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THÈSE DE DOCTORATDE L'ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

Spécialité : Structures et Matériaux

Présentée par

M. Xavier AMANDOLÈSE

pour obtenir le titre de Docteurde l'École Nationale des Ponts et Chaussées

Titre

CONTRIBUTIONÀ L'ÉTUDE DES CHARGEMENTS FLUIDES

SUR DES OBSTACLES NON PROFILÉS FIXES OU MOBILES:

APPLICATION AUX TABLIERS DE PONT

soutenue le 18 mai 2001, devant le jury composé de :

M. Domenico OLIVARI PrésidentM. Emmanuel DE LANGRE RapporteurM. Jean-René GIBERT RapporteurM. Gérard GRILLAUD ExaminateurM. Edmond SZECHENYI ExaminateurM. Christian CREMONA Directeur de thèse

1

Remerciements

En tout premier lieu, je tiens à remercier le Professeur Domenico Olivari de l'Institut VonKarman de Rhode Saint-Genèse d'avoir accepté de présider ce jury, ainsi que les ProfesseursEmmanuel De Langre de l'Ecole Polytechnique, et Jean-René Gibert de l'Université d'Evry-Val d'Essonne, qui se sont acquittés de la tâche délicate de rapporter sur ce travail.

Toute ma gratitude s'adresse également à Messieurs Gérard Grillaud, du Centre Scientique etTechnique du Bâtiment de Nantes et Edmond Szechenyi, de l'Institut Aérotechnique de Saint-Cyr l'Ecole qui m'ont fait l'honneur de s'intéresser à ce travail et d'être membre du jury.

Je remercie tout particulièrement Christian Cremona du Laboratoire Central des Ponts etChaussées de Paris, d'avoir accepté de prendre la direction de cette thèse et de m'avoir per-mis de mener ce travail à son terme dans les meilleures conditions. Je lui suis profondémentreconnaissant de m'avoir fait proter de ses connaissances et de sa rigueur scientique et luirenouvelle toute mon amitié.

Je suis également redevable à Monsieur Frédéric Bourquin, du Laboratoire Central des Pontset Chaussées, qui m'a conseillé durant mon séjour au sein du Laboratoire des Matériaux et desStructures du Génie Civil de Champs-sur-Marne.Je remercie sincèrement Monsieur Nicolas Bouleau de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées,Messieurs Rémi Pochat et Thierry Kretz et Madame Nicole Tchang du Laboratoire Centraldes Ponts et Chaussées pour leur soutien et leurs conseils. Je souhaite faire part de ma recon-naissance à toutes les personnes qui ont contribué de près ou de loin à la réussite de cette thèse,en particulier Monsieur Bruno Godart, chef de la Division Fonctionnement et Durabilité desOuvrages d'Art, Madame Brigitte Mahut, chef de la section Durabilité des Ouvrages d'art, lepersonnel du Laboratoire des Matériaux et des Structures du Génie Civil de Champs-sur-Marne,et de la Division Fonctionnement et Durabilité des Ouvrages d'Art, qui m'ont accueilli et soutenuchaleureusement.

Qu'il me soit enn permis de remercier Catherine, ma famille et mes amis.

2 REMERCIEMENTS

3

A mon grand-père

4 REMERCIEMENTS

5

Résumé

L'étude du comportement dynamique des ponts de grande portée soumis aux eets du vent sestructure traditionnellement autour d'une analyse dynamique de l'ouvrage faisant appel à desmodèles de chargement uide qui introduisent des coecients (stationnaires et instationnaires)identiables par des essais en souerie . Bien que très largement utilisés, ces modèles d'actiondu vent et en particulier les modèles des forces aéroélastiques qui rendent compte, sous la formed'amortissement et de rigidité ajoutés, de mécanismes d'adaptation de l'écoulement au mou-vement de l'obstacle, sont mal connus. Dans ce contexte, les travaux décrits dans ce mémoireconcernent l'étude des mécanismes uides bidimensionnels mis en jeu autour d'obstacles non pro-lés xes ou en mouvement de tangage forcé sous écoulement uniforme. Une étude comparée duchamp de pression surfacique instationnaire mesuré en souerie sur maquettes et des résultatsnumériques obtenus avec un solveur uide des équations de Navier-Stokes en maillage mobile estprésentée pour deux prols rectangulaires de ratio 4 et 8 et pour le prol trapézoïdal d'un avantprojet du viaduc de Millau. La technique P.O.D (Décomposition Orthogonale Propre) est utiliséeen complément d'une analyse spectrale pour expliciter les mécanismes tourbillonnaires mis enjeu autour des prols xes et en mouvement de tangage forcé harmonique et pour discuter del'inuence de ces mécanismes sur le chargement résultant et les modèles simpliés d'interaction.Sur la base des résultats numériques et expérimentaux, l'inuence de la géométrie de l'obstacleet des caractéristiques vibratoires du mouvement (vitesse réduite, amplitude) sur la réponse del'écoulement et le chargement résultant sont également étudiés. La thèse conclut en précisantles conditions d'utilisation de simulations numériques pour l'étude de la physique des grandeséchelles de l'écoulement qui dominent le chargement uide.

6 RÉSUMÉ

7

Abstract

The dynamic response of large bridges against wind eects traditionally relies on uid load mo-dels introducing steady and unsteady coecients which have to be identied with wind tunneltests. Although widely used, these wind models, and more specically the aeroelastic ones whichaccount for the motion-dependent ow response through the so-called aerodynamic dampingand stiness, are not well-known. Within this context, this thesis is focused on the study ofbidimensional uid mechanisms induced by xed or moving blu bodies in uniform ows. Uns-teady pressure measurements through experimental section model tests is therefore comparedwith numerical results obtained from moving-grid computation of the Navier-Stokes equationsfor rectangular shapes with side-ratio 4 and 8 and Millau project section. The Proper OrthogonalDecomposition is used in addition to spectral analysis in order to explain section signatures andtorsional motion-induced mechanisms, and to understand their inuence on loads and aeroelasticreduced-order models. Based upon numerical and experimental results, eects of body shapesand dynamic characteristics (reduced wind speed, motion amplitude) on ow response and re-sulting loads are also examined. This thesis concludes by highlighting the conditions for using aCFD solver to study large scale ow behaviours.

8 ABSTRACT

TABLE DES MATIÈRES 9

Table des matières

Remerciements 1

Résumé 5

Abstract 7

Introduction 11

1 Caractérisation des écoulements et de leurs actions 15

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Caractéristiques des écoulements autour d'obstacles xes . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Décollements et instabilités uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2 Cas des corps cylindriques de section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . 191.2.3 Inuence du prolage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.4 Inuence du nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5 Eets tridimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Caractéristiques des écoulements autour d'obstacles mobiles . . . . . . . . . . . . 251.3.1 Les mécanismes d'adaptation au mouvement: le cas des ailes minces . . . 261.3.2 Cas des corps non prolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.3 Eets tridimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 Modélisation des chargements uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Modèle mécanique bidimensionnel d'un tablier sous écoulement transverse 301.4.2 Cas des obstacles xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4.3 Cas des obstacles mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Analyse et étude des écoulements: les outils 39

2.1 Position du problème uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.1 Analyse dimensionnelle et problèmes de similitude . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Expériences en souerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.1 Conditions d'essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Principe de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.3 Maquettes et position des capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.4 Validation de l'intégration des pressions locales . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.1 Le solveur uide en maillage xe: NSP1B3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.2 L'extension au solveur uide en maillage mobile (A.L.E) . . . . . . . . . . 54

2.4 Stratégie de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.1 La résolution numérique des equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 552.4.2 Problèmes numériques posés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5 Validation des paramètres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10 TABLE DES MATIÈRES

2.5.1 Domaine de calcul et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.2 Inuence du pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.3 Inuence du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6 L'analyse par Décomposition Orthogonale Propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.2 Analyse du chargement uide par P.O.D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Etude du chargement sur prols xes 61

3.1 Analyse des résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.1 Rappel des conditions d'essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.2 Cas du prol rectangulaire de ratio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3 Cas du prol rectangulaire de ratio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1.4 Cas du prol trapézoïdal de type "Millau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2 Analyse des résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.1 Indicateurs de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.2 Cas du prol rectangulaire de ratio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.3 Cas du prol rectangulaire de ratio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.2.4 Inuence de l'allongement sur le chargement instationnaire . . . . . . . . . 863.2.5 Cas du prol trapézoïdal de type "Millau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Etude du chargement sur prols mobiles 99

4.1 Analyse des résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.1 Rappel des conditions d'essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.2 Cas du prol rectangulaire de ratio 4 en mouvement de tangage forcé . . . 1014.1.3 Cas du prol rectangulaire de ratio 8 en mouvement de tangage forcé . . . 1224.1.4 Inuence de l'allongement sur le chargement aéroélastique . . . . . . . . . 1304.1.5 Cas du prol de "Millau" en mouvement de tangage forcé . . . . . . . . . 1334.1.6 Quelques remarques sur l'inuence du Reynolds sur le chargement aéroé-

lastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2 Analyse des résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2.2 Cas du prol rectangulaire de ratio 4 en mouvement de tangage forcé . . . 1454.2.3 Cas du prol rectangulaire de ratio 8 en mouvement de tangage forcé . . . 1514.2.4 Inuence de l'amplitude sur le chargement uide . . . . . . . . . . . . . . 1564.2.5 Cas du prol de "Millau" en mouvement de tangage forcé . . . . . . . . . 160

4.3 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Conclusions 169

Annexe A 175

Analyse dimensionnelle des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Analyse dimensionnelle du système d'équations aérodynamiques . . . . . . . . . . 176Analyse dimensionnelle du système d'équations aéroélastiques . . . . . . . . . . . 177

Annexe B 181

Procédure d'identication d'un modèle linéaire à deux paramètres . . . . . . . . . . . . 181Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Inuence de la taille de la fenêtre de traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

11

Introduction

Comprendre le comportement des ponts sous l'action du vent n'est pas une préoccupation ré-cente. Avec l'amélioration des méthodes de calcul et des techniques de construction, des pontssuspendus et haubanés de grande portée ont été construits. Ces structures élancées sont du faitde leurs dimensions et des matériaux utilisés plus exibles et donc plus sensibles aux sollicita-tions dynamiques. Si la capacité du vent à endommager ou même à détruire les ouvrages de géniecivil est connue depuis l'antiquité, ce n'est que depuis l'eondrement spectaculaire du pont deTacoma 1 aux Etats-Unis en 1940 que les eets dynamiques des actions du vent sur les ouvragesont été introduits.

Problématique

Une structure mécanique exible, comme un tablier de pont, immergée dans un écoulement d'airest sollicitée par les uctuations de vitesses et de pressions au sein du uide (turbulence atmo-sphérique), et par les instationnarités générées par l'obstacle lui même (tourbillons de signature,turbulence de couche limite). Lorsque la structure vibre, des mécanismes d'adaptation de l'écou-lement au mouvement des parois génèrent à leur tour une action sur l'obstacle (chargementaéroélastique).On distingue ainsi trois types de comportement vibratoire pour le dimensionnement auvent des ponts:

les vibrations induites par les échappements tourbillonnaires

La plupart des obstacles non prolés ont une signature instationnaire dans l'air. Des méca-nismes d'instabilité uide dépendant du régime d'écoulement et de la géométrie du prol,conduisent à la formation de structures tourbillonnaires de tailles importantes qui, selonleur organisation le long et en aval de l'obstacle, peuvent générer un chargement quasi-périodique. Lorsque la fréquence du chargement coincide avec une fréquence propre de vi-bration de la structure, il y a résonance mécanique et possibilité d'accrochage. En pratique,ce comportement pour lequel il y a couplage non linéaire entre le mouvement vibratoireet des mécanismes d'instabilité uide conduit à un mouvement de l'ouvrage auto-limité enamplitude.

les instabilités aéroélastiques

Il s'agit de mouvements vibratoires instables résultant d'un transfert d'énergie défavorableentre la structure et les perturbations induites dans l'écoulement par son mouvement. Onparle alors de phénomènes aéroélastiques auto-entretenus, pouvant conduire à des mouve-ments de très fortes amplitudes.

la réponse à la turbulence atmosphérique

L'écoulement qui arrive sur l'obstacle est un écoulement de couche limite atmosphérique au

1. Le Tacoma Narrows Bridge avait été dimensionné pour résister aux eets statiques du vent pour des vitessesdeux fois supérieures à celle pour laquelle le pont s'est eondré; les études menées ultérieurement ont montréqu'une instabilité aéroélastique gouvernée par les eets dynamiques d'adaptation de l'écoulement aux vibrationsde l'ouvrage était à l'origine de l'eondrement.

12 INTRODUCTION

sein duquel s'est développée par eet de sol une turbulence de grande échelle qui sollicitele système couplé "uide-structure".

A la suite de l'eondrement du pont de Tacoma, des procédures d'essais en souerie expérimen-tale sur des modèles réduits de ponts ont été développées [Faquharson 1949-1954]. Parallèlement,des travaux sur l'étude de la stabilité aéroélastique des tabliers ont été menés [Bleich 1948]. Enaéronautique ce type de problématique concerne le ottement des ailes d'avion sous écoulementstationnaire et a fait l'objet de nombreuses études théoriques [Wagner 1925], [Theodorsen 1934]qui ont inspiré les premiers modèles analytiques appliqués aux tabliers de ponts. L'applicationdes théories linéaires adaptées aux ailes minces en faible déplacement à des structures non pro-lées est néanmoins discutable et ce sont principalement les travaux de [Bisplingho 1962] et[Scanlan 1971] qui ont permis d'établir les modèles des eorts aéroélastiques utilisés actuelle-ment par les concepteurs d'ouvrages. A la diérence des modèles de l'aéronautique, ces modèleslinéaires font apparaître des coecients instationnaires seulement accessibles expérimentalementpour chaque prol de tablier.Les principaux développements pour l'étude de la réponse d'un ouvrage au vent turbulent sontplus tardifs et sont dus aux travaux de Davenport sur la simulation du vent naturel en souerieexpérimentale et sur l'application de la théorie des vibrations aléatoires [Davenport 1962].

La conception d'un pont de grande portée doit être telle que les eorts, les déplacements et lesphénomènes de fatigue restent dans des limites acceptables. La méthode expérimentale la plusréaliste pour le dimensionnement des ponts implique des essais sur des modèles aéroélastiquescomplets. C'est une approche dicile et très coûteuse dans la mesure où en plus d'être géomé-triquement similaire à l'ouvrage réel, les modèles doivent satisfaire des conditions de similaritéde répartition des masses, de fréquence réduite, d'amortissement mécanique et de modes propresde vibrations [Grillaud 1995].

Dans la pratique actuelle en France, l'étude du comportement dynamique des ponts de grandeportée se structure plutôt sur une analyse dynamique de l'ouvrage faisant appel à des modèlesde chargement uide dont les coecients stationnaires et instationnaires sont identiés expéri-mentalement en souerie. Elle est divisée en deux parties:

L'étude en souerie expérimentale des caractéristiques aérodynamiques et aéroélastiquesdes éléments du pont et en particulier du tablier où sont principalement concentrés les ef-forts mécaniques exercés par le vent. La méthode expérimentale la plus simple et la plus uti-lisée consiste à eectuer des essais sur un tronçon de tablier [Grillaud 1995], [Szechenyi 1978].Les essais sur maquettes xes permettent de mesurer les coecients de traînée, portance,moment et leur évolution en fonction de l'incidence. Ce type d'essai est également utilisépour caractériser le chargement instationnaire généré par la signature tourbillonnaire duprol. Les essais sur maquettes mobiles permettent quant à eux d'identier les coecientsinstationnaires fonctions du mouvement.

L'analyse dynamique du système couplé uide-structure. Les coecients stationnaires etinstationnaires identiés expérimentalement alimentent des modèles de chargement aéro-dynamique et aéroélastique qui sont utilisés pour les calculs de stabilité aéroélastique et deréponse de l'ouvrage à la turbulence atmosphérique.

Objectifs

Si l'analyse du comportement mécanique des structures a largemement bénécié du développe-ment de la méthode des éléments nis (voir par exemple [Arzoumanidis 1985], [Patron-Solares 1998]),les modèles d'action du vent qui sont utilisés et en particulier les modèles des forces aéroélastiques

13

qui rendent compte des phénomènes d'adaptation de l'écoulement au mouvement de l'obstacleau moyen de termes correctifs d'amortissement et de rigidité sont encore assez mal connus.Les progrès réalisés dans la simulation numérique des écoulements instationnaires et la puissanceaccrue des ordinateurs orent aux concepteurs la perspective de disposer d'outils numériques pouraner le prédimensionnement aérodynamique des prols de tablier et l'estimation des forces aé-roélastiques.Si la simulation numérique des écoulements (Computational Fluid Dynamics) est largement uti-lisée dans d'autres ingénieries concernées par les problèmes d'interaction uide-structure, dansle domaine du génie civil on assiste seulement depuis quelques années à l'émergence de travauxnumériques (Computational Wind Engineering) [Tamura 1993], [Larsen 1996]. La validation detels outils nécessite néanmoins de préciser les mécanismes uides mis en jeu.

Dans ce contexte, les objectifs du travail présenté dans ce mémoire sont les suivants:

caractériser les mécanismes uides dominants qui sont de nature à perturber la dynamiquedu sytème couplé uide-structure et identier des modèles descriptifs des chargements depression et des eorts résultants;

préciser les conditions d'utilisation de simulations numériques pour l'étude de ces phéno-mènes physiques dominants liés aux écoulements autour de prols de pont xes ou mobileset l'identication de modèles simpliés d'interaction.

Pour réaliser ces objectifs nous avons disposé de résultats expérimentaux fournis par le CentreScientique et Technique du Bâtiment de Nantes dans le cadre d'une collaboration LCPC-CSTB-INRIA-ENPC et d'un solveur uide développé par l'INRIA permettant la résolution tridimisen-dionnelle des équations de Navier-Stokes en maillage mobile. L'analyse des mécanismes uidesmis en jeu dans l'interaction uide-structure et la modélisation de ces phénomènes sont doncétudiées au travers de deux outils, respectivement expérimental et numérique. En ce sens, nousinsistons sur la complémentarité de ces approches et non sur leur antagonisme.

A ces ns, ce mémoire est divisé en quatre chapitres:

L'objectif du premier chapitre est d'expliciter les mécanismes uides mis en jeu autourd'obstacles xes ou mobiles sous écoulement uniforme en mettant notamment en évidenceles paramètres ou indicateurs essentiels à leur estimation, mais également d'introduire lesmodèles descriptifs des eorts résultants utilisés lors du dimensionnement aérodynamiqueet aéroélastique des tabliers de ponts. Les mécanismes dominants et leurs chargementsrésultants seront alors étudiés expérimentalement et numériquement dans les chapitres 3et 4.

Les équations et les paramètres qui régissent les écoulements sont introduits au chapitre 2.Les outils d'analyse de la physique des écoulements et de leurs actions sont ensuite présen-tés. Le mode opératoire des essais expérimentaux et numériques sont décrits brièvementen précisant les conditions et contraintes associées. Ces dernières seront développées etdétaillées dans les chapitres 3 et 4. Enn la technique de Décomposition Orthogonale auxvaleurs Propres (P.O.D) utilisée pour l'étude locale du champ de pression est présentée.

Une analyse des résultats expérimentaux et numériques pour deux prols rectangulairesd'allongement 4 et 8 et pour le prol trapézoïdal d'un avant projet du viaduc de Millauxes sous écoulement transverse est menée dans le chapitre 3. La technique des P.O.Dest utilisée pour expliciter les mécanismes tourbillonnaires mis en jeu et discuter de leurinuence sur le chargement résultant. Des simulations complémentaires pour d'autres prolsrectangulaires d'allongement 3, 5, 6, 7, 9 et 10 sont également présentées. L'inuence desparamètres numériques sur la prédiction de la physique des grandes échelles des écoulementset de leurs actions sur les prols est précisée.

14 INTRODUCTION

Une étude du chargement uide pour les deux prols rectangulaires d'allongement 4 et 8 etpour le prol trapézoïdal de type "Millau" en mouvements de tangage forcé harmoniquessous écoulement transverse est présentée dans le dernier chapitre. Cette étude repose surune analyse de la réponse dynamique du champ de pression et des eorts résultants. Latechnique des P.O.D est utilisée pour expliciter les modes propres dominants du champ depression surfacique et leur contribution dans le chargement aéroélastique. L'inuence dela vitesse réduite et de l'amplitude du mouvement imposé sur les mécanismes uides misen jeu et sur le chargement aéroélastique résultant est discutée. Enn sur la base de cesrésultats, l'inuence du nombre de Reynolds est également abordée.

Ce mémoire conclut sur un rappel qualitatif des résultats obtenus en tentant d'une part de mettreen évidence les phénomènes dominants de l'interaction uide/tablier de pont et d'autre part, depréciser les vérications de base et les soins à leur apporter dans une analyse expérimental etnumérique.

15

Chapitre 1

Caractérisation des écoulements et de

leurs actions

Ce chapitre a pour objectif principal d'expliciter les mécanismes uides mis en jeu autour d'obs-tacles xes ou mobiles sous écoulement, et d'introduire les modèles descriptifs des eorts résul-tants utilisés lors du dimensionnement aérodynamique et aéroélastique des tabliers de ponts. Cesmécanismes et leurs chargements résultants seront étudiés expérimentalement et numériquementdans les chapitres 3 et 4.

1.1 Introduction

Une structure mécanique exible, comme un tablier de pont, immergée dans un écoulement d'airest sollicitée par les uctuations locales de pression dans l'écoulement (turbulence atmosphérique,instabilités tourbillonnaires, turbulence de couche limite). Lorsqu'elle est en mouvement, elleinduit également des mécanismes d'adaptation dans le uide qui réagissent en retour par unchargement aéroélastique.On distingue ainsi trois types de sources d'excitation uides [Naudascher 1994]:

Les Sources d'Excitation de Signature, (SES), associées aux instationnarités tourbillon-naires générées dans l'écoulement par la présence de l'obstacle;

Les Sources d'Excitation Aéroélastique, (SEA), qui sont les uctuations induites dansl'écoulement par le mouvement de la structure;

Les Sources d'Excitation Extérieure, (SEE), associées aux uctuations turbulentes del'écoulement arrivant sur l'obstacle. Pour le cas des ponts, il s'agit des uctuations tur-bulentes du vent dans la couche limite atmosphérique.

Lorsqu'un tablier vibre, ces diérentes sources d'excitation sont simultanément présentes dansl'écoulement. Il est a priori dicile de les caractériser indépendamment dans la mesure où lesmécanismes mis en jeu peuvent être fortement couplés.

Dans la pratique pourtant, seules les uctuations turbulentes de l'écoulement en amont de l'obs-tacle peuvent être décrites indépendamment du mouvement de la structure. Dans ce contexte, onmodélise le plus souvent le chargement uide en découplant les eets de la turbulence, fonctiondes composantes uctuantes de la vitesse du vent en amont de l'obstacle V ′ = (u′,v′,w′), deseets instationnaires de signature et d'adaptation au mouvement qui dépendent des variables dedéplacement de la structure D = (h,p,α), (Fig. 1.1):

16 CHAPITRE 1. CARACTÉRISATION DES ÉCOULEMENTS ET DE LEURS ACTIONS

Fvent = FSES+SEA + FSEE (1.1)

FSES+SEA = F(Géométrie,Re,D) (1.2)

FSEE = F(Géométrie,Re,V ′) (1.3)

U

αh

pu’

v’w’

Fig. 1.1 Composantes uctuantes de la vitesse et variables de déplacement.

Il reste cependant dicile de justier cette décomposition car les instationnarités du vent amontpeuvent modier les mécanismes de signature et d'adaptation au mouvement. Des essais dyna-miques sur des tronçons rigides de tabliers ont en eet révélé une inuence non négligeable du tauxde turbulence de l'écoulement sur les phénomènes aéroélastiques auto-entretenus [Scanlan 1986],[Naudascher & Wang 1993].

An de préciser les mécanismes uides mis en jeu autour d'un tablier en mouvement vibratoire,nous nous limiterons cependant dans le cadre de cette étude aux seuls cas d'écoulements uni-formes. Le problème à analyser se réduit alors à l'équation 1.2.

Selon que les instationnarités de signature sont modiées ou non par le comportement vibratoirede la structure, deux types de modélisation des actions du vent sont utilisés.

1. Les instationnarités de signature ne sont pas modiées par le mouvement de la

structure.

Pour le cas des obstacles prolés en mouvement de faible amplitude pour lesquels les coucheslimites de l'écoulement restent collées aux parois, le chargement de signature se réduit aux actionsdes uctuations turbulentes chaotiques qui se développent proche des parois de l'obstacle. Celles-ci sont décorrélées des mécanismes d'adaptation générés par le déplacement de la structure et lesuctuations de l'écoulement autour de sa composante moyenne peuvent alors être décomposéesen un terme dépendant linéairement des variables de déplacement et en un terme de signatureindépendant du mouvement:

FSES+SEA = FSES + FSEA (1.4)

FSES = F(Géométrie,Re,incidence moyenne) (1.5)

FSEA = F(Géométrie,Re,D) (1.6)

Ce type de modélisation, propre aux corps bien prolés et pour des mouvements n'induisantpas de décrochage dynamique de l'écoulement, est également appliqué aux tabliers de ponts

1.2. CARACTÉRISTIQUES DES ÉCOULEMENTS AUTOUR D'OBSTACLES FIXES 17

pour des mouvements vibratoires de faible amplitude et hors zone d'accrochage avec les instabi-lités uides qui peuvent conduire à la formation de gros tourbillons le long et en aval de l'obstacle.

2. Les instationnarités de signature sont modiées par le mouvement de la structure.

Lorsque la fréquence du mouvement est proche d'une fréquence propre de l'écoulement, il y arisque d'accrochage avec les instabilités uides. Les eets de signature et les mécanismes aéroélas-tiques sont alors fortement couplés (plus l'amplitude des vibrations augmente, plus les instabilitésuides sont contrôlées par le mouvement). On parle alors de signature aéroélastique (SESA):

FSES+SEA = FSESA(1.7)

Ce chapitre tente de donner une description physique de ces phénomènes en mettant notammenten évidence les paramètres ou indicateurs essentiels à leur estimation. Ces indicateurs servirontégalement de tests de validation pour les simulations numériques an de qualier la capacitéd'une approche numérique à constituer un outil able et performant d'analyse du comportementaérodynamique et aéroélastique des obstacles mal prolés.

1.2 Caractéristiques des écoulements autour d'obstacles xes

La présence d'un corps dans un écoulement laminaire modie localement le comportement duuide. La topologie de l'écoulement est principalement fonction des caractéristiques géométriquesde l'obstacle (forme, allongement 1 ) et d'un nombre adimensionnel, le nombre de Reynolds.

Le nombre de Reynolds exprime l'inuence relative des eets d'inertie par rapport au eets vis-queux exercés sur une particule uide de l'écoulement. Pour un champ d'écoulement de viscositédynamique ν, caractérisé par une vitesse U (vitesse moyenne de l'écoulement amont) et unedimension B (longueur de corde du prol), il s'écrit:

Re =UB

ν(1.8)

B

U D

Fig. 1.2 Prol sous écoulement transverse

Pour le dimensionnement au vent des ponts nous avons à traiter des écoulements aux nombres deReynolds élevés: ainsi, pour un tablier de largeurB ≈ 30m, des vitesses d'écoulement U ≥ 1 ms−1

conduisent à des régimes d'écoulement de Re ≥ 2 106 (ν ≈ 1.5 10−5 m2s−1).

1. L'allongement est déni comme le rapport entre la longueur de corde et l'épaisseur du prolB

D(Fig. 1.2)


Les écoulements aux nombres de Reynolds élevés sont caractérisés par des eets non linéairesimportants favorisant l'apparition de la turbulence 2. Celle-ci se développe principalement dansles zones où les gradients de vitesse sont importants (couches limites proches des parois de l'obs-tacle, couche de cisaillement dans les zones décollées, sillage ...).

On distinguera dans le cadre de ce travail la turbulence développée chaotique impliquant un largespectre d'échelles spatiales des tourbillons cohérents de type Kelvin-Helmholtz qui se développentpar instabilité uide des couches de cisaillement. Contrairement à la turbulence, ces structurescohérentes apparaissent pour des nombres de Reynolds beaucoup plus faibles 3. Si elles contri-buent au déclenchement de la turbulence (par appariement et dégradation successif de structuresde plus en plus nes), elles persistent le plus souvent pour des nombres de Reynolds très élevés[Brown 1974].Pour le dimensionnement au vent des ouvrages du génie civil, ce sont principalement ces struc-tures cohérentes de grandes tailles et leur résultante en terme de chargement qui intéressent lesconcepteurs.

1.2.1 Décollements et instabilités uides

Dans certaines régions adjacentes à la surface de l'obstacle, les changements de géométrie favo-risent la formation de gradients de pression adverses qui entraînent une décélération de l'écoule-ment dans la couche limite. Lorsque ces gradients de pression deviennent trop importants, il y aapparition d'un écoulement en sens contraire et donc d'un décollement de la couche limite. Pourles écoulements autour de corps anguleux, ces zones sont facilement identiables au niveau desruptures de géométrie.Les couches limites décollées s'apparentent à des nappes de vorticité globalement instables quipeuvent, sous l'eet de perturbations dans l'écoulement, s'enrouler en spirale et conduire à laformation de tourbillons (tourbillons dit de Kelvin-Helmholtz) qui vont se convecter dans l'écou-lement.

Pour les corps cylindriques de section circulaire, sous écoulement transverse de Reynolds élevé(Re ≥ 200), ces mécanismes d'instabilité uide se caractérisent par des détachements alternésde tourbillons de part et d'autre du prol (Fig. 1.3). On observe alors une allée tourbillonnaire(allée tourbillonnaire de Von Karman) dans le sillage de l'obstacle et un eet de portance quasi-périodique à la fréquence du cycle des échappements tourbillonnaires.

U D

Fig. 1.3 Section circulaire sous écoulement transverse; allée tourbillonnaire de Von Karman

2. L'expérience de Reynolds sur un écoulement en conduite ciculaire montre une valeur critique du ReynoldsRe ≈ 2000 au delà de laquelle l'écoulement n'est plus laminaire (écoulement de droite parallèle) et indépendant dutemps, mais devient turbulent en ce sens qu'il montre l'apparition de tourbillons. Dans le cadre de cette expérience

le Reynolds est déni par rapport au diamètre D du tube: Re =UD

ν3. Des tourbillons arrangés de manière stable et alternée, constituant un sillage tourbillonnaire dit de Von

Karman, sont visibles en aval d'obstacles cylindriques non prolés ou de forme circulaire, pour des valeurs deReynolds supérieures à quelques centaines.


Pour rendre compte de l'organisation fréquentielle de l'écoulement, on introduit le nombre deStrouhal:

St =nvD

U(1.9)

Le nombre de Strouhal est un nombre sans dimension déni pour un prol donné d'épaisseurD, placé dans un écoulement de vitesse moyenne U , en fonction de la fréquence nv du cycle deséchappements tourbillonnaires.A l'instar des corps cylindriques de section circulaire, les corps "ramassés" (sections de faible al-longement), développent également un sillage monofréquentiel contrôlé par la formation alternéede tourbillons de part et d'autre du prol (Fig. 1.4).Certains tabliers de ponts modernes s'apparentent à des caissons fermés rectangulaires ou tra-pézoidaux dont le comportement aérodynamique pourra être très diérent selon les mécanismesd'instabilité uide mis en jeu. Le cas des prols rectangulaires est particulièrement intéressantpour appréhender ces mécanismes.

1.2.2 Cas des corps cylindriques de section rectangulaire

Pour les prols de faible allongement (1 ≤ B

D< 3), les nappes de uide décollées issues des

points anguleux amonts interagissent l'une avec l'autre en aval de l'obstacle pour former uneallée tourbillonnaire de Von Karman semblable à celle observée en aval des corps cylindriques(Fig. 1.4). Ce type d'instabilité uide génère une portance harmonique à la fréquence nv, ducycle alterné de formation des tourbillons par enroulement des nappes extrados et intrados.

U

(a) (b)

Fig. 1.4 Formations alternées de tourbillons ; (a) temps t; (b) temps t+Tv2

Pour des allongements plus importants, les mécanismes mis en jeu sont plus complexes dans lamesure où chacune des nappes de vorticité initiées aux niveaux des arêtes vives amonts du prolpeut être destabilisée par l'obstacle lui même et en particulier par les points anguleux avals oùles pressions sont perturbées.Ce type d'instabilité (instabilité dite "de collision" des couches de cisaillement) commence pour

des allongementsB

D≈ 3 pour lesquels la condition de phase 4 permet l'apparition d'un pre-

mier mode d'oscillation des nappes décollées caractérisé par une fréquence nv et une vitesse de

4. Pour qu'une instabilité de collision se produise, deux conditions doivent être satisfaites simultanément: unecondition d'amplication ou de perturbation (c'est le cas pour les régimes d'écoulement de Reynolds supérieursà quelques centaines) et une condition de phase telle que les uctuations issues de la nappe de vorticité incidentesoient en phase avec les perturbations rééchies par une singularité uide ou géométrique située en aval (pointanguleux aval pour les prols rectangulaire de ratio ≥ 3).


convection Vc telles que la longueur d'onde associée λ = Vcnv, est proche de la longueur de corde

du prol B ≈ 3D. Des tourbillons sont ainsi générés de façon alternée sur les arêtes supérieureset inférieures par enroulement des nappes de vorticité le long des arêtes.

Lorsque la corde B du prol augmente et pour (3 ≤ B

D< 6), l'instabilité uide est du même type.

L'augmentation de la distance relative du point anguleux aval par rapport au point de décollementuide amont conduit à une adapation du premier mode d'oscillation des zones décollées. Celle-cise caractérise par une diminution de la fréquence d'instabilité et une augmentation de la longueurd'onde (la vitesse de convection variant peu), qui reste alors proche de la longueur de corde duprol. Les nappes de vorticité recollent néanmoins sur le prol avant la face aval, de sorte que lestourbillons d'arêtes qui sont générés par instabilité interagissent avec un enroulement de uideen aval du prol avant de se détacher dans le sillage (Fig. 1.5).

d

(a)

U

(b)

Fig. 1.5 B

D≈ 4 ;(a) temps t ; (b) temps t+

Tv2

Ce type de mécanisme conduit le plus souvent à un sillage harmonique proche de celui des prolsde faible allongement. Des résultats expérimentaux ont également montré que le nombre de Strou-hal est inversement proportionnel à l'allongement de l'obstacle [Okajima 1982], [Shiraishi 83],[Nakamura et al 1991], [Okajima 1992]:

St ≡nvD

U≈ 0.6

D

B(1.10)

nv ≈ 0.6U

B(1.11)

PourB

6≤ D <

B

3et à vitesse amont constante, la fréquence tourbillonnaire est inversement

proportionnelle à la longueur de corde du prol (adaptation du premier mode d'oscillation).Cette adaptation de la longueur d'onde du premier mode oscillant s'accompagne également d'uneaugmentation de la position relative (caractérisée par la distance moyenne d), de la zone decollision de la nappe de vorticité avec les parois par rapport à la face amont du prol lorsque lacorde augmente.

d ≈ λB ≈ (1 + ϵ)λ

0 < ϵ <1

2

(1.12)

Cette adaptation du premier mode d'instabilité se produit jusqu'à une certaine limiteB

D≈ 6.


Pour (B

D≥ 6), d'autres types d'instabilités "de collision" apparaîssent. Plusieurs congurations

d'écoulement sont alors possibles en fonction de l'allongement du prol.

Des résultats expérimentaux [Nakamura et al 1991], [Ozono et al 1992] ont montré que:

pourB

D≈ 6 ; 7 ; 8, deux instabilités sont mises en évidence:

une instabilité de type I, correspondant au premier mode d'oscillation caractérisé parune longueur d'onde proche de la corde du prol (Fig. 1.6):

d ≈ λB ≈ (1 + ϵ)λ

0 < ϵ <1

2

(1.13)

(a)

d

(b)

Fig. 1.6 B

D≈ 8 ; type I ; (a) temps t ; (b) temps t+

Tv12

une instabilité uide de type II, correspondant au deuxième mode d'oscillation (deuxièmeharmonique) tel que (Fig. 1.7):

d ≈ λB ≈ (2 + ϵ)λ

0 < ϵ <1

2

(1.14)

(b)(a)

d

Fig. 1.7 B

D≈ 8 ; type II ; (a) temps t ; (b) temps t+

Tv22

Le sillage tourbillonnaire est le plus souvent contrôlé par l'instabilité de type II.

pourB

D≈ 9 ; 10 ; 11, trois types d'instabilités sont envisageables:

type I, mode fondamentale N = 1: type II, deuxième harmonique N = 2: type III, troisième harmonique N = 3:

Pour lesquels: d ≈ λB ≈ (N + ϵ)λ

0 < ϵ <1

2

(1.15)

Le sillage tourbillonnaire est le plus souvent contrôlé par l'instabilité de type III.


On retrouve le même genre d'interaction entre les tourbillons issus des décollements amonts etles enroulements avals. Ces mécanismes tourbillonnaires conduisent généralement à une uctua-tion périodique du sillage et du chargement résultant associé au mode dominant. Néanmoinscela n'est pas toujours le cas, en particulier lorsque plusieurs modes coexistent; des mécanismesd'interaction complexes peuvent alors entraîner des non linéarités dans le chargement uide[Okajima 1982], [Ozono et al 1992].

Lorsque l'allongement augmente, le nombre de Strouhal issu de l'analyse fréquencielle du sillageou des eorts résultants augmente par palier (Fig. 1.8). Pour chaque palier, le sillage est contrôlépar un type d'instabilité particulier et le nombre de Strouhal correspondant à ce type dominantest inversement propotionnel à l'allongement du prol:

StN ≡ nvND

U≈ N 0.6

D

B; (N = 1,2,3...) (1.16)

Pour les allongements de transition,B

D≈ 5 ; 8 ; 11, il n'y a pas forcément de type dominant et

les eets non linéaires peuvent être importants.

4 6 8 10 12 142 16

0.6

1.2

1.8

2.4

St*B/D

B/D

Fig. 1.8 Evolution de StBD en fonction de BD (Résultats expérimentaux pour 3 103 ≤ Re ≤ 3 104

d'après [Nakamura et al 1991])

1.2.3 Inuence du prolage

Nous venons de voir que l'allongement conditionne le régime tourbillonnaire pour les corps cy-lindriques de section rectangulaire présentant des arêtes vives en amont et en aval.

En supprimant les angulosités amonts, les décollements sont moins nets, les nappes de vorticitéplus nes, plus proches de l'obstacle et les tourbillons générés le long des parois se dissipentle plus souvent avant les bords de fuite de l'obstacle. C'est dans ce cas l'instabilité des nappesdécollées en aval qui domine la signature du prol. Le sillage s'organise alors en allées tourbillon-naires de type Von Karman telles que celles observées en aval des prols circulaires (Fig. 1.9).


(a) (b)

Fig. 1.9 B

D≈ 8 ; détachement alterné de tourbillons aval (a) temps t ; (b) temps t+

Tv2

1.2.4 Inuence du nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds caractérise l'inuence relative dans le uide des eets d'inertie par rapportaux eets visqueux. Son inuence est particulièrement importante dans les zones de l'écoulementoù les gradients de vitesse sont importants (couches limites, nappes de vorticité).

1.2.4.1 Cas des prols circulaires

L'exemple du cylindre circulaire est particulièrement intéressant. Pour ce prol, l'eet du Rey-nolds au niveau des couches limites de l'écoulement conditionne la position des points de décol-lement et l'organisation tourbillonnaire dans le sillage caractérisée par le nombre de Strouhal,(Fig. 1.10).

0.2

0.4

0.6

0

10 10 10

Strouhal

sillage periodique

sillage turbulent

sillage periodique

Reynolds

5 6 7

Fig. 1.10 Inuence du Reynolds sur l'organisation tourbillonnaire dans le sillage d'un cylindrecirculaire d'après [Wooton & Scruton 1971]

1.2.4.2 Cas des prols anguleux

Pour le cas des obstacles présentant des ruptures de géométrie, les points de décollement del'écoulement sont xés au niveau des arêtes vives et sont donc indépendants du nombre de Rey-nolds.Dans l'hypothèse où le comportement des nappes décollées est faiblement perturbé par le régimed'écoulement (pour des régimes d'écoulement élevés, Re ≥ 1 103), les eets du Reynolds surla signature de l'obstacle (au moins en ce qui concerne le chargement de pression) sont le plussouvent négligés.

Signalons toutefois les travaux de [Hoxey 1998] qui montrent une inuence sensible du Reynolds(104 ≤ Re ≤ 106) sur le comportement des nappes décollées de l'écoulement pour le cas d'obs-

tacles à arêtes vives (Fig. 1.11). Si l'allongement moyend

ede la zone décollée semble indépendant


du régime d'écoulement, la distance moyenne d de collision est par contre une fonction décrois-sante du Reynolds.

e

d

Re2 Re1

Fig. 1.11 Inuence du Reynolds au niveau des zones décollées (Re1 < Re2)

Pour les prols anguleux de faible allongement (2,5 ≤ B

D≤ 3,5) il existe donc un Reynolds

critique au delà duquel les nappes de vorticité initiées au niveau des point anguleux amont ne sedéstabilisent plus en aval de l'obstacle mais par collision sur les arêtes.

Pour les obstacles d'allongement plus important comportant des ruptures de géométries (cais-sons de triangulaires ou trapésoïdaux), on peut également s'attendre à une inuence importantedu nombre de Reynolds sur les caractéristiques moyennes et instationnaires du chargement depression. Des essais et calculs menées sur ce type de prols dans le cadre d'études préliminairesau dimensionnement aérodynamique du tablier du viaduc de Millau montrent en eet que selonl'angle d'inclinaison du panneau intrados aval (Fig. 1.12), le recollement ou non de l'écoulementsur le prol est sensible au nombre de Reynolds.

Re1Re2

β

Fig. 1.12 Inuence du Reynolds sur l'écoulement autour d'un prol triangulaire pour un anglede panneaux β défavorable (Re1 < Re2)

Enn pour les géométries plus favorables, l'écoulement autour de l'obstacle reste qualitativementle même et les modications spatio-temporelles du champ de pression ne sont dues qu'à un eetdu Reynolds sur la position moyenne du point de recollement et la fréquence des tourbillons decollision 5.

1.2.4.3 Cas des corps prolés

Si l'on supprime les angulosités, l'eet du Reynolds pourra être encore plus important puisqu'ilinuence à la fois la position des points de décollement et le comportement des nappes décollées,

5. Pour le cas des prols rectangulaires, une augmentation du nombre de Reynolds provoque:

un décalage vers l'amont du point de collision;

une augmentation de la fréquence des tourbillons d'arête et donc une augmentation du nombre de Strouhal.

1.3. CARACTÉRISTIQUES DES ÉCOULEMENTS AUTOUR D'OBSTACLES MOBILES 25

d'où un eet sur les zones décollées en amont et sur le comportement du sillage tourbillonnaire(Fig. 1.13).

zones d’influence du Reynolds

U

Fig. 1.13 Inuence du Reynolds sur la signature d'obstacle "prolé"

1.2.5 Eets tridimensionnels

Les tourbillons de Kelvin-Helmholtz ou de Von-Karman qui se développent le long et en aval descorps non prolés sont le résultat d'une instabilité bidimensionnelle des couches de cisaillement.Ce sont des tourbillons spiraux cylindriques dont les axes sont perpendiculaires à la direction del'écoulement amont. En fait d'autres tourbillons longitudinaux (dont les axes sont quasi-parallèlesà la direction de l'écoulement amont) peuvent se former par instabilité en envergure des couchesde cisaillement. Les calculs et expériences dans ce domaine montrent que cette instabilité enenvergure coexiste et est le plus souvent découplée de l'instabilité bidimensionnelle décrite pré-cédemment: entre les gros tourbillons de Kelvin-Helmholts s'étirent des tourbillons plus ns enépingle à cheveux [Lesieur 1994]. En plus de donner au sillage un caractère tridimensionnel,ces tourbillons longitudinaux lorsqu'ils sont étirés peuvent conduire au lâcher de tourbillons deKelvin-Helmholts secondaires, qui amorcent la transition à la turbulence développée. On retien-dra que les tourbillons principaux (qui intéressent les concepteurs d'ouvrage) sont des tourbillonsbidimensionnels et que la turbulence développée résulte d'un processus tridimensionnel.Si cela est justié pour le cas des tabliers de pont, cela ne l'est plus lorsque l'on s'intéresse auxvibrations des câbles de haubanage. Ces derniers sont inclinés par construction et les étudesde Matsumoto [Matsumoto 1998] ont largement mis en évidence l'importance du comportementtridimensionnel des échappements tourbillonnaires dans leur mise en vibration.

1.3 Caractéristiques des écoulements autour d'obstacles mobiles

Le mouvement de l'obstacle modie les trajectoires et les vitesses des particules uides dansl'écoulement. Les mécanismes d'adaptation dépendent principalement:

de la géométrie de l'obstacle;

de la fréquence réduite;

du type de mouvement (exion, tangage) et de son amplitude.

La fréquence réduite:

Fr =nsB

U(1.17)

est un nombre sans dimension déni comme le rapport entre le temps de passage d'une particuleuide le long de l'obstacle Tf ≈ B

U et la période de vibration Ts = 1ns

de l'obstacle.Lors du dimensionnement aéroélastique d'un ouvrage, on s'intéresse à des vitesses de vent rela-tivement importantes et aux premiers modes de vibration de la structure.Pour des vitesses de vent comprises entre 10 m/s et 50 m/s, des fréquences de vibration entre


0,05 Hz et 5 Hz, et pour une largeur de tablier de 30 m, la fréquence réduite varie entre 0,0375et 15,0.

Même pour les fréquences réduites les plus faibles, il est en général dicile de justier uneévolution quasi-statique 6 de l'écoulement dans la mesure où les mécanismes d'adaptation misen jeu au sein du uide sont évolutifs et peuvent déphaser le chargement uide par rapport audéplacement de la structure.Pour le cas d'un obstacle prolé, pour lequel l'écoulement ne présente pas de singularité de typedécollement de couche limite, des tourbillons d'adaptation sont générés au bord de fuite parcisaillement des lets uide. De même, pour la plupart des géométries de génie-civil, les zonesdécollées issues des points anguleux ne s'adaptent pas instantanément au cours du déplacementdes parois. Lorsque la fréquence réduite ou l'amplitude du mouvement augmente, nous verronsau Chapitre 4 que le cisaillement des nappes de uide décollées peut également conduire à laformation de tourbillons 7 à la fréquence du mouvement le long et en aval de l'obstacle.

1.3.1 Les mécanismes d'adaptation au mouvement: le cas des ailes minces

La condition d'adhérence à la surface d'un prol sous écoulement provoque un cisaillement desnappes de uide et par conséquent une vorticité non nulle au voisinage des parois. Ces nappesde vorticité décollées ou non sont très instables et peuvent sous l'eet du mouvement s'enrouleret produire des tourbillons qui vont se convecter le long et en aval de l'obstacle.

Le cas des ailes minces en mouvement de faible incidence par rapport à un écoulement homogèneet parallèle amont est un cas simple pour lequel les mécanismes d'adaptation se présentent sousla forme de lâchers de tourbillons au bord de fuite:

Tourbillon d'adaptation d'une aile mince en incidence:une aile mince, dans un mouvement instationnaire d'incidence nulle à t = 0 à une incidencenon nulle à t = 0+, engendre dans son sillage une couche tourbillonnaire instable qui tendà s'enrouler en un tourbillon dit tourbillon d'adaptation ou de démarrage. Ce tourbillons'éloigne dans le champ aval, son inuence sur l'écoulement autour de l'aile devient négli-geable et le uide adopte une nouvelle conguration stationnaire.Dans le cadre d'une approche potentielle, on parle d'une adaptation de la circulation 8 d'unevaleur initiale Γ0, nulle pour un prol mince sans incidence, à une valeur nale stationnaireΓ, pour laquelle la condition de Kutta 9 est de nouveau vériée (Fig. 1.14).La circulation stationnaire en incidence est égale à l'opposée de l'intensité tourbillonnairedu tourbillon d'adaptation.

Sillage tourbillonnaire d'une aile mince en mouvement harmonique:lors d'un mouvement de tangage ou de exion harmonique des tourbillons d'intensité op-posée sont ainsi lâchés alternativement dans le sillage (Fig. 1.15). Pour les prols minces

6. Dans l'hypothèse d'une adaptation quasi-statique de l'écoulement, on suppose que le temps de passage d'uneparticule uide le long de l'obstacle est susamment rapide par rapport au mouvement de la structure pour quel'écoulement s'adapte instantanément à chaque nouvelle position de l'obstacle.

7. Ces tourbillons liés au mouvement cohabitent avec les tourbillons de signature décrits dans le paragraphe1.2

8. La circulation autour du prol est dénie comme l'intégrale du champ de vitesse sur un contour ferméentourant le prol:

Γ =

∮C

vdl (1.18)

9. Pour un prol se terminant par un dièdre, le bord de fuite est un point d'arrêt; pour un prol se terminantpar un point de rebroussement la vitesse à l'extrados et à l'intrados au bord de fuite a la même valeur nie.


(a)

Γ0

(b)

(c)

+Γ

−Γ

(d)

Fig. 1.14 Mécanisme d'adaptation de l'écoulement autour d'une aile mince en changementd'incidence


en mouvement de faible amplitude, le comportement instationnaire de la circulation et deseorts résultants peut être modélisé dans le cadre d'une approche potentielle 10.

α−Γ −Γ −Γ −Γ+Γ+Γ

Fig. 1.15 Allée tourbillonnaire dans le sillage d'une aile mince en mouvement de tangageharmonique

Si l'angle d'attaque devient important, un décollement local peut se produire à l'extrados du pro-l. Dans le cadre d'un mouvement de tangage forcé, l'apparition de décollements brusques descouches limites au cours d'un cycle de vibration (Fig. 1.16) peut compliquer le comportement del'écoulement (variation brutale du prol moyen de pression à la surface de l'obstacle, instabilitéde la zone de décollement, génération de tourbillons en amont ...).

(a) : α = α0 (b) : α = −α0

Fig. 1.16 Décollement local alterné des couches limites extrados (a) et intrados (b) au bordd'attaque; α(t) = α0cos(ωt)

De même lorsque l'angle d'attaque prend des valeurs élevées, l'écoulement se détache complète-ment et la réponse de l'écoulement est fortement non linéaire.

(a) : α = α0 (b) : α = −α0

Fig. 1.17 Décollement global alterné des couches limites extrados (a) et intrados (b) au bordd'attaque; α(t) = α0cos(ωt)

1.3.2 Cas des corps non prolés

L'écoulement autour des corps non prolés est caractérisé par des décollements importants decouches limites aux arêtes vives. Lorsque l'obstacle est xe, ces décollements peuvent conduire à

10. La théorie des uides potentiels prend implicitement en compte les mécanismes de lâchers de tourbillons parl'intermédiaire de la condition de Kutta.


la formation de tourbillons par des mécanismes d'instabilité uide entre les ondes de vorticité etles parois. Les eets du mouvement sur le comportement des nappes de vorticité et sur les méca-nismes d'instabilité uide mis en jeu ne sont pas très bien connus. Ils dépendent principalementde la fréquence réduite et de l'amplitude du mouvement.Nous verrons que pour le cas des mouvements lents par rapport au temps de passage des particulesuides le long du prol (faibles fréquences réduites), l'adaptation de l'écoulement se caractériseprincipalement par une oscillation alternée des points de recollement sur les arêtes supérieureset inférieures de part et d'autre d'un point moyen correspondant à la position moyenne derecollement sur le prol xe. Dans la mesure où les amplitudes du mouvement restent faible cetteadaptation des zones décollées se fait sans modication signicatives de la signature instationnairedu prol (uctuations liées aux tourbillons de signature).Pour les mouvements plus rapides, l'écoulement s'adapte au déplacement de la structure pardes lâchers de tourbillons au niveau des zones décollées. Les cas des prols rectangulaires pourlesquels des tourbillons sont générés par cisaillement des nappes de vorticité seront présentés auChapitre 4. Nous verrons également dans quelles mesures:

les tourbillons de signature se superposent aux tourbillons dépendant du mouvement; la fréquence réduite et l'amplitude du mouvement modient la signature et les mécanismesd'adaptation de l'écoulement.

Trois zones de fréquence réduite peuvent ainsi être distinguées:

Fr ≈ StBD : la fréquence du mouvement est proche de la fréquence de l'instabilité uide qui

domine la signature instationnaire du prol en faible incidence. Dans cette zone les méca-nismes tourbillonnaires mis en jeu au sein du uide dépendent fortement de l'amplitudedu mouvement. Plus l'amplitude est importante plus le comportement de l'écoulement estcontrôlé par le mouvement de la structure;

Fr >StBD : plusieurs cas peuvent se présenter selon que le uide est sensible ou non à des

harmoniques supérieures. En cas d'accrochage, le comportement de l'écoulement pourraégalement être dépendant de l'amplitude du mouvement [Nakamura 1986],[Naudascher & Wang 1993];

Fr <StBD : dans la mesure où la fréquence de vibration est susamment éloignée de la

fréquence de l'instabilité uide qui domine la signature instationnaire du prol, les méca-nismes d'adaptation générés par le mouvement de l'obstacle se superposent aux tourbillonsde signature. Si les amplitudes du mouvement restent faibles, cette adaptation des zonesdécollées se fait sans modication signicative de la signature instationnaire du prol (uc-tuations liées aux tourbillons de signature). Pour des amplitudes importantes, on peutnéanmoins s'attendre à une annulation des instabilités uides et donc à un contrôle duchamp d'écoulement moyen et instationnaire par les mécansiqmes d'adaptation au mou-vement. Cette eet signicatif de l'amplitude du mouvement sur la réponse moyenne etaéroélastique du chargement uide sera étudiée au Chapitre 4.

1.3.3 Eets tridimensionnels

Un cylindre de section constante et de grande envergure xe dans un écoulement uniforme et pa-rallèle de direction perpendiculaire à l'axe du cylindre, développe dans son sillage des tourbillonslongitudinaux qui donnent à l'écoulement un caractère tridimensionnel. Pour le cas d'un cylindrerigide en mouvement vibratoire (exion ou tangage), on constate, si l'obliquité de l'écoulementamont par rapport à l'axe du cylindre est nulle, que le mouvement de la structure contrôle et"bidimensionnalise" l'écoulement [Tamura 1993]. Le cas des structures exibles est a priori plus


compliqué. On admet donc généralement [Scanlan 1993], [Lin 1983], dans le cadre de mouvementsde exion ou de tangage de faible amplitude, que les phénomènes de recirculation en enverguredes lets uides sont faibles et que l'écoulement a un comportement par tranche.

Dans le cadre de cette thèse, nous nous limiterons à l'étude d'écoulements bidimensionnels au-tour de diérents prols xes ou en mouvement forcé. C'est un cadre d'étude intéressant dansla mesure où la plupart des coecients stationnaires et instationnaires qui alimentent les mo-dèles de chargement utilisés pour le dimensionnement des tabliers de ponts sont issus d'essais"bidimensionnels" sur tronçons rigides.

1.4 Modélisation des chargements uides

Les sections précedentes ont été consacrées à l'explicitation des phénomènes physiques et à l'in-troduction des paramètres (Reynolds, Strouhal, fréquence réduite ...) les conditionnant. Pourcalculer la réponse d'obstacles à l'action des écoulements, ces phénomènes sont décrits par desmodèles que nous allons maintenant expliciter.

1.4.1 Modèle mécanique bidimensionnel d'un tablier sous écoulement trans-verse

Soit la section S d'un corps cylindrique élancé dans un écoulement uniforme de vitesse U . Sesdeux degrés de liberté en exion et tangage sont repérés par les variables de déplacement h etα. M et I sont respectivement la masse et le moment d'inertie par unité d'envergure; Ch, Cα,Kh, Kα caractérisent les coecients d'amortissement et de raideur pour chacune des variablesde déplacement (Fig. 1.18).

Kh

M, Iα α

, Ch

K C

U

Fig. 1.18 Modèle mécanique bidimensionnel d'un tablier de pont

La résultante du chargement uide 11 est exprimée au moyen d'une composante transversale deportance FL et d'une composante colinéaire de traînée FD dénies par rapport à la direction del'écoulement. Le moment de tangageMt est le moment de la résultante par rapport au centre élas-tique C. Pour simplier notre présentation nous considérons que le centre de masse est confonduavec le centre élastique.

Les équations du mouvement peuvent alors s'écrire :

11. La résultante du chargement uide est la résultante des contraintes dues à la pression et à la viscosité quis'exercent sur les parois de l'obstacle.

1.4. MODÉLISATION DES CHARGEMENTS FLUIDES 31

F

M

D

α

F

LMt

h

U

DB

C

Fig. 1.19 Variables de déplacement et torseur des eorts

Mh+ Chh+Khh = FL(t) (1.19)

Iα+ Cαα+Kαα = Mt(t) (1.20)

1.4.2 Cas des obstacles xes

Un corps immobile dans un uide en écoulement est soumis à un champ de forces de contact quidépend des distributions de pression et de cisaillement à la paroi de l'obstacle. Compte-tenu desmécanismes tourbillonnaires qui se développent le long et en aval de la structure, le chargementaérodynamique déni par ce champ de force est le plus souvent instationnaire et peut être décritpar un chargement moyen et un chargement uctuant.

On dénit les coecients aérodynamiques de portance, traînée et moment de tangage sui-vants:

CL(t) =FL(t)12ρU

2B(1.21)

CM (t) =Mt(t)

12ρU

2B2(1.22)

CD(t) =FD(t)12ρU

2B(1.23)

et le coecient de pression en un point M du prol.

Cp(M,t) =p(M,t)12ρU

2(1.24)

pour lesquelles la pression dynamique de référence 12ρU

2 est déni en fonction de la vitessemoyenne U de l'écoulement amont.

Chacun de ces coecients peut être décomposé en une partie moyenne et une partie uctuante.


CL(t) = CL + CL(t) ; CL =1

T

∫ T

0CL(t)dt (1.25)

CM (t) = CM + CM (t) ; CM =1

T

∫ T

0CM (t)dt (1.26)

CD(t) = CD + CD(t) ; CD =1

T

∫ T

0CD(t)dt (1.27)

Cp(M,t) = Cp(M) + Cp(M,t) ; Cp(M) =1

T

∫ T

0Cp(M,t)dt (1.28)

Dès lors que les coecients moyens sont calculés sur un intervalle de temps T couvrant plusieurscycles d'instabilité uide, le chargement moyen rend compte des caractéristiques moyennes del'écoulement autour de l'obstacle 12; le chargement uctuant de moyenne nulle permet quant àlui d'appréhender les instationnarités de l'écoulement liées aux instabilités uides 13.En général, les écoulements de Reynolds élevés qui intéressent l'étude des tabliers de pontsse développent rapidement de façon turbulente dans les zones où les gradients de vitesse sontimportants (couches limites proches des parois de l'obstacle, couches de cisaillement dans les zonesd'écollées, sillage ...). Les valeurs des variables de l'écoulement (vitesses et pressions) varient alorsaléatoirement autour des valeurs moyennes établies par rapport aux coordonnées de temps etd'espace. Dans la mesure où l'on s'intéresse aux sources d'excitation uide pouvant déstabiliser lastructure, on ne cherche pas à modéliser les uctuations hautes fréquences des couches turbulentesde l'écoulement. Cette turbulence locale peut néanmoins, par le biais de processus de création,transport et destruction d'énergie, perturber les caractéristiques moyennes et instationnaires(uctuations de tailles importantes liées aux instabilités uides) de l'écoulement. Cet aspectnon conservatif de l'écoulement est pris en compte de façon simplié lorsque les coecientsaérodynamiques stationnaires et instationnaires sont identiés expérimentalement [Gibert 1988].

1.4.2.1 Le chargement moyen

Le théorème de Kutta-Joukowski permet de démontrer que, pour un cylindre de section quel-conque placé dans un écoulement potentiel stationnaire, la résultante du chargement uide seréduit à une composante de portance fonction de la circulation Γ autour de l'obstacle. Celle-ciest déterminée de façon unique par la condition de Kutta (vitesse nulle au bord de fuite pourles prols se terminant par un dièdre; continuité des vitesses pour les prols se terminant parun point de rebroussement). Les coecients moyens de portance et de moment sont dans ce casuniquement fonction de l'incidence de l'obstacle par rapport à la direction de l'écoulement amont.

Dans la pratique, ce type d'écoulement (irrotationnel de uide non visqueux, homogène et in-compressible) n'existe pas. La viscosité est responsable d'une traînée pour les prol minces enfaible incidence et la nature de l'écoulement autour des corps non prolés est compliquée par lesdécollements des couches limites aux arêtes vives. L'expérience montre cependant que les coe-cients aérodynamiques d'un prol dans un écoulement transverse uniforme sont principalementfonction de son incidence par rapport ux amont et du nombre de Reynolds de l'écoulement.

12. Taille moyenne des zones décollées, position moyenne des points de recollement et niveaux moyens de pressionà l'interface uide-structure.13. Les mécanismes tourbillonnaires qui se développent le long et en aval de la structure génèrent des uctuations

spatio-temporelles de pression sur les parois; compte tenu des mécanismes d'instabilité uide mis en jeu, lespoints de recollement sur les parois (points de collision des nappes de vorticité) ont également un comportementinstationnaire.


CL = CL(α,Re) (1.29)

CM = CM (α,Re) (1.30)

CD = CD(α,Re) (1.31)

1.4.2.2 Le chargement instationnaire de signature

Les mécanismes tourbillonnaires qui se développent le long et en aval de la structure génèrent desuctuations spatio-temporelles de pression sur les parois. Les caractéristiques de ce chargementet du torseur des eorts résultants dépendent du type d'instabilité uide mis en jeu:

Lorsque le sillage est contrôlé par enroulement en aval du prol des couches de cisaillementextrados et intrados (cas d'une section circulaire, Fig. 1.3 et cas des prols de faible allon-

gement 1 ≤ B

D< 3, Fig. 1.4), le chargement est relativement régulier et l'on observe une

oscillation quasi-harmonique de la portance et du moment de tangage à la fréquence ducycle des échappements tourbillonnaires. Les composantes instationnaires du chargementaérodynamique peuvent alors être appréhendées par des modèles simples du type:

CL(t) = CL cos(2πnvt) (1.32)

CM (t) = CM cos(2πnvt) (1.33)

CL,CM sont alors les amplitudes de uctuation des coecients aérodynamiques.nv est la fréquence du cycle des échappements tourbillonnaires en aval de l'obstacle.

Pour des prols rectangulaires plus allongées (B

D≥ 3) placés dans un écoulement homogène

et parallèle, le chargement est encore régulier lorsqu'il est contrôlé par un unique mode

d'instabilité de type collision (cas du prol rectangulaire de ratioB

D= 4, Fig. 1.20).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−C

L

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

St*B/D

type I (IF1)

Fig. 1.20 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance d'un prolrectangulaire d'allongement B

D = 4 (Expérience, Re = 2.75 105)

Pour des obstacles mieux prolés, le sillage est généralement beaucoup moins organisé, enparticulier lorsque le nombre de Reynolds est important. S'il existe une fréquence caracté-ristique d'un détachement alterné de tourbillons en aval du prol, les eorts résultants sonttrès souvent bruités par les instationnarités turbulentes et donc dicilement descriptiblesau moyen de modèles harmoniques simples.

1.4.3 Cas des obstacles mobiles

Un corps mobile dans un uide en écoulement homogène et parallèle est soumis à un champ deforces de contact induit par la signature aéodynamique du prol et par les mécanismes d'adap-


tation au mouvement de la structure. Ce chargement peut également être décomposé en unchargement moyen et un chargement instationnaire:

CL = CL + CL(t) (1.34)

CM = CM + CM (t) (1.35)

1.4.3.1 Considérations générales

La composante instationnaire rend compte des mécanismes d'adaptation au mouvement maiségalement des instationnarités de signature:

CL(t) = CLae+s

(t) (1.36)

Pour les cas où la signature est faible, décorrélée du mouvement ou contrôlée par le mouvement,il est possible d'appréhender les eets des mécanismes d'adaptation au mouvement qui modientla dynamique du système couplé "uide-structure" en exhibant du chargement instationnaire destermes fonctions des variables de déplacement. On parle alors d'un chargement aéroélastique.Dans la pratique, la plupart des modèles aéroélastiques utilisés sont du premier ordre et font in-tervenir des termes de masse, d'amortissement et de raideur ajoutés. Bien qu'ils soient simpliés,ces modèles se sont souvent révélés susants pour étudier les instabilités aéroélastiques de typeottement des grandes structures exibles.

Pour un mouvement de exion simple, ils s'écrivent:

CLae(t) = CLh

h+ CLhh+ CLh

h (1.37)

CMae(t) = Cmh

h+ Cmhh+ Cmh

h (1.38)

Pour un mouvement de tangage simple, leur expression est:

CLae(t) = CLαα+ CLαα+ CLαα (1.39)

CMae(t) = Cmαα+ Cmαα+ Cmαα (1.40)

Enn en mouvement de exion-tangage couplé le système "uide-structure" est dynamiquementcouplé par le chargement uide. Il est alors modélisé de la façon suivante:

CLae(t) = CLh

h+ CLhh+ CLh

h+ CLαα+ CLαα+ CLαα (1.41)

CMae(t) = Cmh

h+ Cmhh+ Cmh

h+ Cmαα+ Cmαα+ Cmαα (1.42)

Dans la suite de ce chapitre nous présentons les modèles linéaires les plus couramment utilisésen rappelant les hypothèses qui sont faites quant au comportement de l'écoulement.

1.4.3.2 Modèles potentiels de Theodorsen

Nous nous intéressons dans cette section aux vibrations de faible amplitude d'une plaque mincedans un écoulement uniforme de Reynolds élevé. C'est un cadre d'étude simplié pour lequel iln'y a pas d'eet particulier de couche limite (celle-ci reste collée aux parois de l'obstacle si lesamplitudes sont faibles) et l'on peut raisonnablement accéder aux uctuations générées dans le


uide par une linéarisation autour d'un problème potentiel 14.

Nous présentons les résultats théoriques de Theodorsen pour le cas d'une plaque mince en mou-vement de exion et de tangage harmonique [Dowell 1995] pour un centre élastique confonduavec le centre géométrique situé à la mi-corde. Ils conduisent à des expressions linéaires de laportance et du moment de tangage que l'on peut expliciter en termes de masse, d'amortissementet de raideur ajoutés:

h(t) = heiωt (1.43)

α(t) = αeiωt (1.44)

CLae(t) = CLe

iωt (1.45)

CMae(t) = CMe

iωt (1.46)

CLae(ω) = 2π− B

4Uα(ω)− B

4U2h(ω)− C(ω)[α(ω) +

h(ω)

U+

B

4Uα(ω)] (1.47)

CMae(ω) =

π

2− B

4Uα(ω)− B2

32U2α(ω)− C(ω)[α(ω) +

h(ω)

U+

B

4Uα(ω)] (1.48)

Les termes de masse, d'amortissement et de raideur ajoutés selon les expressions 1.41 et 1.42sont donnés par:

CLh= −2π

B

4U2(1.49)

CLh= −2π

F

U(1.50)

CLh= 2π

ωG

U(1.51)

Cmh= 0 (1.52)

Cmh=

π

2

F

U(1.53)

Cmh= +

π

2

ωG

U(1.54)

Cmα = −π2

B2

32U2(1.55)

Cmα =π

2[G

ω+ (F + 1)

B

4U] (1.56)

Cmα =π

2[F −G

ωB

4U] (1.57)

CLα = 0 (1.58)

CLα = −2π[G

ω+ (F + 1)

B

4U] (1.59)

CLα = −2π[F −GωB

4U] (1.60)

14. La théorie des uides potentiels prend implicitement en compte les mécanismes de lâchers de tourbillons parl'intermédiaire de la condition de Kutta.


avec C(ωR) = F (ωR) + iG(ωR) et ωR = BωU .

F (ωR) et G(ωR) sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de la fonction com-plexe de Theodorsen qui traduit l'adaptation de la circulation du uide à la variation de l'inci-dence du prol par rapport au vent apparent (Fig. 1.21).Pour le cas des ailes minces, cet angle d'incidence eectif s'exprime au point situé au 3

4 du prolpar rapport au bord d'attaque:

α3/4(t) = α(t) +h(t)

U+

B

4Uα(t) (1.61)

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Theodorsen circulatory function

2π / ωR

F

−G

Fig. 1.21 Fonctions de Théodorsen

1.4.3.3 Modèles de Scanlan pour les cas des corps non prolés

On s'intéresse à l'eet d'un mouvement vibratoire de exion ou de tangage sur un obstaclepour lequel l'écoulement est très largement perturbé par la géométrie de l'obstacle. Le com-portement en mouvement des zones de décollement, le cisaillement des nappes de uides et lesmécanismes d'instabilité uide ne sont assurément pas prédictibles par un modèle linéaire desécoulements. Des modèles semi-empiriques ont néanmoins été développés. Dans le cadre de mou-vements de faibles amplitudes autour d'une position d'équilibre pour laquelle l'angle d'incidencedu vent moyen sur l'obstacle reste faible et pour une zone de fréquence réduite telle que le mou-vement de la structure n'entraîne pas de résonance uide (Fr <

StBD ), Scanlan [Scanlan 1971],

[Scanlan 1974], [Scanlan 1984], [Scanlan 1996] a montré que le comportement de la composantedu chargement résultant à la fréquence du mouvement imposé demeure sensiblement linéaire.Dans ces conditions, il est alors possible de décrire correctement les eorts aéroélastiques de por-tance et de moment en identiant expérimentalement les coecients réels de termes de raideuret d'amortissement. Pour un mouvement de exion forcé harmonique, il vient ainsi:

CLae(ω) = 2[ωRH

∗1 (ωR)

h(ω)

U+ ω2

RH∗4 (ωR)

h(ω)

B] (1.62)

CMae(ω) = 2[ωRA

∗1(ωR)

h(ω)

U+ ω2

RA∗4(ωR)

h(ω)

B] (1.63)

1.5. EN RÉSUMÉ 37

Pour un mouvement de tangage forcé harmonique, cela s'exprime par:

CLae(ω) = 2[ωRH

∗2 (ωR)

Bα(ω)

U+ ω2

RH∗3 (ωR)α(ω)] (1.64)

CMae(ω) = 2[ωRA

∗2(ωR)

Bα(ω)

U+ ω2

RA∗3(ωR)α(ω)] (1.65)

Dans les zones de résonance des instabilités uides avec la fréquence du mouvement, la validitéde ces modèles est moins assurée. Elle dépendra du niveau de contrôle des instabilités uides parle mouvement. Si les fréquences sont proches et l'amplitude importante, le mouvement contrôleles instabilités uides, il n'y a alors qu'une fréquence dans le réponse du uide et les modèlesde Scanlan peuvent être utilisés. Si les fréquences sont plus éloignées ou l'amplitude trop faible,d'autres modèles doivent être envisagés.

1.5 En résumé

Ce chapitre a rappelé les mécanismes uides engendrant des eorts sur des obstacles xes oumobiles sous écoulement uniforme et les modèles permettant de décrire les eorts résultants. Enparticulier pour les obstacles xes, ce chapitre a montré qu'il était important de préciser:

1. l'inuence de la forme et de l'allongement sur l'organisation fréquentielle;

2. l'inuence du Reynolds;

3. le comportement en incidence du champ de pression et des coecients aérodynamiquesrésultants.

Pour le cas des obstacles mobiles, les caractéristiques du champ dynamique de pression et deseorts aéroélastiques résultants sont fortement sensibles:

1. à la géométrie du prol;

2. à la fréquence réduite;

3. au type de mouvement (exion, tangage) et de son amplitude.

Ces diérents points feront donc l'objet des études approfondies des chapitres 3 et 4. Ces étudesseront menées au travers d'essais en souerie et de simulations numériques. Le chapitre 2 enprécise les modalités.

39

Chapitre 2

Analyse et étude des écoulements: les

outils

La première partie de ce chapitre est consacrée à l'introduction des équations qui régissent laphysique des écoulements autour d'obstacles xes ou mobiles, et à l'introduction des paramètresadimensionnés qui conditionnent le mode opératoire des essais numériques et expérimentaux.Les essais sur maquettes sectionnelles en souerie expérimentale sont décrits dans une deuxièmepartie et les conditions d'essais et de mesures sont précisées.Le solveur uide en domaine déformable utilisé pour les simulations aérodynamiques et aéroé-lastiques est présenté dans une troisième partie. Après une rapide description des paramètresnumériques et des problèmes numériques rencontrés, la stratégie de simulation adoptée est pré-sentée et validée expérimentalement. Enn la technique de Décomposition Orthogonale aux va-leurs Propres (P.O.D) qui va être utilisée dans les chapitres 3 et 4 pour l'étude locale du champde pression est introduite dans la dernière partie de ce chapitre.

2.1 Position du problème uide

Un corps xe ou mobile dans un écoulement est soumis à un champ de force de contact générépar le mouvement relatif de l'écoulement par rapport au prol. Ces eorts dépendent des distri-butions de pression et de cisaillement à la surface S de l'obstacle (Fig. 2.1).

F =

∫ ∫ST ds (2.1)

T = σn (2.2)

n

d

S

s

Fig. 2.1 Coupe transversale d'un tablier de pont

T ,σ,n sont respectivement le vecteur des contraintes, le tenseur des contraintes et le vecteurunitaire orthonormal à la surface de l'obstacle (dirigé vers l'extérieur).Pour les problèmes uides qui nous intéressent, nous pouvons raisonnablement assimiler le uide

40 CHAPITRE 2. ANALYSE ET ÉTUDE DES ÉCOULEMENTS: LES OUTILS

à un uide visqueux de viscosité constante, newtonien et isovolume (la masse volumique de touteparticule est la même à tout instant).Dans ce cadre d'hypothèse, les composantes (σij) i=1,3

j=1,3du tenseur des contraintes s'écrivent en

fonction de la pression et des composante (ϵij) i=1,3j=1,3

du tenseur des vitesses de déformation:

(σij)i,j = −pδij + 2ρνϵij (2.3)

T = −pn+ ρν(∇u+∇uT )n (2.4)

p et u sont respectivement le champ de pression et le champ de vitesse à la surface de la structure.Ils sont solutions d'un problème uide gouverné par les équations instationnaires de Navier-Stokespour les uides newtoniens incompressibles à viscosité constante:

∂u

∂t+ (u.∇)u− ν∆u+

1

ρ∇p = 0

∇.u = 0

(2.5)

dans un domaine Ω(t) délimité par une zone de champ lointain Ω∞ où l'écoulement non perturbépar la présence de l'obstacle est uniforme et parallèle de vitesse u∞, et par la surface S(t) duprol.Les conditions aux limites de vitesse uniforme sur la frontière Ω∞ et d'adhérence 1 sur les paroisdu prol sont choisies (Fig. 2.2).

u = u∞ sur Ω∞

u(t,M) = us(t,M) M ∈ S(t)(2.6)

(t)

Ω

inf

(t)

inf

inf

inf

Ω

Ω

Ω

ΩS

Fig. 2.2 Domaine uide

2.1.1 Analyse dimensionnelle et problèmes de similitude

Pour le cas d'un obstacle xe immergé dans un écoulement uniforme, le champ d'écoulementdécrit par les équations de Naviers-Stokes est caractérisé par la vitesse U = ∥u∞∥, la longueur de

1. La condition d'adhérence impose que la vitesse de déplacement du prol au point M de l'interface uide-structure us(t,M), est transmise au uide

2.1. POSITION DU PROBLÈME FLUIDE 41

corde B et la période1

nvdu type d'instabilité tourbillonnaire dominant. Ces grandeurs permettent

une écriture des équations de Naviers-Stokes au moyen de variables adimensionnées:

xa =x

B; ua =

u

U; pa =

p

ρU2; ta = tnv (2.7)

d'où (Annexe A):

(StB)

∂ua∂ta

+ (ua.∇)ua − (1

Re)∆ua +∇pa = 0

∇.ua = 0

(2.8)

On retrouve les paramètres adimensionnés classiques de l'aérodynamique: le nombre de Reynolds

Re =UB

νet le nombre de Strouhal déni par rapport à la corde StB =

nvB

U.

Cette écriture conrme que, pour un obstacle immobile de géométrie et de position données dansun ux homogène et parallèle, les caractéristiques de l'écoulement et en particulier du charge-ment résultant sont principalement liées au nombre de Reynolds.

Lorsque l'obstacle est en mouvement relatif de faible amplitude autour d'une position moyennexe, un développement limité au premier ordre des équations de Navier-Stokes montre que l'écou-lement moyen reste principalement inuencé par le nombre de Reynolds et qu'un nouveau para-mètre physique adimensionné, la fréquence réduite, conditionne les caractéristiques aéroélastiquesde l'écoulement (Annexe A).

Soit ϵ, la dimension relative de l'amplitude du déplacement par rapport à la corde du prol, nousdénissons:

u = u0 + u1 + o(ϵ) (2.9)

p = p0 + p1 + o(ϵ) (2.10)

Une écriture adimensionnelle de la solution d'ordre 1 (solution aéroélastique) conduit à l'intro-

duction de deux nouveaux paramètres physiques, la fréquence réduite Fr =nsB

Uet le nombre

de Stokes Stokes =nsB

2

ν:

∂u1a∂ta

+1

Fr[(u0a.∇)u1a + (u1a.∇)u0a]−

1

Stokes∆u1a +

1

Fr∇p1a = 0

∇.u1a = 0

(2.11)

Dans la pratique le nombre de Stokes prend des valeurs très supérieures à la fréquence réduite quiest alors le seul paramètre dimensionnant lorsque l'on s'intéresse aux chargements de pressioninduit par le mouvement relatif de l'écoulement par rapport à l'obstacle.

La fréquence réduite Fr =nsB

Uest dénie comme le rapport entre le temps de passage d'une

particule uide le long de l'obstacle Tf =B

Uet la période de vibration Ts =

1

nsde l'obstacle.

Il quantie l'importance relative des vibrations sur l'écoulement et constitue le paramètre quiconditionne le mode opératoire des essais dynamiques.


2.2 Expériences en souerie

Les essais en souerie ont pour objectif d'appréhender, sur maquettes à échelle réduite, les eetsmécaniques (champ de pression, eorts résultants) exercés par un écoulement. Les règles qu'ilconvient d'appliquer pour transposer les résultats obtenus expérimentalement à la situation réelleou à d'autres résultats (numériques ou expérimentaux) relèvent de la similitude dynamique. Pourle cas des obstacles xes la similitude aérodynamique est conditionnée par le nombre de Rey-nolds. Lorsque l'obstacle est en mouvement de exion ou de tangage forcé harmonique, c'est lafréquence réduite qui joue un rôle prépondérant dans la réponse aéroélastique.

Pour le dimensionnement aérodynamique et aéroélastique des grands ponts soumis aux eets duvent, les essais sur maquettes sectionelles de tabliers sont les plus largement répandus. Ces essaisont pour objectif de fournir aux concepteurs d'ouvrages les coecients stationaires et instation-naires qui alimentent les modèles des eorts aérodynamiques et aéroélastiques.Dans la pratique, que ce soit pour quantier les caractéristiques de la signature des corps nonprolés ou leur comportement aéroélastique, la similitude de Reynolds est rarement respectée.Les niveaux de Reynolds accessibles en souerie expérimentale sont en eet limités par les di-mensions des veines d'essais.L'hypothèse est souvent faite qu'au delà d'un certain régime d'écoulement (de l'ordre du millierpour les corps non prolés), les caractéristiques moyennes et instationnaires du prol sont lesmêmes.Si ce type d'essais sur tronçon rigide de section constante placé dans un ux d'air bidimensionnelne conduit qu'à une simulation simpliée de la physique des écoulements réels, il a néanmoinsl'avantage de nous fournir des renseignements importants sur les mécanismes bidimensionnelsmis en jeu autour d'obstacles xes ou mobiles et d'en apprécier l'eet sur le chargement résultant.

Nous présentons dans cette section les essais expérimentaux réalisés dans la souerie à couchelimite "NSA" du Centre Scientique et Technique du Bâtiment de Nantes, en précisant lesconditions expérimentales et les techniques de mesure utilisées.

2.2.1 Conditions d'essais

Les essais ont été menés sur des maquettes sectionnelles cylindriques de section constante (Photo2.3) placées sur un banc d'essai qui se présente sous la forme de deux asques parallèles, carénéeset xées au sol de la veine (Photo 2.4). Ce banc d'essai immergé dans le ux permet de minimiserles eets des couches limites des parois latérales de la veine. En outre, les dimensions latéralesdes faces planes des asques permettent d'assurer à l'écoulement un caractère bidimensionnel.Encastrées entre les deux asques par deux connections d'extrémité (Photo 2.5), les maquettespeuvent être maintenues immobiles pour diérentes incidences par rapport à la direction del'écoulement, ou être animé d'un mouvement de exion ou de tangage harmonique grâce à undispositif d'entraînement logé dans l'épaisseur des asques.

La souerie est un anneau fermé au sein duquel l'air est propulsé par un ventilateur à pasvariable. A la suite du ventilateur l'air traverse un échangeur de chaleur qui permet de réguler latempérature du ux durant les essais, des redresseurs, puis un convergent qui ont pour fonctionde rendre le ux aussi uniforme et homogène que possible. Dans la section d'essai, le vent peutêtre considéré comme uniforme compte tenu des faibles intensités de turbulence 2

2. La vitesse mesurée dans la veine d'essai en amont de l'obstacle peut être décomposée en une com-posante moyenne V = (U,0,0) (l'écoulement moyen est supposé horizontal) et une composante uctuanteV ′(t) = (u′(t),v′(t),w′(t)). On dénit les intensités de turbulence Iu, Iv et Iw par les rapports relatifs entre les

écarts-type des composantes uctuantes u′,v′ et w′ et la valeur moyenne U : Iu =

√u′2

U, Iv =

√v′2

Uet Iw =

√w′2

U.

2.2. EXPÉRIENCES EN SOUFFLERIE 43

Fig. 2.3 Vue des trois maquettes sectionnelles utilisées

Fig. 2.4 Vue de l'intérieur de la souerie avec les deux asques constituant le banc d'essai

Fig. 2.5 Vue de la Maquette de "Millau" placée sur le banc d'essai


qui ont été mesurées (Iu = 0.7%, Iv = Iw = 0.4%). Nous verrons par contre que l'horizontalitédu ux est loin d'être parfaite, ce qui pourra entraîner des erreurs signicatives sur les résultatsprésentés.

2.2.2 Principe de la mesure

L'objectif des essais est de disposer, pour diérentes congurations aérodynamiques et aéroélas-tiques, d'informations locales précises sur le chargement uide à la surface des maquettes. Cecidoit nous permettre de mieux comprendre les mécanismes uides mis en jeu autour du prol,mais également de valider plus nement les simulations numériques eectuées.

Dans ce but, les parois des maquettes ont été équipées de prises pariétales de pression de pe-tit diamètre, réparties en couronnes sur une section centrale normale à l'axe de la maquette,et reliées par des tuyaux de vinyle à des capteurs de pression instationnaire embarqués (Photo2.6). Chaque maquette est équipée d'une couronne de plus de 60 prises pariétales de pression.Les capteurs de pression sont des capteurs diérentiels, les mesures correspondent aux pressionseectives diminuées de la pression statique dans la veine d'essai.

Fig. 2.6 Vue des capteurs de pression embarqués

Des balances dynamométriques (jauges d'extensométries xées sur des organes métalliques ri-gides où sont encastrées les extrémités des maquettes) ont également été utilisées pour mesurerles eorts globaux autour des maquettes xes pour diérentes incidences. Ce dispositif n'estprévu pour fonctionner que sur un montage rigide (maquette immobile). Lorsque la maquetteest en mouvement, les eorts aérodynamiques peuvent être calculés à partir des mesures localesdes pressions pariétales. Le déplacement de la maquette est quant à lui mesuré au moyen decapteurs laser à triangulation. Les mesures du déplacement et du champ dynamique de pressionsont synchrones.

Pour chaque essai, l'acquisition est eectuée sur une durée de 60 secondes en temps réel etla fréquence d'échantillonnage de 200 Hz utilisée limite la bande passante de la mesure à desfréquences inférieures à 80 Hz. An d'éviter une résonance pneumatique avec la fréquence deveine liée au régime de fonctionnement du ventillateur, les tuyaux de vinyle qui relient les oricesen parois des maquettes aux capteurs de pression instationnaire embarqués sont équipés d'unrestricteur à 100 Hz qui n'introduit pas de déphasage dans la mesure [Flamand 2000]. En aval


des capteurs, les signaux de pression sont directement multiplexés, ce qui induit un décalagenégligeable entre les voies (20KHz multiplié par l'écart en nombre de voie).Toutes les voies, autres que les voies des pressions, (déplacements, forces) sont ltrées par le mêmeltre passe bas à 100 Hz. Les déphasages des pressions aéroélastiques par rapport au déplacementeectif doivent donc être recalés en fonction des caractéristiques de ce ltre analogique (Tab. 2.1).

Fréquence (Hz) 1 2 3 4 5 6 7Déphasage (deg.) 3 6 9 12 15 18 21

Tab. 2.1 Déphasage du ltre passe bas à 100 Hz

Remarques

Les mesures des déplacements aux extrémités de la maquette sont sous-estimées par rap-port aux déplacements de la couronne centrale où sont placés les orices des mesures depression. L'ensemble des résultats qui sont présentés tiennent compte d'une correction de15% [De La Foye 2000] des amplitudes mesurées.

Un étalonnage de phase complémentaire du système de mesure de pression (tuyau + res-tricteur + capteur instationnaire) n'a pas permis d'identier le décalage de phase constatélors du traitement des mesures.

2.2.3 Maquettes et position des capteurs

Trois maquettes sectionnelles ont été étudiées:

une maquette de type "rectangulaire épais" de ratio 4 (Fig. 2.7);

une maquette de type "rectangulaire mince" de ratio 8 (Fig. 2.8);

une maquette de section trapézoïdale, nommée "Millau" en référence au projet de viaduchaubané pour lequel elle avait été dénie lors d'un avant projet (Fig. 2.9).

1 m

0.5 m

0.32 m

0.08 m

Fig. 2.7 Maquette rectangulaire épaisse (ratio:4) ; répartition des capteurs sur la section centrale


1 m

0.5 m

0.32 m

0.04 m

Fig. 2.8 Maquette rectangulaire ne (ratio:8) ; répartition des capteurs sur la section centrale

1.05 m

0.52 m

0.388 m

0.06 m

Fig. 2.9 Maquette trapézoïdale (Millau) ; répartition des capteurs sur la section centrale


2.2.4 Validation de l'intégration des pressions locales

Des balances dynamométriques ont été utilisées pour mesurer les eorts globaux autour desmaquettes xes pour diérentes incidences. Lorsque la maquette est en mouvement forcé, leseorts aérodynamiques peuvent être calculés à partir des mesures locales des pressions pariétales.Dans la mesure où l'on s'intéresse à des mouvements à basses fréquences, l'analyse comparéedes coecients aérodynamiques moyens issus des mesures des balances et de l'intégration desmesures de pression sur l'obstacle immobile est utilisée pour valider cette méthode. Dans lecadre de ce travail, on cherchera également à appréhender le comportement des instationnaritésde signature. Le contenu fréquentiel des historiques des eorts obtenus par intégration du champlocal de pression sera donc également commenté.

2.2.4.1 Cas du prol rectangulaire de ratio 4

L'approximation des eorts de portance et de moment par intégration du champ discret despressions mesurées en 64 points autour de la section centrale conduit à des coecients aérody-namiques moyens conformes à ceux mesurés avec les balances dynamométriques (Fig. 2.10).

−6 −3 0 3 6−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Incidence (deg.)

−C

oeffi

cien

t moy

en d

e po

rtan

ce

Balances Integration

−6 −3 0 3 6−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Incidence (deg.)

Coe

ffici

ent m

oyen

de

mom

ent


Fig. 2.10 Comportement en incidence des coecients moyen de portance et de moment (ratio4)

L'analyse comparée des historiques mesurées et approchées par intégration (Fig. 2.11 et 2.12)montre également un comportement uctuant équivalent. On retrouve bien dans les deux casune force de dérive oscillante à une fréquence proche de 24 Hz correspondant au cycle des échap-pements tourbillonnaires. Il s'agit d'une instabilité tourbillonnaire de type I:

StB

D≡ nvB

U≈ 0,59 pour nv ≈ 24Hz, U ≈ 13m/s et B = 0,32m.

Remarque: Les amplitudes crête à crête des eorts de portance mesuré et approchés par intégra-tion ne sont pas les même. Le dispositif de mesure utilisant des jauges d'extensométries xées surdes organes métalliques rigides présente un gain ≈ 2

3 à la fréquence du cycle des échappementstourbillonnaires.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−C

L

temps0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

5

10

15

20

25

30

35

freq. (Hz)

Fig. 2.11 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par balancesdynamométriques à incidence nulle (ratio 4)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−C

L

temps0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

5

10

15

20

25

30

35

freq. (Hz)

Fig. 2.12 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par intégrationdes mesures instationnaires de pression à incidence nulle (ratio 4)


2.2.4.2 Cas du prol rectangulaire de ratio 8

Le comportement en incidence du coecient de moment n'est pas correctement appréhendé parintégration (Fig. 2.13).

−6 −3 0 3 6−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Incidence (deg.)

−C

oeffi

cien

t moy

en d

e po

rtan

ce


−6 −3 0 3 6−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Incidence (deg.)C

oeffi

cien

t moy

en d

e m

omen

t


Fig. 2.13 Comportement en incidence des coecients moyen de portance et de moment (ratio8)

Le contenu fréquentiel des historiques est également diérent (Fig. 2.14 et 2.15). les mesures desbalances montrent une activité fréquentielle autour de 43 Hz qui n'apparaît pas par intégration.Des essais complémentaires du montage "banc d'essais + maquette" sans écoulement ont révéléun mode propre de torsion du dispositif dans cette gamme de fréquence. Ce mode propre du mon-tage ne semble pas perturber les mesures du champ de pression. Une faible activité fréquentielleentre 50 et 60 Hz est également visible sur les densités spectrales de puissance des coecientsde portance obtenus par les balances dynamométriques et par intégration des mesures insta-tionnaires de pression. Cette activité est probablement due à l'instabilité uide de type II quidomine la signature des prols rectangulaire de cet allongement. Elle n'est malheureusementpas très nette et ne nous permettra pas de mener correctement notre étude de comparaisonnumérique/expérience dans le chapitre 3.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−C

L

temps0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

freq. (Hz)

Fig. 2.14 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par balancesdynamométriques à incidence nulle (ratio 8)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−C

L

temps0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

freq. (Hz)

Fig. 2.15 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par intégrationdes mesures instationnaires de pression à incidence nulle (ratio 8)

2.2.4.3 Cas du prol de type "Millau"

Les coecients moyens obtenus par intégration sont très proches de ceux issus des balances dy-namométriques (Fig. 2.16).

−3 0 3−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Incidence (deg.)

−C

oeffi

cien

t moy

en d

e po

rtan

ce


−3 0 3−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Incidence (deg.)

Coe

ffici

ent m

oyen

de

mom

ent


Fig. 2.16 Comportement en incidence des coecients moyen de portance et de moment (Millau)

Comme pour le cas du prol rectangulaire de ratio 8, les mesures des balances semblent pertur-bées par un mode propre proche de 43 Hz du dispositif "banc d'essai+maquette" (Fig. 2.17). Ence qui concerne les eorts issus de l'intégration des pressions locales (Fig. 2.18), les uctuationshautes fréquences semblent liées à une perturbation à 50 Hz des mesures (d'origine électrique)ainsi qu'à une faible activité proche de 40 Hz.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.53

−0.52

−0.51

−0.5

−0.49

−0.48

−0.47

−0.46

−0.45

−0.44

−0.43

−C

L

temps0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

freq. (Hz)

Fig. 2.17 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par balancesdynamométriques à incidence nulle (Millau)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.53

−0.52

−0.51

−0.5

−0.49

−0.48

−0.47

−0.46

−0.45

−0.44

−0.43

−C

L

temps0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

freq. (Hz)

Fig. 2.18 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par intégrationdes mesures instationnaires de pression à incidence nulle (Millau)


Conclusion:

la méthode d'intégration doit permettre de calculer les eorts résultants lorsque les ma-quettes sont en mouvement forcé. Dans la mesure où l'on s'intéresse à des mouvementsà basse fréquence, l'analyse comparée des coecients aérodynamiques moyens isssus desbalances et de l'intégration est utilisée pour valider cette méthode. Les résultats que nousvenons de présenter valident cette méthode pour le cas du prol rectangulaire de ratio 4et pour le cas du prol de Millau. Une incertitude demeure quant au moment calculé parintégration pour le prol rectangulaire de ratio 8;

les mesures du champ local de pression révèlent une organisation fréquentielle très netteautour de 24 Hz pour le prol rectangulaire de ratio 4. Pour le ratio 8 on distingue unefaible activité entre 50 et 60 Hz qui devrait être dicilement exploitable. Pour le prol detype "Millau" l'origine du pic fréquentiel proche de 40 Hz sera précisée dans le chapitre 3.

2.3 Simulations numériques

Pour résoudre le problème uide qui nous intéresse, un code de résolution des équations incom-pressibles tridimensionnelles de Navier-Stokes en domaine déformable a été utilisé. Ce code NSI3-IFS résulte de l'implémentation en formulation A.L.E, (méthode Lagrangienne Eulérienne Arbi-traire), du solveur uide NSP1B3 développé par l'INRIA [Pares-Madronal 1992], [Piperno 1997].

2.3.1 Le solveur uide en maillage xe: NSP1B3

Le logiciel NSP1B3 est un code de résolution des équations incompressibles de Navier-Stokesinstationnaires tridimensionnelles dans un domaine ouvert Ω borné de IR3. Il est basé sur:

une discrétisation spatiale en éléments nis non structurés de type tétrahédrique;

une discrétisation temporelle semi-lagrangienne implicite (méthode des caractéristiquesd'ordre 1 pour le terme non linéaire de convection).

A chaque pas de temps le programme résout un problème de Stokes généralisé. On pourra trouvertous les détails sur les algorithmes utilisés dans [Pares-Madronal 1992].Plusieurs conditions initiales sont possibles:

Solution d'un problème de Stokes stationnaire;

Solution d'un écoulement potentiel irrotationnel;

Solution d'un problème de Navier-Stokes.

Plusieurs type de conditions aux limites peuvent être utilisées:

Conditions de Dirichlet dépendantes ou non de l'espace et du temps pour les vitesses;

Sortie libre du ux en aval du domaine;

Modélisation de couche limite à la paroi d'un obstacle;

Conditions sur la pression;

Conditions de périodicité ou de symétrie.

Une description précise des compatibilité des diérents types de conditions pour le traitement va-riationnel des équations et des méthodes numériques choisies est faite dans [Pares-Madronal 1992].

Pour les nombres de Reynolds élevés, la résolution numérique directe des écoulements perturbéspar la présence d'un obstacle est dicile et très coûteuse si l'on veut prédire avec précision le

2.3. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 53

comportement dans les zones de sillage et de couche limite (régime turbulent tridimensionnelmulti-échelles). Des modèles de turbulence ont également été implémentés. Ces modèles per-mettent une résolution des équations de Naviers-Stokes pour le champ d'écoulement moyen 3:

Modèle k − ϵ standard avec ou sans loi de paroi

Modèle k − ϵ bicouche

Modèle algébrique (ASM) de résolution du tenseur de Reynolds avec loi de paroi.

Les lois de paroi ne sont actuellement utilisables que pour le cas des obstacles immobiles (maillagesxes).

2.3.1.1 Discrétisation en temps

Le schéma en temps utilisé est du type Euler implicite du premier ordre:

1

∆t(u(tn+1,x)− u(tn,χ(tn; tn+1,x))− ν∆u(tn+1,x) +

1

ρ∇p(tn+1,x) = 0

∇.u(tn+1,x) = 0

(2.12)

avec tn+1tn +∆t

Il est basé sur une méthode des caractéristiques d'ordre 1 qui donne une estimation de la positionχ(tn; tn+1,x) au temps tn d'une particule se trouvant en x à l'instant tn+1, par une approximationpar segment (dans chaque élément de maillage traversé) de la trajectoire uide. Notons que pourcalculer le terme lié à la dérivée particulaire dans la formulation variationnelle du problème,il est nécessaire d'utiliser une formule d'intégration approchée avec 15 points d'intégration paréléments, de façon à assurer la stabilité numérique du schéma. C'est la partie la plus coûteuseen temps de calcul du code. Elle peut conduire au paradoxe suivant: plus le pas de temps estimportant, plus le nombre d'éléments traversés est grand et donc plus le coût de l'intégrationnumérique des caractéristiques est important, augmentant de ce fait le temps de calcul d'uneitération. Il n'est donc pas toujours utile de travailler avec des pas de temps importants lorsquel'on souhaite approcher rapidement la solution d'un problème uide. Par contre au delà d'unecertaine limite (lorsque le pas de temps est tel que le parcours d'une caractéristique ne traversepas d'éléments) le temps de calcul d'une itération ne change plus [Devaux 1996].

2.3.1.2 Discrétisation en espace

Le shéma en temps utilisé conduit à résoudre à chaque pas de temps un problème de Stokesgénéralisé pour les champs u(tn+1,.) et p(tn+1,.).

La discrétisation spatiale du problème de Stokes est basée sur un recouvrement en éléments nisnon structurés tétrahédriques 4 de type IP1/IP1-bulle 5 qui permet la conservation exacte de lamasse sur chaque élément et qui nécessite peu de degrés de liberté pour être stable [Arnold 1984].

3. L'écoulement moyen est déni au sens statistique de la turbulence; c'est l'écoulement qui subsiste si l'ongomme les uctuations turbulentes du uide.

4. La partition du domaine en tétraèdres Th vérie les conditions de régularité standard pour la méthode deséléments nis.

5. Les degrés de liberté en pression correspondent aux sommets des tétraèdres (IP1), l'espace des degrés deliberté de la vitesse est enrichi en ajoutant pour chaque élément un degré de liberté associé au barycentre (IP1-bulle).


Les inconnus du problème sont les fonctions approchées uh(tn,.) et ph(tn,.) solutions d'un systèmelinéaire de la forme:

Ahu

n+1h +Bhp

n+1h = Fn+1

h

BTh u

n+1h = Xn+1

h

(2.13)

Ah est la matrice symétrique dénie positive associée à l'opérateur elliptique : 1∆tI − υ∆, Bh est

la matrice associée au gradient de pression, Fh et Xh sont des termes sources qui proviennent dela méthode des caractéristiques et des conditions aux limites.

2.3.2 L'extension au solveur uide en maillage mobile (A.L.E)

Dans la mesure où le domaine uide Ω(t) dépend du temps, son recouvrement Th doit êtremodié à chaque pas de temps. La méthode implémentée est celle qui a été introduite parBatina [Batina 1990] et généralisée par Lesoinne et Farhat [Lesoinne 1993]. Chaque sommet detétrahèdre peut bouger mais la topologie du recouvrement reste la même. Le déplacement de lastructure S(t) est transmise "élastiquement" aux points du maillage [Piperno 1997].Le schéma en temps est alors écrit en fonction de nouvelles coordonnées ξ pour le maillage mobile.Pour chaque ξ c'est à dire pour chaque point du maillage, on associe x(tn,ξ), sa position Eulé-rienne au temps tn.

1

∆t[u(tn+1,ξ)− u(tn,χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ)))]− ν∆u(tn+1,ξ) +

1

ρ∇p(tn+1,ξ) = 0

∇.u(tn+1,ξ) = 0

(2.14)

.Les champs de vitesse et de pression au temps tn+1 sont calculés en fonction de l'état du systèmeau temps tn en 5 étatpes:

calcul du champ de vitesse −→v associé au déplacement de chaque noeud du maillage autemps tn;

déplacement du maillage;

calcul des nouvelles matrices associées;

estimation du terme u(tn,χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ)));

résolution du problème de Stokes généralisé associé à la nouvelle conguration.

L'étape la plus délicate est l'estimation du champ de vitesse Eulérien u(tn,χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ))),qui n'est pas directement accessible dans la conguration de maillage au temps tn+1.L'idée est d'introduire une nouvelle coordonnées arbitraire ξ telle que:

χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ)) ∼ x(tn,ξ) (2.15)

de sorte que

u(tn,χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ))) ∼ u(tn,x(tn,ξ)) ≡ u(tn,ξ) (2.16)

le terme u(tn,ξ) étant accessible dans la nouvelle conguration de maillage au temps tn+1.

2.4. STRATÉGIE DE SIMULATION 55

ξ est choisit de sorte que x(tn+1,ξ)χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ)) et la fonction χ est dénie par:

d

dt(χ(t; t0,x0)) = u(t,χ(t; t0,x0))−−→v (t,χ(t; t0,x0))

χ(t0; t0,x0) = x0

(2.17)

L'approximation χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ)) ∼ x(tn,ξ) est d'ordre 1 en temps dans la mesure où:

χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ)) = x(tn+1,ξ)−∆t[u(tn,x(tn+1,ξ))] +O(∆t2) (2.18)

x(tn+1,ξ) = x(tn+1,ξ)−∆t[(u−−→v )(tn,x(tn+1,ξ))] +O(∆t2) (2.19)

x(tn,ξ) = x(tn+1,ξ)−∆t[−→v (tn,x(tn+1,ξ))] +O(∆t2) (2.20)

L'équation 2.18 dérive de la dénition de la caractéristique χ(.; tn+1,x(tn+1,ξ)) pour le champ devitesse u; l'équation 2.19 dérive de la dénition de la caractéristique χ(.; tn+1,x(tn+1,ξ)) pour lechamp de vitesse u−−→v ; l'équation 2.20 provient de la dénition du mouvement du maillage etde l'équation 2.19.

d'où:

x(tn,ξ) = χ(tn; tn+1,x(tn+1,ξ)) +O(∆t) (2.21)

L'identication du champ de vitesse à l'instant tn se fait alors en trois étapes:

déplacement le long des courbes caractéristiques χ en partant des coordonnées ξ de laconguration du maillage à tn+1;

calcul des coordonnées arbitraires ξ dans la conguration du maillage à tn+1;

estimation du champ de vitesse associé au temps tn : u(tn,ξ).

2.4 Stratégie de simulation

2.4.1 La résolution numérique des equations de Navier-Stokes

La méthode la plus complète pour résoudre un problème uide est la simulation directe deséquations de Navier-Stokes. Ce type de simulation ne peut donner une représentation able (sil'on fait abstraction des erreurs inhérentes au schéma numérique employé) de la physique del'écoulement que si le maillage utilisé est capable de capter la plus petite échelle tourbillonnairepouvant se développer dans le uide (en dessous de cette échelle, les tourbillons sont dissipés parviscosité moléculaire). D'après la théorie de Kolmogorov, l'échelle de dissipation visqueuse estinversement proportionnelle à la puissance 3

4 du nombre de Reynolds:

ld ∼ B

Re34

(2.22)


Pour appréhender de façon réaliste toutes les échelles de l'écoulement il faudrait donc un recou-vrement tridimensionnel du domaine uide rapidement prohibitif 6.

Dans le cadre de ce travail, on s'intéresse au chargement moyen et instationnaire généré par lemouvement relatif d'un uide autour de corps non prolés cylindriques, xes ou en mouvementforcé. L'objectif des simulations numériques est donc d'appréhender les mécanismes d'adaptationbidimensionnels (grandes structures tourbillonnaires générées par les instabilités uide ou par lemouvement, adaptation des zones décollées ...) qui dominent le chargement aérodynamique etaéroélastique.Les résultats numériques sont comparés à des essais en souerie expérimentale pour des régimesd'écoulement relativement élevés (Re > 105). Il est a priori dicile d'envisager une simulationdirecte, même bidimensionnelle, des équations de Navier-Stokes à de tels régimes d'écoulement.Deux stratégies sont alors possibles:

1. travailler numériquement à des Reynolds plus faibles;

2. utiliser des modèles de turbulence associés aux équations de Navier-Stokes pour le champd'écoulement moyen.

Les modèles de turbulence implémentés dans le code ont été utilisés [Bournet 1999] et[Piperno 2000] dans le cadre de simulations aérodynamiques bidimensionnelles autour des troisprols xes (prols rectangulaires et prol de "Millau") et pour des régimes d'écoulement conformesà ceux mesurés en souerie. L'analyse de ces résultats (présentée au chapitre 3) nous a conduità préférer dans le cadre ce travail une approche numérique sans modèles de turbulence et à desrégimes d'écoulement plus faibles. Nous verrons aux chapitres 3 et 4 que cette approche permetavec des maillages relativement grossiers (moins de 5000 points) d'appréhender très correctementla physique des grandes échelles qui nous intéresse. En particulier, comparées aux approches avecmodèles k−ϵ et ASM, les prédictions issues de calculs sans modèles de turbulence se sont révéléesplus réalistes pour les cas des prols rectangulaires pour lesquels les écoulements présentent d'im-portantes zones de décollement liées à des mécanismes d'instabilité uide. Pour le cas du prolde "Millau" le choix d'une stratégie sans modèle de turbulence est par contre plus discutable etsera commenté au Chapitre 3.Enn à maillage et pas de temps équivalents, l'approche sans modèle de turbulence est nettementmoins consommatrice de temps CPU.

2.4.2 Problèmes numériques posés

Quel que soit le schéma numérique employé, la résolution des équations de Navier-Stokes estsensible :

à la taille du domaine uide: celui-ci doit être choisi susamment grand par rapportaux dimensions caractéristiques de l'obstacle an de limiter les eets de troncature dusillage et ne pas introduire d'eets de bord dans la solution;

aux conditions aux limites: si le domaine uide est susamment grand, il est possibled'imposer des conditions de vitesse uniforme correspondant à la vitesse de l'écoulementamont, en sortie de veine et sur les parois supérieures et inférieures. La taille du domainepourra éventuellement être réduite en aval de l'obstacle en utilisant des conditions de type"sortie libre";

6. Considérons par exemple, le cas d'un obstacle de dimension B ×D × L avec D ≈ B5et L ≈ B, placé dans

une veine numérique de dimension 10B × 10D × 10B. Si on retient un nombre de Reynolds de 105, l'echelle de

disspation est alors B

10154, soit un nombre de point de maillage de l'ordre de: 1

5[10

194 ]3

2.5. VALIDATION DES PARAMÈTRES NUMÉRIQUES 57

à la nesse de la discrétisation spatiale: plus le maillage est n, plus grande est lapossibilité de capter toute la physique de l'écoulement. Une étude de sensibilité est doncnécessaire. Selon la forme du prol et l'échelle des grandeurs physiques que l'on cherche àappréhender, il n'est pas toujours judicieux d'utiliser des maillages très ns:

pour le cas des corps anguleux, les points de décollement uide qui conditionnentla nature de l'écoulement moyen et instationnaire sont forcés aux points anguleux duprol. Contrairement au cas des obstacle prolés, il n'est donc pas nécessaire de prédireavec précision le comportement des couches limites de l'écoulement pour appréhenderce type de singularité de l'écoulement;

pour les géométries qui nous intéressent, la résultante du chargement uide est prin-cipalement due à la résultante des contraintes de pression. Elle est donc assez peusensible à une mauvaise prédiction des contraintes visqueuses de l'écoulement due aunon respect du Reynolds ou à l'emploi d'un maillage trop grossier proche des parois;

les composantes instationnaires de la portance et du moment sont liées à l'activitéde gros tourbillons cohérents (leur taille est de l'ordre de grandeur de l'épaisseur duprol) et peuvent a priori être appréhendées avec des maillages grossiers;

au pas de temps: le schéma numérique utilisé est un shéma en temps implicite d'ordre1 inconditionnellement stable. Il est donc a priori possible d'obtenir une solution quel quesoit le pas de temps employé. Comme la méthode des caractéristiques est utilisée pourapprocher les termes de convection, le pas de temps doit être choisi de sorte que le nombred'éléments traversés lorsque l'on remonte le long d'une caractéristique reste faible, ceci and'optimiser le temps de calcul CPU de chaque itération. Nous nous sommes donc basés surun critère de type CFL 7 pour choisir cette borne supérieure ∆Tmax pour le pas de temps:

∆Tmax ≈ ∆h

U(2.23)

où ∆h est une dimension caractéristique du pas d'espace dans les zones les plus ranéesproches des parois de l'obstacle.

2.5 Validation des paramètres numériques

Ces aspects de validation seront décrits et explicités dans les chapitres 3 et 4. Nous nous limitonsici à en présenter les problèmes et les résultats généraux.

2.5.1 Domaine de calcul et conditions aux limites

Le domaine uide et les conditions aux limites utilisés pour les résultats numériques sont sché-matisés sur la Fig. 2.19.En augmentant les dimensions du domaine, nous n'avons pas constaté d'eets signicatifs sur lesvaleurs caractéristiques moyennes et instationnaires qui nous intéressent. L'emploi d'une condi-tion de sortie libre s'est révélé plus consommateur en temps CPU et sans eets signicatifs surles résultats.

7. Condition de Courant-Friedrich-Levy: si U est une vitesse caractéristique de l'écoulement, le temps mis pourtraverser un élément du domaine de calcul est ∆h

U, où ∆h correspond au pas d'espace du domaine. Pour que le

calcul ait un sens, il faut que le pas de temps soit inférieur à ce temps de transport.


B

8*B

Uo

Uo

2*B

6.5*D Uo

Uo

Uo

Uo

Fig. 2.19 Description du domaine uide

2.5.2 Inuence du pas de temps

Pour un régime d'écoulement et un maillage donnés, il est possible de mettre en évidence un pasde temps limite approximatif en dessous duquel les caractéristiques moyennes et instationnairesassociés aux grandes échelles de l'écoulement varient peu. Les études de sensibilité menées pourles deux prols rectangulaires à des régimes d'écoulement Re ≈ 2.104 ont montré que ce pas detemps limite est tel que:

∆T lim ≈ ∆h

2U(2.24)

Pour le cas du prol de "Millau" au régime d'écoulement Re ≈ 5.104 ce pas de temps limite estplus faible:

∆T lim ≈ ∆h

3U(2.25)

2.5.3 Inuence du maillage

L'inuence du pas de maillage a été étudiée pour chacun des prols xes, sous écoulement dediérents Reynolds.

Pour le cas des prols rectangulaires les résultats montrent qu'à faible Reynolds (Re ≈2 103) les caractéristiques moyennes et uctuantes (correspondant aux grosses structurestourbillonnaires de l'écoulement) sont peu sensibles à un ranement de maillage supérieurà 5000 points. Pour des Reynolds plus élevés (Re ≈ 2 104), l'inuence du maillage devientpar contre importante. Les résultats présentés au chapitre 3 montrent néanmoins qu'il estpossible d'appréhender la physique des grandes échelles de l'écoulement de façon tout àfait réaliste avec un maillage d'environ 5000 points. Pour le cas des prols mobiles et dansla mesure où l'on s'intéresse à une réponse basse fréquence de l'écoulement (inférieure à lafréquence des instabilités tourbillonnaires) ce type de maillage s'est également révélé toutà fait adapté.

Pour le cas du prol de "Millau" les résultats obtenus pour Re ≈ 5 104 n'ont pas montréd'amélioration signicative à un ranement de maillage supérieur à 6000 points.

2.6 L'analyse par Décomposition Orthogonale Propre

La technique de Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres (P.O.D) est particulièrementbien adaptée pour l'étude des instationnarités uides et la détection des structures cohérentes des

2.6. L'ANALYSE PAR DÉCOMPOSITION ORTHOGONALE PROPRE 59

écoulements [Holmes 1996]. Elle est de ce fait largement utilisé pour l'identication de modèlesréduits des equations de Navier-Stokes. Elle semble également particulièremenet bien adaptépour l'analyse du chargement uide sur des obstacles xes ou mobiles [Hemon 2000]. Dans cecas précis, la méthode consiste en une projection du champ de pression instationnaire sur unebase discrète de vecteurs propres (que l'on appelera abusivement modes propres) de la matricedes corrélations spatiale des diérents points de mesures de pression autour de l'obstacle.L'originalité de cette méthode de décomposition est qu'elle est intrinsèque au champ de pressioninstationnaire étudié et donc à la nature même des mécanismes mis en jeu dans le uide autourde l'obstacle.En orant la possibilité d'analyser simultanément la physique du champ de pression en espaceet en temps et dans la mesure où la base de projection n'est pas choisie a priori mais doit êtredeterminée,la technique des P.O.D semble constituer une méthode plus générale que l'analysespectrale ou l'analyse par ondelettes pour l'étude et la compréhension du chargement uide.

2.6.1 Principe

Soit Cp(M,t) le champ discret instationnaire des pressions adimensionnées à l'interface uide-structure:

Cp(M,t) =p(M,t)12ρU

2(2.26)

M est un point de mesure de pression. Si m est le nombre de points de mesure utilisé pourl'analyse en POD, le champ Cp peut se décomposer sous la forme:

Cp(M,t) =

k=m∑k=1

µk(t)Wk(M) (2.27)

où (Wk)(k=1,m) est la base des m vecteurs propres normalisés (norme Euclidienne sur IRm),associée à la suite (λk)k=1,m des valeurs propres décroissantes de la matrice de corrélation spatialesymétrique et positive des pressions surfaciques Rc:

RcWk = λkWk (k = 1,m)

< Wk,Wj >= δk,j (j = 1,m)(2.28)

Rc = [rc(i,j)] i=1,mj=1,m

(2.29)

rc(i,j) =1

T

∫ T

0Cp(Mi,t)Cp(Mj ,t)dt (2.30)

où Mi et Mj sont deux points de mesures.

< .,. > est l'opérateur de produit scalaire canonique de IRm.Les coordonnées µk(t) de P (M,t) à l'instant t dans la base sont alors obtenues par projectionsur le mode k:

µk(t) =< Cp(t),Wk > (2.31)


2.6.2 Analyse du chargement uide par P.O.D

La technique des P.O.D a été utilisée pour l'étude du chargement de pression autour des prolsxes ou en mouvement harmonique forcé (Chapitres 3 et 4). Les résultats obtenus montrent queles premiers modes propres identiés sont représentatifs de la physique moyenne et instationnairede l'écoulement (mécanismes d'instabilité uide, mécanismes d'adaptation au mouvement) quidomine dans le chargement aérodynamique ou aéroélastique. Cette technique, particulièrementadaptée pour identier rapidement et dèlement la physique des grandes échelles, a donc étélargement utilisée dans le cadre de ce travail pour la compréhension des mécanismes tourbillon-naires mis en jeu, mais également pour l'estimation de coecients ou d'indicateurs, utilisés pourla validation expérimentale des prédictions numériques.

2.7 En résumé

Ce chapitre a brièvement rappelé les outils utilisés dans cette thèse. L'analyse de la physique desécoulements autour d'obstacles xes ou en mouvement et de leurs actions sur ces derniers reposesur des essais en souerie et des simulations numériques. Les conditions et les contraintes liéesà ces outils ont été précisées dans leurs grandes lignes mais seront développées et détaillées dansles chapitres 3 et 4. En appui à ces outils, la technique de décomposition par P.O.D est égalementintroduite pour la description spatio-remporelle du champ de pression surfacique. Son usage estlargement décrit dans les chapitres suivants.

61

Chapitre 3

Etude du chargement sur prols xes

Une analyse des résultats expérimentaux pour les deux prols rectangulaires (BD = 4 et 8) etpour le prol trapézoïdal de type "Millau" est présentée dans la première partie. La techniquedes P.O.D est utilisée pour expliciter les mécanismes tourbillonnaires mis en jeu et discuter deleur inuence sur le chargement résultant. Dans une deuxième partie les prédictions numériquessont comparées aux résultats expérimentaux pour chacun des prols testés expérimentalement.Des simulations complémentaires pour d'autres prols rectangulaires B

D = 3,5,6,7,9 et 10 sontégalement présentées. L'inuence des paramètres numériques sur la prédiction de la physique desgrandes échelles de l'écoulement et de leurs actions sur les prols est précisée.

3.1 Analyse des résultats expérimentaux

3.1.1 Rappel des conditions d'essais

Des mesures de pression instationnaire ont été réalisées sur deux prols rectangulaires de ra-tio 4 et 8 et sur un prol trapézoïdal de type "Millau" immobiles sous écoulement transversede vitesse U pour diérentes incidences par rapport à la direction de l'écoulement amont. Lesconditions d'essais mesurées sont notées dans les tableaux 3.1,3.2 et 3.3. Les conventions de signeutilisées pour dénir l'incidence α, la force de portance FL et le moment de tangage Mt sontrappelées Fig. 3.1. Le nombre de Reynolds est déni par rapport à la corde B du prol: Re = UB

ν

FL

B

U

D

α

Mt

Fig. 3.1 Rappel des conventions de signe.

Incidence U (m/s) Re

0, ±3, ±6 deg. 13 m/s 2,78 105

Tab. 3.1 Cas du prol rectangulaire épais (ratio 4)

62 CHAPITRE 3. ETUDE DU CHARGEMENT SUR PROFILS FIXES


0, ±3, ±6 deg. 12.9 m/s 2,75 105

Tab. 3.2 Cas du prol rectangulaire mince (ratio 8)


0, ±3 13 m/s 3,4 105

Tab. 3.3 Cas du prol de type "Millau"

3.1.2 Cas du prol rectangulaire de ratio 4

Le champ instationnaire de pression P (M,t) est mesuré au moyen de 64 capteurs diérentielsrépartis en couronne sur une section centrale normale à l'axe de la maquette du prol (Fig. 2.7).La portance et le moment aérodynamiques calculés par intégration du champ de pression discret(Fig. 3.2 pour la portance) oscillent de façon quasi-harmonique. La fréquence nv identiée surla densité spectrale de puissance (Fig. 3.2) est caractéristique de l'instabilité uide de collisionpropre à la signature des prols rectangulaires de faible allongement (3 ≤ B

D < 6):

StB

D≡ nvB

U≈ 0,6 (3.1)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−C

L

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

St*B/D

Fig. 3.2 Historique et densité spectrale de puissance de la portance

3.1.2.1 Analyse POD du chargement de pression instationnaire

Le champ de pression mesuré a été décomposé selon la méthode des P.O.D présentée au Chapitre2. Le traitement a été appliqué sur un temps T couvrant une cinquantaine de cycles tourbillon-naires:

TU

B≈ 50

0,6(3.2)

Sur la suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale (Fig. 3.3)les trois premières valeurs propres se distinguent; celles-ci sont associées à trois modes proprescaractéristiques du chargement aérodynamique pour ce type de prol.

3.1. ANALYSE DES RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX 63

0 10 20 30 40 50 60 7010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

λ k

k

Fig. 3.3 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale

Dans la mesure où la décomposition est eectuée à partir du champ total des pressions adimen-sionnées (par opposition au champ centré Cp(M,t) − Cp(M,t)), le premier mode propre est unmode dit "statique" de chargement moyen des pressions sur l'obstacle. Ceci apparaît très nette-ment sur la Fig. 3.4 où il y a confusion entre la contribution moyenne du premier mode propreet le champ de pression moyen

Cp(M,t) =1

T

∫ T

0Cp(M,t) ≈W1(M) 1

T

∫ T

0µ1(t)dt (3.3)

0 1 2 3 4−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4Mode 1 (intrados)

X/D

W 1

Champ moyen de pressionW1*m1

0 1 2 3 4−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4Mode 1 (extrados)

X/D

W 1


Fig. 3.4 Contribution moyenne du premier mode le long des arêtes inférieures et supérieures;m1 =

1T

∫ T0 µ1(t)dt

B

DU X

extrados

intrados

Fig. 3.5 X: repère de position sur les arêtes extrados et intrados


Les deux modes suivants (mode 2 et 3, Fig. 3.6) sont représentatifs de l'organisation tourbillon-naire dominant la signature instationnaire du prol. Les coordonnées temporelles associées µ2(t)et µ3(t) sont quasi-harmoniques à la fréquence nv du cycle des échappements tourbillonnaires(Fig. 3.7). L'allure des modes est représentatif des mécanismes mis en jeu: pour le mode 2, quiest principalement responsable du chargement de pression et des eorts résultant (Fig. 3.10), ladéformée est faible sur la première moitié du prol 0 ≤ X

D ≤ 2 et atteind un maximum pourXD ≈ 3. Cette zone correspond à la zone de collision des nappes décollées amont avec la paroioù sont crées, par enroulement des nappes de vorticité, les tourbillons d'instabilités responsablesdes uctuations du champ de pression sur la deuxième moitié du prol.

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 2

X/D

W 2

ExtradosIntrados

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 3

X/D

W 3

ExtradosIntrados

Fig. 3.6 Mode 2 et 3, le long des arêtes inférieures et supérieures

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 208

8.5

9

µ 1

Historiques

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−5

0

5

µ 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1

0

1

temps*U/B

µ 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5Densite Spectrale de Puissance

µ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

500

1000

µ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

Frequence*B/U

µ 3

Fig. 3.7 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) associées aux trois premiers modespropres

Soient CL(t) et CM (t) les coecients instationnaires de portance et de moment obtenus parintégration du champ de pression normal mesuré à la surface du prol.A chaque point Mi sur le prol est associé un vecteur position ri, un vecteur normale à la paroini orienté vers l'extérieure et une surface d'intégration ∆si.On dénit également un vecteur unitaire de portance nL, orienté vers le bas et un vecteur unitairede moment k, perpendiculaire au plan de section.Pour un champ de pression discret déni par m points de mesure, les coecients de portance etde moment s'écrivent (∆si désigne la surface d'inuence du point de mesure):


n

r

nk

L

i

i

Mi

∆si

Fig. 3.8 Convention de signe pour l'intégration des pressions normales

CL(t) = −i=m∑i=1

[Cp(Mi,t)ni · nL]∆si (3.4)

CM (t) =

i=m∑i=1

[Cp(Mi,t)ni ∧ ri].k∆si (3.5)

On note CjL(t) et C

jM (t) les sommes des contributions des j premiers modes propres dans l'ex-

pression des coecients aérodynamiques de portance et de moment:

CjL(t) = −

i=m∑i=1

[(

k=j∑k=1

µk(t)Wk(Mi))ni · nL]∆si (3.6)

CjM (t) =

i=m∑i=1

[(

k=j∑k=1

µk(t)Wk(Mi))ni ∧ ri].k∆si (3.7)

Les suites (CjL(t))j=1,m et (Cj

M (t))j=1,m dénissent les approximations successives des eortsaérodynamiques, (Ej

L)j=1,m, (EjM )j=1,m les suites des erreurs relatives correspondantes (norme

L2) et (EjσL)j=1,m, (E

jσM )j=1,m les suites des erreurs relatives des écarts-type associées:

EjP =

[∫ T0 [CL(t)− Cj

L(t)]2dt]

12

[∫ T0 [CL(t)]2dt]

12

(3.8)

EjM =

[∫ T0 [CM (t)− Cj

M (t)]2dt]12

[∫ T0 [CM (t)]2dt]

12

(3.9)

EjσL

=σCL

− σCj

L

σCL(t)(3.10)

EjσM

=σCM

− σCj

M

σCM

(3.11)

Pour le cas d'une section rectangulaire sans incidence, le chargement moyen de pression quasi-symétrique induit des eorts moyens de portance et de moment très faibles par rapport auxamplitudes des uctuations générées par les tourbillons d'instabilité (Fig. 3.10). La contributiondu premier mode est donc négligeable dans l'approximation des eorts.Les deux modes propres suivants permettent quant à eux d'approcher le signal de portance et demoment avec moins de 25% d'écart et d'identier avec une grande précision les écarts-type desuctuations (Fig. 3.9).


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100Coefficient de portance

Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100Coefficient de moment

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0

20Ecart−type du coefficient de portance

Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0

20Ecart−type du coefficient de moment

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 3.9 Evolutions de l'erreur relative sur les coecients de portance et de moment et sur lesécarts-type associés en fonction du nombre de modes

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5


CL CL1

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

CL CL2

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

CL CL3

0 5 10 15 20 25 30−0.2

0

0.2Coefficient de moment

CM CM1

0 5 10 15 20 25 30−0.2

0

0.2

CM CM2

0 5 10 15 20 25 30−0.2

0

0.2

temps*U/B

CM CM3

Fig. 3.10 Contribution des trois premiers modes propres pour la portance et le moment résul-tants

Bien que le mode 2 ait une contribution prépondérante dans le comportement instationnairedes eorts résultants (Fig. 3.10), il est cependant nécéssaire de tenir compte des deux modesinstationnaires (modes 2 et 3), si l'on souhaite appréhender correctement le comportement spatio-temporel du champ de pression induit par l'instabilité uide qui domine la signature de ce typede prol. En approchant le champ de pression instationnaire avec le seul mode 2 on obtient:

Cp(M,t)− Cp(M,t) = Cp(M,t) ≈ µ2(t)W2(M) (3.12)

Compte tenu du coomportement quasi-harmonique de la coordonnées temporelle µ2(t) celaconduit à:

Cp(M,t) ≈W2(M)M2 cos(2πnvt− ψv2) (3.13)

où M2 cos(2πnvt− ψ2) est la composante harmonique à la fréquence nv de la coordonnée tem-porelle µ2.


Bien que susante pour approcher les eorts aérodynamiques résultants, cette approximation nerend pas compte de l'évolution du déphasage des uctuations de pression le long du prol induitpar la convection des tourbillons d'instabilité.

En exprimant le champ uctuant avec les modes 2 et 3 et les composantes harmoniques à lafréquence nv de leurs coordonnées temporelles µ2 et µ3 il vient:

Cp(M,t) ≈W2(M)M2 cos(2πnvt− ψv2) +W3(M)M3 cos(2πnvt− ψv3) (3.14)

qui peut s'exprimer sous la forme:

Cp(M,t) ≈ Cpv(M) cos(2πnvt− Φv(M)− ψv) (3.15)

Les distributions de l'amplitude Cpv(X

D) et du déphasage relatif par rapport au point anguleux

amont Φv(X

D)−Φv(0) du champ de pressions uctuant à la fréquence nv ont été identiées. Elles

sont présentés le long de l'arête extrados Fig. 3.11.La quasi-linéarité de la distribution de déphasage sur une large zone en aval de la mi-cordenous permet d'identier un nombre d'onde k et donc une vitesse de convection des tourbillonsd'instabilité Vc dans cette zone.k′ = kD étant la pente de la régression linéaire identié:

Vc =2πnvk

=⇒ VcU

= 2πStk′

≈ 0,7 (3.16)

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

X/D

Cp v

Amplitudes des fluctuations de pression

0 1 2 3 4−50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

X/D

Φv

Dephasages relatifs des fluctuations de pression

Dephasage relatif Regression lineaire

Fig. 3.11 Distributions de l'amplitude et du déphasage relatif (par rapport au point anguleuxamont) du champ de pression uctuant à la fréquence nv le long de l'arête extrados



Le champ instationnaire de pression P (M,t), est mesuré au moyen de 62 capteurs diérentielsrépartis en couronne sur une section centrale normale à l'axe de la maquette du prol (Fig.2.8). La portance et le moment aérodynamiques calculés par intégration de ce champ discret depression (Fig. 3.12 pour la portance) ont un comportement uctuant important. Les résultats ex-périmentaux de [Nakamura et al 1991], [Ozono et al 1992] font état d'une activité tourbillonnairecorrespondant à une instabilité de collision de type II pour ce prol rectangulaire d'allongement8:

StB

D≡ nvB

U≈ 1,2 (3.17)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−C

L

temps*U/B0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

St*B/U


Même si les densités spectrales de puissance des eorts de portance et de moment (Fig. 3.12pour la portance) ne révèlent pas d'organisation fréquentielle très nette dans cette gamme defréquence, la décomposition POD du champ instationnaire de pression nous permet d'exhiber 2modes qui semblent correspondre à l'activité tourbillonnaire décrite par [Nakamura et al 1991],[Ozono et al 1992].


De manière identique au cas du prol rectangulaire de ratio 4, le champ de pression mesuré aété décomposé selon la méthode des P.O.D sur un temps T couvrant ici aussi une cinquantainede cycles tourbillonnaires:

TU

B≈ 50

1,2(3.18)

Sur la Fig. 3.13, seule la première valeur propre se distingue. Celle-ci est associée au mode"statique" de chargement moyen (Fig. 3.14).


0 10 20 30 40 50 60 7010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

λ k

k


0 2 4 6 8

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2Mode 1 (intrados)

X/D

W 1


0 2 4 6 8

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4


X/D

W 1


Fig. 3.14 Contribution moyenne du premier mode le long des arêtes inférieures et supérieures;m1 =

1T

∫ T0 µ1(t)dt

Les deux modes suivants (modes 2 et 3) sont présentés (Fig. 3.15). Les coordonnées temporellesassociées µ2(t) et µ3(t) sont uctuantes et leur analyse spectrale montre une activité fréquentielleun peu plus forte dans la zone 1 ≤ nvB

D ≤ 1,5 (Fig. 3.16) qui semble être en accord avecl'équation 3.17 caractéristique d'une instabilité de type II. L'allure des modes semble égalementêtre représentative de cette instabilité: les déformées sont peu marquées sur le premier tiers duprol 0 ≤ X

D < 3 et deviennent importantes sur la seconde moitié du prol. L'onde de vibrationest liée à la convection de tourbillons d'arête générés avant la mi-corde. La longueur d'ondeassociée λ et la position de la zone de collision des nappes de uide décollées en amont avec laparoi pour X ≈ d verient les conditions 3.19 typiques de l'instabilité uide de type II (Fig.3.15).

d ≈ λB ≈ (2 + ϵ)λ

0 < ϵ <1

2

(3.19)


Contrairement au cas du prol rectangulaire de ratio 4, les déformées extrados et intrados desmodes 2 et 3 ne sont pas symétriques. Cette dissymétrie, probablement liée à la non horizonata-lité de l'écoulement dans la veine d'essai, est également visible sur les distributions des pressionsmoyennes au niveau des arêtes supérieures et inférieures du prol (Fig. 3.14).

0 2 4 6 8−0.5

−0.25

0

0.25

0.5Mode 2

X/D

W 2

ExtradosIntrados

0 2 4 6 8−0.5

−0.25

0

0.25

0.5Mode 3

X/D

W 3

ExtradosIntrados

Fig. 3.15 Modes 2 et 3, le long des arêtes inférieures et supérieures

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 206

6.5

7

µ 1

Historiques

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

0

1

µ 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.5

0

0.5

1

temps*U/B

µ 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1Densite Spectrale de Puissance

µ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

µ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

Frequence*B/U

µ 3


A la diérence du prol rectangulaire de ratio 4, il n'est pas possible d'énoncer que seuls lesmodes 2 et 3 sont dominants dans les eorts aérodynamiques résultants (Fig. 3.18). La Fig. 3.17montre que le nombre de modes à prendre en compte pour la reconstruction des eorts doitêtre assez grand (≥ 15) pour avoir une erreur relative sur les coecients aérodynamiques et uneerreur relative sur les écarts-type de ces coecients faibles (≤ 10%). Compte tenu de la bandepassante du système de mesure, les deux premier modes instationnaires sont néanmoins les seulsqui soient physiquement interprétables par la technique des P.O.D.


0 10 20 30 40 50 60 700

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

0 10 20 30 40 50 60 700

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

0 10 20 30 40 50 60 70−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

0 10 20 30 40 50 60 70−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 3.17 Evolutions de l'erreur relative sur les coecients de portance et de moment et surles écarts-type associés en fonction du nombre de modes

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2Coefficient de portance

CL CL1

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2CL CL2

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

temps*U/B

CL CL3

0 5 10 15 20 25 30−0.05

0


CM CM1

0 5 10 15 20 25 30−0.05

0

0.05CM CM2

0 5 10 15 20 25 30−0.05

0

0.05

temps*U/B

CM CM3



3.1.4 Cas du prol trapézoïdal de type "Millau"

Le champ instationnaire de pression P (M,t) est ici mesuré au moyen de 64 capteurs diérentielsrépartis en couronne sur une section centrale normale à l'axe de la maquette du prol (Fig.2.9). La portance et le moment aérodynamiques calculés par intégration du champ discret despressions (Fig. 3.19 pour la portance) ont un comportement uctuant. Les uctuations hautesfréquences semblent liées à une perturbation à 50 Hz des mesures (d'origine électrique) ainsi qu'àune faible activité proche de 40 Hz.La décomposition P.O.D du champ instationnaire de pression est analysée an d'expliciter lesmécanismes mis en jeu.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.53

−0.52

−0.51

−0.5

−0.49

−0.48

−0.47

−0.46

−0.45

−0.44

−0.43

−C

L

temps*U/B0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

St*B/U



0 10 20 30 40 50 60 7010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

λ k

k

Fig. 3.20 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de correlation spatiale

Sur la Fig. 3.20, seule la première valeur propre se distingue. Celle-ci est associée au mode"statique" de chargement moyen (Fig. 3.21).Les deux modes suivants (modes 2 et 3) sont liés à une activité uctuante de l'écoulement en avalde la zone de décollement extrados (Fig. 3.22 sur la première moitié du prol). Les déforméessont faibles dans une zone proche du point de décollement amont et deviennent importantes dansla zone de recollement situé au quart amont du prol. Il semble que des tourbillons sont généréspar collision des nappes décollées sur le prol. Ces tourbillons sont rapidement dissipés lorsqu'ilsse convectent vers l'aval et les déformées sont presques nulles sur la seconde moitié du prol (Fig.


W1*m1 Champ moyen de pression

Fig. 3.21 Comparaison de la contribution moyenne du mode 1 avec le champ moyen de pression

3.22).

Mode 2 Mode 3

Fig. 3.22 Représentation des deux premiers modes propres instationnaires du champ de pression

L'analyse spectrale des coordonnées temporelles associées µ2(t) et µ3(t) (Fig. 3.23) révèlent desspectres relativement confus qui ne nous permettent pas d'associer une fréquence à l'activitétourbillonnaire extrados qui vient d'être identiée.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 205.9

6

6.1

6.2

µ 1

Historiques

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.5

0

0.5

µ 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.5

0

0.5

temps*U/B

µ 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4Densite Spectrale de Puissance

µ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

µ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

Frequence*B/U

µ 3


Comme pour le cas du prol rectangulaire de ratio 8, les modes 2 et 3 n'ont qu'une contributionlimitée dans la reconstruction des eorts de portance et de moment (Fig. 3.25). La Fig. 3.24montre en eet que les 6 premiers modes sont à prendre en compte pour avoir un niveau deprécision acceptable (≤ 10 %) simultanément vérié pour les erreurs relatives des coecientsaérodynamiques et des écarts-type associés. Ici aussi, la bande passante du système de mesurene nous permet pas d'identier avec précision la physique des modes instationnaires dominantsainsi que leur contribution dans le chargement uide.


0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

6

8


Err

reur

rel

ativ

e (%

)

0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

6

8


Err

reur

rel

ativ

e (%

)

nombre de mode

0 10 20 30 40 50 60 70−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

0 10 20 30 40 50 60 70−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 3.24 Evolutions de l'erreur relative sur les coecients de portance et de moment et surles écarts-type associés en fonction du nombre de modes

0 5 10 15 20 25 30−0.55

−0.5

−0.45

−0.4Coefficient de portance CL

CL1

0 5 10 15 20 25 30−0.55

−0.5

−0.45

−0.4 CL CL2

0 5 10 15 20 25 30−0.55

−0.5

−0.45

−0.4

temps*U/B

CL CL3

0 5 10 15 20 25 300.06

0.07

0.08


CM CM1

0 5 10 15 20 25 300.06

0.07

0.08

0.09CM CM2

0 5 10 15 20 25 300.06

0.07

0.08

0.09

temps*U/B

CM CM3


3.1.5 Conclusions

Les champs des pressions instationnaires mesurés pour les deux prols rectangulaires de ratio 4et 8 et pour le prol trapézoïdal de "Millau" immobiles à incidence nulle ont été décomposés enmodes propres de chargement en utilisant la technique des POD présentée au Chapitre 2. Pourl'ensemble des prols, le premier mode est un mode de chargement moyen. Pour le cas des prolsrectangulaires, les deux premiers modes instationnaires sont représentatifs de l'activité des tour-billons d'instabilité qui dominent le chargement uide. Ces deux modes le sont très clairementpour le cas du prol rectangulaire épais de ratio 4. Pour le cas du prol rectangulaire de ratio8, deux modes d'instabilité ont également été calculés mais leur forme et leur contribution n'apas pu être identiée de façon précise d'une part à cause de la non horizontalité de l'écoulementdans la veine d'essai, mais également de la bande passante du système de mesure. Pour le cas duprol de "Millau", deux modes liés à une activité tourbillonnaire extrados sur la première moitiédu prol ont été identiés, la contribution de ces mécanismes dans le chargement instationnairen'a également pas pu être estimée précisément.Les simulations numériques vont nous aider à préciser ces interrogations.

3.2. ANALYSE DES RÉSULTATS NUMÉRIQUES 75

3.2 Analyse des résultats numériques

Des simulations aérodynamiques pour chacun de ces prols ont été eectuées. Elles sont présen-tées dans la deuxième partie de ce chapitre et comparées avec les résultats d'essais. Les para-mètres numériques sont choisis an de permettre d'appréhender les mécanismes tourbillonnairesqui viennent d'être décrits. Une analyse comparée des résultats numériques et expérimentauxest eectuée d'une part an d'apprécier l'aptitude de notre outil de simulation à prédire lasignature aérodynamique des corps non prolés, mais également an d'apporter un éclairagecomplémentaire sur les mécanismes uide identiés expérimentalement et sur leur inuence dansle chargement résultant.

3.2.1 Indicateurs de validation

Les prédictions numériques des caractéristiques moyennes et instationnaires du champ de pressionet des eorts résultants sont comparées entre elles ou avec des résultats d'essais, au traversd'indicateurs suivants:

1. Comparaison des distributions moyennes de pression à la surface du prol. Chaque mesurede pression instationnaire est adimensionnée et moyennée sur un intervalle de temps Tcouvrant plusieurs cycles d'instabilité uide:

Cp(Mi) =1

T

∫ T

0[p(Mi,t)12ρU

2]dt (3.20)

2. Comparaison des valeurs de Strouhal issues de l'analyse fréquentielle des coecients ins-tationnaires de portance ou de moment. Soit nv la fréquence dominante dans la résultantedu chargement de pression. St sera calculé par l'expression:

St =nvD

U(3.21)

3. Comparaison des moyennes CL, CM et des écarts-type σCL, σCM

des coecients instation-naires de portance et de moment;

CL =1

T

∫ T

0[FL(t)12ρU

2B]dt (3.22)

CM =1

T

∫ T

0[Mt(t)

12ρU

2B2]dt (3.23)

σCL=

√1

T

∫ T

0[CL(t)− CL]2dt (3.24)

σCM=

√1

T

∫ T

0[CM (t)− CM ]2dt (3.25)

4. Comparaison des premiers modes instationnaires (mode 2 et 3) de la décomposition or-thogonale propre du champ instationnaire de pression. Ces modes sont représentatifs del'activité tourbillonnaire dominant le chargement uide instationnaire.



Des simulations aérodynamiques ont été eectuées pour deux régimes d'écoulement: Re = 2 103,2 104 sans modèles de turbulence.L'inuence de la nesse du maillage sur les prédictions numériques du comportement de l'écoule-ment a été étudiée pour Re = 2 103. Cette étude de sensibilité a montré qu'au delà de 5000 pointsle comportement du champ de pression moyen et instationnaire (associé aux grosses structurestourbillonnaires de la signature du prol) varie peu.Les résultats obtenus pour un maillage de référence M1 comportant un peu moins de 5000 points 1

et M4 d'environ 10000 points 2 sont présentés (Tab. 3.4, Fig. 3.26 et 3.27). Pour chaque maillageune étude de sensibilité du pas de temps a été eectuée. Les résultats présentés ont été obtenusavec les pas de temps asymptotiques identiés.

Maillage Np a (NpIFS b) δh c δT −CL CM St× B

DσCL

σCM

M1 4746 (300) 0,008 0,00625 0,017 -0,002 0.59 0.307 0,046M4 10784 (500) 0,005 0,003625 0,023 0,001 0.59 0.307 0,047

Tab. 3.4 Résultats numériques; ratio 4, ux laminaire (Re = 2 103)

aNombre de pointsbNombre de point sur le prol

c δh =∆h

B: taille relative des éléments du maillage proche des parois

0 1 2 3 4−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2Champ moyen de pression (extrados)

X/D

Coe

ffici

ent m

oyen

de

pres

sion

Num M1Num M4

Fig. 3.26 Inuence du maillage sur les prédictions du champ moyen de pression; Re = 2103

On observe:

une distribution moyenne de pression identique le long du prol (Fig. 3.26);

des coecients moyens de portance très faibles dans les deux cas dans la mesure où le prolest symétrique (Tab. 3.4);

une organisation tourbillonnaire identique. Les modes instationnaires 2 et 3 sont équivalents(Fig. 3.27) et sont associés à des valeurs de Strouhal égales (Tab. 3.4);

des écarts-type également très proches (Tab. 3.4).

1. le maillage M1 comporte 4746 points dont la distribution est ranée autour et dans le sillage de l'obstacle2. Le maillage M4 est obtenu par ranement du maillage de référence M1 dans tout le domaine


0 1 2 3 4−0.4

−0.2

0

0.2

0.4Mode 2 (extrados)

X/D

W2

Num M1Num M4

0 1 2 3 4−0.4

−0.2

0

0.2


X/D

W3

Num M1Num M4

Fig. 3.27 Inuence du maillage sur les prédictions des modes 2 et 3 du champ de pressioninstationnaire; Re = 2103

Ces résultats montrent qu'il est possible d'appréhender la signature tourbillonnaire générée au-tour d'un prol rectangulaire épais avec un maillage de moins de 5000 points en travaillant àun régime d'écoulement modéré Re = 2 103. Le même maillage M1 a été utilisé pour un régimed'écoulement 10 fois plus élevé et donc plus proche du Reynolds mesuré dans la veine d'essais. Lesrésultats des simulations eectuées pour Re = 2 103 et Re = 2 104 sont comparés aux résultatsexpérimentaux.

3.2.2.1 Caractéristiques du chargement à incidence nulle

L'identication des grandeurs intégrées (valeurs moyennes, écarts-type, valeurs de Strouhal) etdes modes propres POD est faite sur une fenêtre couvrant une trentaine de cycles tourbillon-naires. Au cours d'un cycle, deux tourbillons sont lachés en aval de la structure. L'un provientde l'arête supérieure et l'autre de l'arête inférieure. Les mécanismes mis en jeu étant a priorisymétriques entre l'extrados et l'intrados, les distributions moyennes de pression doivent êtreidentiques sur les arêtes et les coecients moyens de portance et de moment voisins de zéro.Numériquement c'est le cas malgré le fait que le maillage n'est pas parfaitement symétrique etque la fenêtre de traitement est de taille limitée. Expérimentalement, les coecients moyens sontplus élevés (Tab. 3.5). Cela traduit une disymétrie de l'écoulement sans doute due à une nonhorizontalité de l'écoulement soué dans la veine d'essai.

−CL CM St× B

DσCL

σCM

Expérimental (Re = 2.78 105) 0.116 -0,01 0.58 0.237 0,05Numérique (Re = 2 103) 0,017 -0,002 0.59 0.307 0,046Numérique (Re = 2 104) 0,01 0,0025 0.59 0.29 0,054

Tab. 3.5 Résultats expérimentaux et numérique; ratio 4, ux laminaire

Les distributions des pressions moyennes ainsi que les modes 2 et 3 de la décomposition P.O.Dsont comparés le long de l'arête extrados (Fig. 3.28 et 3.29).


0 1 2 3 4−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4


X/D

Cp

Exp Re=2.78 105

Num Re=2 103 Num Re=2 104

Fig. 3.28 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression

0 1 2 3 4−0.4

−0.2

0

0.2


X/D

W2

Exp Re=2.78 105


0 1 2 3 4−0.4

−0.2

0

0.2


X/D

W3

Exp Re=2.78 105


Fig. 3.29 Comparaison calculs-essais sur les modes 2 et 3 du champ instationnaire de pression(extrados)

La signature aérodynamique du prol rectangulaire de ratio 4 se caractérise par: un recollement sur la deuxième moitié du prol des décollements de uide initiés aux arêtesvives amont;

une activité tourbillonnaire organisée et contrôlée par des mécansimes d'instabilité uidede type I (cf. Chapitre 1).

Ces singularités de l'écoulement sont appréhendées numériquement pour les deux régimes d'écou-lement Re = 2 103 et Re = 2 104. Les prédictions numériques sont néanmoins plus proches desrésultats expérimentaux pour les simulation eectuées au Reynolds le plus élevé.Les déformées des modes 2 et 3 issus du traitement des résultats numériques et expérimentauxsont proches (Fig. 3.29). On retrouve donc numériquement un comportement tout à fait réa-liste des tourbillons d'instabilité. Ce qui mérite d'être noté ici, est que l'erreur commise sur laprédiction numérique des niveaux moyens de pression le long de l'arête (illustrée par la Fig.3.28) n'inue pas sur la description de l'activité tourbillonnaire qui domine la signature du prol(Fig. 3.29). En d'autre termes, une mauvaise caractérisation du champ moyen n'implique pasune mauvaise description des tourbillons d'instabilité. L'erreur commise sur le champ moyen estdue à une mauvaise prédiction de la physique des plus petites échelles de l'écoulement associéesà des fréquences plus élevées.


Les tourbillons d'instabilité génèrent d'importantes uctuations des eorts aérodynamiques (Fig.3.2 pour la portance mesurée expérimentalement et Fig. 3.30 pour la portance calculée numéri-quement). Les valeurs de Strouhal associées (Tab. 3.5) sont identiques et en parfait accord avec lesrésultats numériques et exérimentaux de [Okajima 1982], [Shiraishi 83], [Nakamura et al 1991] et[Okajima 1992]:

St ≡N I

vD

U≈ 0.6

D

B(3.26)

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

St*B/D

DSP(CL)

type I (IFS1)

Fig. 3.30 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance;B

D= 4

Les niveaux de uctuations sont par contre légèrement surestimés numériquement (Tab. 3.5).

RemarquesUn modèle de turbulence k−ϵ + loi de paroi de type Reichardt a été utilisé conjointement à cetteétude par [Bournet 1999] pour des régimes d'écoulement conformes à ceux mesurés en souerie.Les résultats obtenus sur un maillage équivalent au maillage M1 ne montrent pas d'améliorationssignicatives du niveau moyen des pressions au niveau de la zone décollée (Fig. 3.31). On observeégalement un comportement singulier des prédictions avec modèle de turbulence dans la zone derecollement (2 ≤ X

D ≤ 3). Il est en eet dicile de caler un modèle de turbulence de type k − ϵavec loi de paroi si l'on souhaite appréhender le comportement d'écoulements autour d'obstaclesmals prolés présentant de larges zones de décollement. Le caractère dissipatif de ce modèle asouvent tendance à perturber le champ d'écoulement moyen dans ces zones de forte vorticité.Dans la suite de ce travail, c'est la stratégie sans modèle de turbulence et à Reynolds modéréRe = 2 104 qui a été préférée an d'étudier le comportement aérodynamique et aéroélastiquedes prols rectangulaires.

3.2.2.2 Comportement du chargement moyen en incidence

Les prédictions numériques des coecients moyens de pression le long du prol (Cp(X)) et descoecients aérodynamiques moyens de portance (CL) et de moment (CM ) sont comparées auxrésultats expérimentaux pour le prol en incidence.Les résultats numériques sont issus de simulations eectuées sur le maillage M1 pour un Reynoldsde 2 104.

Les distributions moyennes de pression sont présentées du point d'arrêt amont A au point avalV . Qualitativement les calculs sont en bon accord avec les résultats expérimentaux et montrent


A 0 1 2 3 4 V−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Cp

X/D

Champ moyen de pression (intrados)

Exp Re= 2.78 105 Num Re=2 104 Num (k−ε/loi de paroi) Re=2.78 105


A V

B

D

X

Fig. 3.32 Le point d'arrêt amont est noté A, le point de fuite aval est noté V, X repère laposition sur le contour du prol extrados (X = 0 au point anguleux amont, X = B au pointanguleux aval)

qu'un maillage relativement grossier (moins de 5000 points) est en mesure de capter l'évolutionen incidence des caractéristiques moyennes 3 des zones décollées de l'écoulement (Fig. 3.33,3.34 et3.35 ). On observe bien un décalage progressif du point de recollement vers l'aval pour les arêtessupérieures et vers l'amont pour les arêtes inférieures à incidence croissante. L'évolution descoecients aérodynamiques de portance et de moment est donc réaliste mais l'erreur commisesur la prédiction du niveau moyen de pression, en particulier au niveau des zones décolléesintrados entraîne cependant des erreurs signicatives sur les valeurs de ces coecients (Fig. 3.36)

A 0 1 2 3 4 V−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Cp

X/D

Champ moyen de pression (extrados)

ExpNum

A 0 1 2 3 4 V−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Cp

X/D


ExpNum

Fig. 3.33 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence nulle

3. Taille moyenne, position moyenne du point de recollement (point d'inexion sur les courbes).


A 0 1 2 3 4 V−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Cp

X/D


ExpNum

A 0 1 2 3 4 V−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Cp

X/D


ExpNum

Fig. 3.34 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence 3 deg.

A 0 1 2 3 4 V−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Cp

X/D


ExpNum

A 0 1 2 3 4 V−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Cp

X/D


ExpNum


0 3 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Incidence (deg.)

Coe

ffici

ent m

oyen

de

port

ance

ExpNum

0 3 6−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

Incidence (deg.)

Coe

ffici

ent m

oyen

de

mom

ent

ExpNum

Fig. 3.36 Comportement en incidence des coecients aérodynamiques moyens de portance etde moment



Les résultats numériques sont issus de simulations eectuées pour un régime d'écoulement modéréRe = 2 104 et avec un maillage de type M1 comportant environ 5000 points dont la distributionest ranée autour et dans le sillage de l'obstacle.Ces résultats sont comparés aux résultats expérimentaux obtenus sous écoulement quasi-uniformede Reynolds de ≈ 2,75 105.

L'identication des grandeurs intégrées (valeurs moyennes, écarts-type, valeurs de Strouhal) etdes modes propres POD est faite sur une fenêtre couvrant une trentaine de cycles tourbillonnaires.

3.2.3.1 Caractéristiques du chargement à incidence nulle

Les distributions des pressions moyennes ainsi que les modes 2 et 3 de la décomposition P.O.Dsont comparées le long de l'arête extrados (Fig. 3.37 et 3.38). Les modes d'instabilité (modes 2et 3) issus du traitement des résultats numériques et expérimentaux sont relativement voisins.

0 2 4 6 8−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0Champ moyen de pression (extrados)

X/D

Exp Num M1−Re=20000


0 2 4 6 8−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


X/D

Num M1−Re=2000

0 2 4 6 8−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


X/D

Num M1−Re=2000

Fig. 3.38 Comparaison calculs-essais sur les modes 2 et 3 du champ instationnaire de pression(extrados)

Contrairement au cas expérimental, la fréquence nv ≈ 1,1UB caractéristique d'une instabilité

uide de type II domine les densités spectrales de puissance des coordonnées temporelles µ2(t)etµ3(t) associées aux modes 2 et 3 issus du traitement de la solution numérique (Fig. 3.39).

Cela conrme que ces deux modes sont représentatifs du chargement instationnaire induit par lestourbillons d'instabilité de type II mis en évidence par [Nakamura et al 1991], [Ozono et al 1992].


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203.5

4

4.5Historiques

µ 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

µ 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

temps*U/B

µ 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2


µ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

µ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

Frequence*B/U

µ 3

Fig. 3.39 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) associées aux trois premiers modespropres; (Numérique)

Cette instabilité se caractérise par une distance de collision des nappes de vorticité amont, parrapport à la face amont du prol, inférieure à une demi-longueur de corde. La zone de démarrage(avant la mi-corde) des ondes de vorticité sur les prols des modes 2 et 3 de la décompositionPOD de la solution numérique (Fig. 3.38) semble donc tout à fait réaliste.

L'erreur commise sur la prédiction numérique des niveaux moyens de pression le long de l'arête(Fig. 3.37) est assez importante (la taille moyenne de la zone décollée est un peu surestimée dansnos simulations). Si elle n'a que peu d'incidence sur les prédictions de l'activité tourbillonnairequi domine la signature du prol elle pourra perturber le comportement aéroélastique de la ré-ponse dans le cadre des simulations de mouvement forcé.

Les tourbillons d'instabilité génèrent d'importantes uctuations des eorts aérodynamiques (Fig.3.40 pour la portance mesurée expérimentalement et Fig. 3.41 pour la portance calculée numé-riquement). La valeur de Strouhal prédite numériquement (Tab. 3.6) est en bon accord avec lesrésultats expérimentaux de [Nakamura et al 1991]:

St ≡nIIv D

U≈ 1,2

D

B(3.27)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−C

L

temps*U/B0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

St*B/U


Le traitement des mesures expérimentales ne nous a pas permis d'identier une valeur de Strou-hal. Les mesures révèlent également des niveaux de uctuations plus faibles que ceux obtenus par


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

St*B/D

type I (IFS1)

type II (IFS2)

Fig. 3.41 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance (numérique)

simulation numérique pour un régime d'écoulement 10 fois plus faible. Le Reynolds expérimentalplus élevé peut être responsable de l'atténuation des instabilités uides et donc des uctuationsde pression.

−CL CM St× B

DσCL

σCM

Expérimental (CSTB) 0,063 -0,0001 0,034 0,01Expérimental (Nakamura) 1.25

Numérique -0,017 0,005 1.13 0.122 0,024

Tab. 3.6 Résultats expérimentaux et numérique; ratio 8, ux laminaire

Une sous-harmonique caractéristique d'une instabilité uide de type I: nIv ≈ 0,6UB est également

présente dans le chargement simulé numériquement. La présence de cette instabilité caractériséepar un point de collision des nappes de vorticité au-delà de la mi-corde (plus en aval que pourl'instabilité uide de type II) permet d'expliquer l'erreur commise sur la prédiction du champmoyen des pressions.L'occurrence de l'un ou l'autre de ces deux types d'instabilité dans l'écoulement dépend demécanismes non linéaires complexes [Nakamura et al 1991].


Les prédictions numériques des coecients moyens de pression le long du prol (Cp(X)) et descoecients aérodynamiques moyens de portance (CL) et de moment (CM ) sont comparées auxrésultats expérimentaux pour le prol en incidence.

Qualitativement les calculs sont en bon accord avec les résultats expérimentaux et montrentqu'un maillage relativement grossier (moins de 5000 points) est en mesure de capter l'évolutiondes caractéristiques moyennes 4 des zones décollées de l'écoulement (Fig. 3.42,3.43 et 3.44).

Malgré cela et comme pour le cas du prol de ratio 4, l'erreur commise sur la prédiction du niveaumoyen de pression, en particulier au niveau des zones décollées intrados (zones de succion del'écoulement) entraîne des écarts signicatifs dans les prédictions quantitatives du comportementen incidence des coecients aérodynamiques (Fig. 3.45)

4. Taille moyenne, position moyenne du point de recollement (point d'inexion sur les courbes).


A 0 2 4 6 8 V−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

X/D

Coefficient moyen de pression (extrados)

ExpNum

A 0 2 4 6 8 V−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

X/D

Coefficient moyen de pression (intrados)

ExpNum

Fig. 3.42 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence nulle

A 0 2 4 6 8 V−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

X/D


ExpNum

A 0 2 4 6 8 V−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

X/D


ExpNum


A 0 2 4 6 8 V−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

X/D


ExpNum

A 0 2 4 6 8 V−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

X/D


ExpNum


0 3 6−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Incidence (deg.)

−C

oeffi

cien

t moy

en d

e po

rtan

ce

ExpNum

0 3 6−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Incidence (deg.)

Coe

ffici

ent m

oyen

de

mom

ent

ExpNum



3.2.4 Inuence de l'allongement sur le chargement instationnaire

Pour les prols rectangulaires, la signature est contrôlée par des mécanismes d'instabilité pourlesquels des tourbillons se forment alternativement sur les arêtes supérieures et inférieures parcollision des couches de cisaillement issues des point anguleux amont. C'est la distance d du pointde décollement des nappes de vorticité amont à leur point de collision sur les arêtes (point degénération des tourbillons d'instabilité) qui conditionne le type d'instabilité et la fréquence duchargement uide.

Des simulations aérodynamiques ont été eectuées sur des prols rectangulaires d'allongementBD = 3,4,5,6,7,8,9 et 10. La technique des POD a été utilisée pour étudier les chargements depression instationnaire calculés.

Pour chaque allongement, les modes propres 2 et 3 de la décomposition POD sont représentatifsde l'activité tourbillonnaire qui domine le chargement uide. Ces modes sont comparés en fonc-tion de l'allongement. La distance d est repérée sur la déformée du mode 2 dans la zone où lepremier "ventre de vibration" est maximum.

Pour les allongements 3 ≤ BD ≤ 5, le point de collision est situé au-delà de la mi-corde et

la distance relative dB varie peu avec l'allongement (Fig 3.46).

Pour des prols d'épaisseur D constante, la distance d augmente donc progressivementavec la corde B, de sorte que le point de collision reste au-delà de la mi-corde et vérie lesconditions 3.28. On parle d'un mode d'instabilité de type I.

d ≈ λB ≈ (1 + ϵ)λ

0 < ϵ <1

2

(3.28)

Lorsque l'allongement augmente (6 ≤ BD ≤ 8), le point de collision est décalé vers l'amont,

et la distance relative dB est également pratiquement la même pour les trois allongements

BD = 6,7,8 (Fig 3.47). L'instabilité uide dominante est de nouveau caractérisée par uneaugmentation de la distance de collision avec la corde. Dans la mesure où le point de collisonse situe cette fois avant la mi-corde et vérie 3.29, on parle d'un mode d'instabilité de typeII.

d ≈ λB ≈ (2 + ϵ)λ

0 < ϵ <1

2

(3.29)

Pour BD = 9 et 10 la zone de génération des tourbillons située sur le premier tiers du prol

vérie 3.30. Elle est donc caractéristique d'une instabilité de type III (Fig 3.48).

d ≈ λB ≈ (3 + ϵ)λ

0 < ϵ <1

2

(3.30)


0 0.25 0.5 0.75 1−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2


X/B

Coe

ffici

ent m

oyen

de

pres

sion

R3R4R5

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


X/BW

2

R3R4R5

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


X/B

W3

R3R4R5

Fig. 3.46 Distribution du champ moyen et des modes 2 et 3 du champ de pression instationnairecontrôlé par une instabilité de type I; (ratio 3, 4 et 5)

0 0.25 0.5 0.75 1−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2


X/B

Coe

ffici

ent m

oyen

de

pres

sion

R6R7R8

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


X/B

W2

R6R7R8

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


X/B

W3

R6R7R8

Fig. 3.47 Distribution du champ moyen et des modes 2 et 3 du champ de pression instationnairecontrôlé par une instabilité de type II; (ratio 6, 7 et 8)

0 0.25 0.5 0.75 1−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1


X/B

Coe

ffici

ent m

oyen

de

pres

sion

R9 R10

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


X/B

W2

R9 R10

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


X/B

W3

R9 R10

Fig. 3.48 Distribution du champ moyen et des modes 2 et 3 du champ de pression instationnairecontrôlé par une instabilité de type III; (ratio 9 et 10)


Les historiques des eorts de portance sont maintenant comparés en fonction de l'allongement:

pour 3 ≤ BD ≤ 5, la signature est dominée par une instabilité uide de type I.

Pour le prol d'allongement 3, la bonne corrélation entre la longueur de corde du pro-l et la longueur d'onde naturelle des nappes de vorticité issues des points anguleux enamont conduit à une organisation tourbillonnaire très nette et donc à une oscillation quasi-harmonique de la portance à la fréquence du cycle tourbillonnaire (Fig. 3.49). Pour B

D = 4et 5, l'adaptation du mode de résonance uide à des longueurs de corde plus importantesgénère une activité tourbillonnaire moins régulière qui domine néanmoins les eorts résul-tants (Figs. 3.50 et 3.51).

0,53U

B≤ nIv ≤ 0,6

U

B(3.31)

pour 6 ≤ BD ≤ 8, la signature est dominée par une instabilité uide de type II.

L'organisation fréquentielle est également plus régulière pour l'allongement BD = 6 (Fig.

3.52), pour lequel la demi-longueur de corde du prol est proche de la longueur d'ondenaturelle des nappes de vorticité issues des points anguleux en amont, que pour B

D = 7(Fig. 3.53) et B

D = 8 (Fig. 3.54).

nIIv ≈ 1,1U

B(3.32)

Une sous-harmonique caractéristique d'une instabilité uide de type I: nIv ≈ 0,6UB est égale-

ment présente dans le chargement prédit numériquement pour le cas du prol rectangulaired'allongement 8.

pour 9 ≤ BD ≤ 10, la signature est dominée par une instabilité uide de type III.

1,45U

B≤ nIIIv ≤ 1,6

U

B(3.33)

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

St*B/D

DSP(CL)

type I (IFS1)


D= 3


15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

St*B/D

DSP(CL)

type I (IFS1)


D= 4

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

5

10

15

St*B/D

DSP(CL)

type I (IFS1)


D= 5

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

St*B/D

DSP(CL)

type II (IFS2)


D= 6

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

St*B/D

DSP(CL)

type II (IFS2)


D= 7


15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

St*B/D

type I (IFS1)

type II (IFS2)


D= 8

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

1

2

3

4

5

6

St*B/D

DSP(CL)

type III (IFS3)


D= 9

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

CL

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

St*B/D

DSP(CL)

type III (IFS3)


D= 10


3.2.4.1 Comportement du Strouhal en fonction de l'allongement

Les prédictions numériques des valeurs de Strouhal associées aux instabilités uides dominantessont comparées aux résultats expérimentaux de [Nakamura et al 1991] obtenus pour des régimesd'écoulement équivalents 3 103 ≤ Re ≤ 3 104.

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

Ratio (B/D)

St*

B/D

Num Exp (Nakamura)Exp (CSTB)

Fig. 3.57 Evolution du produit Strouhal par l'allongement en fonction de l'allongement

L'augmentation par pallier du produit Strouhal par l'allongement est assez bien appréhendéenumériquement (Fig. 3.57); les valeurs de Strouhal numériques et expérimentales sont très prochespour le premier palier (allongement 3,4 et 5); pour les allongements dominés par une instabilitéuide de type II (6,7 et 8), les prédictions numériques sont inférieures aux résultats expérimentauxde [Nakamura et al 1991]; l'écart est par contre important pour les allongements les plus élevés.

3.2.5 Cas du prol trapézoïdal de type "Millau"

Des simulations aérodynamiques ont été eectuées pour deux régimes d'écoulement Re = 1,4 104

et Re = 5,4 104. L'inuence du pas de maillage 5 sur les prédictions numériques du comportementde l'écoulement a été étudiée pour ces deux régimes d'écoulement. Que ce soit pour Re = 1,4 104

ou Re = 5,4 104, elle est faible pour un ranement supérieur à 6000 points. Les résultats obte-nus avec un maillage de référence Mil1 de 5565 points (dont 300 sur le prol), et deux maillagesMil2, Mil3 ranés proches des parois et dans le sillage (7032 points dont 422 sur le prol pourMil2, 8366 points dont 553 sur le prol) sont proches (Fig. 3.58 pour Re = 5,4 104). L'analysecomparée des résultats obtenus pour Re = 1,4 104 et Re = 5,4 104 montrent également que lesprédictions sont plus proches des résultats expérimentaux pour le régime d'écoulement le plusélevé (Fig. 3.59). On observe toutefois que la zone décollée extrados amont est numériquementsurestimée en longueur tandis que les niveaux moyens de pression dans cette zone de suction sontplus faibles que ceux mesurés expérimentalement. A l'intrados du prol on retrouve une alluredes distributions des pressions surfaciques moyennes proches de celles identiées expérimentale-ment sur la première moitié du prol mais avec des niveaux moyens de pression inférieurs. Surla deuxième moitié du prol les résultats numériques et expérimentaux sont très diérents.

5. Un pas de temps asymptotique en dessous duquel les caractéristiques moyennes et instationnaires du champde pression surfacique varient peu, a été identié pour chaque maillage utilisé. Ce pas de temps est égalementfonction du Reynolds.


Des simulations avec modèle de turbulence k − ϵ + loi de paroi de type Reichardt ont été réali-sées pour Re = 5,4 104 et Re = 3,4 105 (Reynolds mesuré dans la veine d'essais). Les résultatsobtenus sont comparés aux résultats issus d'un calcul laminaire et aux résultats d'essais (Tabs.3.7, 3.8 et Fig. 3.60). Si le modèle k − ϵ avec loi de paroi améliore très nettement la prédictiondu comportement moyen de pression intrados, il ne permet pas de capter la zone de décollementextrados amont. En ce qui concerne le comportement instationnaire de l'écoulement, il est sur-estimé par les simulations "laminaires" (sans modèle de turbulence) et pratiquement inexistantlorsque l'on utilise un modèle de type k − ϵ.En conclusion c'est l'approche laminaire qui sera préférée dans la suite de ce travail, d'une partpour accéder aux mécanismes d'instabilité tourbillonnaire sur le prol xe, mais également lorsdes simulations aéroélastiques. Nous verrons en eet au Chapitre 4 que le comportement aé-roélastique des eorts (en particulier le moment de tangage) est principalement inuencé par lecomportement dynamique de la zone décollé extrados amont et seule l'approche laminaire s'estrévélée en mesure d'approcher le comportement de l'écoulement dans cette zone.

−1.5

−1

−0.5

0

0.5Champ moyen de pression (extrados)

Cp

ExpMil1 Mil2 Mil3

−2

−1.5−1

−0.50

0.5Champ moyen de pression (intrados)

Cp

Fig. 3.58 Inuence du maillage sur les prédictions numériques au Reynolds Re = 5,4 104

−1.5

−1

−0.5

0


Cp

Exp Num−Re=14000Num−Re=54000

−2

−1.5−1

−0.50


Cp

Fig. 3.59 Inuence du Reynolds sur les prédictions numériques; maillage Mil1, δT = 0,0016


−1.5

−1

−0.5

0


Cp

Exp Re=3.4 105 modele laminaire Re=5.4 104 modele k−ε (lp) Re=5.4 104

modele k−ε (lp) Re=3.4 105

−2

−1.5−1

−0.50


Cp

Fig. 3.60 Inuence du modèle k−ϵ sur les prédictions numériques; maillage Mil1, δT = 0,0016

−CL CM St× BD σCL

σCM

-0.473 0,071 0,0138 0,004

Tab. 3.7 Résultats expérimentaux; Re ≈ 3.4 105

Modèle −CL CM St× BD σCL

σCM

laminaire Re = 5,4 104 0,084 -0,068 1,7 0,09 0,019k − ϵ− lp, Re = 5,4 104 -0.57 0,031 aucun 3 10−4 5 10−5

k − ϵ− lp, Re = 3.4 105 -0.59 0,030 aucun 3 10−4 5 10−5

Tab. 3.8 Résultats numériques; maillage Mil1 5565 points (δh ≈ 0,008 et δT ≈ 0,0016)


3.2.5.1 Caractéristique du chargement à incidence nulle

Les résultats numériques sont issus de simulations eectuées sur le maillage Mil1 pour un Rey-nolds de 5,4 104. Ces résultats sont comparés aux résultats expérimentaux obtenus sous écoule-ment quasi-uniforme de Reynolds: Re ≈ 3.4 105.

L'identication des grandeurs intégrées (valeurs moyennes, écarts-type, valeurs de Strouhal) etdes modes propres POD est faite sur une fenêtre couvrant une trentaine de cycles tourbillonnaires.La décomposition POD du champ de pression instationnaire calculée a été eectuée. Contraire-ment à celle issue du traitement du champ de pression mesuré expérimentalement, deux valeurspropres se distinguent sur la suite décroissante des valeurs propres de la matrice des corrélationsspatiales (Fig. 3.61).

0 10 20 30 40 50 60 7010

−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

λ k

k


Le mode associé à la deuxième valeur propre (premier mode instationnaire) contribue principa-lement aux eorts instationnaires résultants (Fig. 3.62). Il est représentatif des uctuations depression sur la seconde moitié du prol (Fig. 3.63)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.6

−0.4

−0.2

0


CL CL1

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

temps*U/B

CL CL2

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.05

0

0.05

0.1


CM CM1

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.05

0

0.05

0.1

0.15

temps*U/B

CM CM2

Fig. 3.62 Contribution des deux premiers modes propres pour les eorts résultants

Les calculs laminaires prédisent en eet une activité tourbillonnaire issue de l'interaction, en avaldu prol, des nappes décollées des bords de fuite extrados (au niveau du marchepied aval) etintrados (au niveau du changement d'inclination du prol au 3/4 de la corde). Cette organisation


Mode 2 (Num)

Fig. 3.63 Mode 2 de la décomposition P.O.D du champ de pression calculé

qui s'apparente à des échappements alternés de tourbillons en aval de l'obstacle n'apparaît pasdans la décomposition POD du champ de pression mesuré.Au Reynolds mesuré en souerie cette activité tourbillonnaire est sans doute écrasée par laturbulence qui se développe sur la seconde moitié du prol. Cette eet de la turbulence sur lechamp d'écoulement n'est pas prise en compte dans le cadre des simulations laminaires ce quientraîne des écarts signicatifs au niveau des distributions du champ de pression moyen calculéeset mesurées sur la seconde moitié du prol.

Le mode 2 étant absent de la décomposition expérimentale, les modes 3 et 4 de la décompositiondu champ de pression calculé doivent donc être comparés aux modes 2 et 3 de la décompositiondu champ de pression mesuré (Fig. 3.64).

Mode 2 (Exp)Mode 3 (Num)

Mode 3 (Exp)Mode 4 (Num)

Fig. 3.64 Représentation des premiers modes propres du champ de pression calculé et mesuré

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

µ 1

Historiques

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

µ 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

µ 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

temps*U/B

µ 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

20


µ 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1000

2000

µ 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

200

400

µ 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

100

200

Frequence*B/U

µ 4

Fig. 3.65 Coordonnées temporelles µ1(t); µ2(t), µ3(t) et µ4(t)

Les déformées des modes identiés sont importantes sur l'extrados du prol en aval de la zone derecollement des nappes décollées. Elles sont numériquement décalées vers la mi-corde par rapportau modes expérimentaux. A l'exception de ce décalage, l'allure de ces deux modes est très proche.Les densités spectrales de puissance des coordonnées temporelles µ3(t) et µ4(t) calculées (Fig.3.65) montrent que ces modes instationnaires sont représentatifs d'une activité tourbillonnaire


à une fréquence nv ≈ 1,2BU . Les tourbillons générés par collision des nappes décollées amont

sont alors rapidement dissipés le long du prol et les déformé modales sont très faibles sur laseconde moitié du prol. Cette fréquence n'apparaît pas dans la densité spectrale de puissancede la portance calculée (Fig. 3.66) dans la mesure où le chargement instationnaire est dominépar les échappements tourbillonnaires avals dont l'organisation est caractérisée par la fréquence:nv2 ≈ 1,7B

U .

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

−C

L

temps*U/B0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

St*B/D

DSP(CL)

Fig. 3.66 Historique et densité spectrale de puissance de la portance calculée


Le chargement de pression normal est représenté le long du prol sans incidence (Fig. 3.67) etpour des incidences de 3 degrés et -3 degrés (Fig. 3.68). En chaque point de mesure, la direction etl'intensité de la pression normal ne dépend que de la valeur algébrique du coecient de pression.Les normales étant orientées vers l'intérieur du prol, une zone de dépression se traduit par despoints à l'extérieur du prol.

Le comportement en incidence de l'écoulement est appréhendé qualitativement. On observe uneréduction de la zone décollé amont à incidence négative et une augmentation à incidence positive.Sur l'intrados les niveaux moyen de pression restent largement sous-estimés.Malgré cela les prédictions du comportement en incidence du coecient aérodynamique de mo-ment sont conformes aux résultats expérimentaux (Fig. 3.69). Pour le coecient de portance, lasurestimation de la zone de suction sur l'extrados du prol conduit néanmoins à une surestima-tion de l'augmentation de l'eet de portance négative avec l'incidence.

3.3 En résumé

Une analyse des résultats expérimentaux a été eectuée. Les champs de pression instationnairemesurés ont été décomposés en modes propres de chargement en utilisant la technique des PODprésentée au Chapitre 2. Pour chacun des prols testés expérimentalement les premiers modespropres instationnaires ont été étudiés. L'analyse de ces modes propres a permis de clarier lesmécanismes tourbillonnaires principalement responsables du comportement instationnaire deseorts résultants.Pour le cas des prols rectangulaires, des tourbillons sont générés par collision des nappes devorticité (issues des décollements amont) sur les arêtes supérieures et inférieures. Pour le cas duprol de Millau, les deux premier modes instationnaires sont également relatifs à une activité

3.3. EN RÉSUMÉ 97

Exp (0 deg.)Num (0 deg.)

Fig. 3.67 Chargement moyen de pression à incidence nulle

Exp (−3 deg.)Num (−3 deg.)

Exp (+3 deg.)Num (+3 deg.)

Fig. 3.68 Chargement moyen de pression à -3 deg. d'incidence et +3 deg. d'incidence

−3 0 3−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Incidence (deg.)

−C

oeffi

cien

t moy

en d

e po

rtan

ce

ExpNum

−3 0 30

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Incidence (deg.)

Coe

ffici

ent m

oyen

de

mom

ent

ExpNum



tourbillonnaire sur l'arête extrados.

Des simulations aérodynamiques ont été eectuées sur des prols rectangulaires ainsi que sur leprol de Millau.Les résultats obtenus sur les prols rectangulaires de ratio 4 et 8 sont en bon accord avec lesrésultats d'essais. Ils montrent que la signature moyenne et instationnaire d'un prol rectangulairesous écoulement de Reynolds élevé peut être appréhendée avec un maillage de moins de 5000points par simulation directe des équations de Navier-Stokes (sans modèle de turbulence) pourdes Reynolds modérés (Re = 2 104).Des maillages équivalents d'environ 5000 points ont également été utilisés pour les simulationseectuées sur des prols rectangulaires d'allongement B

D =3, 5, 6, 7, 9 et 10.La décomposition POD du champ de pression calculé nous a permis de clarier le comportementinstationnaire du chargement de pression en fonction de l'allongement. Les résultats obtenus sonten bon accord avec les résultats expérimentaux de [Nakamura et al 1991].Pour le cas du prol de Millau, nous avons constaté des diérences importantes entre les calculs"laminaires" (sans modèle de turbulence) et les essais. Il semble que les calculs "laminaires"à Reynolds modéré favorisent les échappements tourbillonnaires en aval de l'obstacle ce quimodie les distributions moyennes des pression sur le dernier plan incliné intrados du prol.Conformément aux résultats d'essais on trouve une faible activité tourbillonnaire extrados enaval de la zone de recollement des lets uides avant la mi-corde. Cette zone de décollement estnéanmoins surestimée dans les simulations.Le comportement en incidence de l'écoulement et en particulier celui des zones décollées amontest qualitativement appréhendé par des simulations laminaires. Pour le cas des prols mobiles etdans la mesure où l'on s'intéresse à une réponse basse fréquence de l'écoulement (inférieure à celledes instabilités tourbillonnaires) on s'attend à ce que ce type de maillage soit également tout àfait adapté pour appréhender les uctuations aéroélastiques qui sont, nous le verrons au chapitresuivant, principalement inuencées par l'adaptation au mouvement des zones de décollementamont.

99

Chapitre 4

Etude du chargement sur prols

mobiles

Le mouvement d'un obstacle sous écoulement transverse génère des uctuations locales du uideet des mécanismes d'adaptation de l'écoulement. Pour le cas des tabliers de ponts en mouvementvibratoire, la réponse dynamique de l'écoulement induit un chargement qui, dans la mesure oùil dépend du déplacement, modie la dynamique du système couplé "structure-écoulement". Ledimensionnement aéroélastique des grands ouvrages sensibles aux eets du vent repose sur unemodélisation du chargement aéroélastique en fonction des caractéristiques du vent et du mou-vement vibratoire. Dans le cadre d'une approche simpliée (du type modélisation linéaire deScanlan), les composantes des eorts uides instationnaires sont appréhendées au travers demodèles linéaires fonction des déplacements et de leurs dérivées premières. Ces modèles fontapparaître des coecients instationnaires (dits de Scanlan) qui sont identiés lors d'essais spéci-ques en souerie. Les méthodes expérimentales les plus utilisées consistent à réaliser des essaissur prols rigides en mouvement forcé harmonique. Dans ce contexte, une étude du chargementuide pour trois prols types sous écoulement transverse de Reynolds élevé et pour des mou-vement de tangage forcé harmonique est présentée. Cette étude repose sur une analyse de laréponse dynamique du champ de pression et des eorts résultants. L'étude locale du comporte-ment des pressions surfaciques est en eet indispensable si l'on souhaite mieux appréhender lesmécanismes uides mis en jeu et leur incidence sur les eorts aéroélastiques résultants.Une analyse des résultats expérimentaux est présentée dans la première partie de ce chapitre.Des prédictions numériques sont comparées aux résultats expérimentaux dans une deuxièmepartie. Sur la base de ces résultats, l'inuence de paramètres physiques tels que l'amplitude dumouvement vibratoire et le nombre de Reynolds est discutée.

4.1 Analyse des résultats expérimentaux

Une analyse des résultats expérimentaux pour les deux prols rectangulaires et pour le proltrapézoïdal de type "Millau" est présentée. Le champ de pression mesuré pour chacun des essaisen mouvement de tangage forcé a été décomposé selon la méthode des P.O.D présentée auchapitre 2. Les premiers modes de la base discrète des modes propres du chargement de pressionsont étudiés et leur contribution sur les eorts aérodynamiques de portance et de moment estprécisée. Les composantes aéroélastiques du chargement de pression identiées dans le cadred'une modélisation linéaire (de type Scanlan) de la réponse dynamique du champ de pressionsont également présentées. L'inuence de la vitesse réduite et de l'amplitude du mouvementimposé sur les mécanismes uides mis en jeu et sur le chargement aéroélastique résultant estdiscutée.

100 CHAPITRE 4. ETUDE DU CHARGEMENT SUR PROFILS MOBILES

4.1.1 Rappel des conditions d'essais

Des mesures de pression instationnaire ont été réalisées sur deux prols rectangulaires de ratio 4et 8 et sur un prol trapézoïdal (prol d'un avant projet du viaduc de Millau) en mouvement detangage forcé harmonique sous écoulement transverse de vitesse U pour diérentes amplitudes etfréquences de vibration. Les conditions d'essais mesurées sont rappelées dans les tableaux 4.1,4.2et 4.3 :

FL

B

U

D

α

Mt

Fig. 4.1 Conventions de signe.

L'obstacle est pourvu d'un mouvement de tangage:

α(t) = α∗ cos(ωt− θ) (4.1)

On dénit la vitesse réduite par:

U∗ =1

Fr=

2πU

ωB(4.2)

α∗ ns =ω2π (Hz) U∗ U (m/s) Re

0,018 rad. (7,1 6 5,1 3,2 2,1 0,8) (4,3 5,1 6 9,6 14,9 39) 9,8 2,09 105

0,035 rad. (6,1 5,1 4 3 2,1 0,8) (5 6,1 7,5 10,2 14,5 37,7) 9,7 2,07 105

0,07 rad. (7,1 6,1 5,1 4,1 3,2 2,1 1,1) (4,4 5,1 6,1 7,5 9,7 14,4 27,4) 9,8 2,09 105

Tab. 4.1 Conditions d'essais en mouvement de tangage forcé pour le prol rectangulaire épais(ratio 4).


0,018 rad. (7,2 6 5,1 4,1 3,2 2,2 1,1) (4,2 5 6 7,4 9,6 13,9 27,8) 9,8 2,09 105

0,035 rad. (7 5,9 5 4,1 3 2,1 1,1) (5,9 7 8,2 10,1 13,8 19,3 36,3) 13,2 2,8 105

0,065 rad. (7 6 5,1 4 3 2,1 1,1) (5,8 6,8 8 10,2 13,5 19 36,3) 13 2,8 105

Tab. 4.2 Conditions d'essais en mouvement de tangage forcé pour le prol rectangulaire n(ratio 8).


0,018 rad. (7 6,1 5,1 4,1 3,1 2,1) (4,8 5,6 6,7 8,4 11,1 16,7) 13 3,4 105

0,036 rad. (7,1 5,9 5,1 4,2 3,2 2,1) (4,7 5,7 6,7 8,1 10,4 16,4) 13 3,4 105

0,065 rad. (7,1 6 5,1 4,2 3,2 1,9) (4,8 5,6 6,8 8,5 11,3 16,9) 13,1 3,4 105

Tab. 4.3 Conditions d'essais en mouvement de tangage forcé pour le prol de type "Millau".


4.1.2 Cas du prol rectangulaire de ratio 4 en mouvement de tangage forcé

4.1.2.1 Analyse P.O.D du chargement de pression instationnaire

Le champ de pression mesuré pour chacun des essais en mouvement de tangage forcé a été dé-composé selon la méthode des P.O.D présentée au chapitre 2. Une étude détaillée des solutionscorrespondantes au mouvement d'amplitude α∗ ≈ 0,035rad pour la plus basse (U∗ ≈ 5) et la plusélevée (U∗ ≈ 37,7) des vitesses réduites testées est présentée. Les inuences de la vitesse réduiteet de l'amplitude du mouvement imposé sur les mécanismes uides mis en jeu et le chargementaéroélastique résultant seront ensuite discutées.

La décomposition orthogonale propre est eectuée sur un temps T ≈ 50

ns.

La suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale associée au mouve-ment de vitesse réduite U∗ ≈ 37,7 (on parlera de mouvement "lent 1") est présentée sur la Fig. 4.2.

0 10 20 30 40 50 60 7010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

λ k

k

α*=0.035rad ; U*=37.7

Fig. 4.2 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale pour α∗ ≈0,035rad et U∗ ≈ 37,7.

Les deux premières valeurs propres sont associées à deux modes propres qui contribuent majoritai-rement aux eorts aérodynamiques de portance et de moment (Fig. 4.3). Les courbes d'évolutiondes erreurs relatives des coecients de portance et de moment et des écarts-type associés enfonction du nombre de mode (Fig. 4.4) montrent en eet qu'une troncature du champ de pres-sion sur ces deux premiers modes propres de la décomposition P.O.D permet d'approcher prèsde 80 % des eorts instationnaires et conduit à des erreurs négligeables sur les écarts-type (<1 %).

Comme pour le cas de l'obstacle immobile, la contribution moyenne du premier mode représentele chargement moyen des pressions sur l'obstacle (Fig. 4.5):

Cp(M,t) =1

T

∫ T

0Cp(M,t) ≈W1(M) 1

T

∫ T

0µ1(t)dt (4.3)

1. Cette appelation de mouvement "lent" s'applique ici dans la mesure où, à vitesse d'écoulement constantedans la veine d'essai, U∗ ≈ 37,7 correspond au mouvement imposé de plus faible fréquence. Il serait en fait plusjudicieux de parler d'une période de vibration de la structure 37,7 fois plus grande que le temps de passage d'uneparticule uide le long de la corde du prol.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1

−0.5

0

0.5


CL CL1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1

−0.5

0

0.5

1

temps*U/B

CL CL2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.2

−0.1

0

0.1


CM CM1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

temps*U/B

CM CM2

Fig. 4.3 Contributions des trois premiers modes propres pour les eorts résultants (U∗ ≈ 37,7).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 4.4 Evolutions de l'erreur relative des coecients de portance et de moment et des écarts-type associés en fonction du nombre de mode (U∗ ≈ 37,7)

Le chargement moyen de pression en régime dynamique pour U∗ ≈ 37,7 est également proche decelui identié sur le prol xe et sans incidence (Fig. 4.5).

La coordonnée temporelle associée au mode 1, µ1(t), (Fig. 4.6) a une faible activité fréquencielleà la fréquence ns du mouvement imposé ( 1

U∗ = nsBU ≈ 0,0265), à la fréquence nv de l'instabilité

uide caractéristique de la signature du prol xe ( 1U∗ = nvB

U ≈ 0,6) ainsi qu'à la fréquence ne dusecteur (ne ≈ 1,65U

B ≈ 50Hz). La contribution du premier mode sur les uctuations des eortsaérodynamiques reste néanmoins négligeable (Figs 4.3 et 4.4) et l'on a:

C1L(t) = −

i=m∑i=1

[µ1(t)W1(Mi))ni · nL]∆si ≈ CL(t) (4.4)

C1M (t) =

i=m∑i=1

[µ1(t)W1(Mi))ni ∧ ri].k∆si ≈ CM (t) (4.5)


0 1 2 3 4−1.5

−1.4

−1.3

−1.2

−1.1

−1

−0.9


X/D

W1*

m1


0 1 2 3 4−1.6

−1.5

−1.4

−1.3

−1.2

−1.1

−1

−0.9

−0.8

−0.7


X/D

W1*

m1

profil fixeU*=37.7

Fig. 4.5 Contribution moyenne du mode 1 le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 37,7; comparai-son avec le chargement moyen de pression en régime dynamique (gauche) et avec le chargement

moyen de pression identié sur le prol xe et sans incidence (droite); m1 =1T

∫ T0 µ1(t)dt.

0 50 100 150 200 2507

8

9

10

µ 1

Historiques

0 50 100 150 200 250−5

0

5

µ 2

0 50 100 150 200 250−2

0

2

temps*U/B

µ 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100


µ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1000

2000

3000

µ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

100

200

Frequence*B/U

µ 3

Fig. 4.6 Coordonnées temporelle µ1(t), µ2(t) et µ3(t) pour U∗ ≈ 37,7

Le mode 2 est proche du premier mode d'instabilité uide identié pour le cas du prol xe sansincidence (Fig. 4.7). La densité spectrale de puissance de la coordonnée temporelle µ2(t) qui luiest associée révèle néanmoins deux organisations fréquentielles distinctes (Fig. 4.6). La premièrecorrespond à la fréquence ns du mouvement imposé et la seconde est à rapprocher de l'instabilitéuide de type I caractéritique de la signature du prol rectangulaire de ratio 4 en faible incidence( 1U∗ = nvB

U ≈ 0,6). Le deuxième mode instationnaire (mode 3 dans la décomposition P.O.D), acomme pour le cas du prol xe sans incidence, une contribution plus faible dans le chargementinstationnaire. Ce mode 3 est également très proche du mode 3 identié pour le prol xe (Fig.4.7), ce dernier correspondant au deuxième mode propre associé à l'instabilité uide de type I.Comme pour le cas du mode 2, la coordonnée temporelle associée au mode 3, µ3(t), révèle 2 picsénergétiques (Fig. 4.6). Le premier, à la fréquence ns du mouvement imposé et le second, plusélevé, à la fréquence de l'instabilité uide de type I ( 1

U∗ = nvBU ≈ 0,6). Le prol rectangulaire

de ratio 4 a une signature tourbillonnaire très énergétique. Lorsqu'il est en mouvement de faibleamplitude les modes associés à l'instabilité uide de type I restent les modes instationnaires deplus haute énergie pour le champ de pression surfacique . Il semble également, d'après les his-toriques de la Fig. 4.3, que les uctuations aéroélastiques basse fréquence des eorts résultantssoient appréhendées par le premier mode instationnaire (mode 2).


0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3Mode 2

X/D

W 2

Extrados (profil immobile)Intrados (profil immobile)Extrados (U*=37.7) Intrados (U*=37.7)

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 3

X/D

W 3

Extrados (profil immobile)Intrados (profil immobile)Extrados (U*=37.7) Intrados (U*=37.7)

Fig. 4.7 Modes 2 et 3 en régime xe et mobile (U∗ ≈ 37,7), le long des arêtes extrados etintrados

Pour étudier l'inuence des premiers modes propres sur le comportement aéroélastique des ef-forts résultants, de nouveaux coecients instationnaires issus de l'intégration spatiale des modespropres sont introduits.

Le champ de pression discret se décompose en m modes propres P.O.D.:

Cp(M,t) =

k=m∑k=1

µk(t)Wk(M) (4.6)

Les coecients instationnaires de portance et de moment aérodynamiques obtenus par intégrationdu champ discret s'écrivent alors:

CL(t) = −i=m∑i=1

[(k=m∑k=1

µk(t)Wk(Mi))ni · nL]∆si (4.7)

CM (t) =i=m∑i=1

[(k=m∑k=1

µk(t)Wk(Mi))ni ∧ ri].k∆si (4.8)

On introduit les suites (G∗Lk)(k=1,m) et (G

∗Mk

)(k=1,m) des coecients de portance et de momentassociés à la décomposition P.O.D. Ces coecients sont dénis par:

G∗Lk

= −i=m∑i=1

[Wk(Mi)ni · nL]∆si (4.9)

G∗Mk

=i=m∑i=1

[Wk(Mi)(ni ∧ ri).k]∆si (4.10)

d'où l'on a:

CL(t) = CL(t) +k=m∑k=2

G∗Lkµk(t) (4.11)

CM (t) = CM (t) +k=m∑k=2

G∗Mkµk(t) (4.12)


Soient (Ak2)(k=1,m), (Ak

3)(k=1,m), (Hk2)(k=1,m) et (Hk

3)(k=1,m) les approximations successives descoecients instationnaires de Scanlan. Elles sont dénies à partir des coecients G∗

Lket G∗

Mk

ainsi que des coecients instationnaires M∗2k

et M∗3k

associés aux modèles linéaires de typeScanlan 4.13 identiés pour chacune des coordonnées temporelles (la procédure d'identicationest décrite en Annexe C).

µk(t) = 2[ωRM∗2k(ωR)

Bα(t)

U+ ω2

RM∗3k(ωR)α(t)] + eµk

(t) (4.13)

La fonction erreur eµk(t) est dénie comme la diérence entre µk(t) et le modèle linéaire identié

(Annexe C).

Hk2 =

j=k∑j=2

G∗LkM∗

2k(4.14)

Hk3 =

j=k∑j=2

G∗LkM∗

3k(4.15)

Ak2 =

j=k∑j=2

G∗MkM∗

2k(4.16)

Ak3 =

j=k∑j=2

G∗MkM∗

3k(4.17)

Les courbes des approximations relatives successives des coecients instationnaires de momenten fonction du nombre de mode sont présentées Fig. 4.8. Elles montrent que pour U∗ ≈ 37,7, lemode 2 permet d'approcher le coecient aéroélastique de raideur A∗

3 avec moins de 10 % d'écart.Pour calculer les coecients d'amortissement avec la même précision il est nécessaire de tenircompte des septs premiers modes propres de la décomposition P.O.D. Les modes 4,5,6 et 7 sontprésentés Figs. 4.9 et 4.10. Si les coordonnées temporelles des modes 4, 5, 6 et 7 révèlent toutesune activité uctuante à la fréquence du mouvement imposé (Fig. 4.11) c'est principalement lemode 7 qui contribue à l'amortissement aéroélastique identié (Fig. 4.8).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0A2*

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−100

−80

−60

−40

−20

0

20A3*

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 4.8 Evolution des approximations relatives successives des coecients instationnaires demoment en fonction du nombre de mode; α∗ ≈ 0,035rad., U∗ ≈ 37,7


0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 4

X/D

ExtradosIntrados

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 5

X/D

ExtradosIntrados

Fig. 4.9 Modes 4 et 5 en régime mobile (U∗ ≈ 37,7), le long des arêtes extrados et intrados

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 6

X/D

ExtradosIntrados

0 1 2 3 4−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 7

X/D

W 7

ExtradosIntrados

Fig. 4.10 Modes 6 et 7 en régime mobile (U∗ ≈ 37,7), le long des arêtes extrados et intrados

0 50 100 150 200 250−2

0

2

µ 4

Historiques

0 50 100 150 200 250−2

0

2

µ 5

0 50 100 150 200 250−2

0

2

temps*U/B

µ 6

0 50 100 150 200 250−2

0

2

temps*U/B

µ 7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

100


µ 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

µ 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

Frequence*B/U

µ 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

100

200

Frequence*B/U

µ 7

Fig. 4.11 Coordonnées temporelle µ4(t), µ5(t), µ6(t)et µ7(t) pour U∗ ≈ 37,7


En conclusion, le chargement aéroélastique linéaire, tel qu'il est identié dans le cadre d'unemodélisation simple de type Scanlan est principalement fonction des modes 2 et 7 de la décom-position P.O.D du champ de pression surfacique. Pour le cas de ce mouvement "lent" pour lequel,nous le verrons dans la suite de cette étude, l'écoulement s'adapte de façon quasi-statique audéplacement en tangage, le premier mode aéroélastique (mode 2) appararaît comme un modede raideur (le mode 2 contribue presque totalement au terme de raideur des eorts aéroélas-tiques tels qu'ils sont identiés dans le cadre d'une modélisation simple de type Scanlan). Malgrécela il est certainement abusif de généraliser la notion de mode de raideur et d'amortissementdistincts. En eet les résultats précédents montrent que le mode 2 a une contribution non négli-geable dans le calcul du coecient d'amortissement aéroélastique. En outre pour U∗ ≈ 37,7, desmodes intermédiaires (mode 3,4,5,6) ont également une inuence signicative sur les coecientsaéroélastiques de raideur et d'amortissement. On retiendra également que dans cette congu-ration d'adaptation quasi-statique de l'écoulement autour d'un prol pour lequel la signaturetourbillonnaire est très énergétique, la réponse aéroélastique est intimement liée au mode d'os-cillation de signature résonant (le mode 2 est proche du premier mode propre d'une instabilitéuide de type I).

Remarque:Le traitement du champ de pression ltré pour lequel l'activité fréquentielle associée à la signatureinstationnaire du prol est supprimée, conduit naturellement à une redistribution du poids relatifdes diérents modes de la décomposition P.O.D. On montre que dans ce cas les modes 2 et 3 decette nouvelle décomposition P.O.D sont respectivement proches des modes 2 et 7 qui viennentd'être présentés.

Pour le cas du mouvement "rapide 2" (U∗ ≈ 5), les trois premières valeurs propres se distinguentsur la courbe décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale (Fig. 4.12).

0 10 20 30 40 50 60 7010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

λ k

k

α*=0.035rad ; U*=5

Fig. 4.12 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale pourα∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 5.

Les modes propres associés contribuent principalement au chargement instationnaire (Fig. 4.13).Les courbes des évolutions des erreurs relatives des coecients de portance et de moment etdes écarts-type associés en fonction du nombre de mode (Fig. 4.14) montrent en eet qu'unetroncature du champ de pression sur ces trois premiers modes propre de la décomposition P.O.D

2. Cette notion de rapidité est toute relative. Le mouvement pour U∗ ≈ 5 est "rapide" par rapport au casU∗ ≈ 37,7.


permet d'approcher près de 90 % des eorts instationnaires de portance et de moment et conduità des erreurs négligeables sur les écarts-type (<1 %).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.5

0

0.5


CL CL1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.5

0

0.5

1CL CL2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.5

0

0.5

1

temps*U/B

CL CL3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.2

0


CM CM1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.2

0

0.2CM CM2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.2

0

0.2

temps*U/B

CM CM3

Fig. 4.13 Contributions des trois premiers modes propres pour les eorts de portance et demoment; (U∗ ≈ 5)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 4.14 Evolutions de l'erreurs quadratiques des coecients de portance et de moment et del'erreur relative des écarts-type associées en fonction du nombre de mode; (U∗ ≈ 5)

Comme pour le cas du mouvement "lent", la contribution moyenne du premier mode est quali-tativement proche du chargement moyen identié sur le prol xe (Fig. 4.15).Les modes 2 et 3 sont présentés Fig. 4.16. D'après la densité spectrale de puissance de la coor-donnée temporelle µ2(t) (Fig. 4.17), le premier mode instationnaire est un mode aéroélastiquecontrôlé par le mouvement imposé et décorrélé des modes d'instabilité uide. La déformée dumode 3 est quant à elle proche du premier mode d'instabilité uide identié pour le prol xe etsans incidence. La densité spectrale de puissance de la coordonnée temporelle µ3(t) (Fig. 4.17),montre eectivement une faible activité à la fréquence de l'instabilité uide de type I caractéri-tique de la signature du prol rectangulaire de ratio 4 en faible incidence ( 1

U∗ = nvBU ≈ 0,6) en

plus du pic énergétique à la fréquence du mouvement imposé.


0 1 2 3 4−1.6

−1.5

−1.4

−1.3

−1.2

−1.1

−1

−0.9

−0.8

−0.7


X/D

W1*

m1

profil fixeU*=5

Fig. 4.15 Contribution moyenne du mode 1 le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 5; com-paraison avec le chargement moyen de pression identié sur le prol xe et sans incidence;m1 =

1T

∫ T0 µ1(t)dt.

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 2

X/D

W 2

ExtradosIntrados

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Mode 3

X/D

W 3

ExtradosIntrados

Fig. 4.16 Modes 2 et 3 (U∗ ≈ 5), le long des arêtes extrados et intrados

0 5 10 15 20 25 30 35 40 457

8

9

µ 1

Historiques

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−5

0

5

µ 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−5

0

5

temps*U/B

µ 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40


µ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

500

1000

1500

µ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

200

400

Frequence*B/U

µ 3

Fig. 4.17 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) pour U∗ ≈ 5


La contribution de ces deux modes sur le moment aéroélastique identié dans le cadre d'une mo-délisation linéaire est présentée Fig. 4.18. Les calculs montrent que le mode 2 contribue presquetotalement au coecient instationnaire de raideur A∗

3 et à près de 20 % du coecient insta-tionnaire d'amortissement A∗

2. En tenant compte du mode 3 ce dernier peut être approché avecmoins de 5% d'erreur.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10A2*

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−100

−80

−60

−40

−20

0

A3*

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 4.18 Evolution des approximations relatives successives des coecients instationnaires demoment en fonction du nombre de mode; α∗ ≈ 0,035rad., U∗ ≈ 5

En conclusion, comme pour le cas du mouvement "lent" (U∗ ≈ 37,7) précédemment étudié, lechargement aéroélastique linéaire, tel qu'il est identié dans le cadre de la modélisation simplede Scanlan est principalement fonction de deux modes propres instationnaires. Pour U∗ ≈ 5, ils'agit des modes 2 et 3 de la décomposition POD du champ de pression surfacique. Si le mode2 est décorrélé de l'instabilité uide de type I qui subsiste dans le champ d'écoulement, le mode3 est quant à lui proche du premier mode propre instationnaire identié pour le prol xe sansincidence.Chacun de ces deux modes semble avoir également une contribution privilégiée en terme deraideur ou d'amortissement aéroélastique (raideur pour le mode 2 et amortissement pour lemode 3).

4.1.2.2 Comportement aéroélastique du chargement de pression

Une étude locale de la réponse dynamique de l'écoulement en fonction de la vitesse réduite est iciprésentée. Elle repose sur une analyse comparée des modes propres de la décomposition P.O.Ddominants dans la réponse aéroélastique avec les prols d'amplitude et de déphasage identiésgrâce à une modélisation aéroélastique linéaire (de Scanlan) de la pression dynamique sur lesparois de l'obstacle. En chaque point de mesureMi il vient pour un mouvement de tangage forcéharmonique α(t) = α∗ cos(ωt):

Cpae(Mi,t) = C∗

pα(Mi,ωR) cos(ωt− Φ∗pα(Mi,ωR)) (4.18)

La pulsation réduite ωR est dénie par:

ωR =Bω

U=

2π

U∗ (4.19)

Les coecients d'amplitude et de déphasge C∗pα(Mi,ωR) et Φ∗

pα(Mi,ωR) sont déduits par lesrelations 4.21 et 4.22 des coecients instationnaires P ∗

2 (Mi,ωR) et P ∗3 (Mi,ωR) associés aux mo-


dèles linéaires de Scanlan 4.20, identiés dans le cadre d'une procédure de minimisation à deuxparamètres (Annexe C).

Cpae(Mi,t) = 2[ωRP

∗2 (Mi,ωR)

Bα(t)

U+ ω2

RP∗3 (Mi,ωR)α(t)] (4.20)

C∗pα(Mi,ωR)

α∗ cos(Φ∗pα(Mi,ωR)) = 2ωR

2P ∗3 (Mi,ωR) (4.21)

C∗pα(Mi,ωR)

α∗ sin(Φ∗pα(Mi,ωR)) = −2ωR

2P ∗2 (Mi,ωR) (4.22)

Le chargement moyen de pression (Fig. 4.19), les distributions d'amplitude C∗pα(M) et de dé-

phasage Φ∗pα(M) (Fig. 4.20) et les deux modes dominants dans la réponse aéroélastique 3 (Fig.

4.21) sont représentés sur l'arête extrados du prol rectangulaire pour diérentes vitesses réduites(U∗ ∈ [5, 37,7]).

0 1 2 3 4−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4(extrados)

X/D

Coe

ffici

ent m

oyen

de

pres

sion

Cp aerodyn. moyenU*=37.7 U*=14.5 U*=10.2 U*=7.5 U*=6.1 U*=5

Fig. 4.19 Chargement moyen de pression en régime xe et mobile sur l'arête extrados pourα∗ ≈ 0,035rad et U∗ ∈ [5, 37,7]

Dans la gamme de vitesse réduite observée, le chargement moyen en régime dynamique variepeu et reste proche du chargement aérodynamique moyen mesuré sur le prol xe à incidencenulle (Fig. 4.19). Les distributions d'amplitude et de déphasage (Fig. 4.20) montrent par contre,que le comportement du champ dynamique de pression évolue quant à lui de façon signicativeavec la vitesse réduite. On observe une évolution d'un comportement quasi-statique, pour lavitesse réduite la plus élevée (les uctuations aéroélastiques sont principalement concentrées surla deuxième moitié du prol et sont faiblement déphasées par rapport au déplacement de l'obs-tacle) à un comportement aéroélastique plus complexe aux faibles vitesses réduites (les niveauxde uctuations sont plus importants sur la première moitié du prol, sont maximum au niveaudu centre de torsion et diminuent continuement à mesure que l'on se rapproche de la face sousle vent tout en se déphasant linéairement par rapport au déplacement).

3. Pour chacune des vitesses réduites, la décomposition P.O.D est eectuée sur le champ de pression totalnon ltré. Le premier mode dominant dans la réponse aéroélastique correspond dans chaque cas au mode 2 dela décomposition P.O.D. Pour les vitesses réduites les plus faibles U∗ ∈ [5, 7,5] le deuxième mode dominantcorrespond au mode 3 de la décomposition P.O.D. Pour les vitesses réduites plus élevées il correspond à un modesupérieur (mode 4 pour U∗ ≈ 10,2 et 14,5, mode 7 pour U∗ ≈ 37,7)


0 1 2 3 41

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

CP*/

α*

(extrados)

X/D

U*=37.7U*=14.5U*=10.2U*=7.5 U*=6.1 U*=5

0 1 2 3 4−150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

300

350

Φ*−

180

(deg

.)

(intrados)

X/D

U*=37.7U*=14.5U*=10.2U*=7.5 U*=6.1 U*=5

Fig. 4.20 Champ aéroélastique (amplitude, phase) de pression le long de l'arête extrados pourα∗ ≈ 0,035rad et U∗ ∈ [5, 37,7]

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Premier mode de participation aeroelastique (extrados)

X/D

U*=37.7U*=14.5U*=10.2U*=7.5 U*=6.1 U*=5

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Second mode de participation aeroelastique (extrados)

X/D

U*=37.7U*=14.5U*=10.2U*=7.5 U*=6.1 U*=5

Fig. 4.21 Modes propres dominants dans la réponse aéroélastique sur l'arête extrados pourα∗ ≈ 0,035rad et U∗ ∈ [5, 37,7]


Le comportement de l'écoulement au cours d'un déplacement en tangage est illustré sur la Fig.4.22 pour U∗ ≈ 37,7 et sur la Fig. 4.23 pour U∗ ≈ 5.

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.

Champ normal de pression (moyen + aeroelastique)

α = 2π rad.

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.

Champ normal de pression aeroelastique

α = 2π rad.

Fig. 4.22 Evolution du champ normal de pression (la normale est orientée vers l'intérieur duprol) sur les arêtes extrados et intrados du prol en fonction de la position en incidence pourun mouvement de tangage forcé harmonique; α(t) = 0,035cos(2πnst), U

∗ ≈ 37,7

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.

Fig. 4.23 Evolution du champ normal de pression (la normale est orientée vers l'intérieur duprol) sur les arêtes extrados et intrados du prol en fonction de la position en incidence pourun mouvement de tangage forcé harmonique; α(t) = 0,035 cos(2πnst), U

∗ ≈ 5

Les instantanés du champ normal de pression aéroélastique pour U∗ ≈ 37,7 pour diérentespositions en incidence (Fig. 4.22), montrent que pour le cas de ce mouvement "lent", la topologiede l'écoulement varie peu sur la première moitié du prol. Par contre, le point de recollement sedéplace le long des arêtes extrados et intrados, vers l'aval pour l'extrados et vers l'amont pourl'intrados à incidence croissante et inversement lorsque la position en incidence décroît. Il s'agitd'une adaptation de type quasi-statique de la zone décollée au cours du déplacement. Celle-ci setraduit par une réponse aéroélastique du chargement de pression faible et uniformément dépha-sée au niveau de la zone décollée amont pour U∗ ≈ 37,7 et 0 ≤ X

D ≤ 2 (Fig. 4.20) conduisantà une déformée du premier mode dominant dans la réponse aéroélastique également très faible


dans cette zone (Fig. 4.21). Les uctuations de l'écoulement sont par contre importantes sur ladeuxième moitié du prol, la ligne d'amplitude présente un maximum au niveau du point moyende recollement et les déphasages sont faibles et uniformes en aval du centre de torsion (Fig. 4.20).

Pour U∗ ≈ 5 (Fig. 4.23), le déplacement rapide des parois induit des niveaux de uctuationsélevés sur la première moitié du prol et faiblement déphasés par rapport au déplacement (Fig.4.20). La déformée du premier mode de participation aéroélastique (qui contribue principalementà la raideur aéroélastique) est de ce fait importante pour 0 ≤ X

D < 2 (Fig. 4.21). Le cisaillementdes lets uides est également plus important et conduit à la génération d'une onde de dépres-sion sur la seconde moitié du prol. Il s'agit vraissemblablement de l'eet de tourbillons dits "demouvement" qui sont générés par enroulement des nappes de uide décollées lorsqu'elles rentrenten collision avec la paroi. Dans la zone de génération des tourbillons de mouvement (0 ≤ X

D < 2)les uctuations restent en phase avec le déplacement. En aval d'une zone de "collision" pourX

D≈ 2,5, le déphasage augmente alors continuement et les niveaux de uctuations diminuent

dans la mesure où les tourbillons se convectent en se dissipant jusqu'au bord de fuite. (Fig. 4.20).Compte tenu de ces mécanismes le deuxième mode de participation aéroélastique présente unventre de vibration sur la seconde moitié du prol (Fig. 4.21).

L'évolution progressive des distributions d'amplitude et de déphasage lorsque la vitesse réduitediminue ne se traduit pas par une évolution progressive des modes propres identiés commeparticipant majoritairement à la réponse aéroélastique.

On distingue en eet deux types de solutions correspondant à deux gammes de vitesses réduitespour lesquelles les déformées des modes propres dominants dans la réponse aéroélastique sontproches. Le premier correspond aux vitesses réduites élevées pour (U∗ ≥ 10,2) pour lesquelles laréponse de l'écoulement est correlée avec les mécanismes d'instabilité uide associés au prol enfaible incidence. Le second associé aux deux vitesses réduites les plus faibles (U∗ ≈ 5 et U∗ ≈ 6,1)pour lesquelles il y a génération de tourbillons de mouvement de long du prol. Ceci semble in-diquer que les mécanismes d'adaptation des zones décollées avec génération de tourbillons demouvement ne sont possibles que pour certaines vitesses réduites pour lesquelles une conditionde phase entre les uctuations générées en amont et leur réexion sur l'arête vive aval (mobile)est respectée.

L'eet des tourbillons dits "de mouvement" générés par cisaillement et collision avec les paroispour U∗ ≈ 5 et U∗ ≈ 6,1 est semblable le long de la deuxième moitié du prol à celui d'une ondede pression qui se convecte vers l'aval, ce qui induit une évolution progressive du déphasage surla deuxième moitié du prol (Fig. 4.20). La quasi-linéarité des lignes de déphasage sur une largezone en aval de la mi-corde nous permet d'approcher le comportement du champ aéroélastiquede pression dans cette zone par un modèle simple de type "onde harmonique":

2,5D ≤ X ≤ 4D

Cpae(X,t) = C∗

pα(X,ωR) cos(ωRB

Ut− Φ∗

pα(X,ωR))

Φ∗pα(X,ωR)) = k′(ωR)

X

D+Φ0(ωR)

(4.23)

Après évaluation du nombre d'onde adimensionné k′ = kD pour chaque pulsation réduite, lavitesse de convection Vc des tourbillons de mouvement est donnée par:


Vc =ωR

U

Bk

(4.24)

Des regressions linéaires ont été eectuées pour les distributions de déphasage associé aux deuxvitesses réduites U∗ ≈ 5 et U∗ ≈ 6,1 (Fig. 4.24). Les pentes k

′1 et k

′2 de ces regressions nous

permettent d'identier une vitesse de convection relative (par rapport à la vitesse moyenne del'écoulement) des tourbillons de mouvement pour chacune de ces vitesses réduites (Tab 4.4):

VcU

=ωR

k′D

B(4.25)

0 1 2 3 4−150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

U*=6.1 Reg. lin (U*=6.1)U*=5 Reg. lin (U*=5)

Fig. 4.24 Approximation linéaire de la ligne de déphasage en aval de la mi-corde pour α∗ ≈0,035rad, U∗ ≈ 5 et U∗ ≈ 6.1.

U∗ VcU

5 0,26,1 0,21

Tab. 4.4 Vitesse de convection des tourbillons de mouvement par rapports à la vitesse moyennede l'écoulement pour U∗ ≈ 5 et U∗ ≈ 6,1

Pour α∗ ≈ 0.035 rad, nous venons de montrer que le comportement dynamique de l'écoulement etdonc du chargement aéroélastique de pression évolue avec la vitesse réduite, d'un comportementquasi-statique (pour les vitesses réduites élevées) pour lequel les zones décollées s'adaptent àchaque position en incidence au cours du déplacement à un comportement aéorélastique pluscomplexe aux faibles vitesses réduites pour lesquelles le cisaillement des zones décollées génèredes tourbillons dits de "mouvement". Pour la gamme de vitesse réduite étudiée, les mécanismesd'adaptation de l'écoulement modient peu la signature aérodynamique moyenne du prol quireste proche en régime dynamique de celle identiée sur le prol xe. L'activité tourbillonnaireassociée à l'instabilité uide de type I caractéristique de la signature instationnaire de ce typede prol reste également présente dans le champ d'écoulement proche des parois de l'obstacle etl'analyse par décomposition P.O.D a révélé qu'elle pouvait être couplée à la réponse dynamiquedu champ de pression pour les vitesses réduites élevées U∗ ≥ 10.


4.1.2.3 Inuence de l'amplitude du mouvement sur la réponse dynamique du champ

de pression

L'inuence de l'amplitude du mouvement de tangage sur la réponse du champ de pression estétudiée ici pour deux vitesses réduites caractéristiques: U∗ ≈ 15 pour laquelle l'adaptation del'écoulement est de type quasi-statique et U∗ ≈ 6 pour laquelle les mécanismes d'adaptationgénèrent un décalage spatio-temporel de la réponse dynamique du champ de pression. Les char-gements moyens de pression (Fig. 4.25), les distributions d'amplitude C∗

pα(M) (Fig. 4.26) et dedéphasage Φ∗

pα(M) (Fig. 4.27) sont représentés sur l'arête extrados du prol rectangulaire deratio 4 pour trois amplitudes α∗ ≈ 0,018, 0,035 et 0,07 rad.

0 1 2 3 4−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

CP

(extrados)

X/D

Cp aerodyn. moyen U*=14.9; α*=0.018 rad.U*=14.5; α*=0.035 rad.U*=14.4; α*=0.07 rad.

0 1 2 3 4−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

CP

(extrados)

X/D

Cp aerodyn. moyen U*=6; α*=0.018 rad.U*=6.1; α*=0.035 rad.U*=6.1; α*=0.07 rad.

Fig. 4.25 Inuence de l'amplitude sur le chargement moyen de pression en régime dynamiquepour U∗ ≈ 15 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite); comparaison avec le chargement moyen identié pourle prol xe à incidence nulle.

0 1 2 3 41

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CP*/

α*

(extrados)

X/D

U*=14.9; α*=0.018 rad.U*=14.5; α*=0.035 rad.U*=14.4; α*=0.07 rad.

0 1 2 3 41

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CP*/

α*

(extrados)

X/D

α* = 0.018 rad.α* = 0.035 rad.α* = 0.07 rad.

Fig. 4.26 Inuence de l'amplitude sur la distribution d'amplitude du champ aéroélastique depression le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 15 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite)

Les distributions moyennes de pression varient peu pour α∗ ≤ 0,035 rad et sont proches du champde pression moyen identié pour le prol xe et sans incidence. Les caractéristiques du champ depression aéroélastique (distributions d'amplitude et de déphasage) sont également proches pourles deux plus faibles amplitudes et pour les deux régimes d'adaptation présentés (U∗ ≈ 15 etU∗ ≈ 6).

Pour α∗ ≈ 0,07rad, le chargement moyen est plus éloigné du chargement aérodynamique moyenmesuré sur le prol xe à incidence nulle et dépend de la vitesse réduite. Les prols moyens despressions sont aplatis aux vitesses réduites élevées, ce qui est le résultat d'une diminution del'activité de l'instabilité uide de type I aux fortes incidences. La taille de la zone de succion di-


0 1 2 3 4−100

−50

0

50

100

150

200

250

Φ*−

180

(deg

.)

(extrados)

X/D


0 1 2 3 4−50

0

50

100

150

200

250

Φ*−

180

(deg

.)

(extrados)

X/D

U*=6; α*=0.018 rad.U*=6.1; α*=0.035 rad.U*=6.1; α*=0.07 rad.

Fig. 4.27 Inuence de l'amplitude sur la distribution de phase du champ aéroélastique depression le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 15 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite)

minue pour les faibles vitesses réduites, du fait d'un décalage vers l'amont de la zone de collisiondes tourbillons de mouvement sur les parois et d'une plus rapide dissipation de ces tourbillons àmesure qu'ils se convectent vers l'aval.

L'aaiblissement l'activité tourbillonnaire de signature pour α∗ ≈ 0,7 rad et le contrôle plusimportant du mouvement sur les mécanismes d'adaptation modie également le chargement aé-roélastique aux vitesses réduites élevées. On observe que les amplitudes relatives de uctuation

(C∗

pα(M)

α∗ ) sont moins prononcées sur la deuxième moitié du prol (Fig. 4.26) et l'on observe undécalage important du déphasage dans la zone amont pour 0 ≤ X

D ≤ 2 (Fig. 4.27).

L'eet de l'amplitude est moins important pour les "faibles" vitesses réduites. On remarquenéanmoins un léger décalage vers l'amont des zones d'amplitude maximum et une dissipationplus rapide des tourbillons de mouvement à amplitude croissante. Les distributions de déphasagesont quant à elles identiques pour les trois amplitudes.

L'eet de l'amplitude du mouvement de tangage sur l'activité tourbillonnaire et les mécanismesd'adaptation le long des parois ainsi que sur le chargement uide résultant seront discutés plus endétails dans la dernière partie de ce chapitre grâce à des résultats numériques complémentaires.

4.1.2.4 Comportement aéroélastique des eorts résultants

Les prols rectangulaires sont des obstacles aéroélastiquement instables qui sont sujets au ot-tement en torsion (ottement à 1 degré de liberté). C'est donc principalement la composanteaéroélastique du moment de tangage qui va nous intéresser dans le cadre de cette étude.

Le moment aéroélastique est identié dans le cadre d'une approche simpliée (cf Annexe C),reposant sur une modélisation de la composante dynamique dépendant du mouvement par deuxtermes respectivements fonctions linéaires du déplacement et de sa dérivée première. Ce type demodèle 4.27 fait apparaître deux coecients instationnaires (dits de Scanlan) A∗

3 (dit coecientde raideur) et A∗

2 (dit coecient d'amortissement).

Pour un mouvement de tangage forcé harmonique il vient:

α(t) = α∗ cos(ωt) (4.26)


CMae(t) = 2[ωRA

∗2(ωR)

Bα(t)

U+ ω2

RA∗3(ωR)α(t)] (4.27)

Pour étudier la réponse aéroélastique du chargement, l'amplitude et le déphasage des eortsaéroélastiques sont également calculés en fonction de la vitesse réduite. Pour un mouvement detangage forcé harmonique, on a:

CMae(t) = C∗

Mα(ωR) cos(ωt− Φ∗

Mα(ωR)) (4.28)

avec :

C∗Mα

α∗ cos(Φ∗Mα

) = 2ω2RA

∗3 (4.29)

C∗Mα

α∗ sin(Φ∗Mα

) = −2ω2RA

∗2 (4.30)

Des coecients instationnaires de raideur et d'amortissement ont été identiés expérimentale-ment par [Washizu 1980] sous écoulement laminaire pour des Reynolds variant de 6 104 à 3.5 105,dans la fenêtre de vitesse réduite U∗ ∈ [1.5,10]. Les résultats expérimentaux de Matsumoto[Matsumoto 1997], obtenus sur des prols rectangulaires de diérents allongements, montrentque les prols de ratio 3 et 5 ont un comportement voisin. Une interpolation de ces résultatspour le cas du ratio 4 a donc été eectuée.Ces résultats expérimentaux montrent que le comportement du moment de réponse d'un prolrectangulaire de ratio 4 se caractérise par:

un coecient de raideur A∗3 positif et linéairement croissant pour 2 ≤ U∗ ≤ 10 qui s'inéchit

pour changer de signe pour U∗ ≥ 14 et décroître à mesure que la vitesse réduite augmente.Ce comportement en raideur est à rapprocher du comportement du déphasage ΦM avecla vitesse réduite. Ce dernier est linéairement décroissant pour 4 ≤ U∗ ≤ 10 et atteintdes valeurs comprises entre -90 et -180 degrés pour les vitesses réduites les plus élevéescorrespondantes aux valeurs négatives de A∗

3;

un coecient d'amortissement A∗2 négatif et de valeurs faibles pour 2 ≤ U∗ ≤ 5, qui change

de signe pour U∗ ≈ 5 (zone de changement de signe du déphasage), et croît linéairementpour 5 ≤ U∗ ≤ 23.

Pour ce prol et plus généralement pour les prols rectangulaires de ratio ≤ 10, la stabilité aé-roélastique est principalement fonction du comportement du coecient d'amortissement A∗

2 dontle changement de signe à vitesse réduite croissante conduit à un transfert d'énergie défavorableentre l'écoulement et le prol en mouvement. Il y instabilité lorsque le déphasage entre le mou-vement en tangage et le moment aéroélastique résultant est tel qu'il conduit à un amortissementnégatif du système couplé uide-structure.Les coecients instationnaires A∗

2 et A∗3 issus du traitement des essais réalisés par le CSTB sont

comparés aux résultats expérimentaux de [Washizu 1980] et [Matsumoto 1997] (Fig. 4.28):

les valeurs du coecient de raideur A∗3 semblent conformes aux résultats expérimentaux

de Washizu pour U∗ ∈ [4,6] mais les zones de décroissance et de changement de signecorrespondent à des vitesses réduites plus faibles;

pour les faibles vitesses réduites 4 < U∗ ≤ 10 les coecients d'amortissement A∗2 sont

surestimés par rapport aux mesures de Washizu.


Les estimations des coecients d'amplitude (C∗Mα

) et des déphasages (Φ∗Mα

) montrent que cecomportement singulier est lié:

à une surestimation des niveaux de uctuation: les amplitudes relatives du moment aéroé-lastique sont presque deux fois supérieures à celles mesurées par Washizu;

à l'erreur commise dans l'identication du déphasage du moment résultant par rapportau déplacement: la courbe d'évolution du déphasage en fonction de la vitesse réduite estdécalée d'au moins 20 degrés pour U∗ ≈ 4 et de près de 70 degrés pour U∗ ≈ 10 par rapportaux résultats de Washizu. Le décalage est moins important par rapport aux prédictionsissues des résultats de Matsumoto pour les vitesses réduites plus élevées. Il semble néan-moins qu'un déphasage important, dépendant de la fréquence du mouvement imposé, soitintroduit dans les mesures. Cette surestimation de l'avance de phase pour U∗ ≤ 10 conduita une surestimation de l'eet d'amortissement aérodynamique défavorable (A∗

2 > 0) danscette zone et à un décalage vers les vitesses réduites plus faibles du changement de signedu coecient de raideur.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 241

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

Vitesses reduites

CM

*/α*

α*=0.018rad. α*=0.035rad. α*=0.07rad. Washizu α*=0.033rad.Washizu α*=0.067rad.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24−200

−150

−100

−50

0

50

100

Vitesses reduites

ΦM

*α*=0.018rad. α*=0.035rad. α*=0.07rad. Washizu α*=0.033rad.Washizu α*=0.067rad.Matsumoto

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24−2

0

2

4

6

8

10

12

Vitesses reduites

A2*

α*=0.018rad. α*=0.035rad. α*=0.07rad. Washizu α*=0.033rad.Washizu α*=0.067rad.Matsumoto

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

Vitesses reduites

A3*

α*=0.018rad. α*=0.035rad. α*=0.07rad. Washizu α*=0.033rad.Washizu α*=0.067rad.Matsumoto

Fig. 4.28 Comparaisons expérimentales sur les coecients aéroélastiques de moment.

4.1.2.5 Inuence de l'amplitude sur le moment aéroélastique résultant

Si les écarts constatés sont dus à un déphasage introduit par le système de mesure, il est néan-moins possible, en supposant que le déphasage ne dépende que de la fréquence du mouvementimposé, de s'intéresser à l'inuence de l'amplitude sur le moment aéroélastique résultant.L'étude du champ de pression aéroélastique pour α∗ ≈ 0,018, 0,035 et 0,07 rad a révélé un eet


signicatif de l'amplitude sur les distributions d'amplitude et de déphasage des uctuations depression à la fréquence du mouvement imposé. Les coecients instationnaires A∗

2 et A∗3 du mo-

ment aéroélastique sont directement liés au champ de pression aéroélastique par les équations4.31 et 4.32 et peuvent être approchés par les expressions 4.34 et 4.35

A∗2 =

i=m∑i=1

P ∗2 [ni ∧ ri].k∆si (4.31)

A∗3 =

i=m∑i=1

P ∗3 [ni ∧ ri].k∆si (4.32)

Soient A∗2ex et A∗

2intles contributions respectives des pressions sur les arêtes extrados et intrados

pour l'estimation de A∗2.

On vérie que

A∗2ex ≈ A∗

2int(4.33)

D'où l'on a :

A∗2 ≈ 2 ∗A∗

2ex (4.34)

De la même façon le coecient A∗3 peut être approché par:

A∗3 ≈ 2 ∗A∗

3ex (4.35)

Les distributions des coecients intstationnaires P ∗3 (M) et P ∗

2 (M) sont fonction des distributionsd'amplitude C∗

pα(M) et de déphasage Φ∗pα(M) (Equ. 4.21 et 4.22). Elles sont présentées sur l'arête

extrados du prol pour deux vitesses réduites caractéristiques U∗ ≈ 15 (Fig. 4.29) et U∗ ≈ 6(Fig. 4.30) et pour les trois amplitudes α∗ ≈ 0,018, 0,035 et 0,017 rad.

0 1 2 3 4−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

P3*

(extrados)

X/D


0 1 2 3 4−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

P2*

(extrados)

X/D


Fig. 4.29 Inuence de l'amplitude sur les distributions de raideur (P ∗3 ) et d'amortissement

(P ∗2 ) aéroélastique pour U∗ ≈ 15


0 1 2 3 4−5

−2.5

0

2.5

5

P3*

(extrados)

X/D


0 1 2 3 4−5

−2.5

0

2.5

5

P2*

(extrados)

X/D




Compte tenu de cette représentation, les approximation 4.34 et 4.35 peuvent s'écrire:

A∗2(ωR) ≈ 2[

D2

B2]

∫ BD

0P ∗2 (X

D,ωR)[

X

D− 1

2

B

D]d(X

D) (4.36)

A∗3(ωR) ≈ 2[

D2

B2]

∫ BD

0P ∗3 (X

D,ωR)[

X

D− 1

2

B

D]d(X

D) (4.37)

Les Figs. 4.29 et 4.30 permettent ainsi d'appréhender l'inuence de l'amplitude sur le champaéroélastique et l'eet résultant sur les coecients instationnaires de raideur et d'amortissement.Pour les vitesses réduites élevées (cf. Fig. 4.29 pour U∗ ≈ 15), le décalage des distributionsde "raideur" P ∗

3 (M), pour α∗ ≈ 0,07 rad induit un eet négligeable sur le coecients A∗3 (les

eets induits en amont et en aval du centre de torsion se compensent). La diminution de l'eetd'amortissement aéroélastique défavorable P ∗

2 (M) sur la seconde moitié du prol induit parcontre une diminution signicative du coecient d'amortissement aéroélastique A∗

2 (cf. Tab. 4.5pour U∗ ≈ 15).

α∗ (rad.) A∗2 A∗

3

0,018 4.1 -2.60,035 3.47 -2.440,07 2.72 -2.67

Tab. 4.5 Inuence de l'amplitude sur les coecients instationnaires de moment pour U∗ ≈ 15

Aux faibles vitesses réduites (cf. Fig. 4.30 pour U∗ ≈ 6) l'inuence de l'amplitude sur la réponsedynamique du champ de pression n'est signicative qu'en aval de la mi-corde et provoque unediminution progressive de l'eet d'amortissement aéroélastique défavorable P ∗

2 (M) dans cettezone (cf. Tab. 4.6 pour U∗ ≈ 6).

α∗ (rad.) A∗2 A∗

3

0,018 0.78 0.710,035 0.67 0.670,07 0.59 0.62

Tab. 4.6 Inuence de l'amplitude sur les coecients instationnaires de moment pour U∗ ≈ 6

En conclusion, pour les vitesses réduites élevées (U∗ ≥ 14), l'écrasement des uctuations de pres-sion aval et la diminution de leur déphasage par rapport au déplacement à amplitude croissante


implique une nette diminution du coecient d'amortissement aéroélastique A∗2. Pour les vitesses

réduites plus faibles, le décalage vers l'amont des zone de génération des tourbillons de mouve-ment et leur dissipation plus rapide à amplitude croissante provoque également une diminutionsensible du coecient d'amortissement aéroélastique.



Le champ de pression mesuré pour chacun des essais en mouvement de tangage forcé a éga-lement été décomposé selon la méthode des P.O.D. An d'alléger notre présentation nous neprésentons ici qu'une étude détaillée des premiers modes propres associés au mouvement d'am-plitude α∗ ≈ 0,035 rad et pour une vitesse réduite U∗ ≈ 5,9. Les inuences de la vitesse réduiteet de l'amplitude du mouvement imposé sur les mécanismes uides mis en jeu et le chargementaéroélastique résultant seront ensuite discutées.

Les trois premières valeurs propres se distinguent sur la courbe décroissante des valeurs propresde la matrice de corrélation spatiale des pressions pour U∗ ≈ 5,9 (Fig. 4.31).

0 10 20 30 40 50 60 7010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

λ k

k

α*=0.035rad ; U*=5.9


Les modes propres associés contribuent principalement au chargement instationnaire (Fig. 4.32).Les courbes d'évolution des erreurs relatives des coecients de portance et de moment et desécarts-type associés en fonction du nombre de mode (Fig. 4.33), montrent en eet qu'une tron-cature du champ de pression sur ces trois premiers modes propres de la décomposition P.O.Dpermet d'approcher plus de 80 % des eorts instationnaires de portance et de moment et conduità des erreurs négligeables sur les écarts-type (<1 %).

Le premier mode "statique" a également une contribution moyenne proche du chargement moyenidentié sur le prol xe et sans incidence (Fig. 4.34).Les coordonnées temporelles µ2(t) et µ3(t) (Fig. 4.35) associées aux modes 2 et 3 ont un compor-tement quasi-harmonique à la fréquence du mouvement de tangage forcé ( 1

U∗ = nsBU ≈ 0,17). Les

courbes des approximations successives des coecients instationnaires de moment en fonctiondu nombre de mode (Fig. 4.36) conrment eectivement que ces deux premiers modes insta-tionnaires sont les modes dominants dans la réponse aéroélastique. Le mode 2 permet en eetd'approcher la quasi-totalité des eets de raideur aérodynamique tels qu'ils sont identiés dans


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5

0


CL CL1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5

0

0.5

CL CL2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5

0

0.5

temps*U/B

CL CL3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.2

0


CM CM1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.2

0

0.2CM CM2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.2

0

0.2

temps*U/B

CM CM3

Fig. 4.32 Contribution des trois premiers modes propres pour les eorts de portance et demoment; U∗ ≈ 5,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 4.33 Evolutions de l'erreur relative des coecients de portance et de moment et de l'erreurrelative des écarts-type associés en fonction du nombre de mode; U∗ ≈ 5,9

le cadre d'une modélisation linéaire de type Scanlan et les eets d'amortissement sont quant àeux identiés avec la même précision en tenant compte de la contribution des modes 2 et 3.Pour les autres vitesse réduites, la décomposition P.O.D du champ de pression mesuré nous apermis, comme pour le cas du prol rectangulaire de ratio 4, d'exhiber également deux modespropres contribuant presque intégralement aux eets de raideur et d'amortissement identiés dansle cadre d'une modélisation linéaire. Il est cependant important de souligner que pour ce prold'allongement plus important, aucune activité fréquentielle liée aux mécanismes d'instabilitéuide mis en évidence au chapitre 3 n'a pu être identiée dans la décomposition P.O.D et ce,pour toutes les vitesses réduites testées. La signature tourbillonnaire de ce type de prol xe etsans incidence est, nous l'avions soulignée au Chapitre 3, beaucoup moins énergétique que pourle cas du prol rectangulaire d'allongement 4. Les modes propres "aéroélastiques" identiés sontdonc principalement responsables du comportement instationnaire du chargement uide et sontdécorrélés des modes propres de signature identiés au chapitre 3.


0 2 4 6 8−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4


X/D

W1*

m1

profil fixeU*=5.9

Fig. 4.34 Contribution moyenne du mode 1 en régime dynamique (U∗ ≈ 5,9) le long de l'arêteextrados; comparaison avec le chargement moyen de pression identié pour le prol xe à inci-dence nulle.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506

6.5

7

µ 1

Historiques

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−2

0

2

µ 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−2

0

2

temps*U/B

µ 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5


µ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

500

1000

µ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

100

200

300

Frequence*B/U

µ 3

Fig. 4.35 Coordonnées temporelles µ1(t); µ2(t); µ3(t) pour U∗ ≈ 5,9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20A2*

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20A3*

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 4.36 Evolution des approximations successives des coecients instationnaires de portanceet de moment en fonction du nombre de mode; (U∗ ≈ 5,9)



Comme pour le cas du prol rectangulaire de ratio 4, nous présentons ici une étude locale dela réponse dynamique du chargement uide en fonction de la vitesse réduite pour le cas dumouvement de tangage d'amplitude α∗ ≈ 0,035rad. Le chargement moyen de pression (Fig.4.37), les distributions d'amplitude C∗

pα(M) et de déphasage Φ∗pα(M) (Fig. 4.38) et les modes

propres dominants dans la réponse aéroélastique (Fig. 4.39) sont représentés sur l'arête extradosdu prol rectangulaire de ratio 8.

0 2 4 6 8−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0(extrados)

X/D

Coe

ffici

ent m

oyen

de

pres

sion

Cp aerodyn. moyenU*=36.3 U*=19.3 U*=13.8 U*=10.1 U*=8.2 U*=7 U*=5.9

Fig. 4.37 Chargement moyen de pression en régime xe et mobile sur l'arête extrados pourα∗ ≈ 0,035rad et U∗ ∈ [5,9, 36,3]

0 2 4 6 80

2

4

6

8

10

12

CP*/

α*

(extrados)

X/D

U*=36.3U*=19.3U*=13.8U*=10.1U*=8.2 U*=7 U*=5.9

0 2 4 6 8−100

−50

0

50

100

150

200

250

Φ*−

180

(deg

.)

(extrados)

X/D

U*=36.3U*=19.3U*=13.8U*=10.1U*=8.2 U*=7 U*=5.9

Fig. 4.38 Champ aéroélastique (amplitude, phase) de pression le long de l'arête extrados pourα∗ ≈ 0,035rad, U∗ ∈ [5,9, 36,3]

A l'instar du cas du prol rectangulaire de ratio 4, le chargement moyen de pression en régimedynamique varie peu avec la vitesse réduite et reste proche du chargement aérodynamique moyenmesuré sur le prol xe à incidence nulle (Fig. 4.37).

On retrouve pour ce prol une évolution progressive des distributions d'amplitude et de dépha-sage du champ de pression aéroélastique avec la vitesse réduite. Les deux premiers modes propresde contribution aéroélastique identiés sont décorrélés des modes propres de signature identiésau chapitre 3. Contrairement au cas du prol de ratio 4, leurs déformées évoluent progressive-ment en fonction de la vitesse réduite. Conformément à ce que nous attendions il semble que laréponse aéroélastique de l'écoulement proche des parois d'un prol rectangulaire mobile ait uncomportement d'autant plus linéaire que l'allongement est important.

Les instantanés de la Fig. 4.40 pour le cas du mouvement lent (U∗ ≈ 36,3) illustrent l'adaptation


0 2 4 6 8−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Premier mode de participation aeroelastique (extrados)

X/D

U*=36.3U*=19.3U*=13.8U*=10.1U*=8.2 U*=7 U*=5.9

0 2 4 6 8−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Second mode de participation aeroelastique (extrados)

X/D

U*=36.3U*=19.3U*=13.8U*=10.1U*=8.2 U*=7 U*=5.9

Fig. 4.39 Modes propres dominants dans la réponse aéroélastique sur l'extrados du prol pourα∗ ≈ 0,035rad, U∗ ∈ [5,9, 36,3]

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.


∗ ≈ 36,3

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.


∗ ≈ 5,9


"quasi-statique" de l'écoulement associé aux mouvement de vitesse réduite élevée (U∗ ≥ 13,8).Les zones décollées amont s'adaptent à chaque position en tangage au cours du déplacement. Lesuctuation de pression sont alors essentiellement situées en aval de la zone de suction moyenne

pour 3 ≤ X

D≤ 6 (Fig. 4.38) et le déphasage de ce champ uctuant par rapport au déplacement

varie peu sur la seconde moitié du prol (il est en fait en opposition de phase pour l'extrados).L'envergure de cette zone perturbée du chargement uide permet par ailleurs d'estimer l'ampli-tude du déplacement du point de recollement au cours d'un cycle. Ce comportement aéroélastiquese traduit par un premier mode de contribution aéroélastique (dont la contribution en terme de

raideur est importante) présentant un ventre de vibration pour 3 ≤ X

D≤ 6 et par un second

mode de contribution aéroélastique qui s'apparente à un mode de cisaillement classique (Fig.4.39).

La diminution de la vitesse réduite induit un cisaillement plus important des zones décollées etdonc une augmentation de la réponse dynamique dans la zone de suction amont sur le premiertiers du prol, ainsi qu'un décalage vers l'amont des zones d'amplitude maximum (Fig. 4.38).Cela implique également un changement de comportement du déphasage sur la seconde moitiédu prol. Le comportement croissant du déphasage dans cette zone pour les plus faibles vitessesréduites est également représentatif de l'eet d'une onde de dépression en aval du point moyende recollement (cf. Fig 4.41 pour U∗ ≈ 5,9). Cette onde est sans doute à mettre à l'actif detourbillons de mouvement générés par cisaillement puis collision contre les parois des nappes deuide décollées en amont. La zone d'amplitude maximum pour U∗ ≤ 7 correspond à la zone decollision des tourbillons d'arête contre les parois. Au delà de cette zone les tourbillons de mou-vement se convectent en se dissipant jusqu'à la face sous le vent (la diminution progressive des

amplitudes de uctuation s'accompagne d'une évolution croisante du déphasage pourX

D≥ 2,5).

On observe également une rupture de pente dans l'évolution du déphasage au delà de la mi-corde.Il semble donc que la dissipation des tourbillons le long de l'arête s'accompagne également d'uneaugmentation de leur vitesse de convection.Ce comportement aéroélastique conduit à un premier mode propre aéroélastique dont la déforméeest importante sur le premier tiers du prol, correspondant à la zone de cisaillement et d'enrou-lement des nappes décollées amont sous l'eet du mouvement, et par un mode d'amortissementdont le ventre de vibration est centré sur la mi-corde (Fig. 4.39).

4.1.3.3 Inuence de l'amplitude du mouvement sur la réponse dynamique du champ

de pression

L'inuence de l'amplitude du mouvement de tangage sur la réponse du champ de pression estétudiée pour deux vitesses réduites caractéristiques U∗ ≈ 15 et U∗ ≈ 6. Le chargement moyende pression (Fig. 4.42), les distributions d'amplitude C∗

pα(M) et de déphasage Φ∗pα(M) (Figs.

4.43 et 4.44) sont représentés sur l'arête extrados du prol rectangulaire de ratio 8 pour troisamplitudes α∗ ≈ 0,018, 0,035 et 0,065 rad.L'inuence de l'amplitude du mouvement de tangage sur le champ moyen de pression en régimedynamique est à première vue moins importante que pour le cas du prol rectangulaire de ratio 4.On remarque néanmoins un décalage vers l'amont des points de recollement moyens sur l'obstaclepour les deux vitesses réduites et α∗ ≈ 0,07 rad (Fig. 4.42).On observe également un eet signicatif de l'amplitude sur la réponse dynamique du champde pression. En particulier sur les amplitudes des uctuations aéroélastiques de pression pourles grandes vitesses réduites dont les maximum diminus et se décalent légèremenet vers l'amontà mesure que l'amplitude augmente (Fig. 4.43). Pour les faibles vitesse réduites on observeégalement une décroissance plus rapide des uctuation en aval du point de "collision" pour


0 2 4 6 8−1.3

−1.2

−1.1

−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

CP

(extrados)

X/D

Cp aerodyn. moyen U*=13.9; α*=0.018 rad.U*=13.8; α*=0.035 rad.U*=13.5; α*=0.065 rad.

0 2 4 6 8−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

CP

(extrados)

X/D

Cp aerodyn. moyen U*=6; α*=0.018 rad.U*=5.9; α*=0.035 rad.U*=5.8; α*=0.065 rad.

Fig. 4.42 Inuence de l'amplitude sur le chargement moyen de pression en régime dynamiquepour U∗ ≈ 14 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite); comparaison avec le chargement moyen identié pourle prol xe à incidence nulle.

0 2 4 6 80

2

4

6

8

10

12

CP*/

α*

(extrados)

X/D


0 2 4 6 80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CP*/

α*

(extrados)

X/D


Fig. 4.43 Inuence de l'amplitude sur la distribution d'amplitude du champ aéroélastique depression le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 14 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite)

0 2 4 6 8−100

−50

0

50

100

150

200

250

Φ*−

180

(deg

.)

(extrados)

X/D


0 2 4 6 8−50

0

50

100

150

200

250

Φ*−

180

(deg

.)

(extrados)

X/D


Fig. 4.44 Inuence de l'amplitude sur la distribution de phase du champ aéroélastique depression le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 14 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite)


α∗ ≈ 0,07 rad. Les distributions de phase sont quant à elle très proches pour les trois amplitudestestées (Fig. 4.44).

4.1.3.4 Comportement aéroélastique des eorts résulants

Le comportement aéroélastique des eorts résultants est appréhendé par l'analyse des coecientsinstationnaires associés. Comme pour les prols rectangulaires de moindre allongement, le prolde ratio 8 est sensible au ottement en torsion. On s'intéresse donc au comportement des coe-cients instationnaires de moment (A∗

2,A∗3,C

∗Mα

et ΦMα).Les coecients identiés (Fig. 4.45) sont comparés aux résultats expérimentaux de[Matsumoto 1996].

Les valeurs obtenues sont assez proches pour les plus faibles vitesses réduites et en particulierpour U∗ ≈ 5 (zone de changement de signe du coecient d'amortissement A∗

2). Lorsque lavitesse réduite augmente les écarts deviennent plus importants. Comme pour le cas du prolrectangulaire de ratio 4, il semble que ces écarts sont dus à une surestimation du déphasage,probablement causée par un décalage dans le système de mesure non pris en compte lors dutraitement.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Vitesses reduites

CM

*/α*

α*=0.018rad.α*=0.035rad.α*=0.065rad.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Vitesses reduites

ΦM

*

α*=0.018rad.α*=0.035rad.α*=0.065rad.Matsumoto

0 5 10 15 20 25 30 35 40−5

0

5

10

15

Vitesses reduites

A2*


0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Vitesses reduites

A3*


Fig. 4.45 Comparaisons expérimentales sur les coecients aéroélastiques de moment.


Les distributions des coecients aéroélastiques de raideur P ∗3 (M) et d'amortissement P ∗

2 (M)associés au champ de pression surfacique sont présentées le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 14


(Fig. 4.46) et U∗ ≈ 6 (Fig. 4.47).Ces résultats montrent que l'eet de l'amplitude n'est signicatif sur le champ dynamique depression que dans une zone centrée sur la mi-corde (3 ≤ X

D ≤ 6). Cet eet est donc faible sur lescoecients instationnaires de moment (Fig. 4.45).

0 2 4 6 8−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

P3*

(extrados)

X/D


0 2 4 6 8−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

P2*

(extrados)

X/D




0 2 4 6 8−5

−2.5

0

2.5

5

P3*

(extrados)

X/D


0 2 4 6 8−5

−2.5

0

2.5

5

P2*

(extrados)

X/D




4.1.4 Inuence de l'allongement sur le chargement aéroélastique

Les coecients moyens de pression pour les deux prols rectangulaires d'allongement 4 et 8 xeset à incidence nulle sont tracés sur la Fig. 4.48 en fonction de leur position relative le long del'arête extrados de longueur B. Les distributions des coecients aéroélastiques de raideur P ∗

3 (M)et d'amortissememnt P ∗

2 (M) associés au champ de pression aéroélastique sont également présen-tées pour ces deux prols en mouvement de tangage forcé d'amplitude α∗ ≈ 0,035 rad et pourdeux vitesses réduites U∗ ≈ 14 (Fig. 4.49) et U∗ ≈ 6 (Fig. 4.50).Lorsque l'allongement augmente l'envergure moyenne de la zone de décollement amont par rap-port à la longueur de corde B diminue (Fig. 4.48). Le décalage vers l'amont de la position du pointde recolement moyen entraîne une redistribution du prol dynamique de pression par rapport aucentre de torsion du prol:

pour U∗ ≈ 14, le décalage vers la mi-corde des ventres de raideur et d'amortissementaéroélastiques induit un changement de signe pour le coecients A∗

3 et une diminutionfavorable du coecients A∗

2; pour U∗ ≈ 6, on retrouve également un décalgage vers l'amont des distributions de raideuret d'amortissement locaux mais l'eet n'est signicatif que sur le coecient A∗

2.


0 0.25 0.5 0.75 1−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2(Extrados)

X/B

Cp

Ratio 4Ratio 8

Fig. 4.48 Inuence de l'allongement sur la distribution moyenne des pression pour les prolsxes à incidence nulle

0 0.25 0.5 0.75 1−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

P3*

(extrados)

X/B

Ratio 4Ratio 8

0 0.25 0.5 0.75 1−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

P2*

(extrados)

X/B

Ratio 4Ratio 8

Fig. 4.49 Inuence de l'allongement sur les distributions de raideur (P ∗3 ) et d'amortissement


0 0.25 0.5 0.75 1−5

−2.5

0

2.5

5

P3*

(extrados)

X/B

Ratio 4Ratio 8

0 0.25 0.5 0.75 1−5

−2.5

0

2.5

5

P2*

(extrados)

X/B

Ratio 4Ratio 8

Fig. 4.50 Inuence de l'allongement sur les distributions de raideur (P ∗3 ) et d'amortissement



Les coecients instationnaires de moment (A∗2,A

∗3,C

∗Mα

et ΦMα) identiés pour les deux ratiosétudiés sont présentés en fonction de la vitesse réduite pour α∗ ≈ 0,035 rad. (Fig. 4.51).Ces résultats montrent que le doublement de l'allongement du prol diminue le retard de phasedu moment aéroélastique résultant par rapport au déplacemnet en tangage. Dans la gamme devitesse réduite testée (U∗ ∈ [5, 40]), l'energie défavorable transmis par le uide à la structuredu fait des mécanismes d'adaptation au mouvement et d'autant plus faible que l'allongement estimportant.

5 10 15 20 25 30 35 400.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Vitesses reduites

CM

*/α*

Ratio 4Ratio 8

5 10 15 20 25 30 35 40−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Vitesses reduites

ΦM

*

Ratio 4Ratio 8

5 10 15 20 25 30 35 400

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Vitesses reduites

A2*

Ratio 4Ratio 8

5 10 15 20 25 30 35 40−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Vitesses reduites

A3*

Ratio 4Ratio 8

Fig. 4.51 Inuence de l'allongement sur les coecients aéroélastiques de moment.


4.1.5 Cas du prol de "Millau" en mouvement de tangage forcé


Des mesures du champ instationnaire de pression ont été eectuées pour des mouvements detangage forcé de diérentes vitesses réduites U∗ ∈ [4,7 16,9] et pour trois amplitudes α∗ ≈ 0,018,α∗ ≈ 0,036 et α∗ ≈ 0,065 rad.Une étude détaillée des premiers modes propres associés au mouvement de tangage d'amplitudeα∗ ≈ 0,036 rad pour U∗ ≈ 5.7 est proposée. Les inuences de la vitesse réduite et de l'amplitudedu mouvement imposé sur les mécanismes uides mis en jeu et le chargement aéroélastique ré-sultant seront ensuite présentées.

0 10 20 30 40 50 60 7010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

λ k

k

α*=0.036rad ; U*=5.7


Les trois premières valeurs propres se distinguent dans la suite décroissante des valeurs propresde la matrice de corrélation spatiale (Fig. 4.52). Celles-ci sont associées à trois modes propresqui contribuent principalement aux eorts instationnaires de portance et de moment (Fig. 4.53).Les courbes d'évolution des erreurs relatives des coecients de portance et de moment et desécarts-type associés en fonction du nombre de mode (Fig. 4.54) montrent qu'une troncature duchamp de pression sur ces trois premiers modes propres permet d'approcher près de 95 % deseorts instationnaires et conduit à des erreurs négligeables sur les écarts-type (<1 %).

Comme pour les cas des prols rectangulaires, le premier mode "statique" induit une contributionmoyenne proche du chargement moyen identié sur le prol xe et sans incidence (Fig. 4.55).Les coordonnées temporelles µ2(t), µ3(t) (Fig. 4.57) associées aux modes 2 et 3 sont des fonctionsquasi-harmoniques à la fréquence du mouvement imposé ( 1

U∗ = nsBU ≈ 0,18). Ces deux premiers

modes instationnaires (Fig. 4.56) sont les modes dominants dans la réponse aéroélastique. Lescourbes des approximations relatives des coecients instationnaires de moment en fonction dunombre de mode (Fig. 4.58) montrent eectivement que les eets aéroélastiques linéaires sontpresque totalement appréhendés grâce à ces deux premiers modes instationnaires.


0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5


CL CL1

0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5

0CL CL2

0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5

0

temps*U/B

CL CL3

0 5 10 15 20 25 300

0.1


CM CM1

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2CM CM2

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

temps*U/B

CM CM3

Fig. 4.53 Contribution des trois premiers modes propres pour les eorts de portance et demoment; (U∗ ≈ 5.7)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−80

−60

−40

−20

0


Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 4.54 Evolutions de l'erreur relative des coecients de portance et de moment et des écarts-type associés en fonction du nombre de mode pour U∗ ≈ 5.7

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

W1*

m1

Mode 1 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

W1*

m1

Mode 1 (extrados)


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

W1*

m1

Mode 1 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

W1*

m1

Mode 1 (extrados)

Profil fixeU*=5.7

Fig. 4.55 Contribution moyenne du mode 1 sur le prol pour U∗ ≈ 5.7; comparaison avec lechargement moyen en régime dynamique (gauche) et avec le chargement moyen identié sur le

prol xe et sans incidence (droite); m1 =1T

∫ T0 µ1(t)dt


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.4

−0.2

0

0.2

W2

Mode 2 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

W2

Mode 2 (intrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

W3

Mode 3 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

W3

Mode 3 (intrados)

Fig. 4.56 Modes 2 et 3 (U∗ ≈ 5.7), sur le prol (extrados et intrados)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 455.5

6

6.5

µ 1

Historiques

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−2

0

2

µ 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−1

0

1

2

temps*U/B

µ 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5


µ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

100

200

300

µ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

Frequence*B/U

µ 3

Fig. 4.57 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) des trois premiers modes propres pourU∗ ≈ 5.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10A2*

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10A3*

Err

eur

rela

tive

(%)

nombre de mode

Fig. 4.58 Evolution des approximations relatives successives des coecients instationnaires demoment en fonction du nombre de mode pour U∗ ≈ 5.7



Le comportement dynamique du champ normal de pression total et aéroélastique est présentépour α∗ ≈ 0,036 rad, U∗ ≈ 16,4 (Fig. 4.59) et U∗ ≈ 4,7 (Fig. 4.60).

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.


∗ ≈ 16,4

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.

α = 0 rad.

α = π/4 rad.

α = π/2 rad.

α = 3π/4 rad.

α = π rad.

α = 5π/4 rad.

α = 3π/2 rad.

α = 7π/4 rad.


α = 2π rad.


∗ ≈ 4,7

Ces instantanés du champ normal de pression en fonction de la position en incidence au cours dumouvement montrent que la réponse dynamique de l'écoulement se caractérise principalementpour l'une et l'autre de ces deux vitesses réduites (et donc à fortiori pour les vitesses réduitesintermédiaires) par une adaptation des zones décollées extrados et intrados amont à chaquenouvelle position du prol. Cette adaptation de l'écoulement génère des uctuations de pressionessentiellement concentrées sur la première moitié du prol.Le chargement moyen de pression (Fig. 4.61), les distributions d'amplitude C∗

pα(M) et de dé-phasage Φ∗

pα(M) (Fig. 4.62) et les deux modes propres dominants dans la réponse aéroélastique(Fig. 4.64) sont représentés pour α∗ ≈ 0,036 et diérentes vitesses réduites U∗ ∈ [4,6, 16,4].


Le chargement moyen en régime dynamique varie peu avec la vitesse réduite et est très prochedu chargement moyen identié pour le prol xe sans incidence (Fig. 4.61).

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

W1*

m1

Mode 1 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

W1*

m1

Mode 1 (intrados)

Cp aerodyn. moyenU*=16.7 U*=11.1 U*=8.4 U*=6.7 U*=5.6 U*=4.8

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

W1*

m1

Mode 1 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

W1*

m1

Mode 1 (intrados)

Cp aerodyn. moyenU*=16.4 U*=10.3 U*=8 U*=6.7 U*=5.7 U*=4.7

Fig. 4.61 Inuence de la vitesse réduite sur le mode de chargement moyen; α∗ ≈ 0,018rad(gauche) et α∗ ≈ 0,036rad (droite)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

20

CP*/

α*

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

CP*/

α*

(intrados) U*=16.4U*=10.3U*=8 U*=6.7 U*=5.7 U*=4.7

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−100

0

100

200

300

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−300

−200

−100

0

100

Φ*

(deg

.)

(intrados)

U*=16.4U*=10.3U*=8 U*=6.7 U*=5.7 U*=4.7

Fig. 4.62 Inuence de la vitesse réduite sur le champ aéroélastique (amplitude, phase) depression; α∗ ≈ 0,036rad, U∗ ∈ [4,7, 16,4], Re ≈ 3,4 105

Conformément à ce qui a été constaté sur les instantanés du champ normal de pression, les am-plitudes des uctuations de pression et les déformées des deux modes propres dominants dans laréponse aéroélastique sont importantes sur la première moitié du prol extrados (zone d'adapta-tion des décollement extrados) et sur une petite zone en aval du point de décollement intrados.

Sur l'extrados, La diminution de la vitesse réduite induit un cisaillement plus important deszones décollées et donc une augmentation de la réponse dynamique dans la zone de suction amont(−0,18 ≤ X ≤ −0,13), ainsi qu'un décalage vers l'amont des zones d'amplitude maximum (Fig.4.62). La diminution de l'envergure de la zone des uctuations aéroélastiques correspondante àl'adaptation des zones décollées extrados est également manifeste sur les deux premiers modespropres de participation aéroélastique (Fig. 4.64), dont les déformées se décalent vers l'amont àmesure que la la vitesse réduite diminue. Comme pour le cas des prols rectangulaires, plus lemouvement est rapide plus l'écoulement recolle tôt sur le prol. Les distributions de déphasgesont quant à elles uniformes pour la vitesse réduite la plus élevée, en aval du point de recollementmoyen pour −0,1 ≤ X ≤ 0. Elles augmente par contre progressivement sur la première moitié


−0.2 −0.18 −0.16 −0.14 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0100

150

200

250

300

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.18 −0.16 −0.14 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0−50

−25

0

25

50

Φ*

(deg

.)

(intrados)

U*=16.7U*=11.1U*=8.4 U*=6.7 U*=5.6 U*=4.8

−0.2 −0.18 −0.16 −0.14 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0100

150

200

250

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.18 −0.16 −0.14 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0−50

−25

0

25

50

Φ*

(deg

.)

(intrados)

U*=16.4U*=10.3U*=8 U*=6.7 U*=5.7 U*=4.7

Fig. 4.63 Inuence de la vitesse réduite sur la distribution de déphasage sur la première moitiédu prol; α∗ ≈ 0,018rad (gauche) et α∗ ≈ 0,036rad (droite)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.4

−0.2

0

0.2

W2

Premier mode de participation aeroelastique (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

W2

Premier mode de participation aeroelastique (intrados)U*=16.4U*=10.3U*=8 U*=6.7 U*=5.7 U*=4.7

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

W3

Second mode de participation aeroelastique (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

W3

Second mode de participation aeroelastique (intrados)

U*=16.4U*=10.3U*=8 U*=6.7 U*=5.7 U*=4.7

Fig. 4.64 Inuence de la vitesse réduite sur les modes propres dominants dans la réponseaéroélastique; α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ∈ [4,7, 16,4], Re ≈ 3,4 105


du prol lorsque la vitesse réduite diminue. On observe alors une évolution d'un régime de typequasi-statique à un régime d'adpatation déphasé par rapport au déplacement pour le décollementextrados. En aval de la mi-corde, les distributions de déphasage varient également en fonction dela vitesse réduite. Dans la mesure où les niveaux des uctuations de pression sont faibles danscette zone (Fig. 4.38), le chargement aéroélastique résultant, à l'image des déformées des modespropres dominants dans la réponse aéroélastique (Fig. 4.64), reste faible dans cette zone et estdonc peu dépendant de la vitesse réduite.

Sur l'intrados, la petite zone de uctuation de pression pour −0,18 ≤ X ≤ −0,15 correspond éga-lement à la zone d'adaptation d'une zone décollée avec le déplacement. Globalement, les valeursde déphasage identiées sur la première moitié intrados du prol sont faibles pour toute les vi-tesses réduites (Fig. 4.63) et le premier mode de contribution aéroélastique, dont la contributionen terme de raideur est importante, a une allure proche de celle de la distribution d'amplitude.Dans la zone d'amplitude maximum pour −0,18 ≤ X ≤ −0,15 le déphasage de la réponse duchamp de pression évolue néanmoins avec la vitesse réduite ce qui induit un eet signicatif surle second mode de contribution aéroélastique (Fig. 4.64). En aval de la mi-corde le déphasagede la réponse du champ de pression est également fonction de la vitesse réduite. L'eet aéroé-lastique est néanmoins négligeable (les modes propres dominants dans la réponse aéroélastiquevarient peu) dans la mesure où les niveaux de uctuation de pression sont faibles dans cette zone.

En conclusion les adaptations des zones décollées extrados et intrados à chaque nouvelle positionen incidence dominent le chargement aéroélastique. Sur l'extrados ce chargement dominant estdonc concentré sur la première moitié du prol, et il est d'autant plus éloigné du centre de torsionque la vitesse réduite est faible. Sur l'intrados ce chargement reste proche du point de décollement.

4.1.5.3 Inuence de l'amplitude sur la réponse dynamique du champ de pression

L'inuence de l'amplitude du mouvement de tangage sur la réponse du champ de pression estétudiée pour deux vitesses réduites caractéristiques U∗ ≈ 17 et U∗ ≈ 7. le chargement moyen depression (Fig. 4.65), les distributions d'amplitude C∗

pα(M) et de déphasage Φ∗pα(M) (Figs. 4.66

et 4.67) sont représentées pour trois amplitudes α∗ ≈ 0,018, 0,036 et 0,065 rad.Lorsque l'amplitude augmente, le champ moyen de pression en régime dynamique n'est modiéqu'au niveau des zones décollées. On observe en particulier une légère diminution de l'envergurede la zone de suction sur l'extrados pour les deux vitesses réduites (Fig. 4.42).Sur la première moitié du prol, où la réponse dynamique du champ de pression est principale-ment responsable du chargement aéroélastique l'inuence de l'amplitude n'est signicative quepour les amplitudes des uctuations de pression sur l'extrados. Les distributions des coecients

d'amplitude relative (C∗

p

α∗ ), sont d'autant plus écrasées que l'amplitude est importante (Fig. 4.66).Sur la seconde moitié du prol les distributions de déphasage évoluent également avec l'ampli-tude pour les vitesse réduites élevées (Fig. 4.67); nous verrons néanmoins que c'est principalementl'eet de l'amplitude sur le comportement de la zone de décollement extrados amont qui modiele comportement du moment aéroélastique résultant.


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

CP

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1

0

CP

(intrados)

U*=16.7; α*=0.018rad.U*=16.4; α*=0.036rad.U*=16.9; α*=0.065rad.

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

CP

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1

0

CP

(intrados)


Fig. 4.65 Inuence de l'amplitude sur le chargement moyen de pression en régime dynamiquepour U∗ ≈ 16.7 (gauche) et U∗ ≈ 6.7 (droite); comparaison avec le chargement moyen identiépour le prol xe à incidence nulle.

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

CP*/

α*

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

CP*/

α*

(intrados)


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

CP*/

α*

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

CP*/

α*

(intrados)


Fig. 4.66 Inuence de l'amplitude sur la distribution d'amplitude du champ aéroélastique depression pour U∗ ≈ 16.7 (gauche) et U∗ ≈ 6.7 (droite)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

100

200

300

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−20

0

20

40

60

Φ*

(deg

.)

(intrados)


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

100

200

300

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−150

−100

−50

0

50

Φ*

(deg

.)

(intrados)


Fig. 4.67 Inuence de l'amplitude sur la distributions de phase du champ aéroélastique depression pour U∗ ≈ 16.7 (gauche) et U∗ ≈ 6.7 (droite)


4.1.5.4 Comportement aéroélastique du moment résulant

Le comportement aéroélastique des eorts résultants est appréhendé par l'analyse des coecientsinstationnaires associés. Comme pour les prols rectangulaires on s'intéresse ici au comportementdes coecients de moment (A∗

2,A∗3,C

∗Mα

et ΦMα).Les coecients identiés sont présentés sur la Fig. 4.68.

4 6 8 10 12 14 16 181.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

Vitesses reduites

CM

*/α*

α*=0.018rad.α*=0.036rad.α*=0.065rad.

4 6 8 10 12 14 16 180

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Vitesses reduites

ΦM

*

α*=0.018rad.α*=0.036rad.α*=0.065rad.

4 6 8 10 12 14 16 18−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Vitesses reduites

A2*

α*=0.018rad.α*=0.036rad.α*=0.065rad.

4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

5

6

Vitesses reduites

A3*

α*=0.018rad.α*=0.036rad.α*=0.065rad.

Fig. 4.68 Inuence de l'amplitude sur les coecients aéroélastiques de moment; Re ≈ 3,4 105

Le comportement dynamique des zones décollées amont domine le chargement aéroélastique.Dans la mesure où les mécanismes d'adaptation sont concentrés en amont du centre de torsion,les coecients d'amortissement aéroélastiques (A∗

2) sont négatifs. Le décalage vers la mi-cordedes ventres de vibration aéroélastique lorsque la vitesse réduite augmente implique égalementune augmentation de l'armortissement aérodynamique ajouté. Ce prol de type trapézoïdal estdonc peu sensible au ottement en tangage.


Les distributions des coecients aéroélastiques de raideur P ∗3 (M) et d'amortissememnt P ∗

2 (M)associés au champ de pression surfacique sont présentées le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 17(Fig. 4.69) et U∗ ≈ 7 (Fig. 4.70).


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−50

0

50

P3*

(extrados)


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−50

0

50

P3*

(intrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−25

0

25

P2*

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−25

0

25

P2*

(intrados)



(P ∗2 ) aéroélastique pour U∗ ≈ 16,7

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−7

0

7

P3*

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−7

0

7

P3*

(intrados)


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−6

0

6

P2*

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−6

0

6

P2*

(intrados)



(P ∗2 ) aéroélastique pour U∗ ≈ 6,7


Pour les vitesses réduites élevées, l'eet de l'amplitude sur le comportement de la zone de décol-lement extrados amont modie les distributions des coecients de raideur et d'amortissementaéroélastiques du champ de pression pour −0,15 ≤ X ≤ 0 (Fig. 4.69). Les variations relativesdes coecients instationnaires du moment résultant ne sont signicatives que pour le coecientsd'amortissement A∗

2 (Fig. 4.68).Pour les vitesses réduites modérées, ce sont principalement les distributions du coecient d'amor-tissement aéroélastique (P ∗

2 ) pour −0,15 ≤ X ≤ 0 qui sont aectées (Fig. 4.69) et l'on observeégalement une augmentation du coecients d'amortissement A∗

2 (Fig. 4.68).

4.1.6 Quelques remarques sur l'inuence du Reynolds sur le chargement aé-roélastique

L'étude du comportement dynamique du champ de pression pour le cas des prols rectangulairesen mouvement de tangage forcé a montré que se sont principalement les mécanismes d'adaptationdes zones décollées amont qui sont responsables du chargement aéroélastique. L'analyse comparéedes résultats obtenus pour les deux prols de ratio 4 et 8 a également révélé que le décalage versl'amont de la position relative du point de recolement moyen sur les arêtes entraîne un décalagevers l'amont des distributions de raideur et d'amortissement aéroélastiques. Cette redistributiondu prol dynamique de pression par rapport au centre de torsion du prol diminue les eetsd'amortissement défavorable du moment de tangage résultant.Dans l'hypothèse où le comportement des nappes décollées est faiblement perturbé par le régimed'écoulement (pour des régimes d'écoulement élevés, Re ≥ 1 103), les eets du Reynolds sur lechargement moyen de pression et donc sur le champ aéroélastique résultant sont le plus souventnégligés. Les travaux de [Hoxey 1998] montrent néanmoins, pour le cas d'obstacles aux arêtesvives une diminution de l'envergure moyenne des zones décollées lorsque le Reynolds augmente.Pour les prols rectangulaires, l'eet d'une augmentation du Reynolds sur la signature moyennede l'écoulement serait donc du même type que celui d'une augmentation de l'allongement. Ildevrait donc induire une redistribution du prol dynamique de pression par rapport au centrede torsion telle que les eets d'amortissement aéroélastique défavorables soient plus faibles.

Pour d'autres types de prols pour lesquels les singularités uides sont moins nettes, l'eet duReynolds peut être plus complexe (cf Chapitre 1).Pour le cas du prol trapézoïdal de type "Millau" les résultats présentés concernent une séried'essais réalisés sous écoulement de Reynolds Re1 ≈ 3,4 105. Ils ont été comparés à des mesureseectuées pour une vitesse d'écoulement supérieure correspondant à un régime d'écoulement:Re2 ≈ 5 105.Nous présentons les résultats obtenus pour α∗ ≈ 0,036 rad. et U∗ ≈ 10.Pour ces deux régimes d'écoulement relativement proches, les distributions de pression moyennesont presque identiques (Fig. 4.71). Néanmoins, si les distributions d'amplitude sont égalementtrès proches (Fig. 4.72), on observe des écarts signicatifs sur les distributions de déphasages dansune zone proche du bord de fuite extrados et au niveau du plan incliné intrados. Compte tenudu faible niveau de uctuation dans ces zones, ces décalages ont dans ce cas un eet négligeablesur les eorts aéroélastiques.


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

CP

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

CP

(intrados)

U*=10.4; Re=340000U*=10; Re=500000

Fig. 4.71 Inuence du Reynolds sur le chargement moyen de pression; α∗ ≈ 0036rad et U∗ ≈ 10

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

CP*/

α*

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

CP*/

α*

(intrados)

U*=10.4; Re=340000U*=10; Re=500000

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−200

0

200

400

600

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−100

−50

0

50

100

Φ*

(deg

.)

(intrados)

U*=10.4; Re=340000U*=10; Re=500000

Fig. 4.72 Inuence du Reynolds sur le chargement aéroélastique pour α∗ ≈ 0,036rad. et U∗ ≈ 10


4.2 Analyse des résultats numériques

4.2.1 Introduction

Les résultats présentés au chapitre 3 ont montré qu'il est possible d'appréhender au moins quali-tativement le comportement moyen et instationnaire des écoulements de Reynolds élevés autourde corps non prolés rectangulaires ou trapézoïdaux immobiles, en résolvant directement leséquations de Navier-Stokes (sans modèle de turbulence) avec des maillages d'environ 5000 pointset pour des valeurs de Reynolds modérées (environ 10 fois plus faibles que celles mesurées enveine d'essai).

Dans ce chapitre des simulations aéroélastiques eectuées avec les maillages "validés" expéri-mentalement sur prols xes sont présentées et comparées aux résultats expérimentaux.

Pour le cas des prols rectangulaires en mouvement de tangage forcé nous venons d'étudier expé-rimentalement la réponse dynamique du champ de pression dans une gamme de vitesse réduiteU∗ ∈ [4, 40] relativement étendue.Numériquement nous nous sommes limités pour les deux prols rectangulaires, à des vitessesréduites U∗ ∈ [2 10] proches de la zone de changement de signe du coecient d'amortissementaéroélastique 4 ≤ U∗ ≤ 5 [Washizu 1980], [Matsumoto 1996].

La validation expérimentale des simulations aéroélastiques est présentée en deux étapes:

1. Validation du comportement aéroélastique de l'écoulement pour une vitesse réduites "mo-dérée": U∗ ≈ 6;

2. Comparaison des coecients instationnaires identiés numériquement avec les résultatsd'essais et les résultats expérimentaux de [Washizu 1980] et [Matsumoto 1996]

Pour le cas du prol de "Millau" en mouvement de tangage forcé, le traitement des pressionsinstationnaires mesurées pour U∗ ∈ [4,7, 16,9], a montré que le comportement dynamique deszones décollées amont domine le chargement aéroélastique. Les prédictions numériques de cecomportement aéroélastique sont présentées et validées expérimentalement pour trois vitessesréduites U∗ ≈ 4,7,U∗ ≈ 6,7 et U∗ ≈ 10,3.


Pour le prol rectangulaire de ratio 4 les simulations aéroélastiques ont été eectuées à un ré-gime d'écoulement environ dix fois plus faible que celui mesuré dans la veine d'essai: Re = 2 104.Les équations de Navier-Stokes sont résolues sur un maillage mobile qui dans sa conguration àincidence nulle, correspond au maillage M1 de moins de 5000 points validé au chapitre 3. Confor-mément aux essais expérimentaux on s'intéresse à des mouvements de tangage forcé harmoniquepour diérentes amplitudes et fréquences de vibration.Pour α∗ = 0,033, 0,066 et 0,132 rad, la gamme de vitesse réduite balayée numériquementU∗ ∈ [2 10] correspond à celle balayée expérimentalement par [Washizu 1980]. L'inuence del'amplitude du mouvement de tangage a également été étudiée pour U∗ ≈ 6,25.Les conditions de simulations sont rappelées dans Tab. 4.7.


α∗ U∗ Re

0,033 rad. (2 3 4 5 6,25 8 10) 2 104

0,066 rad. (2 3 4 5 6,25 8 10) 2 104

0,1 rad. 6,25 2 104

0,132 rad. (2 3 4 5 6,25 8 10) 2 104

0,165 rad. 6,25 2 104

0.2 rad. 6,25 2 104

Tab. 4.7 Conditions des simulations en mouvement de tangage forcé pour le prol rectangulaireépais (ratio 4).

4.2.2.1 Comportement aéroélastique du chargement de pression à vitesse réduite

modérée

Les caractéristiques moyennes et aéroélastiques du champ de pression calculées numériquementpour deux mouvements de tangage forcé d'amplitude α∗ ≈ 0,033rad et α∗ ≈ 0,066rad et pourune vitesse réduite modérée U∗ = 6,25 sont comparées à celles identiées expérimentalementpour α∗ ≈ 0,035rad, α∗ ≈ 0,07rad et U∗ ≈ 6,1.

Pour α∗ ≈ 0,035rad, les champs moyens de pression calculés et mesurés le long de l'arête supé-rieure (Fig. 4.73) ont la même allure, ces résultats montrent que la position moyenne du point derecollement et donc la taille moyenne de la zone décollée en régime dynamique sont très correc-tement appréhendées dans nos simulations. Comme pour le cas du prol immobile (cf. chapitre3) les niveaux moyens de pression sont néanmoins sous-estimés sur toute la zone 0 ≤ X

D ≤ 4.

0 1 2 3 4−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4


X/D

Cp

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

Fig. 4.73 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile (α∗ ≈0,035rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados

Conformément au traitement eectué sur les champs de pression mesurés, les premiers modespropres issus de la décomposition P.O.D du champ instationnaire de pression calculé ont étéétudiés. Deux modes propres dominants dans la réponse aéroélastique ont ainsi été identiés.Ils sont comparés à ceux identiés expérimentalement (Fig. 4.74). Les résultats numériques sontrelativement proches des résultats expérimentaux. On note cependant:

un comportement singulier du premier mode de contribution aéroélastique au niveau dupoint de collision des tourbillons de mouvement (2 ≤ X

D ≤ 3);

une surestimation de la déformé du second mode de contribution aéroélastique dans lazone de décollement, probablement due à une surestimation du déphasage de la réponsedu champ de pression dans cette zone.


0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Premier mode de contribution aeroelastique (extrados)

X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Second mode de contribution aeroelastique (extrados)

X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

Fig. 4.74 Comparaison calculs-essais sur les deux premiers modes de contribution aéroélastiqueen régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados

Les distributions d'amplitude et de déphasage des pressions aéroélastiques sont présentées surla Fig. 4.75. Numériquement les amplitudes des uctuations de pression sont globalement sous-estimées bien que l'eet d'amplitude du tourbillon de mouvement soit plus net pour 2 ≤ X

D ≤ 3.L'évolution du déphasage est conforme à celle identiée expérimenatlament mais les courbes sontdécallées de près de 40 degrés sur toute la zone 0 ≤ X

D ≤ 4.

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

CP*/

α*

(extrados)

X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

0 1 2 3 4−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

Fig. 4.75 Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage du champaéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados

Pour α∗ ≈ 0,07rad, les résultats numériques sont comparativement plus proches des résultats ex-périmentaux. Les niveaux moyens de pression sont conformes à ceux mesurés expérimentalement(Fig. 4.76). Les deux premiers modes de contribution aéroélastique sont également beaucoupplus proches des résultats expérimentaux (Fig. 4.77). Numériquement, la distribution d'ampli-tude est qualitativement appréhendée tandis que, comme pour le cas α∗ ≈ 0,035 rad, on observeun décalage important du déphasage le long du prol (Fig. 4.78).Les écarts constatés sur les prédictions numériques des modes de chargement moyen et aéroé-lastique pour α∗ ≈ 0,035 rad sont dus à une surestimation numérique des instabilités uides.Cela modie le comportement des mécanismes d'adaptation au mouvement et donc des modespropres dominants dans le chargement aéroélastique. Lorsque l'amplitude du mouvement aug-mente les instabilités uides sont écrasées et le comportement dynamique des zones décollées estcontrôlé par le mouvement. Pour α∗ ≈ 0,07 rad ces niveaux de uctuation aéroélastiques plusimportants sont plus facilement appréhendés numériquement, ce qui nous permet d'identier descomportements moyens et aéroélastiques très proches de ceux identiés expérimentalement.


0 1 2 3 4−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4


X/D

Cp

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25


0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

Fig. 4.77 Comparaison calculs-essais les deux premiers modes de contribution aéroélastique enrégime mobile (α∗ ≈ 0,07rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

CP*/

α*

(extrados)

X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

0 1 2 3 4−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25



Les distributions du déphasage relatif par rapport au déphasage amont Φ∗r(X) = Φ∗(X)−Φ∗(0),

pour α∗ ≈ 0,035rad et α∗ ≈ 0,07rad sont par contre très proches (Fig. 4.79). Moyennant unrecalage constant sur toute la zone, le comportement du champ de pression calculé est conformeà celui du champ de pression mesuré. Ceci semble conrmer l'existence d'un déphasage introduitpar le système de mesure qui explique également les diérences constatées entre les coecientsinstationnaires issus du traitement des essais et ceux de [Washizu 1980] et [Matsumoto 1996].

0 1 2 3 4−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

0 1 2 3 4−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

Exp U* = 6.1 Num U* = 6.25

Fig. 4.79 Comparaison calculs-essais sur les distributions de déphasage relatif Φ∗r(X) =

Φ∗(X) − Φ∗(0) du champ aéroélastique de pression le long de l'arête extrados en régime mo-bile pour α∗ ≈ 0,035rad (gauche) et α∗ ≈ 0,07rad (droite)


Les coecients instationnaires de moment issus du traitement des essais numériques et ex-périmentaux sont comparés aux résultats de Washizu pour U∗ ∈ [2 10], α∗ ≈ 0,035rad etα∗ ≈ 0,07rad.

Contrairement aux coecients issus du traitement des essais, les coecients identiés numé-riquement sont proches de ceux mesurés par [Washizu 1980]. On retrouve numériquement lesprincipales caractéristiques du moment de réponse aéroélastique pour ce type de prol (Fig.4.88)

une évolution croissante du coecient de raideur A∗3 pour 2 ≤ U∗ ≤ 8;

un coecient d'amortissement A∗2 négatif et de valeurs faibles pour 2 ≤ U∗ ≤ 4, qui change

de signe pour U∗ ≈ 4 (zone de changement de signe du déphasage);

un comportement linéaire décroissant du déphasage. On note toutefois que le déphasageidentié numériquement est légèrement décalé par rapport aux résultats de washizu ce quiconduit à une sous estimation de la vitesse critique de ottement.

Ce décalage est du au fait que les zones décollées sont surestimées numériquement en régimedynamique (comme pour le cas des prols xes). Cela conduit à une redistribution défaroble duchargement aéroélastique (décalage vers l'aval des zones de uctuation qui contribuent positi-vement à l'amortissement aéroélastique A∗

2) pour l'ensemble des vitesses réduites et donc à undéphasage constant du déphasage du moment de tangage par rapport aux résultats de Washizudans toute la gamme de vitesse réduite balayée.En ce qui concerne les niveaux d'amplitude on constate que les prédictions numériques sont enbonne place entre les résultats expérimentaux de Washizu et ceux issus du traitement des essaisdu CSTB.


0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Vitesses reduites

CM

*/α*

Num α*=0.033rad. Num α*=0.066rad. Washizu α*=0.033rad.Washizu α*=0.067rad.CSTB α*=0.035rad. CSTB α*=0.07rad.

0 2 4 6 8 10 12−150

−100

−50

0

50

100

Vitesses reduites

ΦM

*


0 2 4 6 8 10 12−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Vitesses reduites

A2*


0 2 4 6 8 10 12−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Vitesses reduites

A3*


Fig. 4.80 Comparaison calculs-essais sur les coecients aéroélastiques de moment.



Pour le cas du prol rectangulaire de ratio 8 un maillage équivalent d'environ 5000 points cor-respondant à celui utilisé pour les simulations aérodynamiques est utilisé. Les conditions desimualtion en mouvement de tangage forcé sont données dans Tab. 4.8.

α∗ U∗ Re

0,033 rad. (2 3 4 5 6,25 8 10) 2 104

0,066 rad. (2 3 4 5 6,25 8 10) 2 104

0,132 rad. (2 3 4 5 6,25 8 10) 2 104

Tab. 4.8 Conditions des simulations en mouvement de tangage forcé pour le prol rectangulairen (ratio 8).

4.2.3.1 Comportement aéroélastique du chargement de pression à vitesse réduite

modérée

Les caractéristiques moyennes et aéroélastiques du champ de pression calculé numériquementpour deux mouvements de tangage forcé d'amplitude α∗ ≈ 0,033rad et α∗ ≈ 0,066rad et pourune vitesse réduite modérée U∗ = 6,25 sont comparées à celles identiées expérimentalementpour α∗ ≈ 0,035rad, α∗ ≈ 0,07rad et U∗ ≈ 6.

Pour α∗ ≈ 0,035rad, l'erreur commise sur la prédiction numérique du champ moyen de pressionen régime dynamique est identique à celle identiée au chapitre 3 pour le cas du prol xe etsans incidence: les niveaux moyens de pression sont largement sous estimés au niveau de la zonedécollée (0 ≤ X

D ≤ 3) et le point de recollement moyen sur l'obstacle est décalé vers la mi-cordedans nos simulations (Fig. 4.81).

0 2 4 6 8−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2


X/D

Cp

Exp U* = 5.9 Num U* = 6.25


Les premiers modes propres issus de la décomposition P.O.D du champ instationnaire de pressioncalculé ont également été étudiés. Les deux premiers modes dominants dans la réponse aéroélas-tique sont comparés à ceux identiés expérimentalement (Fig. 4.82). On retrouve numériquementdes modes aéroélastiques dont l'allure est proche de ceux identiés expérimentalement. La sures-timation numérique de la longueur de la zone décollée induit néanmoins un décalage vers l'avaldes ventres de vibration aéroélastiques dans nos simulations.Les distributions d'amplitude et de déphasage des pressions aéroélastiques sont présentées Fig.4.83. Numériquement le maximum des amplitudes de uctuation est également prédit trop en


0 2 4 6 8−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

Exp U* = 5.9 Num U* = 6.25

0 2 4 6 8−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

Exp U* = 5.9 Num U* = 6.25


aval, tout comme le point de départ de l'évolution croissante du déphasage correspondant aupoint de génération des tourbillons de mouvement.Comme pour le cas du prol rectangulaire de ratio 4, on observe un décalage important dudéphasage en amont et en aval de la zone de collision des nappes décollées (Fig. 4.83).

0 2 4 6 80

2

4

6

8

10

12

CP*/

α*

(extrados)

X/D

Exp U* = 5.9 Num U* = 6.25

0 2 4 6 8−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

Exp U* = 5.9 Num U* = 6.25


Les prédictions numériques du champ de pression moyen et aéroélastique sont meilleurs pourα∗ ≈ 0,07 rad . La taille de la zone décollée est plus proche de celle identiée expérimentalement(Fig. 4.84), de même que les déformées des deux premiers modes de contribution aéroélastique(Fig. 4.85). Si les niveaux de uctuation en aval du point de collision des nappes décollés sur lesarêtes pour (XD ≥ 3) sont correctement appréhendées (Fig. 4.86), la croissance du déphasage danscette zone est néanmoins surestimée numériquement (sous-estimation de la vitesse de convectiondes tourbillons de mouvement).


0 2 4 6 8−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2


X/D

Cp

Exp U* = 5.8 Num U* = 6.25


0 2 4 6 8−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

Exp U* = 5.8 Num U* = 6.25

0 2 4 6 8−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

Exp U* = 5.8 Num U* = 6.25


0 2 4 6 80

2

4

6

8

10

12

CP*/

α*

(extrados)

X/D

Exp U* = 5.8 Num U* = 6.25

0 2 4 6 8−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

Exp U* = 5.8 Num U* = 6.25



Les distributions du déphasage relatif par rapport au déphasage amont Φ∗r(X) = Φ∗(X)−Φ∗(0),

pour α∗ ≈ 0,035rad et α∗ ≈ 0,07rad sont comparées Fig. 4.87. Moyennant un recalage constantsur toute la zone, le comportement du champ de pression calculé est plus proche de celui duchamp de pression mesuré en amont et en aval de la zone de génération des tourbillons demouvement.

0 2 4 6 8−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

Exp U* = 5.8 Num U* = 6.25

0 2 4 6 8−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

Exp U* = 5.8 Num U* = 6.25

Fig. 4.87 Comparaison calculs-essais sur les distributions de déphasage relatif Φ∗r(X) =

Φ∗(X) − Φ∗(0) du champ aéroélastique de pression le long de l'arête extrados en régime mo-bile pour α∗ ≈ 0,035rad (gauche) et α∗ ≈ 0,07rad (droite)


Les coecients instationnaires de moment issus du traitement des simulations numériques sontcomparés aux résultats d'essais pour α∗ ≈ 0,035rad et α∗ ≈ 0,065rad ainsi qu'aux résultatsexpérimentaux de [Matsumoto 1996].Les coecients instationnaires issus des simulations pour α∗ ≈ 0,033rad et α∗ ≈ 0,066rad sontassez diérents. Leur comportement pour α∗ ≈ 0,033 rad est proche du comportement corres-pondant au cas du prol rectangulaire épais ce qui n'est pas surprenant dans la mesure où lalongueur des zones décollées est surestimée aux faibles amplitudes. Cela conduit à une distribu-tion du chargement aéroélastique le long des arêtes proche de celle identiée pour le cas du prolrectangulaire de ratio 4. Pour α∗ ≈ 0,07rad les déphasages Φ∗

M diminuent linéairement avec unepente conforme à celle correspondant aux essais. Comme pour le cas du prol rectangulaire deratio 4 un décalage de près de 40 degrés est néanmoins observé entre le numérique et l'expéri-mental. Pour α∗ ≈ 0.07 rad, les niveaux d'amplitude sont par contre conformes à ceux mesurésexpérimentalement.Les résultats de [Matsumoto 1996] conrment les niveaux de déphasage identiés numériquementpour les vitesses réduites élevées U∗ ≥ 7.


0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Vitesses reduites

CM

*/α*

Num α*=0.033rad. Num α*=0.066rad. CSTB α*=0.035rad.CSTB α*=0.065rad.

0 5 10 15−90

−60

−30

0

30

60

90

Vitesses reduites

ΦM

*

Num α*=0.033rad. Num α*=0.066rad. CSTB α*=0.035rad.CSTB α*=0.065rad.Matsumoto

0 5 10 15−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Vitesses reduites

A2*


0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Vitesses reduites

A3*




4.2.4 Inuence de l'amplitude sur le chargement uide

Une inuence signicative de l'amplitude du mouvement de tangage imposé a été constatée lorsde l'étude des résultats expérimentaux pour les deux prols rectangulaires. Pour les vitessesréduites modérées, celle-ci se caractérise par un décalage vers l'amont des points moyens derecollement sur les arêtes (zones de génération des tourbillons de mouvement). Nous poursuivonsici l'étude de l'inuence de l'amplitude sur le comportement aéroélastique du champ de pressionet des eorts résultants pour les deux prols rectangulaires grâce à des résultats numériquescomplémentaires.

4.2.4.1 Cas du prol rectangulaire de ratio 4 en mouvement de tangage forcé

Les caractéristiques moyennes et aéroélastiques du champ de pression calculé numériquementpour des mouvements de tangage forcé d'amplitude 0,033 rad ≥ α∗ ≥ 0,2 rad et pour une vitesseréduite modérée U∗ = 6,25 ont été identiées. Les résultats sont présentés (Fig. 4.89, 4.91 et4.90) pour trois amplitudes.Nous retrouvons ici numériquement le même type d'évolution de la réponse du champ de pressionà amplitude croissante.Pour α∗ ≤ 0,066 rad, la zone de génération des tourbillons de mouvement s'accorde avec la zonede génération des tourbillons d'instabilité (XD ≈ 3) et le champ moyen de pression en régimedynamique est proche de celui identié sur le prol xe et sans incidence (Fig. 4.89).Lorsque l'amplitude augmente, les tourbillons de mouvement sont générés plus tôt sur les arêtes,les distributions moyennes de pression s'éloignent de celles identiées en régime statique dans lamesure où le point de recollement moyen se décale vers l'amont (Fig. 4.89). Pour α∗ ≈ 0.132 rad,il se situe à la mi-corde alors que pour α∗ ≈ 0.2 rad il se situe en amont du centre de torsion. Lecontrôle progressif des zones décollées à amplitude croissante induit également un décalage versl'amont des maximum des amplitudes des uctuations de pression ainsi que des lignes d'évolutioncroissante du déphasage en aval du point collision (Fig. 4.90). On observe ainsi une évolutionprogressive des deux premiers modes propres de contribution aéroélastique (Fig. 4.91) et doncdu chargement aéroélastique.

0 1 2 3 4−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

CP

Champ moyen de pression

X/D

Profil fixe α*=0.066rad.α*=0.132rad.α*=0.2rad.

Fig. 4.89 Inuence de l'amplitude sur le champ moyen de pression en régime mobile (U∗ ≈ 6)

Cette redistribution progressive du chargement aéroélastique à amplitude croissante conduit àun comportement linéaire croissant du déphasage Φ∗

M du moment de tangage par rapport audéplacement et donc un comportement linéaire décroissant du coecient d'amortissement aéroé-lastique en fonction de l'amplitude du mouvement imposé (Fig. 4.92).Ce résultats est particulièrement intéressant dans la mesure où il montre que l'amplitude à uneet favorable sur le transfert d'energie entre le uide et la structure. Dans la congurationinstable pour U∗ ≈ 6 dans laquelle nous nous sommes placés, le uide perturbé par le mouve-


0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

CP*/

α*

(extrados)

X/D

α*=0.066rad.α*=0.132rad.α*=0.2rad.

0 1 2 3 4−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

α*=0.066rad.α*=0.132rad.α*=0.2rad.

Fig. 4.90 Inuence de l'amplitude sur les distributions d'amplitude et de déphasage du champaéroélastique de pression en régime mobile (U∗ ≈ 6)

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

α*=0.066rad.α*=0.132rad.α*=0.2rad.

0 1 2 3 4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

α*=0.066rad.α*=0.132rad.α*=0.2rad.

Fig. 4.91 Inuence de l'amplitude les deux premiers modes de contribution aéroélastique enrégime mobile (U∗ ≈ 6)

ment de l'obslace induit en retour un amortissement aéroélastique défavorable (qui induirait uneamplication du mouvement de la structure en mouvement libre). A mesure que l'amplitude aug-mente, l'avance de phase entre le moment de tangage résultant et le déplacement diminue et l'ons'attend à ce que le coecient d'amortissement aéroélastique devienne négatif pour α∗ > 0,2rad.Pour d'autres vitesses réduites proches, pour lesquelles les mécanismes d'adaptation de l'écoule-ment sont également dominés par les tourbillons de mouvement issus du cisaillement des zonesdécollées en amont, on s'attend à ce que l'eet de l'amplitude soit du même genre sur l'amor-tissement aéroélastique. Sur la Fig. 4.93 les évolutions avec la vitesse réduite du déphasageΦ∗M et celle du coecient d'amortissement aéroélastique A∗

2 sont tracés pour trois amplitudesα∗ = 0,035, 0,07 et 0,132 rad. Hors zone d'interaction avec les instabilités uides pour U∗ ≥ 3,ces résultats montrent eectivement que les niveaux de déphasage sont supérieurs et les coe-cients d'amortissement aéroélastiques plus faibles lorsque l'amplitude du mouvement de tangageaugmente.


0.033 0.066 0.1 0.132 0.165 0.20

0.1

0.2

0.3

Amplitude (rad.)

CM

*

0.033 0.066 0.1 0.132 0.165 0.2−20

−16

−12

−8

−4

0

Amplitude (rad.)

ΦM

*

0.033 0.066 0.1 0.132 0.165 0.20

0.1

0.2

0.3

Amplitude (rad.)

A2*

0.033 0.066 0.1 0.132 0.165 0.20.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Amplitude (rad.)

A3*

Fig. 4.92 Inuence de l'amplitude sur les coecients aéroélastiques de moment.

0 2 4 6 8 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Vitesses reduites

A2*

α* = 0.035 rad.α* = 0.7 rad. α* = 0.132 rad.

0 2 4 6 8 10−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Vitesses reduites

ΦM*

α* = 0.035 rad.α* = 0.7 rad. α* = 0.132 rad.

Fig. 4.93 Inuence de l'amplitude sur le déphasage et l'amortissement aéroélastique


4.2.4.2 Cas du prol rectangulaire de ratio 8 en mouvement de tangage forcé

Les caractéristiques moyennes et aéroélastiques du champ de pression calculées numériquementpour des mouvements de tangage forcé d'amplitude 0,033rad. ≥ α∗ ≥ 0,132rad. et pour unevitesse réduite modérée U∗ = 6,25 ont été identiées. Les résultats sont présentés (Fig. 4.94, 4.95et 4.96) pour trois amplitudes.

L'eet de l'amplitude sur le comportement dynamique du champ de pression est identique pourles cas des prols rectangulaires de ratio 4 et 8. Plus l'amplitude du mouvement est importanteplus la zone de génération des tourbillons de mouvement se décalle vers l'amont. A mesure quel'amplitude augmente, les distributions moyennes s'éloignent de celle identié en régime statiqueet les ventres de vibration aéroélastiques sont décalés vers l'amont (Fig 4.95).

0 2 4 6 8−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

CP


X/D

Profil fixe α*=0.033rad.α*=0.66rad. α*=0.132rad.

Fig. 4.94 Inuence de l'amplitude sur le champ moyen de pression en régime mobile (U∗ ≈ 6),le long de l'arête extrados

0 2 4 6 8−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

α*=0.033rad.α*=0.066rad.α*=0.132rad.

0 2 4 6 8−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3


X/D

α*=0.033rad.α*=0.066rad.α*=0.132rad.

Fig. 4.95 Inuence de l'amplitude les deux premiers modes de contribution aéroélastique enrégime mobile (U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados


0 2 4 6 80

2

4

6

8

10

12

CP*/

α*

(extrados)

X/D

α*=0.033rad.α*=0.66rad. α*=0.132rad.

0 2 4 6 8−50

0

50

100

150

200

250

300

Φ*

−18

0 (d

eg.)

(extrados)

X/D

α*=0.033rad.α*=0.66rad. α*=0.132rad.

Fig. 4.96 Inuence de l'amplitude sur les distributions d'amplitude et de déphasage du champaéroélastique de pression en régime mobile (U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados

4.2.5 Cas du prol de "Millau" en mouvement de tangage forcé

L'étude des mesures expérimentales des pressions surfaciques pour le prol de "Millau" en mou-vement de tangage forcé a montré que pour α∗ ≤ 0,065rad et U∗ ∈ [4,7 16,9], les uctuationsaéroélastiques sont principalement concentrées sur la première moitié du prol (les nappes dé-collées extrados et intrados s'adaptent à chaque changement d'incidence du prol au cours dudéplacement). Pour les faibles vitesses réduites U∗ ≤ 10 cette adaptation n'est pas imédiatecompte-tenu du cisaillement généré sur les nappes de uide décollées. Les résultats ont néanmoinsmontré qu'il n'y avait pas génération de tourbillons de mouvement et donc que les amplitudesdes uctuations sont faibles sur la seconde moitié du prol.

Les prédictions numériques du comportement en incidence des zones décollées amont ont étévalidées qualitativement au chapitre 3 avec un maillage d'environ 5600 points sans modèle deturbulence et pour un régime d'écoulement environ 10 fois plus faible que celui mesuré en veined'essai. Des simulations aéroélastiques ont donc été eectuées avec les paramètres numériquesvalidés sur le prol xe. Les conditions de simulation sont données Tab. 4.9

α∗ U∗ Re

0,035 rad. (4,7 6,7 10,4) 5 104

Tab. 4.9 Conditions des simulations en mouvement de tangage forcé pour le prol de "Millau".


Pour chacune de ces vitesses réduites les caractéristiques moyennes et aéroélastiques du champde pression calculées numériquement sont comparées à celles identiées expérimentalement.Pour α∗ ≈ 0,035 rad, les résultats expérimentaux ont montré que le champ moyen de pressionen régime dynamique varie peu avec la vitesse réduite et reste proche du chargement moyenidentié sur le prol xe sans incidence. Numériquement on retrouve eectivement des distri-butions moyennes de pression proches pour U∗ ≈ 10,4, U∗ ≈ 6,7 et U∗ ≈ 4,7 mais la positionmoyenne du point de recollement est légèrement décalée vers l'amont par rapport à celle préditenumériquement pour le prol xe (Fig. 4.97).Par rapport au cas statique on constate donc en régime dynamique que les prédictions numériquesdu chargement moyen au niveau de la zone décollée extrados sont plus proches de celles identiéesexpérimentalement (Fig. 4.98 et 4.99). Malgré cela, les niveaux moyens de pression sont sous-estimés dans toute la zone de suction extrados amont pour X ≤ −0,1 et la position moyenne


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Cp

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0

Cp

(intrados)

Profil fixeU*=10.4 U*=6.7 U*=4.7

Fig. 4.97 Inuence de la vitesse réduite sur le champ moyen de pression en régime mobile(numérique)

du point de recollement reste décalée vers la mi-corde par rapport aux résultats expérimentaux.Comme pour le cas statique, les distributions moyennes de pression sur l'intrados sont sous-estimées. Leur évolution est néanmoins conforme aux résultats expérimentaux pour les troisvitesses réduites U∗ = 4,7, 6,7 et 10,4 sur la première moitié du prol.

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1.5

−1

−0.5

0

0.5(extrados) U*=10,3

CP

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0(intrados)

CP

ExpNum

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1.5

−1

−0.5

0


CP

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0(intrados)

CP

ExpNum

Fig. 4.98 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile pourα∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 10.3 et U∗ ≈ 6,7

Conformément au traitement eectué sur les champs de pression mesurés, les premiers modespropres issus de la décomposition P.O.D des champs instationnaires de pression calculés ont étéétudiés. Les deux premiers modes instationnaires (qui sont les modes propres dominants de laréponse aéroélastique) sont comparés aux modes 2 et 3 expérimentaux pour U∗ = 10,4 (Fig.4.100) , U∗ = 6,7 (Fig. 4.101) et U∗ = 4,7 (Fig. 4.102).Les résultats numériques sont relativement proches des résultats expérimentaux. A l'extradosdu prol, on retrouve des déformées pour les modes 2 et 3 caractéristiques du comportementdynamique de la zone de décollement amont: une adaptation déphasée des nappes décollées enincidence avec cisaillement mais sans génération de tourbillons de mouvement (les déformées sonttrès faibles pourX ≥ 0). Les envergures des ventres de vibration des modes aéroélastiques préditsnumériquement sont conformes aux résultats expérimentaux, ce qui montre que les amplitudesdes uctuations de la position du point de recollement sont correctement appréhendées numéri-quement. Par contre, pour les trois vitesses réduites U∗ = 10,4, 6,7 et 4,7, la position moyenne dupoint de recollement est décalée vers la mi-corde par raport à celle identiée expérimentalement.


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1.5

−1

−0.5

0


CP

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1.5

−1

−0.5

0(intrados)

CP

ExpNum

Fig. 4.99 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile (α∗ ≈0,035rad, U∗ ≈ 4,7)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W2

Mode 2 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W2

Mode 2 (intrados)

ExpNum

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W3

Mode 3 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W3

Mode 3 (intrados)

ExpNum

Fig. 4.100 Comparaison calculs-essais sur les deux premiers modes de contribution aéroélastiqueen régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 10,4)

L'erreur commise sur la prédiction de la zone de décollement extrados amont provoque donc undécalage vers le centre de torsion du chargement aéroélastique.

A l'intrados du prol, on retrouve numériquement que les modes propres dominants de la réponseaéroélastique sont très faiblement déformés, hormis au niveau de la petite zone de décollementamont qui apparaît numériquement légèremenet sous-estimée.

Les distributions d'amplitude et de déphasage des pressions aéroélastiques sont également pré-sentées pour U∗ = 10,4 (Fig. 4.103) , U∗ = 6,7 (Fig. 4.104) et U∗ = 4,7 (Fig. 4.105).

Numériquement la surestimation de la longueur de décollement extrados amont implique undécalage vers la mi-corde des zones de uctuation aéroélastique maximum. Dans cette zone, ainsique sur la deuxième moitié du prol, les niveaux de déphasage sont conformes à ceux identiésexpérimentalement. A l'intrados, on observe sur les distributions de déphasage, des diérencessignicatives entre les prédictions numériques et les résultats expérimentaux, en particulier pourX ≥ 0. Compte-tenu des faibles niveaux de uctuation dans cette zone, cette mauvaise prédictiondu comportement du déphasage n'a qu'un eet négligeable sur les eorts résultants.


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W2

Mode 2 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W2

Mode 2 (intrados)

ExpNum

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W3

Mode 3 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W3

Mode 3 (intrados)

ExpNum


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W2

Mode 2 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W2

Mode 2 (intrados)

ExpNum

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W3

Mode 3 (extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

W3

Mode 3 (intrados)

ExpNum


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15(extrados)

CP*/

α*

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15(intrados)

CP*/

α*

ExpNum

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−150

−50

50

150

250

350

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−200

−100

0

100

Φ*

(deg

.)

(intrados)

ExpNum

Fig. 4.103 Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 10,4)


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15(extrados)

CP*/

α*

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15(intrados)

CP*/

α*

ExpNum

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−150

−50

50

150

250

350

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−150

−100

−50

0

50

Φ*

(deg

.)

(intrados)

ExpNum


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15(extrados)

CP*/

α*

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15(intrados)

CP*/

α*

ExpNum

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−150

−50

50

150

250

350

Φ*

(deg

.)

(extrados)

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−150

−100

−50

0

50

Φ*

(deg

.)

(intrados)

ExpNum


4.3. EN RÉSUMÉ 165


Les coecients instationnaires de moment issus du traitement des essais numériques sont com-parés à ceux identiés expérimentalement.

4 6 8 10 12 14 16 18−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Vitesses reduites

A2*

α*=0.018rad.α*=0.036rad.α*=0.065rad.Num 0.035rad.

4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

5

6

Vitesses reduites

A3*

α*=0.018rad.α*=0.036rad.α*=0.065rad.Num 0.035rad.


Dans la mesure où le comportement en incidence des zones décollées amont est relativement bienprédit, on retrouve numériquement un comportement des coecients aéroélastiques des eortsrésultants conforme à celui identié expérimentalement.Les coecients aéroélastiques numériques identiés pour U∗ = 4,7, 6,7 et 10,4 s'accordent eneet assez bien avec les résultats expérimentaux avec:

une évolution décroissante en valeur négative du coecient d'amortissement;

une évolution croissante en valeur positive du coecient de raideur.

4.3 En résumé

Une étude du chargement uide pour deux prols rectangulaires de ratio 4 et 8 et pour unprol trapézoïdal de "Millau" en mouvements de tangage forcé harmonique sous écoulementstransverses de Reynolds élevés a été présentée. Les résultats expérimentaux ont été étudiés dansla première partie de ce chapitre. Ils ont été ensuite comparés et complétés par des résultatsnumériques.

Le champ de pression mesuré pour chacun des essais a été décomposé selon la méthode des P.O.Dprésentée au chapitre 2. Les premiers modes de la base discrète des modes propres du charge-ment de pression ont été étudiés. Deux modes propres contribuant principalement au chargementaéroélastique ont ainsi été identiés. Ces modes propres "aéroélastiques" évoluent en fonction dela géométrie du prol, de la vitesse réduite et de l'amplitude du mouvement.

Pour les deux prols rectangulaires testés, l'ensemble des résultats expérimentaux présentésconcernent des mouvements de tangage forcé dont les fréquences (ns) sont inférieures à celles(nv) des mécanismes d'instabilité uide identiés au chapitre 3 (U∗ = U

nsB> U

nvB).

Pour le prol rectangulaire de ratio 8, la signature tourbillonnaire est faible et la réponse dy-namique de l'écoulement contribue principalement aux eorts instationnaires de portance et demoment. En outre, les modes propres dominants dans la réponse aéroélastique sont décorrélés


des modes propres représentatifs des mécanismes d'instabilité uide.Pour le prol rectangulaire de ratio 4 en mouvement de faible amplitude α∗ ≤ 0,035 rad, l'activitétourbillonnaire associée à l'instabilité uide de type I caractéristique de la signature instationnairede ce type de prol domine le chargement instationnaire. L'analyse par décomposition P.O.D aégalement révélé que les mécanismes d'instabilité uide inuencent la réponse aéroélastique duchamp de pression pour les vitesses réduites élevées U∗ ≥ 10 (le premier mode dominant dans laréponse aéroélastique est proche du premier mode d'instabilité uide identié sur le prol xe àincidence nulle).Malgré cela, comme pour le cas du prol rectangulaire de ratio 8, le chargement moyen en ré-gime dynamique pour les mouvements de faible amplitude α∗ ≤ 0,035rad dans toute la gammede vitesse réduite étudiée, reste proche du chargement moyen identié sur maquette immobile.

L'analyse de la réponse dynamique du champ de pression surfacique a montré que pour ce typed'obstacle présentant des décollements uides importants issus des arêtes vives en amont, lechargement aéorélastique est principalement fonction de l'adaptation au mouvement des nappesde uide décollées. Pour U∗ > 20, celles-ci s'adaptent à chaque position en incidence au cours dudéplacement et le comportement du chargement résultant est quasi-statique. Lorsque la vitesseréduite diminue, le cisaillement des zones décollées est plus important le chargement de pressionse déphase progressivement le long du prol par rapport au déplacement. Des tourbillons ditsde "mouvement" sont également générés par cisaillement et collision des nappes décollées sur lesparois pour les plus faibles vitesses réduites (U∗ ≤ 6).La diminution de la vitesse réduite induit globalement un décalage vers l'amont des zones de uc-tuation aéroélastique et l'on observe une diminution progressive du déphasage entre le momentrésultant et le mouvement de tangage imposé. Pour toute les vitesses réduites étudiées, le dé-phasage est négatif et conduit à un coecient d'amortissement aéroélastique positif défarorable(l'écoulement perturbé par le mouvement transmet en retour de l'energie à la structure).

L'analyse comparée des résultats obtenus pour les deux prols rectangulaires de ratio 4 et 8 nousa permis d'appréhender l'eet de l'allongement sur la stabilité aéroélastique de ce type de prol.Lorsque l'allongement augmente la taille relative de la zone de uide décollé amont diminue parrapport à la dimension de la corde. Cela conduit à une redistribution du chargement aéroélastiquele long des arêtes (les uctuations aéroélastiques défavorables sont principalement concentrées enaval du centre de torsion pour le prol rectangulaire de ratio 4, elles se décalent vers la mi-cordelorsque l'allongement augmente), induisant une diminution du déphasage et donc du coecientd'amortissement aéroélastique positif.

Une inuence signicative de l'amplitude du mouvement de tangage imposée sur les mécanismesmis en jeu et sur les eorts résultants a également été constatée. Pour l'amplitude la plus élevéetestée expérimentalement α∗ ≈ 0,07rad, l'écrasement des instabilités uides (en particulier pourle prol rectangulaire de ratio 4), modie le chargement moyen et uctuant. La diminution desuctuations de pression en aval aux vitesses réduites élevées (U∗ ≥ 14) provoque ainsi pour leprol rectangulaire de ratio 4, une nette diminution du coecient d'amortissement aéroélastiqueA∗

2. Pour les vitesses réduites plus faibles, le décalage vers l'amont des zone de génération destourbillons de mouvement et leur dissipation plus rapide à amplitude croissante provoque égale-ment une diminution sensible du coecient A∗

2. Pour le prol rectangulaire de ratio 8, on observeégalement un décalage vers l'amont des ventres de vibration aéroélastiques pour α∗ ≈ 0,07rad.Cet eet est néanmoins faible sur les coecients instationnaires de moment dans la mesure oùles forces aéroélastiques sont principalement concentrées sur la mi-corde.

L'eet du Reynolds a également été brièvement discuté. Dans la mesure où ce sont principalementles mécanismes d'adaptation des zones décollées en amont qui sont responsables du chargement

4.3. EN RÉSUMÉ 167

aéroélastique, la diminution de leur taille moyenne lorsque la valeur du Reynolds augmente[Hoxey 1998] devrait donc induire une redistribution du chargement aéroélastique par rapportau centre de torsion, telle que les eets d'amortissement aéroélastique défavorables soient égale-ment plus faibles pour les prols rectangulaires sensibles au ottement en tangage.

Des simulations aéroélastiques ont été eectuées pour les deux prols rectangulaires de ratio 4et 8. Les résultats numériques présentés ont été obtenus avec les maillages "validés" expérimen-talement au chapitre 3.Numériquement nous nous sommes limités à des vitesses réduites U∗ ∈ [2 10]. La validationexpérimentale des simulations aéroélastiques a été présentée en deux étapes:

1. Validation du comportement aéroélastique de l'écoulement pour une vitesse réduite "mo-dérée": U∗ ≈ 6;

2. Comparaison des coecients instationnaires identifés numériquement avec les résultatsd'essais ainsi qu'avec les résultats expérimentaux de [Washizu 1980] et [Matsumoto 1996].

Les prédictions numériques de la réponse aéroélastique du champ de pression (modes propresdominants dans la réponse aéroélastique, distribution d'amplitude et de déphasage) ont été com-parées aux résultats expérimentaux pour U∗ ≈ 6 et deux amplitudes α∗ ≈ 0,035 et 0,07 rad.Pour le cas du prol rectangulaire de ratio 4 en mouvement de tangage de faible amplitudeα∗ ≈ 0,035rad, des écarts signicatifs ont été constatés entre les calculs et les résultats d'essais.Ces écarts semblent dus à une surestimation numérique des instabilités de signature par rapportaux uctuations aéroélastiques. Pour α∗ ≈ 0,07rad, l'eet du mouvement est plus net et beau-coup mieux appréhendé numériquement.Les conclusions sont les même en ce qui concerne le prol rectangulaire de ratio 8. L'erreur com-mise sur les prédictions numériques de la réponse aéroélastique du chargement de pression estimportante pour α∗ ≈ 0,035rad, dans la mesure où la taille moyenne des zones décollées amontsest surestimée numériquement. Pour α∗ ≈ 0,07rad, le contrôle du mouvement sur l'activité deszones décollées est mieux appréhendé et les résultats numériques sont en bon accord avec lesrésultats expérimentaux.Dans l'ensemble nous avons également constaté qu'un recalage uniforme du déphasage de la ré-ponse en pression mesurée expérimentalement le long des arêtes conduit à des résultats d'essaisplus proches des résultats numériques. Ceci semble indiquer l'existence d'un décalage de phasedans la mesure expérimentale.

Les coecients instationnaires de moment issus du traitement des essais numériques et expé-rimentaux ont été comparés aux résultats de Washizu pour le prol de ratio 4, U∗ ∈ [2 10],α∗ ≈ 0,035 rad et α∗ ≈ 0,07 rad.Contrairement aux coecients issus du traitement des essais, les coecients identiés numé-riquement sont proches de ceux mesurés par [Washizu 1980]. On retrouve numériquement lesprincipales caractéristiques du moment de réponse aéroélastique pour ce type de prol. La com-paraison des coecients instationnaires issus du traitement des essais avec les résultats numé-riques et avec les résultats d'essais de [Washizu 1980] conrme l'existence probable d'un décalagede phase dans les mesures de pression.

L'inuence de l'amplitude a également été étudiée pour le prol rectangulaire de ratio 4 grâce àdes essais numériques complémentaires pour U∗ = 6,25 et diérentes amplitudes jusqu'à α∗ = 0,2rad.Les résultats numériques ont conrmé la tendance constatée expérimentalement : un décalageprogressif vers l'amont des zones de génération des tourbillons de mouvement à amplitude crois-sante. Cela conduit à une évolution linéaire croissante du déphasage du moment de tangage


aéroélastique par rapport au déplacement et donc à une diminution du transfert d'energie défa-vorable entre le uide et la structure. Localement le même type de comportement dynamique del'écoulement a été identié pour le cas du prol rectangulaire de ratio 8.

Pour le cas du prol de "Millau" en mouvement de tangage forcé, le traitement des pressionsinstationnaires mesurées expérimentalement a montré que le comportement dynamique des zonesdécollées en amont domine le chargement aéroélastique. En outre, dans toute la gamme de vitesseréduite testée U∗ ∈ [4,7, 16,9], les mécanismes d'adaptation sont concentrés en amont du centrede torsion et les coecients d'amortissement aéroélastique identiés sont négatifs. Le décalagevers la mi-corde des ventres de vibration aéroélastique lorsque la vitesse réduite augmente im-plique également une augmentation de l'armortissement aérodynamique ajouté. Ce prol de typetrapézoïdal est donc peu sensible au ottement en tangage.Les caractéristiques moyennes et aéroélastiques du champ de pression ont été calculées numé-riquement et comparées aux résultats expérimentaux pour trois vitesses réduites U∗ ≈ 4,7,U∗ ≈ 6,7 et U∗ ≈ 10,3. L'analyse comparée des deux modes propres dominants dans la réponseaéroélastique ainsi que des distributions d'amplitude et de déphasage de la réponse en pressiona montré que les mécanismes d'adaptation des zones décollées amonts étaient reproduits numé-riquement, mais la surestimation de la zone de décollement extrados provoque néanmoins undécalage vers la mi-corde du chargement aéroélastique. On notera également que les mauvaisesprédictions de la réponse du champ de pression sur toute la deuxième moitié du prol (en par-ticulier en ce qui concerne le déphasage) n'a pas d'eet signicatif sur les eorts résultants dansla mesure où les niveaux de uctuation de pression sont très faibles dans toute cette zone. Enconséquence, les coecients instationnaires de moment qui ont été identiés s'accordent bienavec ceux mesurés expérimentalement.

169

Conclusions

Les travaux décrits dans ce mémoire ont concerné l'étude des mécanismes uides bidimension-nels mis en jeu autour d'obstacles non prolés xes et en mouvements de tangage forcé sousécoulements transverses uniformes. Ces travaux se répartissent de la façon suivante:

introduction des mécanismes uides mis en jeu et présentation des modèles descriptifs deseorts résultants;

description des outils d'analyse et d'étude utilisés; étude expérimentale et numérique du chargement uide sur diérents prols rectangulaireset un prol trapézoïdal (prol d'un avant projet du viaduc de Millau) xes.

étude expérimentale et numérique du chargement uide sur deux prols rectangulaires deratio 4 et 8 et un prol trapézoïdal en mouvement de tangage forcé harmonique.

Le premier chapitre a rappelé les principaux mécanismes uides responsables des actions sur lesobstacles xes ou mobiles sous écoulements uniformes et les modèles permettant de décrire leseorts résultants.

Pour le cas des prols rectangulaires ce sont des mécanismes d'instabilité uide des nappesdécollées de l'écoulement qui dominent la signature instationnaire. Ces mécanismes conduisentà la formation de grosses structures tourbillonnaires. L'organisation tourbillonnaire résultantepeut génèrer des eorts de portance et de moment quasi-harmoniques à la fréquence du cycletourbillonnaire. Cette fréquence, caractérisée par le nombre de Strouhal, dépend de l'allongementdu prol qui conditionne la position du point de collision des nappes de vorticité sur les arêtes.Le chapitre 1 a montré qu'il était important de préciser:

1. l'inuence de la forme et de l'allongement sur l'organisation fréquentielle;2. l'inuence du Reynolds;3. le comportement en incidence du champ de pression et des coecients aérodynamiques

résultants.

Lorsque l'obstacle est en mouvement, les mécanismes d'adaptation de l'écoulement dépendentde la forme du prol et du type de comportement vibratoire. Les mécansimes mis en jeu ne sontbien connus que pour le cas des ailes minces. Le chapitre 1 a donc mis en avant la nécessitéde préciser le comportement dynamique de l'écoulement et du chargement de pression résultantpour les cas des obstacles non prolés en fonction:

1. de la géométrie du prol;2. de la fréquence réduite;3. du type de mouvement (exion, tangage) et de son amplitude.

An de calculer la réponse d'obstacles à l'action des écoulements, ces phénomènes sont décritspar des modèles globaux. Les modèles des eorts aérodynamiques et aéroélastiques les plus cou-ramment utilisés et leur domaine de validité ont ainsi été présentés.

170 CONCLUSIONS

Le deuxième chapitre a brièvement rappelé les outils utilisés dans cette thèse. L'analyse de laphysique des écoulements autour d'obstacles xes ou en mouvement et de leurs actions sur cesderniers repose sur des essais en souerie et des simulations numériques.Les conditions d'essais et le principe des mesures menées par le Centre Scientique et Techniquedu Bâtiment de Nantes ont été présentées et discutées.Le solveur uide en domaine déformable utilisé pour les simulations aérodynamiques et aéroélas-tiques a été présenté. Après une rapide description des problèmes numériques posés, les résultatsgénéraux de validation des paramètres numériques utilisés sont introduits. Ces aspects de va-lidation ont été décrits et explicités dans les chapitres 3 et 4. La stratégie numérique adoptéerepose sur une résolution du problème uide pour des régimes d'écoulement dix fois plus faiblesque ceux qui ont été mesurés en veine d'essai. Cela nous a permis d'appréhender la physique desgrandes échelles de l'écoulement avec des maillages relativement grossier (environ 5000 points)et sans modèles de turbulence.

En appui à ces outils, la technique de décomposition par P.O.D pour la description spatio-temporelle des écoulements a également été présentée dans le chapitre 2.

Dans le chapitre 3, les champs de pression instationnaire mesurés pour les deux prols rectan-gulaires de ratio 4 et 8 et pour le prol trapézoïdal de "Millau" immobiles à incidence nulle ontété décomposés en modes propres de chargement en utilisant la technique des P.O.D. L'analysedes premisers modes propres a permis de clarier les mécanismes tourbillonnaires principalementresponsables du comportement des eorts résultants.Pour l'ensemble des prols, le premier mode est caractéristique du chargement moyen.Pour le cas des prols rectangulaires, les deux premiers modes instationnaires sont représentatifsde l'activité des tourbillons d'instabilité qui dominent le chargement instationnaire. Ces deuxmodes le sont très clairement pour le cas du prol rectangulaire épais de ratio 4. Pour le cas duprol rectangulaire de ratio 8, deux modes d'instabilité ont également été calculés mais la nonhorizontalité de l'écoulement dans la veine d'essai et la bande passante du système de mesuredes pressions n'a pas permis d'itentier leur forme et leur contribution dans le chargement ins-tationnaire de façon précise.Pour le cas du prol de "Millau", deux modes liés à une activité tourbillonnaire extrados sur lapremière moitié du prol ont été identiés. La contribution de ces mécanismes dans le charge-ment instationnaire n'a également pas pu être estimée précisément.

Des simulations aérodynamiques ont été eectuées sur des prols rectangulaires ainsi que sur leprol de Millau.Les résultats obtenus sur les prols rectangulaires de ratio 4 et 8 sont en bon accord avec lesrésultats d'essai. Ils montrent que la signature moyenne et instationnaire d'un prol rectangulairesous écoulement de Reynolds élevé est appréhendable avec un maillage de moins de 5000 pointspar simulation directe des équations de Navier-Stokes (sans modèle de turbulence) pour desReynolds modérés (Re = 2 104).Des maillages équivalents d'environ 5000 points ont également été utilisés pour les simulationseectuées sur des prols rectangulaires d'allongement B

D =3, 5, 6, 7, 9 et 10.La décomposition POD du champ de pression calculé nous a permis de clarier le comportementinstationnaire du chargement de pression en fonction de l'allongement. Les résultats obtenus sonten bon accord avec les résultats expérimentaux de [Nakamura et al 1991].

Pour le cas du prol de Millau, nous avons constaté des diérences importantes entre les calculs"laminaires" (sans modèle de turbulence) et les essais. Il semble que les calculs "laminaires"à Reynolds modéré favorisent les échappements tourbillonnaires en aval de l'obstacle, ce quimodie les distributions moyennes des pressions sur le dernier plan incliné intrados du prol.

171

Conformémement aux résultats d'essais une faible activité tourbillonnaire extrados dans la zonede recollement des lets uides avant la mi-corde a été identiée numériquement. Cette zone dedécollement est cependant surestimée dans les simulations.

Néanmoins, le comportement en incidence de l'écoulement et en particulier celui des zones dé-collées en amont est qualitativement appréhendé par les simulations laminaires.

Au chapitre 4, une étude expérimentale et numérique du chargement uide pour deux prolsrectangulaires de ratio 4 et 8 et pour un prol trapézoïdal de "Millau" en mouvements detangage forcé harmonique sous écoulements transverses de Reynolds élevés a été présentée.

La technique des P.O.D a été utilisée pour l'analyse de la réponse dynamique du champ de pres-sion est la validation expérimentale des simulations aéroélastiques.Deux modes propres contribuant principalement au chargement aéroélastique ont ainsi été iden-tiés dans la base discrète des modes propres du champ de pression pour chaque prol en mou-vement de tangage forcé harmonique. Ces modes propres "aéroélastiques" évoluent en fonctionde la géométrie du prol, de la vitesse réduite et de l'amplitude du mouvement.

Pour les trois prols, l'ensemble des résultats présentés concernent des mouvements dont lesfréquences (ns) sont inférieures à celles (nv) des mécanismes d'instabilité uide identiés auchapitre 3 (U∗ = U

nsB> U

nvB).

L'analyse de la réponse dynamique du champ de pression surfacique a montré que pour ce typed'obstacle présentant des décollements uides importants issus des arêtes vives en amont, lechargement aéorélastique est principalement fonction de l'adaptation au mouvement des nappesde uide décollées. L'inuence de la vitesse réduite et de l'amplitude du mouvement sur lesmécanismes mis en jeu et les eorts aéroélastiques résultants a été précisé.

Hors zone d'accrochage avec les instabilités uides (U∗ > UnvB

), les mécanismes d'adaptation del'écoulement modient peu la signature aérodynamique moyenne du prol qui reste proche enrégime dynamique de celle identiée sur maquette xe. Pour un obstacle de faible allongementtel que le prol rectangulaire de ratio 4, l'analyse par décomposition P.O.D a néanmoins révéléque les mécanismes d'instabilité uide trés énergétiques inuencent la réponse dynamique duchamp de pression pour les vitesses réduites élevées U∗ ≥ 10.Pour le prol rectangulaire de ratio 8 et pour le prol trapézoïdal de "Millau" la signaturetourbillonnaire est beaucoup moins énergétique et les modes propres domninants dans la réponseaéroélastique sont décorrélés des modes propres représentatifs des mécanismes d'instabilité uideidentiés au chapitre 3.

La diminution de la vitesse réduite induit globalement un décalage vers l'amont des zones deuctuation de pression dominantes dans le chargement aéroélastique.Pour les prols rectangulaires cela induit une augmentation progressive du coecient d'amortis-sement aéroélastique positif.L'analyse comparée des résultats obtenus pour les deux prols rectangulaires de ratio 4 et 8 nousa permis d'appréhender l'eet de l'allongement sur la stabilité aéroélastique de ce type de prol.Lorsque l'allongement augmente la taille relative de la zone de uide décollée amont diminue parrapport à la dimension de la corde. Cela conduit à une redistribution du chargement aéroélastiquele long des arêtes (les uctuations aéroélastiques défavorables sont principalement concentrées enaval du centre de torsion pour le prol rectangulaire de ratio 4, elles se décalent vers la mi-cordelorsque l'allongement augmente), induisant une diminution du coecient d'amortissement aéroé-lastique positif (diminution du transfert d'énergie défavorable entre le uide et la structure).Le prol de "Millau" est quant à lui peu sensible au ottement en tangage (l'armortissementaéroélastique ajouté augmente lorsque la vitesse réduite augmente), dans la mesure où les ventresde vibration aéroélastiques sont concentrés en amont du centre de torsion.

172 CONCLUSIONS

Pour chacun des prols, une inuence signicative de l'amplitude du mouvement de tangageimposé sur les mécansimes d'adaptation mis en jeu a été constatée. Globalement on observe unediminution de la taille moyenne des zones de uide décollé en amont et un décalage vers l'amontdu chargement aéroélastique. Pour le prol rectangulaire de ratio 4, on observe également unaaiblissement de l'activité des tourbillons d'instabilité uide. Pour les prols rectangulaires, laredistribution du chargement aéroélastique induit ainsi une diminution du coecient d'amortis-sement aéroélastique A∗

2. Elle est plus défavorable pour le prol de "Millau" puisqu'elle induitune diminution de l'amortissement aéroélastique ajouté.

L'eet du Reynolds a également été brièvement discuté. Dans la mesure où ce sont principalementles mécanismes d'adaptation des zones décollées en amont qui sont responsables du chargementaéroélastique, la diminution de leur taille moyenne lorsque la valeur du Reynolds augmente[Hoxey 1998] devrait donc induire une redistribution du chargement aéroélastique par rapportau centre de torsion, telle que les eets d'amortissement aéroélastique défavorables soient égale-ment plus faibles pour les prols rectangulaires sensibles au ottement en tangage.

Des simulations aéroélastiques eectuées pour les trois prols ont été obtenus avec les maillages"validés" expérimentalement sur prols xes au chapitre 3).Pour les deux prols rectangulaires, les prédictions numériques de la réponse aéroélastique duchamp de pression (modes propres dominants dans la réponse aéroélastique, distribution d'am-plitude et de déphasage) ont été comparées aux résultats expérimentaux pour une vitesse réduitemodérée: U∗ ≈ 6. Pour les mouvement de tangage de faible amplitude α∗ ≈ 0,035rad, des écartssignicatifs entre les calculs et les résultats d'essais ont été constatés. Ces écarts sont dus à unesurestimation numérique des instabilités uides (cas du prol rectangulaire de ratio 4) et à mau-vaise prédiction de la taille moyenne des zones décollées (cas du prol rectangulaire de ratio 8).Pour α∗ ≈ 0,07rad, les résultats numériques sont en bon accord avec les résultats expérimentaux.Contrairement aux coecients issus du traitement des essais, les coecients identiés numérique-ment sont proches de ceux mesurés par [Washizu 1980]. On retrouve numériquement les princi-pales caractéristiques du moment de réponse aéroélastique pour ce type de prol. La comparaisondes coecients instationnaires issus du traitement des essais avec les résultats numériques et avecles résultats d'essais de [Washizu 1980] conrme l'existence probable d'un décalage de phase dansles mesures de pression.

L'inuence de l'amplitude a également été étudiée pour le prol rectangulaire de ratio 4 grâce àdes essais numériques complémentaires pour U∗ = 6,25 et diérentes amplitudes jusqu'à α∗ = 0,2rad. Les résultats numériques ont conrmé la tendance constatée expérimentalement : un déca-lage progressif vers l'amont des zones de génération des tourbillons de mouvement à amplitudecroissante. Cela conduit à une évolution linéaire croissante du déphasage du moment de tangageaéroélastique par rapport au déplacement et donc à une diminution du transfert d'energie défa-vorable entre le uide et la structure. Localement le même type de comportement dynamique del'écoulement a été identié pour le cas du prol rectangulaire de ratio 8.

Pour le cas du prol de "Millau" les caractéristiques moyennes et aéroélastiques du champ depression ont été calculées numériquement et comparées aux résultats expérimentaux pour troisvitesses réduites U∗ ≈ 4,7, U∗ ≈ 6,7 et U∗ ≈ 10,3. L'analyse comparée des deux modes propresdominants dans la réponse aéroélastique ainsi que des distributions d'amplitude et de déphasagede la réponse en pression a montré que les mécanismes d'adaptation des zones décollées amontsétaient reproduits numériquement, mais la surestimation de la zone de décollement extradosprovoque néanmoins un décalage vers la mi-corde du chargement aéroélastique. On notera éga-lement que les mauvaises prédictions de la réponse du champ de pression sur toute la deuxième

173

moitié du prol (en particulier en ce qui concerne le déphasage) n'a pas d'eet signicatif sur leseorts résultants dans la mesure où les niveaux de uctuation de pression sont très faibles danstoute cette zone. En conséquence, les coecients instationnaires de moment qui ont été identiéss'accordent bien avec ceux mesurés expérimentalement.

Globalement les objectifs xés dans cette thèse ont été atteints. L'étude locale des écoulementsqui a été présentée a permis d'identier les principaux mécanismes bidimensionnels mis en jeu au-tour d'une géométrie simple rectangulaire xe ou en mouvement de tangage forcé et d'apprécierl'inuence de l'allongement et des caractéristiques vibratoires du mouvement (vitesse réduite,amplitude) sur le chargement uide instationnaire. En outre le prol de type trapézoïdal d'unavant projet du viaduc de Millau étudié a précisé la problématique pour une géométrie pluscomplexe. Ce travail a également permis de caractériser localement les actions de l'écoulementdans le cadre d'une modélisation linéaire du champ aéroélastique de pression (distribution d'am-plitude et de déphasage) mais également en terme de modes propres dominants dans la réponseaéroélastique grâce à la technique des P.O.D.L'analyse comparée des résultats numériques et expérimentaux a mis en évidence que le sol-veur uide utilisé, basé sur une résolution directe des équations de Navier-Stokes en domainedéformable est tout à fait apte à reproduire la physique des grandes échelles qui dominent lechargement de signature (instabilité uide de type collision) ou la réponse aérolélastique del'écoulement (adaptation et cisaillement des zones décollées en mouvement lent et rapide) dansle cadre d'une stratégie laminaire sans modèle de turbulence, pour des régimes d'écoulementsmodérés. Les principales évolutions du comportement dynamique du champ de pression et deseorts résultants en fonction de la vitesse réduite et de l'amplitude ont ainsi pu être qualitative-ment appréhendées avec des maillages relativement grossiers (environ 5000 points). Nous avonsnéanmoins constaté des écarts signicatifs sur les prédictions des zones décollées pour les prolsd'allongements importants (prol rectangulaire de ratio 8 et prol de Millau) et le comportementde l'écoulement sur le prol complexe de Millau est assez mal reproduit sur la deuxième moitié duprol (zone d'écoulement turbulent). Mais que ce soit pour les prols rectangulaires ou le prolde Millau, ce sont principalement les mécanismes d'adaptation des zones décollées amonts quidominent le chargement résultant. Les coecients aéroélastiques identiés se sont donc révélésen bon accord avec les résultats expérimentaux.

Perspectives

Les résultats numériques n'ont été que partiellement validés. Pour le cas des prols xes, lesmesures expérimentales ne nous ont pas permis de caractériser précisément la signature insta-tionnaire du prol rectangulaire de ratio 8 ainsi que celle du prol de "Millau". D'autres essaisdoivent être eectués an de valider les prédictions numériques pour ces deux prols. Pour lescas des essais en mouvement de tangage forcé, nous avons identiés des décalages importants surles déphasages des eorts issus du traitement des mesures instationnaires de pression par rapportaux résultats expérimentaux de Washizu et Matsumoto et par rapport aux prédictions numé-riques. Des essais complémentaires en mouvement libre permettraient de recaler les coecientsinstationnaires identiés par une autre approche évitant les problèmes de mesure précédemmentrencontrés. Un étalonnage de phase absolu du système de mesure des pressions instationnairesest par contre indispensable si l'on veut corriger l'ensemble des voies de pression.

Dans le cadre de ce travail la géométrie rectangulaire a été étudiée ainsi qu'une géométrie com-plexe correspondant à un avant projet du viaduc de Millau. Il serait intéressant de disposerégalement de résultats expérimentaux et numériques sur d'autres types de géométries (caissonsprolés, caissons ouverts, prols en H ...), an de compléter les connaissances fondamentales surles mécanismes d'interaction uide-struture qui peuvent être rencontrés autour des tabliers de

174 CONCLUSIONS

ponts.

L'inuence du Reynolds n'a été que partiellement abordée dans le cadre de ce travail. Expérimen-talement une telle étude est dicile dans la mesure où les régimes d'écoulements accessibles sontlimités par les dimensions des veines d'essai et par la puissance des ventilateurs. De tels régimessont par contre accessibles numériquement. Ils nécessitent de travailler avec des solveurs uidescapables de gérer simultanément les structures cohérentes générées par instabilité uide ou par lemouvement, ainsi que la turbulence développée impliquant un large spectre d'échelles spatialesqui se développe pour les Reynolds élevés. Le modèle de turbulence de type k − ϵ est reconnupour être dissipatif et nous avons vu qu'il a tendance à "écraser" les mécanismes d'instabilitéuide. D'autres stratégies numériques sont envisageables, RNG− ϵ [Turbelin 1999], Large EddySimulation et mériteraient dans l'avenir une attention particulière.

Une autre perspective intéressante concerne l'étude de l'inuence de la turbulence atmosphériquesur la réponse aéroélastique du chargement de pression et des eorts résultants. Numériquementl'eet de la turbulence peut être appréhendé de façon simple en simulant, grâce à des conditionsaux limites adaptées, des ondes de pression harmoniques caractéristiques du spectre du vent dansla couche limite atmosphérique.

175

Annexe A

Analyse dimensionnelle des équations de Navier-Stokes

Nous présentons une étude dimensionnelle des équations de Navier-Stokes pour un uide enécoulement autour d'un obstacle en mouvement vibratoire. Celle-ci va nous permettre d'unepart d'apprécier les échelles dynamiques de pression intervenant lorsque l'écoulement s'adapteau mouvement et d'autre part de faire apparaître les paramètres adimensionnels relatifs auxproblèmes aéroélastiques que nous souhaitons étudier numériquement et expérimentalement.Dans le cas d'un uide newtonien isovolume à viscosité constante, la projection des équations deNavier-Stokes dans un repère cartésien (xi)i=1,2,3 s'écrit:

∑

j(∂uj∂xj

) = 0

∂ui∂t

+∑

j(uj

∂ui∂xj

)−∑

j(ν∂2ui∂xj2

) +1

ρ

∂p

∂xi= 0 i = 1,2,3

(4.38)

avec: u = (ui)i=1,2,3

Le champ d'écoulement est caractérisé par une vitesse amont uniforme U et une vitesse à l'in-terface uide-structure imposée par le mouvement des parois.Considérons le cas d'un mouvement harmonique caractérisé par une amplitude de déplacementβ et une fréquence nsPour le cas des mouvements de faible amplitude, les composantes aéroélastiques de l'écoulementpeuvent être approchées par développement asymptotique en fonction de la dimension relativede l'amplitude de déplacement par rapport à la corde du prol:

ϵ =β

B(4.39)

Nous dénissons:

ui = u0i + u1i + o(ϵ) (4.40)

p = p0 + p1 + o(ϵ) (4.41)

(u0i ,p0) solution aérodynamique de l'écoulement;

(u1i ,p1) solution aéroélastique de l'écoulement.

En développant les équations 4.38 par rapport à ϵ nous obtenons pour les deux premiers ordres:

176 ANNEXE A

Ordre 0:

∑

j(∂u0j∂xj

) = 0

∂u0i∂t

+∑

j(u0j

∂u0i∂xj

)−∑

j(ν∂2u0i∂xj2

) +1

ρ

∂p0

∂xi= 0 i = 1,2,3

(4.42)

Ordre 1:

∑

j(∂u1j∂xj

) = 0

∂u1i∂t

+∑

j(u0j

∂u1i∂xj

) +∑

j(u1j

∂u0i∂xj

)−∑

j(ν∂2u1i∂xj2

) +1

ρ

∂p1

∂xi= 0 i = 1,2,3

(4.43)

Analyse dimensionnelle du système d'équations aérodynamiques

Le système d'équations à l'ordre 0 concerne la solution de l'écoulement autour de la positionmoyenne du prol.Les échelles de longueur, de vitesse, de pression et de temps caractéristiques de cet écoulementsont:

B: la corde du prol;

U : la vitesse amont;

ρU2 : demi pression dynamique

1/nv : période du cycle des échappements tourbillonnaires

On introduit les variables adimensionnées:

xi =xiB

; u0i =u0iU

; p0 =p0

ρU2; t = tnv (4.44)

D'où l'on obtient

∑

j(∂u0j∂xj

) = 0

(Unv)∂u0i∂t

+ (U2

B)∑

j(u0j

∂u0i∂xj

)− (νU

B2)∑

j(∂2u0i∂x2j

) + (U2

B)∂p0

∂xi= 0 i = 1,2,3

(4.45)

en divisant parU2

Bon obtient:

∑

j(∂u0j∂xj

) = 0

(StB)∂u0i∂t

+∑

j(u0j

∂u0i∂xj

)− (1

Re)∑

j(∂2u0i∂x2j

) +∂p0

∂xi= 0 i = 1,2,3

(4.46)

ANALYSE DIMENSIONNELLE DES ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES 177

On retrouve ainsi les paramètres adimensionnés classiques de l'aérodynamique:

Re =UB

ν: nombre de Reynolds (déni par rapport à la corde) qui représente la contribu-

tion relative des eets d'inertie 4 par rapport au eets visqueux 5.

StB =nvB

U: nombre de Strouhal déni par rapport à la corde qui exprime l'inuence

relative des eets instationnaires 6 par rapport aux eets d'inertie.

Analyse dimensionnelle du système d'équations aéroélastiques

Pour l'analyse dimensionnelle de la composante aéroélastique des équations de Navier-Stokes4.43 des échelles de uctuation des vitesses et de la pression (Ua,Pa) sont introduites et l'échellede temps est remplacée par la période de vibration de l'obstacle:

xi =xiB

; u0i =u0iU

; u1i =u1iUa

; p1 =p1

Pa; t = tns (4.47)

D'où l'on a:

∑

j(∂u1j∂xj

) = 0

(Uans)∂u1i∂t

+ (UUa

B)[∑

j(u0j

∂u1i∂xj

) +∑

j(u1j

∂u0i∂xj

)]− (νUa

B2)∑

j(∂2u1i∂x2j

) + (Pa

ρB)∂p1

∂xi= 0

(4.48)

Deux échelles de vitesse uctuante sont possibles, la première est relative à la variation de lacirculation de l'écoulement autour du prol générée par les changements de position de l'obstaclepar rapport à l'écoulement, elle peut s'exprimer simplement en fonction des échelles de vitesseet de dimension relative de l'amplitude du déplacement: ϵU ; la seconde est relative à l'échellevibratoire du mouvement: βns. On introduit la fréquence réduite, le paramètre adimensionnédéni comme le rapport entre un temps caractéristique de passage d'une parcelle uide le long

de l'obstacle Tp =B

Uet la période de vibration Ts =

1

nsde l'obstacle:

Fr =nsB

U(4.49)

c'est également le ratio antre l'échelle de vitesse vibratoire et l'échelle de vitesse de "circulation".

On ne connait pas a priori l'ordre de grandeur du terme de gradient pression∂p1

∂xi. Toutefois les

forces de pression résultant principalement du mouvement du uide autour de l'obstacle, il est

considéré égal à celui du terme de convection:Pa

ρB∼ UUa

B

Si la fréquence réduite est importante, c'est l'échelle de vibration Ua ∼ βnsqui domine etl'équation 4.48 s'écrit:

4. U2

B: ordre de grandeur du terme de concevtion (u.∇)u, représentant l'accélération d'une particule liée à son

inertie.5. νU

B2 : ordre de grandeur du terme ν∆u, représentant les eets visqueux sur la particule uide.

6. Unv: ordre de grandeur du terme d'accélération:∂u

∂tlié au caractère instationnaire de l'écoulement.

178 ANNEXE A

∑

j(∂u1j∂xj

) = 0

(βns2)∂u1i∂t

+ (βnsU

B)[∑

j(u0j

∂u1i∂xj

) +∑

j(u1j

∂u0i∂xj

)]− (νβnsB2

)∑

j(∂2u1i∂x2j

) + (βnsU

B)∂p1

∂xi= 0

(4.50)

Si la fréquence réduite est faible, on prend en compte l'échelle de vitesse de "circulation"Ua ∼ ϵU et l'équation 4.48 s'écrit:

∑

j(∂u1j∂xj

) = 0

(βUnsB

)∂u1i∂t

+ (βU2

B2)[∑

j(u0j

∂u1i∂xj

) +∑

j(u1j

∂u0i∂xj

)]− (νβU

B3)∑

j(∂2u1i∂x2j

) + (βU2

B2)∂p1

∂xi= 0

(4.51)

En prenant l'ordre de grandeur relative des eets instationnaires 7 sur les eets visqueux, onretrouve pour les deux écritures 4.50 et 4.51, le nombre de Reynolds vibratoire ou nombre deStokes caractéristique des corps vibrants au sein d'un uide sans écoulement:

Stokes =nsB

2

ν=

βns2

νβns2

B2

=

βUnsBνβU

B3

(4.52)

On retrouve également la fréquence réduite en prenant cette fois l'ordre de grandeur relative deseets instationnaires sur les eets d'inertie:

Fr =nsB

U=

βns2

βnsU

B

=

βUnsBβU2

B2

(4.53)

En tenant compte de ces nouveaux paramètres nous pouvons écrire:

∑

j(∂u1j∂xj

) = 0

∂u1i∂t

+1

Fr[∑

j(u0j

∂u1i∂xj

) +∑

j(u1j

∂u0i∂xj

)]− 1

Stokes

∑j(∂2u1i∂x2j

) +1

Fr

∂p1

∂xi= 0

(4.54)

Cette nouvelle écriture est intéressante pour le cas de l'étude aéroélastique des ponts. En eetdans la pratique le nombre de Stokes est très important par rapport à la fréquence réduite etn'est donc pas un paramètre dimensionnant.

7. ordre de grandeur du terme d'accélération:∂u

∂t, lié au mouvement vibratoire de l'obstacle.

ANALYSE DIMENSIONNELLE DES ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES 179

10m/s ≤ U ≤ 50m/s0,05Hz ≤ ns ≤ 5HzB = 30mν = 1,5 10−5m/s2

=⇒

0,0375 ≤ Fr ≤ 153 106 ≤ Stokes ≤ 3 107

(4.55)

On retiendra que, pour un prol de pont donné en mouvement de faible amplitude dans unécoulement laminaire, seul deux paramètres adimensionnés sont respectivement représentatifsdes caractéristiques moyennes et instationnaires de l'écoulement:

Le nombre de Reynolds: Re =UB

ν

La fréquence réduite: Fr =nsB

U

180 ANNEXE A

181

Annexe B

Procédure d'identication d'un modèle linéaire à deux paramètres

Dans le cadre d'essais en mouvement de tangage forcé harmonique:

α(t) ≈ α∗ cos(ωt) (4.56)

On s'intéresse à la composante aéroélastique de la réponse du champ de pression à l'interfaceuide-structure ou des eorts aérodynamiques résultants. Dans le cadre d'une modélisation sim-pliée de type Scanlan les coecients aéroélastiques de portance et de moment s'écrivent:

CLae(t) = 2[ωRH

∗2 (ωR)

Bα(t)

U+ ω2

RH∗3 (ωR)α(t)] (4.57)

CMae(t) = 2[ωRA

∗2(ωR)

Bα(t)

U+ ω2

RA∗3(ωR)α(t)] (4.58)

De même en chaque point Mi où la pression est mesurée ou calculée:

CPae(Mi,t) = 2[ωRP

∗2 (ωR)

Bα(t)

U+ ω2

RP∗3 (ωR)α(t)] (4.59)

La pulsation réduite ωR étant dénie par:

ωR =Bω

U(4.60)

Principe

La procédure d'identication est décrite pour le moment de tangage.La composante instationnaire du coecient de moment est calculée sur une fenêtre [ti tf ] cou-vrant un grand nombre de périodes du mouvement imposé:

CM (t) = CM (t)− CM (t) (4.61)

Celle-ci peut se décomposer en une composante aéroélastique dépendant linéairement du dépla-cement et de sa dérivé première CM

ae(t) et une fonction erreur eM (t) englobant le reste des

eorts aérodynamiques, principalement les uctuations de l'écoulement induites par la signature

182 ANNEXE B

du prol (uctuations turbulentes dans la couche limite, instatibilités tourbillonnaires lorsqu'ellessont décorrélées des mécanismes d'adaptation au mouvement):

CM (t) = 2[ωRA∗2(ωR)

Bα(t)

U+ ω2

RA∗3(ωR)α(t)] + eM (t) (4.62)

En résolvant un problème de minimisation à deux paramètres, des coecients aéroélastiques etdonc un modèle aéroélastique sont identiés.Le problème de minimisation s'écrit:

Min([θ1,θ2]∈R2)

∫ tf

ti[CM (t)− θ1α(t)− θ2α(t)]

2dt

=Min([θ1,θ2]∈R2)J (θ1,θ2) (4.63)

Avec:

θ1 = 2ωRB

UA∗

2(ωR) (4.64)

θ2 = 2ω2RA

∗3(ωR) (4.65)

Min([θ1,θ2]∈R2)J (θ1,θ2) ⇐⇒ ∇J (θ1,θ2) = (0,0)

⇐⇒ ∫ tfti [2θ1α

2(t) + 2θ2α(t)α(t)− 2CM (t)α(t)]dt = 0∫ tfti [2θ2α

2(t) + 2θ1α(t)α(t)− 2CM (t)α(t)]dt = 0(4.66)

⇐⇒ θ1 =

∫ tfti CM (t)α(t)dt

∫ tfti α

2(t)dt−∫ tfti CM (t)α(t)dt

∫ tfti α(t)α(t)dt∫ tf

ti α2(t)dt

∫ tfti α

2(t)dt−(∫ tf

ti α(t)α(t)dt)2

θ2 =

∫ tfti CM (t)α(t)dt

∫ tfti α

2(t)dt−∫ tfti CM (t)α(t)dt

∫ tfti α(t)α(t)dt∫ tf

ti α2(t)dt

∫ tfti α

2(t)dt−(∫ tf

ti α(t)α(t)dt)2

(4.67)

Dans le cas d'un mouvement harmonique pur (α(t) = α∗ cos(ωt)), observé sur une durée propor-

tionnelle à la période T =2π

ωdu mouvement imposé, nous avons: (tf = ti+NT )

⇐⇒ θ1 =

∫ tfti CM (t)α(t)dt∫ tf

ti α2(t)dt

θ2 =

∫ tfti CM (t)α(t)dt∫ tf

ti α2(t)dt

(4.68)

PROCÉDURE D'IDENTIFICATION D'UNMODÈLE LINÉAIRE À DEUX PARAMÈTRES183

d'où:

A∗2(K) = [

−1

2α∗ωR2][

2

NT]

∫ ti+NT

ti(CM (t)∗ sin(ωt))dt (4.69)

A∗3(K) = [

1

2α∗ωR2][

2

NT]

∫ ti+NT

ti(CM (t)∗ cos(ωt))dt (4.70)

Dans ce cas, le problème de minimisation est équivalent au problème d'extraction de la compo-sante de Fourier à la fréquence du mouvement imposé du moment de tangage instationnaire.

Les formules présentées pour le cas du moment sont aisément transposables pour le traitement desautres signaux qui nous intéressent (portance, pression relative en diérents points, coordonnéestemporelles des modes propres aéroélastiques de la décomposition P.O.D du champ de pression).

Inuence de la taille de la fenêtre de traitement

Les coecients aéroélastiques identiés dépendent de la taille de la fenêtre de traitement.Expérimentalement l'acquisition a été faite, pour chaque essai, sur environ 60 secondes. Lenombre de périodes du mouvement imposé prises en compte dans la fenêtre d'acquisition variedonc de près de 60, pour les mouvements les plus lents (ns ≈ 1Hz), à un peu plus de 420, pourles mouvements les plus rapides (ns ≈ 7Hz). L'inuence de la taille de la fenêtre de traitementsur l'identication des coecients aéroélastiques a été étudiée. Dans la mesure où la fréquenceet l'amplitude du mouvement imposé varient peu au cours du temps, l'erreur relative sur lescoecients aéroélastiques A∗

2 et A∗3 est faible s'ils sont identiés sur au moins une quinzaine de

périodes du mouvement imposé. Elles est inférieure à 5 % pour le cas du prol rectangulaire deratio 4 en mouvement de tangage forcé d'amplitude α∗ ≈ 0,035rad. et pour U∗ ≈ 6,1 (Fig. 4.107).

Les coecients issus du traitement des résultats expérimentaux présentés au chapitre 4 cor-respondent à une moyenne des coecients identiés par blocs de 25 périodes dans la fenêtred'acquisition.

0 10 20 30 40 50−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

Err

eur

rela

tive

(%)

sur

A2*

Nombre de periodes0 10 20 30 40 50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

Err

eur

rela

tive

(%)

sur

A3*

Nombre de periodes

Fig. 4.107 Evolution de l'erreur relative sur les coecients aéroélastiques A∗2 et A

∗3 en fonction

du nombre de périodes du mouvement imposé prises en compte dans la fenêtre de traitement pourle prol rectangulaire de ratio 4, α∗ ≈ 0,035rad. et U∗ ≈ 6,1 (expérimental).

184 ANNEXE B

Numériquement (Fig. 4.108), on retrouve des erreurs relatives du même ordre de grandeur si lescoecients sont identiés sur au moins 15 périodes du mouvement imposé après un temps d'adap-tation de quelques période du régime statique (maillage xe) au régime dynamique (maillagemobile). Les coecients issus du traitement des résultats numé'riques présentés au chapitre 4ont été identiés sur 25 périodes après un temps d'adaptation de 4 périodes.

0 5 10 15 20 25−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

Err

eur

rela

tive

(%)

sur

A2*

Nombre de periodes0 5 10 15 20 25

−2

0

2

4

6

8

10

Err

eur

rela

tive

(%)

sur

A3*

Nombre de periodes

Fig. 4.108 Evolution de l'erreur relative sur les coecients aéroélastiques A∗2 et A

∗3 en fonction

du nombre de périodes du mouvement imposé prises en compte dans la fenêtre de traitement pourle prol rectangulaire de ratio 4 en mouvement de tangage forcé d'amplitude α∗ ≈ 0,035rad. etU∗ ≈ 6,25 (numérique).

TABLE DES FIGURES 185

Table des gures

1.1 Composantes uctuantes de la vitesse et variables de déplacement. . . . . . . . . 161.2 Prol sous écoulement transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Section circulaire sous écoulement transverse; allée tourbillonnaire de Von Karman 18

1.4 Formations alternées de tourbillons ; (a) temps t; (b) temps t+Tv2

. . . . . . . . 19

1.5B

D≈ 4 ;(a) temps t ; (b) temps t+

Tv2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6B

D≈ 8 ; type I ; (a) temps t ; (b) temps t+

Tv12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7B

D≈ 8 ; type II ; (a) temps t ; (b) temps t+

Tv22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Evolution de StBD en fonction de BD (Résultats expérimentaux pour 3 103 ≤ Re ≤

3 104 d'après [Nakamura et al 1991]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9B

D≈ 8 ; détachement alterné de tourbillons aval (a) temps t ; (b) temps t+

Tv2

. . 23

1.10 Inuence du Reynolds sur l'organisation tourbillonnaire dans le sillage d'un cy-lindre circulaire d'après [Wooton & Scruton 1971] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11 Inuence du Reynolds au niveau des zones décollées (Re1 < Re2) . . . . . . . . . 241.12 Inuence du Reynolds sur l'écoulement autour d'un prol triangulaire pour un

angle de panneaux β défavorable (Re1 < Re2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.13 Inuence du Reynolds sur la signature d'obstacle "prolé" . . . . . . . . . . . . . 251.14 Mécanisme d'adaptation de l'écoulement autour d'une aile mince en changement

d'incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.15 Allée tourbillonnaire dans le sillage d'une aile mince en mouvement de tangage

harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.16 Décollement local alterné des couches limites extrados (a) et intrados (b) au bord

d'attaque; α(t) = α0cos(ωt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.17 Décollement global alterné des couches limites extrados (a) et intrados (b) au bord

d'attaque; α(t) = α0cos(ωt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.18 Modèle mécanique bidimensionnel d'un tablier de pont . . . . . . . . . . . . . . . 301.19 Variables de déplacement et torseur des eorts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.20 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance d'un prol

rectangulaire d'allongement BD = 4 (Expérience, Re = 2.75 105) . . . . . . . . . . 33

1.21 Fonctions de Théodorsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1 Coupe transversale d'un tablier de pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Domaine uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Vue des trois maquettes sectionnelles utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Vue de l'intérieur de la souerie avec les deux asques constituant le banc d'essai 432.5 Vue de la Maquette de "Millau" placée sur le banc d'essai . . . . . . . . . . . . . 432.6 Vue des capteurs de pression embarqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

186 TABLE DES FIGURES

2.7 Maquette rectangulaire épaisse (ratio:4) ; répartition des capteurs sur la sectioncentrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.8 Maquette rectangulaire ne (ratio:8) ; répartition des capteurs sur la section centrale 462.9 Maquette trapézoïdale (Millau) ; répartition des capteurs sur la section centrale . 462.10 Comportement en incidence des coecients moyen de portance et de moment

(ratio 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.11 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par balances

dynamométriques à incidence nulle (ratio 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.12 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par inté-

gration des mesures instationnaires de pression à incidence nulle (ratio 4) . . . . 482.13 Comportement en incidence des coecients moyen de portance et de moment

(ratio 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.14 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par balances

dynamométriques à incidence nulle (ratio 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.15 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par inté-

gration des mesures instationnaires de pression à incidence nulle (ratio 8) . . . . 502.16 Comportement en incidence des coecients moyen de portance et de moment

(Millau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.17 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par balances

dynamométriques à incidence nulle (Millau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.18 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance par inté-

gration des mesures instationnaires de pression à incidence nulle (Millau) . . . . . 512.19 Description du domaine uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1 Rappel des conventions de signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Historique et densité spectrale de puissance de la portance . . . . . . . . . . . . . 623.3 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale . . . . 633.4 Contribution moyenne du premier mode le long des arêtes inférieures et supé-

rieures; m1 =1T

∫ T0 µ1(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5 X: repère de position sur les arêtes extrados et intrados . . . . . . . . . . . . . . . 633.6 Mode 2 et 3, le long des arêtes inférieures et supérieures . . . . . . . . . . . . . . 643.7 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) associées aux trois premiers modes

propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.8 Convention de signe pour l'intégration des pressions normales . . . . . . . . . . . 653.9 Evolutions de l'erreur relative sur les coecients de portance et de moment et sur

les écarts-type associés en fonction du nombre de modes . . . . . . . . . . . . . . 663.10 Contribution des trois premiers modes propres pour la portance et le moment

résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.11 Distributions de l'amplitude et du déphasage relatif (par rapport au point angu-

leux amont) du champ de pression uctuant à la fréquence nv le long de l'arêteextrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.12 Historique et densité spectrale de puissance de la portance . . . . . . . . . . . . . 683.13 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale . . . . 693.14 Contribution moyenne du premier mode le long des arêtes inférieures et supé-

rieures; m1 =1T

∫ T0 µ1(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.15 Modes 2 et 3, le long des arêtes inférieures et supérieures . . . . . . . . . . . . . . 703.16 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) associées aux trois premiers modes

propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.17 Evolutions de l'erreur relative sur les coecients de portance et de moment et sur

les écarts-type associés en fonction du nombre de modes . . . . . . . . . . . . . . 71


3.18 Contribution des trois premiers modes propres pour la portance et le momentrésultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.19 Historique et densité spectrale de puissance de la portance . . . . . . . . . . . . . 723.20 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de correlation spatiale . . . . 723.21 Comparaison de la contribution moyenne du mode 1 avec le champ moyen de

pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.22 Représentation des deux premiers modes propres instationnaires du champ de

pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.23 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) associées aux trois premiers modes

propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.24 Evolutions de l'erreur relative sur les coecients de portance et de moment et sur

les écarts-type associés en fonction du nombre de modes . . . . . . . . . . . . . . 743.25 Contribution des trois premiers modes propres pour la portance et le moment

résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.26 Inuence du maillage sur les prédictions du champ moyen de pression; Re = 2103 763.27 Inuence du maillage sur les prédictions des modes 2 et 3 du champ de pression

instationnaire; Re = 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.28 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression . . . . . . . . . . . . 783.29 Comparaison calculs-essais sur les modes 2 et 3 du champ instationnaire de pres-

sion (extrados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.30 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance;B

D= 4 . . 79

3.31 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression . . . . . . . . . . . . 803.32 Le point d'arrêt amont est noté A, le point de fuite aval est noté V, X repère

la position sur le contour du prol extrados (X = 0 au point anguleux amont,X = B au point anguleux aval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.33 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence nulle . . . 803.34 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence 3 deg. . . 813.35 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence 6 deg. . . 813.36 Comportement en incidence des coecients aérodynamiques moyens de portance

et de moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.37 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression . . . . . . . . . . . . 823.38 Comparaison calculs-essais sur les modes 2 et 3 du champ instationnaire de pres-

sion (extrados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.39 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) associées aux trois premiers modes

propres; (Numérique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.40 Historique et densité spectrale de puissance de la portance . . . . . . . . . . . . . 833.41 Historique et densité spectrale de puissance du coecient de portance (numérique) 843.42 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence nulle . . . 853.43 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence 3 deg. . . 853.44 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression à incidence 6 deg. . . 853.45 Comportement en incidence des coecients aérodynamiques moyens de portance

et de moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.46 Distribution du champ moyen et des modes 2 et 3 du champ de pression insta-

tionnaire contrôlé par une instabilité de type I; (ratio 3, 4 et 5) . . . . . . . . . . 873.47 Distribution du champ moyen et des modes 2 et 3 du champ de pression insta-

tionnaire contrôlé par une instabilité de type II; (ratio 6, 7 et 8) . . . . . . . . . . 873.48 Distribution du champ moyen et des modes 2 et 3 du champ de pression insta-

tionnaire contrôlé par une instabilité de type III; (ratio 9 et 10) . . . . . . . . . . 87


D= 3 . . 88



D= 4 . . 89


D= 5 . . 89


D= 6 . . 89


D= 7 . . 89


D= 8 . . 90


D= 9 . . 90


D= 10 . 90

3.57 Evolution du produit Strouhal par l'allongement en fonction de l'allongement . . 913.58 Inuence du maillage sur les prédictions numériques au Reynolds Re = 5,4 104 . 923.59 Inuence du Reynolds sur les prédictions numériques; maillage Mil1, δT = 0,0016 923.60 Inuence du modèle k−ϵ sur les prédictions numériques; maillage Mil1, δT = 0,0016 933.61 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale . . . . 943.62 Contribution des deux premiers modes propres pour les eorts résultants . . . . . 943.63 Mode 2 de la décomposition P.O.D du champ de pression calculé . . . . . . . . . 953.64 Représentation des premiers modes propres du champ de pression calculé et mesuré 953.65 Coordonnées temporelles µ1(t); µ2(t), µ3(t) et µ4(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.66 Historique et densité spectrale de puissance de la portance calculée . . . . . . . . 963.67 Chargement moyen de pression à incidence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.68 Chargement moyen de pression à -3 deg. d'incidence et +3 deg. d'incidence . . . 973.69 Comportement en incidence des coecients aérodynamiques moyens de portance

et de moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1 Conventions de signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.2 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale pour

α∗ ≈ 0,035rad et U∗ ≈ 37,7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3 Contributions des trois premiers modes propres pour les eorts résultants (U∗ ≈

37,7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4 Evolutions de l'erreur relative des coecients de portance et de moment et des

écarts-type associés en fonction du nombre de mode (U∗ ≈ 37,7) . . . . . . . . . 1024.5 Contribution moyenne du mode 1 le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 37,7;

comparaison avec le chargement moyen de pression en régime dynamique (gauche)et avec le chargement moyen de pression identié sur le prol xe et sans incidence(droite); m1 =

1T

∫ T0 µ1(t)dt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6 Coordonnées temporelle µ1(t), µ2(t) et µ3(t) pour U∗ ≈ 37,7 . . . . . . . . . . . . 1034.7 Modes 2 et 3 en régime xe et mobile (U∗ ≈ 37,7), le long des arêtes extrados et

intrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.8 Evolution des approximations relatives successives des coecients instationnaires

de moment en fonction du nombre de mode; α∗ ≈ 0,035rad., U∗ ≈ 37,7 . . . . . . 1054.9 Modes 4 et 5 en régime mobile (U∗ ≈ 37,7), le long des arêtes extrados et intrados 1064.10 Modes 6 et 7 en régime mobile (U∗ ≈ 37,7), le long des arêtes extrados et intrados 1064.11 Coordonnées temporelle µ4(t), µ5(t), µ6(t)et µ7(t) pour U∗ ≈ 37,7 . . . . . . . . 1064.12 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale pour

α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.13 Contributions des trois premiers modes propres pour les eorts de portance et de

moment; (U∗ ≈ 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


4.14 Evolutions de l'erreurs quadratiques des coecients de portance et de momentet de l'erreur relative des écarts-type associées en fonction du nombre de mode;(U∗ ≈ 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.15 Contribution moyenne du mode 1 le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 5; com-paraison avec le chargement moyen de pression identié sur le prol xe et sansincidence; m1 =

1T

∫ T0 µ1(t)dt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.16 Modes 2 et 3 (U∗ ≈ 5), le long des arêtes extrados et intrados . . . . . . . . . . . 1094.17 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) pour U∗ ≈ 5 . . . . . . . . . . . . . 1094.18 Evolution des approximations relatives successives des coecients instationnaires

de moment en fonction du nombre de mode; α∗ ≈ 0,035rad., U∗ ≈ 5 . . . . . . . 1104.19 Chargement moyen de pression en régime xe et mobile sur l'arête extrados pour

α∗ ≈ 0,035rad et U∗ ∈ [5, 37,7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.20 Champ aéroélastique (amplitude, phase) de pression le long de l'arête extrados

pour α∗ ≈ 0,035rad et U∗ ∈ [5, 37,7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.21 Modes propres dominants dans la réponse aéroélastique sur l'arête extrados pour

α∗ ≈ 0,035rad et U∗ ∈ [5, 37,7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.22 Evolution du champ normal de pression (la normale est orientée vers l'intérieur du

prol) sur les arêtes extrados et intrados du prol en fonction de la position en inci-dence pour un mouvement de tangage forcé harmonique; α(t) = 0,035cos(2πnst),U∗ ≈ 37,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.23 Evolution du champ normal de pression (la normale est orientée vers l'intérieur duprol) sur les arêtes extrados et intrados du prol en fonction de la position en inci-dence pour un mouvement de tangage forcé harmonique; α(t) = 0,035 cos(2πnst),U∗ ≈ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.24 Approximation linéaire de la ligne de déphasage en aval de la mi-corde pour α∗ ≈0,035rad, U∗ ≈ 5 et U∗ ≈ 6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.25 Inuence de l'amplitude sur le chargement moyen de pression en régime dynamiquepour U∗ ≈ 15 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite); comparaison avec le chargement moyenidentié pour le prol xe à incidence nulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.26 Inuence de l'amplitude sur la distribution d'amplitude du champ aéroélastiquede pression le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 15 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite) . 116

4.27 Inuence de l'amplitude sur la distribution de phase du champ aéroélastique depression le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 15 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite) . . 117

4.28 Comparaisons expérimentales sur les coecients aéroélastiques de moment. . . . 1194.29 Inuence de l'amplitude sur les distributions de raideur (P ∗

3 ) et d'amortissement(P ∗

2 ) aéroélastique pour U∗ ≈ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.30 Inuence de l'amplitude sur les distributions de raideur (P ∗3 ) et d'amortissement

(P ∗2 ) aéroélastique pour U

∗ ≈ 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.31 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale . . . . 1224.32 Contribution des trois premiers modes propres pour les eorts de portance et de

moment; U∗ ≈ 5,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.33 Evolutions de l'erreur relative des coecients de portance et de moment et de

l'erreur relative des écarts-type associés en fonction du nombre de mode; U∗ ≈ 5,9 1234.34 Contribution moyenne du mode 1 en régime dynamique (U∗ ≈ 5,9) le long de

l'arête extrados; comparaison avec le chargement moyen de pression identié pourle prol xe à incidence nulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.35 Coordonnées temporelles µ1(t); µ2(t); µ3(t) pour U∗ ≈ 5,9 . . . . . . . . . . . . . 1244.36 Evolution des approximations successives des coecients instationnaires de por-

tance et de moment en fonction du nombre de mode; (U∗ ≈ 5,9) . . . . . . . . . . 124


4.37 Chargement moyen de pression en régime xe et mobile sur l'arête extrados pourα∗ ≈ 0,035rad et U∗ ∈ [5,9, 36,3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.38 Champ aéroélastique (amplitude, phase) de pression le long de l'arête extradospour α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ∈ [5,9, 36,3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.39 Modes propres dominants dans la réponse aéroélastique sur l'extrados du prolpour α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ∈ [5,9, 36,3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.40 Evolution du champ normal de pression (la normale est orientée vers l'intérieur duprol) sur les arêtes extrados et intrados du prol en fonction de la position en inci-dence pour un mouvement de tangage forcé harmonique; α(t) = 0,035cos(2πnst),U∗ ≈ 36,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.41 Evolution du champ normal de pression (la normale est orientée vers l'intérieur duprol) sur les arêtes extrados et intrados du prol en fonction de la position en inci-dence pour un mouvement de tangage forcé harmonique; α(t) = 0,035cos(2πnst),U∗ ≈ 5,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.42 Inuence de l'amplitude sur le chargement moyen de pression en régime dynamiquepour U∗ ≈ 14 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite); comparaison avec le chargement moyenidentié pour le prol xe à incidence nulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.43 Inuence de l'amplitude sur la distribution d'amplitude du champ aéroélastiquede pression le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 14 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite) . 128

4.44 Inuence de l'amplitude sur la distribution de phase du champ aéroélastique depression le long de l'arête extrados pour U∗ ≈ 14 (gauche) et U∗ ≈ 6 (droite) . . 128

4.45 Comparaisons expérimentales sur les coecients aéroélastiques de moment. . . . 1294.46 Inuence de l'amplitude sur les distributions de raideur (P ∗





∗ ≈ 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.48 Inuence de l'allongement sur la distribution moyenne des pression pour les prols

xes à incidence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.49 Inuence de l'allongement sur les distributions de raideur (P ∗



4.50 Inuence de l'allongement sur les distributions de raideur (P ∗3 ) et d'amortissement


∗ ≈ 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.51 Inuence de l'allongement sur les coecients aéroélastiques de moment. . . . . . 1324.52 Suite décroissante des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale . . . . 1334.53 Contribution des trois premiers modes propres pour les eorts de portance et de

moment; (U∗ ≈ 5.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.54 Evolutions de l'erreur relative des coecients de portance et de moment et des

écarts-type associés en fonction du nombre de mode pour U∗ ≈ 5.7 . . . . . . . . 1344.55 Contribution moyenne du mode 1 sur le prol pour U∗ ≈ 5.7; comparaison avec

le chargement moyen en régime dynamique (gauche) et avec le chargement moyenidentié sur le prol xe et sans incidence (droite); m1 =

1T

∫ T0 µ1(t)dt . . . . . . 134

4.56 Modes 2 et 3 (U∗ ≈ 5.7), sur le prol (extrados et intrados) . . . . . . . . . . . . 1354.57 Coordonnées temporelles µ1(t), µ2(t) et µ3(t) des trois premiers modes propres

pour U∗ ≈ 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.58 Evolution des approximations relatives successives des coecients instationnaires

de moment en fonction du nombre de mode pour U∗ ≈ 5.7 . . . . . . . . . . . . . 1354.59 Evolution du champ normal de pression (la normale est orientée vers l'intérieur du

prol) sur les arêtes extrados et intrados du prol en fonction de la position en inci-dence pour un mouvement de tangage forcé harmonique; α(t) = 0,036cos(2πnst),U∗ ≈ 16,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


4.60 Evolution du champ normal de pression (la normale est orientée vers l'intérieur duprol) sur les arêtes extrados et intrados du prol en fonction de la position en inci-dence pour un mouvement de tangage forcé harmonique; α(t) = 0,036cos(2πnst),U∗ ≈ 4,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.61 Inuence de la vitesse réduite sur le mode de chargement moyen; α∗ ≈ 0,018rad(gauche) et α∗ ≈ 0,036rad (droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.62 Inuence de la vitesse réduite sur le champ aéroélastique (amplitude, phase) depression; α∗ ≈ 0,036rad, U∗ ∈ [4,7, 16,4], Re ≈ 3,4 105 . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.63 Inuence de la vitesse réduite sur la distribution de déphasage sur la premièremoitié du prol; α∗ ≈ 0,018rad (gauche) et α∗ ≈ 0,036rad (droite) . . . . . . . . . 138

4.64 Inuence de la vitesse réduite sur les modes propres dominants dans la réponseaéroélastique; α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ∈ [4,7, 16,4], Re ≈ 3,4 105 . . . . . . . . . . . . 138

4.65 Inuence de l'amplitude sur le chargement moyen de pression en régime dynamiquepour U∗ ≈ 16.7 (gauche) et U∗ ≈ 6.7 (droite); comparaison avec le chargementmoyen identié pour le prol xe à incidence nulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.66 Inuence de l'amplitude sur la distribution d'amplitude du champ aéroélastiquede pression pour U∗ ≈ 16.7 (gauche) et U∗ ≈ 6.7 (droite) . . . . . . . . . . . . . . 140

4.67 Inuence de l'amplitude sur la distributions de phase du champ aéroélastique depression pour U∗ ≈ 16.7 (gauche) et U∗ ≈ 6.7 (droite) . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.68 Inuence de l'amplitude sur les coecients aéroélastiques de moment; Re ≈ 3,4 1051414.69 Inuence de l'amplitude sur les distributions de raideur (P ∗


2 ) aéroélastique pour U∗ ≈ 16,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142



∗ ≈ 6,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.71 Inuence du Reynolds sur le chargement moyen de pression; α∗ ≈ 0036rad et

U∗ ≈ 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.72 Inuence du Reynolds sur le chargement aéroélastique pour α∗ ≈ 0,036rad. et

U∗ ≈ 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.73 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile (α∗ ≈

0,035rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.74 Comparaison calculs-essais sur les deux premiers modes de contribution aéroélas-

tique en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . 1474.75 Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage du

champ aéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 6), lelong de l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.76 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile (α∗ ≈0,07rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.77 Comparaison calculs-essais les deux premiers modes de contribution aéroélastiqueen régime mobile (α∗ ≈ 0,07rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . . . . 148

4.78 Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,07rad, U∗ ≈ 6), le longde l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.79 Comparaison calculs-essais sur les distributions de déphasage relatif Φ∗r(X) =

Φ∗(X)− Φ∗(0) du champ aéroélastique de pression le long de l'arête extrados enrégime mobile pour α∗ ≈ 0,035rad (gauche) et α∗ ≈ 0,07rad (droite) . . . . . . . 149

4.80 Comparaison calculs-essais sur les coecients aéroélastiques de moment. . . . . . 1504.81 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile (α∗ ≈

0,035rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.82 Comparaison calculs-essais les deux premiers modes de contribution aéroélastique

en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . . . . 152


4.83 Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 6), lelong de l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.84 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile (α∗ ≈0,07rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.85 Comparaison calculs-essais les deux premiers modes de contribution aéroélastiqueen régime mobile (α∗ ≈ 0,07rad, U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . . . . 153

4.86 Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,07rad, U∗ ≈ 6), le longde l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.87 Comparaison calculs-essais sur les distributions de déphasage relatif Φ∗r(X) =

Φ∗(X)− Φ∗(0) du champ aéroélastique de pression le long de l'arête extrados enrégime mobile pour α∗ ≈ 0,035rad (gauche) et α∗ ≈ 0,07rad (droite) . . . . . . . 154

4.88 Comparaison calculs-essais sur les coecients aéroélastiques de moment. . . . . . 155

4.89 Inuence de l'amplitude sur le champ moyen de pression en régime mobile (U∗ ≈ 6)156

4.90 Inuence de l'amplitude sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (U∗ ≈ 6) . . . . . . . . . . . . 157

4.91 Inuence de l'amplitude les deux premiers modes de contribution aéroélastique enrégime mobile (U∗ ≈ 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.92 Inuence de l'amplitude sur les coecients aéroélastiques de moment. . . . . . . 158

4.93 Inuence de l'amplitude sur le déphasage et l'amortissement aéroélastique . . . . 158

4.94 Inuence de l'amplitude sur le champ moyen de pression en régime mobile (U∗ ≈6), le long de l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.95 Inuence de l'amplitude les deux premiers modes de contribution aéroélastique enrégime mobile (U∗ ≈ 6), le long de l'arête extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.96 Inuence de l'amplitude sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (U∗ ≈ 6), le long de l'arêteextrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.97 Inuence de la vitesse réduite sur le champ moyen de pression en régime mobile(numérique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.98 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile pourα∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 10.3 et U∗ ≈ 6,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.99 Comparaison calculs-essais sur le champ moyen de pression en régime mobile (α∗ ≈0,035rad, U∗ ≈ 4,7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.100Comparaison calculs-essais sur les deux premiers modes de contribution aéroélas-tique en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 10,4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.101Comparaison calculs-essais sur les deux premiers modes de contribution aéroélas-tique en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 6,7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.102Comparaison calculs-essais sur les deux premiers modes de contribution aéroélas-tique en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 4,7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.103Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 10,4) . . 163

4.104Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 6,7) . . . 164

4.105Comparaison calculs-essais sur les distributions d'amplitude et de déphasage duchamp aéroélastique de pression en régime mobile (α∗ ≈ 0,035rad, U∗ ≈ 4,7) . . . 164

4.106Comparaison calculs-essais sur les coecients aéroélastiques de moment. . . . . . 165


4.107Evolution de l'erreur relative sur les coecients aéroélastiques A∗2 et A

∗3 en fonction

du nombre de périodes du mouvement imposé prises en compte dans la fenêtrede traitement pour le prol rectangulaire de ratio 4, α∗ ≈ 0,035rad. et U∗ ≈ 6,1(expérimental). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4.108Evolution de l'erreur relative sur les coecients aéroélastiques A∗2 et A

∗3 en fonction

du nombre de périodes du mouvement imposé prises en compte dans la fenêtre detraitement pour le prol rectangulaire de ratio 4 en mouvement de tangage forcéd'amplitude α∗ ≈ 0,035rad. et U∗ ≈ 6,25 (numérique). . . . . . . . . . . . . . . . 184

LISTE DES TABLEAUX 195

Liste des tableaux

2.1 Déphasage du ltre passe bas à 100 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Cas du prol rectangulaire épais (ratio 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Cas du prol rectangulaire mince (ratio 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Cas du prol de type "Millau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 Résultats numériques; ratio 4, ux laminaire (Re = 2 103) . . . . . . . . . . . . . 763.5 Résultats expérimentaux et numérique; ratio 4, ux laminaire . . . . . . . . . . . 773.6 Résultats expérimentaux et numérique; ratio 8, ux laminaire . . . . . . . . . . . 843.7 Résultats expérimentaux; Re ≈ 3.4 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.8 Résultats numériques; maillage Mil1 5565 points (δh ≈ 0,008 et δT ≈ 0,0016) . . 93

4.1 Conditions d'essais en mouvement de tangage forcé pour le prol rectangulaireépais (ratio 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2 Conditions d'essais en mouvement de tangage forcé pour le prol rectangulaire n(ratio 8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3 Conditions d'essais en mouvement de tangage forcé pour le prol de type "Millau".1004.4 Vitesse de convection des tourbillons de mouvement par rapports à la vitesse

moyenne de l'écoulement pour U∗ ≈ 5 et U∗ ≈ 6,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5 Inuence de l'amplitude sur les coecients instationnaires de moment pour U∗ ≈ 151214.6 Inuence de l'amplitude sur les coecients instationnaires de moment pour U∗ ≈ 61214.7 Conditions des simulations en mouvement de tangage forcé pour le prol rectan-

gulaire épais (ratio 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.8 Conditions des simulations en mouvement de tangage forcé pour le prol rectan-

gulaire n (ratio 8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.9 Conditions des simulations en mouvement de tangage forcé pour le prol de "Millau".160

196 LISTE DES TABLEAUX

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