))(*(2

2

θθ

τ

ττ ∫

+

Γ=ΠΓ

si t < -τ/2, alors : (Γ * ∏τ)(t) = 0 ,

si -τ/2 ≤ t < τ/2 , alors : 2

t d )( tt

τθθ

τ

τ +=Γ=ΠΓ ∫+

2

0

))(*(

si t ≥ τ/2 , alors : . d tt

t

τθ

τ

ττ ==ΠΓ ∫

+

2

2

))(*(

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Γ(t)* ∏τ(t) τ

-τ/2 0 τ/2 t

Figure 13

4-6- Autocorrélation et Intercorrélation

a- Intercorrélation de deux signaux

Pour deux signaux à énergie finie x(t) et y(t), on peut associer une fonction d'intercorrélationRx,y qui définie la dépendance entre les événements de chacun et la mesure de similarité entreeux. Elle est donnée par l’expression suivante :

dt )(t*y )tx( R

yx .)(, ττ += ∫∞

∞−

Dans le cas des signaux périodiques à énergie infinie, la fonction d'intercorrélation Rx,yest donnée par l’expression suivante :

dt )(t*y )tx( T1 lim R

T

Tyx .)(0

, ττ += ∫∞→

•••• Propriétés

♦ Rx,y(τ) = R*y,x(-τ) : symétrie hermitienne .En effet :

dt )(t*x )ty( R

xy .)(, ττ −=− ∫∞

∞−

posons u= t-τ

R du* ] )u(*y x(u) [ du )u(*x )uy( R yx

xy .)(*)( ,, ττττ =+=+=− ∫∫∞

∞−

∞−

♦ Rxy(τ) ≠ Ryx(τ)

♦ Rxy(τ) = x(τ) * y*(-τ) .

On peut montrer cette propriété en utilisant la relation de la convolution :

d )(-t*y )x( (-t)*y*(t)x

.θθθ −= ∫∞

∞−

)(tR d )(t*y )x( xy

=+= ∫∞

∞−

θθθ

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b- Autocorrélation

Pour un signal à énergie finie, on définie une fonction d'autocorrélation qui définie lasimilarité entre un signal et une version décalée de celui-ci. Elle a pour expression :

dt )(t*x )tx( R

xx .)(, ττ += ∫∞

∞−

Cette expression peut être obtenue de Rxy(τ) en prenant x(t) = y(t) .Dans le cas des signaux périodiques à énergie infinie, la fonction d'intercorrélation Rx,xs’écrit :

dt )(t*x )tx( T1 lim R

T

Txx .)(0

, ττ += ∫∞→

* Propriétés

♦ Rxx(τ) = R*xx(-τ) : symétrie hermitienne .

♦ si x(t) est réel alors Rxx(τ) est réelle et paire et possède un maximum enRxx(0)

En effet, si x(t) est réel, alors :

dt )x(t )tx( R

xx .)(, ττ −=− ∫∞

∞−

Posons u = t-τ, il vient :

)(R du )ux( )ux( R xx,

xx .)(, τττ =+=− ∫∞

∞−

ce qui montre que Rxx est paire.D’autre part, l’inégalité de Schwartz |Rx,y(τ)|2 ≤ Rx,x(0).Ryy(0) , montre que le maximum de lafonction d’autocorrélation est Rx,x(0) et ce, en posant simplement y(t)=x(t) , soit :

|Rx,x(τ)|2 ≤ R2x,x(0) soit Rx,y(τ) ≤ Rx,x(0).

car Rx,x(0) ≥ 0 .

♦ Inégalité de Schwartz : |Rx,y(τ)|2 ≤ Rx,x(0).Ryy(0) .

Cette propriété se démontre en utilisant la même propriété de la norme et du produit scalaire.

♦ Rxx(0) est l’énergie du signal et Rxx(τ) ≤ Rxx(0) .

En effet,

E dt x(t) dt 0)(t*x )tx( R x

2

xx .)0(, ==+= ∫∫∞

∞−

∞−

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♦ Si x(t) est périodique de période T , alors Rxx en est de même ( périodique depériode T ) et possède un maximum à l’origine Rxx(0) ..

dt )(t*x )tx( T1 lim R

T

Txx .)(0

, ττ += ∫∞→

dt] e e C e C [ T1 lim R

T

n 2 j t T

n 2 jn

-n

T t T

n 2 jn

-nTxx* .)(

0,

τπππ

τ−−∞

∞=

+∞

∞=∞→∑∫ ∑=

soit :

e C dte C T1 lim R

T

n 2 j2n

-n

T T

n 2 j2n

-nTxx .)(0

,τπτπ

τ−∞

∞=

−∞

∞=∞→∑∫∑ ==

Cette relation n’est que la décomposition en série de Fourier de Rxx(τ). Elle montre que celle-ciest périodique de période T et ayant pour spectre d’amplitude |Cn|2 .

Cette propriété est très importante en analyse corrélatoire puisqu’elle permet dedéterminer la périodicité d'un signal ainsi que son spectre d’amplitude.

•••• Exemple 1 :

Fonction d’autocorrélation du signal fenêtre x(t) = ∏τ(t), τ > 0

dt t . )t( )(R

xx )( θθ ττ +ΠΠ= ∫∞

∞−

♦♦♦♦ si |θ | > τ , alors : Rxx(θ) = 0 ,

∏τ(t) ∏τ(t+θ) ∏τ(t). ∏τ(t+θ)

1 1

0 -τ/2 τ/2 θ t t-τ/2 t t+τ/2 θ θ−τ/2 θ+τ/2

Figure 14

♦♦♦♦ si |θ | ≤ τ , alors : Rxx(θ) = τ − |θ | , puisque :

∏τ(t) ∏τ(t+θ) ∏τ(t). ∏τ(t+θ)

1

0 -τ/2 τ/2 θ t t-τ/2 t t+τ/2 θ

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Figure 15

dt t . )t( )(R

xx )( θθ ττ +ΠΠ= ∫∞

∞−

, - dt )(R

xx θτθ

τ

τθ

== ∫−

2

2

si θ > 0

et :

, dt )(R

xx θτθ

τθ

τ+== ∫

+

2

2

si θ < 0

♦♦♦♦ En définitif, l’expression générale de la fonction d’autocorrélation est :

Rxx(θ) = τ − |θ | , ∀ τ ∈ ℜ .

Rxx(θ)

τ

-τ 0 τ θ

Figure 16

5- Les systèmes

5-1- définition

Un système est un opérateur physique fonctionnel H ( fonction, application ) qui àune entrée e(t) lui associe une sortie s(t).

e(t) s(t)= H[ e(t) ]H

figure 17

5-2- classification des systèmes

Il existe plusieurs types de systèmes qui peuvent être classés selon leur représentation, leursréponses, et leurs comportements. Chaque classe de système possède ses propres outilsd’étude, d’analyse et de synthèse. A titre d’exemple, on peut citer:

- les systèmes linéaires, non linéaires- les systèmes mono-variables, multi-variables- les systèmes continus, échantillonnés (ou discrets),- les systèmes déterministes, stochastiques.

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5-3- systèmes linéaires

Un système et dit linéaire s'il obéit au théorème de superposition. Ainsi, le systèmede la figure 12 est linéaire si :

- pour des entrées e1(t) et e2(t) correspondent les sorties s1= H(e1 ) et s2= H(e2 )alors :

- pour une entrée A e1(t)+B e2(t) correspond une sortie S = A s1(t)+ B s2(t).

D’autre part, un système linéaire est régi soit :

a) par une équation différentielle :

∑∑==

n

jj

m

ii

tste0

j

j0

=

i

i. dt)(da

dt)(db

b) par une fonction de transfert H(p) :

C'est une représentation externe du sytéme qui relie la sortie à l'entrée du sytème etqui est définit par :

H(p) = S(p)

E(p) =

b p

a

i.

j

i

i

m

j

j

np

=

=

∑+0

11

(m ≤ n et p est l'opérateur de Laplace)

D'ailleurs, celle-ci peut être déduite de l'équation différentielle ci-dessus pour desconditions initiales nulles.

5-4- systèmes linéaires invariants

Un système est dit linéaire invariant s'il vérifie les deux propriétés :

- la linéarité - l'invariance temporelle qui est définit telle que :

si s(t) est la sortie du système pour une entrée e(t) alors s(t-θ) est la sortie du même système pour l'entrée e(t-θ) .Donc la variation temporelle de tel système est indépendante de l'origine du temps.

a) Exemple :

Soit le système H qui à toute entrée x(t) lui correspond une sortie y(t) = x(α t) avec |α|<1.Ce système est linéaire car :∀ a et b ∈ ℜ , H [a x1(t) + b x2(t) ] = a x1(α t) + b x2(α t) = a y1(t) + b y2(t).

Cependant, il n’est pas invariant puisque :

H [ x(t-t0) ] = x[α( t-t0)] = x(α t-α t0) ≠ y(t-t0) = x(α t- t0).

b- exemples de systèmes linéaires :

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20

- filtres passifs et actifsn amplificateurs, opérateurs: sommateur, soustracteur,...

5-5- systèmes non linéaires

Ce sont les systèmes dont la sortie n'est pas linéaire par rapport à l'entrée. Ils nepossèdent pas une représentation mathématique interne (équation différentielle) non plusexterne ( fonction de transfert) mais on peut définir la sortie de ces systèmes par intervalles.

a) Exemples :

• comparateur logique :

C'est un montage à amplificateur opérationnel dont la sortie est:

y(t) = + Vcc si l'entrée x1(t) ≥ l'entrée x2(t) y(t) = - Vcc si l'entrée x1(t) < x2(t) .

0

+Vcc

-Vcc

t

s(t)x1(t)

x2(t)

Ro

R

R

( Ro>>R )

+ -

s(t)

Figure 18 : sortie d'un montage comparateur

• relais à hystérisis:

C'est un système non linéaire dont la caractéristique est la suivante:

0−ε ε

Α

Figure 19: caractéristique d'un relais

• amplificateur à saturation :

C'est un système linéaire dans un intervalle du temps mais il ne l'est pas dans le reste dutemps.

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21

y(t)

t−ε ε

+Vcc

-Vcc

y(t)=A e(t) si |t| <ε

y(t)= Vcc sign(t) si |t| > ε

Figure 20 : caractéristique d'un amplificateur à saturation

Certains capteurs en instrumentation possèdent de telles caractéristiques, tels que lescapteurs de température, de débit, de pression ou de position. Il convient pour cela de limiter lefonctionnement dans la zone linéaire.

5-6-Les systèmes discrets

Ce sont des systèmes linéaires ou non linéaires dont la sortie n'est définie qu'à des instants biendéterminés dits instants d’échantillonnage (figure 16) .

y(k)

k 1 2

Figure 21 : sortie d'un système discret

Un système linéaire discret d'entrée e(k) et de sortie y(k), peut être régi par uneéquation récurrente de la forme :

b e(i) a y(j) i. = j i

m

j

n

= =∑ ∑

0 0

Ce système peut être aussi représenté par une fonction de transfert discrète appeléeaussi transmittance échantillonnée.

5-7-Analyse temporelle d’un système linéaire

L’analyse temporelle d’un système revient à étudier sa réponse temporelle à une entréedonnée ( impulsion, échelon de position, rampe de vitesse,...) et ses performances statiques etdynamiques, tels que la précision, la rapidité et la stabilité.

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22

La réponse ou la sortie temporelle du système peut être déterminée à partir de la résolution del’équation différentielle de celui-ci ou en utilisant sa fonction de transfert.

!!!! Analyse par la résolution de l’équation différentielle

Prenons le cas du circuit passif de la figure 17 et déterminons l’expression de sa sorties(t) pour une entrée indicielle : e(t) = A Γ(t) ( échelon de position A ) : R e(t) C s(t) figure 22 La loi des mailles permet d’écrire : RC s’(t) + s(t) = e(t)= A. Γ(t) , La solution de cette équation différentielle est la somme de la solution générale sans secondmembre et la solution particulière avec second membre : soit : s(t) = A . K e- t/RC + A. Γ(t) avec K= -Γ(t) si on prend s(0)=0 Il vient alors : s(t) = A (1 - e- t/RC ) Γ(t) . !!!! Analyse par la fonction de transfert

Le circuit précédent peut être considéré comme un diviseur de tension, alors la fonction detransfert du circuit s’écrit :

11 )(

)( )( ωωωω jRCjE

jSjH +==

où ω est la pulsation . En introduisant l’opérateur de Laplace de Laplace ( p=jω ) et enremplaçant l’entrée E(p)=A/p , il vient :

)p RC(p

A)p(S+

=1

soit : s(t) = A ( 1 - e- t/RC ) Γ(t) .

Ce qui donne la représentation graphique suivante :

s(t)

A

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23

figure 23 t !!!! Performances statiques et dynamiques

a) - précision : Elle définit l’écart entre l’entrée désirée et la sortie ε(t) = e(t) - s(t)

La précision statique est la valeur de l’erreur en régime permanent soit : ε∞ = lim ε(t) = e∞ - s∞ . t → ∞ b) stabilté : un système est mathématiquement stable si à toute entrée bornée lui

correspond une sortie bornée. Cela implique que tous les pôles de la fonction de transfert sontà parties réelles négatives. De point de vue physique, la stabilité définit l’aptitude d’unsystème à revenir à sa position d’équilibre après une perturbation.

c) rapidité : c’est l’aptitude du système à réagir rapidement à une entrée quelconque etde vaincre son inertie. Elle est donnée par la valeur de la constante de temps la plus lente dusystème.

• Exemple :

Prenons le système de la figure 17 :

! L'erreur statique est nulle car : ε∞ = e∞ - s∞ = A -A = 0. ! Le système est stable car le pôle est négatif po = -1/RC . ! Le système possède une constante de temps τ = RC et la rapidité dépend dans ce cas de

la valeur de RC.

5-8- Analyse fréquentielle

La réponse fréquentielle a pour but de déterminer le comportement et la variation fréquentiellede certains paramètres et performances du système. Pour cela, il suffit d’étudier la variation dela fonction de transfert H, généralement complexe, en fonction de la fréquence. Pour avoir unemeilleure représentation et exploitation de H, celle-ci est souvent donnée par le gain (modulede H) et le déphasage (argument de H) appelés diagrammes de Bode.

a) calcul du gain et du déphasage ( diagrammes de Bode )

Prenons le cas général où :

n)(m )(

)()(

1

1 <−

−=

=

=n

jj

m

ii

pp

zppH

où : z i : est le iième zéro de H(p) p k est le kième pôle de H(p).

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24

Alors, on définit: • le gain par : G(ω) = 20 log10(| H( jω)| )

• le déphasage par : Φ(ω) = Arg( H( jω) ) . .

5-9- systèmes élémentaires

5-9-1- système du premier ordre

On se donne la fonction de transfert H(p) d'un système du premier ordre ayant un gain statiquek et une constante de temps τ.

1

)(p

kpHτ+

=

Les expressions du gain et du déphasage sont donnés par :

- gain : G(w) = 20 log10(| H( jω)| ) = 20 log k - 10 log(1+τ2ω2)

- déphasage : φ(ω) = - arctg (τω )

* diagrammes de Bode

La courbe du gain G(ω) présente deux asymptotes G1 et G2 respectivement en basses et hautesfréquences données par :

quand ω → 0 : G1 = 20 log kquand ω → ∞ : G2 = 20 log k -20 log τω .

De même la courbe de phase possède deux asymptotes φ1 et φ2 .

quand ω → 0 : φ1 = 0quand ω → ∞ : φ2 = - π/2 .

A la pulsation de coupure ( ωc=1/τ ), le gain et la phase sont égales à :

Gc = 20 log k - 20 log 2 = 20 log k - 3 et φc = -π/4 .

G(ω) φ(ω)

20 log kωc=1/τ

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25

Figure 24

5-9-2- système du second ordre

Supposons la fonction de transfert d'un système du sec

p 2 + p )(

n 2

2n

ωωξω

+= kpH

où :k : est le gain statique du système,ξ : est l’amortissement,ωn : est la pulsation propre.

L’équation caractéristique du système s’écrit :

p2 + 2ξ nω p + nω 2 =

Le déterminant de celle-ci est : ∆ = 4 (ξ 2 − 1) nω 2

• si ∆ = 0 ( ξ=1), alors l’équation caractéristique p

po = - ξ ω

• si ∆ > 0 ( ξ>1), l’équation caractéristique possède

1 ωωωωωωωωξξξξ nnp ++++−−−−====

2 ωωωωωωωωξξξξ nnp −−−−−−−−====

• si ∆ <0 ( ξ<1), l’équation caractéristique possèdeet p4, telles que : 3 ωωωωωωωωξξξξ ++++−−−−==== n jp

4 ωωωωωωωωξξξξ −−−−−−−−==== n jp

a) réponse indicielle :

2 + p(p )( 2== kE(p) H(p)pS

• si ∆ = 0 ( ξ = 1 ), le régime est dit amorti ou amorti

[ 1(e 1 )( ω +−= tnkts

2

Log w

-π/

ωc

ond ordre est la suivante :

2n

0 .

ossède une racine double po , telle que :

n

deux racines réelles distinctes p1 et p2 :

1-2ξξξξ

1-2ξξξξ

deux racines complexes conjuguées p3

21 ξξξξ−−−−n

21 ξξξξ−−−−n

)p

2nn

2n

ωωξω

+ ,

et la réponse s’écrit :

] t) nω

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26

• si ∆ > 0 ( ξ > 1 ), le régime est dit hyper-amorti et la réponse s’écrit :

[ ])e p e (p 1-2

11 ( )( 21122

tptpkts −−=ξ

• si ∆ < 0 ( ξ < 1 ), alors le régime devient oscillant la réponse s’écrit :

[ ])tsin( e 1

11 )( o2

ϕωξ

ωξ +−

−= − tnkts

avec :. cos Arc et 1 2

0 ξϕξωω =−= n

Figure 25 : réponse i

On remarque bien dépendent de l’amortissemeque pour la valeur ξ=0.7. Cepar la valeur mathématique ξ

b) réponse impulsionnelle

S

• si ∆ = 0 ( ξ = 1 ), le régim

• si ∆ > 0 ( ξ > 1 ), le régim

ξ < 1

n

qntt=

:

(

e

e

ξ > 1

dicielle selon les 3 régimes d’un système du second ordre

ue le système possède trois régimes de fonctionnement quit. Cependant, l’apparition du dépassement ne peut être visiblee valeur physique de l’amortissement sera par la suite remplacée1, qui limite les trois régimes hyper-amorti, amorti et oscillant.

p 2 + p ) 2

nn 2

2n

ωωξω

+== kE(p) H(p)p ,

est dit amorti ou amorti et la réponse s’écrit :

topnkts e t )( 2ω=

est dit apériodique ou amorti et la réponse s’écrit :

)e e ( 1-2

)( 212

2tptpnkts −=

ξ

ω

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27

• si ∆ < 0 ( ξ < 1 ), alors le régime devient oscillant la réponse s’écrit :

]t)sin( e 1

)( o2

ωξ

ω ωξ tnnkts −

−=

avec : . 1 2

0 ξωω −= n

On remarque que, quelque soit le régime de fonctionnement, la réponse impulsionnelle tendasymptotiquement vers zéro, ce qui montre que le système est stable. D’autre part, on sait quele système est d’autant plus rapide qu’il atteigne le plus vite le régime permanent, ce quicorrespond selon la figure à un amortissement unitaire.

Figure 26 : réponse impulsionnelle selon les 3 régimes d’un système du second ordre

c) Réponse fréquencielle :

j 2 )-( )(

n 22

n

2n

ωωξωωωω+

= kjH

! gain : G(w) = 20 log(kωn2) - 10 log [(ωn

2 -ω2 )2 +4ξ2ωn2ω2]

! déphasage : φ(ω) = - arctg [ 2ξωnω / (ωn

2 -ω2) ] . * diagrammes de Bode

La courbe du gain G(ω) présente deux asymptotes G1 et G2 respectivement en basses et hautesfréquences données par : quand ω → 0 : G1 = 20 log k quand ω → ∞ : G2 = 20 log k - 40 log (ω/ωn) , soit une pente de -40 dB/décade De même la courbe de phase possède deux asymptotes φ1 et φ2 . quand ω → 0 : φ1 = 0 quand ω → ∞ : φ2 = - π .

ξ < 1

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28

A la pulsation de coupure ( ωc= ωn ), le gain et la phase sont égales à :

Gc = 20 log k - 3 et φc = -π/2 .

Figure 27 : courbe du gain s

Figure 28 : courbe de phase se 5-9-3- système d’ordre supérieur à Dans ce cas le système peut se décomordre. Le gain et le déphasage sondéphasages des systèmes élémentaire • Exemple :

ξ<1

1

ξ > 1

elon les 3 rég

lon les 3 régi

deux

poser en syst respectivem

s.

ξ=

imes d’un système du second ordre

ξ >

mes d’un système du second ordre.

tèmes élémentaires de premier et de secondent égaux à la somme des gains et des

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29

Prenons le système suivant et déterminons sa réponse fréquentielle .

1)2)(pp (

5) p ( 4 )( 2 ++++++++++++++++====

ppH

Ce système peut se décomposer en trois système élémentaires de la façon suivante :

1p

1 2p

4 )5( )( 2 ++++++++++++++++====

pppH

1p

1 . p 0.51

1 2 . )2.01(5 )( 2 ++++++++++++++++====

pppH

soit encore : 1p

1 p 0.51

1 )2.01( 10 )( 2 ++++++++++++++++====

pppH

• Gain : G(w) = G1(w) + G2(w)+ G3(w) , G(w) = 20 log10 + 20 log(1+0.04ω2) - 20 log(1+0.25ω2) - 20 log [(1 -ω2 )2 + ω2] • Déphasage : φ(ω) = arctg (0.2ω ) - arctg (0.5ω ) - arctg [ ω / (1 -ω2) ]

Le tracé du lieu asymptotique du gain des 3 systèmes est le suivant :

+20 dB/dec

20 log10

1 2 5 log w -20dB/dec

-40 dB/dec

figure 29.

Le tableau suivant résume les variations des courbes du gain et de déphasage :

w -∞ 1 2 5 + ∞G1(w) en dB/dec 0 0 0 +20G2(w) 0 0 -20 -20G3(w) 0 -40 -40 -40

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30

G(w)=G1+G2+G3 0 -40 -60 -40

déphasage -∞ 1 2 5 + ∞φ1(w) en rad 0 0 0 +π/2φ2(w) 0 0 -π/2 -π/2φ3(w) 0 -π -π -πφ (w)= φ1+φ2+φ3 0 -π -3π/2 -π

Table 1

Ainsi, le tracé global devient:

G(w) 20

-40 dB/dec

1 2 5 log w

-60 dB/dec

-40dB/decfigure 30

De même, on procède pour la courbe de déphasage :

Φ(w)

1 2 5 log w

-3π/2

figure 31.

EXERCICES CORRIGES DUCHAPITRE 1

♦♦♦♦ Enoncé de l'exercice 1

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31

a) Calculer la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance moyenne d’un signalsinusoïdal redressé en simple alternance.

b) Même question pour un signal double alternance.

♦♦♦♦ Corrigé de l'exercice 1

1-a) Le signal simple alternance est exprimé sur une période [-To/2 , To/2] par :

x(t) = Uo cos ( 2πfo t) pour | t | < To/4 ,

x(t) = 0 pour To/4 < | t | < To/2 .

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 t (m s )

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

.x ( t )

figure 27 : signal redressé en double alternance

• Sa valeur moyenne est donnée par la relation :

π

ππ 04/

00

0

4/

4/0

0

2/

2/0

U )2cos( U 2 )2cos(U 1 )( 1 ∫∫∫ ====

−−

To

o

To

Too

To

To

dttFT

dttFT

dttxT

Xmoy

soit : Xmoy = Uo /π .

• La puissance moyenne est donnée par :

[ ]4

U )4cos(1

21

2U )2(cos U 2 )( 1

20

4/

00

20

4/

0

220

0

2/

2/

2

0∫∫∫ =+===

To

o

To

o

To

To

dttFT

dttFT

dttxT

Pmoy ππ

donc :

Pmoy = Uo2/ 4 .

• La valeur efficace se déduit de la puissance ainsi :

2

U

4U

02

0 === moyeff PX .

b) Le signal simple alternance est exprimé par la relation :

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32

x(t) = Uo cos ( 2πfo t) ∀ t ∈ ℜ • La valeur moyenne est égale à :

π

π 04/

00

0

2/

2/0

2U )2cos( U 4 )( 1 ∫∫ ===

To

o

To

To

dttFT

dttxT

Xmoy

soit : Xmoy = 2Uo /π .

• La puissance moyenne est donnée par :

[ ]2

U )4cos(1

21

4U )2(cos U 2 )( 1

20

4/

00

20

2/

0

220

0

2/

2/

2

0∫∫∫ =+===

To

o

To

o

To

To

dttFT

dttFT

dttxT

Pmoy ππ

donc : Pmoy = Uo

2/ 2 . • La valeur efficace se déduit de la puissance ainsi :

2

U

2U

02

0 === moyeff PX .

♦♦♦♦ Enoncé de l'exercice 2

Le synoptique de la figure 28 représente le principe de réalisation d’un modulateurd’amplitude utilisé dans la transmission des signaux radioélectriques.

x1=A1 cos(2π f1 t) x1(t).x2(t)x2=A2 cos(2π f2 t) y(t)

figure 28

a) Donner l’expression du signal de sortie y(t) . On supposera f2 >> f1b) En déduire la valeur de la puissance moyenne du signal.

♦♦♦♦ Corrigé de l'exercice 2

x1(t) = A1 cos (2πf1 t)x2(t) = A2 cos (2πf2 t)

alors : y(t) = x1(t) x2(t) + x2(t) ,

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33

y(t)= 0.5A1A2 cos [2π (f1+f2 )t ]+0.5A1A2 cos [2π (f2-f1 )t ]+A2 cos[2πf2 t ].

Donc le signal y(t) est composé de trois signaux dont les composantes fréquentielles sontdonnées par : A2

0.5A1A2 0.5A1A2

f2-f1 f2 f1+f2 f

Figure 29.

La puissance moyenne du signal y(t) est égale à :

Pmoy = (0.5 A1A2 )2 + A2 2 + (0.5 A1A2 )2 = A1

2 A2 2 + A2

2 = A2 2 ( 1+ A1

2)

♦♦♦♦ Enoncé de l'exercice 3

Montrer que si les signaux x(t) et y(t) sont orthogonaux.

x(t) y(t)

1 1

t t T T/2 T -1 Figure 30.

♦♦♦♦ Corrigé de l'exercice 3

<x(t),y(t )> = 1T

∫T/2

dt - 1T

∫T

dt . 0 T/2

= T/2 - T/2 = 0 . Comme le produit scalaire des signaux x(t) et y(t) est nul alors ils sont orthogonaux.

♦♦♦♦ Enoncé de l'exercice 4

a) Calculer et représenter la réponse impulsionnelle d’un système dont la fonction detransfert est donnée par l’expression :

p b1 1)(

++

=papH , a et b ∈ ℜ .

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34

b) Calculer et représenter les réponses fréquentielles ( gain et déphasage ) du système.On discutera selon les valeurs a et b. En déduire le type du système.

♦♦♦♦ Corrigé de l'exercice 4

Nous retenons dans ce qui suit les cas où b>0 qui correspondent à un système stable. Lesréponses impulsionnelles et indicielles sont données par les figures ci-dessous:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0reponse impulsionnelle

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.5

2

2.5reponse indicielle

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25reponse impulsionnelle

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1reponse indicielle

Figure 31.

les courbes du gain et de déphasage sont :

* cas 0 < b < a ( a=15;b=2)

Cas : 0<b<a b=2 et a=5

Cas 0<a<b b=2 et a=1

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35

10-2 10-1 100 101100

101gain en dB

10-2 10-1 100 1010

10

20

30

40

50dé phasage

* cas 0 < a < b ( a=0.1 ;b=2 )

10-1 100 101 10210-2

10-1

100gain en dB

10-1 100 101 102-80

-60

-40

-20

0dé phasage

Figure 32.

♦♦♦♦ Enoncé de l'exercice 5

Calculer et représenter la réponse fréquentielle ( gain et déphasage ) du système dont lafonction de transfert est donnée par :

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36

p)2p)(1p(10.51)(

++−

=ppH .

♦♦♦♦ Corrigé de l'exercice 5

)().().().( 11 . p 21

1 p1 . )5.01( )( 4321 pHpHpHpHpppH =++−=

w -∞ 0 0.5 1 2 + ∞G1(w) en dB/dec 0 0 0 0 +20G2(w) -20 -20 -20 -20 -20G3(w) 0 0 -20 -20 -20G4(w) 0 0 0 -20 -20G(w)=G1+G2+G3

+G4-20 -20 -40 -60 -40

déphasage -∞ 0 0.5 1 2 + ∞φ1(w) en rad 0 0 0 0 -π/2φ2(w) -π/2 -π/2 -π/2 -π/2 -π/2φ3(w) 0 0 -π/2 -π/2 -π/2φ4(w) 0 0 0 -π/2 -π/2φ (w)= φ1+φ2+φ3

+φ4

-π/2 -π/2 -π -3π/2 -2π

Table 2.

10-2 10-1 100 10110-4

10-2

100

102gain en dB

10-2 10-1 100 101-400

-300

-200

-100

0dé phasage

Figure 33.

Chapitre II

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37

ECHANTILLONNAGE ETNUMERISATION DU SIGNAL

1- Principe de la numérisation

En télécommunications, la numérisation a pour but de préparer le signal au codage puis à latransmission. Elle comporte généralement trois opérations essentielles à savoir,l’échantillonnage, la quantification et le codage ( figure1 ). La numérisation des signauxoffrent beaucoup d’avantages, parmi lesquels nous pouvons citer :

• la capacité de stockage,• la facilité de traitement et de transfert,• l’immunité contre les bruits.

En effet, l’échantillonnage qui n'est qu'un découpage temporel du signal à des instantsréguliers, est suivi par une opération de quantification Celle-ci consiste à remplacer chaqueamplitude mesurée par un état ou un nombre facilement codifiable. Cependant, ces opérationsne sont pas facilement réalisables sans problèmes au point de vue mathématique et technique.

Plus précisément, la question qui se pose n’est pas uniquement la façon de réaliser cesopérations avec le maximum de précision mais aussi dans quelles conditions en vue derestituer convenablement le signal original et par conséquent conserver l’information.

L’outil qui nous permettra de maîtriser ces problèmes est certainement l’analysespectrale dont un aperçu a été présenté aux chapitres précédents.Les figures 1 et 2 donnent le synoptique et la réalisation pratique d'une chaîne denumérisation.

Quantification CodageEchantillonnage

Figure1 : Synoptique du principe de la numémrisation

EchantillonneurA/DBloqueur

Conversion e(t) e*(t)e(k)

Codeur 10110

Figure 2 : Réalisation pratique d’une opération de numérisation

2- Echantillonnage

2.1. Définition

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38

L’échantillonnage revient à un prélèvement ponctuel des amplitudes du signal analogique.Ainsi, les valeurs du signal échantillonné résultant, ne sont connues qu’aux instantsd’échantillonnage.

signal analogique

f*(t)train d'impulsionf(t)

signal horloge signal échantillonnét t tT 2T

X =

figure 3 : principe de l'opération d'échantillonnage

Prenons le cas de la figure 3 où on suppose que l’échantillonnage est idéal, c’est à direque le découpage temporel se fait instantanément. Alors le signal échantillonné à une périoded'échantillonnage T, peut s’écrire :

f t f nT t nTn

*( ) ( ) . ( ) = −=−∞

+∞∑ δ .

Si on désigne par F(p), la transformée de Laplace de f(t), alors celle de f*(t) est donnée par :

F p TL f t f nTn

*( ) *( ) ( ) e-nTp= ==−∞

+∞∑ .

Dans certaines représentations le signal échantillonné est noté f(kT) ou simplement f(k)qui représente la suite des valeurs discrètes.

2.2. Réalisation

Un échantillonneur idéal peut être schématisé par un interrupteur électronique (par exemple untransistor FET commandé en tension ) piloté par une horloge de période T égale à la périoded’échantillonnage.

Figure 4 : principe d'un échantillonneur idéal

* Pour maintenir la tension s(t) constante à la sortie de l'échantillonneur, entre deux instantsd'horloge successifs, on lui associe en aval une capacité; on parle dans ce cas d'unéchantillonneur-bloqueur.

2.3- Echantillonnage réel (non instantané)

K

s(t) e(t) Horloge à T

e(t) s(t)

K

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Les échantillonneurs réels possèdent généralement un certain temps d’ouverture τcorrespondant au temps de commutation des interrupteurs statiques. Le signal résultant fτ*(t)est donné par la figure 5.

fτ*(t)

τ

T 2T t

Figure 5 : échantillonnage réel

Cet échantillonnage non instantané peut être traité comme un échantillonnage idéal àcondition de multiplier le signal analogique f(t) par celui de la fonction fenêtre périodique delargeur τ.Si on suppose que τ << T, alors il vient :

Donc la réalisation physique d'un échantillonneur réel revient à celle del’échantillonneur idéal au facteur τ près. Cette propriété confirme le fait qu’il est impossibled’accéder physiquement aux amplitudes instantanées du signal.

2.4- Analyse spectrale d’un signal échantillonné

L’étude spectrale d’un signal échantillonné permet de visualiser les effets de l'opérationd'échantillonnage sur le spectre réel du signal original, ce qui permet de fixer des conditionssur le choix de la période d'échantillonnage pour une reconstitution exacte du signal.

Supposons que la transformée de Fourier de f*(t) est donnée par F*(ν), où ν désigne lavariable fréquentielle, alors on peut écrire que :

Soit:

d’où :

posons :

Le signal g(t) qui est périodique, peut être décomposé en série de Fourier enutilisant les relations suivantes:

+∞

∑δ(t - nT) = +∞

∑ Ck e j2kπ t/T

. (t)*f nT)-(t )nT(f)t(*f

nτ=δτ= ∑

−∞=τ

,dte (t)x f)X tj-

- ( πν

∞+

∞∫= 2**

, dte nT)-(t x(nT) (f)*X tj-

- -n πν

∞+

∞=δ= ∫ ∑ 2

,d )Tt( sinc)Tn-(t T)nx( (f)*X

- -nτπ−τδ= ∫ ∑

∞+

∞=

. )Tn-(t g(t) -n

∑∞

∞=δ=

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avec :

Ce qui donne :

g(t) = n=−∞

+∞∑ δ (t - nT) =

1T

n=−∞

+∞∑ e j2πkt/T

Il vient :

Cette expression, appelée formule de Poisson, montre que le spectre de x*(t) est obtenuà partir de celui de x(t) par une somme de translations multiples de

En conclusion, l'échantillonnage temporel conduit à une périodisation spectrale.

2.5. Théorème de Shannon

Nous allons maintenant utiliser les résultats de l'analyse spectrale pour déterminer lesconditions d'échantillonnage d'un signal. Pour cela, on a représenté sur la figure 6 le spectrethéorique d'un signal analogique, donné par le motif élémentaire compris entre -N et N.

X(ν)

-N N ν -1/2T 1/2T

Figure 6 : spectre théorique d'un signal analogique

Selon la valeur de la période d'échantillonnage T et celle de N, deux cas peuvent seprésenter ( on appellera Fe la fréquence d’échantillonnage ) :

a) N ≤≤≤≤ Fe /2Dans ce cas, la figure1-10 représente le spectre de x*(t).

X*(ν)

X(0)/T

-N N ν - -1/2T 1/2T

Figure 7 : spectre d'un signal échantillonné

. T1 dte nT)-(t

T1 C

t Tk j-T/2

-T/2 n k =δ=

π∞

−∞=∫ ∑

2

. )Tk(X

T1 dte nT)-(t)t(x )(*X

-n

tj-

- -n −ν=δ=ν ∑∫ ∑

∞=

πν∞+

∞=

2

.)Tk(X

T1

-n−ν∑

∞=

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Pour restituer le signal original, il suffit d'effectuer une troncature fréquentielle par unefenêtre rectangulaire ∏Fe(ν) centrée en 0 et de largeur Fe , ce qui revient à un filtrage passebas idéal . Ainsi la Transformée de Fourier du signal original s'écrit :

X(ν) = X*(ν ) . ∏Fe(ν)

En appliquant la Transformée de Fourrier inverse, on aura le produit de convolutionsuivant :

Cette expression représente la formule mathématique d'un interpolateur idéal.Malheureusement, cette reconstitution n'est pas physiquement réalisable du fait que le filtre estnon causal (puisqu'il est défini de -∞ à+∞). Cependant la reconstitution mathématiquerigoureuse est possible à posteriori, par interpolation :

b) N > Fe /2

Dans ce cas, il n'est plus possible de restituer le spectre initial à l'aide du filtre précédent enraison du recouvrement du spectre qui provoque la distorsion spectrale et la perte del'information (figure 8).

ν

f( )ν

Fo/2 Fo -Fo -Fo/2 -N N

Figure 8 : recouvrement du spectre d'un signal mal échantillonné

• Enoncé du Théorème de Shannon

Un signal dont la transformée de Fourier est bornée ( -N ≤ F(ν) ≤ N ) est parfaitement définipar ses valeurs échantillonnées si la fréquence d'échantillonnage Fe satisfait la condition :

Fe ≥ 2 N .

En conséquence, pour un signal périodique de fréquence Fo, la fréquenced'échantillonnage Fe doit être supérieure à deux fois la fréquence du signal, soit :

Fe ≥ 2Fo .

2.6- Choix de la période d’échantillonnage

.d )T

sinc(T1 )-(tx T x(t)

- τπττ= ∫

∞+

*

. )TnT-t( sincT)nx( x(t)

-n∑∞

∞==

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Le choix d'une fréquence d'échantillonnage supérieure à deux fois la fréquence la plus hautecontenue dans le signal n'est pas suffisante en pratique. En effet, l'hypothèse de Shanoon n'estpas toujours satisfaite puisque les signaux traités ne sont pas à spectre limité. Un filtre idéal detype cardinal n’est pas réalisable et même l'utilisation d'un filtre passe-bas approximé, enamont de l’échantillonneur, ne conduit pas aux résultats souhaités. Pour cela, on choisit enpratique, une fréquence d'échantillonnage supérieure à celle de Nyquist et qui peut aller de 10à 20 fois la fréquence du signal .

2.7- Filtre anti-repliement

On sait que toute opération d'acquisition induit un bruit d'acquisition qui s’ajoute à celui quecontient le signal, ce qui prolonge le spectre vers les fréquences élevées( figure 9 ) et supérieures à la fréquence de Nyquist (Fo/2). Pour cela, il convient avant lanumérisation du signal, d'affaiblir suffisamment les amplitudes de celui-ci au delà de (Fo/2)par un filtre passe-bas de fréquence de coupure Fo/2, appelé filtre de garde ou filtre anti-repliement.

...... signal bruité ___ signal original

Figure 9 : effet du bruit sur l'échantillonnage

3- QUANTIFICATION

La quantification consiste à remplacer chaque valeur échantillonnée e(k) par un multiple entierd'une quantité appelé pas de quantification q. Cette étape est principale pour la conversionanalogique numérique. En effet, vue la capacité de résolution limitée des circuitsélectroniques, un signal échantillonné e(k) ne peut être représenté que par un nombre fini devaleurs discrètes qui dépendent du nombre de bits du CAN.

f( )ν

νSignal + bruit avant le filtrage amont effet de l'échantillonnage d'un signal bruité

f( )ν

ν

f( )ν

Fo/2 Fo

Fo/2 Fo

effet du filtrage amont sur le signal échantillonné

ν T/2 T

T/2 T

X(v) X(v)

X(v)

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L'objectif visé par une telle opération est soit la transmission du signal ( quantification+ codage + émission ) soit encore le traitement (filtrage, analyse spectrale, stockage ...) et cede façon à préserver les propriétés statistiques du signal .

Prenons le cas du signal échantillonné x(k) de la figure 10, alors l'expression du signalquantifié xq(k) est donné par :

xq(k) = 0 si x(k)<Umin xq(k) = 2N-1 si x(k)>Umax

x(t) 2N-1 t 0

Figure 10

3.1. Paramètres de la quantification

Une loi de quantification est caractérisée par :

- les niveaux de saturation +∆max ( 0 et +∆ max pour un CAN unipolaire ) - le nombre de niveaux quantifiés M = 2N ; N : nombre de bits du CAN - le pas de quantification q = ∆ / 2N ( pour un CAN unipolaire ). - le facteur de charge du quantificateur γ = Xmax / σx

La quantification varie d'une loi simplement uniforme à des lois plus complexes dutype logarithmiques , à compression ou même adaptatives .

* Exemple :a) Soit un CAN à 8 bits dont la tension analogique d'entrée maximale convertible ∆ est

comprise entre 0 et 5 V ( ∆ = 5 V ) .- calculons la tension quantifiée pour un signal d'entrée x(k) = 3.5 V.

a) même question si le CAN à 8 bits est bipolaire [-5, 5V] . * Solution :

Le nombre maximal d'échantillons est de 28 = 256 ( soit de 0 à 255)Si on considère (q) le pas de quantification alors :

q = _∆_ 256

Cette valeur représente aussi l'erreur de résolution, ainsi toute variation de l'échantilloninférieure à (q) sera automatiquement ignorée par le CAN.

Nmin

qU)k(x)k(x

2−= si Umin<x(k)<Umax

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a) cas unipolaire : q = 5 / 256

on prendra la valeur par défaut car la valeur quantifiée ne peut être qu'entière, soit:

xq(k)= 178 .

b) cas bipolaire : q = 10/256

on prendra la valeur par défaut, soit: xq(k)= 216 .

Conclusion :

Pour diminuer l'erreur, on a intérêt à diminuer le pas de quantification (augmenter lenombre de bits N du CAN) .

3.2. Quantification uniforme

C'est la quantification la plus classique sans aucune compression ou post traitement telle qu'aété décrit ci-dessus. Dans ce cas, la quantification peut s'effectuer par arrondi ou par défaut, àsavoir:

- par arrondi : (k-0.5) q < e(k) < (k + 0.5) q

- par défaut : k q < e(k) < (k+1) q

ErreurErreur

Defaut Arrondi

Figure 11 : Les deux types classiques de quantification

5178256553053 ,..

q.)k(xq ==−=

.,..q

)(.)k(xq 821625610

58553 ==−−=

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De plus, le quantificateur induit une erreur additionnelle caractérisant la distorsion oule bruit de quantification ( Figure 11 ).

a-) effet de la quantification uniforme sur la valeur moyenne

emoy = (eq )moy + εmoy

si on examine la figure 11 ci-dessus, on remarque que :

(εmoy)tron = q/2 et (εmoy)arr = 0 .

Ainsi, la quantification par arrondi ne modifie pas la valeur moyenne du signal, il n'en est pasde même pour la quantification par troncature .

b-) effet sur la valeur efficace et la puissance du bruit:

T/2 T/2

(εeff)arr = (1/T) ∫ ε2 (t) dt = 1T ∫ ( q .t / T)2 dt =

q212

-T/2 -T/2

et : T/2 T/2

(εeff)tron = (1/T) ∫ ε2 (t) dt = 1T ∫ ( 2q .t / T)2 dt = q2 /3

-T/2 -T/2

Conclusion

La quantification superpose au signal uu bruit de valeur moyenne nulle et de puissanceq2/12 dans le cas de l'arrondi, de valeur moyenne q/2 et de puissance q2/3 dans le cas detroncature. Donc, la quantification par arrondi est donc la plus convenable.

3.3. Quantification avec compression des données

Lorsque le nombre de niveaux quantifiés est élevé ( supérieur à 2N ) et lorsque la loi dequantification dépend de la densité de probabilité du signal , alors une loi de compression desamplitudes s'avère utile . Dans ce cas, il s'agit de déterminer une loi :

U= f(x) telle que Umax = Xmax et q = 2 . Xmax / 2N

On montre que la loi de compression optimale est donnée par :

ξ

∫o [Px( ξ) ] 1/3 dξ Fopt (ξ) = _______________________

ξmax

∫o [ Px( ξ) 1/3 dξ

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a) Quantification logarithmique

En pratique, on préfère assurer un rapport S/B indépendant de la variance ( ou puissance ) dusignal dans une gamme aussi large que possible . On choisit une loi de la forme suivante :

A . | x |F (x) = _____________ sgn(x)

1 + Ln(A)

x Figure 12

Sachant que M = 2N , on aura un rapport signal / bruit :

(S/B) = 6,02 N + 4,77 - 20 log( 1 + Ln(A) ) : pour les grandes amplitudes

(S/B) = 6,02 N + 4,77 - 20 log g+10 log[ A /( 1 + Ln(A) ) ] : pour les faibles amplitudes

La norme européenne utilise en téléphonie une valeur A = 87,56

b) compression selon la loi A et µµµµ (utilisée en transmission de la parole )

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* Conclusion :

A l'aide de la loi de compression logarithmique, on a amélioré le facteur (S/B) desfaibles signaux de 10 log[A/1+Ln(A)] par rapport à la quantification uniforme (gain de 4bits pour un CAD de 8 bits)

4- CODAGE

Le codage revient à donner une représentation binaire ou autre au signal quantifié.On a vu qu'une combinaison de N éléments binaires pourra être codée par 2N amplitudesquantifiées.Il existe plusieurs types de codage de types statiques ( binaire, Hexa, RZ, NRZ,Manchester,…) ou dynamique ( Huffman,…) . Plus le codage est dynamique plus il s'adaptemieux à la transmission.

4.1. Puissance d'un codeur

Soit un signal sinusoïdal d'amplitude crête à crête. Si on utilise le principe dequantification par arrondi, la puissance maximale du codeur est donnée par :

Pmax = 12 V2pp =

12 ( 2N .

q2 )2

ce qui donne : Pmax = 2 (2N-3) q2

4.2. Rapport Signal/Bruit

On rappelle que l'acquisition et la quantification induisent un bruit dont la puissance estliée à la dynamique du codage. En effet, celle-ci est donnée par le rapport signal-bruit maximal

(SB)max qui n'est que le quotient de la puissance maximale du codeur Pc par rapport à celle du

bruit de quantification PB . En fait :

(SB)max =

PcPB = 3. 2N-1

soit encore :

(SB)max (en dB) = 10 log ( 3 . 2N-1 ) = 6N + 1,76

Conclusion :

Chaque bit supplémentaire améliore le rapport signal / bruit de 6dB.

4.3. Codage non linéaire

Généralement, le rapport signal/bruit, diminue avec l'amplitude du signal. Pour cela, lepas de quantification doit être variable au sens inverse de l'amplitude.En fait, un codage non linéaire n'est qu'une compression du signal suivie d'un codage linéaire.

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D'autre part, la compression des données permet de gagner en nombre de bits (zonemémoire), dans la mesure où on utilise le codage MICDA (codage différentiel adaptatif).Celle-ci consiste à coder les changements d'états (3 changements sont possibles : maintien dela valeur y, passage à y+q, passe à y- q) au lieu des accroissements de y.Ainsi, on utilise deux éléments binaires pour coder 3 changements d'état. 4.4. Codage dans le domaine temporel

a) Codage PCM (Pulse Code Modulation)Il se base sur une numérisation complète de l’information modulée.

b) Differencial Pulse Code Modulation DPCMIl est basé sur le codage de la différence entre deux échantillons : ce qui conduit à unedynamique réduite et à une utilisation d'un ensemble d'échantillons pour prédire le prochainéchantillon. Donc le codage se fait sur : dn = sn – sn’

avec :

c) Adaptative Differencial Pulse Code Modulation ADPCM

Il est de même que DPCM sauf que :" quantificateur s'adapte aux propriétés du résidu dn

" modification du mécanisme de prédiction en fonction du signalselon deux types :

" feedforward adaptation : coefficients de prédiction et reconstructioncalculés puis transmis

" feedbackward adaptation : coefficients recalculés par récepteur

4.5. Codage dans le domaine fréquenciel

a)Codage par sous-bandes

Avantages :

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5- RESTITUTION DU SIGNAL ECHANTILLONNE

La reconstitution d'un signal est l'opération inverse de l'échantillonnage. Elle consiste àtransformer une suite de nombres en une fonction continue. Cette opération est souventnécessaire en commande numérique lorsqu'on ne peut pas commander un système par desimpulsions. La façon la plus simple de restituer un signal est par un élément de maintien ou deblocage qui revient à une interpolation par un polynôme d'ordre zéro. Bien évidement, plus ledegré de celui-ci est élevé plus la reconstruction est meilleure.

En effet, dans les opérations de conversion numérique-analogique ou de commandenumérique , on est obligé de retrouver la forme originale du signal analogique. D'ailleurs, ilest évident que plus le nombre d'échantillons/période est élevé plus la reconstitution est plussimple.

5.1. Interpolation ou restitution idéale

Supposons un signal e(t) échantillonné suivant la fréquence de Nyquist (Fo>2fm) dontle spectre est donné par la figure suivante :

Freq -Fm-Fo Fm Fo

E(f)

Figure 14 : Spectre du signal à restituer

La reconstitution adéquate de E* peut se faire en ne conservant que le lobe centralcompris entre (-Fm, Fm). Cela revient à une multiplication fréquentielle de E*(f) par la fonctionfenêtre . Cette opération n'est qu'un filtre passe-bas de fréquence de coupure Fm . Ainsi lesignal restitué est donné par la formule d'interpolateur idéal :

er (t) = Σ e(nTo) sin (π.fo.t -n π)

(π.fo.t -n π)

D'autre part, pour réaliser physiquement la fonction interpolateur ci-dessus, on a besoind'un bloqueur pour maintenir la valeur de l'échantillon constante durant toute la période To .Bien évidement cette opération doit être suivie d'un CNA en vue de retrouver la valeuranalogique du signal.

5-2- Extrapolation par un bloqueur d'ordre zéro

On suppose que x(nT+ t ) = x(nT) selon le développement de Taylor pour 0 < t <T.Donc, le signal est bloqué et maintenu constant entre deux instants d'échantillonnagesuccessifs. Ainsi, la réponse temporelle b0(t) du bloqueur d’ordre zéro est donnée par la figure15 suivante.

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Figure 15 : réponse d'un échantillonneur bloqueur d'ordre zéro

La fonction de transfert du bloqueur d’ordre zéro est :

D'autre part, l'étude de la réponse fréquentielle du bloqueur d'ordre zéro montre quecelui-ci réalise un filtrage passe-bas, mais il atténue le signal de 64% à la fréquence de NyquistFo/2 .

Remarque :

Dans le pratique, on restitue le signal par un filtrage Passe-pas d'ordre supérieur ouégal à deux .

6- Méthodes d'étude des systèmes discrets

Nous savons déjà que la Transformation de Laplace permet l’étude, la modélisation et l’analysedes systèmes linéaires continus. Son utilisation pour les systèmes échantillonnés conduit à desformes très complexes puisque la discrétisation fait apparaître dans la fonction de transfert dessuites de fonctions polynomiales en p et par conséquent une infinité de pôles. La transforméeen z permet justement de contourner ces difficultés tout en offrant les avantages de latransformation de Laplace.

6-1 - la transformée en z

La transformée en z, est définie à partir de la transformée de Laplace d'un traind'impulsions pondéré par les valeurs du signal prises aux instants d'échantillonnage, en utilisantla transformation :

z = eTp ,

T désigne la période d'échantillonnage. Si le signal échantillonné f*(t) est causal, alors :

f t f nT t nTn

*( ) ( ) ( )= −=−∞

∑ δ

d’où :

[ ]F p TL f t f nT e nTp

n*( ) *( ) ( )= −

=−∞

∑ =

pe-1

pe-

p1 (p)B

-pT-pT0 ==

t

bo(t)

0 To 2To TT 2T

b (t) o

t

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51

En utilisant la transformation z = eTp , on aura l'expression :

F z f nT n

n( ) ( ) = z −

=−∞

∑ .

En pratique, f(t) est causale donc f(nT)= 0 pour tout entier n négatif. Cette hypothèsesera adoptée dans la suite de ce chapitre. L'expression de F(z) peut être déterminée à partir def(t). Cependant, on peut aussi la calculer à partir de la transformée de Laplace F(p) en utilisantle théorème des Résidus selon l'expression suivante :

F zi

n

pi( ) = résidu

F( )- e z-T

ξξ ξ1 −

==∑ 1

1

• Si les pôles pi de F(p)=N(p)D(p)

sont simples alors :

F zN pi

i

n

u pi

i

( )( )

=

D' (p ) - e z

: D' (p)d D(u)

du i

-Tp1

11 1

avec−= =∑

• Si F(p) comporte des pôles multiples alors le résidu relatif au pôle pi est:

R ndd

Fzi

n

u p

i

ii

=

( - p )- e

in

-Ti

11

1

1 1( )!( )

− −=

ξ ξξξ

1

a) - Relations et correspondance entre les plans p et z

En posant : p = σ+jω et z = eTp, alors le demi plan complexe à gauche de l'axeimaginaire se transforme dans le plan z en une surface intérieure en cercle unité (Figure16) .

Im Im

Re Re

z=exp(Tp)

10

plan p plan z

Figure 16: correspondance entre les plans p et z .

b)- Propriétés de la Transformée en z

• Linéarité :

Z [α f1(t) + β f2(t) ] =α Z [f1(t)] + β Z [f2(t)] ( α et β∈ℜ ).

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52

• Translation temporelle: retard d’un nombre entier de périodes d’échantillonnage :

Z [ f (t - kT) ] = z -k F(z) .

On peut montrer qu'un retard temporel de k périodes se traduit par :

[ ] [ ] [ ]Z f t kT n k T n k Tn

n

k n k

n

k( ) ( ) ( ) ( )− − −−

=−∞

∞− − −

=−∞

∞−∑ ∑= f z = z f z = z F(z) .

♦ avance d’un nombre entier de périodes d’échantillonnage :

Compte tenu de l'hypothèse f(kT) = 0 pour k < 0, il vient :

Z [f(t + kT)] = z k F(z) - z k f(0) - z k-1f(T) - z k-2 f(2T) - ... - z f [(k-1)T] ,

On peut démontrer cette propriété de manière semblable que l'avance. En effet :

[ ] [ ] [ ]Z f t kT n k T n k Tn

n

k n k

n( ) ( ) ( ) ( )+ + +−

=−∞

∞− +

=−∞

∑ ∑ = f z = z f z

posons t=nT et m=n+k, il vient :

[ ] [ ]Z f t kT k m

m k

k m

m

m

m

k( )+ −

=

∞−

=

∞−

=

∑ ∑ ∑ = z f(mT) z = z f(mT) z - f(mT) z0 0

1,

[ ]Z f t kT k k m

m

k( )+ −

=

∑ = z F(z) - z f(mT) z0

1 ,

soit encore :

Z [f(t + kT)] = z k F(z) - z k f(0) - z k-1f(T) - z k-2 f(2T) - ... - z f [(k-1)T] .

• Translation complexe

Z [ f(p + α) ] = Z [ e-αt f(t) ] = F ( z eαT ) ∀ α ∈ ℘ .

En effet, l'amortissement temporel qui résulte de la multiplication de la fonction par uneexponentielle e-αt , conduit à :

[ ]Z e t k

k

m

k

− − −

=

∞− −

=

∑ ∑α α α t kT kT f = f(kT) e z = f(kT) ze -( )0 0

• Changement d'échelle

Un étalement de l'échelle temporelle conduit à une compression dans le plan z.

Z [ an f(nT) ] = F( za ) .

On peut montrer cette relation de la même manière :

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53

[ ]Z a nTza

za

k

k k

n k k f = f(kT) a z = f(kT) ( = F( ) .( ) )−

=

∞−

=

∑ ∑0 0

• Multiplication, sommation et différence

♦ sommation :Z [

n

k

=∑

0 f(nT) ] = z

z -1 F(z) .

Pour montrer cette relation, posons :

s(k) = n

k

=∑

0 f(nT) = f(kT) +

n

k

=

−∑

0

1 f(nT)

soit : s(k) = f(kT) + s(k-1) .

En appliquant la Transformée en z, on aura :

Z[ s(k) ] = S(z) = F(z) + z-1 S(z) ,soit :

S(z) = zz -1

F(z) .

♦ différence :

En utilisant la même démarche précédente, on peut écrire :

Z [ n

k

=∑

0 f(nT) - f(n-1)T ] = z -

z1 F(z) .

Pour montrer cette relation, utilisons les deux propriétés du retard et de la sommation :

Z [ n

k

=∑

0 f(nT) - f(n-1)T ] = Z[

n

k

=∑

0 f(nT)] - Z [

n

k

=∑

0 f(n-1)T ] ,

Z [ n

k

=∑

0 f(nT) - f(n-1)T ] = S(z) - z-1 S(z) =(1- z-1) S(z).

♦ multiplication :Z [ n f(nT) ] = - z d F(z)/dz .

Cette expression s'obtient en dérivant par rapport à z, l'expression de définition de latransformée en z.

• Convolution

Z [ +∞

∑ f1(n) f2(k-n) ] = F1(z) F2 (z) .

Donc, la convolution temporelle revient à une multiplication fréquentielle.

Z [ +∞

∑ f1(n) f2(k-n) ] =

i=

+∞

∑0

[ +∞

∑f1(n) f2(i-n) ] z-i ,

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54

d’où :

Z [n=

+∞∑

0 f1(n) f2(k-n) ] =

i=

+∞

∑0

[n=

+∞∑

0f1(n) z-n

i=

+∞

∑0

f2(i-n) ] z-(i-n) ] ,

Z [n=

+∞∑

0 f1(n) f2(k-n) ] = F1(z) F2 (z) .

• Théorème de la valeur initiale

f(0) = lim f*(t) = lim F(z) . t→ 0 z→ ∞

Cette propriété est une conséquence directe de la définition de la Transformée en z puisque :

F(z) = f(0) + z-1 f(1) + ... + z-i f(i) + ...Il vient :

lim F(z) = f(0) . z→ ∞

• Théorème de la valeur finale

lim f*(t) = lim (1- z-1) F(z) . t→ ∞ z→ 1

Ce théorème suppose que la valeur finale existe, ce qui implique que tous les pôles de F(z)doivent être stables. Dans ce cas, on peut démontrer ce théorème en posant :

f(nT) = f(0) + [f(T) - f(0)] + [ f(2T) - f(T)] + ... + [ f(nT) - f((n-1T)] .

Il vient :f(nT) =

k =

∞∑

0[ f(kT) - f((k-1)T) ] ,

En utilisant la propriété de la différence, on obtient : ∞ lim f*(t) = lim f(nT) ,

t→ ∞ n→ ∞

lim *( ) lim ( )t n

f t f nT→∞ →∞

= = k =

∞∑

0[ f(kT) - f(k-1)T) ] ,

donc :lim f*(t) = lim (1- z-1) F(z) .

t→ ∞ z→ 1

c) Exemples de calcul de la Transformée en z

En utilisant la définition de la Transformée en z et ses propriétés, nous allons calculer la transformée dequelques fonctions usuelles. En utilisant la définition de la Transformée en z et ses propriétés, nousallons calculer la transformée en z de quelques fonctions usuelles.

♦ Echelon unitaire Γ(t) :

Γ Γ* (t) = (t - nT) * (p) = e .δk

nTp

k=

∞−

=

∑ ∑0 0

soit

Γ*(p) est la somme d'une suite géométrique de raison e-Tp et de premier terme l'unité, cequi donne :

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55

Γ Γ∗ ( ) ( )p z = - e

= - z

-Tp -11

11

1⇒ .

On peut aussi retrouver ce résultat en utilisant la méthode des résidus, soit :

Γ( )z-- - =

N( )D' ( )

- z =

00

11

111 1z

.

D'(0) étant la dérivée par rapport à z de D(z) en 0 .

♦ Système du premier ordre : f(t) = Γ(t) e-at , ce qui donne : F(p) = 1

p+ a ,

En utilisant la définition de la transformée en z, il vient :

Fn

n naT

n

n aT

n

n(z)= f (nT) z e z ( e z ) ,=

∞− −

=

∞− −

=

∞−∑ ∑ ∑

0 0 0

1= =

soit encore :

Fe z

zz eaT aT(z)= ,

11 1− − − −− =

En prenant a = 0, on retrouve la Transformée en z de la réponse impulsionnelle d'unintégrateur.

♦ F(p) = 1/((p+a)

En décomposant F(p) en éléments simples, on obtient :

F(p) = (1/ap) - 1/ap+a ,

soit :

F a z a e zaT(z) = - 1 1

11 1

11 1− −− − − .

♦ Rampe

fp

(t)= t (t) , F(p) = Γ soit 12 . .

A partir de la définition, on a :

F z f nT z n z n zn n n

( ) ( ) T T = = =−∞ −∞ −∞

∑ ∑ ∑,

On peut utiliser la propriété de la dérivation et la multiplication suivante:

Z [ n f(nT) ] = - z dF(z)/dz ,d’où :

F(z) = - T z d/dz [ 11 1− −z

] = - T z -z-2

( )11 2−

soit :

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56

F(z) = T.z( )z −1 2

.

♦ F(p) = 1/(p+a)(p+b)

Par décomposition en éléments simples on aura :

F(p) = 1b - a

1/(p+a) - 1b - a

1/(p+b) ,

d’où :

F(z) = 1b - a

1

1 1− − −e zaT. - 1b - a

1

1 1− − −e zbT. .

D'ailleurs, on peut retrouver le même résultat par la méthode des résidus. Dans notre cas, F(p) possèdedeux pôles réels distincts. Il vient :

d) Transformée en z inverseLa transformée en z inverse permet de retrouver f*(t) à partir de sa transformée F(z). Plusieursméthodes sont utilisées parmi les quelles on peut citer :

• La décomposition en éléments simplesIl faut décomposer en éléments simples l’expression de F(z)/z . Dans ces conditions les termes obtenuspour F(z) figurent dans les tables de transformées en z.Soit le système dont la transmittance échantillonnée est :

F(z) z+(z- , )(z- , )

=2 1

0 5 01Il vient :

F zz

z+z(z- , )(z- , ) z z z

( ), ,

,= = +−

−−

2 105 01

20 100 5

300 1

d’où :F z z

zz

z( )

, ,,= +

−−

−20

100 5

3001

D’après les tables des transformées en z, on obtient :

f(k) = 20 δ(k) + 10 (0,5)k - 30 (0,1)k ,

il en résulte : f(0) = 0 , f(T) = 2 , f(2T) = 2,2 , f(3T) = 1,22 etc...

• Méthode des résidus

Si F(z) = N(z)D(z) ne possède que des pôles simples, alors l'expression précédente se réduit

à :

f nTN zD z

i

i

n

poles de F z( )

( )' ( )( )

= z i−

∑ 1 .

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57

Reprenons le même système précédent :

F(z) N zD z

z+(z- , )(z- , )

= =( )( )

2 105 01

,

Comme les pôles sont simples, Il vient :

f nT ND

z ND

zn-z

n-z( )

'( )

'( ) ,, ,= += = z z 1

0 11

0 5

or :N zD z

z+z- ,

( )'( )

=2 12 0 6

,.

Il en résulte : f(k) = 20 δ(k) + 10 (0,5)k - 30 (0,1)k ,

soit : f(0) = 0 , f(T) = 2 , f(2T) = 2,2 , f(3T) = 1,22 etc...

• Division euclidienne

Elle consiste à effectuer la division N(z) par D(z) suivant les puissances croissantes de z-1.Ainsi, il vient :

F(z) = N(z)D(z) = αo+ α1 z-1 + α2 z-2 + α3 z-3 + ...

Par définition les α i sont les échantillons f(nT) du signal.Reprenons le même système précédent :

F(z) N zD z

z+(z- , )(z- , )

= =( )( )

2 105 01

,

Effectuons la division euclidienne :

2z +1 z2 -0,6z + 0,05____________________ 2 z-1 + 2,2 z-2 + 1,22 z-3 + ...

D’où : F(z) = 2 z-1 + 2,2 z-2 + 1,22 z-3 + ... ,

ce qui donne par identification :

f(0) = 0 , f(T) = 2 , f(2T) = 2,2 , f(3T) = 1,22 etc ...

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58

6-2- La Transformée de Fourier discrète : DFT

La TFD d’un signal discret x(n) est donnée par X(k) :

146

en posant W = e-j2π/N , il vient :

les Wi peuvent être représentés ainsi :

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59

D

’autre part :

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60

Fig.16. Calcul de l’algorithme FFT

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61

6-3- La transformée en cosinus discrète DCT

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62

ENONCES DES EXERCICES DU CHAPITRE 5

♦♦♦♦ Exercice 1

Soit la suite suivante :f(k) = 1 - (0,35)k

1) Déterminer sa transformée en z.2) Donner sa valeur finale.

♦♦♦♦ Exercice 2

a) Calculer la transformée en z de la fonction de transfert suivante :

F(p) p+p(p- ) (p )

=+

31 52

.

b) Retrouver alors l'original f(nT) .

♦♦♦♦ Exercice 3 :

Calculer les transformées en z inverse de :

F(z)(z ) (z )

=+ +

11 2

et :G(z)

(z ) (z )=

+ +1

1 22.

♦♦♦♦ Exercice 4

En utilisant successivement la division euclidienne puis la décomposition en éléments simplesde X z

z( ) , trouver les originaux x

i(n) des expressions suivantes :

X (z) zz z1

2

2 3 2=

− + , X (z) zz z2 2 3 2

=− + ,

et :

X (z) zz z3 2

0 21 8 0 8

=− +

,, , , X (z) z z

z z z4

2 0 15 34 1 0 9 0 5

=−

− − −( , )

( )( , )( , ) .

- Comparer les valeurs des premiers échantillons obtenus par les deux méthodes ainsi que lesvaleurs finales X

i(∞) .

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63

♦ Exercice 5

On donne le système échantillonné de fonction de transfert :

H(z) S zE z

zz z z

= =−

+ +( )( )

( )( ) ( )

,1

1 22

Déterminer la réponse s(k) à un échelon unitaire.

♦ Exercice 6

La sortie d'un système échantillonné est donnée par :

H(z) zz z

=− −

41 3( )( )

.

a) Calculer la valeur finale s∞ en utilisant le théorème de la valeur finale.b) Reprendre la même question en utilisant la Transformée en z inverse .c) Comparer les deux valeurs obtenues et conclure .

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64

CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE 5

♦ Exercice 1

a) f(kT) = 1 - (0,35)k ,

En utilisant la table de la transformée en z, on trouve :

F(z) zz

zz

=− −1 0 35

- ,

.

soit :F(z) z

z z=

− +0 65

135 0 352,

, ,.

b) f∞ = lim (z -1) F(z) = 1 . z→1

La simulation par MATLAB de f(k) par le programme suivant, a permis deretrouver la courbe ci-dessous :

num =[ 0.65 0] ;den =[1 -1.35 0.35] ;s =dimpulse(num,den,15) ; % 15 est le nombre des échantillonsstem(s) ;grid ;

0 5 10 150.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

k

f(k)

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65

♦ Exercice 2

F(p) p+p(p- ) (p )

=+

31 52

La décomposition en éléments simples de F(p) donne :

F p( ) = + − +0,6p

0,67(p -1)

0,61p -1

0,01p2 ,

d’où :

F z( ) = + − +0,6 zz -1

0,67 Te z(z - e )

0,61 zz - e

0,01 zz - e

T

T 2 T -5T .

b) L'original f(kT) se fait en utilisant la table de la transformée en z :

f(kT) = [ 0,6 + 0,67 kT ekT - 0,61 ekT + 0,11 e-5kT ] Γ(k) .

♦ Exercice 3

a) F(z)(z ) (z )

=+ +

11 2 .

En décomposant F(z)/z en éléments simples, il vient :

f(z)z z+

,z+

= − +12

11

0 52

,

et d'après la table de la transformée en z, on obtient :

f(k) = 0,5 δ(k) - ( -1 )k + 0,5 ( -2 )k .

La simulation par MATLAB de f(k) par le programme suivant, a permis deretrouver la courbe ci-dessous :

num =[ 1 ] ;den =[1 3 2] ;s =dimpulse(num,den,7) ;stem(s) ;

0 1 2 3 4 5 6 7-80

-60

-40

-20

0

20

40

k

f(k)

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66

b)G(z)

(z ) (z )=

+ +1

1 22

Calculons les résidus des pôles (-1) et (-2) :

R Fn−

=−

= +

1

2 1

1

11

1!

( ) . ( ) δδξ

ξ ξ ξξ

R -1 = (n-1) (-1)n-2 - (-1)n-1 = - n (-1)n-1 .

R ND

z zn

z−

=−=

21

2

'( ) . .

soit :g(n) = - k (-1)n-1 + (-2 )n-1 .

♦ Exercice 4

En utilisant la division euclidienne, on obtient :

a) X1(z) = 1 + 3 z-1 + 7 z-2 + 15 z-3 + ... ,

il en résulte :x1(k) = δ(k) +3δ(k-1) +7δ(k-2) +15δ(k-3) + ...

b) X2(z) = z-1 + 3 z-2 + 7 z-3 + ... ,

x2(k) = δ(k-1) +3δ(k-2) +7δ(k-3) + ...

c) X3(z) = 0,2 [ z-1 + 1,8 z-2 + 2,44 z-3 + ... ] ,

x3(k) = 0,2 [δ(k-1) +1,8 δ(k-2) + 2,44 δ(k-3) + ... ] .

d) X4(z) = 0,9 z-1 - 1,31 z-2 - 1,48 z-3 + ... ] ,

x4(k) = 0,9δ(k-1) -1,31δ(k-2) - 1,48 δ(k-3) + ... ] .

En utilisant la décomposition en éléments simples, on aura :

a) X (z)z z z1 1

12

2= −

−+

− ,

soit d'après la table des transformées en z :

x1(k) = [ -1 + ( 2 )k+1 ] Γ(k).

b) X (z)z z z2 1

11

2= −

−+

− ,

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67

soit d'après la table des transformées en z :

x2(k) = [ -1 + ( 2 )k ] Γ(k) .

c) X (z)z z z3 1

110 8

=−

−− ,

,

soit :x3(k) = [ 1 - ( 0,8 )k ] Γ(k) .

d) X (z)z z z z4 1

120 5

10 9

= −−

+− −, ,

,-

soit d'après la table des transformées en z :

x4(k) = [ -1 + 2 ( 0,5 )k - ( 0,9 )k ] Γ(k).

La simulation par MATLAB a donné les courbes suivantes :

0 1 2 3 4 5 60

20

40

60

80

100

120

140

k

x1(

k)

0 1 2 3 4 5 6 7 80.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

k

x2(

k)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

k

x4(

k)

♦ Exercice 5

H(z) S zE z

zz z z

= =−

+ +( )( )

( )( ) ( )

,1

1 22

a) La réponse à un échelon unitaire est :S(z)

z z=

+ +1

1 22( ) ( ),

d'après l'exercice 3-b , on aura :

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68

s(k) = [ - k + (2 )k-1 ] (-1)k-1 .

La simulation par MATLAB a donné la courbe suivante :

1 2 3 4 5 6 7 8 9-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

k

s(k

)

♦ Exercice 6

a) En utilisant le théorème de la valeur finale, on a :

s∞ = lim (z -1) S(z) = - 2 z→1

b) En utilisant la Transformée en z inverse, on décompose en éléments simples S(z)/z:

S(z)z z z

= −−

+−

21

63

,

on obtient :

s(k) = [ -2 + 6 (3)k ] Γ(k) ,

ce qui donne une valeur finale : S∞ = ∞ .

c) Les deux valeurs sont différentes car le théorème de la valeur finale ne s'applique que siles pôles de

[ (z-1) S(z) ] sont à l'intérieur du cercle unité, chose qui n'est pas vérifiée dans ce cas.Donc, il faut utiliser la deuxième méthode qui donne :

S∞ = ∞ .

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69

Chapitre III

ANALYSE ET SYNTHESE DES FILTRESNUMERIQUES

1- Introduction

L'opération de filtrage est une étape indispensable lors du traitement des données. Lefiltrage suit l'acquisition qui induit généralement des bruits d'origines divers, de plus il estnécessaire lors de la reconstitution du signal. Comme la réalisation de filtres analogiquesd'ordre élevé est assez compliquée alors il est recommandé que les opérations de prétraitementou post-traitement se fassent par des filtres numériques simplement programmables par deséquations récurrentes. La figure 1 représente le synoptique d'un système d'acquisition et defiltrage d'un signal stochastique .

Filtre E/B Traitement Filtre

numérique de lissageAntirepliement

Figure 1 : Acquisition et filtrage d'un signal

2- définition d'un F.L.I

En général, un filtre numérique est un convolueur temporel qui réalise une convolutiondiscrète entre sa séquence de Réponse Impulsionnelle et sa séquence d'entrée .Il es appelé filtre linéaire invariant (FLI) s'il vérifie de plus la propriété de l'invariancetemporelle ( indépendant de l'origine du temps) , dans ce cas ses coefficients sont constants.

e(k) s(k)=e(k)*h(k)

Figure 2

Ainsi, l'expression de la sortie du filtre supposé d'ordre M sera:

M-1

s(n) = Σ h(k) e(n-k) k=0

Filtre : H(z)

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70

D'autre part, les filtres numériques sont de deux types, à savoir les filtres récursifs etles filtres non récursifs. Pour l'analyse et la synthèse, ils peuvent être approchés par les filtresanalogiques équivalents.

3- Les filtres non récursifs R.I.F

3.1. définition

Un filtre non récursif ou à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) est un filtre dont lasortie s(k) est indépendante de l'état antérieur s(k-1). La sortie s'exprime sous la formerecurrente :

M-1

s(n) = Σ Σ Σ Σ a(k) . e(n-k) k=0

Les coefficients (ak) de pondération du filtre d'ordre M constituent sa mémoire. Celle-ci est donc limitée puisque le filtre n'utilise que les (n) entrées présentes pour calculer sa sortieactuelle s(n).D'ailleurs, ces coefficients (ak) ne sont que les valeurs de la réponseImpulsionnelle du filtre, d'où l'appellation du RIF.

3.2. Structure d'un filtre RIF

Chaque sortie d'un filtre RIF d'ordre M nécessite (M) mémoires de données et (M)mémoires de coefficients (ak). De plus elle utilise (M-1) cellules de retards R, Mmultiplications et (M-1) additions. La structure de réalisation est donnée par la figure suivante:

X X

+

X X

+

X

+ +

R R RE(n)

S(n)

ao a1 a2 am-2 am-1

Figure 3 : Structure d'un filtre RIF

3.3. Réponse impulsionnelle

h(k) = 0 si k < 0h(0) = ao.1 + a1.0+ a2.0+ ... = aoh(1) = ao.0 + a1.1 + a2.0 + ... = a1

…………………………………..

h(M-1) = ao.0+ a1.0 + ... + an-M+1 = an-M+1h(k) = 0 si k > M-1

et comme M-1

s(n) = Σ a(k) . e(n-k) k=0

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71

on aura alors : M-1

s(n) = Σ h(k) . e(n-k) k=0

Donc, Les coefficients d'un filtre RIF ne sont que les échantillons que sa réponseimpulsionnelles. Etant donné que ces coefficients sont en nombre limité, la réponseimpulsionnelle s'annule au bout des M valeurs. On dit alors qu'on a un filtre à réponseimpulsionnelle finie.

n

h(n)

1 5 M.

Figure 4: Réponse Impulsionnelle d'un RIF

3.4. Réponse indicielle

La valeur finale de la réponse indicelle d'un RIF est égale à la somme des coefficients dufiltre. En effet :

γ(k) = 0 si k < 0

γ(0) = ao

γ(1) = ao + a1 ...... ...........

γ(k) = ao + a1 + ... + ak si k < M-1

γ(k) = γ(M-1) si k > M-1

n

Γ

1 M

figure 4 : Réponse indicielle d'un RIF

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72

3.5. Réponse harmonique :

Un filtre RIF ne possède pas de pôles puisque sa fonction de Transfert échantillonnéeest de la forme :

M-1

H(z) = Σ a(k) . z-k k=0

Donc, un filtre RIF est toujours stable.

H(jω) = |H(ω)|. Exp[ j φ(ω) ] To : période d'échantillonnage

φ(w) = Arg( H(jw) ) = - (M-1).To .π. f w= 2.π.f

Ainsi, le déphasage introduit par le filtre est proportionnel à la fréquence f . On dit qu'il s'agitd'un filtre à phase linéaire.

4- Synthèse d'un filtre non récursif

Il s'agit de calculer les coefficients du filtre pour que sa réponse fréquentielle HN(jw) coïncideavec une fonction Ha(jw) donnée, et ce dans un domaine ( -fo/2 , fo/2 ) :

(M-1)/2

HN(jf) = Σ Σ Σ Σ To ha(nTo) . exp[(j2ππππf n)To] k= - (M-1)/2

Les méthodes de synthèse sont les suivantes :

4.1. Technique de la Réponse Impulsionnelle :

Si on connait l'expression analytique du support analogique équivalent HA(jw), alors on peutdéterminer les coefficients (ai) du filtre par la transformée de Fourier inverse puis par unéchantillonnage temporel.

HA(jw) → hA(t) → h*A(t) → ai

fo/2

soit encore hA(t) = ∫ HA( j f). exp(j2 π f ). df → hN(n) = h*A(t) = To . hA(nTo) - f o/2

D'après l'expression précédente, la Réponse Impulsionnelle est infinie et non causale, cequi est en contradiction avec la définition d'un filtre RIF. Pour celà, il faut effectuer unetroncature de la RI échantillonnée par une fenêtre FM(t) de largeur M.To telle que :

hNM(t) = FM(t) . hN(t) = FM(t) .[ hA(t). To . ⊥ To(t) ]

Cette opération se traduit dans le domaine fréquentiel par le produit de convolution :

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73

HNM(f) = FM(f) * HN(f)

Cette convolution fait apparaitre des ondulations en bande passante et limite lafréquence de coupure du filtre. Pour cela, on utilise des fenêtres speciales du type de Bartlett,Hamming, Hann, Blackman etc ...

Pour rendre la Réponse impulsionnelle causale, il faut la retarder de To (M-1)/2 , soit unerotation fréquentielle de To (M-1)ππππf . En défintif les coefficients (an) s'expriment de lamanière suivante :

* pour 0 < n < M-1 sin(2ππππ.fc To( n_ M-1 ) )

an = FM(t) .To . hA( n _ M-1) .To) ) = --------------------------2-------- 2 ππππ ( n_ M-1 )

2

4.2. Technique d'échantillonnage fréquentiel :

Lorsqu'on ne connait pas l'expression de HA(w), la méthode de la RI n'est plusapplicable. On utilise alors la Transformée de Fourier Discrète TFD inverse. Soit une séquencefréquentielle HA(k) de M valeurs par période ( valeurs retenues par mesures ou essais ) : TFD-1 M-1

HA(k) → hA(i) = Σ Σ Σ Σ HA(k) . exp( j2k i /M) k=0

avec -(M-1)/2 < k < (M-1)/2

décalagesoit hA(i) → ai = hA(i)/M = (1/M) ha [To (i _ M-1) ]

2

5. Les filtres récursifs R.I.I

Un filtre récursif RII ou à Réponse Impulsionnelle Infinie est décrit par la relation derecurrence :

p q

s(n) = Σ Σ Σ Σ ai e(n-i) - Σ Σ Σ Σ bj s(n-j) i=o j=1

soit une fonction de transfert de la forme : p

Σ Σ Σ Σ bi z-i H(z) = _______ _____________

q

1 + 1 + 1 + 1 + Σ Σ Σ Σ ai z- j

1

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74

L'équation caractéristique de H(z) possède q pôles ; le filtre est dit d'ordre q ; pour celail faut s'assurer des conditions de stabilité du RII, c.à.d que les pôles se trouvent à l'intérieur ducercle unité.

• structure canonique

6. Synthèse des filtres R.I.I

On désire déterminer la F.T d'un filtre RII dont la réponse temporelle ou fréquentielleest donnée par un gabarit précis. Comme d'habitude le filtre d'appui sera l'équivalentanalogique.

6.1- Synthèse par l'invariance impulsionnelle

Le filtre RII doit avoir une réponse impulsionnelle donnée. Le principe est le suivant :

Ech T. Z

h(t) → h*(t) → H(z)

• Exemple :

Soit un filtre passe bas du 1er ordre donné par sa FT

H(p) = 1/ 1 + τ. p ⇒ h(t)= 1/τ exp(-t/τ) ⇒ h(n)=(1/τ) exp(-nTo/τ)

1- exp(-To/τ) ⇒ H(z) = _______________

1 - exp(-To/τ) . z-1

6.2. Synthèse par l'invariance indicielle :

Le filtre RII doit avoir une réponse indicielle γ(t) donnée :

γ(t) ⇒ γ∗ (t) ⇒ γ(z) ⇒ H(z)= γ(z)/U(z) avec: U(z) = z / z-1

Fig.5. Structure d’un RII

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75

6.3. Synthèse par la méthode d'Euler :

On simule chaque bloc analogique ( derivateur ) par une Transformée en Z. Ainsi, parapproximation du dérivateur s(t) = d e(t) /dt ; on aura :

e(nTo) - e( (n-1)To) TZ E(z) (1- z-1) s(n) = _____________________ ⇒ S(z) = ____________

To To

On retrouve la Fonction de Transfert H(z) du filtre recherché en posant p=(1-z-1) / To , dansla FT du filtre analogique .

6.4. Synthèse par la méthode de trapèze :

On approche la fonction intégrateur par l'expression :

s(n) = s(n-1) + To [ e(nTo) - e( (n-1)To) ] 2 On

retrouve la FT du filtre recherché en posant p = 2 (1- z-1) / To(1+ z-1) , dans la fonction deTransfert du filtre .

Fig.6. Filtre à décimation

7- Les Filtres à décimation

* Structure canonique

* sortie du filtre

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Fig.7. Filtre élévateur de fréquence

Fig.8. Filtre élévateur-décimateu.

7-2- Filtre élévateur de fréquence

7-3- Filtre élévateur-décimateur de fréquence

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EXERCICES SUR LECHAPITRE 6

•••• Exercice 1

On désire déterminer la réponse d'un filtre récursif RII du second ordre dont la fonction detransfert est donnée par :

H(z) = 1 + z-1 + z-2

1 -0.5 z-1 + 0.5 z-2

La fréquence d'échantillonnage est fo = 1000 Hz.

a) Observer les Réponses impulsionnelle et harmonique du RII2 - conclure sur sa stabilité et son type ( P.Bas , P.Haut , P.Bande ou C.Bande ) .b) Déterminer la ou les fréquences de coupure du filtre RII .c) Comparer le filtre numérique précédent avec son équivalent analogique.

•••• Exercice 2

On désire approcher la réponse fréquencielle d'un filtre analogique pass-bas defréquence de coupure fc et de gain unité à celle d'un filtre numérique non récursif RIF d'ordreNo, dans le domaine [0 , Fo/2] ; Fo étant la fréquence d'échantillonnage. on donne :

- Ordre No= 5- Fréquence d'échantillonnage Fe= 1000 Hz.- Fréquence de coupure relative Fc/Fe = 0.2

a) Observer la réponse impulsionnelle du RIF. En déduire ses coefficients.b) Vérifier ce résultat par la réponse indicielle du RIF5 .c) Comparer la réponse harmonique du RIF choisi avec celle de son équivalent

analogique

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•••• Exercice 3

a) Concevoir un filtre numérique numérique d'ordre 3 et échantillonné à fo = 1 kHz, detype pass-bas de fréquence de coupure fc = 100 Hz, ayant une atténuation < 35 dB à f = 40Hz .

b) Observer les réponses impulsionnelles et harmonique du RIIc) Comparer le RII trouvé avec son équivalent du support .

d) même question pour la conception d'un filtre de Butterworth d'ordre 3 .On rappelle que le filtre de Butterworth possède une fonction de transfert H(f)=1 / [1+ (f/fo)2n].

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CORRIGE DES EXERCICES DUCHAPITRE 6

Corrigé de l’exercice 1 :

Réponse impulsionnelle

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0-1

-0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

t e m p s

po

ns

e i

mp

uls

ion

ne

lle

Réponse fréquencielle du filtre :

10-3

10-2

10-1

100

101

10-4

10-2

100

102

gain

10-3

10-2

10-1

100

101

-3

-2

-1

0

1

pulsation

déph

asag

e

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Le filtre est du type passe-bas de fréquence de coupure Fc= wc/2π = 1/π ( car wc=2)Les poles du filtre sont :

Z1 = 0.2500 + 0.6614 iZ2 = 0.2500 - 0.6614 i

dont les modules sont égaux à 0,707. Donc le filtre est stable.

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Chapitre IV

TECHNIQUES DE TRANSMISSION DU SIGNAL

1-Constitution d'un systéme de transmission

En général, un système de transmission a pour but de transmettre et/ou recevoir del'information du type texte, image ou parole. Il est constitué d'un émetteur, un récepteur, unsupport de transmission ( figure 1).

générateur d'information

( texte,image,son)

codage modulation

ligne

décodage récepteur démodulation

d'information

Figure 1: synoptique d'un système de transmission

Dans le cas d'un système de transmission purement analogique ( emission radio,Hertzien TV ) , l'information transmise ( parole ou/et image ) est analogique sera moduléesans codage. Alors que dans les systèmes numériques ( réseau téléinformatique, TVsatellitaire), l'information est tout d'abord numérisée, traitée puis codé et modulée .

2- Techniques de transmission analogiques

Dans un système de transmission analogique, l'élément essentiel est la partiemodulation et démodulation. L'émetteur génère l'information ( image tournée par caméraanalogique par exemple ) , l'amplifie à travers une étage FI intermédiaire puis lui associe laparole et enfin la module en HF que ce soit en amplitude ou en fréquence. Nous allonsexaminer dans la suite les différentes méthodes de modulation.

3-Modulation d'amplitude

L'objectif d'une émission est de transmettre un message ou une information. Celle-ci,rarement transmise sous sa forme initiale, est "imprimée" dans un paramètre ( amplitude,fréquence ou phase ) d'un signal de haute fréquence, appelé porteuse. L'information de bassefréquence est appelée modulatrice ou référence. La porteuse transporte donc l'information et

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on dit alors qu'on module la porteuse. A la réception, on procède par une opération inverse, ensupprimant la porteuse pour restituer l'information initiale.

3-1- Principe de la modulation d'amplitude AM

L'information à transmettre est contenue dans les variations de l'amplitude de laporteuse ( fig 2 ).

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0-1

-0 . 8

-0 . 6

-0 . 4

-0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

sig

na

l m

od

ulé

en

AM

Fig 2 : Représntation temporelle d'un signal modulé en AM

Dans ce cas l'amplitude de la porteuse e(t) est modulée par l'information f(t) autour desa valeur moyenne Eo .

Sachant que e(t) = Eo cos ωo t : porteusef(t) = Fo cos Ω t : information

alors le signal modulé est donné par :

S(t) = [ Eo + f(t) ] . cos ( ωo.t )

Soit encore S(t) = Eo ( 1 + m cos Ω Ω Ω Ω t ) . cos ωωωωot

avec m : le taux ou indice de modulation = Fo/ Eo

a) Discussion suivant m :

• si m > 1 : alors cela conduit à une surmodulation , et par conséquent à une distorsiondu message f(t) lors de sa restitution .

• si m < 1 : bonne modulation ( cas à utiliser ).

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3-2- Analyse spectrale :

L'expression du signal modulé S(t) en AM, peut se mettre sous la forme :

S(t) = Eo cos ωωωωot + 0.5 m Eo cos (ωωωωo + ΩΩΩΩo)t + 0.5 m Eo cos (ωωωωo - ΩΩΩΩ)t

Ce qui donne un spectre d'amplitude de la forme de la figure 3. Ce spectre en fréquencede S(t) est représenté par la porteuse et deux bandes latérales centrées autour de ωο D'autrepart, le message à transmettre est contenu dans les 02 bandes latérales uniquement .

Fo-fm Fo Fo+fm

Eo

mEo/2 mEo/2

f

S(f)

Fig 3: Spectre d'amplitude d'un signal modulé en AM

Ainsi, la modulation AM possède l'avantage d'être facilement réalisable et restituable.Cependant, elle demande une quantité importante d'energie lors de la propagasion de laporteuse , alors que celle-ci ne contient pas l'information

Ainsi, la transmission du signal avec ces 3 raies conduit à un gaspillage de la puissanceémise. En pratique, on ne transmet que les deux bandes latérales ( DSB ) et même à bandelatérale unique ( SSB ). En téléphonie par exemple, on transmet par bande latérale unique(BLU) alors qu'en radio ou en TV on émet la porteuse et l'une de ses bandes latérales.

3-3 Modulation à Bande Latérale Unique BLU ( ou SSB )

Pour gagner au niveau de la puissance d'emission, il est suffisant de conserver l'une desbandes latérales puisque celles-ci reflètent le contenu informatif du message f(t) .

Cependant, la difficulté réside du côté de l'extraction de la bande considérée et sarestitution . Pratiquement, on module tout d'abord sans porteuse puis on selectionne la bandelatérale par des filtres ou de fenetres fréquentielles .

3-4- Demodulation AM

Elle consiste à restituer à partir du signal s(t) modulé, l'information à recevoir f(t) . Unefois reçu par l'antenne, le signal s(t) est amplifié puis redressé par diode HF ( AA 119 ), lesignal HF sera ensuite éliminé par un filtre détecteur de crête.

S(t) S2(t) R C

D

Fig 4 : principe du détecteur de crête

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Le signal S2 (t) peut se mettre de la façon suivante :

S2 (t) = A . Fo cos (Ω Ω Ω Ω t + ϕ ϕ ϕ ϕ )

soit encore : S2(t) = ααααEo2 + β β β β Eo2 sin Ω Ω Ω Ω t + γ γ γ γ Eo2 sin 2Ω Ω Ω Ω t comp.continue comp.alternative BF

α, β et γ sont des constantes.- Pour qu'il n'y a pas de distorsion de la tension détectée il faut que le taux de modulation :

m < ____1_____ √ 1 + τ 2 Ω

4- Modulation de fréquence

4-1- Principe de la modulation FM :

Elle consiste à imprimer le signal information BF dans la variation de la fréquence dela porteuse HF. Contrairement à la modulation AM, l'amplitude est constante ainsi que lapuissance, par contre la largeur du canal doit être élargie.

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0- 1

- 0 . 8

- 0 . 6

- 0 . 4

- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

sig

na

l m

od

ulé

en

FM

Figure 5: signal modulé en FM

Soient m(t) = Uo cos Ω t : information p(t) = Vo cos wo t : porteuse

Le signal modulé est donné par :

S(t) = Vo. cos [ wo t + 2 k π m(t) ] = Vo. cos [ wo t + 2 k πUo cos Ω t ]

* posons ∆w = 2 k π Uo et α = ∆w/Ω : indice de modulation

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⇒ S(t) = Vo . cos ( wo t + ∆w cos Ω t ) = Vo cos [ w(t) ]

Comme w(t) = d θ (t) / dt ⇒ θ (t) = wo t + (∆w/Ω) sin Ω t

⇒ S(t) = Vo . cos ( wo t + α sin Ω t )

⇔ S(t) = Vo . [cos wo t . cos ( α α α α sin ΩΩΩΩ t ) - sin wo t . sin ( αααα sin ΩΩΩΩ t ) ]

a) cas d'une faible modulation NBFM ( Narrow Band FM )

* α α α α <<1 : le spectre est à bande étroite, alors l'expression de S(t) peut être simplifiée :

S(t) = Vo . [cos wo t - a sin wo t sin Ω t ]

= Vo.cos wo t + 0.5 α Vo cos (wo+Ω) t - 0.5 α Vo cos (wo-Ω) t .

Ce signal peut être représenté dans le domaine spectral par la figure 6.

S(w) Vo

αVo/2

Figure 6 : spe

b) cas d'une modulation à large ba

* α α α α > 0,3 : le spectre est calcu

sin ( α sin Ω t ) = 2 Σ et cos ( α sin Ω t ) = Jo(α)

ωo ωo+Ω

ωo-Ω

ctre d'un signal faiblement modulé en NBFM

nde WBFM ( Wide Band FM )

lé par les coefficients de Bessel selon l'approximation :

J2n-1(α) sin (2n-1)Ω t

+ 2 Σ J2n(α) cos (2n)Ω t

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87

La figure 7 représente le spectral du signal FM qui est riche en harmoniquesωo+Ω, ωo-Ω, ωo+2Ω, ωo-2Ω, ωo+3Ω, ωo-3Ω,………….…, ωo+nΩ, ωo-nΩ.

S(f)

ωo ωo+Ω ωo+nΩ

Figure 7 : spectre d'un signal à bande WBFM

4-2- Avantages et inconvénients de la FM:

La modulation FM offre les avantages suivants : - élimination des perturbations d'amplitude - meilleur rendement des étages de puissance - meilleur rendement du rapport signal-bruit par rapport à la modulation AM.

Cependant, ses inconvénients sont :- la bande passante élevée

- les bruits importants aux hautes fréquences - la complexité de conception ( circuits non linéaires ).

4-3- Règle de CARSON ( choix de la BP en FM ) :

La bande passante BP en FM est choisie telle que :

BP = 2 Fm . ( 1 + α ) = ( 1 + α ) . Ω / π

Fm étant la fréquence de l'information BF α est l'indice de modulation en FM.

5- Modulation de phase

5-1- Principe de la modulation FM :

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88

Elle consiste à imprimer le signal information BF dans la variation de la phase de laporteuse HF. Contrairement à la modulation AM, l'amplitude est constante ainsi que lapuissance, par contre elle du type angulaire et de même catégorie que la modulation FM.

Figure 8: signal modulé en PM

Soient m(t) = Uo cos Ω t : information p(t) = Vo cos ωo t : porteuse

Le signal modulé PM est donné par :

S(t) = Vo. cos [ ωo t + kp m(t) ] = Vo. cos [ ωo t + kp Uocos Ω t ]

* posons mp = kp Uo : indice de modulation

⇒ S(t) = Vo . cos ( ωωωωo t + mp cos ΩΩΩΩ t )

a) cas d'une faible modulation NBPM ( Narrow Band PM )

* mp <<1 : le spectre est à bande étroite, alors l'expression de S(t) peut être simplifiée :

S(t) = ( Vo . cos ωo t ) - [ Vo . sin ωo t . mp cos Ω t ]

⇒ S(t) = Vo.cos ωωωωot + 0.5 mp Vo cos [(ωωωωo+ΩΩΩΩ)t +ππππ/2] - 0.5 mp Vo cos [(ωωωωo-ΩΩΩΩ)t+ππππ/2]

Ce signal peut être représenté dans le domaine spectral par la figure 9.

S(w)

ωo ωo+Ω

ωo-Ω

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Figure 9 : spectre d'un signal faiblement moduléen NBPM

b) cas d'une modulation à large bande WBPM ( Wide Band PM )

* mp élevé : le spectre est calculé par les coefficients de Bessel et conduit à un spectre richeen harmoniques. Le calcul se fait de la même façon que la modulation WBFM.

S(w)

Figure 10 : s

5-2- choix de l'indice de modulatio

On choisit mp telque : mp

Uo : étant l'amplitude de l'informatio

6-Modulation numérique PCM

6-1- Principe

La modulation par impulsiotechniques de modulation numérique Cette opération comprend trois étages

+ L’échantillonnage+ La quantification+ Le codage.

Le synoptique d’une chaîne de numér

ωo ωo+Ω ωo+nΩ

pectre d'un signal à bande WBPM

n PM :

= kp Uo ≤ π

n BF

ns codées (ou Pulse code modulation) est une desqui utilise les propriétés de la numérisation des signaux. élémentaires, à savoir :

isation complète est donnée par la figure 11.

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Echantillonnage

( CAN)quantification e(t) e*(t) e(k) codage

N bits

Figure 11

6-2 - Réalisation pratique de la modulation PCM

a) Modulateur PAM :

La première étage de la figure 12 se réalise par un modulateur PAM (modulateur del’amplitude des impulsions) qui n’est qu’un échantillonneur non instantanée (FET commandeayant un temps d’ouverture τ ).

K

C s e(t)

H

τ

To

Figure 12

La fréquence de l’horloge FH (dite fréquence d’échantillonnage) doit obéir au théorèmede Shanoon ( FH > 2 Fs ) .

où FS : fréquence du signal d’entrée. FH : fréquence d’échantillonnage.

b- Analyse spectrale d’un signal modulé en PAM

Figure 13

S (t) = sin ( f s ) + sinc ( . cos 2 pa m ss s

AT

c AT

nf f nf f tsn

H S H Sτ π τ τ π τ π + +

=

∞∑

1( ) . ( )

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Le spectre d’amplitude est donné par :

C = sinc . n ss

AT

nf fH Sτ π τ( )+

c) Principe du Multiplexage :

Le spectre des harmoniques est translaté en fréquence ce qui permet un multiplexagetemporel élevé si la durée des impulsions τ est d’autant plus petite - Cette propriété est trèsutilisée dans les transmissions numériques et analogiques.

Figure 14 : principe du multiplexage temporel des canaux

d) Modulateur PCM :

Les étages 2 et 3 (quantificateur et codage) de la figure 15 constituent le modulateurPCM (pulse code Modulator). Celui-ci est constitué d’un CAN (convertisseur analogiquenumérique) à N bits suivi d’un codeur linéaire binaire.

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Annexe

PRESENTATION DEMATLAB

1) PRESENTATION DU LOGICIEL MATLAB

Le logiciel MATLAB ( MATrix LABoratory ) est outil de simulation mathématiquepuissant, utilisé en Automatique et en Traitement du signal pour le traitement des donnés,l'analyse spectral, l'identification et la commande des systèmes linéaires continus et discrets.Il utilise les mêmes outils mathématiques développés dans le cours ainsi que des logicielsnumérique pour le calcul, le traitement et la résolution des équations régissant le système(Algorithme de Newton, Runge-Katta, RLS, MCO,...).

Le logiciel comporte plusieurs thèmes d'étude appelées TOOLBOX dont les plusutilisés sont les suivants : - Traitement de signal - télécommunications

- Identification - Commande. - Optimisation etc…

La souplesse du logiciel réside par le fait qu'il s'adapte aux différentes représentationspossibles des systèmes (rep. par Equation d'Etat, par Fonction de Transfert., par Equationdifférentielle...) et aux différentes méthodes d'identification. Les résultats (valeurs et courbes)peuvent être stockés sur un fichier extérieur dont l'extension doit être du type (nom fichier.mat).

2) INITIATION AUX COMMANDES ESSENTIELLES DE MATLAB

1- Représentation par la fonction de transfert (F.T.)

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Soit la F.T. d'un Système linéaire:

H(p) = bo+b p+...+b .p ao+a p+...+a p

1 qq

nn

1 =

N(p)D(p)

La représentation polynomiale du numérateur et du dénominateur est donnée par les vecteurs :

NUM = [ bq bq-1 ... b1 bo ]

DEN = [ an an-1... a1 ao ]

a) Calcul des pôles de H(p) :

Cela revient à calculer les racines de D(p). La commande est la suivante :

roots (DEN)

b) Passage de la F.T. à la représentation ZERO-POLE

Si on veut connaître le gain statique K, les zéros Zi et les pôles Pi de la F.T. H(p), onpeut exécuter la commande suivante :

[ Z, p, K] = tf2ZP (NUM, DEN)

2- Représentation temporelle

a) Réponse impulsionnelle h(t) = TL-1 [ H(p) ]

La commande est la suivante :

IMPPULSE ( NUM, DEN , t )

où NUM ET DEN représentent les vecteurs relatifs ou numérateur et au dénominateur de laF.T. t : étant la variable temporelle et dont la plage de variation doit être spécifié précédemment.Soit par exemple ; t = 0 : pas : tmax

b) Réponse indicielle

C'est la réponse à un échelon unitaire la commande est la suivante :

Y = STEP (NUM, DEN,t)

c) Réponse à une entrée arbitraire

Si l'entrée U du système linéaire continu est quelconque, celle-ci doit être définiecomme fonction ou comme suite de valeurs. La commande est la suivante :

Y = LSIM (NUM, DEN, U, t)

3°) Représentation fréquentielle

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a) Diagramme de Nyquist

[ Re , Im] = NYQUIST (NUM, DEN, w)

w : étant la pulsation et dont la plage de variation doit être spécifié à l'avance.

par exemple : w=logspace(-2,1,1000)

⇒ 1000 valeurs de W variant entre 10-2 et 10+1

b) Diagrammes de BODE

[Mag, Phas] = BODE (NUM, DEN, w)

En décibels on peut écrire : Mag db = 20* Log 10 (Mag) .

La représentation dans le plan de Black peut être déduite par la commande suivante :

SEMILOGx (phas, mag)

3- IDENTIFICATION ET SIMULATION

3-1. Simulation d’un système linéarie :

On considère le système suivant A(q).y(t) = B(a) u(t-d)+C(q) e(t)

avec u : entrée ; d : retarde : bruit ; y : sortie

La commande sera : TH = mktheta (A,B,C) ;

Y = Idsim ([u e],TH) ;

3-2. Estimation des paramètres du modèle

A l’aide des séries de mesures entrées/sorties effectuées sur le système à identifier ondésire déterminer les paramètres du modèle selon :

Z = [y,u] ;n = [nA, nB , nC d] ;TH = ARMAX (Z,n) ; % modèle du type ARMAXTH = IVA (Z,n) ; % erreur de modélisation(Z0, P0,K0) = ZP (Th) ; % pôles et zéros du modèle[A,B,C] = polyform (th) ; % forme polynomiale du modèle

3-3. recherche du modèle continu

On considère un modèle TH déjà recherché selon une méthode numérique. Lesnumérateur et dénominateur sont donnés par :

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[Num,Den] = CONT(TH) ;

3-4. Simulation à une entrée arbitraire

* en continu : y = LSIM (A,B,C,D,u,t)

ou y = LSIM (Num,Den,u,t)

* en discret : y = DLSIM (Num,Den,u)

3-5. Opérations matricielles

* Diagonalisation B = diag (A)* Triangularisation C = Triu (A)

4- ANALYSE SPECTRALE

4-1. FFT d’un vecteur :

Les échantillons ( points ) sont au nombre = 2No

où No = nombre de bits du CAN.Les commandes sont :

Y = FFT (X,No) ; % ou encore FFT(X)PXX = X.* conj(X)/No ; % densité spectrale de xPXY = Y.* conj(X)/No ; % densité interspectraleTYX = PXY/PXX ; % fonction de transfertFXX = IFFT(PXX) ; % fonction d’autocorrelation = FFT-1 (PXX)CX = Cov(X) ; % matrice de covariance de XRX = CORR(X) ; % matrice de correlation de X

4-2. Génération d’un bruit

RAND (‘ normal’) ; % loi normaleRAND(‘ uniform’) ; % loi uniformee1 = rand (100,1) ;e2 = rand (100,1) ; % vecteurs bruit à 100 points avec amplitude = 1plot (e1,e2) ; % représentation graphique des bruits

4-3. Statistiques :

On considère toujours un vecteur X

MEDIAN (X) ; % valeur moyenneSTD (X) ; % écart typeMAX (X) ; % valeur maximale de XMIN (X) ; % valeur minimale de X

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4-4. Fenêtres de troncature

HAMMING (M) ; % M est la largeur de fenêtreHANNING (M) ;BOXCAR (M) ; % fenêtre rectangulaireBARTELETT (M) ; % fenêtre triangulaireBLACKMAN (M) ; % fenêtre exponentielle

4-5. Analyse à partir d’un modèle de représentation

Soit un modèle déterminé par un alogarithme d’identification et les mesures E/SZ = [Y U] ;n = [nA nB nc d] ;TH = ARMAX (Z,n) ; % modèle identifié[G,Fi] = SPA (Z,M,w,No,To) ; % To est la période d’échantillonou encore = TRF (TH) ;

5- PROCEDURES GRAPHIQUES ET GESTION DE FICHIERS

5-1. représentation d’une fonction : y = sin(t)

t = 0 : 0.1 : 20 ;y = sin (t) ;plot (t,y) ; pause ; % dessin et maintien su écrantitle (‘ Fonction sinus’) ; % titrexlabel (‘ temps ‘) ; % axe des abscissesylabel (‘ y en sec’) ;PRINT % impression de l’écran

5-2. sauvegarde des fichiers

SAVE Adnen Y1 , Y2

% sauvegarde des vecteurs y1, y2 dans le fichier Adnen

LOAD Adnen Y1 % restitution du vecteur y1

6- FILTRAGE NUMERIQUE

On désire filtrer une suite d’entrée X par un filtre dont la FT est donnée par :

H(z) = B(z)A(z)

La commande est : Y = FILTER (B,A,X)

6-1. Conception des filtres RIF numériques

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a. Méthode directe par gabarit :

[B,A] = YULEWALK (n,freq,Mag) ; % H = B(z)A(z)

f : étant la fréquence normalisée = fx/fo/2 = 2fx/foM : Gabarit du filtre désiré sous forme vecteurn : ordre du filtre.

Il s’agit de concevoir un filtre RII d’ordre N dont le gabarit de la reponse frequentielle estdonnée par Freq et Mag. Les coefficients du filtre sont donnés par B and A.

Ou encore : B = FIR2(N,Freq,Mag) concoit un RIF d’ordre N .

Exemple :

M = [ 0 0 1 1 0 0 ] ;f = [ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1] ; pi=3.14 ;[B,A] = yulewalk (4, f, M) ;[H,W] = freqz (B, A, 128) ;plot (f, M, w/pi, abs (H)] ) ;

b. Méthode à fenêtres

B = FIR1 (n , wo, Hanning) ; % wo : fréquence de coupure n : ordre du filtre

avec B = b(0) + b(1) z-1 +... b(n) z-n

c. au sens de Butterworth

[B,A] = BUTTER (n, wp) % n : ordre du filtre % wp : sa bande passante

Y = FILTER (B, A,[1 zéros(1,50)] ) % rép. impulsinuelle du filtreplot (Y) ; pause ;

Exemple :

[B,A] = BUTTER(N,wn,'high') desige un filtre passe haut.[B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') : concoit un filtre passe Bande de bande passante : Wn = [W1 W2].

Wn est en valeur relative ( entre 0 et 1 ) par rapport à frequence de Nyquist ( Fech/2)

d.- au sens de Tchebycheff

[N, Wn] = CHEB2ORD(Wp, Ws, Rp, Rs) : concoit un filtre RII d’ordre N ayant : Rp : attenuation max en bande passante Rs atténuation à la pulsation Ws.% Lowpass: Wp = .1, Ws = .2

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% Highpass: Wp = .2, Ws = .1% Bandpass: Wp = [.1 .8], Ws = [.2 .7]% Bandstop: Wp = [.2 .7], Ws = [.1 .8]

e- elliptique

[B,A] = ELLIP(N,Rp,Rs,Wn,'high') désigne un filtre elliptique passe haut d’ordre N. [B,A] = ELLIP(N,Rp,Rs,Wn,'stop') : passe bande avec : Wn = [W1 W2].

6-3 - réponse fréquentielle

[h,w] = freqs(b,a)ou H = FREQS(B,A,W) réponse fréquentielle H du filtre analogique de numérateur etdénominateur B et A:

[H,F] = FREQZ(B,A,N,Fech)réponse fréquentielle H du filtre numérique de numérateur et dénominateur B et A

7- Représentation temps-fréquence

B = SPECGRAM(A,NFFT,Fs,WINDOW)Ou B=SPECGRAM(A).

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BIBLIOGRAPHIE

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EYROLLES

2Symboles, signaux et bruits

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3Traitement numérique du signal

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4 Méthodes et techniques de traitement du signal J.M Lacoume MASSON

5 Codage et Traitement du signal Wade J.G MASSON

6Traitement du signal

Patric DUVAT DUNOD

7Traitement numérique des signaux

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8Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés

Yves SEVELY DUNOD

9Eléments de théorie du signal

B PICINBONO DUNOD

10Codage et traitement du signal

WADE J.G MASSON 11 Traitement du signal COULON F PPR 12 Automatique des Systèmes linéaires Ph. Larminat FLAMARION