Théorie de l'Échantillonnage

Numérisation du signal

Michel Fiocchi Novenbre 2003

Numérisation Acquisition

Du signal analogique,continu dans le temps et continu en amplitude...

... à un signal définit ponctuellement et quantifié.

Numérisation

Restitution Du signal numérique,discret et quantifié...

... à un signal continu dans le temps et quantifié en amplitude.

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Numérisation

Échantillonnage

s(t) {s(nT)}

Quantification

s(nT) mq

Codagemq i

f(t)f(t)f(t)

Échantillonnage

Dans l'espace des temps le signal est remplacé par ces valeurs à des instants multiples entiers de la période d'échantillonnage T.

s(t) {s(nT)}

Échantillonnage Modèle mathématique

kee kTttsts )()(

f(t)

Échantillonnage Dans le plan des fréquences

kee kTttsts )()(

n eee T

nfT

fSfS 1

neee ffSffS

Échantillonnage

s t S f

se t S e f

Périodisation du spectre

Échantillonnage Périodisation du spectre

neee ffSffS

+fe-fe

Échantillonnage Périodisation du spectre

Pour une fréquence d'échantillonnage trop petite, le phénomène de recouvrement de spectre (ou de repliement ) modifie le signal.

f e 2 f mf e 2 f mf e 2 f m

Échantillonnage Théorème de Shannon

soit fm la fréquence telle que

fe=2 f

m est la fréquence critique d'échantillonnage (fréquence de Shannon ou de Nyquist)

S f

f m

0,, fSfff m

Échantillonnage Théorème de Shannon

Un signal qui ne contient pas de fréquences supérieures à f

mest entièrement déterminé par la

suite de ses valeurs prises à des instants régulièrement espacés de la durée

m

e fT

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Échantillonnage Exemple:acquisition d’un signal sonore

Le son s(t) est supposé être composé de l’alternance de deux tonnalités placées à 1280 hz et 1620 hz;

ÉchantillonnageExemple

Application du théorème de Shanon:

fe >3240 hz

fréquence d’échantillonnage 3675 hz

Échantillonnage Exemple: spectre du signal physique

………Mais des harmoniques hautes fréquences ne sont pas négligeables……

ÉchantillonnageExemple

Le son se(t) est plus grave que le son réel bien que le chronogramme soit quasiment identique.

ÉchantillonnageExemple

K=1K=-1K=2K=-2……..

Périodisation du spectre à 3675 hz

ÉchantillonnageExemple

Des raies apparaissent en basse fréquence

Échantillonnage Exemple:limite de la bande passante par filtrage

Des raies hautes fréquences sont atténuées,….

….et plus audibles après repliement

ÉchantillonnageReconstruction

fSe fe

e ff 1,,0

fS

ÉchantillonnageReconstruction

ttstsffSfSe

ee

e ffe

F

ffe 1,,01,,0

1

ÉchantillonnageReconstruction

ke

ee

ee

ek

ee

ffe

kTtT

SinckTsts

tfSincf

fkTtkTsts

ttstse

e

1

1,,0

ÉchantillonnageReconstruction

se t

ÉchantillonnageReconstruction

Dans l’espace des Amplitudes, chaque valeur de s(nTe) est approchée par un multiple entier d’une quantité élémentaire q

 s(nT) mq

Quantification

Quantification s(nT) mq

2qnq

2qnq

tetstsq

Bruit de Quantification

puissance du bruit

si p(e) est uniforme

2q

2q

deepeB

teEB

tstsEB

q

q

q

2

2

2

2

2

12

2qB

Quantification Dynamique de codage

2 N valeurs sur la dynamique totale du codeur soit:

En exprimant la puissance du signal:

A

A

qA n 12

Ncn

c BPqP 2

21

223

22

76.12.6223log10 2

N

BP N

dB

c

Numérisation des signaux réels

Signaux de durée limitéeEchantillonnage de durée finieNombre fini de points

Signaux de durée limitéeDomaine

temporel

1,,TT tsts

Signaux de durée limitée Domaine fréquentiel

0021 fffffS

0f0f

002ffffTfSinc

TfST

Signaux de durée limitée Cas

Général

TfSincTfSfST

N’est pas à support borné

Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur

eT

kee

kTtee

kTee

kT

kTee

kTtttsts

ttskTs

tdttskTs

tdtskTs

e

e

e

e

21

21

1

1

1,,0

1,,0

1,,2

Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur

k ee

fje T

kfT

efSincfSfS 1

modulation

fS fSincfS

Nombre fini de points

Soit N le nombre de points régulièrement espacés sur la période d’observation T .

Le signal est défini par une suite de N valeurs sk .

Le spectre du signal est estimé par une suite de N valeurs Sk .

Nombre fini de points

dtetsfS tfj

2)(

1

0

2)(~ N

k

kTfjek

eekTsfS

1

0

2)(

N

n

Nknj

ene

k enTsNfkS

Nombre fini de points TDF

TDF

TDF-1

Sk et sk sont N périodiques

1

0

21N

n

Nknj

nNk esN

S

1

0

2N

k

Nknj

kNn eSs

Echantillonnage du spectre

Sinus à 25,5 hz échantillonné à 100 hz sur 100 pointsSinus à 25 hz échantillonné à 100 hz sur 100 points