Théorie des graphes - Master 2 Informatique - UFR S.A · 2020. 4. 16. · Théorie des graphes...

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Theacuteorie des graphesMaster 2 Informatique - UFR SAT

Prof Ousmane THIARE

othiareugbedusn[wwwousmanethiarecom]

16 avril 2020

Introduction etDeacutefinitions

Parcours enlargeur etParcours enprofondeur

Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens

Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs

Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions

Historique1726 Leonhard Euler expose une solution formelle auproblegraveme des 7 ponts de Koumlnigsberg (Kaliningrad)

laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville une et une seule fois raquo

Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 2168






Domaines drsquoapplicationsChimie

Modeacutelisations des moleacuteculesMeacutecanique

TreillisBiologie

Reacuteseau de neuronesSeacutequencement du geacutenome

Sciences sociales Modeacutelisations des relations

Et bien sucircr dans divers domaines de lrsquoinformatique







AvertissementIl faut se meacutefier de lrsquoapparente simpliciteacute de certainsreacutesultatsDans la pratique la taille des graphes ne permet pas derepreacutesentation graphique

ATTENTION Veiller agrave toujours appliquer les algorithmes preacutesenteacutesmecircme si le reacutesultat peut ecirctre trouveacute laquo artisanalement raquo







Deacutefinition grapheUn graphe orienteacute G crsquoest un couple (SA) avec

S un ensemble fini ensemble des sommetsA une relation binaire sur S ensemble des arcs

Un graphe NON orienteacute G crsquoest un couple (SA) S un ensemble fini ensemble des sommetsA paires non ordonneacutees ensemble des arecirctes







Degreacute drsquoun sommetDans un graphe non orienteacute

On appelle degreacute drsquoun sommet le nombre drsquoarecirctes qui luisont incidentes

Dans un graphe orienteacute On appelle degreacute sortant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui partent de ce sommetOn appelle degreacute entrant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui arrivent agrave ce sommetOn appelle degreacute drsquoun sommet la somme des degreacutesentrant et sortant du sommet







CheminUn chemin drsquoun sommet u au sommet uprime est uneseacutequence de sommets (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) tel que u = v0uprime = vk et foralli (viminus1 vi) isin AOn dit que ce chemin a une longueur kCe chemin est eacuteleacutementaire ssi foralli j vi 6= vj

Un sommet u accessible depuis un sommet v ssi ilexiste un chemin du sommet u au sommet v







Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute

Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit

Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle







ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est

Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A

On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj







ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est

Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A

On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)







K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi

il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets

Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe

Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)







Exemple

3 2

1

4

1

4

3

Ce graphe orienteacute est

ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet

ATTENTION Dansun graphe orienteacute

Complet nrsquoimplique pasFortement connexe

Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1







Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers

Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)

Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique







Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)

Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2

Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2







Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A

5

1

2 3

45

1

2

2

3

3

4

5

5

1

1

2

3

3

3

2 5

4

4








3

1

2 3

45

1

2

2

3

3

3

4

4

5

5

5







Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute

foralli j isin S aij =

1 si (i j) isin A0 sinon

5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0







Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte

Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =

1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon







Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence







Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression

FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente






Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur

BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie







ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition

L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins







Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A

Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)







Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)

Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)







Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A

Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)







Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)







Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]

Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente







Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute

Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente







Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente







Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]

Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible







Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute

Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible







Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible







Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE

s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]

SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)

FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir

FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168






Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial

seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A

A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0

d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini

File F A

A A A A

A A A A

A








seul le sommet A est rouge

La file est reacuteduite au site A

A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A

On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir

B

B C D

E F G H

d (A)=0

d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1

d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini

E







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E

Le site A devient noir

B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir

B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B

On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir

d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0

d (G)=infini d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1

d (B)=1 d (D)=infini

C E

d (C)=2







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C

Le site B devient noir

d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir

d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E

On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir

d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1

d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2

F C







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F


d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir

d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C

On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir

F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G

Le site C devient noir

F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir

F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F

F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir

G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc

Le site F devient noir

G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir

G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G

G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir

File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc

Le site G devient noir

File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir

File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme

On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V

File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur

v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V

File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V

File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3







Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin

sommet A

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

Sommets

inaccessibles

depuis le







Initialisation BFSVARIABLE

date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)

POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc

FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE

SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )

FIN SIFIN POUR







Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)

couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]

SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)

FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)







Exemple de lrsquoalgorithme DFS

La fonction DFS_run() appelle DFS(A)

Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)

Boucle

A B C D

E F G H

date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus

date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus

Date=1 DFS(A) BE

Pile








La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge

La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)

Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile








La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)

Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile








On empile la fonction DFS(B)

B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2

E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE








On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2

E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE








On empile la fonction DFS(C)

C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3

GF

A B C D

E F G H


date minusminusdate 1minus

DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3

date 2minus date 3minus

DFS(C)

E








On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3

GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E








On empile la fonction DFS(G)

G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4

F

A B C D

E F G H

date minusminus date minusminus date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F








On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4

F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F








On empile la fonction DFS(F)

F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5

date 5minus

A B C D

E F G H

date minusminus date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)








On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5

date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)








Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)

F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6

Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56








Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6

Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56








Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)

F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7

Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47








Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7

Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47








Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)

Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8

date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8








Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)

G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8

date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8








Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8

date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8








Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)

On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9

F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)








Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)

E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9

F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)








Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9

F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)








Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)

Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10

Boucle

date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)

DFS(B)

E

Date=10

date 1minus date 2minus date 38 date minusminus

A B D

H

Pile








Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)

E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10

Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile








Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10

Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile








Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)

B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11

date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11








Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11

date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11








Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)

Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12

Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211








Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)

A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12

Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211








Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12

Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211








Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee

La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc

Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211








Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc

Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211








On empile la fonction DFS(D)


date 112

date 910 date 56 date 47 date minusminusE

date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)

date 211 date 13minus








On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13

date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)









Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)

On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14

DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211 date 13minus

Date=14

G

date 14DFS(D)








Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)

H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14

DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)








Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14

DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)









Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15

Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415








Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)

H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15

Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415








Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15

Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415








Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)


Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316








Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent

Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur

Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316








Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes

On obtient en forecirct en profondeur

Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316








Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur

Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316







Comparaison BFS et DFS

profondeur

A B C D

EF G

H

AB C

D

E FG H

BFS

Arborecence

en largeur

DFS

Foret en







Theacuteoregraveme des parenthegraveses

Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie

[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty

[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret









[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret

[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret









[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret








E

A

B

C

G

F

H

D

(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16







Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v

On vient de deacutecouvrir B

A B C D

E F G H








Donc F descendant de B

A B C D

E F G H


(B C G F) chemin BLANC







Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute

arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres

H

L L

L

LLLA

A

C

C

C

R

A B C D

E F G







Theacuteoregraveme des arcs en retour

TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour

Preuve

(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)

Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle









Preuve









Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve

(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)

Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour









Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v

v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
















Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur

Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)







Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur








Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient

date 1415

A B C D

E F G HHH

date 112 date 211 date 38 date 1316

date 910date 56 date 47

On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me

DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168






Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute

des arcs

A B C D

E F G H

A B C D

E F G H

Graphe G

Graphe Gt

Transposition

Inversion







Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G

Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr

a23 = 0a32 = 1

0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0







Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge

Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(D)

Pile







Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()

Date=2

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12







Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge

date 12

A B C D

E F G H



Pile BoucleDate=3

DFS(H) D







Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run

date 34

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

Date=4







Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

Date=5DFS(A)







Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()

Date=6

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

DFS(A)

date 56







Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge

AF

A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

Date=7DFS(B)







Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge

A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)Date=8

date 8minusDFS(F) CEG







Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir

date 910

A B C D

E F G H


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

Date=10

EG







Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir

date 1112

A B C D

E F G H

date minusminus

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

Date=12

G







Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

date 1112

Date=14

date 1314







Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15

date 815

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 910

date 1112 date 1314

Date=15








Date=16

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus date 910

date 1112 date 1314date 815







Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences

H

A B C D

E F G







Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart

H

A B C D

E F G







Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant







Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique

1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)

TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s

FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)

DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre

deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168






Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant

ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique

F

A B C

D E







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A

A

A B C

D E F







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D

D

B C

D E F

A







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F

F

B C

E F

A D







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C

C

B C

E

A D F







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B

B

E

A D F C B







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E

E

E

A D F C B







Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant

F

A D F C B

A B C

D E







Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence

A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

F

A B C

D E







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1

A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

A








B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0

A D








B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0

A D F







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2

B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0

CA D F







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0

BA D F C







Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(

EE 0

)

EA D F C B







Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence

F

date 912 date 36 date 27


A

B

C

D E







Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe

5



A

B

C

D E F

A D F C B E

12

11 8 7

6






Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens

1726

D

A

B

C

laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168






Lemme des poigneacutees de mains

Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair

Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee








Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair

Somme des degreacutes=Simpsumi=1

degImpi +

Stotalsumi=Simp+1

degPairei

=Simpsumi=1

(2ki + 1) +Stotalsum

i=Simp+1

(2ki)

=2Stotalsumi=1

(ki) + Simp

Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair







Lacet de Jordan

Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un

Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj







Graphe euleacuterien

On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe







Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation

Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire







Graphe euleacuterienDeacutemonstration

EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour

Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1

CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires








Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee

A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair

Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1








LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan

PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan








Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes

Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A

seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien








Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes

Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes

0

U

U U

U

U U

L L

L

L

L L

0

1

2

2

1

3

3

4 4

5

5








Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien








LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v

PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w

si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes








Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v








2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes


seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien










4

U

U V

U

UU

L

LL

L

LL

0

1

2 3

4

5

1

2 3








Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien







Les 7 ponts La solution

D

A

B

C

Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3







Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que

Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien

Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart







Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe

V

Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas

un pont

Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas

un pont

U

V

U

V

U







Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE

Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS

effacer uFIN SIu larr v

FIN TANT-QUE







Algorithme de Fleury Liveness amp Safety

Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes

La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo







Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness

laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo

Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )

Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci

un autre sommet wi de degreacute impair

1

W

V

W

V

U

1 2

1

2

C








Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts







Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety

laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo

Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois







Graphe hamiltonien

On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)

Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire







Graphe hamiltonien

Les graphes suivants sont

HamiltonienNon

Hamiltonien

Semi

Hamiltonien







Graphe hamiltonienCaracteacuterisation

Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes







Caracteacuterisation

Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien

Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)








Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien






Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs

Theacuteoregraveme des 4 couleurs

Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants

Pas en matheacutematiques








TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur

Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde







Domaines drsquoapplications

Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les

freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences







Historique La conjecture

1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo








9

7

8

1

2

3

4

5

6

Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974







Historique Une preuve

1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau







Historique Par la force

1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs

Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables







Historique Preuve assisteacutee

1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation







Les limites

Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas

La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves







Theacuteoregraveme des enclaves

TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur







Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence

A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte

ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo







Graphes drsquoincidence

Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence


ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo







Graphes planaires

On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas

Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas

Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan

A B C

A

B

C







Identiteacute drsquoEuler

Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee

A B C D

E F G H

S=8

A=12

F=6

SminusA+F=8minus12+6=2







Preuve

Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes

Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet

A

S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2







PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes

Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte

Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces

nminus1

S =8 A =12 F =6

S =8 A =11 F =5

n n n

nminus1 nminus1







Preuve

Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2







Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2

B

S =8

A =11

F =5

S =4

A =5

F =3

S =4

A =5

F =3

n

n

n

A

A

A

B

B

Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2







Preuve (Suite)

Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn

On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1

On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2







Graphes non planaires

1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants

5

A

B

CD

E

A A A

B B B

1

1 2

2 3

3

K K33

Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)







Preuve K5

Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A

K5

S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire

K33

S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire







Preuve K33

Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A

K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire







La remarque de Morgan

Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers

ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes







Preuve de Kempe

TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5

Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc

sumsisinS

deg(s) ge 6S

Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S







Preuve de Kempe

Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets

Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets

Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5







Preuve de Kempe

Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime

En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G

Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G







Preuve de Kempe

rouge entre A et C

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

A en jaune

De proche en proche

noir jaune

jaune noir

Si D reste B=jaune

U peut devenir noir

Si D devient noir quand

A devient jaune

Il y a une chaine noir et







Preuve de Kempe

A devient rouge

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

De proche en proche

U peut devenir noir


rouge entre A et C

A en rouge

noir rouge

rouge noir

Si C reste rouge Si C devient noir quand







Preuve de Kempe

u peut devenir vert

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

Il y a une chaine noir

jaune entre A et D

Il nrsquoy a pas de chaine verte

et rouge entre E et C

E peut devenir rouge

Il y a une chaine noir entre

et rouge entre A et C


et jaune entre B et D

B peut devenir jaune







Effet de bord Rupture de chaicircne

H

A

I

FG BE

D C

Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir








H

A

I

FG BE

D C

Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D








H

A

I

FG BE

D C

Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C








H

A

I

FG BE

D C

Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge








H

A

I

FG BE

D C

Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D








chaine verte et jaune entre B et D

A A

E EB B

D D CC

U U

Lrsquoargument de Kempe repose sur

lrsquoexistence de deux chaines

minus noir et jaune entre A et D

minus verte et jaune entre B et D

Effet de bord possible quand

E devient rouge

une rupture dans la chaine AC

rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune


Introduction et Deacutefinitions

Parcours en largeur et Parcours en profondeur

Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens

Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs






Historique1726 Leonhard Euler expose une solution formelle auproblegraveme des 7 ponts de Koumlnigsberg (Kaliningrad)

laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville une et une seule fois raquo









TreillisBiologie

















































































Exemple

3 2

1

4

1

4

3































5

1

2 3

45

1

2

2

3

3

4

5

5

1

1

2

3

3

3

2 5

4

4








3

1

2 3

45

1

2

2

3

3

3

4

4

5

5

5










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0







































































































































A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A










A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E









B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E








B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E









d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2









d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2








d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2









d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C









d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C








d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C









F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G









F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G








F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G









G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








sommet A

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

Sommets

inaccessibles

depuis le












FIN SIFIN POUR




















Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile










Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile









Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile










E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE









E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE










GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E









GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E










F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F









F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F










date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)









date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)










Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56









Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56










Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47









Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47










date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8










date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8









date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8










F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)










F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)









F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)










Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile










Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile









Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile










date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11









date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211









Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211









Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)










date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)











DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)










DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)









DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)










Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415










Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415









Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316








profondeur

A B C D

EF G

H

AB C

D

E FG H

BFS

Arborecence

en largeur

DFS

Foret en





































E

A

B

C

G

F

H

D


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16









A B C D

E F G H









A B C D

E F G H











H

L L

L

LLLA

A

C

C

C

R

A B C D

E F G









Preuve











Preuve






















































date 1415

A B C D

E F G HHH











des arcs

A B C D

E F G H

A B C D

E F G H

Graphe G

Graphe Gt

Transposition

Inversion









a23 = 0a32 = 1

0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0








Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(D)

Pile








Date=2

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12








date 12

A B C D

E F G H



Pile BoucleDate=3

DFS(H) D








date 34

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

Date=4








A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

Date=5DFS(A)








Date=6

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

DFS(A)

date 56








AF

A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

Date=7DFS(B)








A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)Date=8









date 910

A B C D

E F G H


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

Date=10

EG








date 1112

A B C D

E F G H

date minusminus

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

Date=12

G








A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

date 1112

Date=14

date 1314








date 815

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 910

date 1112 date 1314

Date=15








Date=16

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34










H

A B C D

E F G








H

A B C D

E F G



























F

A B C

D E








A

A B C

D E F








D

B C

D E F

A








F

B C

E F

A D








C

B C

E

A D F








B

E

A D F C B








E

E

A D F C B








F

A D F C B

A B C

D E








A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

F

A B C

D E








A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

A








B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0

A D








B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0

A D F








B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0

CA D F








BA D F C








EE 0

)

EA D F C B








F



A

B

C

D E








5



A

B

C

D E F

A D F C B E

12

11 8 7

6







1726

D

A

B

C



















degImpi +

Stotalsumi=Simp+1

degPairei

=Simpsumi=1


i=Simp+1

(2ki)

=2Stotalsumi=1

(ki) + Simp








Lacet de Jordan



































































0

U

U U

U

U U

L L

L

L

L L

0

1

2

2

1

3

3

4 4

5

5














































4

U

U V

U

UU

L

LL

L

LL

0

1

2 3

4

5

1

2 3
















D

A

B

C


















V


un pont


un pont

U

V

U

V

U










FIN TANT-QUE





















1

W

V

W

V

U

1 2

1

2

C
























Graphe hamiltonien









Graphe hamiltonien


HamiltonienNon

Hamiltonien

Semi

Hamiltonien




































































9

7

8

1

2

3

4

5

6

































Les limites




































Graphes planaires




A B C

A

B

C









A B C D

E F G H

S=8

A=12

F=6








Preuve



A











nminus1

S =8 A =12 F =6

S =8 A =11 F =5

n n n

nminus1 nminus1







Preuve









B

S =8

A =11

F =5

S =4

A =5

F =3

S =4

A =5

F =3

n

n

n

A

A

A

B

B








Preuve (Suite)












5

A

B

CD

E

A A A

B B B

1

1 2

2 3

3

K K33








Preuve K5


K5


K33








Preuve K33


















Preuve de Kempe



sumsisinS

deg(s) ge 6S








Preuve de Kempe










Preuve de Kempe










Preuve de Kempe

rouge entre A et C

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

A en jaune

De proche en proche

noir jaune

jaune noir

Si D reste B=jaune

U peut devenir noir


A devient jaune








Preuve de Kempe

A devient rouge

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

De proche en proche

U peut devenir noir


rouge entre A et C

A en rouge

noir rouge

rouge noir








Preuve de Kempe

u peut devenir vert

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C


jaune entre A et D
















H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C










A A

E EB B

D D CC

U U






E devient rouge















TreillisBiologie

















































































Exemple

3 2

1

4

1

4

3































5

1

2 3

45

1

2

2

3

3

4

5

5

1

1

2

3

3

3

2 5

4

4








3

1

2 3

45

1

2

2

3

3

3

4

4

5

5

5










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0







































































































































A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A










A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E









B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E








B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E









d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2









d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2








d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2









d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C









d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C








d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C









F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G









F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G








F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G









G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








sommet A

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

Sommets

inaccessibles

depuis le












FIN SIFIN POUR




















Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile










Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile









Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile










E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE









E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE










GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E









GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E










F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F









F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F










date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)









date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)










Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56









Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56










Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47









Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47










date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8










date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8









date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8










F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)










F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)









F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)










Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile










Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile









Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile










date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11









date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211









Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211









Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)










date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)











DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)










DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)









DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)










Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415










Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415









Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316








profondeur

A B C D

EF G

H

AB C

D

E FG H

BFS

Arborecence

en largeur

DFS

Foret en





































E

A

B

C

G

F

H

D


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16









A B C D

E F G H









A B C D

E F G H











H

L L

L

LLLA

A

C

C

C

R

A B C D

E F G









Preuve











Preuve






















































date 1415

A B C D

E F G HHH











des arcs

A B C D

E F G H

A B C D

E F G H

Graphe G

Graphe Gt

Transposition

Inversion









a23 = 0a32 = 1

0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0








Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(D)

Pile








Date=2

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12








date 12

A B C D

E F G H



Pile BoucleDate=3

DFS(H) D








date 34

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

Date=4








A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

Date=5DFS(A)








Date=6

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

DFS(A)

date 56








AF

A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

Date=7DFS(B)








A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)Date=8









date 910

A B C D

E F G H


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

Date=10

EG








date 1112

A B C D

E F G H

date minusminus

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

Date=12

G








A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

date 1112

Date=14

date 1314








date 815

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 910

date 1112 date 1314

Date=15








Date=16

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34










H

A B C D

E F G








H

A B C D

E F G



























F

A B C

D E








A

A B C

D E F








D

B C

D E F

A








F

B C

E F

A D








C

B C

E

A D F








B

E

A D F C B








E

E

A D F C B








F

A D F C B

A B C

D E








A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

F

A B C

D E








A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

A








B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0

A D








B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0

A D F








B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0

CA D F








BA D F C








EE 0

)

EA D F C B








F



A

B

C

D E








5



A

B

C

D E F

A D F C B E

12

11 8 7

6







1726

D

A

B

C



















degImpi +

Stotalsumi=Simp+1

degPairei

=Simpsumi=1


i=Simp+1

(2ki)

=2Stotalsumi=1

(ki) + Simp








Lacet de Jordan



































































0

U

U U

U

U U

L L

L

L

L L

0

1

2

2

1

3

3

4 4

5

5














































4

U

U V

U

UU

L

LL

L

LL

0

1

2 3

4

5

1

2 3
















D

A

B

C


















V


un pont


un pont

U

V

U

V

U










FIN TANT-QUE





















1

W

V

W

V

U

1 2

1

2

C
























Graphe hamiltonien









Graphe hamiltonien


HamiltonienNon

Hamiltonien

Semi

Hamiltonien




































































9

7

8

1

2

3

4

5

6

































Les limites




































Graphes planaires




A B C

A

B

C









A B C D

E F G H

S=8

A=12

F=6








Preuve



A











nminus1

S =8 A =12 F =6

S =8 A =11 F =5

n n n

nminus1 nminus1







Preuve









B

S =8

A =11

F =5

S =4

A =5

F =3

S =4

A =5

F =3

n

n

n

A

A

A

B

B








Preuve (Suite)












5

A

B

CD

E

A A A

B B B

1

1 2

2 3

3

K K33








Preuve K5


K5


K33








Preuve K33


















Preuve de Kempe



sumsisinS

deg(s) ge 6S








Preuve de Kempe










Preuve de Kempe










Preuve de Kempe

rouge entre A et C

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

A en jaune

De proche en proche

noir jaune

jaune noir

Si D reste B=jaune

U peut devenir noir


A devient jaune








Preuve de Kempe

A devient rouge

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

De proche en proche

U peut devenir noir


rouge entre A et C

A en rouge

noir rouge

rouge noir








Preuve de Kempe

u peut devenir vert

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C


jaune entre A et D
















H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C










A A

E EB B

D D CC

U U






E devient rouge




















































































Exemple

3 2

1

4

1

4

3































5

1

2 3

45

1

2

2

3

3

4

5

5

1

1

2

3

3

3

2 5

4

4








3

1

2 3

45

1

2

2

3

3

3

4

4

5

5

5










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0







































































































































A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A










A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E









B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E








B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E









d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2









d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2








d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2









d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C









d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C








d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C









F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G









F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G








F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G









G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








sommet A

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

Sommets

inaccessibles

depuis le












FIN SIFIN POUR




















Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile










Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile









Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile










E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE









E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE










GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E









GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E










F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F









F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F










date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)









date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)










Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56









Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56










Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47









Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47










date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8










date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8









date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8










F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)










F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)









F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)










Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile










Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile









Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile










date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11









date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211









Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211









Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)










date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)











DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)










DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)









DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)










Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415










Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415









Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316








profondeur

A B C D

EF G

H

AB C

D

E FG H

BFS

Arborecence

en largeur

DFS

Foret en





































E

A

B

C

G

F

H

D


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16









A B C D

E F G H









A B C D

E F G H











H

L L

L

LLLA

A

C

C

C

R

A B C D

E F G









Preuve











Preuve






















































date 1415

A B C D

E F G HHH











des arcs

A B C D

E F G H

A B C D

E F G H

Graphe G

Graphe Gt

Transposition

Inversion









a23 = 0a32 = 1

0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0








Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(D)

Pile








Date=2

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12








date 12

A B C D

E F G H



Pile BoucleDate=3

DFS(H) D








date 34

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

Date=4








A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

Date=5DFS(A)








Date=6

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

DFS(A)

date 56








AF

A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

Date=7DFS(B)








A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)Date=8









date 910

A B C D

E F G H


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

Date=10

EG








date 1112

A B C D

E F G H

date minusminus

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

Date=12

G








A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

date 1112

Date=14

date 1314








date 815

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 910

date 1112 date 1314

Date=15








Date=16

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34










H

A B C D

E F G








H

A B C D

E F G



























F

A B C

D E








A

A B C

D E F








D

B C

D E F

A








F

B C

E F

A D








C

B C

E

A D F








B

E

A D F C B








E

E

A D F C B








F

A D F C B

A B C

D E








A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

F

A B C

D E








A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

A








B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0

A D








B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0

A D F








B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0

CA D F








BA D F C








EE 0

)

EA D F C B








F



A

B

C

D E








5



A

B

C

D E F

A D F C B E

12

11 8 7

6







1726

D

A

B

C



















degImpi +

Stotalsumi=Simp+1

degPairei

=Simpsumi=1


i=Simp+1

(2ki)

=2Stotalsumi=1

(ki) + Simp








Lacet de Jordan



































































0

U

U U

U

U U

L L

L

L

L L

0

1

2

2

1

3

3

4 4

5

5














































4

U

U V

U

UU

L

LL

L

LL

0

1

2 3

4

5

1

2 3
















D

A

B

C


















V


un pont


un pont

U

V

U

V

U










FIN TANT-QUE





















1

W

V

W

V

U

1 2

1

2

C
























Graphe hamiltonien









Graphe hamiltonien


HamiltonienNon

Hamiltonien

Semi

Hamiltonien




































































9

7

8

1

2

3

4

5

6

































Les limites




































Graphes planaires




A B C

A

B

C









A B C D

E F G H

S=8

A=12

F=6








Preuve



A











nminus1

S =8 A =12 F =6

S =8 A =11 F =5

n n n

nminus1 nminus1







Preuve









B

S =8

A =11

F =5

S =4

A =5

F =3

S =4

A =5

F =3

n

n

n

A

A

A

B

B








Preuve (Suite)












5

A

B

CD

E

A A A

B B B

1

1 2

2 3

3

K K33








Preuve K5


K5


K33








Preuve K33


















Preuve de Kempe



sumsisinS

deg(s) ge 6S








Preuve de Kempe










Preuve de Kempe










Preuve de Kempe

rouge entre A et C

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

A en jaune

De proche en proche

noir jaune

jaune noir

Si D reste B=jaune

U peut devenir noir


A devient jaune








Preuve de Kempe

A devient rouge

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

De proche en proche

U peut devenir noir


rouge entre A et C

A en rouge

noir rouge

rouge noir








Preuve de Kempe

u peut devenir vert

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C


jaune entre A et D
















H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C










A A

E EB B

D D CC

U U






E devient rouge
































5

1

2 3

45

1

2

2

3

3

4

5

5

1

1

2

3

3

3

2 5

4

4








3

1

2 3

45

1

2

2

3

3

3

4

4

5

5

5










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0










5

1

2 3

4

Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0







































































































































A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A










A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









A B C D

E F G H

d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0


File F A

A A A A

A A A A

A









B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E









B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E








B

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


E









d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2









d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2








d (F)=infini

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


C E

d (C)=2









d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C









d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C








d (F)=2

B C D

E F G H

d (A)=0


File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


F C









F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G









F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G








F

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

G









G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








G

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

File F

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3









File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








File F VIDE

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3








sommet A

B C D

E F G H

d (A)=0

d (H)=infini

A A A A

A A A A

AA

d (E)=1


d (F)=2 d (G)=3

Sommets

inaccessibles

depuis le












FIN SIFIN POUR




















Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile










Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile









Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(A) BE

Pile










E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE









E

A B C D

E F G H



Date=2

DFS(A)

BouclePile

DFS(B) CE










GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E









GF

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

Date=3


DFS(C)

E










F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F









F

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

Date=4

date 4minus

DFS(G) F










date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)









date 5minus

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

Date=5

DFS(F)










Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56









Date=6

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

date 4minus

DFS(G)

F

date 56










Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47









Date=7

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E


DFS(C)

E

F

date 56 date 47










date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8










date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8









date 38

A B C D

E F G H



DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

Date=8










F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)










F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)









F

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

DFS(B)

E

date 2minus

E

date 56 date 47

date 38

date 9minus

Date=9

DFS(E)










Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile










Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile









Boucle


DFS(B)

E

Date=10


A B D

H

Pile










date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11









date 910

A B C D

E F G H

date minusminus


DFS(A)

BouclePile

E

date 2minus

date 56 date 47

date 38

Date=11










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211









Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211









Date=12

A B C D

E F G H

date minusminus

date minusminus

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211










date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)










date 112


date 38

A B D

H

Pile BoucleDate=13

DFS(D)











DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)










DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)









DFS(H)

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


Date=14

G

date 14DFS(D)










Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415










Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415









Date=15

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910


DFS(D)date 1415










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316










Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316









Date=16

A B C D

E F G H

BouclePile

date 56 date 47

date 38

date 910

date 112 date 211

date 1415

date 1316








profondeur

A B C D

EF G

H

AB C

D

E FG H

BFS

Arborecence

en largeur

DFS

Foret en





































E

A

B

C

G

F

H

D


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16









A B C D

E F G H









A B C D

E F G H











H

L L

L

LLLA

A

C

C

C

R

A B C D

E F G









Preuve











Preuve






















































date 1415

A B C D

E F G HHH











des arcs

A B C D

E F G H

A B C D

E F G H

Graphe G

Graphe Gt

Transposition

Inversion









a23 = 0a32 = 1

0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0








Boucle

A B C D

E F G H



Date=1 DFS(D)

Pile








Date=2

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12








date 12

A B C D

E F G H



Pile BoucleDate=3

DFS(H) D








date 34

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

Date=4








A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

Date=5DFS(A)








Date=6

A B C D

E F G H



Pile Boucle

date 12

date 34

DFS(A)

date 56








AF

A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

Date=7DFS(B)








A B C D

E F G H

date minusminus


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)Date=8









date 910

A B C D

E F G H


Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

Date=10

EG








date 1112

A B C D

E F G H

date minusminus

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

Date=12

G








A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 8minusDFS(F)

date 910

date 1112

Date=14

date 1314








date 815

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34

date 56 date 7minus

DFS(B)

date 910

date 1112 date 1314

Date=15








Date=16

A B C D

E F G H

Pile Boucle

date 12

date 34










H

A B C D

E F G








H

A B C D

E F G



























F

A B C

D E








A

A B C

D E F








D

B C

D E F

A








F

B C

E F

A D








C

B C

E

A D F








B

E

A D F C B








E

E

A D F C B








F

A D F C B

A B C

D E








A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

F

A B C

D E








A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0

A








B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0

A D








B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0

A D F








B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0

CA D F








BA D F C








EE 0

)

EA D F C B








F



A

B

C

D E








5



A

B

C

D E F

A D F C B E

12

11 8 7

6







1726

D

A

B

C



















degImpi +

Stotalsumi=Simp+1

degPairei

=Simpsumi=1


i=Simp+1

(2ki)

=2Stotalsumi=1

(ki) + Simp








Lacet de Jordan



































































0

U

U U

U

U U

L L

L

L

L L

0

1

2

2

1

3

3

4 4

5

5














































4

U

U V

U

UU

L

LL

L

LL

0

1

2 3

4

5

1

2 3
















D

A

B

C


















V


un pont


un pont

U

V

U

V

U










FIN TANT-QUE





















1

W

V

W

V

U

1 2

1

2

C
























Graphe hamiltonien









Graphe hamiltonien


HamiltonienNon

Hamiltonien

Semi

Hamiltonien




































































9

7

8

1

2

3

4

5

6

































Les limites




































Graphes planaires




A B C

A

B

C









A B C D

E F G H

S=8

A=12

F=6








Preuve



A











nminus1

S =8 A =12 F =6

S =8 A =11 F =5

n n n

nminus1 nminus1







Preuve









B

S =8

A =11

F =5

S =4

A =5

F =3

S =4

A =5

F =3

n

n

n

A

A

A

B

B








Preuve (Suite)












5

A

B

CD

E

A A A

B B B

1

1 2

2 3

3

K K33








Preuve K5


K5


K33








Preuve K33


















Preuve de Kempe



sumsisinS

deg(s) ge 6S








Preuve de Kempe










Preuve de Kempe










Preuve de Kempe

rouge entre A et C

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

A en jaune

De proche en proche

noir jaune

jaune noir

Si D reste B=jaune

U peut devenir noir


A devient jaune








Preuve de Kempe

A devient rouge

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C

On va colorier

De proche en proche

U peut devenir noir


rouge entre A et C

A en rouge

noir rouge

rouge noir








Preuve de Kempe

u peut devenir vert

A

BE

D C D

A

E B

U

C

E B

U

A

D C


jaune entre A et D
















H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C









H

A

I

FG BE

D C










A A

E EB B

D D CC

U U






E devient rouge








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