Exercicesenthoriede lacrdibilitAvec solutionsExercicesenthoriede lacrdibilitAvec solutionsHlne CossetteVincent Gouletcole dactuariat, Universit LavalSeconde dition rvise 2008 Hlne Cossette, Vincent GouletCette cration est mise disposition selon le contrat Paternit-Partage liden-tique 2.5 Canada disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/ca/ ou par courrier postal Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, SanFrancisco, California 94105, USA.Historique de publicationJanvier 2006 : Premire version prliminaireJanvier 2007 : Premire ditionJanvier 2008 : Seconde ditionJanvier 2010 : Seconde dition rviseCode sourceLe code source LATEX de ce document est disponible ladressehttp://vgoulet.act.ulaval.ca/credibilite/ou en communiquant directement avec les auteurs.ISBN 978-2-9809136-9-3Dpt lgal Bibliothque et Archives nationales du Qubec, 2008Dpt lgal Bibliothque et Archives Canada, 2008IntroductionCe document est le fruit de la mise en commun dexercices colligs au ldu temps pour nos cours de thorie de la crdibilit lUniversit Laval et lUniversit Concordia. Nous ne sommes toutefois pas les uniques auteursdes exercices ; certains ont, en effet, t rdigs par les Docteurs Franois Du-fresne et Jacques Rioux, entre autres. Quelques exercices proviennent gale-ment danciens examens de la Society of Actuaries et de la Casualty ActuarialSociety.Cestdailleursandenepasusurperdedroitsdauteurquecedocu-ment est publi selon les termes du contrat Paternit-Partage des conditionsinitiales lidentique 2.5 Canada de Creative Commons. Il sagit donc dundocument librequequiconquepeut rutiliseret modiersaguise, condition que le nouveau document soit publi avec le mme contrat.Le premier chapitre, tir de Goulet (1994), trace lhistorique et lvolutionde la thorie de la crdibilit, de ses origines jusquau dbut des annes 1990.Les chapitres 2 5 qui correspondent aux chapitres de notre cours sontquant eux uniquement constitus dexercices. Dans cette seconde dition,lesrponsesdesexercicessetrouventlandeschapitres, alorsquelessolutionscompltessetrouventlannexeD. Deplus, landechaquechapitre dexercices, on trouvera une liste dexercices suggrs dans Klugmanet collab. (2004, 2008).Untableausynoptiquedesprincipauxrsultatsdecrdibilitexactesetrouve lannexe A. Lannexe B, prsente la paramtrisation des lois de pro-babilit utilise dans les exercices. En cas de doute, le lecteur est invit laconsulter. Il y trouvera galement lesprance, la variance et la fonction gn-ratrice des moments (lorsquelle existe) des lois de probabilits rencontresdans ce document. Enn, lannexe C contient un tableau des quantiles de laloi normaleNous tenons remercier M. Mathieu Pigeon pour sa prcieuse collabo-ration lors de la prparation de ce document, ainsi que tous les auxiliairesdenseignement ayant, au l des annes, contribu la rdaction dexerciceset de solutions.Hlne Cossette Vincent Goulet Qubec, dcembre 2007vTable des matiresIntroduction v1 Historique et volution de la thorie de la crdibilit 11.1 Lmergence de lapproche bayesienne . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Les rexions de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Et les actuaires dans tout a ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 En conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Crdibilit amricaine ou de stabilit 133 Crdibilit bayesienne 194 Modle de Bhlmann 295 Modle de BhlmannStraub 37A Formules de crdibilit exacte 41B Paramtrisation des lois de probabilit 43B.1 Distributions discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43B.2 Distributions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44B.3 Distributions composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45C Table de quantiles de la loi normale 47DSolutions 49Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Bibliographie 103vii1 Historique et volution de lathorie de la crdibilitCe chapitre est une version rvise du chapitre 1 de Goulet (1994)La personne qui mentionne quelle tudie la crdibilit obtient habituel-lement de grands yeux incrdules et interrogateurs comme seule rponse dela part de son interlocuteur, fut-il mme parfois actuaire. Pour lactuaire lacrdibilit nest souvent quun vague concept parmi tant dautres rencontrsauldesexamensprofessionnels, conceptquieutttfaitdefuirtoutesjambes sa mmoire une fois lexamen russi. Quant au non actuaire, ltudede la crdibilit ne lui apparat daucun intrt puisquil napplique habituel-lement la notion quaux personnes physiques : le juge est crdible lorsquilinterprte la loi, certains critiques de cinma sont crdibles alors que dautresle sont moins, nul politicien nest considr crdible... Pourtant, la dnitionquedonnele Petit Robertdumotcrdibilit,cequifaitquunechosem-rite dtre crue ; caractre de ce qui est croyable, est assez vaste pour laisserplace dautres interprtations.Lapopulationaccordedoncdelacrdibilitauxgens, etceselonleurnotorit, leurs ralisations, du fait dexpriences concluantes, de leur hon-ntet et leur droiture reconnues ou tout simplement par afnit. En n decompte, une personne est crdible nos yeux sil est probable que ce quelledit ou fait se ralise ou soit un succs. Par exemple, il est fort probable quelinterprtation que le juge fait de la loi soit la bonne ; ou jirai voir le nou-veau lm lafche louang par tel critique car je sais quil est probable queje laime moi aussi.On voit donc quil existe une troite relation entre les notions de proba-bilit et de crdibilit. Cest pour cette raison quavant daborder lhisto-rique de la thorie actuarielle de la crdibilit, il savrera intressant dtu-dier lvolution de lapproche probabiliste privilgie en actuariat, lapprochebayesienne. Avecenplusltudedesrexionssurlesujetduphilosopheanglais Bertrand Russell le lien entre les deux notions se clariera et la pers-pective historique nen sera que meilleure.1.1 Lmergence de lapproche bayesienneBien que Thomas Bayes eut prsent son fameux thorme dans un essaien 1763, ce nest que dans la seconde moiti des annes 1950 que la philo-12 Historique et volution de la thorie de la crdibilitsophie probabiliste base sur ce thorme gagne sufsamment dadeptes, etdonc de popularit, pour aspirer au respect. Lapproche classique monopoli-sait auparavant la foi des probabilistes et statisticiens, et cest encore aujour-dhui la philosophie enseigne en premier lieu dans les coles.Le statisticien classique1a une vision trs stricte, objective et mathma-tique de la probabilit et de lusage quil est possible den faire pour infrerun rsultat partir de donnes. Pour lui, une probabilit est essentiellementla limite dune srie de frquences relatives o la symtrie joue un rle pri-mordial : si un vnement peut connatre n ralisations diffrentes mutuel-lement exclusives et ayant une chance gale de se raliser, et si de ces rali-sations m ont lattribut A, alors la probabilit de A est m/n. Des noncs dutype il est probable que le Qubec devienne indpendant au cours des deuxprochaines annes ou il est probable quil neige demain nont donc aucunsens ses yeux. Dailleurs, les statisticiens classiques croient que leur travailse limite exclusivement lanalyse des donnes et quil ne leur appartient pasde prendre des dcisions la lumire des rsultats obtenus. Il sera expliquplus loin que, par opposition, les bayesiens voient en la prise de dcision lebut de tout travail statistique.Un autre lment majeur qui caractrise lapproche classique et cestcelui qui concerneparticulirement lathoriedelacrdibilitest lab-sence de prise en compte de toute information a priori relative au problmetudi. Onprfrelaisserlesdonnesparlerdelles-mmes. Cestcequifut lorigine de la contestation devant mener lmergence de lapprochebayesienne.LeonardJ. Savagepublieen1954(Savage, 1954)undespremierslivresconsacrs ltude de la statistique dans une optique bayesienne. Il dfendalors la vision individualiste de la probabilit (personalistic view of probability)quilqualiedeseulconceptdeprobabilit. Commesonnomlindique,cette vision tche de se rapprocher le plus possible du raisonnement humain.La probabilit devient donc un indicateur de lopinion dune personne pro-pos dun vnement et, puisquune opinion est habituellement ! sujette changement suite lajout dinformations, linfrence statistique partir denouvelles donnes constitue alors le mcanisme de rvision de lopinion. Deplus, ladhrant cette vision refuse obstinment de rejeter toute informationparallle ou a priori au problme sous prtexte que, justement, lhumain tireprot de ces informations lorsquil prend une dcision. Si la question queldegrdeconvictionpuis-jeatteindrelasuitedelajoutdecetteinforma-tion? est hors du champ de la statistique pour le statisticien classique, elleest au contraire au cur mme du problme pour lindividualiste. Ce dernierrpond dailleurs la question en utilisant le thorme de Bayes do lequalicatifdebayesien. CetalgorithmedonnelanouvelleprobabilitdunvnementA partir de sa probabilit originale et des nouveaux faits mar-quantsvenantsyrattacher. Ainsi, si Bconstituelensembledesnouveaux1. Souvent appel objectivist en anglais. Lexpression est toutefois difcile traduire adqua-tement en franais et cest pourquoi usage on utilisera le terme classique1.2. Les rexions de Russell 3faits, alorsP[A|B] = P[B|A]P[A]P[B],o P[A] est la probabilit a priori que lvnement A se ralise.De plus, les bayesiens vitent lapparente contradiction entre lobjectivitscientique et lirrationalit humaine en postulant un individu idal, cons-quent dans ses dcisions. Par exemple, cet individu, lorsque confront unchoix, choisira toujours loption la plus probable.Savage donne dans son ouvrage The foundations of statistics (1954) quelquesexpressionssynonymes, quilestsansdouteprfrabledenepastraduire,pour personal probability. Ce sont subjective probability, psychological probabilityet nalement degree of conviction. Le lecteur est invit conserver tout parti-culirement en mmoire la dernire expression. En effet, la section suivantetudie sommairement les travaux du philosophe Bertrand Russell et il seraintressantdeconstaterquelpointlestravauxdedeuxdisciplinesdiff-rentes ont su converger.1.2 Les rexions de RussellLord Bertrand Russell (1872-1970) est un minent philosophe et logicienbritannique, pacisteinvtret dont lactivitlaplusmarquanteserap-porta aux mathmatiques et la logique. Il est entre autres le fondateur dulogicisme, doctrine selon laquelle les mathmatiques seraient soumises laformalisationdelalogiqueetsyrduiraient(Le Petit Larousse).Ilfutrci-piendaire du Prix Nobel de littrature en 1950.JosephButler(16921752)disait: laprobabilitestleguidedelaviedune personne. En effet, il est raisonnable de croire que lorsque deux v-nements ou plus ont des chances de se raliser, la dcision dune personneserabasesurceluiquiseraliseraaveclaplusforteprobabilit. Maiscetype de probabilit est-il le mme que dans lnonc : la probabilit dob-tenir un double six au lancer de deux ds est de un sur trente-six ? Russellsoutient que non. Voici son raisonnement, que lont peut retrouver de faonplus exhaustive dans son ouvrage de 1948 (Russell, 1948).De toute vidence, cette dernire est la probabilit dite mathmatique, obis-sant aux axiomes de la thorie des probabilits, que lont peut grossirementrduireauquotientdedeuxnombres: lecardinal duneclassespcique(double six) et celui dune classe fondamentale (les ralisations possibles dulancer de deux ds). Elle sattarde aux noncs dordre gnral, se rfrantdesclassesanonymes. Unautreexempleserait, enassurance-vie: laprobabilit quun homme non-fumeur g de 30 ans dcde dans lanne quivient est, selon la table CSO 1958, de 0,00213. Jamais dans ces deux exemplesil nest fait rfrence une personne ou un objet en particulier.Cependant, en passant un cas particulier du genre la probabilit quejevivejusqu90ansestde60%, est-ontoujoursdansledomainedelaprobabilit mathmatique ? Au passage dun cas gnral un cas particulier4 Historique et volution de la thorie de la crdibilit(et en ne considrant pas le cas particulier comme une simple ralisation duphnomne gnral), une personne devrait tre en mesure dintgrer tous leslments dimportance sa prise de dcision. Cette masse dinformation luipermettrait alors de savoir avec certitude si oui ou non sa longvit atteindrales 90 ans. Et ds lors elle se retrouverait hors du champ de la probabilit.Bien entendu, il est pour ainsi dire impossible datteindre un tel niveaude certitude. Cest pourquoi la probabilit demeure le guide de la vie de lapersonne, parce que son devoir savre insufsant. Mais encore, si ce guide estla probabilit mathmatique, il doit tre possible de calculer et didentier laprobabilit (cest--dire la classe fondamentale), sinon le guide fait faux bonsonutilisateur !Lapersonneenqutedecetteprobabilitvalueradoncdabord elle-mme ses chances de vivre jusqu 90 ans, puis ira probablementconsulterunmdecin, oummeunevoyante, quichacunluidonnerasonavis, pasncessairement objectif. Cettepersonnenepourraquecroireentotalit ou en partie les divers jugements colligs, aussi lorsquil afrmera laprobabilit que je vive jusqu 90 ans est de 60 %, il attribuera en ralit unecrdibilit de 60 % lexpression je vais vivre jusqu 90 ans. Cest le mieuxquil pourra faire, tout le savoir de lhumain comportant une part de douteou, linverse, seulement un degr de crdibilit.Crdibilit, voildonclenomquattribueRussell cesecondtypedeprobabilit, la distinction entre la probabilit mathmatique et la crdibilitse faisait au passage du gnral au particulier. Une relation subsiste nanmoinsentre les deux notions, et cest que la probabilit mathmatique est un instru-ment de mesure de la crdibilit. De plus, toujours selon Russell, tout nonccomporte un degr de crdibilit intrinsque, si minime soit-il, car une per-sonneatoujoursuncertainbagagedeconnaissanceslui permettantdesefaire une opinion a priori. Finalement, la crdibilit peut tre augmente parlajout dinformation, le gain marginal allant en dcroissant.Cette thorie de Bertrand Russell date de 1948 (ou du moins sa publica-tion). Lnoncsommaireci-dessussuftpourconstaterquelpointcettethorie est prs de lapproche bayesienne en statistique qui commenait alors sortir de lanonymat. Cela nest pas surprenant si lon se rappelle que lesfondateursdelcolebayesienneont, commedesphilosopheslefont, basleur thorie sur le comportement humain. Ainsi, ce que Russell nomme pro-babilit mathmatique correspond en fait lapproche classique en statistiqueet il ne la considre pas comme un n en soi, mais bien comme un outil pourune prise de dcision. Cest cette prise de dcision, via la dtermination dundegr de crdibilit, qui constitue la n de lutilisation de la probabilit (oude la statistique). Dailleurs, lexpression degree of conviction propose par Sa-vage nest-elle pas synonyme de celle de Russell, degr de crdibilit ?Cependant, l o le philosophe fortie le plus la thse bayesienne, cestlorsquilsoutientquetoutnonccomporteundegrdecrdibilitintrin-squecar, cefaisant, ildfendlapportnonngligeabledelinformationapriori.1.3. Et les actuaires dans tout a ? 51.3 Et les actuaires dans tout a ?Longtemps avant lapparition de lapproche bayesienne ou mme les tho-ries de Russell, linformation a priori tait prise en compte par les actuaires.En effet, lorsquils valuaient une prime, jamais ils nauraient considr nerien connatre du risque. partir de diffrents critres, ils arrivaient au moins le regrouper avec dautres risques semblables. Toutefois, le mcanisme deprise en compte de cette information tait souvent ad hoc et mal compris la fois par les actuaires et les statisticiens. Ctait la crdibilit.Si la crdibilit a su se dvelopper et faire le bonheur de ses utilisateurspendant de nombreuses annes sans les bases statistiques de lapproche baye-sienne, il nen demeure pas moins que larrive de celle-ci marqua un virageimportant dans lvolution de la crdibilit, contribuant dailleurs en fairedavantage une thorie. Les lignes suivantes tcheront de retracer lvolutionhistoriquedelathoriedelacrdibilit, desesbalbutiementsauxdbutsdu sicle son adolescence actuelle, tout en faisant le lien avec les thoriesprsentes plus haut.La petite histoire suivante, invente par le Dr Franois Dufresne pour uncours dintroduction la thorie de la crdibilit lUniversit Laval, illustresans doute bien comment cette thorie a pu voir le jour.Verslesannes1910, auxtats-Unis, lamultinationaleGeneral Motorset le petit constructeur indpendant Tucker sont assurs chez Allstate contreles accidents de travail (workers compensation), avec quelques autres fabricantsdautomobiles. Untauxmoyenestcalculpartirdelexpriencedelen-semble de ces fabricants et cest ce taux qui est charg chacun. Or, la GMcalcule elle-mme son taux et saperoit quil serait, anne aprs anne, inf-rieur celui quon lui charge et ce, grce une exprience meilleure que celledu groupe. Exaspre par une telle situation, elle demande Allstate quonluichargesonpropretaux,cecisousprtextequesonnombredemploysimportant est un gage de stabilit de lexprience entre les annes.Les actuaires de Allstate sont intuitivement daccord avec largumentationde GM, aussi sapprtent-ils accder sa demande. Un petit problme lesfait cependant hsiter : si le nombre demploys de GM est clairement assezgros pour que lon se e son exprience et celui de Tucker trop petit pourfaire de mme, o xera-t-on la limite entre un nombre demploys able etun non able ?Il est gnralement reconnu que le premier actuaire avoir propos unesolutionauproblmedanslalittratureest ArthurH. Mowbray, danslepremier numro, des Proceedings de la Casualty Actuarial Society, en 1914(Mowbray, 1914). En supposant connue la probabilit q quun accident sur-vienne, ildsirecalculerlenombreminimaldemploysassursndetellesorte que la probabilit que le nombre daccidents ne sloigne pas de plusde 100k% de la moyenne (ou du mode2) soit suprieure 100p%. Si lon2. Mowbray privilgie la valeur la plus frquente, le mode, mais sen remet la moyenne parsimplicit et sous prtexte que ces deux valeurs sont presque gales.6 Historique et volution de la thorie de la crdibilitnote N la distribution du nombre daccidents, alors lnonc prcdent scriten langage mathmatiqueP[(1 k)E[N] N (1 + k)E[N]] p,o N Binomiale(n, q). Par la suite, lutilisation de lapproximation normalepourladistributiondeNpermet dviterlarbitrageentrelemodeet lamoyenne et dobtenir aisment une rponse.Les bases de la crdibilit de stabilit, ou limited uctuations, taient dslors poses.La solution de Mowbray tait intressante car appuye par des argumentsprobabilistes. Elleconnut dailleursdemultiplesadaptationsqui lui per-mirentderesterdactualitjusqunosjours. Moyennantladterminationdune distribution pour le nombre de sinistres, les praticiens pouvaient d-sormais rsoudre par un calcul simple le problme auquel ils faisaient face :xer un seuil dadmissibilit la pleine crdibilit.Les assurs eurent cependant tt fait de soumettre un autre problme auxactuaires. Telle que prsente jusqu maintenant, la thorie de la crdibilitnadmettait que deux niveaux : 0 et 1. Or, cette situation pouvait se traduire,pour un employeur situ tout juste sous le seuil dadmissibilit, en une diff-rence signicative dans la prime payer. De plus, la notion mme de pleinecrdibilit ne ralliait pas lensemble des actuaires, certains croyant que jamaisles donnes ne sont ables 100%.Cestpourrpondrecescritiquesquefutintroduitleconceptdecr-dibilit partielle, dont on attribue la premire vritable thorie sur le sujet Whitney (1918). Ds 1918 donc, Whitney mentionne la ncessit, par soucidquitpourlassur, depondrerdunctlexpriencecollectiveetdelautre lexprience individuelle. Lessence de la crdibilit consistait cal-culer cette pondration. au moins deux reprises dans lhistoire, la crdibilit de prcision (grea-test accuracy) a eu la chance de simposer avant la contribution de Bhlmannen 1967. La premire se trouve dans les travaux de Whitney. Dans son article,ce dernier retient quatre lments qui inuenceront la pondration donner lexprience individuelle : lexposition, le niveau de risque, la crdibilit dela prime collective et lhomognit du groupe. Dailleurs, il mentionne :Il ny aurait pas de problme dexperience rating si chaque risquedanslegroupetaittypiquedugroupe, cardanscecaslesva-riationsdanslexprienceneseraientquepurementalatoires.(Traduction libre)Or, la notion dhomognit du collectif est au cur mme de la crdibi-lit de prcision. Whitney modlise lhtrognit du collectif en supposantque les moyennes des divers risques sont distribues selon une loi normale.De l, par un dveloppement mathmatique lourd et laborieux, il obtient uneexpression pour la prime individuelle (P) de la formeP = zX + (1 z)C,1.3. Et les actuaires dans tout a ? 7oXestlexprienceindividuelleetClexpriencecollective. Cesvaleurssont pondres par le facteur de crdibilit, z, dont Whitney obtient une for-mule de la forme n/(n + K). K nest alors pas une constante arbitraire, maisbien une expression explicite dpendant des divers paramtres du modle.Par souci de simplicit, Whitney suggre cependant de xer Kcomme uneconstantedtermineraujugement demanireviterlestropgrandesuctuations entre la prime individuelle et la prime collective. Ce faisant, ilscarte dune conception de la crdibilit visant la prcision pour encoura-ger plutt celle visant la stabilit. La crdibilit de prcision meurt dans luf cause de considrations dordre pratique.Whitney fut de plus critiqu par Fisher (1919) pour avoir utilis une m-thodejugehrtiquelpoqueenstatistique, largledeBayes. Fischercite dailleurs quelques personnes faisant autorit stant prononces contrelusage de cette rgle. En fait, Whitney utilise la version la plus simple de largle, celle mme propose par Bayes3, qui suppose qua priori tous les v-nements ont une chance gale de se raliser. Cette modlisation tait appelepar ses adeptes le Principe de la raison insufsante et par ses dtracteursLhypothse de distribution uniforme de lignorance4. Dans le dveloppe-mentdeWhitney, celarevientsupposerquetouteslesvaleurspossiblespour la moyenne du groupe sont quiprobables. Les rserves de Fischer surce point taient donc justies...Il est difcile aujourdhui de mesurer limpact que la volte-face de Whit-neyenfaveurdesargumentsdestabilitapuavoirsurlapratiquedelacrdibilit. Toujours est-il que les actuaires ont utilis intensivement pendantun demi-sicle la forme z = n/(n + K) pour calculer des facteurs de crdibi-lit bass essentiellement sur la stabilit. Encore aujourdhui, cest lapprocheprivilgie aux tats-Unis. Pourtant, si les pratiques se sont quelque peu -ges, la thorie, elle, na pas cess dvoluer.LapprochedeprcisiontentenouveausachanceparlentremisedeArthur L. Bailey, et ce deux reprises (Bailey (1945) et Bailey (1950)). En 1945dabord, Bailey obtient une expression pour la crdibilit dans ce qui sembletre lunivers non paramtrique explor plus tard par Bhlmann. Seulement,une notation confuse rend le texte difcilement dchiffrable et le condamne la marginalit.Larticle de 1950 avait, lui, davantage le potentiel pour branler les acquisen thorie de la crdibilit. Bailey dbute son article en relevant les confron-tations historiques entre statisticiens et actuaires au sujet de la crdibilit. Onapprend alors quil y a plus de trente ans, la polmique au sujet de la crdibi-lit tait la mme que de nos jours : les statisticiens purs crient au scandale,estimant les mthodes actuarielles contraires toute thorie statistique, et lesactuaires leur rpondent que peut-tre, mais a fonctionne ! Le point ma-jeur de discorde est lutilisation par les actuaires de la rgle de Bayes. Ainsi,Bailey (1950) crit :3. Selon Bailey (1950).4. Principe of insufcient reason et Assumption of the equal distribution of ignorance.8 Historique et volution de la thorie de la crdibilitPrsentement, presque toutes les mthodes destimation prsen-tes dans les livres de mthode statistiques ou enseignes dans lesuniversits amricaines sont bases sur un quivalent de lhypo-thse selon laquelle toute information parallle ou connaissancea priori est inutile. (...) Des philosophes [Russell] ont rcemmenttudilacrdibilitaccorderdiverslmentsdesavoir, re-mettant par consquent en doute la philosophie adopte par lesstatisticiens. Par contre, il semble que ce ne soit que dans le do-mainedelactuariatquonaitassistunerellervoltecontrela mise de ct de tout savoir a priori au moment destimer unequantit laide de nouvelles donnes. (Traduction libre)Baileyseprononcedoncclairement enfaveurdelaphilosophiebaye-sienne. Il semble mme quil fut le premier en dfendre si nergiquementla pertinence dans le processus de tarication. Mais ceci, fait-il remarquer, condition dutiliser une gnralisation de la rgle de Bayes, faite par Laplaceen1820, demanireviterlecontroversPrincipedelaraisoninsuf-sante. CettegnralisationrendlargledeBayesapplicablemmesi lesvnements nont pas a priori une chance gale de se raliser.partir decesprmisses, Baileydmontrequenminimisant lerreurquadratiquedansuncontextebayesien, lestimateurobtenuest unefonc-tion linaire des observations5qui correspond exactement la prime de cr-dibilit,etcepourlescombinaisonsdedistributionsbinomiale/bta,Pois-son/gamma et normale/normale. Il est possible den dduire un facteur decrdibilit encore une fois de la forme z = n/(n + K) o K est une combinai-son des paramtres du modle. Contrairement Whitney, Bailey ne proposepas dvaluer K au jugement, mais bien de sen tenir lexpression dvelop-pe algbriquement.De plus, conscient que la procdure utilise est une modlisation de lh-trognit dun groupe, Bailey mentionne pour la premire fois que la crdi-bilit pourrait tre utilise hors du domaine de lassurance gnrale. Malheu-reusement pour Bailey, le manque de popularit de lapproche bayesienne ausein de la communaut statistique au moment de la parution relguera sonarticle dans lombre. Sans doute lapproche trs thorique de larticle, pu-bli dans une revue essentiellement de praticiens, aura-t-elle aussi contribucet tat defait. Pourtant, dansunavenirpassi lointain, lestravauxdeBaileyserontreconnuspourleurimportanceetleuravant-gardisme. Cettereconnaissance proviendra cependant majoritairement doutre-Atlantique.Lapport de Bailey la thorie de la crdibilit peut tre rsum en deuxpoints principaux : lintroduction explicite du principe de Bayes dans le pro-cessus de tarication et la dcouverte de la linarit de lestimateur bayesiensouscertainesconditions6Cesdveloppementsparvinrentauxoreillesde5. De la forme c0 +i,jcijXij.6. Sur ce point toutefois, il est difcile de savoir qui fut le pionnier. Norberg (1979) relvequeKeffer(1929)aobtenulemmersultatpourlemodlePoisson/gamma. ToujoursselonNorberg, il existerait aussi des rfrences antrieures 1929.1.3. Et les actuaires dans tout a ? 9lacommunautactuarielleeuropenneparlabouchedeBrunodeFinettiau colloquede ASTIN Trieste,en 1963.Depuis quelques annesdj, leschercheurs europens tchaient de trouver une justication thorique cesformulesdecrdibilitamricainesqui fonctionnaient si bien. Lapprochebayesienneavait laussi fait desprogrsimportants, notamment grceBruno de Finetti dans les annes 30 et Ove Lundberg dans les annes 40.Paralllement tout cela, une nouvelle branche de la thorie bayesiennevoyait le jour sous linitiative de Herbert Robbins : lapproche bayesienne em-pirique. Celle-ci sera dune importance capitale dans le dveloppement futurde la crdibilit de prcision puisquelle lui permettra de sauter le mur entrelathorieetlapratique. Lapprochebayesienneempirique(Robbins, 1955,1964) sattaqueauprincipal problmepratiquedelapprochebayesiennepure, soit la frquente ignorance de la distribution a priori. Jusqualors, lors-quune telle situation se prsentait, il tait coutume dviter le problme enrfutant laspect alatoire dune partie de la dcision (Neyman, 1962). Gros-sirement, la thse de Robbins consiste supposer que, bien quelle soit in-connue, la distribution a priori existe et quil est possible de lestimer neserait-ce quindirectement partir de donnes issues de plusieurs exp-riences similaires. Selon lui (Robbins, 1964) :Lapprochebayesienneempiriquedeproblmesstatistiquesdeprise de dcision est applicable lorsque la mme dcision se pr-sente rptition et indpendamment avec une distribution xe,mais inconnue du paramtre. (Traduction libre)Comme devait plus tard le mentionner Bhlmann, cela cadre admirable-ment bien avec le problme de lexperience rating.TousceslmentslestravauxdeBailey, lapopularitgrandissantedes approches bayesienne et bayesienne empirique taient runis lors ducongrs de ASTIN de 1965, Lucerne. Hans Bhlmann y rednit alors leproblmefondamentalenexperience ratingetprsentelasolutionquiallaitrvolutionner la thorie de la crdibilit. En forant la prime bayesienne trelinaire, Bhlmann (1967, 1969) obtient, dans un cadre non paramtrique, unfacteur de crdibilit de la forme z = n/(n + K), avec une expression simpleet gnralepourK. Levirageseraalorsdnitivement prisenfaveurdelapproche de prcision et lessentiel de la recherche se fera en Europe. Cestpourquoi lapproche traitant lhtrognit est aujourdhui souvent appelecrdibilit europenne malgr quelle origine des tats-Unis (notammentdans les travaux de Bailey). Lapproche de stabilit, limited uctuations, a parconsquent reu lappellation crdibilit amricaine.On peut sans crainte poser que le clbre modle de Bhlmann marqueledbutdelhistoirecontemporainedelathoriedelacrdibilit.Celle-citant bien davantage documente et connue, on va maintenant se contenterde prsenter chronologiquement les principaux modles qui suivirent celuideBhlmann7. Laplupartdecesmodlesseveulentdesgnralisations,7. La liste ne comporte que les principaux modles et nest donc en rien exhaustive.10 Historique et volution de la thorie de la crdibilitde plus en plus pousses, du modle original de Bhlmann et bon nombredentres eux seront tudis ultrieurement dans ce mmoire.Le modle de Bhlmann se dcompose lui-mme en deux parties commu-nment appeles modle original et modle classique. Le premier poseles bases de la nouvelle thorie, tandis que lapport de la thorie bayesienneempirique fait du second un modle plus pratique. La premire gnralisa-tion de ces modles voit le jour en 1970, alors que Bhlmann sadjoint sontudiant au doctorat Erwin Straub pour dvelopper le trs clbre modle quiportera leurs noms (Bhlmann et Straub, 1970). Lajout de poids aux donneset la dnition destimateurs des paramtres de structure constituent les prin-cipales amliorations au modle de Bhlmann. Elles sont toutefois de tailleet permettront la crdibilit de prcision de vritablement faire une percedanslapratiquedelassurance. LemodledeBhlmannStraubconstitueencore aujourdhui un standard et est couramment utilis dans les compa-gnies dassurance, en Europe surtout.En1974,Jewellfaitlapremiredesesdeuxplusgrandescontributionsau dveloppement de la thorie de la crdibilit. Il dmontre (Jewell, 1974)que lestimateur bayesien est linaire pour toute fonction de vraisemblancemembre de la famille exponentielle utilise avec sa conjugue naturelle. Cefaisant, Jewell ne fait que conrmer certains des rsultats obtenus avant luipar Bailey (1950) et Mayerson (1964), mais les unie en une formulation g-nrale.Les deux annes suivantes furent fastes pour la thorie de la crdibilit.Dabord, Hachemeister (1975) gnralise le modle de BhlmannStraub enincorporant la rgression linaire la thorie de la crdibilit de prcision.Plus tard, on poussera mme cette ide un peu plus loin en tudiant la r-gression non-linaire (De Vylder, 1985). Puis, non satisfait de la manire qualemodledeBhlmannStraubdintgrerlaprimelesdonnescollat-rales, Jewell (1975) prsente sa solution : la crdibilit hirarchique. Ce quiest maintenant appel le modle hirarchique de Jewell constitue une impor-tantegnralisationdeplusieursmodlesdecrdibilit. Toujoursen1975,Gerberet Jones(1975) dnissent lespropritset lesconditionsmenantdesprimesdecrdibilitdetypemisejour(updatingtype). En1976,(De Vylder, 1976b) prsente ses modles de crdibilit semi-linaire et semi-linaire optimal. La mme anne, il propose une formulation du problmede la crdibilit en termes despaces de Hilbert (De Vylder, 1976a). Norberget Taylor (1977) se sont galement intresss ltude de la thorie de la cr-dibilit dans le cadre abstrait des espaces de Hilbert. Norberg (1979) a publiun imposant article rvisant lessentiel de la thorie de la crdibilit connujusqualors. Il sagit, encore aujourdhui, dune rfrence de choix pour quidsire approfondir des connaissances de base en thorie de la crdibilit.Si lesannes70furentcellesdelapparitiondenombreuxmodlesdecrdibilit de prcision, les annes 80 furent plutt celles de ltude des esti-mateurs des paramtres de structure. De Vylder (1978, 1981, 1984) sest alorsavrunacteurimportant, demmequeNorberg(1980), Gisler(1980) etDubey et Gisler (1981). On doit ces derniers la premire tude exhaustive1.4. En conclusion 11despropritsasymptotiquesdesestimateursdevariancedanslemodledeBhlmannStraub. Ladcouvertedenouveauxestimateursetleurma-trise va permettre la plus large diffusion de la crdibilit de prcision. Desvolumessurlesujetsontpublis(Goovaertsetcollab., 1990)dontcertains(Goovaerts et Hoogstad, 1987) sont expressment destins aux actuaires u-vrant dans les compagnies dassurance. De nombreux articles importants enthorie de la crdibilit sont publis par des chercheurs au service de com-pagniesdassurance: mentionnonsStraub, Sundt, Dubey, Gisler, Reinhardou mme Goovaerts, titre de consultant. Cela contribue donc populariserlutilisation de la thorie dans des applications pratiques.Lapriodestendantdumilieudesannes80jusquaudbutdesan-nes 90 a t marque par un ralentissement dans la recherche en thorie delacrdibilit.Aucoursdesderniresannescependant,onnoteunregaindintrtpourlarecherchedestimateursdesparamtresdestructureplusefcacesetdontlespropritsseraientdavantageconnues. Ainsi, Knsch(1992) et Gisler et Reinhard (1993) introduisent la statistique robuste en tho-rie de la crdibilit, ce qui ouvre par le fait mme un nouveau et vaste champde recherche. De leur ct, De Vylder et Goovaerts, toujours trs actifs dans ledomaine, proposent dans une srie darticles des estimateurs optimaux souscertaines conditions (De Vylder et Goovaerts, 1991, 1992a,b). Des recherchessont prsentement en cours desquelles, nous promet-on, devraient ressortirdetoutesnouvellesfaonsdetrouverdesestimateurspourlesprincipauxmodles de crdibilit.La grande majorit des intresss la thorie de la crdibilit se rallientau modle de base propos par Bhlmann de mme qu ses extensions. Deplus, lhistorique trac ci-dessus correspondant ce qui est gnralement ad-mis dans le domaine. une exception prs semble-t-il : Zehnwirth (1991) qui,sans renier les travaux de Bhlmann, a une manire bien lui de concevoiret prsenter la thorie de la crdibilit de prcision. Selon lui, les formulesde crdibilit sont si troitement lies la rgression linaires quelles nenseraient que de simples drivs. Karl Friedrick Gauss tant lorigine de cer-tains types de formules de rgression, Zehnwirth en arrive la conclusionsuivante : cela signie que Gauss (1795) a driv la plupart des formules decrdibilit.1.4 En conclusionCe chapitre sest ouvert sur une prsentation de lapproche bayesienne enstatistiques. Celle-ci allait en quelque sorte devenir le dnominateur commundes deux thories par la suite tudies, celle de Bertrand Russell et la thorieactuarielle de la crdibilit. Ce pont permet lintressante comparaison de ladnitiondonneparRussellaumotcrdibilitsasignicationactua-rielle. On voit ainsi quen actuariat comme dans la philosophie de Russell,la crdibilit apparat lors du passage du gnral au particulier, soit lors dela tarication dun assur pris isolment et non plus comme simple membre12 Historique et volution de la thorie de la crdibilitdun groupe. Le traitement de linformation a priori ainsi que le gain margi-nal de crdibilit dcroissant en thorie de la crdibilit de stabilit ou lacrdibilit de prcision. L nen est pas le bus de toute faon, puisque cha-cune de ces deux thories est valable en soi, seuls leurs buts tant diffrents.Au dbut de la section prcdente, il a t mentionn que la thorie dela crdibilit en tait son adolescence. Ce nest l que lopinion de lauteur,quil justie en mentionnant quil serait prmatur de croire que la thorie aatteint sa pleine maturit. Le rcent regain dintrt pour le sujet de la partdes chercheurs en tmoigne dailleurs et dmontre que son potentiel nest paspuis. De plus, constatant quel point la thorie est galvaude en Amriquedu Nord, force est dafrmer que pour prtendre la majorit, la crdibilitdevra dabord savoir safrmer dans ses diffrentes facettes.2 Crdibilit amricaine ou destabilit2.1Le montant total des sinistres, S, a une distribution binomiale composedeparamtresn = 1 000et = 0,6. Ladistributiondumontantdessi-nistres est une log-normale de paramtres = 3 et = 4. Calculer E[S] etVar[S].2.2Sachant que le nombre de sinistres a une distribution binomiale ngativede paramtres n = 4 et = 0,5 et que la svrit dun sinistre a une dis-tribution gamma de paramtres = 2 et = 0,5 calculer lesprance et lavariance du montant total des sinistres, S.2.3Interprter lingalit suivante :Pr [0,96E[S] S 1,04E[S]] 0,95.2.4Driveruneformulegnralepourdterminerleniveaudecrdibilitcomplte dordre (k, p) pourS = (S1 + +Sn)/n lorsque la distributiondu montant total des sinistres est une Poisson compose.2.5Soit N Poisson(256), X Pareto(3, 0,05) et S = X1 + + XN.a) Quelleest lapluspetitemargederreuradmissibleautourdeE[S]faisant toujoursensortequeSaunecrdibilitcomplte90%?Interprter brivement le rsultat.b) Quelleest lapluspetitemargederreuradmissibleautourdeE[ S]faisant toujours en sorte queS a une crdibilit complte 90 % aprs10 annes ?2.6Dans son article de 1914, Mowbray cherche dterminer le nombre mini-mal demploys (payroll exposure) quun employeur doit avoir sous contratpourquesonexpriencepuissetreconsidrecompltementcrdible(dependable).Mowbraysupposequelafrquencedesaccidentschezunemployeur suit une distribution binomiale de paramtres n le nombredemploys et la probabilit quun employ ait un accident (sup-pose connue). Trouver la formule donnant le nombre demploys assu-rant une crdibilit complte dordre (k, p).1314 Crdibilit amricaine ou de stabilit2.7SachantquelavariablealatoireSdelexpriencedescontratsobitune loi N(, 2), trouver, pour une priode dexprience, la relation entreet pouravoirunecrdibilitcompltedordre(k, p)pourchacunedes combinaisons de k et p suivantes.a) (0,04, 0,95)b) (0,05, 0,90)c) (0,01, 0,98)2.8Sachant que S N(, 2) etS = (S1 + +S9)/9, o S1, . . . , S9 sont toutesdes variables alatoires mutuellement indpendantes distribues commeS, dterminer la relation entre et faisant en sorte queS a une crdi-bilit complte dordre(k, p)pour chacune des combinaisons deket psuivantes.a) (0,05, 0,90)b) (0,05, 0,95)c) (0,01, 0,90)d) (0,01, 0,95)2.9Juliette travaille au dpartement de tarication dune compagnie dassu-rancetrsactiveenassuranceautomobile. lasuiteduneanalysededonnes exhaustive, Juliette peut afrmer que la frquence des sinistrespour ce type de produit a une distribution binomiale ngative de para-mtresret = 0,01. Lasvritdessinistres, quantelle, suituneloigamma de paramtres = 0,02 et = 1. Trouver la plus petite valeur dertelle que le montant total des sinistres dun contrat dassurance auto-mobile sera plus ou moins 5 % gal sa moyenne, 19 fois sur 20.2.10SoitSjlemontanttotaldessinistrespourunassurlapriodej =1, . . . , n tel queSj = X1 + X2 + + XNj,o X1, X2, . . . sont les montants individuels des sinistres dont la distri-bution est dgnre en M et Nj suit une loi de Poisson de paramtre .Calculer le nombre total de sinistres espr minimal pour accorder unecrdibilit complte dordre (0,04, 0,90) lexprience individuelleS.2.11SoitSjlemontanttotaldessinistrespourunassurlapriodej =1, . . . , n et SjPoisson compose(, FX()). Le montant dun sinistre in-dividuel aunevariancede100etuneesprancede5. Dterminerlenombre minimal espr de sinistres pour accorder une crdibilit com-plte selon les critres ci-dessous.a) Le montant total des sinistres demeure 3 % ou moins du montantespr avec une probabilit de 95 %.b) Lenombretotaldesinistresdemeure3%oumoinsdunombreespr avec une probabilit de 95 %.Crdibilit amricaine ou de stabilit 152.12Une compagnie assure deux groupes ayant la mme loi de Poisson pourla frquence de leurs sinistres individuels. Cependant, les individus dugroupe A ne peuvent avoir que des sinistres de 50 alors que les individusdu groupe B ont des sinistres obissant une loi gamma de moyenne50. Silonsaitquelobservationde1000sinistresestsufsantepouraccorderunecrdibilitcomplteaugroupeAetque3000sinistressont ncessaires pour accorder une crdibilit complte de mme ordreau groupe B, calculer les paramtres de la loi gamma en question.2.13Dans un modle Poisson compose, on accorde une crdibilit compltedordre(0,05, p) au nombre total de sinistres si le nombre de sinistresobserv est suprieur 1 000. Quel doit tre le nombre de sinistres mini-mal que lon doit observer pour accorder une crdibilit dordre (0,25, p)au montant total des sinistres si le montant dun sinistre individuel suitune loi Gamma(2, 2) ?2.14Poursescalculsrelatifsladmissionaurgimertrospectif, laCSSTpeut nemployer que la frquence des sinistres, ou encore la frquenceainsi que la svrit. Dans le premier cas, le nombre minimal demployspour tre admissible au rgime rtrospectif est de 6 494 en supposantque la probabilit davoir un accident est de 0,04. Sachant que le coef-cient de variation de la svrit des sinistres est de 2, que devient leseuil dadmissibilit lorsque la svrit est galement prise en comptedans les calculs ?2.15Le montant total des sinistres a une distribution Poisson compose oles montants de sinistres individuels proviennent dune loi Pareto de pa-ramtres = 3 et = 100. Lorsque la largeur de lintervalle de conanceautour de la moyenne est 5 % de celle-ci, le seuil de crdibilit complteest 2 500. On dcide de changer la distribution de la frquence des si-nistres pour une binomiale ngative avec =0,5. Si le seuil de crdibilitcomplte et le niveau de conance de lintervalle autour de la moyennedemeurent tous deux inchangs, quelle est la nouvelle largeur de lin-tervalle de conance ?2.16On vous donne les renseignements suivants :(i) S = Nj=1Xjet les variables alatoires Xjsont mutuellement ind-pendantes et indpendantes de N.(ii) XjPareto(3, 3)(iii) N Binomiale ngative(r, 1/3).Calculer la valeur minimale de r pour que lon puisse accorder une cr-dibilit complte dordre(0,05, 0,90) S. Utiliser lapproximation nor-male.2.17Soit S la variable alatoire du montant total des sinistres pour un porte-feuille dassurance. Sachant que S Poisson compose(, FX()), trou-ver le seuil de crdibilit complte en termes du nombre espr de si-nistres selon les hypothses de distribution suivantes.16 Crdibilit amricaine ou de stabilita) Pr[X = 1] = 1 (dgnre en 1), k = 0,05 et p = 0,90.b) X Exponentielle(2), k = 0,04, p = 0,95.c) Si le seuil de crdibilit complte selon les conditions en b) nest pasatteint, quelfacteurdecrdibilitpartielleaccorderait-onSpourune priode dexprience (en fonction de ) ?2.18Lactuaire de la compagnie ABC croit quil faudrait 3 000 sinistres pouraccorder une crdibilit complte un assur dun groupe si la svritestconstante. Aprsunetude, ilserendcomptequelasvritsuitplutt une loi de Pareto de moyenne 1 000 avec = 3. Si le nombre desinistres obit une loi de Poisson, combien de sinistres doit-on avoirobserv si lon a accord, aprs une priode dexprience, une crdibilitde 0,5 lexprience individuelle de lassur ?2.19On vous donne les informations suivantes :(i) Le nombre de sinistres suit une loi de Poisson.(ii) Lemontantdessinistresaunedistributionlog-normaleavecuncoefcient de variation de 3.(iii) Le nombre et les montants de sinistres sont indpendants.(iv) Le nombre de sinistres la premire anne fut de 1 000.(v) Lemontanttotaldessinistreslapremireannefutde6,75mil-lions.(vi) La prime collective pour la seconde anne est de 5,00 millions.(vii) Le volume du contrat est le mme pour la premire et la secondeanne.(viii) Le niveau de crdibilit complte assure que le montant total dessinistres sera 5 % de la moyenne 95 % du temps.Dterminerlaprimedecrdibilit(partielle)selonlapprochedecr-dibilitdestabilit. Calculerleniveaudecrdibilitcompltesurlenombre dannes dexprience et utiliser la formule de la racine carrepour calculer le facteur de crdibilit.2.20On vous dit que S Poisson compose(, FX()). La frquence annuelleespre des sinistres est value 0,035. La grandeur minimale du por-tefeuille de lassureur pour accorder une crdibilit complte lexp-rience est 103 500. Pour accorder une crdibilit de 0,67 lexpriencedune priode, quelle doit tre la grandeur minimale du portefeuille ?2.21Les contrats dune compagnie dassurance pour un certain type de pro-duit ont les caractristiques ci-dessous.Nombre de sinistres Montant des sinistresEsprance 10 5 000Variance 10 6 250 000Crdibilit amricaine ou de stabilit 17Une crdibilit complte est accorde lexprience dun contrat aprsn annes si celle-ci se concentre dans un intervalle de 10 % autour de samoyenne avec probabilit de 90 %. Dterminer aprs combien dannesdexprience le facteur de crdibilit partielle sera de 0,54 selon chacunedes formules de crdibilit partielle ci-dessous.a) z =_ nn0_1/2b) z =_ nn0_2/3Exercices proposs dans Loss Models2edition : 16.7, 16.10, 16.11, 16.12, 16.13, 16.15, 16.16.3edition : 20.1, 20.4, 20.5, 20.6. 20.7, 20.9, 20.10.Rponses2.1E[S] = 89 047, Var[S] = 713 633 0422.2E[S] = 16, Var[S] = 1602.3On veut tre certain au moins 95 % que lexprience individuelle dunassur ne varie pas de plus de 4 % autour de la prime pure ; on veut unecrdibilit complte dordre (0,04, 0,95).2.4n 1(/2/k)2(1 + CV(X)2)2.5a) k 0,2056 b) k 0,0652.6n (/2/k)2(1 )/2.7a) 49 b) 32,9 c) 232,62.8a) 10,97 b) 13,07 c) 54,83 d) 65,332.9r 2 328,242.101 6922.11a) 21 343 sinistres b) 4 269 sinistres2.12 = 1/2, = 1/1002.1360 sinistres2.1433 5522.1513 9752.16r 3247,2318 Crdibilit amricaine ou de stabilit2.17a) 1 082 b) 4 802 c)/4 8022.183 000 sinistres2.195,452.2046 4622.21a) 9,86 annes b) 13,42 annes3 Crdibilit bayesienne3.1Unportefeuilledassuranceautomobileestcomposde35%debonsconducteurs, 40 % de conducteurs moyens et 25 % de mauvais conduc-teurs. Lactuaireaestimquelesbonsconducteursont, enmoyenne,unaccidentpar10ans, lesconducteursmoyens, deuxaccidentsetlesmauvaisconducteurs, sixaccidents. Lactuairesupposedeplusquelafrquence des accidents a une distribution de Poisson. Par souci de sim-plicit, les sinistres sont tous dun montant de 1.a) Quelle est la probabilit quun assur choisi au hasard ait un accident ?b) Calculer la prime de risque pour chacun des trois types de conduc-teurs.c) Calculer la prime collective.d) Calculer la prime bayesienne de sixime anne dun contrat ayant ledossier suivant au cours des cinq premires annes : 1, 0, 1, 1, 0.3.2Le Zchoulp se joue avec deux ds six faces. Le premier est un d usuel,dont les faces sont numrotes de 1 6. Le second d a deux faces num-rotes 5 et les autres numrotes de 1 4.a) Un d est choisi au hasard et lanc. Quelle est la probabilit dobtenirun 5 ?b) Si le rsultat du lancer en a) est un 5 et que le mme d est relanc,quelle est la probabilit dobtenir nouveau un 5 ?3.3Deuxurnescontiennentchacuneunepicedemonnaie. Lapicedanslurne A tombe sur face 40 % des fois et celle dans lurne B, 80 % des fois.On choisit une urne au hasard (la probabilit de choisir lurne A est lamme que celle de choisir lurne B) et on prend la pice qui sy trouve.On lance la pice en lair cinq fois et elle retombe sur pile quatre fois. Silon lance la pice cinq autres reprises, quel est le nombre espr de foisque la pice retombera sur pile ?3.4Les employeurs couverts par le rgime dassurance mdicament dun as-sureur sont classs par ce dernier dans trois groupes de taille gale. Laprobabilitdesubirunsinistredansunepriodepourchacundecesgroupes est donne dans le tableau ci-dessous.1920 Crdibilit bayesienneGroupe Probabilit de sinistreFrquence faible 10 %Frquence moyenne 20 %Frquence leve 40 %Lassureur suppose de plus que les sinistres sont indpendants lint-rieur de chacun des groupes.a) Quelleestlaprobabilitquunemployeurchoisiauhasarddansceportefeuille ait un sinistre ?b) Aprs deux annes dexprience, lemployeur choisi en a) prsente undossier de sinistre vierge. la lumire de ces rsultats, quelle est laprobabilit que cet employeur fasse partie du groupe frquence desinistre faible ?c) Quelleestmaintenantlaprobabilitquelemployeurmentionnci-dessus ait un sinistre lors de la troisime anne ?3.5On souhaite tester si une pice de monnaie est quilibre ou non (proba-bilit de12 de tomber sur pile ou face). Lincertitude quant la probabilit dobtenir, disons, pile lors dun lancer de la pice est traduite en une va-riable alatoire . Celle-ci est distribue selon une loi Bta de paramtres >0 et >0.a) Trouver E[].b) La pice de monnaie est lance nfois. La variable alatoire Srepr-sente le nombre de fois que la pice est tombe sur face. Trouver ladistribution a posteriori de .c) Une petite exprience pratique maintenant, aussi ludique quenrichis-sante. Jouer pile ou face une bonne dizaine de fois avec une picequelconque. Enregistrer unevaleur de0pour pileet 1pour face.Aprs chaquelancer, calculer la distributiona posteriori deet enfaire un graphique approximatif. On peut aussi utiliser les fonctionscurve et dbeta de R pour faire les graphiques. Par exemple, pour tra-cer la densit dune bta avec = 4 et = 2 on fera>curve(dbeta(x,4,2),from=0,to=1)Observer lesdplacementsdeladensitenfonctiondesrsultats.Commencer lexprience avec = = 1, soit U(0, 1).d) Quelle est votre estimation de la probabilit dobtenir pile au onzimelancer de la pice si vous ignorez les rsultats des dix premiers lan-cers ?e) Quelle est maintenant votre estimation si vous connaissez les rsultatsdes dix lancers effectus en c) ?3.6Votre opinion a priori quant la distribution du montant des sinistres estune loi de Pareto de paramtres = 10 et = 1, 2 ou 3, ces valeurs deCrdibilit bayesienne 21tant toutes quiprobables. Pour un contrat choisi au hasard, vous obser-vez par la suite un sinistre dun montant de 20. Dterminer la probabilitque le montant du prochain sinistre de ce contrat soit suprieur 30.3.7OndemandeCamilledlaborer unmodlepour lafrquencedessinistresauseindunportefeuillecomposdedixcontrats. Incertainequant la probabilit davoir un accident, Camille estime 20 % la pos-sibilit que la probabilit soit de 0,04, 60 % quelle soit de 0,10 et 20 %quelle soit de 0,16.a) Quel est le modle de Camille pour N, le nombre total daccidents duportefeuille au cours dune anne ?b) Quelle est la probabilit quil y ait 0, 1 et 2 accidents au cours duneanne ?c) Comparer ces rsultats avec la situation o Camille serait certaine quela probabilit daccident est de 0,10.3.8Soit S| Gamma(2, ) et 1Bta(2, 1). Trouver Var[S].3.9Soit S la variable alatoire reprsentant le nombre de sinistres dun contratdassurance au cours dune anne. Le nombre de sinistres a une distri-butiondePoissondeparamtreinconnu. Lafonctiondedensitdeprobabilit de est la suivante :u() = 5412, 1 < 0.Pr[X = x] =xex!, x = 0, 1, . . .E[X] = Var[X] = M(t) = e(et1)B.2 Distributions continuesB.2.1 Bta(, )Paramtres : >0, >0. Cas spcial : Uniforme(0, 1) lorsque = = 1.f (x) =( + )()() x1(1 x)1, 0 < x 0, > 0. Cas spciaux : Exponentielle() lorsque = 1,2(r) lorsque = r/2 et = 1/2.f (x) =() x1ex, x >0E[X] =Var[X] =2M(t) =_ t_B.2.3 Normale(, 2)Paramtres : < < , 2>0.f (x) =12exp_(x )222_, < x < E[X] = Var[X] = 2M(t) = et+2t2/2B.3. Distributions composes 45B.2.4 Log-normale(, 2)SiX Normale(, 2), alors Y = eX Log-normale(, 2). Paramtres :< < , 2>0.f (x) =121x exp_(lnx )222_, x >0E[X] = e+2/2Var[X] = e2+2(e21)B.2.5 Pareto(, )Paramtres : >0, >0.f (x) =(x + )+1, x >0E[X] = 1, >1Var[X] =2( 1)2( 2), >2B.2.6 Pareto gnralise(, , )Paramtres : >0, >0, >0. Cas spcial : Pareto(, ) lorsque = 1.f (x) =( + )()()x1(x + )+ , x >0E[X] = 1, >1Var[X] =2( + 1)( 1)2( 2), >2B.3 Distributions composesSoit S = X1 + + XN, o X1, . . . , Xn sont des variables alatoires mutuel-lement indpendantes, identiquement distribues et toutes indpendantes deN. On a toujoursE[S] = E[N]E[X]Var[S] = Var[N]E[X]2+ E[N]Var[X].46 Paramtrisation des lois de probabilitB.3.1 Binomiale compose(n, , FX())Distribution de S lorsque N Binomiale(n, ) et Pr[X x] = FX(x).E[S] = nE[X]Var[S] = n(1 )E[X]2+ nVar[X]B.3.2 Binomiale ngative compose(r, , FX())DistributiondeSlorsque N Binomiale ngative(r, ) et Pr[X x]=FX(x).E[S] = r(1 )E[X]Var[S] = r(1 )2E[X]2+ r(1 )Var[X]B.3.3 Poisson compose(, FX())Distribution de S lorsque N Poisson() et Pr[X x] = FX(x).E[S] = E[X]Var[S] = E[X2]C Table de quantiles de la loinormalePr[X x] = (x) =_x12ey2/2dy(x) = 1 (x)x (x) x (x) x (x)0,00 0,500 1,10 0,864 2,05 0,9800,05 0,520 1,15 0,875 2,10 0,9820,10 0,540 1,20 0,885 2,15 0,9840,15 0,560 1,25 0,894 2,20 0,9860,20 0,579 1,282 0,900 2,25 0,9880,25 0,599 1,30 0,903 2,30 0,9890,30 0,618 1,35 0,911 2,326 0,9900,35 0,637 1,40 0,919 2,35 0,9910,40 0,655 1,45 0,926 2,40 0,9920,45 0,674 1,50 0,933 2,45 0,9930,50 0,691 1,55 0,939 2,50 0,9940,55 0,709 1,60 0,945 2,55 0,9950,60 0,726 1,645 0,950 2,576 0,9950,65 0,742 1,65 0,951 2,60 0,9950,70 0,758 1,70 0,955 2,65 0,9960,75 0,773 1,75 0,960 2,70 0,9970,80 0,788 1,80 0,964 2,75 0,9970,85 0,802 1,85 0,968 2,80 0,9970,90 0,816 1,90 0,971 2,85 0,9980,95 0,829 1,95 0,974 2,90 0,9981,00 0,841 1,96 0,975 2,95 0,9981,05 0,853 2,00 0,977 3,00 0,99947DSolutionsChapitre 2Remarques1. An dviter toute confusion avec le facteur de crdibilit, le 100(1 )equantile dune loi normale centre rduite est not , cest--dire quePr[Z > ] = ,o Z N(0, 1).2. Dans les discussions sur la crdibilit complte de niveau(k, p), on posetoujours = 1 p.2.1On a S = X1, . . . , XN avec NBinomiale(1 000, 0,6) et XLog normale(3, 4),do E[N] = (1 000)(0,6) =600, Var[N] = (1 000)(0,6)(1 0,6) =240, E[X] =e3+4/2= e5et Var[X] = e23+4(e41) = e10(e41). Alors,E[S] = E[N]E[X]= 600e5= 89 047Var[S] = E[N]Var[X] + Var[N]E[X]2= 600e10(e41) + 240e10= 713 633 042.2.2On a E[S] = E[N]E[X] et Var[S] = E[N]Var[X] + E[X]2Var[N]. Or, E[N] =4(0,5)/(1 0,5) = 4, Var[N] = 4(0,5)/(1 0,5)2= 8, E[X] = 2/0,5 = 4 etVar[X] = 2/0,52= 8, doE[S] = (4)(4) = 16etVar[S] = (4)(8) + (42)(8) = 160.4950 Solutions2.4Puisque E[ S] = E[S] et Var[S] = Var[S]/n, lingalitPr [(1 k)E[ S] S (1 + k)E[ S]] pest satisfaite lorsquen _/2k_2Var[S]E[S]2.Dans le cas dune Poisson compose, E[S] =E[X] et Var[S] =(Var[X] +E[X]2). Ainsi,n _/2k_2Var[X] + E[X]2E[X]2=1_/2k_2_1 + Var[X]E[X]2_=1_/2k_2(1 + CV(X)2),o CV(X) est le coefcient de variation de X.2.5 a) On sait que dans le cas dune Poisson compose, la crdibilit com-plte est donne par _/2k_2_1 + Var[X]E[X]2_.OnaE[X] = /( 1) = 1/40etVar[X] = 2/(( 1)2( 2)) =3/1 600. Commeonexigeunniveaudecrdibilitde90%, /2=1,645. En isolant k dans la formule, on obtientk 1,645256_1 + 3/1 6001/1 600= 0,2056 = 20,56 %.On obtient une grande valeur de k parce que la distribution du mon-tant des sinistres est trs asymtrique. Pour obtenir une valeur de kplus usuelle (de lordre de 5 %), il faudrait augmenter le paramtrede Poisson, de manire sommer un plus grand nombre de lois dePareto.b) De manire similaire, mais en utilisant plutt la formulen 1_/2k_2_1 + Var[X]E[X]2_obtenue lexercice 2.4 avec n = 10, on obtientk 12561,64510_1 + 3/1 6001/1 600= 0,065 = 6,5 %.Solutions 51La marge derreur est plus petite quen a) puisque la distribution deSaprs 10 annes est le rsultat de la somme dun beaucoup plus grandnombre de sinistres.2.6On a un cas binomiale pure, cest--dire S Binomiale(n, ). partir dela formule gnraleE[S] _/2k__Var[S]et avec E[S] = n et Var[S] = n(1 ), on obtientn _/2k_21 .2.7Dans un tel cas normale pure, la formule gnraleE[S] _/2k__Var[S]devient simplement _/2k_.a) On a k = 0,04 et p = 0,95 do 0,025 = 1,96 et donc 49.b) On a k = 0,05 et p = 0,90 do 0,05 = 1,645 et donc 32,9.c) On a k = 0,01 et p = 0,98 do 0,01 = 2,326 et donc 232,6.2.8On sait queS N(, 2/9). On a donc une crdibilit complte dordre(k, p) lorsqueE[ S] _/2k__Var[ S],soit _/2k_3.a) On a k = 0,05 et p = 0,90 do 0,05 = 1,645 et 10,97.b) On a k = 0,05 et p = 0,95 do 0,025 = 1,96 et 13,07.c) On a k = 0,01 et p = 0,90 do 0,05 = 1,645 et 54,83.d) On a k = 0,01 et p = 0,95 do 0,025 = 1,96 et 65,33.2.9On dtermine tout dabord une formule gnrale pour le cas de la bino-miale ngative compose. Sachant que E[N] = r(1 )/ et que Var[N] =r(1 )/2, on obtientr _/2k_2_11 +1 Var[X]E[X]2_.Or, danscet exercice, = 0,01, Var[X]/E[X]2= 1/= 50et /2/k=1,96/0,05 = 39,2. Par consquent, r 2 328,24.52 Solutions2.10On remarquera tout dabord que le contexte est celui de lexercice 2.4,sauf que le critre de crdibilit complte est exprim non pas en nombredannesdexprience, n, maispluttennombretotaldesinistreses-pr, soit n. On a doncn _/2k_2(1 + CV(X)2).Or, dans le cas prsent, CV(X) = 0 puisque Pr[X = M] = 1 (distributiondgnre en M), k = 0,04 et 0,05 = 1,645, do n 1 692.2.11 a) Le montant total des sinistres a une distribution Poisson composeavecE[X] = 5, Var[X] = 100, k = 0,03et /2= 0,025= 1,96. Delaformule gnrale _/2k_2_1 + Var[X]E[X]2_on obtient directement 21 343.b) Le nombre de sinistres a une distribution de Poisson pure. On peutdonc utiliser la formule ci-dessus avec Var[X] = 0. On obtient alors 4 269.2.12Soit XA la variable alatoire du montant des sinistres du groupe A et XBla variable alatoire du montant des sinistres du groupe B. On sait queE[XA] = 50, Var[XA] = 0etqueXB Gamma(, )telque/ = 50.De plus, la distribution du montant total des sinistres est une Poissoncompose, donc le niveau de crdibilit complte est donn par _/2k_2(1 + CV(X)2).PourlegroupeA, onaA= 1 000etCV(XA) = 0, do(/2/k)2=1 000. Cefacteurest identiquepourlegroupeB, mais B= 3 000etCV(XB) = 1/. On a donc3 000 = 1 000_1 + 1_,soit = 1/2. Enn, de / = 50 on obtient que = 1/100.2.13Deux situations sont dcrites : 1) la crdibilit complte est accorde lafrquence des sinistres seulement ; 2) la crdibilit complte est accordeau montant total des sinistres. On nous donne donc dabord le seuil decrdibilit complte dans un modle avec distribution de Poisson pure(ou Poisson compose avec une distribution des montants de sinistresdgnre en 1), puis on demande de dterminer le seuil dans un mo-dle avec distribution Poisson compose o la distribution du montantSolutions 53des sinistres a un coefcient de variation de 1/2. Toujours partir dela formule _/2k_2(1 + CV(X)2)on trouve dans un premier temps que1 000 =_/20,05_2,soit /2 = 0,051 000. Dans un deuxime temps, on a _/20,25_2_1 + 12_= 1,5_0,051 0000,25_2= 60.2.14Il faut dabord identier le modle pour la frquence comme tant uneBinomiale(n, ), o n est le nombre demploys et , la probabilit quunemploy ait un accident. On doit considrer deux cas : premirement labinomiale pure et deuximement la binomiale compose. La formule decrdibilit de stabilit gnrale estE[S] _/2k__Var[S].Si S Binomiale(n, ), alorsn _/2k_21 et, si S Binomiale compose(n, , FX()),n _/2k_2_1 CV(X)2+ 1 _.( noter que cette dernire quation revient la premire si X = 1 avecprobabilit 1, cest--dire si CV(X) =0.) On a que =0,04 et, dans le casdune binomiale pure, un niveau de crdibilit complte de n = 6 494.Par consquent, (/2/k)2= 270,5833. En insrant cette valeur dans laformulepourlabinomialecomposeavecCV(X) = 2, onobtient unniveau de crdibilit complte de n = 33 552 employs.2.15Avec la distribution Poisson compose, le seuil de crdibilit complteest _/2k_2_1 + Var[X]E[X]2_.54 SolutionsOr, on nous donne E[X] = 100/(3 1) = 50 et Var[X] = 3 1002/((3 1)2(3 2)) =7 500. Si le seuil de crdibilit complte dans le cas Poissoncompose est 2 500 quand k = 0,05, alors/2 = 0,05_25001 + 7500/502= 1,25.Danslecasbinomialengativecompose, leseuildecrdibilitcom-plte est plutt donn parr _/2k_2_11 +1 Var[X]E[X]2_.Avec Var[X]/E[X]2= 3, = 0,5, r = 2 500 et/2 = 1,25, on obtient k =0,0559, do la largeur de lintervalle de conance autour de la moyenneest 2kE[S] = 2(0,559)(2 500)(50) = 13 975.2.16On a un cas binomiale ngative compose. laide de la formule dve-loppe au numro 2.9, on trouve directement quer _/2k_2_11 +1 Var[X]E[X]2_=_1,6450,05_2_32+ 12 3_= 3 247,23.2.17 a) Avec X 1, S est une Poisson pure et le seuil de crdibilit complteest (/2/k)2= (1,645/0,05)2= 1082,41.b) Dans le cas Poisson compose avec CV(X) = 1, le seuil de crdibilitcomplte est (/2/k)2(1 + CV(X)2) = 2(1,96/0,04)2= 4 802.c) Sans plus de prcisions sur la formule de crdibilit partielle utili-ser, on se rabattra sur la formule de la racine carre. Pour une seulepriode dexprience, on aS = S, donc la crdibilit partielle z seraitz = min__4 802, 1_.2.18On a un modle Poisson compose pour le montant total des sinistres.Le seuil de crdibilit complte de 3 000 est atteint lorsque CV(X) = 0,donc(/2/k)2= 3 000. SionapluttCV(X)2= /( 2) = 3, alorsle seuil de crdibilit complte est0 = 3 000(1 + 3) = 12 000. Enn, silon a accord lassur une crdibilit partielle de z =/12 000 =0,5,alors cest que lassur a eu = 3 000 sinistres.2.19Il fautdduiredelnoncquelacrdibilitcomplteestdonneenannes dexprience et que /2 = 1,96, k = 0,05, CV(X) =3 et = 1 000.Solutions 55PuisquelonaunmodlePoissoncompose, leniveaudecrdibilitcomplte n0 estn0 =11 000_1,960,05_2(1 + (3)2) = 15,3664.Aprs n = 1 anne dexprience, le facteur de crdibilit estz =_1/15,3664 = 0,2551.PuisqueS = S1 = 6,75 et m = 5,00, la prime de crdibilit partielle estP = 0,2551(6,75) + (1 0,2551)(5) = 5,45.2.20Soit la grandeur du portefeuille. Le seuil de crdibilit complte est0 = 103 500. En utilisant la formule de la racine carre, on a doncz = 0,67 =_103 500,do = 46 462.2.21On a E[S] = E[N]E[X] = 50,000 et Var[S] = Var[N]E[X]2+Var[X]E[N] =312 500 000. On trouve le seuil de crdibilit complte avec la formulegnralen0 =_/2k_2Var[S]E[S]= 270,6025(0,125)= 33,8253.a) Avec la formule de la racine carre,0,54 =_n33,8253 n = 9,86.b) Avec la formule puissance 2/3,0,54 =_n33,8253_2/3n = 13,42.Letempsrequispouratteindrelapleinecrdibilitest doncpluslev avec cette formule.56 SolutionsChapitre 33.1Soit S le montant total des sinistres (ou le nombre de sinistres, car chaquesinistre est dun montant de 1). Alors S| Poisson() et a une fonc-tion de masse de probabilitPr[ = ] =___0,35, = 1/10 = 0,10,40, = 2/10 = 0,20,25, = 6/10 = 0,6.a) Par la loi des probabilits totales,Pr[S = 1] =Pr[S = 1| = ] Pr[ = ]= (0,1e0,1)(0,35) + (0,2e0,2)(0,40) + (0,6e0,6)(0,25)= 0,1795.b) Ici, () = E[S| = ] = . Onadonc, (0,1) = 0,1, (0,2) = 0,2et(0,6) = 0,6.c) E[S] = E[()] = E[] = 0,35(0,1) + 0,40(0,2) + 0,25(0,6) = 0,265.d) La premire tape consiste calculer la fonction de masse de proba-bilit a posteriori de . Soit S = (S1, S2, S3, S4, S5) etx = (1, 0, 1, 1, 0).Alors, par lindpendance conditionnelle de S1, . . . , S5,Pr[S = x| = ] =5j=1Pr[Sj = xj| = ] = 3e5.Onobtient doncPr[S = x| = 0,1] = 0,000607, Pr[S = x| = 0,2] =0,002943, Pr[S = x| = 0,6] = 0,010754 et,par laloi des probabilitstotales, Pr[S = x] = 0,004078. En utilisant la rgle de Bayes,Pr[ = |S = x] =___0,0521, = 0,10,2887, = 0,20,6592, = 0,6et, nalement, la prime bayesienne de sixime anne est E[|S = x] =0,0521(0,1) + 0,2887(0,2) + 0,6592(0,6) = 0,4585.3.2Soit Silersultat duielancerdund, D1lvnement choisirledrgulier et D2 lvnement choisir le d irrgulier.a) Par la loi des probabilits totales,Pr[S1 = 5] = Pr[S1 = 5|D1] Pr[D1] + Pr[S1 = 5|D2] Pr[D2]=_16__12_+_26__12_= 14.Solutions 57Plus simplement, on a 3 faces numrotes 5 sur un total de 12, doune probabilit de14.b) Oncherchelavaleurdelafonctiondemassedeprobabilitdeladistribution prdictive de S2 au point x = 5 :Pr[S2 = 5|S1 = 5] =1Pr[S1 = 5] (Pr[S1 = 5, S2 = 5|D1] Pr[D1]+ Pr[S1 = 5, S2 = 5|D2] Pr[D2])=(136)(12) + (436)(12)14=518.3.3Soit S le nombre de piles obtenus aprs n lancers dune pice de monnaieet lurne choisie. On identie lurne A par =0,6 et lurne B par =0,2.Ainsi, S|= Binomiale(n, ). On doit calculer E[S2|S1 =4]. On obtientla distribution a posteriori de |S1 = 4 avecPr[ = |S1 = 4] =Pr[S1 = 4| = ] Pr[ = ]Pr[S1 = 4| = ] Pr[ = ].On trouvePr[ = 0,6|S1 = 4] =(54)(0,6)4(0,4)(0,5)(54)(0,6)4(0,4)(0,5) + (54)(0,2)4(0,8)(0,5)= 0,12960,1328= 0,9759.De la mme faon, on trouve Pr[=0,2|S1 =4] =0,0032/0,1328 =0,02410.Enn,E[S2|S1 = 4] = E[S2| = 0,6] Pr[ = 0,6|S1 = 4]+ E[S2| = 0,2] Pr[ = 0,2|S1 = 4]= 5(0,6)(0,9759) + 5(0,2)(0,02410)= 2,9518.3.4Soit S une variable indiquant si un employeur a eu un sinistre dans uneanne et une variable identiant le groupe auquel cet employeur ap-partient. On identie le groupe frquence faible par = 0,1, le groupefrquencemoyennepar = 0,2et legroupefrquencelevepar = 0,4. On a donc S| = Bernoulli().58 Solutionsa) On aPr[S = 1] =Pr[S = 1| = ] Pr[ = ]= (0,1 + 0,2 + 0,4)_13_=730.b) EnutilisantlargledeBayesetlhypothsedindpendancedessi-nistres,Pr[ = 0,1|S1 = 0, S2 = 0] = Pr[S1 = 0, S2 = 0| = 0,1] Pr[ = 0,1]Pr[S1 = 0, S2 = 0]=(0,9)2(13)(0,9)2(13) + (0,8)2(13) + (0,6)2(13)=81181= 0,4475.c) Delammefaonquenb), ontrouvePr[ = 0,2|S1= 0, S2= 0] =64/181 =0,3536 et Pr[=0,4|S1 =0, S2 =0] =36/181 =0,1989. Ainsi,Pr[S3 = 1|S1 = 0, S2 = 0] =Pr[S3 = 1| = ] Pr[ = |S1 = 0, S2 = 0]=_1181_[(0,1)(81) + (0,2)(64) + (0,4)(36)]= 35,3181= 0,1950.3.5 a) On aE[] =( + )()()_101(1 )1d=( + )()()( + 1)()( + + 1)= + .b) On a S|= Binomiale(n, ), cest--dire Pr[S = x|=] = (nx)x(1 )nx. Avec le thorme de Bayes, on trouveu(|x) x(1 )nx1(1 )1= +x1(1 )+nx1,que lon sait tre la densit dune bta avec de nouveaux paramtres.Donc, |S = x Bta( = + x, = + n x).Solutions 59c) Une pice a t lance 10 fois et les rsultats suivants furent obtenus :P,F,F,P,F,P,F,F,P,P.Enutilisantlesrsultatsobtenusprcdem-ment, la distribution a posteriori de est une bta et les paramtres(, ) aprs chaque lancer sont les suivants, dans lordre : (1, 2), (2, 2),(3, 2),(3, 3),(4, 3),(4, 4),(5, 4),(6, 4),(6, 5),(6, 6). Quelques distribu-tions a posteriori sont prsentes aux gures D.1D.6. Une premireobservation est le dplacement vers la gauche ou vers la droite de ladistribution selon le nombre de rsultats piles et de rsultats faces ob-tenus. Une deuxime observation est la concentration graduelle de ladistribution autour de =12, ce qui indique une pice quilibre.d) Soit Y le rsultat du onzime lancer, o Y = 1 correspond face. On aPr[Y = 1] =_10Pr[Y = 1| = ] Pr[ = ] d=_10 Pr[ = ]= E[]= + .Le rsultat nest pas ncessairement12puisque lon ignore si la piceest quilibre ou non.e) On aPr[Y = 1|S = x] =_10Pr[Y = 1| = ] Pr[ = |S = x] d=_10 Pr[ = |S = x]= E[|S = x]= + x + + n.3.6On a le modle suivant : X| Pareto(, 10) et U(1, 2, 3). On noteque la fonction de rpartition de X| = estF(x|) = 1 _ + x_.60 Solutions0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.60.81.01.21.4dbeta(x, 1, 1)Fig. D.1 Distribution a priori(uniforme)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.51.01.52.0dbeta(x, 1, 2)Fig. D.2 Distributionaprs unlancer (P)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.51.01.5dbeta(x, 2, 2)Fig. D.3Distributionaprsdeuxlancers (P, F)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.51.01.5dbeta(x, 3, 2)Fig. D.4Distributionaprstroislancers (P, F, F)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.51.01.5dbeta(x, 3, 3)Fig. D.5 Distribution aprs quatrelancers (P, F, F, P)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.51.01.52.0dbeta(x, 4, 3)Fig. D.6Distributionaprscinqlancers (P, F, F, P, F)Solutions 61Ainsi,Pr[X2>30|X1 = 20] =3=1Pr[X2>30| = ] Pr[ = |X1 = 20]=3=1(1 F(30|))f (20|)(13)3=1 f (20|)(13)=3=1_1010+30_10(10+20)+13=110(10+20)+1= 0,1484.3.7 a) N| = Binomiale(10, ) et la fonction de masse de probabilit de estPr[ = ] =___0,2, = 0,040,6, = 0,100,2, = 0,16.b) En gnral, on aPr[N = n] =Pr[N = n| = ] Pr[ = ]=_10n_n(1 )10nPr[ = ].Cequi donne, Pr[N= 0] = 0,377, Pr[N= 1] = 0,354etPr[N= 2] =0,184.c) On rutilise la formule en b) avec Pr[ = 0,10] = 1. On trouve Pr[N =0] = 0,349, Pr[N = 1] = 0,387 et Pr[N = 2] = 0,194.3.8SoitS| Gamma(, )et 1 Bta(, ). AlorsE[S|] = 1etVar[S|] = 2, doVar[S] = Var[E[S|]] + E[Var[S|]]= 2Var[1] + E[2]=2( + )2( + + 1)+( + 1)( + )( + + 1).Avec = 2, = 2 et = 1, Var[S] = 11/9.3.9On aPr[S = x| = ] =xex!, x = 0, 1, . . . ,u() =_54__ 12_, 1 < 0.La distribution a posteriori de estu(|x1, . . . , xn) 1ent=11e1xt= n1e+1xt,qui nest clairement pas une gamma. Donc, la gamma nest pas la conju-gue naturelle de lexponentielle avec moyenne . (La gamma inverselest, par contre.)3.31Voir lexercice 3.20.3.32 a) On af (x; ) =_nx_x(1 )nx= exp_ln__nx_x(1 )nx__= exp_xln() + (n x) ln(1 ) + ln_nx__= exp_x(ln() ln(1 )) + ln_nx_+ nln(1 )_,doA(x) = xB(x) = ln_nx_q() = nln(1 ).b) On af (x; ) =( + )()() x1(1 x)(1)= exp_ln_( + )()() x1(1 x)1__= exp_( 1) ln(x) + ( 1) ln(1 x) + ln_( + )()()__,Solutions 77doA(x) = ln(x)B(x) = ( 1) ln(1 x)q() = ln( + ) ln() ln().c) On af (x; ) =12e12(x)2= exp_ln_12_+12_x _2_= exp_x2 x222 _ln(2) +222__,doA(x) = xB(x) = x222q() = ln2 222.d) On af (x; ) =() x1ex= e(1) lnxx+ lnln(),do,A(x) = ln(x)B(x) = xq() = ln ln().e) On af (x; ) = ex= ex+ln,doA(x) = xB(x) = 0q() = ln.78 Solutions3.33An dexprimer la fonction de vraisemblance sous la forme a(x)exj/c(),on utilise la paramtrisationf (x|) = (1 e)ex,do a(x) = 1 et c() = (1 e)1. On a donc que = 1 eBta(, ).Soit u() la fonction de densit de probabilit de et w() celle de .On au() = w(1 e)dd(1 e)=( + )()() (1 e)1(e)= c()n0ex0d(n0, x0),avecn0 = 1x0 = .3.34On af (x|) = a(x)exc()aveca(x) =12ex22etc() =_a(x)exdx=_12e(x2+2x)/2dx= e2/2_12e(x2+2x+2)/2dx= e2/2_12e(x+)2/2dx= e2/2.Par consquent,f (x|) =12e(x+)2/2,Solutions 79do S| = Normale(, 1). De plus,u() c()n0ex0 e(2n0+2x0)/2 exp_12( +x0n0 )21n0_,donc, Normale(x0/n0, 1/n0).Chapitre 44.1On peut rsoudre ce problme de deux faons.a) Demaniresimilairelexercice3.10, ontrouveladistributiondumontant total des sinistres S en considrant la probabilit de ne pasavoir daccident. En identiant les femmes par = 0,2 et les hommespar = 0,4, on aPr[S = x| = 0,2] =___0,8, x = 0(0,8)(0,2) = 0,16, x = 100(0,1)(0,2) = 0,02, x = 200(0,1)(0,2) = 0,02, x = 400Pr[S = x| = 0,4] =___0,6, x = 0(0,8)(0,4) = 0,32, x = 100(0,1)(0,4) = 0,04, x = 200(0,1)(0,4) = 0,04, x = 400etPr[ = ] =_0,5, = 0,20,5, = 0,4.Ainsi,(0,2) = 28 2(0,2) = 4 816(0,4) = 56 2(0,4) = 8 06480 Solutionsets2= E[2()]= 4 816 + 8 0642= 6 440a = Var[()]= 282+ 5622_28 + 562_2= 196,do le facteur de crdibilit est z = n/(n + s2/a) = n/(n + 32,86).b) On pose S = X1 + + XN avec N| = Bernoulli(),Pr[ = ] =_0,5, = 0,20,5, = 0,4.etPr[X = x] =___0,8, x = 1000,1, x = 2000,1, x = 400.On a alors() = E[S|]= E[N|]E[X]= 1402() = Var[S|]= Var[N|]E[X]2+ E[N|]Var[X]= 19 600(1 ) + 8 400= 28 00019 6002,dos2= E[2()]= 28 000E[] 19 600E[2]= 28 000(0,3) 19 600(0,1)= 6 440Solutions 81eta = Var[()]= 19 600Var[]= 19 600(0,01)= 196Le facteur de crdibilit est donc z = n/(n + s2/a) = n/(n + 32,86).4.2Soit S le nombre de balles rouges tires et la probabilit de tirer uneballe rouge. On identie par =0,75 lurne A, =0,50 lurne B et =0,25lurne C. On a le modle S| = Binomiale(5, ) etPr[ = ] =___16, = 0,7536, = 0,5026, = 0,25.Ainsi, () = E[S|] = 5 et 2() = Var[S|] = 5(1 ), dom = E[()] = 5E[] = 2,2917s2= E[2()] = 5(E[] E[2]) = 1,0938eta = Var[()] = 25Var[] = 0,7378.AprsuneexpriencelorsdelaquelleonaobtenuS = S1= 3, lefac-teurdecrdibilitestz = 1/(1 + 1,0938/0,7378) = 0,4028. Lestimateurde Bhlmann du nombre de boules rouges lors du prochain tir dans lamme urne est donc2 = 0,4028(3) + (1 0,4028)(2,2917)= 2,5770.4.3 a) Soit A le niveau de risque de la classe A et B celui de la classe B. Lemodle est le suivant :Pr[S = x| = A] =_0,2, x = 20,8, x = 0Pr[S = x| = B] =_0,2, x = c0,8, x = 0Pr[ = ] =_12, = A12, = B.82 Solutionsb) Avec linformation de a), on aE[S| = A] = 0,4 Var[S| = A] = 0,64E[S| = B] = 0,2c Var[S| = B] = 0,16c2.Ainsi,s2= E[Var[S|]] = 0,32 + 0,08c2a = Var[E[S|]] = 0,04 0,04c + 0,01c2et, donc,K =0,32 + 0,08c20,04 0,04c + 0,01c2.Comme il ny a quune anne dexprience, le facteur de crdibilit estz = 1/(1 + K). Or, limcK = 8 do limcz = 1/9.4.4On prend1pour reprsenter les bons risques, 2les risques moyens et3 les mauvais risques. On a le modle suivant :X| = 1Gamma(4, 2)X| = 2Gamma(4, 1)X| = 3Gamma(10, 2)etPr[ = i] =___0,25, i = 10,60, i = 20,15, i = 3.Ainsi,(1) = 2, 2(1) = 1(2) = 4, 2(1) = 4(3) = 5, 2(1) = 2,5etm = E[()]= 0,25(2) + 0,60(4) + 0,15(5) = 3,65s2= E[2()]= 0,25(1) + 0,60(4) + 0,15(2,5) = 3,025a = Var[()]= 0,25(22) + 0,60(42) + 0,15(52) m2= 1,0275.Solutions 83Le facteur de crdibilit aprs deux annes estz =22 + 3,025/1,0275= 0,4045et, enn, la prime de Bhlmann pour la troisime anne aprs une exp-rience individuelle moyenne de (1 + 2)/2 = 1,5 est3 = z(1,5) + (1 z)(3,65) = 2,78.4.5On am = E[()]= 1 0005 000(50) + 2 0005 000(200) + 1 0005 000(500) + 1 0005 000(1 000)= 390s2= E[2()]= 1 0005 000(100 000) + 2 0005 000(500 000) + 1 0005 000(500 000) + 1 0005 000(500 000)= 420 000eta = Var[()]= E[()2] m2= 114 400.Le facteur de crdibilit aprs quatre ans est donc z =4/(4 +420 000/114 400) =0,5214 et la prime de crdibilit est5 = (0,5214)_8004_+ (0,4786)(390) = 290,93.4.6On prend1pour reprsenter les bons risques, 2les risques moyens et3 les mauvais risques. On a donc le modle suivant :X| = 1Pareto(4, 1200)X| = 2Gamma(1000, 2)X| = 3Exponentielle(0,00125)etPr[ = i] =___0,3, i = 10,5, i = 20,2, i = 3.84 SolutionsEnsuite,(1) = 400, 2(1) = 320 000(2) = 500, 2(1) = 250(3) = 800, 2(1) = 640 000etm = E[()] = 530s2= E[2()] = 224 125a = Var[()] = 20 100.Le facteur de crdibilit aprs quatre annes dexprience est doncz =44 + 224 125/20 100= 0,2640.4.7On a S|= Gamma(5, ), do () =5/ et 2() =5/2= ()2/5.On nous donne la fonction de masse de probabilit de la prime de risque :Pr[() = ] =___0,3, = 2 5000,5, = 4 0000,2, = 5 000ou, de manire quivalente,Pr[ = ] =___0,3, = 0,0020,5, = 0,001250,2, = 0,001.Solutions 85Par consquent,m = E[()]= 2 500(0,3) + 4 000(0,5) + 5 000(0,2)= 3 750,s2= E[2()]= 15 E[()2]=(2 500)2(0,3) + (4 000)2(0,5) + (5 000)2(0,2)5= 2 975 000,a = Var[()]= (2 500)2(0,3) + (4 000)2(0,5) + (5 0002)(0,2) m2= 812 500,K = s2a= 3,6615et5 =44 + K20 0004+K4 + K 3750= 4 402,61.4.8Cas gomtrique/bta avec = =3. Voir les formules de lannexe A. Laprime bayesienne et la prime de Bhlmann sont gales dans un tel cas.4.9Dans tous les cas ci-dessous, le facteur de crdibilit est z = n/(n + K),o K = s2/a, s2= E[2()], a = Var[()] et la prime de crdibilit estz S + (1 z)m.a) On a S| Bernoulli(), Bta(, ), do() = et2() =(1 ) = 2. Alors,m = + s2= + ( + 1)( + )( + + 1)=( + )( + + 1)a =( + 1)( + )( + + 1) 2( + )2=( + )2( + + 1),et K = + .b) On a S|Gomtrique(), Bta(, ), do () = (1 )/,2() = (1 )/2. Or, il estfacilededmontrerquesi aune86 Solutionsdistribution bta, alorsE_(1 )jk_= ( + )( k)( + j)()()( + + j k).Par consquent,m = 1s2=( + 1)( 1)( 2)a =( + 1)( 1)2( 2),et K = 1.c) OnaS| Gamma(, ), Gamma(, ), do() = /et2() = /2. On peut dmontrer queE[k] =___( + 1) . . . ( + k 1)k, k 11, k = 0|k|( 1)( 2) . . . ( |k|), k 1, |k| < .Par consquent,m = 1s2=2( 1)( 2)a =22( 1)2( 2),et K = ( 1)/. On remarque quil sagit dune gnralisation du casexponentielle/gamma.d) OnaS| Binomiale ngative(r, ), Bta(, ), do()=r(1 )/ et 2() = r(1 )/2. En utilisant le rsultat trouv enb), on obtientm =r 1s2=r( + 1)( 1)( 2)a =r2( + 1)( 1)2( 2),et K = ( 1)/r. On remarque quil sagit de la gnralisation du casgomtrique/bta.Solutions 87e) On a S|Normale(5, 2), U(a, b), do () =5 et 2() =2. Alorsm = 52 (a + b)s2= 2a = 25(b a)212,etK =12225(b a)2.f) On a S| Exponentielle(), 1 Bta(, ), do() = 1et2() = 2. Alorsm = + s2=( + 1)( + )( + + 1)a =( + )2( + + 1)etK =( + )( + 1).4.10 a) En posant gales zro les drives partielles de E[(() X)2]par rapport et, on obtient les quations normalesE[Y] E[ X] = 0E[Y X] E[ X] E[ X2] = 0.La solution de ce systme dquation est = E[Y] E[ X] = Cov(Y,X)Var[ X].b) Premirement, on a que Cov((), Xt) = a. Il en dcoule directementque Cov((),X) = a. Deuximement,Var[ X] = Var[E[ X|]] + E[Var[ X|]]= Var[()] + E_2()n_= a + s2n .88 Solutionsc) Dans un contexte de crdibilit, on a que E[()] = E[ X] = m, do =a na n + s2= zet = (1 z)m. Cet exercice illustre deux choses : 1) que la prime deBhlmann minimise lesprance en c), o lon suppose dj un poidsgal donn chaque contrat, et 2) que la seule relle diffrence entrelathoriedelacrdibilitetlesmodlesstatistiquesusuelsrsidedans la structure de covariance.4.11On a (en laissant tomber les indices i) : X|Binomiale ngative(, 0,4)et () Exponentielle(5). Par consquent,() = _1 0,40,4_= 1,5et2() = _1 0,40,42_= 3,75= 2,5().On remarque quil est simple, ici, de trouver la distribution de . En ef-fet,() = 1,5 Exponentielle(5), do Exponentielle(7,5). Celadit, sans mme cette information, on trouve s2= E[2()] =2,5E[()] =0,5 et a = Var[()] = 0,04, do K = 25/2 et z = 1/(1 +25/2) = 0,0741.4.12SoitNle nombre de sinistres. On aN| = Poisson(), E[N|] = U(0,1, 0,3) et doncm = E[()] = E[] = 0,2s2= E[2()] = E[] = 0,2a = Var[()] = Var[] =1300.Par consquent, K = s2/a = 60 et6 =_55 + 60__35_+_605 + 60_(0,2) = 0,2308.4.13On a X|N(, 42) avec () =et 2() =42, do 2()/() =4 U(0, 40) et donc U(0, 10). Ainsi, m = E[] = 5, s2= E[42] =Solutions 894(Var[] + E[]2) = 1,600/12 et a = Var[] = 100/12, do K = s2/a =16 et, nalement,5 =_44 + 16__124_+_1 44 + 16_(5) = 4,6.4.14 a) S| = Poisson(). On a donc () = , 2() = ,m = E[()] = E[] =s2= E[2()] = E[] =a = Var[()] = Var[] =2etdoncz = n/(n + ). Danstouslescasci-dessous, m = 2etS =(3 + 1 + 5 + 4 + 2)/5 = 3.i) Si Gamma(10, 5), alors z = 1/2 et 6 = 2,5.ii) Si Gamma(50, 25), alors z = 1/6 et 6 = 2,17.iii) Si Gamma(12, 14), alors z = 20/21 et 6 = 2,95.b) S| = U(0, 2). On a donc () = , 2() = 2/3,m = E[()] = E[] =s2= E[2()] = E[2]3=( + 1)32a = Var[()] = Var[] =2et donc z = (3n)/(3n + +1). Dans tous les cas ci-dessous, m = 2 etS = (3 + 1 + 5 + 4 + 2)/5 = 3.i) Si Gamma(10, 5), alors z = 15/26 et 6 = 2,58.ii) Si Gamma(50, 25), alors z = 15/66 et 6 = 2,23.iii) Si Gamma(12, 14), alors z = 30/33 et 6 = 2,91.4.15On as2= E[2()]= E[2]= 4 500 + 1502= 27 000eta = Var[()]= Var[]= 4 500,90 Solutionsdo z =4/(4 +27 000/4 500) =0,4 et 5 = (0,4)(100 +125 +75 +120)/4 +(0,6)(150) = 132.4.16OnaVar[S] = Var[()] + E[2()] = a + s2. PourleportefeuilleA,a = 0,25Var[S], do s2= 0,75Var[S] etKA = 0,750,25= 3.Pour le portefeuille B, S N(, 25) et () N(, 16). Par consquent,a = Var[()] = 16s2= Var[S] Var[()] = 25 16 = 9etKB =916.PuisqueKB< KA, uneplusgrandecrdibilitest accordeauporte-feuille B.4.17 a) On a () = et 2() = . Par consquent,Pr[() >5] = Pr[ >5] = e5= e10,do =2. On sait que dans le modle Poisson/gamma, la constantede crdibilit est K = = 2.b) Ona(1, 2)= E[S1|1] + E[S2|2]= 1 + 2et 2(1, 2)=Var[S1|1] + Var[S2|2] = 1 +2. Par consquent,s2= E[2(1, 2)]= E[1] + E[2]= 1+1eta = Var[(1, 2)]= Var[1] + Var[2]=12+12,doK =( + )2+ 2.Solutions 914.18Onnousdonnelesinformationssuivantes: n+1= 110, n+2= 125,Sn= 125,Sn+1= 150et Var[()]= 0,25Var[S]. Tout dabord, onaE[2()] = 0,75Var[S], do la constante de crdibilit est K = 3. Ainsi,110 = zn Sn + (1 zn)m=_nn + 3_(125) +_3n + 3_met125 = zn+1 Sn+1 + (1 zn+1)m=_n + 1n + 1 + 3_(150) +_3n + 1 + 3_m.Enrsolvantlesystmedquationsontrouven = 2et m = 100. Parconsquent, la prime de crdibilit dun assur ayant encouru 500 $ desinistres en n = 2 annes est3 = 25_5002_+ 35(100)= 160.4.19On a () Gamma(6, 4) et 2() = ()2, dom = E[()] = 1,5s2= E[2()]= E[()2] = 218a = Var[()] = 38etK = s2a= 7.Ainsi,n+1 =nn + 7S +7n + 7 (1,5)= nt=1St + 10,5n + 7et donca2,3 = 1,50 a3,5 = 1,55a2,2 = 1,39 a4,4 = 1,32a2,4 = 1,61 a3,6 = 1,65.Les noncs I et III sont donc vrais.92 Solutions4.20On reconnait dans u() la fonction de densit de probabilit dune loigamma de paramtres = 3 et = 4 (do c = 43/(3) = 32). On a doncun modle Poisson/gamma pour lequel on retrouve toutes les formulespertinentes lannexe A.a) On a m = / = 0,75.b) La prime de crdibilit est gale la prime bayesienne, soitn+1 = +nt=1Stn + = 3 +nt=1Stn + 4.Avec S1 = 4, S2 = 1 et S3 = 3, on a donc2 = 7/5 = 1,4,3 = 8/6 =1,33 et 4 = 11/7 = 1,57.4.21OnaS| Exponentielle()et () = 1 Gamma(, )tel que/ = 4 et /2= 8. Or,m = E[1] == 4s2= E[2] = Var[1] + E[1]2=2+__2= 24eta = Var[1] = 8donnent K = s2/a = 3, do le facteur de crdibilit aprs 2 ans est z =2/5 = 0,4. La prime de Bhlmann est donc 0,4[(1 +3)/2] +0,6(4) = 3,2.4.22Premirement,n =1n 1 + Kn1t=1St +Kn 1 + Km.Alors,n+1 =1n + Knt=1St +Kn + K m=1n + K_n1t=1St + Sn_+Kn + K m= n 1 + Kn + K_1n 1 + Kn1t=1St +Kn 1 + K m_+1n + KSn= nn + (1 n)Sn,avec n = (n 1 + K)/(n + K).Solutions 934.23Soit s2=1I(n 1)Ii=1nt=1(SitSi)2.On veut dmontrer que E[ s2] = s2sans conditionner sur i. Le problmese rduit au calcul de E[(SitSi)2]. Puisque E[Sit] = E[ Si], on aE[(SitSi)2] = Var[Sit] + Var[ Si] 2Cov(Sit, Si).Or, on sait que, par hypothse dans le modle de Bhlmann,Cov(Sit, Siu) = a + tus2.Par consquent, on aCov(Sit, Si) =1nnu=1Cov(Sit, Siu)= a + s2nVar[ Si] = Cov( Si, Si)=1nnu=1Cov(Sit, Si)= a + s2netVar[Sit] = Cov(Sit, Sit)= a + s2.AinsiE[(SitSi)2] = n 1ns2,do E[ s2] = s2.4.24On se contente, ici, de donner des pistes de solutions. An de respecterla seconde exigence, on poseSit = Yit1 + +YitNit,o Yitu est le montant individuel du sinistre u de la priode t du contrati et Nit est le nombre total de sinistres du contrat i dans la priode t. Ilsagit, par la suite, de dterminer des modles de simulation pour Yituet Nittel queE[Sit|i] = (i)etVar[Sit|i] = 2(i). Commeil estraisonnable de supposer que les contrats se distinguent davantage parleur frquence de sinistres que par la svrit de ceux-ci, le modle pourla simulation de Nit dpendra de la variable alatoire i. Autrement dit,on aura un modle de simulation pour Nit|i = i et un autre pour i.94 Solutions4.25On a s2=1I(n 1)Ii=1nj=1(SijSi)2=1(3)(5)[(1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 4 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1)]= 1615 a =1I 1Ii=1( SiS)2 s2n= 12[1 + 1] 16/156= 7490,do K = 48/37 et z = 0,8222. Par consquent,(1,7) = (0,8222)(1) + (0,1778)(2) = 1,1778(2,7) = (0,8222)(3) + (0,1778)(2) = 2,8222(3,7) = 2.Chapitre 55.1Premirement, on sait que Cov(Xit, Xiw) = a + s2/wi etCov(Xiw, Xiw) =nt=1witwiCov(Xit, Xiw)=nt=1witwi_a +s2wi_= a +s2wi=azi.On a, par indpendance des contrats, que Cov(Xiw, Xkw) = 0, k i.a) Ici,Cov(Xiw, Xww) =Ik=1wiwCov(Xiw, Xkw)=wiwCov(Xiw, Xiw) = a wiw+s2w.Solutions 95b) En utilisant le rsultat obtenu en (a),Var[Xww] = Cov(Xww, Xww)=Ii=1wiwCov(Xiw, Xww)=Ii=1wiw_a wiw+s2w_= aIi=1_wiw_2+s2w.c) Premirement,Cov(Xiw, Xzw) =Ik=1zkzCov(Xiw, Xkw)=zizCov(Xiw, Xiw) =az.Par consquent,Var[Xzw] = Cov(Xzw, Xzw)=Ii=1zizCov(Xiw, Xzw)=Ii=1zizaz=az.5.2On calcule dabord lesprance de la variable alatoire(Xit Xiw)2. Enutilisant les rsultats du problme 5.1, on a queE[(XitXiw)2] = Var[Xit] + Var[Xiw] 2Cov(Xit, Xiw)= a +s2wit+ a +s2wi2_a +s2wi_=s2wits2wi.Ainsi,E_Ii=1nt=1wit(XitXiw)2_=Ii=1nt=1witE[(XitXiw)2]= (In I)s2,do E[ s2] = s2.96 Solutions5.3En premier lieu, on a queE[(XiwXww)2] = Var[Xiw] + Var[Xww] 2Cov(Xiw, Xww)= a +s2wi+ aIi=1_wiw_2+s2w2_a wiw+s2w_= a_1 2 wiw+Ii=1_wiw_2_+ s2_1wi1w_.Par consquent,E_Ii=1wi(XiwXww)2_= aIi=1_wi2 w2iw+ wiIi=1_wiw_2_+ (I 1)s2= a_w Ii=1w2iw_+ (I 1)s2= a_w2Ii=1w2iw_+ (I 1)s2.Puisque E[ s2] = s2, on a donc que a =ww2Ii=1w2i_Ii=1wi(XiwXww)2(I 1) s2_est un estimateur sans biais du paramtre a.5.4On aE[(XiwXzw)2] = Var[Xiw] + Var[Xzw] 2Cov(Xiw, Xzw)=azi+az2 az=aziazet, donc,E_Ii=1zi(XiwXzw)2_=Ii=1ziE[(XiwXzw)2]= (I 1)a,do E[ a] = a.Solutions 975.5Si wit =w pour tout i et t, alors Xiw =Xi, Xzw =X et zi =z = an/(an +s2).Par consquent, a est la solution dea =1I 1Ii=1anan + s2 ( XiX)2an + s2=nI 1Ii=1( XiX)2a =1I 1Ii=1( XiX)2 s2n ,soit a = a.5.6Puisque lima0zi = 0, on alima0Xzw = lima0Ii=1zizXiw=_00_,une indtermination. Or, puisqueazi =aawiawi + s2= wi(awi + s2) aw2i(awi + s2)2,alors, par une simple application de la rgle de lHpital, on trouve quelima0Xzw =Ii=1s2wiIi=1s2wiXiw=Ii=1wiwXiw= Xww.5.7La faon la plus simple de simuler des ratios consiste simuler des mon-tants totaux de sinistres Sit et poserXit =Sitwit.Pour la simulation des variables Sit, se reporter la solution de lexercice4.24. Il faut toutefois ajouter les poids au modle de simulation. Puisquela taille des contrats a une inuence sur leur nombre de sinistres et nonsur le montant de ceux-ci, on intgrera les poids wit au modle de simu-lation de Nit|i = i.98 Solutions5.8Onnousdonnedesmontantstotauxdesinistres. Il faut convertircesdonnes en ratios pour pouvoir utiliser le modle de BhlmannStraub.En dnissant Xit = Sit/wit, on obtient les nouvelles donnes suivantes :XitAnneEmployeur 1 2 3 41 7 7 3 62 1 0 4 33 1 0 1 2witAnneEmployeur 1 2 3 41 2 3 4 32 4 2 1 23 3 3 1 3On a alors :w1 = 12 X1w = 5,4167w2 = 9 X2w = 1,5556w3 = 10X3w = 1etw = 31 Xww = 2,8710.Par consquent, s2=112 3(36,9167 + 16,2222 + 6)= 6,5710 a =31961 325(128,3460 (2)(6,5710))= 5,6153etK = s2/ a = 1,1700. Ainsi,z1 =1213,1700= 0,9112z2 =910,1700= 0,8850z3 =1011,1700= 0,8953et Xzw = 2,6779. Enn,X1,5 = z1X1w + (1 z1)Xzw= 5,1735etpourtroisunitsdemassesalariale, laprimetotalepayeparlem-ployeur est 15,52.Solutions 995.9 a) Il faut utiliser la formule de s2pour donnes manquantes. Tout dabord,on aw1 = 3 X1w = 4w2 = 10 X2w = 8w3 = 12 X3w = 114etw = 25 Xww = 5.Par consquent, s2=112 3_(1)(1 + 1) + (2)(4 + 36 + 16) + (3)_ 916+ 12116+116+ 16916__= 18,9167, a =25625 253_(3)(1) + (10)(9) + (12)_8116_(2)(18,9167)_= 7,7901etK = s2/ a = 2,4283. Ainsi, z1 =35,4283= 0,5527 z2 =1012,4283= 0,8046 z3 =1214,4283= 0,8317et Xzw = 4,9954. Enn, 1,6 = z1X1w + (1 z1)Xzw= 4,4453 2,6 = z2X2w + (1 z2)Xzw= 7,4129 3,6 = z3X3w + (1 z3)Xzw= 3,1279.b) La fonction cm permet de choisir entre lestimateur sans biais a et les-timateur itratif a. Pour utiliser cm, il faut dabord placer les donnesdans une matrice ou un data frame avec une colonne dtiquettes pourles contrats :100 Solutions>dbdbcontratr.1r.2r.3r.4r.5w.1w.2w.3w.4w.5[1,] 1 3 5 NA NA 4 1 1 NA NA 1[2,] 2 6 8 8 14 4 2 2 2 2 2[3,] 3 NA 2 0 3 6 NA 3 3 3 3Pour vrier les rponses de la partie a), on fera>library("actuar")>ressummary(res)Call:cm(formula=~contrat,data=db,ratios=r.1:r.5,weights=w.1:w.5,method="Buhlmann-Gisler")StructureParametersEstimatorsCollectivepremium:4.99537Betweencontratvariance:7.790099Withincontratvariance:18.91667DetailedpremiumsLevel:contratcontratIndiv.meanWeightCred.factorCred.premium1 4.00 3 0.5526596 4.4452692 8.00 10 0.8046155 7.4129423 2.75 12 0.8316990 3.127898Pour utiliser plutt lestimateur a du paramtre a, on fait :>ressummary(res)Call:cm(formula=~contrat,data=db,ratios=r.1:r.5,weights=w.1:w.5,method="iterative")StructureParametersEstimatorsCollectivepremium:5.008418Betweencontratvariance:5.565321Solutions 101Withincontratvariance:18.91667DetailedpremiumsLevel:contratcontratIndiv.meanWeightCred.factorCred.premium1 4.00 3 0.4688214 4.5356502 8.00 10 0.7463229 7.2411043 2.75 12 0.7792701 3.248500videmment, les rponses sont alors diffrentes de celles obtenues ena).5.10On a z1 = 8/23, z2 = 6/21, z4 = 9/24 etXzw =4i=1zizXiw=823(0,89) +621(0,85) +924(0,7) + z3(0,65)823+621+924+ z3= 0,8.On trouve donc z3 = 0,0539.BibliographieBailey, A. 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