3ème 2008-2009

Théorème de Thalès (révisions Pythagore)Théorème de Thalès (révisions Pythagore)

I. I. Théorème de ThalèsThéorème de Thalès

1/ Rappels

Produit en croixa , b , c et d représentent quatre nombres non nuls.

Si ab=

cd

alors ad=b c .

Conséquences (calcul de la 4 ème proportionnelle)

Par ailleurs, on a aussi les égalités suivantes : a=bcd

; b=adc

; c=adb

; d=bca

.

MéthodeSi on place les quatre nombres dans un tableau, on peut exprimer un nombre en fonction des autres en « faisant le produit des deux nombres en diagonal et en divisant par le nombre res-tant ».

2/ Activité

Fiche J.N 1 ou partir de l'énoncé donné en 4ème pour généraliser à toutes les configurations.

3/ Énoncé du théorème

Configurations géométriques de Thalès

« Deux parallèles sur deux sécantes »

(configurations triangles) (configuration papillon)

A

B M

N

C

B C

A

N M

(BC)//(MN)

A

N

M

BC

(BC)//(NM)

? c

b d

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Théorème de ThalèsSi A ,B ,M et A ,C , N sont alignés sur deux droites sécantes en A et si BC est parallèle à MN

alorsABAM

=ACAN

=BCMN .

RemarqueDans le premier quotient, les lettres A ,B et M correspondent à des points d'une même sécante ; dans le

deuxième quotient, les lettres A ,Cet N correspondent aux points de la deuxième sécante ; et dans le dernier

quotient, on retrouve les lettres qui correspondent aux deux parallèles.

ExempleRepérer les différentes configuration de Thalès et donner les égalités de quotients.

4/ Exemple à savoir refaire

ÉnoncéDans le figure ci-contre, calcule la longueur DC .

Une solution possibleLes droites DJ et CK sont sécantes en M. Les droites KJ et DC sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès :

MDMJ

=MCMK

=DCKL

on donne les quotients

3,65,4

=DC7,2

on remplace par les valeurs numériques

DC=3,6×7,2

5,4 on exprime l ' inconnue en fonction des nombres

DC=4,8 cm on n ' oublie pas l ' unité

RemarqueOn pourra aussi prendre exemple sur l'exercice résolu 1 page 226.

R

S

U

T

V

X

W

(VS)//(UM) et (UM)//(WX)(UT)//(RS)

M

DC

J

K

M

5,4

cm

3,6

cm

7,3 cm

?

(KJ)//(DC)

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II. II. Réciproque du théorème de ThalèsRéciproque du théorème de Thalès

1/ Activité

Voir fiche JN

2/ L'énoncé

Réciproque du théorème de Thalès

Si AMAB

=ANAC et si les points A ,M ,B et A ,C , N sont alignés dans le même ordre

sur deux droites sécantes en A

alors les droites MN et BC sont parallèles.

RemarqueL'ordre des lettres se déduit des quotients ; il doit y avoir un cohérence entre cet ordre et l'emplacement des points sur la figure.

3/ A savoir refaire

ÉnoncéDémontre que les droites (MJ) et (NK) sont parallèles.

Réponse

• Calculons séparément :IJIK

=1,23,6

=1236

=13

IHIG

=0,82,4

=824

=13

• On remarque que IJIK

=IHIG

et que les points I , J , K d'une part et I ,H ,G sont alignés dans le même

ordre.

• D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (HJ) et (GK) sont parallèles.

B C

A

N M

K

G

J

H

I

1,2 cm

3,6 cm

0,8 cm

2,4 cm

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III. III. Rappels sur le théorème de Pythagore et sa réciproqueRappels sur le théorème de Pythagore et sa réciproque

1/ Théorème de Pythagore

Quelques rappelsLe côté en face de l'angle droit est appelé l'hypoténuse : c'est le côté [ AC ] . Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit :

[BA ] et [BC ] .Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : BCA +BAC = 90°

ThéorèmeSi ABC est rectangle en B alors AC2=BA2BC2

. Autrement dit : « Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit ».

ExemplesIJH rectangle en H : IJ 2

=HI 2HJ 2

VBE rectangle en V : BE2=VB2VE2

Exemple type On considère un triangle ABC rectangle en B tel que : AC=10cm et BA=5cm . Fais une figure à main levée et

trouve la valeur manquante.ABC est rectangle, on peut donc appliquer le théorème de Py-

thagore :

AC2=AB2

BC2

102=52BC2

BC 2=102 –52

BC 2=75BC= 75BC≈ ,8 7cm (arrondi au millimètre)

2/ Réciproque du théorème de Pythagore

Si EFG est un triangle tel que EF= ,4 5cm ; EG= ,7 5cm et FG=6cm , on peut essayer de voir s'il est rectangle ou non.

• On calcule séparément EG²=7,5²=56,25EF²+FG²=4,5²+6²=56,25

• On remarque que... … EG²=EF²+FG²

• On conclut en citant la bonne propriété D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.

, cm4 5

cm6

EG= , cm7 5

E

F

G

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IV. IV. Pythagore, Thalès : lequel choisir ?Pythagore, Thalès : lequel choisir ?

• Pythagore permet de faire le lien entre la perpendicularité (propriété géométrique) et une égalité de car-rés de longueur (propriété numérique).

• Thalès permet de faire le lien entre le parallélisme (propriété géométrique) et des égalités de quotients de longueurs (propriété numérique).

Théorème de Pythagore Théorème de Thalès

Configurations

Deux perpendiculaires et une sécante

ou bien

un triangle rectangle

Deux parallèles et deux sécantes

ou bien

un petit et un grand triangle

Figures

associées

A quoi ça sertA calculer une longueur si on en

connaît au moins deux

A calculer une longueur si on en connaît au

moins trois

Points important

de la rédaction

• Triangle rectangle• Théorème Pythagore• Égalité de Pythagore• Calculs• Résultat avec l'unité

• Deux sécantes et deux parallèles• Théorème de Thalès• Quotients de longueurs• Calculs• Résultat avec l'unité

Réciproque du théorème

de Pythagore

Réciproque du théorème de

Thalès

Configuration

Un triangle à priori quelconque

ou bien

trois sécantes

Deux sécantes et deux autres droites

A quoi ça sert

A démontrer que deux droites sont

perpendiculaire ou qu'un triangle est

rectangle

A démontrer que deux droites sont parallèles

Combien de

longueur faut-il ?

Trois longueur, en général, les côté d'un

triangle

Quatre longueurs, en général sur les deux

sécantes

Points important

de la rédaction

• Calculer séparément• On remarque une égalité de

carrés de longueur• Réciproque de Pythagore• Triangle rectangle en ...

• Calculer séparément• On remarque une égalité de quotients

de longueur ; des points alignés dans un même ordre

• Réciproque de Thalès• Droites parallèles

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V. V. DémonstrationDémonstration

Voici la démonstration d'Euclide :