Théorie de Lyapunov sur la stabilité

Référence: Notes de cours de D. Alazard de SupAéro.Notes de Hannah Michalska, McGill University

2

Système non-linéaire

Considérons un système continu et non-linéaire représenté par:

Exemple:

( ) nx f x x

21 1 2

22 2 1

2 1

1

x x x

x x x

3

Point d’équilibre

Un vecteur est un point d’équilibre si:

Si xe est différent de 0, il peut être ramené à 0 par un changement de variable:

( ) 0ef x

nex

ex x x

4

Point d’équilibre

Considérons donc à partir de maintenant que:

Sans perte de généralité…

0ex

5

Stabilité locale simple et asymptotique

L’état d’équilibre du système continu et non-linéaire de l’acétate #2 est: Stable, si pour tout ε>0, il existe un

r=r(ε), tel que:

Instable si non-stable;

0ex

(0) ( ) 0x r x t t

6

Stabilité locale simple et asymptotique

L’état d’équilibre du système continu et non-linéaire de l’acétate #2 est:Asymptotiquement stable, s’il est

stable et si r peut être choisi tel que:

Marginalement stable, s’il est stable sans être asymptotiquement stable.

0ex

(0) lim ( ) 0t

x r x t

7

Stabilité asymptotique globale

Si le système est asymptotiquement stable quelque soit la condition initiale x(0), alors le point d’équilibre est globalement asymptotiquement stable.

FONCTION DE LYAPUNOVComment vérifier la stabilité d’un système non-linéaire ?

8

Idée de base (assumant xe = 0)

Supposez que l’on puisse définir une mesure de l’énergie dans un système: par exemple:

Tel que:

9

2( , )V x t x

0( , ) 0,eV x t t t ( , ) 0, ,eV x t x x t

Idée de base (assumant xe = 0)

Tel que (suite): augmente doucement tandis

que x augmente (pour un t donné). L’énergie ne s’accroit pas le long de

toute trajectoire, donc:

10

( , )V x

0 0 0 0( ; , ), 0, ,dV x t x t t t t xdt

Intuitivement…

… il est raisonnable de penser que pour x0 près de xe (= 0): L’énergie initiale est petite. L’énergie reste toujours petite.

puisque: reste près de xe pour

toujours.

xe est stable.11

0 0( , )V x t

0 0( ; , )x t x t0dV dt

Hypothèse de base sur V(x,t)

: toutes les dérivées partielles de V existent et sont continues dans (x,t).

Conséquence:

12

0,x t t

0 0

1

( ; , ), ( ), ( ),

( ), ( ),n

i

i i

dV dVx t x t t x t t V x t tdt dt

dxV Vx t t x t tx dt t

Pour un ensemble

…nous devons être en mesure d’écrire qu’il existe des fonctions et tel que:

et sont des fonctions de classe K.

13

nG

x x

0( , ) , ,x V x t x x G t t

x x

Fonction de classe K

est une fonction de classe K si: , et est continu; ; est strictement croissant de

façon monotone avec .

Exemple: est une fonction de classe K.

14

x

0 0 0, 0x x x

x

1 xe

15

Fonction définie positive

Une fonction scalaire V(x) continuellement différentiable (par rapport à x) est définie positive dans une région Ω autour de l’origine si:V(0) = 0;V(x) > 0 pour tout . / 0x x

16

Fonction définie positive

Autrement dit: Si ( ) ,V x x x

Fonction de classe K

17

Fonction définie semi-positive

Une fonction scalaire V(x) continuellement différentiable (par rapport à x) est définie semi-positive dans une région Ω autour de l’origine si:V(0) = 0;V(x) ≥ 0 pour tout . / 0x x

18

Fonction quadratique définie positive

La fonction quadratique où Q est une matrice (de taille n par n) réelle symétrique, est définie positive si toutes les valeurs propres de la matrice Q sont strictement positives.

( ) TV x x Qx

19

Exemples

#1:

Définie positive dans R2;Définie semi-positive dans R3.

#2:

Définie semi-positive dans R2. (Pourquoi ?)

2 21 2( )V x x x

21 2( )V x x x

STABILITÉ DE LYAPUNOV, MÉTHODE DIRECTE

20

21

Stabilité locale

L’état d’équilibre xe = 0 est stable si il existe une fonction continuelle-ment dérivable V(x) telle que:

V(0) = 0;V(x) > 0, ;

0,x x ( ) ( ) 0, 0, .V x dV x dt x x

22

Stabilité locale et asymptotique

Si la dernière condition était plutôt, alors l’état d’équilibre est asymptotiquement stable.

( ) 0V x

23

Stabilité globale

L’état d’équilibre xe = 0 est globalement asymptotiquement stable si il existe une fonction continuellement dérivable V(x) telle que:V(0) = 0;V(x) > 0,

0;x ( ) 0, 0;V x x ( ) .V x quand x

24

Exemple

Soit:

Passage en équation d’état avec:

Ainsi:

2 0x x x x

1 2,x x x x

1 22

2 1 1 2

x xx x x x

Dont on veut connaître la stabilité.

25

Exemple

Ce système possède un point d’équilibre à (x1,x2)=(0,0).

Analysons la stabilité de ce système avec cette fonction de Lyapunov:

2 21 2

1 2( , )2

x xV x x

26

Exemple

Dérivant V(x), on trouve:

Ensuite:

1 2 1 2 1 1 2 21 2

( , ) V VV x x x x x x x xx x

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , )V x x x x x x x x x x

27

Exemple

Donc

Ainsi, V(x) est une fonction définie positive qui est strictement décroissante le long de toutes les trajectoires possibles si ε<0.

2 21 2 1 2( , )V x x x x

28

Exemple

En vertu de la théorie de Lyapunov, le système est globalement stable si ε=0.

Il est globalement asymptotiquement stable si ε<0.

Sinon, il est globalement instable.

29

Exemple #2

Soit:

Dont le point d’équilibre est à (0,0). Vérifions la stabilité avec cette

fonction de Lyapunov:

21 1 2

22 2 1

2 1

1

x x x

x x x

2 21 2

1 2( , )2

x xV x x

30

Exemple #2

En dérivant:

Donc

1 2 1 1 2 2

2 2 2 21 2 2 1

2 2 2 21 2 1 2

( , )

2 1 1

2

V x x x x x x

x x x x

x x x x

2 2 2 21 2 1 2 1 2( , ) 0 2 0V x x x x x x

31

Exemple #2

Cette condition peut être réécrite comme suit:

2

2 11 2 2 2

1

2( , ) 01

xV x x xx

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x1

x 2

Stable

Stable ou instable ?

32

Exemple #2

Essayons ce second candidat:

Dérivant:

Ce qui mène à conclure que le système est globalement asymptotiquement stable.

2 21 2

2 1 22( , )2

x xV x x

2 22 1 2 1 2( , ) 2V x x x x

33

Exemple #3

Soit:

Dont le point d’équilibre est à (0,0). Vérifions la stabilité avec cette

fonction de Lyapunov suivante:

1 1

12 24 1 t

x x

x x e

2 21 2 1 2( , ) 2 (1 )tV x x x x e

Exemple #3

En dérivant:

Stable car:

34

21 1 2 2 2

2 2 21 2 2

2 2 21 2

( , ) 2 4 (1 ) 2

2 (1 )(1 ) 2

2 (1 2 )

t t

t t t

t t

V x t x x x x e x e

x x e e x e

x x e e

2 2 21 2( , ) 2 (1 2 ) 0t tV x t x x e e

,t x

35

Bilan

Le choix de la fonction de Lyapunov a un effet sur l’évaluation de la zone de stabilité d’un système non-linéaire.

36

Stabilité de Lyapunov des systèmes linéaires

Le système linéaire est asymptotiquement stable si et seulement si, pour toute matrice symétrique définie positive Q, il existe une matrice P définie positive et symétrique satisfaisant l’équation de Lyapunov:

0TA P PA Q

x Ax

37

Démonstration (condition suffisante)

Considérons ce candidat:

Dérivant:

TV x Px

T T

T T T

T T

V x Px x Px

x PAx x A Px

x PA A P x

38

Démonstration (condition suffisante)

Soit Q une matrice définie positive, si P est une solution positive de l’équation de Lyapunov.Alors

et

Donc système asymptotiquement stable.

( ) 0, 0V x x

( ) ( ) 0, 0.TV x x Qx V x x

39

Démonstration (condition nécessaire)

Pour un couple quelconque (A,Q) l’équation de Lyapunov peut admettre plus d’une solution pour P.

Mais, si A est stable, la solution P est unique:

0

TA t AtP e Qe dt

40

Démonstration (condition nécessaire)

Avec cette solution:

0 0

0

0

T T

T

T

T T A t At A t At

A t At

A t At

A P PA A e Qe dt e Qe Adt

d e Qe dtdt

e Qe

Q

Exemple

41

Instable

Exemple

Q = I.

42

=0

Exemple

Posons Q = I.

43

p5=-1/2p2=-1/2

p4=- p3

Exemple

Posons Q = I.

44

p3=1/2-3p6

p1=-3+6p6

Exemple

6p6+6=0 p6=-1 Finalement P est:

Pas définit positif, car:

45

Instable

46

Design d’un contrôleur non linéaire pour un système linéaire

Soit le système:

A globalement asymptotiquement stable (g.a.s.);

… et

( ) ( ) ( )x t Ax t bu t

nb0(0)x x( ) 1,u t t

47

Design d’un contrôleur non linéaire pour un système linéaire

Problème:Concevoir un contrôleur avec

rétroaction possiblement non-linéaire qui fait en sorte que x retourne rapidement à 0.

48

Étape #1

Choix de la fonction de Lyapunov pour le système en boucle ouverte:

Choisissons Q symétrique et définie positive. Exemple: Q = I.

( ) ( )x t Ax t

49

Étape #1

Ensuite, définir

Avec P symétrique et définie positive, solution de l’équation de Lyapunov.Comme A est g.a.s. P>0.

( , ) TV x t x Px

50

Étape #1

Conséquence, la fonction de Lyapunov V(x,t) est positive définie et décroissante et radialement illimitée pour le système.

51

Étape #2

Choisir l’entrée u(t) qui fait en sorte que dV/dt soit négatif le long des trajectoires du système.

Dérivant, on obtient:( , ) 2T T T TV x t x Px x Px x Qx ub Px

52

Étape #2

Solution u(t):

Avec:

Un relais…

( ) ( )Tu t sign b Px t

1 01 00 0

si zsign z si z

si z

53

Étape #3

Vérification que le système en boucle fermée est g.a.s.

La dérivé de V est:( , ) 2

2

2

T T

T T T

T T T

V x t x Qx ub Px

x Qx sign b Px b Px

x Qx b Px x Qx

54

Exemple

Système:

Choix de Q: Q = 1. Donc:

10 1 0 2TA P PA Q P P P

x x u

55

Exemple

Système:

Ce qui mène à ce contrôleur:

Donc en boucle fermée: 1

2Tu sign b Px sign x sign x

x x u

[ ]x x sign x

56

57

La commande LQ - principe

Soit le système linéaire suivant:

Hypothèse: La paire (A,B) est stabilisable, i.e., qu’il

n’y a pas de modes instables et ingouvernable dans ce système.

( ) ( ) ( ) ;( ) ( )

n m

q

x t Ax t Bu t x uy t Cx t y

58

La commande LQ - principe

Résultat: Soit le critère LQ suivant:

Avec R>0, Q≥0 et

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

T T

T Tx

J y t Qy t u t Ru t dt

x t Q x t u t Ru t dt

TxQ C QC

59

La commande LQ - principe

Alors: La commande par retour d’état qui

stabilise le système et minimise ce critère LQ est:

Avec

( ) ( )cu t K x t1 T

c cK R B P

60

Équation de Riccati

Dans l’équation précédente, Pc est solution unique (matrice symétrique et définie positive) de l’équation de Riccati:

1 0T Tc c c c xP A A P P BR B P Q

1 Tc cK R B P

61

Ainsi

La fonction de coût minimale correspondante est alors:

min 0 0, ( : 0)To cJ x P x x état initial à t

62

Démonstration

La dynamique du système en boucle fermée avec la commande par retour d’état est:

La réponse autonome de ce système est:

bfx A BK x A x

0( ) bfA tx t e x

63

Démonstration

Le critère J devient:

0

0

00

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )Tbf bf

T Tx

T Tx

A t A tT To x

To

J x t Q x t u t Ru t dt

x t Q K RK x t dt

x e Q K RK e dt x

x Px

64

Démonstration

Avec:

La contrainte Abf stable entraine que P vérifie l’équation de Lyapunov:

Notez que P≥0, car J≥0.

0

Tbf bfA t A tT

xP e Q K RK e dt

0T Tf f xA P PA Q K RK

65

Démonstration

Posant Kc la valeur optimale de K qui minimise J et la solution Pc correspondante, alors

0T Tc c c c x c cA BK P P A BK Q K RK

66

Démonstration

Considérons une variation du gain ΔK autour de Kc. Il en résulte une variation de ΔP autour de Pc, qui vérifie:

0

T

c K c P

c P c K

Tx c K c K

A B K P

P A B K

Q K R K

67

Démonstration

Kc est la valeur optimale au sens de J si et seulement si le critère augmente pour toute variation ΔK autour de Kc, soit:

0 /P K c KA B K stable

68

Démonstration

En soustrayant les deux équations des acétates 66 et 65, on obtient:

0

T T Tc K P K c

P c K c K

T T TK K K c c K

A B K B P

A B K P B

R RK K R

69

Démonstration

Que l’on peut réécrire:

C’est une équation de Lyapunov

0

TP P

TT T TK c c c c K

TK K

A BK A BK

RK B P RK B P

R

70

Démonstration

A-BK étant stable ΔP est positif si et seulement si (Théorème de Lyapunov):

0

TT T TK c c c c K

TK K

RK B P RK B P

R

K

71

Démonstration

Or, car par définition R>0. Il faut donc que:

Que l’on peut réécrire:

0,TK K KR

0Tc cRK B P

1 Tc cK R B P

72

Démonstration

En reportant cette valeur de gain dans l’équation de l’acétate 65, on obtient l’équation de Riccati:

1 0T Tc c c c xP A A P P BR B P Q

FIN

73

Exemple

Soit le système suivant:

2

1 12( )102

s sG s

s

74

Exemple

Qui donne la représentation dans l’espace d’état suivant:

0 1 0 0 00 0 0 1 00 0 2 0 1

1 0 10 0 1

x x u

y x

75

Exemple

Si on a Qx = I et R = ρI, l’équation de Riccati est:

Avec

1 0T Tc c c cP A A P P BB P I

1 2 3

2 4 5

3 5 6

c

p p pP p p p

p p p

76

Exemple

Donc:223 3 5 2 5 3 62 2 4

223 5 5 4 5 5 62 4 4

2 22 5 3 6 4 5 5 6 5 6

1 3

1 2 3 5

3 3 5 6

1 2

2 1 2 0

2 2 1 4

p p p p p p pp p p

p p p p p p pp p p

p p p p p p p p p p

p p

p p p p

p p p p

77

Exemple

Posant p3 et p5 égaux à 0:

Donc:

22 2 4

22 4 4

26

1

1 2

6

1 0

2 1 0 0

0 0 1 4

p p p

p p p

p

p

p p

p

3 21

2

3 24

26

2

2

2 4

p

p

p

p

78

Exemple

Donc le gain optimal est:

1 21 2 1 1 2

1 21 1 2

2 1 0

0 0 2 2 1cK

79

Exemple

Localisation des pôles (3):

3 2 2 5 23 2

2

1 2 22

4

80

Exemple

Pôles pour diverses valeurs de ρ:

(0.1) 1.06, 2.97, 3.74

(0.2) 1.18, 1.90, 3.00

(0.3) 1.32 0.28, 2.71

(0.8) 0.93 0.50, 2.29

j

j

81

Exemple

Exemple de réponses:0.1 0.5

0.8

82

Sur MATLAB

Fonction lqr

83

Chariot sur un rail

Un chariot est libre de se déplacer sur un rail.

Une force constante f est appliquée pour le déplacer.

Il faut déplacer le chariot de 100 m en 10 s.

84

Chariot sur un rail

Mais, on désire la force f la plus petite que possible.

Condition initiale:Chariot en x = 0 et sa vitesse initiale

est nulle. Vitesse finale peut être quelconque. Masse du chariot est m.

85

Chariot sur un rail

Modèle:

Variables d’état:

86

x vfvm

1

2

x xv xu f m

Chariot sur un rail

Ainsi:

Condition initiales et valeur finales désirées à t=10s:

87

1 2

2

x xx u k

0

0

1

2

0

0

x

x

1

2

100D

D

x m

x libre

Force d’amplitude constante

Chariot sur un rail

On intègre les deux équations d’état:

Et on obtient k = 2. Mais, la plus petite force possible est k = 0.

88

2 0

21 20

( )

( ) 2

t

t

x u t dt kt

x x t dt kt

Chariot sur un rail

Les objectifs sont contradictoires. Considérons tout de même la fonction objectif suivante:

Pondérations: q pour pénaliser l’erreur de position r pout pénaliser l’amplitude de la

commande.

89

2 21 0

100 ft

fJ q x r u dt

Chariot sur un rail

Ici:

Pour obtenir le k optimal:

…puis…

90

2 250 100 10J q k rk

5000 10000 20J qk q rkk

500250

qkq r

Chariot sur un rail

Ou encore:

Si (q/r)∞, k=2; Si (q/r)0, k=0.

91

500250 1

q rk

q r

Chariot sur un rail

Supposons maintenant que la force est:

On cherche les valeurs de k1 et k2 qui minimisent la fonction objectif J.

92

1 2u k k t

Chariot sur un rail

Dans ce cas:

Donc:

93

1 2

2 1 2

x xx k k t

22 1 20

2 31 2 1 20

( ) 2

( ) 2 6

t

t

x u t dt k t k t

x x t dt k t k t

Chariot sur un rail

À t = 10 secondes:

Solution: une infinité de valeurs de k1 et k2.

Cette équation est une contrainte:

94

1 2100 50 166.67k k

21100 166.67

50kk

Chariot sur un rail

La fonction objectif est

Et…

95

2

1 2

2 21 1 2 2

50 166.67 100

10 100 333.33

J q k k

r k k k k

1 21

1 22

5000 20 16666.67 100 10000

16666.67 100 55555.56 666.67 33333.33

J k q r k q r qkJ k q r k q r qk

Chariot sur un rail

Exemples: q = 100, r = 1

K1 = 3 et K2 = -0.3; q = 1, r = 1

K1 = 2.991 et K2 = -0.299; q = 1, r = 100

K1 = 2.308 et K2 = -0.231.

96

Proche de la contrainte

Chariot sur un rail

Si on force la contrainte entre k1 et k2, on obtient:

Et…

97

22 24.44 9 15 25J r k k

22

4.44 15 50J r kk

Chariot sur un rail

Ce qui mène à k2 = -0.3 et k1 = 3.

98

Chariot sur un rail

Supposons maintenant que l’on désire que la vitesse soit nulle à t=10. Cela implique que:

Que l’on peut réécrire:

Seconde contrainte.

99

2 1 2(10) 0 10 50x k k

1 25k k

Chariot sur un rail

Nouvelle fonction objectif:

Donc:

100

2 2 21 1 2 2 0

100 ft

f fJ q x q x r u dt

2 21 1 2 2 1 2

2 21 1 2 2

50 166.67 100 10 50

10 100 333.33

J q k k q k k

r k k k k

Chariot sur un rail

Avec les deux contraintes:

Donc:

101

21 2100 166.67 5

50kk k

2

1

1.26

kk

Chariot sur un rail

Exemples: q1 = 100, q2 = 1, r = 1

K1 = 5.1424 et K2 = -0.9428; q1 = 1, q2 = 100, r = 1

K1 = 5.917 et K2 = -1.182; q1 = 1, q2 = 1, r = 100

K1 = 2.325 et K2 = -0.2435.

102

Proche de la 1ère contrainte

Proche de la 2e contrainte