1. Théorie de l’échantillonnage – Théorème de Shannon :

L’échantillonnage ou Sampling consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, des valeurs instantanées d’un signal.

m(t) Echantillonneurm(t) est le signal analogique à échantillonné, m*(t) est le signal échantillonné et p(t) est l’horloge de période Te.

On appelle Te la période d’échantillonnage et son inverse Fe=

1T e la fréquence

d’échantillonnage.Il existe trois types d’échantillonnages :

- Echantillonnage idéal.- Echantillonnage naturel.- Echantillonnage bloqué ou régulier.

t

t

t

Ш(t)

m(t)

m*(t)

0 2Te 3Te 4Te 5Te 6TeTe–Te

–2Te

a. Echantillonnage idéal :

Supposons que l’on veuille échantillonner un signal arbitraire m(t) en prélevant des valeurs instantanées à intervalles réguliers de période Te .Théoriquement, on peut le faire en

multipliant le signal m(t) avec un peigne de Dirac Ш(t)

= ∑n=−∞

+∞

δ (t−nT e ) :

Xm∗( t )=m( t )׿ ¿

Ш(t)

=m( t )× ∑n=−∞

+∞

δ (t−nTe )

m∗( t )= ∑n=−∞

+∞

m( t )δ (t−nT e )= ∑n=−∞

+∞

m(nT e)δ ( t−nT e )

Pour déterminer le spectre, on applique la transformée de Fourier :

F {m∗( t )}=M∗(ω )=F { ∑n=−∞

+∞

m(nT e )δ (t−nT e )}=F {m( t )× ∑n=−∞

+∞

δ (t−nT e )}

Or m( t ) F⃗ M (ω )

et∑

n=−∞

+∞

δ ( t−nT e ) F⃗ ωe ∑n=−∞

+∞

δ (ω−nωe )

M∗(ω )= 12 π

M (ω )∗ωe ∑n=−∞

+∞δ (ω−nωe )=Fe ∑

n=−∞

+∞M (ω−nωe )

ω0

M(ω)

M*(ω)

ωm–ωm

Théorème de Shannon :

Il montre que la reconstruction correcte d’un signal analogique m(t) nécessite que la fréquence d’échantillonnage Fe doive être supérieure ou égale au double de la fréquence maximale dans le spectre du signal :

Fe ≥ 2fmax

2fmax est la fréquence de Nyquist FNy et l’intervalle de Nyquist est :

T Ny=1

F Ny= 1

2 f max

Pour Fe = 2fmax :

Filtre passe-bas idéal

M*(f)

Pour Fe > 2fmax :

Filtre passe-bas idéal

M*(f)

Pour ces derniers cas, on peut restituer le signal analogique m(t) par un simple filtre passe-bas idéal.

m’(t)signal reconstitué

m(t) signal original

Pour Fe < 2fmax :

M*(f)

La restitution du signal original sera impossible car il va apparaitre un recouvrement spectral lors de l’échantillonnage. On a ce qu’on appelle un repliement de spectre.

t

t

t

p(t)

m(t)

s(t)

0 2Te 3Te 4Te 5Te 6TeTe–Te–2Te

m(t) signal original m’(t)

signal reconstitué

b. Echantillonnage naturel :

Pratiquement, il n’est pas possible d’obtenir un peigne de Dirac, le signal échantillonné réel est obtenu à l’aide de circuits de commutation à grande vitesse.

La forme du créneau suit le signal m(t), cet échantillonnage est dit naturel parce que chacune des impulsions de s(t) conserve la forme du signal analogique original pendant la durée de l’impulsion d’échantillonnage. Le signal obtenu est discret en temps mais continu en amplitude.

Le principe consiste à multiplier le signal m(t) avec un train d’impulsion rectangulaire p(t).

Xavec

p( t )= ∑n=−∞

+∞δ (t−nT e )∗rect( t

τ )= ∑n=−∞

+∞rect ( t−nT e

τ )s( t )=m( t )×p ( t )=m( t ) ∑

n=−∞

+∞rect ( t−nT e

τ )

Pour déterminer le spectre, on applique la transformée de Fourier :

F {s( t ) }=S (ω )=F {m( t )× ∑n=−∞

+∞rect ( t−nT e

τ )}=F {m( t )×[ ∑n=−∞

+∞δ (t−nT e )∗rect ( t

τ )]}

Or m( t ) F⃗ M (ω )

;

rect ( tτ ) F⃗ τ sinc( ωτ

2 ) et

∑n=−∞

+∞

δ ( t−nT e ) F⃗ ωe ∑n=−∞

+∞

δ (ω−nωe )

S(ω )= 12 π

M (ω )∗[ωe ∑n=−∞

+∞δ (ω−nωe ) . τ sinc(ωτ

2 )]=τ Fe ∑n=−∞

+∞M (ω−nωe ) sinc( nωe τ

2 )

t

t

m(t)

Ш(t)

0 2Te 3Te 4Te 5Te 6TeTe–Te–2Te

m'(t)

M(ω)

ω0

τFe

S(ω)

ωm–ωm

On peut restituer le signal analogique m(t) par un simple filtre passe-bas.

c. Echantillonnage bloqué ou régulier (Flat Top Sampling) :

C’est la manière la plus classique d’échantillonner un signal. On obtient un signal s(t) formé d’échantillons de largeur non nulle et ayant un niveau constant pendant la durée de blocage τ.Le signal échantillonné est obtenu à l’aide de deux commutateurs fonctionne on opposition avec un condensateur à la sortie :

Commutateur d’échantillonner

Le signal obtenu est discret en temps et en amplitude. La forme du créneau n’est pas déformée par m(t), seule l’amplitude du créneau change en fonction de l’échantillon m(nTe) :

X m'(t) Circuit de maintien h(t)

Le circuit de maintient est un bloqueur à une durée τ.

s( t )=m' ( t )∗h (t )

or

m' ( t )= ∑n=−∞

+∞

m( nTe )δ (t−nT e )

s( t )= ∑n=−∞

+∞

m(nT e )δ (t−nT e )∗h( t )

s( t )= ∑n=−∞

+∞

m(nT e )h ( t−nT e )

avec

h( t )=1τ

rect ( t−τ /2τ )

He(ω)

ω

1

ωm–ωm0

t

s(t)m(t)

Te 2Te 3Te

4Te 5Te

Pour déterminer le spectre, on applique la transformée de Fourier :

F {s( t ) }=S (ω )=F { ∑n=−∞

+∞

m(nT e)h (t−nT e )}=F {[m( t )× ∑n=−∞

+∞

δ ( t−nT e )]∗h( t )}S(ω )=[ 1

2 πM (ω )∗ωe ∑

n=−∞

+∞δ (ω−nωe ) ]H (ω )=Fe ∑

n=−∞

+∞M (ω−nωe ) H (ω )

pour h( t )=1

τrect ( t−τ /2

τ )

H (ω )=sinc(ωτ2 )e

− j τ2 ω

S(ω )=Fe ∑n=−∞

+∞M (ω−nωe ) sinc(ωτ

2 )e− j τ

2 ω

;|S(ω )|=Fe ∑

n=−∞

+∞|M (ω−nωe )||sinc(ωτ

2 )|

M(ω)

ω0

Fe

|S (ω)|

ωm–ωm

Les répliques de M(ω) sont déformées par la fonction H(ω). La récupération parfaite du signal par simple filtre passe-bas n’est plus directement possible. La solution à ce problème est d’appliquer un filtre égaliseur He(ω) dont la réponse en fréquence est de la forme :

H e(ω )= 1H (ω )

= 1

sinc(ωτ2 )

Echantillonneur-bloqueur (Sample & Hold) :

C’est le même principe de l’échantillonnage bloqué mais la durée du blocage est égale à la période d’échantillonnage Te.

m(t) Echantillonneur Bloqueur