Rupture et endommagement des matériaux vitreux · Mécanique de la rupture: Théorie continue...

Rupture et endommagement des matériaux vitreux

GDR Matériaux Vitreux, Dourdan, 10 septembre 2009

CEA Saclay, DSM/IRAMIS/SPCSI, 91191 Gif sur Yvette

Daniel Bonamy

Mécanique de la rupture: Théorie continueRôle des défauts, failles de GriffithPropagation de fissures: critère de stabilité, équation de mouvement, trajectoire…

PLAN DE L’EXPOSÉ

Rôle du désordre microstructural: Description stochastiqueFissuration intermittenteténacité effectiveFaciès de ruptureInstabilité dynamique, branchement

Contrainte à rupture d’un solide « parfait »σσσσ

σσσσ

Rupture : σσσσF ~ E

E module d’ Young

a distance entre atomes

σσσσF contrainte de rupture

a

Vue microscopique

E σf Acier 200 GPa 100 Mpa

2 GPa

Verre 70 GPa 300 MPa

Al2O3 400 GPa <100 Mpa

???

Contrainte à rupture d’un solide « parfait »σσσσ

σσσσ

Vue microscopique

σ= F/a2

ε=x/a=(l-a)/a0

σσσσf ?

E

2γ

E module d’Youngγ énergie de surfacea distance interatomique

Rupture : aEf /γσ ≈

VERRE :

A 1~ &aGPa 70~E

2J/m 1.0~γMPa 300~fσGPa 8~/ aEγ

???

lF F

σσσσ0000

σσσσ0

Contrainte à rupture d’un solide: Rôle des défauts

Rupture : aEf /γσ ≈

Concentration des contraintesσ(σ(σ(σ(r ))))

σσσσ0000

σσσσΜΜΜΜ

Griffith (1920)

r

2c

ρσσ /2 0 cM ≈

( )ργσ /2// caEf ≈

VERRE :

A 1~ &aGPa 70~E

2J/m 1.0~γMPa 300~fσ

ρ ~ ac ~ 100 nm

expérienceprédictionσf ~ 500 MPa

Distribution de contraintes à rupture

σf (MPa)

Log(1/(1-P))

Ex: verre sodocalciqueet alumine (d’après Lawn, 1993)

… Dominé par les liens les plus faibles

Statistique d’événements extrêmes

Loi de Weibull

))/(exp(1 *m

fP σσ−−=<

Distribution de contraintes à rupture

σf (MPa)

Log(1/(1-P))

Ex: verre sodocalciqueet alumine (d’après Lawn, 1993)

… Et effets d’échellesσf (GPa)

Fibres de verre, d=100µm,« parfaites » (d’après Kurkjian, 1982)

σσσσ

σσσσ

Théorie de Griffith: approche thermodynamique

2c

Energie totalE =E =

Energie de surfaceES+4 γ c+

Energie mécaniqueEM

-π c2 σ/EE

c

rupture

Critère de rupture: G=-dEM/dc 2γ>

Taux d’énergie mécanique relâchée

Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture (MLER)

σ0

c

σ0

KI>KIc : fissure instableKI facteur d’intensité des contraintes KIc ténacité

Irwin (1955),Orrowan (1957)

θr

σσσσ

fissure

)(0 géométrieFcK I σ=

)(20

θπ

σ ijI

rij f

r

K

→≈

G > ΓΓΓΓ (~2γγγγ)EKG I /2=EK Ic /2=Γ

ΓΓΓΓ énergie de fracture

Mode ITension, ouverture

Mode IICisaillement dans

le plan, glissementMode III

Cisaillement hors plandéchirement

KI KII KIII

Modes de rupture

Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture (MLER)

σ0

c

σ0

Irwin (1955),Orrowan (1957)

G> ΓΓΓΓ

EKG I /2=

c

σ0

σ0

)(2

)(2

)(2

),(0

θπ

θπ

θπ

θσ ijIII

ijII

ijI

rij h

r

Kg

r

Kf

r

Kr ++≈

→

EKEKEKG IIIIII /)1(// 222 υ+++=

θ

kII=0

θ

Critère de trajectoire: mode I/II

Principe de symétrie locale:

Critère de trajectoire: mode I/III

ψkIII=0

Facettes

Equation de mouvement

σ0

σ0

Freund (1990),

)(20

θπ

σ ijI

rij f

r

K

→≈

v),(

20vf

r

Kij

I

rij θ

πσ

→≈ v

EKvAG I /)( 2=

)/1(~)( RCvvA −CR vitesse de Rayleigh (ondes sonores sur une surface)

avec

A(v)

A(v)KI2/E=ΓΓΓΓVitesse donnée par:

Calculs élastodynamiques

Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture: Bilan

σ0

c

σ0

r

EG

r

Kr II

ππσ

22)( =

Equation de trajectoire:

Plan de fracture choisi de manière à maximiser la contrainte de tension

Cotterell & Rice (1980)

KII=0

A(v)KI2/E=Γ

Equation de mouvement:

Facteur relativiste :A(V) ~ (1-V/CR)

CR vitesse de Rayleigh

Freund (1990)

Critère de rupture:GI>Γ (~2γ)

ou KI> KIc

Critère de rupture: prédictions

� Verre de Silice

1/2MPa.m8.0~IcK

GPa70~E ΓΓΓΓ ~ 10 J/m2

2γγγγ ~ 0.2 J/m2Énergie de surface« atomique »

Énergie de fracture

???

Equation de mouvement: prédictions� Vitesse limite théorique = vitesse de Rayleigh

Plexiglas (Sharon et al, 1999)

Longueur de fissure (mm)

V(m

/s)

Verre (Sharon et al, 1999)


V(m

/s)

Expériences: Vmax <~ 0.6CR !!!

CR=3300m/s

CR=930m/s

Faciès de rupture dans le verre: Observations (Johnson Holloway, 1966)

Trajectoire de fissures: prédictions

Faciès rugueux !!!

� Surfaces de rupture lisses Surface de rupture par AFM (Crédit, F. Celarié)

V << CR

V ~ 0.6 CR


PLAN DE L’EXPOSÉ


Structure du verre

Coupe de 5 A d’un verre de Silice simulé (crédit Van Brutzel)

� Hétérogène aux échelles sub-nanométriques

� Répercutions macroscopiques sur la rupture?

Désordre & equation de mouvement

z

x

KI0

z

x

KI0

f(z,t)

z

x

M f(z,t)Faible désordre

)()(),(

MKMKt

tzfIcI −=

∂∂µ

))),(,(1()( 0 tzfzKMK IcIc η+=

negligibledzzz

tzftzfKMK II +

−−+= ∫

∞

∞−

)')'(

),(),'(21

1()(2

0

πGao & Rice (89)


h(z,x)

z

x

KI0

f(z,t)

z

x

M f(z,t)Faible désordre

)()(),(

MKMKt

tzfIcI −=

∂∂µ

))),(,(1()( 0 tzfzKMK IcIc η+=

negligibledzzz

tzftzfKMK II +

−−+= ∫

∞

∞−

)')'(

),(),'(21

1()(2

0

πGao & Rice (89)

Schmittbuhl et al. (95), Ramanathan et al. (97)

( )( )

)),(,(''

),(),'(21),( 0

2000 tzfzKdz

zz

tzftzfKKK

t

tzfIcIIcI η

πµ +

−−+−=

∂∂

∫∞

∞−

Equation de mouvement d’une ligne “élastique longue portée” en propagation dans un matériau aléatoire


h(z,x)

Fracture mechanics for ideal brittle materials…

Prediction: regular continuous crack growth velocity

Paper peeling(Kovoisto et al. PRL, 2007)

Observation: intermittent crack growth with sudden random jump of all sizes !!!

earthquakes(from Sethna et al, 2001)

Interfacial crack

Role of disorder

z

x

KI0

f(z,t)

( )( )

)),(,(''

),(),'(21),( 0

2000 tzfzKdz

zz

tzftzfKKK

t

tzfIcIIcI η

πµ +

−−+−=

∂∂

∫∞

∞−


00IcI KKF −=

cFF <

tzz

tzfv

,

),(

∂∂=

z

x

KI0

f(z,t)

( )( )

)),(,(''

),(),'(21),( 0

2000 tzfzKdz

zz

tzftzfKKK

t

tzfIcIIcI η

πµ +

−−+−=

∂∂

∫∞

∞−


00IcI KKF −=

cFF >

tzz

tzfv

,

),(

∂∂=

z

x

KI0

f(z,t)

( )( )

)),(,(''

),(),'(21),( 0

2000 tzfzKdz

zz

tzftzfKKK

t

tzfIcIIcI η

πµ +

−−+−=

∂∂

∫∞

∞−


00IcI KKF −=

cFF ~

tzz

tzfv

,

),(

∂∂=

z

x

KI0

f(z,t)

( )( )

)),(,(''

),(),'(21),( 0

2000 tzfzKdz

zz

tzftzfKKK

t

tzfIcIIcI η

πµ +

−−+−=

∂∂

∫∞

∞−

Transition critiqueErtas & Kardar (94)

tzz

tzfv

,

),(∂

∂=

Param. ordre00IcI KKF −=

Param. control

v

FFc

Stable

fissure stablecFF < 0=v

Propagationfissure en propagation

cFF >> Fv ∝


cFF ~> Point critique, universalité

0Ic

effIc KK = + Fc

Prediction: fissuration quasi-statiqueintermittente

Epluchage du papier(Kovoisto et al. PRL, 2007)

Observée dans de nombreuxmatériaux fragiles hétérogènes !!!

Tremblement de terre(from Sethna et al, 2001)

Fissure interfacialedans le Plexiglas(Maloy et al, 2006)


Désordre & equation de mouvementApplications: Statistique des ténacités

Limite thermodynamique: ∞== Ic

effIc KcteK

L fini: distribution statistique

−=

∞

σψυ

effIcIceff

IcKK

LLKP /1),(

( ) υσ /12/12 −∝−= LKK eff

IceffIc

∞< IceffIc KK

Charles, Hild, Roux, Vandembroucq, 2003, 2004, 2006

Longueur d’arrêt dans les tests d’indentation

cL ∝

2/3c

FK eff

Ic ∝c

F


PLAN DE L’EXPOSÉ


Faciès de rupture dans le verre: Observations (Johnson Holloway, 1966)

Trajectoire de fissures: prédictions

Faciès rugueux !!!

� Surfaces de rupture lisses Surface de rupture par AFM (Crédit, F. Celarié)

V << CR

V ~ 0.6 CR

∆∆∆∆z∆∆∆∆h

xz

h

Surface Surface Surface Surface autoautoautoauto----affineaffineaffineaffine

∆∆∆∆h

∆∆∆∆z

Faciès de rupture: lois d’échelleMandelbrot et al Nature 84; Bouchaud et al. EPL 90; Maloy et al. PRL 92,…

∆∆∆∆z∆∆∆∆h

xz

h

ζζζζ=0.75=0.75=0.75=0.75


∆∆∆∆h

∆∆∆∆z


∆∆∆∆z∆∆∆∆h

xz

h

ζζζζ=0.75=0.75=0.75=0.75


< ∆h2

>1/2(nm)

Slope: ζζζζ=0.750.750.750.75

ξξξξζ ~ 0.75 universel dans de 0.75 universel dans de 0.75 universel dans de 0.75 universel dans de nombreux matnombreux matnombreux matnombreux matéééériauxriauxriauxriaux fragilesfragilesfragilesfragiles

∆∆∆∆h

∆∆∆∆z


Désordre & equation de trajectoire

z

x

KI0

h(z,x)

L

x

hMKII

KI

x

h

∂∂

M

KII (M) = 0

Local symmetry Principle

B. Cotterell et J. Rice (1980)

KI0


z

x

KI0

h(z,x)

L

x

hMKII

KI

x

h

∂∂

M

KII (M) = 0

KI0

negligible')'(

),()',(2

),(2

200 +

−−−

∂∂

∫∞+

∞−

dzzz

zxhzxhAK

x

zxhK II=

Loading perturbation induced by out-of-plane roughness

Larralde & Ball (1995), Movchan et al. (1998)


z

x

KI0

h(z,x)

L

x

hMKII

KI

x

h

∂∂

M

KII (M) = 0

KI0

negligible')'(

),()',(2

),(2

200 +

−−−

∂∂

∫∞+

∞−

dzzz

zxhzxhAK

x

zxhK II=

KII0

+ K0II

Slight experimental misalignment


z

x

KI0

h(z,x)

L

x

hMKII

KI

x

h

∂∂

M

KII (M) = 0

KI0

negligible')'(

),()',(2

),(2

200 +

−−−

∂∂

∫∞+

∞−

dzzz

zxhzxhAK

x

zxhK II=

KII0

+ K0II + η(x,z,h(x,z))

Material disorder


z

x

KI0

h(z,x)

L

x

hMKII

KI

x

h

∂∂

M

KII (M) = 0

Local symmetry Principle

B. Cotterell et J. Rice (1980)

KI0

negligible')'(

),()',(2

),(2

200 +

−−−

∂∂

∫∞+

∞−

dzzz

zxhzxhAK

x

zxhK II=

Loading perturbation induced by out-of-plane roughness

Larralde & Ball (1995), Movchan et al. (1998)

KII0

+ K0II

Slight experimental misalignment+ η(x,z,h(x,z))Material disorder

)),(,,(')'(

),(),'(),(0

0

2xzhxz

K

Kdz

zz

xzhxzhA

x

xzh

I

II η++−−−=

∂∂

∫∞+

∞−

)),(,,(')'(

),(),'(),(0

0

2xzhyxz

K

Kdz

zz

xzhxzhA

x

xzh

I

II =++−−−=

∂∂

∫+∞

∞−

η

)/'()',','(),,( arrDfyxzyxzrr −=ηη

xz

h

( )2),(),(),( xzhxxzzhxzG −∆+∆+=∆∆fonction de structure:

η(x,z,h(x,z))~ηq(z,h(x,z))+ηt(z,x)

Profile selon z auto-affine:Kolton et al. (05), Tanguy et al. (98),Rosso & Krauth (02), Duemmer & Krauth (07),

ζ=0.4ς2)0,( zxzG ∆∝=∆∆

δh << a

Rugosité logarithmiqueRamanathan,Ertas & Fisher (97)

η(x,z,h(x,z)) ~ ηt(z,x)

22 549.0)log(.318.0~)0,( aA

D

a

za

A

DzG +∆∆

δh >> a

Désordre & équation de trajectoire

Désordre & équation de trajectoireG1

/2(nm)

Contradiction apparente

ζ~0.8

Rc=20nm


/2(nm)

ζ~0.4

ζ~0.4

Rc=20nm


/2(nm)

ζζζζ=0.75 !0.75 !0.75 !0.75 !

ξξξξ

ζ~0.4

Rc=20nm

22 549.0)log(.318.0~)0,( aA

D

a

za

A

DzG +∆∆

Avec a=Rc=20nm, D/A=5×10-3 nm-2

Echelle de longueur

xz

hAluminsosilicate en corrosion sous contrainte,V=10-10m/s, (Celarie et al, 2003)

75 nm

Fixée par l’endommagement?20 nm

Silice,V=300 m/s, (Crédit C. Rountree)


PLAN DE L’EXPOSÉ


Equation de mouvement: prédictions� Vitesse limite théorique = vitesse de Rayleigh



V(m

/s)

Verre (Sharon et al, 1999)


V(m

/s)

Expériences: Vmax <~ 0.6CR !!!

CR=3300m/s

CR=930m/s

Rupture dynamique: instabilité de branchement


V (m/s)

Plexiglas (Sharon et al, 1999)x

z

y

x

z

x

y

V<Vc



V (m/s)


z

y

x

z

x

y

V~Vc



V (m/s)


z

y

x

z

x

y

V>Vc


V (m/s)

Aire de fracture

relative (m

/s)

Aire de fracture

relative (m

/s)

Γ (kJ/m)Une explication possible de Vmax < CR

Vc


Propagation de la fissure

Verre float

Rôle des hétérogénéitésWallner 1939, Sharon et al, 2001, DB & Ravi-Chandar 2003…

Rainure

Faciès de rupture


rayure

0.1CR < V < 0.4CR


Verre float

Rôle des hétérogénéitésWallner 1939, Sharon et al, 2001, DB & Ravi-Chandar 2003…

�A haute vitesse, production de lignes de Wallner sans défaut/pulse acoustique introduit de manière externe


Propagation du pulse

Traducteuracoustique

0.1CR < V < 0.4CR

Instabilité de branchement…… une origine possible

σ∞

σ∞

Certaines propriétés de rupture macroscopiques des verres semblent imposées par des fluctuations mécaniques ou structurales à très petites échelles.

Conclusion

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