lise Anne Basque Franois Prvost-Lagac

Alexandre St-Jean

Les techniques de multiplication travers les ges

Travail prsent M. Kamel Belbahri Professeur du cours MAT2531

Histoire des mathmatiques

Universit de Montral Dpartement de mathmatiques et statistiques

Le 11 avril 2007

2

Table des matires

Introduction ............................................................................................................................ 3

Les tables de multiplication babyloniennes ........................................................................ 4

Le systme de numration ................................................................................................ 4

Les tables de multiplication .............................................................................................. 4

La multiplication de la civilisation chinoise ....................................................................... 6

Reprsentation des chiffres chez les chinois .................................................................. 6

Le problme du zro .......................................................................................................... 7

La multiplication ................................................................................................................ 8

Exemple de multiplication : 12 multipli par 34. .......................................................... 9

La division, lalgbre et le triangle de Pascal............................................................... 10

Le boulier chinois (14e sicle) ......................................................................................... 11

La technique gyptienne ...................................................................................................... 13

Les mathmatiques en gypte ........................................................................................ 13

Le papyrus Rhind............................................................................................................. 14

La numration hiroglyphique gyptienne ................................................................. 16

Les entiers ....................................................................................................................... 16

Les fractions ................................................................................................................... 18

La technique ................................................................................................................... 18

Une mthode drive : La mthode russe..................................................................... 21

Mthode de multiplication par treillis, grillage, jalousies ou gelosia ........................... 22

Historique .......................................................................................................................... 22

Exemple de multiplication .............................................................................................. 23

Les btons de Napier ....................................................................................................... 24

Conclusion ............................................................................................................................. 27

Bibliographie ......................................................................................................................... 28

3

Introduction

Il est vident que la pratique des mathmatiques a volue selon les poques,

surtout travers les diffrentes dcouvertes, certaines visant expliquer des concepts trs

complexes et abstraits, dautres visant simplifier des travaux quotidiens. Nous avons

explor dans notre travail ce deuxime aspect, plus spcifiquement les mthodes de

multiplication utilises travers les ges et selon diffrents peuples, que ce soit pour le

commerce ou toute autre activit relie aux chiffres et aux quantits. Ces algorithmes

tant trs nombreux, nous nous sommes concentrs sur quelques-uns principalement, afin

de pouvoir tudier galement leurs contextes respectifs, ainsi que les avantages et

inconvnients rattachs chacun.

Nous explorerons ainsi les premires tables de multiplication chez les

Babyloniens ainsi que des mthodes de multiplication tant apparues et ayant t utilises

chez les peuples gyptiens, russes, chinois, indiens, arabes et europens.

4

Les tables de multiplication babyloniennes

Le systme de numration Le territoire babylonien stendait surtout dans la rgion entre les fleuves du Tigre

et de lEuphrate. La Babylonie est parmi les plus anciennes civilisations, et leur criture

datant denviron 4000 av. J.-C. est lune des premires. Ils crivaient en pressant des

formes en coin dans de largile qui tait ensuite sche. On appelle le rsultat lcriture

cuniforme.1 Leurs chiffres taient forms de clous et de chevrons, o un clou est

quivalent une unit et un chevron 10 units. Ils

avaient un systme de numration positionnel

sexagsimal, soit base soixante. Par exemple, pour

crire 533, dcomposons-le en base soixante : 533 =

8X60 + 53. On crirait alors 8 clous, un espace et 5

chevrons suivis de 3 clous. Lillustration ci-contre2

montre les reprsentations de 1859 et de 4818. Les

Babyloniens ont aussi ventuellement introduit un zro, reprsent par deux clous de

ct. Ils furent les premiers le faire. De plus, ce grand peuple utilisait aussi les fractions,

aussi tonnant que cela puisse paratre une poque aussi recule! Il ntait pas vident

de les distinguer en criture cuniforme, puisque les Babyloniens nutilisaient pas de

virgule ou de point dcimal comme nous aujourdhui. Pour faire la diffrence dans leur

systme, on crit par exemple 7,30 pour 450 et 0;7,30 pour 1/8.

Les tables de multiplication Les Babyloniens avaient des mathmatiques trs avances pour leur poque,

beaucoup plus que les gyptiens par exemple3. Ils avaient entre autre labor de

nombreuses tables de multiplication dont certaines ont pu tre conserves tant donn la

durabilit des tablettes dargile qui servaient lcriture cuniforme. On sait ainsi quils 1 Arthur GITTLEMAN, History of Mathematics, Charles E. Merrill Publishing Co., 1975, p. 61 2 ANONYME. Le systme babylonien , [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/hist_mat/ textes/journee.htm], (5 avril 2007) 3 Howard EVES, An Introduction to the History of Mathematics, 5th edition, 1983 (1st edition : 1953), Sauders College Publishing, p.30

5

disposaient de tables pour la plupart

des nombres entre 1 et 59, mais aussi

de tables de multiplication pour des

fractions, entre autre celle de 0;7,30,

soit 1/8. Or, multiplier par 1/8 est

quivalent diviser par 8, donc cette

table est surtout une table de division

ou dinverse, tout comme la table quon voit sur lillustration4 ci-contre.

Outre les tables de multiplication, les Babyloniens avaient travaill sur de

nombreux autres calculs mathmatiques, quon retrouve sur dautres tablettes dargile et

en criture cuniforme toujours. Certains taient utiles pour le commerce, la gomtrie et

lalgbre. Dans cette dernire catgorie, on retrouve notamment la plus clbre tablette

babylonienne, nomme Plimpton 322. Elle se trouve la Columbia University et elle est

date environ entre 1900 et 1600 av. J-C5. Comme on peut le voir sur la photo6 ci-bas, on

y trouve quatre colonnes de

chiffres. On voit aussi que la

tablette a t abme, mais on y

trouve cependant suffisamment

dinformations pour savoir que

ces quatre colonnes reprsentent

une numrotation et des triplets

pythagoriciens, soient des

solutions lquation

a2 + b2 = c2.

4Tir de: Les mathmatiques babyloniennes dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php? option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=3], (5 avril 2007) 5 Howard EVES, op. cit., p. 27-28 6Tir de: Les mathmatiques babyloniennes dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php? option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=4], (5 avril 2007)

6

La multiplication de la civilisation chinoise (2e sicle av. J.-C.)

Avant de parler de la multiplication, nous devons dfinir quelques concepts. Tout

dabord, nous devons savoir comment les chinois reprsentaient leurs chiffres, ensuite

nous traiterons du problme du zro et finalement nous verrons comment multiplier des

nombres laide dchiquiers numriques. Par la suite, nous survolerons quelques

applications des principes de multiplication, en particulier les systmes algbriques, et

nous comparerons le boulier chinois au systme de lchiquier pour conclure ce chapitre.

Reprsentation des chiffres chez les chinois

Pour calculer, les Chinois reprsentaient leurs chiffres laide de petits btonnets

divoire, de bambou7 ou de bois8 de couleur rouge ou noire9 dispose verticalement ou

horizontalement dpendant des chiffres. Cette manire de reprsenter les nombres est trs

ancienne mais les dtails de cette mthode nous sont parvenus qu partir du 2e sicle

avant Jsus-Christ.10 Les btonnets avaient une longueur de 1 pouce et demi, les rouges

reprsentant des nombres positifs, les noirs des nombres ngatifs.11

La manire de reprsenter les chiffres est simple. Un btonnet plac verticalement

reprsente une unit. Deux btonnets reprsentent deux units. Les cinq premiers chiffres

sont reprsents de cette manire. Ensuite, six units sont reprsentes par un btonnet

plac verticalement sous un btonnet positionn horizontalement. Sept units sont

reprsentes par deux btonnets verticaux sous un btonnet horizontal et ainsi on peut

reprsenter les nombres jusqu neuf de cette faon.12

7 Georges IFRAH, Histoire universelle des chiffres. Lintelligence des hommes raconte par les nombres et le calcul, 2 volumes, ditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994, p. 666. 8 Florian CAJORI, A History of Mathematics, 4th edition, 1985 (1st edition : 1983), New York, Chelsea Publishing Compagny, p. 72. 9 G. IFRAH, op. cit., p. 674. 10 Ibid., p. 656. 11 F. CAJORI, op. cit. p.72. 12 G. IFRAH, op. cit., p. 657.

7

Cette numration est toutefois problmatique. En effet, le nombre 12, reprsent

par un btonnet vertical suivi de deux btonnets verticaux, peut tre confondu avec le

chiffre trois. La reprsentation dun nombre nest donc pas unique ce qui pose un srieux

problme aux scientifiques chinois de lpoque. Malgr tout, les savants chinois

parviennent rsoudre leur problme en modifiant la notation. La reprsentation des

chiffres de un neuf reste la mme et sera valable pour toutes les puissances de dix

paires. Par exemple, pour crire 812, le huit et le deux seront crits de manire

traditionnelle. Par contre, pour toutes les puissances de dix impaires, nous introduirons

une nouvelle notation. Le chiffre un sera reprsent par un btonnet horizontal. Nous

procdons de la mme faon que prcdemment pour construire nos chiffres, alors cinq

sera reprsent comme cinq btonnets horizontaux. Six sera reprsent par un btonnet

horizontal sous un btonnet vertical. Neuf sera reprsent par quatre btonnets

horizontaux sous un btonnet vertical. Donc, pour crire le nombre 111, on aura un

btonnet vertical suivi dun horizontal et dun dernier vertical. Cette notation fut

dveloppe entre deux sicles avant Jsus-Christ et trois sicles aprs Jsus-Christ, mais

il rsidait toutefois un dernier problme qui sera rsolu au 8e sicle.13

Le problme du zro

Lorsque lon veut reprsenter le nombre 10 000, en utilisant la notation que lon

vient de dfinir, on obtient un btonnet vertical. Nous avons donc encore un problme de

reprsentation car un btonnet peut reprsenter la fois 1, 100, 10 000, etc. Certains

scientifiques utilisaient les signes chinois pour rgler ce problme. Pour crire 10 000, ils

prenaient un btonnet vertical suivi dun symbole chinois reprsentant dix mille. Dautres 13 Ibid., p. 657-658.

8

utilisaient des grilles et les espaces vident reprsentaient zro. Au 8e sicle, les savants

chinois utilisrent un symbole afin de reprsenter labsence dunit dans la reprsentation

avec btonnets. Le symbole retenu fut un petit rond, probablement influenc par les

mathmaticiens de la civilisation indienne.14 On peut le retrouver dans les crits pendant

la dynastie de Sung entre 960 et 1126 et dans les sicles qui suivirent.15 Maintenant muni

dun zro , ils purent dvelopper les rgles arithmtiques et algbriques relatives aux

nombres entiers, fractionnaires et irrationnels.16

La multiplication

Loutil utilis pour la multiplication tait un chiquier et des petits btonnets

nomms chu. Pour multiplier, on inscrivait le multiplicateur dans les cases en haut

droite de lchiquier. Ensuite, on laissait

une ligne vide puis on inscrivait le

multiplicande de manire ce que son

dernier chiffre soit vis--vis le premier

chiffre du multiplicateur. La premire

tape consistait multiplier le premier

chiffre du multiplicande avec le premier

chiffre du multiplicateur. On inscrivait le

rsultat dans la colonne du milieu vis--

vis le chiffre du multiplicande. On poursuivait en multipliant le deuxime chiffre du

multiplicande avec le premier chiffre du multiplicateur. Le rsultat sinscrivait au dessus

du deuxime chiffre du multiplicande. On additionnait chaque tape les nombres quon

inscrit dans la colonne du milieu. Lorsque lon a termin avec le premier chiffre du

multiplicateur, on passe au second, et ainsi de suite, jusquau dernier.17

14 Ibid., p. 660-661. 15 Howar EVES, op. cit., p. 22. 16 G. IFRAH, op. cit., p. 660-661. 17 Ibid., p. 666-674.

9

Exemple de multiplication : 12 multipli par 34.

On commence par inscrire 12 en haut droite et 34 directement en dessous du 1

de 12. On laisse une ligne entre les 2 nombres.

Ensuite on multiplie 3 par 1 et

on inscrit la rponse au dessus

du 3 de 34. On fait la mme

opration avec 4.

On enlve le 1 puisque nous nen avons plus besoin et on

bouge 34 dune case vers la droite.

Ensuite on multiplie 3 par 2 et on addition le rsultat au

chiffre qui est au dessus de 3. Puisque laddition donne 10,

on enlve les btons de la case et on ajoute 1 au chiffre sa

gauche. Ensuite on multiplie 4 par 2 et on inscrit le rsultat.

Nous obtenons alors la rponse. On remarque que lespace reprsente le zro. Il

ne nous reste plus qu crire le nombre de manire condense.

10

La division, lalgbre et le triangle de Pascal

La division se fait de manire similaire. On place le diviseur sur la dernire ligne,

et la ligne du dessus sera pour le nombre diviser. La rponse se trouvera sur la ligne au

dessus des deux autres. On pouvait aussi rsoudre des quations algbriques laide de

lchiquier. Chaque colonne verticale reprsentait une quation, chaque colonne

horizontale reprsentait une variable18 mais Chu Shih-Chieh, un savant chinois, avait

trouv une manire originale de reprsenter des polynmes vers lan 1300. Les

coefficients de chaque variable taient reprsents dans un tableau en forme de losange.

Chaque orientation tait lie une variable. Par exemple, louest reprsentait y et

lorsquon mettait 3 btonnets dans la case ouest, on avait 3y. On pouvait aussi agrandir le

losange et ainsi reprsenter des polynmes dordre lev. Alors, une case au sud-est tait

la multiplication du sud et de lest qui serait dans notre cas xz. videment, plus on

sloigne du centre du losange et plus le degr de la variable est lev.19

Le triangle de Pascal fut probablement introduit en Chine par les arabes et il tait

reprsent de plusieurs faons. Le Triangle de Pascal fut fort utilis lors de la

multiplication de polynme.20

18 Ibid., p. 674. 19 F. CAJORI, op. cit., p. 76. 20 Ibid., p. 76.

11

Le boulier chinois (14e sicle)

Les premiers tmoignages crits du boulier chinois ne remontent pas avant le 14e

sicle. Les crateurs du boulier chinois (suan pan) se sont bass sur la mthode de calcul

de lchiquier afin de crer un instrument qui calculerait plus rapidement que lancien. Le

boulier tait dune forme rectangulaire, en bois, travers de broches dans lesquelles sont

effil sept boules en bois. Une barre transversale coupe le boulier en deux, de faon ce

que 2 boules se trouvent dun ct de cette barre et cinq de lautre, et ce, pour toute les

broches. Tout comme lchiquier, chaque colonne reprsente un multiple de 10. Un peu

comme le systme btonnets, les 5 boules reprsentent les chiffres de 1 5. Lorsquon

veut reprsenter le nombre 6, au lieu de mettre un bton horizontal et un autre vertical, on

utilise une boule suprieure (il y en a 2 sur chaque tige) et une boule infrieur (au total de

5). On peut voir que les 2 systmes se ressemblent grandement. Lors dune multiplication

on mettait le multiplicateur en haut droite sur lchiquier, alors quavec le boulier, on

12

inscrit le multiplicateur sur les tiges de gauche. La mthode de multiplication du boulier

est trs similaire celle de lchiquier. En fait, lalgorithme est le mme!21

21 G. IFRAH, op. cit., p. 674-686.

13

La technique gyptienne

Les mathmatiques en gypte

Les mathmatiques gyptiennes taient dabord et avant tout des mathmatiques

axes sur la pratique. Elles servaient lagriculture et lingnierie. On se servait des

mathmatiques dans ces domaines principalement pour calculer un calendrier utilisable,

pour le dveloppement de systmes de poids et de mesures pour la rcolte, lentreposage

et la division de la nourriture. Les mathmatiques gyptiennes servaient aussi pour crer

des mthodes pour examiner la construction de canaux, de rservoirs et pour la

construction des pyramides, pour sparer les terres, pour collecter les taxes et pour les

changes.

Voici une liste chronologique des objets tangibles tmoignant des mathmatiques en

gypte. Il existe aussi plusieurs inscriptions sur des murs et quelques papyrus mineurs

qui contribuent nos connaissances des mathmatiques du peuple gyptien.

1- 3100 Av. J.-C. : On trouve au muse doxford un sceptre royal gyptien datant de

cette poque. On y trouve plusieurs nombres dans les millions et dans les

centaines de milliers, crits en hiroglyphes, qui sont les rsultats dune campagne

militaire couronne de succs.

2- 2900 Av. J.-C. : La grande pyramide de Gizeh a t rige environ cette date, et

a sans nul doute impliqu des problmes mathmatiques et dingnierie. La

structure couvre 13 acres et contient plus de 2 millions de blocs de pierres pesant

en moyenne 2,5 tonnes. Ces blocs de pierres venaient de carrires de pierres qui

taient situes lautre ct du Nil. De plus, on a not que les cots de la base sont

dune prcision tout fait remarquable et que les angles droit du carr qui forme

la base sont presque parfaits.

3- 1850 Av. J.-C. : Ceci est lanne approximative o la papyrus de Moscou a t

crit, il contient 25 problmes mathmatiques. Notons que ce papyrus na bien

14

videmment pas t crit Moscou, mais publi avec un ditorial en 1930 dans

cette ville, do son nom.

4- 1850 Av. J.-C. : Le plus vieil objet dastronomie, une combinaison dune ligne de

plomb et dune tige de vue pour observer le ciel. Il est actuellement conserv au

muse de Berlin.

5- 1650 Av. J.-C. : Le papyrus Rhind, crit par Ahms, a t rdig dans ces

environs.

6- 1500 Av. J.-C. : Le plus grand oblisque existant a t rig devant le Temple du

Soleil Thbes. Il est 105 pieds de long avec une base carre de 10 pieds de ct

et il pse environ 430 tonnes.

7- 1500 Av. J.-C. : Le plus vieux cadran solaire connu vient dgypte et date

denviron cette poque, il est conserv au muse de Berlin.

8- 1350 Av. J.-C. : Le papyrus Rollin, maintenant prserv au Louvre, contient des

comptes labor de pains montrant lusage pratique de grands nombres

lpoque.

9- 1167 Av. J.-C. : Ceci est la date du papyrus Harris, un document prpar par

Ramss IV quand il a accd au trne. Il nonce les grandes ralisations de son

pre Ramss III et il y liste les richesses du temple de lpoque. Ce papyrus

fournit le meilleur exemple de comptabilit pratique de lpoque.

Les sources dinformation gyptiennes plus rcentes que celles nonces plus haut

ne reprsentent aucun gain apprciable ni en connaissance mathmatiques, ni en

techniques mathmatiques. En fait, il y a certains indices montrant une rgression.

Le papyrus Rhind

Le papyrus Rhind a t crit par le scribe Ahms environ en 1650 Av. J.-C. On lui

doit son nom lcossais Henry Rhind qui la achet Louxor en 1858, lieu o il a t

dcouvert, anciennement connu sous le nom de la ville de Thbes. Il est aujourdhui

conserv au British Museum de Londres. Long de plus de 5m sur 32 cm de largeur, crit

en criture hiratique, ce papyrus est en partie une copie de rsultats plus anciens connus

15

par Ahms des babyloniens. Il contient 87 problmes rsolus darithmtique, dalgbre,

de gomtrie et darpentage. Cest grce ce document quon connat aujourdhui la

technique de multiplication des gyptiens. En voici une partie :

22

22 Tir de : Papyrus Rhind dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png], (5 avril 2007)

16

La numration hiroglyphique gyptienne

Les entiers

La numration hiroglyphique gyptienne se lisait comme suit :

23

Il est not que plusieurs symboles reprsentent le mme nombre. Ceci est probablement

d au fait que chaque scribe crivait sa manire lpoque et donc chacun laissait aller

son sens artistique et produisait des symboles diffrents. Il est noter que la numration

gyptienne nest pas une numration de position. Autrement di t, || et || reprsentent

tout deux le nombre 12. Les gyptiens avaient toutefois lhabitude dcrire de droite

gauche, mais ceci pouvait changer selon le scribe. Notons aussi que les gyptiens

navaient pas de reprsentation pour le nombre 0, mais leur numration fait en sorte que

le concept du zro nest pas ncessaire car sil ny a pas dune certaine puissance de 10,

on ne met tout simplement pas de symbole.

23 Georges IFRAH, Histoire universelle des chiffres. Lintelligence des hommes raconte par les nombres et le calcul, 2 volumes, ditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994, p. 398.

17

En cherchant un peu sur internet, nous avons trouv une thorie sur la provenance

de ces symboles, en lisant des livres, nous navons trouv aucune source confirmant cette

thorie. Toutefois nous jugeons intressant de la montrer, on peut la voir la figure

suivante. On y remarque que dans cette thorie, on dit 1 000 000 ou infini, cest quen

gypte antique, il nexistait pas de puissance de 10 suprieure un million.

Chiffres hiroglyphiques

Valeur Signification mnmonique

1 Un bton voque l'unit

10 Une anse de panier peut contenir environ 10 objets

100 Un rouleau de papyrus car on peut y crire environ

100 hiroglyphes

1000 Une fleur de lotus car on les trouve par milliers

10 000 Un doigt montrant le ciel nocturne car on y voit prs

de 10 000 toiles

100 000 Un ttard car on en trouve de l'ordre de 100 000 aprs

la ponte

1 000 000 ou Infini

Un dieu agenouill supportant le ciel car le

dieu est ternel et 1 million d'anne est synonyme

d'ternit24

24 Tir de : Numration gyptienne dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne], (5 avril 2007) N.B. (le tableau a t modifi puisquune colonne tait compltement vide, donc inutile)

18

Les fractions

Les gyptiens on russi ds lAntiquit se doter dun systme de fractions. On

utilisait la bouche pour dnoter le numrateur 1, puis on inscrivait le nombre en

numration hiroglyphique standard en dessous pour reprsenter le dnominateur. Par

exemple :

= 1/3

Rgle gnrale, ils nutilisaient que des fractions avec 1 au numrateur et pour exprimer

une fraction ayant un dnominateur plus grand que 1, ils utilisaient une addition de

fractions pour la reprsenter. Par exemple :

= 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60

Notons ici quil ny a rien dcrit entre chaque fraction, cest que le symbole + navait

pas encore t introduit lpoque, cest nest quau moyen ge quil est apparu.

Finalement, pour les fractions les plus courantes, les gyptiens ont adopt certain

symboles tels que :

= 1/2 = 2/3 = 3/4

La technique

La technique de multiplication gyptienne a comme principal intrt quelle ne

ncessite aucune connaissance des tables de multiplication. Cest probablement pour

cette raison que les gyptiens lont adopte car ils navaient pas de telles tables. On peut

toutefois croire quils avaient des tables de puissances de 2 car la mthode ncessite de

les connatre ou de les calculer chaque fois. La mthode consiste en gros faire un

passage de la base 10 la base 2. Les gyptiens savaient que chaque nombre avait une

unique dcomposition en puissances de 2 et connaissaient aussi la proprit de

distributivit de la multiplication. Autrement dit, ils savaient que 18 x 12 = 18 x (8 + 4) =

18 x 8 + 18 x 4.

19

Effectuer une multiplication avec cette technique seffectue en 3 tapes,

multiplions 58 par 343 pour illustrer les 3 tapes.

tape 1 : La dcomposition en puissances de 2

La premire tape est de trouver la dcomposition en puissances de 2 du plus petit

des deux nombres multiplier (on peut aussi utiliser le plus grand, mais la technique est

moins longue et plus conomique si on trouve la dcomposition du plus petit). Pour ce

faire, les gyptiens procdaient mthodiquement :

On part avec 58 et on trouve (sur notre table de puissance) que la grande

puissance de 2 infrieure 58 est 32.

58 32 = 26

Ensuite, on fait la mme chose avec le rsultat, 26, et on trouve 16, et on soustrait

nouveau.

26 16 = 10

Puis, on trouve nouveau la puissance de 2, cette fois-ci, 8.

10 8 = 2

Et le rsultat, 2 est lui-mme une puissance de 2, on a donc termin de trouver la

dcomposition cherche et donc :

58 = 32 + 16 + 8 + 2

Et donc,

20

343 x 58 = 343 x (32 + 16 + 8 + 2)

tape 2 : La construction du tableau de puissances

Maintenant que lon connat la dcomposition dun des nombres, on construit un

tableau avec les puissances de 2 de lautre nombre comme suit :

1 : 343

2 : 686

4 : 1 372

8 : 2 744

16 : 5 488

32 : 10 976

Cest simple, on part du nombre pas dcompos (ici, 343) et on le met vis--vis 1, on

ladditionne par lui-mme, on met le rsultat vis--vis 2, on additionne le rsultat avec

lui-mme, on le met vis--vis 4 et on continue jusqu la plus grande puissance infrieure

au nombre que lon a dcompos.

tape 3 : Le rsultat

Maintenant que nous avons le tableau des puissances et la dcomposition en

puissances de 2, il nous reste qu additionner les puissances correspondantes dans le

tableau. On a trouv ltape 1 que 58 = 32 + 16 + 8 + 2. On prend donc les lments

vis--vis 32, 16, 8 et 2 dans le tableau et on les additionne pour trouver le rsultat :

343 x 58 = 686 + 2 744 + 5 488 + 10 976 = 19 894

Et on a russi calculer le produit de deux nombres sans connatre aucune table de

multiplication, cest l la beaut de la mthode gyptienne.

21

Une mthode drive : La mthode russe

Les connaissances ont voyag et les russes ont modifi la mthode gyptienne

leur manire. Elle a t utilise jusquau dbut du 20e sicle en Russie. Voici comment ils

procdaient :

Effectuons le produit 53 x 67 :

On fait un tableau comme dans la mthode gyptienne, sauf que cette fois-ci on

commence avec les deux nombres multiplier, dun ct, on divise par 2 chaque ligne

(sans tenir compte des restes) et de lautre ct, on multiplie par 2.

53 67 (67 x 1)

26 134 (67 x 2)

13 268 (67 x 4)

6 536 (67 x 8)

3 1072 (67 x 16)

1 2144 (67 x 32)

Il ne reste maintenant qu additionner les lments droite qui sont vis--vis un lment

impair, cest--dire :

53 x 67 = 67 + 268 + 1072 + 2144 = 3551

22

Mthode de multiplication par treillis, grillage, jalousies

ou gelosia (12e au 17e sicle)

Ces 4 mots dcrivent une seule et mme mthode. Ils font tous rfrence au

grillage dans lequel on crit les chiffres de la multiplication. En effet, le mot italien

gelosia signifie une sorte de treillis quon plaait dans les fentres, un peu comme un

store. Le mot jalousie est aussi un synonyme de store.

Historique

Cette mthode de multiplication vient de la civilisation indienne. Cest le

mathmaticien Bhaskara qui fut le premier la publier dans son livre Lilavati en 1150,

parmi quatre autres mthodes de multiplication de moindre importance25. Elle apparat

aussi dans dautres livres de calculs indiens de cette poque26.

Ce fut Fibonacci (Leonardo Pisano de son vrai nom) qui lintroduisit en Europe

en 1202, dans son clbre ouvrage, le Liber Abaci27. Ce mathmaticien italien avait

appris la numration arabe et tentait par cet ouvrage de lemmener aux Europens, qui

calculaient encore avec le systme romain, satisfaisant pour les additions mais trop

complexe pour les multiplications. On voit donc que la mthode des jalousies avait

voyag de lInde chez les Perses et les Arabes avant de se rendre en Europe. Les

Europens ont pris quelque temps tre laise avec ce nouveau systme, mais ils

lutilisrent ensuite jusque dans les annes 160028. La mthode des treillis se trouvait

notamment dans le premier livre darithmtique tre imprim. Ctait Treviso en Italie

en 147829.

25 Arthur GITTLEMAN, op. cit., p. 107 26 Howard EVES, op. cit., p. 166 27 ANONYME. Lattice multiplication dans Learn NC, University of North Carolina, [http://www.learnnc.org/glossary/lattice+multiplication], (20 mars 2007) 28 Arthur GITTLEMAN, op. cit., p.107 29ANONYME. Other algorithms dans Mental and Written Computation Multiplication, University of Melbourne, [http://online.edfac.unimelb.edu.au/485129/wnproj/multiply/lattice.htm], (20 mars 2007)

23

Exemple de multiplication

Voici un exemple de multiplication avec la mthode des jalousies, o 3652 est le

multiplicande et 941 le multiplicateur :

3652 X 941 = 3 436 532

3 6 5 2

3 9

4 4

3 1

6 5 3 2

Le multiplicande se trouve au-dessus de la grille et le multiplicateur la droite30.

Le rsultat se trouve gauche et au-dessous de la grille. Aprs avoir trac le grillage, la

premire tape consiste multiplier le premier chiffre du multiplicande avec le premier

chiffre du multiplicateur, et inscrire le rsultat dans la premire case en haut gauche,

les dizaines au-dessus de la diagonale, et les units au-dessous. On continue ainsi en

inscrivant le rsultat de chaque multiplication dans la case correspondant lintersection

du chiffre du multiplicande et de celui du multiplicateur. Une fois que cette tape est

complte, on additionne les chiffres de chaque range diagonale, en commenant par le

bas et en transfrant les retenues dans la diagonale suivante, sans oublier dinscrire les

units en bas ou gauche de la diagonale. Par exemple, le rsultat de laddition de la

deuxime diagonale partir du bas est 13, alors on inscrit 3 au bas de la grille, sous la

deuxime colonne, et on additionne la dizaine avec la diagonale suivante (8, 0, 0, 0, 6).

30 Len GOODMAN, "Lattice Method." dans MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/LatticeMethod.html], (20 mars 2007)

2

7

5

4

4

5

1

8

1

2

2

4

2

0

0

8

0

3

0

6

0

5

0

2

24

Lalgorithme de multiplication par gelosia est en fait trs semblable celui de la

multiplication longue que nous utilisons couramment. Le raisonnement est exactement le

mme. Il est cependant facilit par lcriture des dizaines dans les triangles suprieurs de

chaque case, plutt quen retenue au-dessus du multiplicande dans la mthode dite

longue. Les seules retenues seffectuent dans laddition des diagonales, ce qui est

beaucoup moins lourd. Il sagit de lavantage principal de la mthode de multiplication

par treillis. Son dsavantage principal et la raison pour laquelle elle a t abandonne

dans les annes 1600 est la difficult dimprimer ou de tracer le treillis chaque

multiplication. Le grillage tait srement pnible reproduire dans les machines

dimprimerie de lpoque, mais de nos jours il est certain que les logiciels informatiques

facilitent normment le travail. Un autre dsavantage est que lon a encore besoin de

connatre les tables de multiplication de 1 9, autant que pour la mthode laquelle nous

sommes habitus.

Les btons de Napier

Une mthode de multiplication semblable celle des jalousies est la mthode des

btons de Napier (en anglais Napiers rods ou Napiers bones). Elle fut dveloppe par

un scientifique, thologien et mathmaticien nomm John Napier qui vcut de 1550

1617 prs ddimbourg en cosse31. Il sagissait dun personnage excentrique dont

plusieurs anecdotes ont travers les ges. Il avait notamment prdit que dans le futur

existeraient des machines de guerre trs varies dont certaines iraient sous leau et

dautres qui dtruiraient de tous cts32. On peut dire que ctait trs perspicace de

prdire linvention du sous-marin et du char dassaut au 17e sicle! Du ct des

mathmatiques, les ralisations les plus importantes de M. Napier sont linvention des

logarithmes et la dcouverte de certaines identits trigonomtriques, dites les analogies

de Napier 33, dont :

31 Howard EVES, op. cit., p. 225 32 Ibid, p. 226 33 Ibid, p. 248

c

ba

BA

BA

21tan

)(21tan

)(21sin

)(21sin -

=+

-

25

et autres identits semblables quil serait impertinent dexpliciter ici .

Revenons aux btons de Napier, technique de multiplication qui nous intresse.

Elle fut dcrite pour la premire fois dans louvrage de Napier, Rabdologiae, publi en

1617, et fut trs populaire cette poque. Il sagit dutiliser des btons dos, de mtal ou

de bois, sur lesquels sont crites les tables de multiplication de chacun des 10 chiffres,

suivant le modle de triangles et de carrs que lon voit dans la mthode des treillis.

Ainsi, on retrouve par exemple sur le bton du chiffre 6 les rsulta ts suivants, disposs

verticalement ( 1X6=6, 2X6=12, 3X6=18, , 9X6=54). Pour effectuer la multiplication,

il suffit de disposer dans le bon ordre les rglettes correspondant aux tables de

multiplication des chiffres du multiplicande et de ne considrer que les ranges des

chiffres du multiplicateur. On applique ensuite la mthode des jalousies, soit

dadditionner les diagonales en effectuant les retenues lorsque ncessaire. Remarquons

que le dsavantage davoir retenir les tables de multiplication est supprim dans cette

technique, mais quil est par contre encore plus laborieux de traner tous ces btons avec

soi que de dessiner le grillage chaque multiplication. Voici un exemple illustr dune

multiplication plusieurs chiffres effectue avec les btons de Napier, ainsi que le

parallle avec la mthode dite longue laquelle nous sommes habitus.

26

34

34 ANONYME. Btons de Napier dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A2tons_de_ Napier], (5 avril 2007)

27

Conclusion

En bref, nous avons survol des techniques de multiplication quont inventes

divers grands peuples de lhistoire, soit les Babyloniens qui ont labor des tables de

multiplication mme pour certaines fractions et les gyptiens qui multipliaient en

hiroglyphes et sans tables de multiplication, leur mthode ayant mme travers lAsie

mineure pour se rendre en Russie. Nous avons aussi survol lAsie, en passant par les

Chinois qui utilisaient btons, bouliers et symboles pour multiplier, et par lInde qui a

labor lalgorithme des jalousies, qui a voyag chez les Arabes et les Europens. Il est

fascinant de voir ces civilisations se rejoindre dans leurs calculs et leurs mthodes, tout

en ayant une grande diversit entre elles.

Bien sr, nous navons pu couvrir toutes les mthodes ayant t labores dans

lhistoire : elles auraient t beaucoup trop nombreuses. Cependant, nous avons tout de

mme eu un aperu du cheminement laborieux par lequel nos anctres ont pass pour

arriver des oprations que nous apprenons maintenant au primaire et trouvons

lmentaires. Nous avons galement pu constater les possibilits dtudes futures que

nous pourrions faire sur les techniques de division et de fraction ou sur de nombreuses

autres oprations ou outils mathmatiques ncessitant des algorithmes et qui ont pris

forme il y a des millnaires.

28

Bibliographie

CAJORI, Florian. A History of Mathematics, 4th edition, 1985 (1st edition : 1983), New York, Chelsea Publishing Company, 525 p. CYR, Stphane et al. Lactivit mathmatique Notes du cours MAT 1011, Dpartement de mathmatiques UQM, 2006 EVES, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, 5th edtition, 1983 (1st edition : 1953), Sauders College Publishing, 593 p. GITTLEMAN, Arthur. History of Mathematics, Charles E. Merrill Publishing Co., 1975, 291 p. IFRAH, Georges. Histoire universelle des chiffres. Lintelligence des hommes raconte par les nombres et le calcul. 2 volumes, ditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994 Sites Internet : ANONYME. Art. Papyrus Rhind dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/ Image:Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png], (5 avril 2007). ANONYME. Art. Numration gyptienne dans Wikipedia, 4 mars 2007, [http://fr.wikipedia.org/ wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne], (5 avril 2007) ANONYME. Btons de Napier dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/ B%C3%A2tons_de_ Napier], (5 avril 2007) ANONYME. Art. Le systme babylonien , [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/ pages/hist_mat/ textes/journee.htm], (5 avril 2007) ANONYME. Art. Les mathmatiques babyloniennes dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php?option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=3], (5 avril 2007) ANONYME. Art. Lattice multiplication dans Learn NC, University of North Carolina, [http://www.learnnc.org/glossary/lattice+multiplication], (20 mars 2007) ANONYME. Other algorithms dans Mental and Written Computation Multiplication, University of Melbourne, [http://online.edfac.unimelb.edu.au/485129/wnproj/ multiply/lattice.htm], (20 mars 2007) GOODMAN, Len. "Lattice Method." dans MathWorld--A Wolfram Web Resource, [http://mathworld.wolfram.com/LatticeMethod.html], (20 mars 2007)