Théorie des graphes

Un peu de vocabulaire

Théorie des graphes

L’objectif est de décrire des objets (d’où un vocabulaire spécifique) dont

nous aurons besoin pour résoudre différents problèmes.

Un graphe est défini :

• par un ensemble S de points (appelés « sommets »), le plus souvent symbolisés par des numéros 1 , 2 , 3, etc…. , ou par des lettres a, b, c…

• par des liens reliant certains sommets entre eux ; ces liens qui créent donc des couples de sommets, se nommeront (et se représenteront sur le dessin) par des « arcs » ou des « arêtes » selon que le graphe est « orienté » ou « non orienté ».

a

d

b

e

c

Un graphe non orienté

Un graphe orienté

a

dbe

c

une arête

un sommet

un arcouarc orienté

Définition : ordre d’un graphe

• ordre d’un graphe :nombre de sommets du graphe

a

d

b

e

c

Graphe d’ordre 5

a

d

b

c

Graphe d’ordre 4

Remarque : un sommet peut ne pas être en relationavec les autres sommets du graphe.

Définitions : arc et arête• Arc : couple (x;y) formé par deux

sommets « en relation » dans un graphe orienté. Se symbolise par une flèche.

• Arête : nom d'un arc, dans un graphe non orienté. Se symbolise par un trait.

a

d

b

e

c

Un graphe non orienté

L’arête (c;d)

le sommet e

Un graphe orienté

a

dbe

c

L’ arc(c;d)

Définitions : boucle

• Boucle : arc reliant un sommet à lui-même, ie dont ses extrémités sont confondues.

a

d

b

e

c

Une boucle (a;a)

Définitions : chaîne

• Une chaîne dans un graphe G, est une suite d’arêtes qui se suivent et relient certains sommets du graphe. Si le premier sommet est a et le dernier b, on dira que la chaîne relie a et b.

En plus, on dira que la chaîne a pour longueur k lorsque le nombre d'arêtes de la chaîne est k. Une chaîne doit comporter au moins une arête.

a

d

b

e

c

•Par exemple, a-b-c-d-b-eest une chaîne qui relie a à e;elle a pour longueur 5.

Définition : cycle

• Un cycle dans un graphe G, est une chaîne qui a le même point de départ et d’arrivée.C’est-à-dire une suite d’arêtes qui se suivent et qui « se referment ».

En plus, on dira que la cycle a pour longueur k lorsque le nombre d'arêtes du cycle est k.

a

d

b

e

c

•Par exemple, a-b-e-aest un cycle qui part de a;il est de longueur 3

Définition (rappel) : ordre d’un graphe

• ordre d’un graphe :nombre de sommets du graphe

a

d

b

e

c

Graphe d’ordre 5

Définition : graphe complet

graphe complet :un graphe est complet si quels que soient deux sommets distincts, il existe un arc (ou une arête) les reliant dans un sens ou dans l'autre (lorsqu’on a un graphe orienté)

a

d

b

c

a

d

b

c

Graphe non complet

Graphe completd’ordre 4

Définition : graphe complet

graphe complet :un graphe est complet si quels que soient deux sommets distincts, il existe un arc (ou une arête) les reliant dans un sens ou dans l'autre (lorsqu’on a un graphe orienté)

ab

c

Graphe orientécomplet d’ordre 3

Graphe orienténon completd’ordre 3

a

b

c

Définitions : distance et diamètre

• On appelle distance entre deux sommets la longueur de la plus petite chaîne les reliant.

• On appelle diamètre d'un graphe la plus longue des distances entre deux sommets.

a

d

b

e

c

La distance entre a et e est 1La distance entre a et d est 2

Le diamètre du graphe est 2car c’est la plus grande distanceentre 2 sommets quelconques

Exemple : distance et diamètre

a

d

b

e

c

La distance entre a et e est 1La distance entre a et d est 3La distance entre c et b est 2

Le diamètre du graphe est 3car c’est la plus grande distanceentre 2 sommets quelconques

Définition : degré d’un sommet

• Degré d’un sommet :

nombre d'arête issues d'un sommet dans un graphe non orienté;

nombre d’arcs arrivant ou partant d’un sommet dans un arc orienté

a

d

b

e

c

Un graphe non orienté

Un graphe orienté

a

dbe

c

un sommetde degré 3

un sommetde degré 2

Définition : sous graphe

• sous graphe :le graphe G' est un sous graphe de G si l'ensemble des sommets de G' est inclus dans l'ensemble des sommets de G, et si l'ensemble des arcs de G' est égal au sous-ensemble des arcs de G reliant entre eux tous les sommets de G’ ; on a donc retiré de G certains sommets, et tous les arcs adjacents à ces sommets.

a

d

b

e

c

Graphe G

Graphe G’a

d

b

e

Exemple de sous graphe

• sous graphe :le graphe G' est un sous graphe de G si l'ensemble des sommets de G' est inclus dans l'ensemble des sommets de G, et si l'ensemble des arcs de G' est égal au sous-ensemble des arcs de G reliant entre eux tous les sommets de G’ ; on a donc retiré de G certains sommets, et tous les arcs adjacents à ces sommets.

a

d

b

e

c

Graphe G

Graphe G’a

d

b

e

g

fh

a

d

b

e

g

fh

Définition : sous ensemble stable

• Soit un graphe G, et F un sous-ensemble de l’ensemble des sommets S. On dit que F est un sous ensemble stable de S s’il n’existe aucun arc du graphe G reliant deux sommets de F.

a

d

b

e

c

Graphe G

a d h forme un sous ensemble stable

a

d

g

fh

a

d

h

Définition : successeur dans un graphe orienté

Dans un graphe orienté, pour un arc (x;y) donné, on dit que

y est le successeur de x

x est le prédécesseur de y

t

y

x

z

Définition : matrice associée à un graphe

Pour le traitement informatique, tout graphe possède une matrice booléenne (i.e avec des 0 et des 1 seulement)

associée : chaque ligne indique les successeurs par un 1, et l’absence de successeur par un 0.

a

d

b

c

0 1 0 0

1 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

c

b d

c est en relation avec b et dmais pas en relation avec a

a

matrice associée à un graphe non orienté

Lorsque le graphe est non orienté, la matrice associée est symétriquepar rapport à la diagonale.

Lorsqu’il n’y a pas de boucle, il n’y a que des zéros sur la diagonale.

a

d

b

c

0 1 0 0

1 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

c

b

c est en relation avec b et

b est en relation avec c

matrice associée à un graphe orienté

Lorsque le graphe est orienté, la matrice n’est pas forcément symétrique.

Lorsqu’il n’y a pas de boucle, il n’y a que des zéros sur la diagonale.

a

d

b

c

0 0 0 0

1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

b

a d

b est en relation avec a et d

mais a n’est pas en relation avec b

ba

Graphe probabiliste

Pour décrire des phénomènes aléatoires se répétant, on peut utiliser un graphe et la matrice qui lui est associée. On parle alors de graphe probabiliste (car en lien avec des calculs de probabilités).

a

2/3 1/3

3/5 2/5b

a ba

b

1/3

2/5

3/5

2/3

La proba de passer de l’état a à l’état b est 1/3