PCEM 1 Paris Nord Physique2008-2009

Travaux dirigés n° 5+6+7

GAZ PARFAITS:Tous les gaz des exercices sont considérés comme parfaits. La constante des gaz parfaits vaut R = 8,31 J.K-1.mole-1. On rappelle que 1 cal = 4.18 J. L’accélération de la pesanteur vaut g = 9.81 m s-2.

1. Pression de gaz carboniqueLa pression partielle de gaz carbonique contenu dans les alvéoles pulmonaires est de 40 mm Hg à la température du corps humain de 37 °C. Le volume pulmonaire moyen est de 3 litres. Calculer le nombre de moles et la masse de CO2 correspondant ?(masses molaires MO = 16 g/mole et MC = 12 g/mole)

2. Gonflage des pneusLa pression d’un pneu de voiture est ajustée à 2 atm l’hiver sous -10°C (pression préconisée « à froid » par le constructeur). On néglige les variations de volume. Sachant qu’un conducteur est capable de ressentir les effets néfastes d’un écart de 10% par rapport à cette pression, sera-t-il nécessaire de corriger celle-ci l’été lorsque la température aura atteint +30°C ?

3. Pompe à véloOn regonfle un pneu de vélo, initialement rempli de n moles d’air à la pression atmosphérique, avec une pompe manuelle. A chaque coup de pompe, celle-ci emmagasine un volume ΔV qui est introduit par compression dans le pneu, lequel voit sa pression augmenter de Δp. On suppose que la température T et le volume V du pneu restent constants pendant l’opération.

a. Exprimer le nombre de moles d’air Δn emmagasinées dans la pompe à chaque coup.b. Exprimer l’accroissement de pression Δp après le premier coup de pompe en fonction

de patm, ΔV et V. Calculer Δp pour V = 1500 cm3 et ΔV = 150 cm3.c. Calculer le nombre de coups nécessaires pour gonfler le pneu à 3 atm.

4. Mélange de gaz parfaitsOn considère 1 litre de dioxygène à 20°C, sous P1=3 atm, et 3 litres de dioxyde de carbone à 50°C, sous P2= 2 atm, que l’on mélange dans un récipient de volume V=5 L à 40 °C. On rappelle les masses molaires : Mc = 12 g/mole et Mo = 16 g/mole. a. Exprimer les pressions partielles en O2 et CO2

b. Calculer la pression finale du mélange idéal obtenu.

5. Travail du coeurLe cycle cardiaque est très souvent représenté dans un diagramme pression-volume, par les boucles effectuées lors d’une pulsation par les ventricules doit et gauche. La figure 1

est un exemple simplifié du cycle cardiaque ventriculaire d’un sujet au repos.Les cordonnées (P, V) des points ABCD et abcd pour chaque ventricule sont données dans le tableau ci-dessous. Toutes les pressions sont exprimées en millimètre de mercure au-dessus de la pression atmosphérique.

Points Ventricule gauche P (mm Hg), V (ml)

Ventricule droitP (mm Hg), V (ml)

A et a

B et b

C et c

D et d

(8, 50) (4, 50)

(8, 130) (4, 130)

(90, 130) (20, 130)

(120, 50) (20, 50)

Sans effectuer de calcul, indiquer dans quel sens chaque cycle ventriculaire tourne. Indiquer sur le schéma le travail effectif de chaque ventricule.

a. Exprimer le travail complet du coeur pour un cycle.b. Exprimer la puissance du “moteur cardiaque” pour un rythme cardiaque moyen de 65

pulsations par minutes.c. Le rendement énergétique du muscle cardiaque sera pris égal à celui du muscle strié, à

savoir 20 %. Calculer la puissance fournie au muscle cardiaque par l’organisme.d. L’énergie consommée par jour par ce sujet au repos (métabolisme basal) correspond à

1600 Kcal. Calculer la fraction de cette énergie utilisée par le coeur.

6. Escapade en montagneUn alpiniste de 80 kg escalade une paroi de 1000 m de dénivelé en 8h.a. Quel est le travail musculaire minimal nécessaire à l’ascension ?b. Quelle est la puissance correspondante si le travail est fourni à rythme constant ?c. En considérant que le rendement des muscles est de 20 %, quelle sont la puissance et

l’énergie totales réellement développées par l’alpiniste lors de l’ascension ?d. Si un biscuit énergétique fournit environ 20 kcal, combien l’alpiniste doit-il en manger

pour récupérer l’énergie dépensée ?e. L’énergie non-mécanique utilisée par les muscles est convertie en chaleur dans le

corps humain. Calculer la chaleur Q produite par le corps de l’alpiniste et la température interne qu’il atteindrait si cette chaleur n’était pas dissipée. Commenter. (Donnée : chaleur massique du corps humain C = 4180 J.kg-1.K-1)

f. Le corps humain possède deux mécanismes principaux de perte de chaleur:

- par émission de rayonnement infrarouge de puissance:où σ = 5.67 10-8 W.m-2.K-4 est la constante de Stephan-Boltzmann, S est la surface de la peau (S ~ 1,5 m2), T= 30°C la température de la peau et Tex = 10°C la température extérieure.

- par transpiration, en utilisant la chaleur pour évaporer l’eau et l’évacuer par la peau. La chaleur latente de vaporisation de l’eau vaut Lv = 2.428 106 J kg-1.

On tiendra compte également du taux de production naturelle de chaleur du métabolisme basal Pb = 90 W qu’il faut évacuer en plus de la chaleur produite par l’effort physique. Calculer la puissance Pperte que le corps doit évacuer, la puissance rayonnée et la quantité d’eau que devra boire notre alpiniste pour compenser la transpiration.

g. Dans l’hypothèse simplificatrice où la température T de l’air serait indépendante de l’altitude z, (axe Oz orienté vers le haut), exprimer la variation de pression dp de l’air entre les altitudes z et z+dz. On notera ρ la masse volumique de l’air.

h. En considérant l’air comme un gaz parfait, en déduire le profil de pression p(z) en fonction (entre autres) de la masse molaire M de l’air et de la pression au sol patm = 1 atm.

i. Sachant que l’air est constitué de 20 % d’O2 et de 80 % de N2, exprimer la pression partielle de dioxygène en fonction de la pression totale de l’air p(z) à l’altitude z.

j. Pour un individu moyen, les risques de perte de connaissance ou d’hypoxie commencent à devenir importants lorsque la pression partielle de dioxygène devient inférieure à 0,16 bar. Calculer l’altitude maximale que notre alpiniste peut grimper en toute sécurité. (A.N : T = 10°C ; R = 8,314 J.K-1.mol-1 ; MO = 16 g.mol-1 ; MN = 14 g.mol-1). Dans la réalité, quelle approximation faudrait-il améliorer?

7. Evasion de l’hélium terrestreOn enferme dans 3 enceintes identiques, à la même température T = 300 K, de l’hélium (24He), du di-azote (avec 714N) et du dioxygène (avec 816O), à la pression atmosphérique. Calculer l’énergie cinétique moyenne de translation < ε > des molécules de ces gaz et leurs vitesses quadratiques moyennes vq. On note M les masses molaires.a. On rappelle que la probabilité pour qu’une

molécule ait une vitesse comprise entre v et v+dv est dP = f(v) dv où f(v) est la fonction de distribution des vitesses de Maxwell:

b. Calculer la vitesse la plus probable vp pour les trois gaz. Comparer vp et vq.c. La vitesse dite de libération, est la vitesse minimale qu’il faut atteindre pour s’extraire

d’un champ de pesanteur. Sur Terre, cette vitesse vaut vL = 11 km.s-1. Tracer la fonction de distribution des vitesses de Maxwell pour chacun des gaz. Faire figurer la vitesse quadratique moyenne, la vitesse la plus probable et la vitesse de libération.

d. Proposer une explication à la faible teneur en hélium (~0,0005%) de l’atmosphère terrestre sachant qu’il est le deuxième élément le plus abondant dans l’univers après l’hydrogène.

dQ

dt= !S(T 4 ! T 4

ex)

f(v) = 4!!

M

2!RT

"3/2

v2e!Mv22RT

FLUIDES PARFAITSLes liquides seront supposés parfaits et incompressibles dans cette partie. On prendra l’accélération de la pesanteur g = 10 m s-2 dans les exercices suivants.

1. Pression artérielle dans un ascenseur Votre pression artérielle moyenne est de 100 mm Hg au niveau du cœur.1. Quelle est la pression artérielle au niveau de vos pieds? du cerveau ?2. Vous prenez l’ascenseur pour vous rendre du rez-de-chaussée au 5ème étage. L’ascenseur démarre brutalement et vous subissez une accélération de 2g. Quelle est maintenant la pression artérielle au niveau de vos pieds ? du cerveau ? Qu’en concluez-vous ?3.A l’approche du 5ème étage, l’ascenseur ralentit, et vous subissez une décélération de 1.5g. Quelle est maintenant la pression artérielle au niveau de votre tête ? Et dans les pieds ?Données : ρsang =1.29 g.cm-3 h1 =0.4m h2 =1.4m

2. Pression dans un récipientTrois récipients de même surface de base S sont remplis d’eau jusqu’à une hauteur h. Le premier (a) est cylindrique, tandis que la surface du liquide à l’air libre est respectivement 2S pour le récipient (b) et S/2 pour (c). On note ρ la masse volumique de l’eau.

1. Calculez, dans chaque cas, la pression du liquide au fond du récipient, et la résultante des forces de pression s’exerçant sur le fond.

2. Représentez les forces de pression exercées par l’eau sur une surface élémentaire dS latérale. Montrez graphiquement que la résultante de ces forces latérales est dirigée selon Oz.

3. Le volume d’eau étant à l’équilibre, déduisez-en le sens et la norme de la force résultante (somme des forces de pression latérales). On notera P le poids de l’eau dans le récipient considéré.

3. Plongée sous-marine1. Un nageur de 75 kg possède un volume corporel de 74 litres lorsqu’il expire, et son

volume augmente de 3 litres lorsqu’il inspire. Flotte-t-il lorsqu’il a expiré ? Et lorsque ses poumons sont pleins ?

2. Le même nageur s’équipe pour la plongée sous-marine. Il porte désormais un gilet et une combinaison néoprène de 8 litres (2 kg), et une bouteille acier (« bloc ») de 15 litres (17 kg). Flotte-t-il ? Il est d’usage de se lester pour équilibrer la poussée d’Archimède lorsqu’on est complètement immergé, à proximité de la surface, en ayant expiré. Combien de lests de 500g de plomb le plongeur doit-il fixer à sa ceinture (on négligera le volume des lests) ?

3. Ce plongeur prévoit d’effectuer une plongée à 40 m de profondeur. Quelle pression ressentira-t-il en bas? A quelle profondeur ressentira-t-il une pression de 3 atmosphères ?

4. A 40 m de profondeur, la pression écrase la combinaison dont le volume est réduit à 5 litres. Le plongeur est-il toujours à l’équilibre ? Si ce n’est pas le cas, il peut gonfler son gilet de stabilisation avec de l’air de sa bouteille. Quel volume d’air le gilet doit-il contenir pour équilibrer le plongeur (en expiration) ?

5. Quel volume occuperait le gilet de retour à la surface s’il ne pensait pas à le purger en remontant? On suppose la température de l’eau uniforme.

4. Irrigation en montagneUne canalisation cylindrique de section droite uniforme permet d’irriguer un champ de montagne B depuis une station de pompage A en passant par le fond d’une vallée C. Les points A, B, C sont aux altitudes zA = 1500m, zB = 2000m et zC = 1000m.L’eau a une masse volumique ρ =103 kg/m3. 1. Quelle relation existe-t-il entre les vitesses d’écoulement vA, vB, et vC ?2. Quelle doit-être la valeur minimale de pression PA fournie par la station de pompage pour permettre à l’eau d’atteindre le point B ? Comment cette valeur est-elle modifiée si zC=1300m ? Que peut-on dire sur l’intérêt d’une station de pompage en A dans le cas où zA>zB ? On considère que PA =5.5 106 Pa pour un débit Q=2 m3/s et un diamètre de canalisation de 50 cm.3. Sachant que le jet d’eau en B atteint une hauteur de 20 m, quelle est la vitesse de l’écoulement à la sortie de la canalisation ?

5. La clepsydreLa clepsydre est l’un des plus anciens instruments de mesure du temps. On se propose d’étudier ici son principe de fonctionnement. Un réservoir à symétrie axiale circulaire de hauteur H et de rayon maximal R contient de l’eau qui s’écoule par une ouverture circulaire O de rayon r = 1 mm pratiquée dans le fond du réservoir. On définit le repère Oxy ci-contre. On note M(x,y) le point situé à la surface du liquide et au bord du récipient à l’instant t.Au temps t=0, le réservoir est plein : x =R = 100 mm, y =H = 200 mm.

1. Ecrire deux relations qui relient les vitesses v de l’eau à la sortie du réservoir et vy la vitesse de variation du niveau de liquide à la surface.

2. Exprimer v en fonction de g, r, x et y. Exprimer le rapport vy/v.

3. Exprimer et calculer v et vy pour t=0. On notera ces valeurs v0 et vH respectivement.4. Sachant que les parois de la clepsydre sont telles que y =Cx4, que peut-on dire de vy

lorsque la clepsydre est bien remplie (x >> r)? Que peut-on en déduire sur le fonctionnement de la clepsydre ?

5. En déduire la relation y=f(t) tant que la clepsydre est bien remplie. Calculer le temps nécessaire pour que la clepsydre se vide totalement, en supposant que la relation y=f(t) est toujours valable.

6. A l’abordage !

Lorsque 2 bateaux avancent de front à la même vitesse, il existe une force qui tend à les rapprocher. Le but de cet exercice est de modéliser le problème afin d’évaluer cette force.On considère deux navires identiques dont les formes et l’écartement sont décrits dans la figure ci dessus (vue de dessus et de profil). On négligera les forces s’exerçant au voisinage des proues et poupes des bateaux.On oriente un axe Oz vers le haut et on prend la surface de l’eau pour origine z = 0. Le fond de la coque des bateaux se trouve à une cote zmin= -H, avec H > 0.Dans un repère lié aux bateaux, la mer arrive sur eux à la vitesse constante v.

1. La vitesse V de l’eau entre les deux coques, et jusqu’à la profondeur H, est-elle égale, supérieure ou inférieure à v? Représenter vu de dessus l’allure des lignes de courant qui passent entre les deux bateaux, en incluant le prolongement loin des coques.

2. On considère un tube de courant délimité par- 2 plans horizontaux distants de dz, à la cote z, avec –H < z < 0.- 2 surfaces verticales passant par les lignes de courant arrivant sur la proue de

chaque bateau. Montrer que l’on a V = vD/d.3. Déterminer l’expression de l’écart de pression entre un point A loin en amont des

navires et un point B situé entre les navires. L’exprimer d’abord en fonction de ρ, V et v, puis en fonction de ρ, v, D et d.

4. On admet que la pression en tout point extérieur à la région comprise entre les deux navires est la même qu’en A. Déterminer la force F qui s’exerce sur chaque navire. Justifier le fait qu’elle tende à les rapprocher l’un de l’autre. Calculer F pour ρeau =103 kg/m3, L = 50m, H = 3m, v = 5m/s, d = 100m, D = 105m.

7. Rétrécissement du lit d'un fleuveL'eau d'un fleuve très important comme la Volga (plus long fleuve d’Europe, large parfois de 6 km), le Danube hongrois ou le Mississippi inférieur, s'écoule en régime permanent. On

suppose, pour simplifier le problème, que le lit du fleuve est rectangulaire, de largeur l constante et de profondeur h. On suppose aussi que la pente du fleuve est négligeable, tout comme la viscosité de l'eau.

1. Justifiez qu’en descendant vers le fond du fleuve, la pression de l'eau varie en suivant la loi de l'hydrostatique de Pascal. Vous estimerez alors la pression au fond du fleuve.

2. Lorsque le lit du fleuve se rétrécit, en passant d'une largeur l à une largeur l', on voit le niveau du fleuve varier et passer d'une hauteur h à une hauteur h'. En considérant une ligne de courant près du fond du fleuve, montrez qu'on obtient la relation suivante: h'-h = (v²-v'²)/(2g) où v' est la vitesse du fleuve après le rétrécissement.

3. En supposant que les variations de toutes les grandeurs en question sont petites (ie : h' = h +dh et v' = v +dv et en négligeant les termes du second ordre, montrez qu'on obtient la relation différentielle suivante : dv/dh = - g/v

4. Le débit est-il conservé?5. Montrez que pour des variations faibles (ici, vous aurez en plus l'=l+dl), on obtient la

relation différentielle (au 1er ordre):

6. Montrez ensuite la relation :

7. On sépare tous les cours d'eau, du petit torrent au Nil ou au Mississipi, en deux régimes : le régime dit fluvial où l'eau s'écoule plutôt lentement et le régime dit torrentiel où l'eau s'écoule plus rapidement. Pour séparer ces deux régimes, on utilise le nombre de Froude: F =

Si F <<1 le régime est fluvial, si F >>1 le régime est torrentiel. Montrez que ce nombre est sans dimension.8. Le débit de la Volga est de 8000m³/s. En prenant une largeur du fleuve de 500 m et

une profondeur de 20 m, vérifiez qu'on se trouve bien dans un régime fluvial.9. En reprenant l'équation du 6) dans le cadre d'un régime fluvial, que pouvez-vous dire

du niveau du fleuve quand le lit de celui-ci se resserre.10. En généralisant le résultat précédent, que pouvez-vous dire du niveau de l'eau dans un

canal lorsqu'une péniche passe?

FLUIDES VISQUEUX1. La circulation artérielle. On modélise les ramifications de la grande circulation en plusieurs catégories de vaisseaux, tous identiques dans une catégorie, et possédant les caractéristiques suivantes:

Vaisseau nombre de vaisseaux Rayon (mm) Longueur (cm)

Aorte 1 10 40Artères 15 5 60Artérioles 10 000 000 0.025 6Capillaires 1 000 000 000 0.006 0.7

1. Le volume total de sang dans le corps est de 6 litres. En moyenne, au repos, le nombre de pulsations du coeur est de 70 par minute. Enfin, le débit sanguin total est de 6 litres par minute. Calculez le volume Vg de sang expulsé.

2. Calculer la vitesse du sang dans chaque catégorie de vaisseau.3. Calculez le temps mis par le sang pour aller du coeur à la sortie des capillaires.

Estimez alors le temps de recyclage du sang.4. On néglige la viscosité du sang. On considère une personne couchée à l'horizontale et

on néglige les variations d'altitude due à l'épaisseur du corps. La pression sanguine moyenne à la sortie du ventricule gauche est de 100 mm Hg. La masse volumique du mercure est de 13.6 g/cm³, Calculez la pression en Pa à l’entrée de l’aorte.

5. Calculer la perte de pression entre l’entrée et la sortie de l’aorte. Ces pertes seront-elles importantes dans le reste de la circulation?

6. Montrez qu'en présence d'un anévrisme (dilation d'un segment du vaisseau sanguin qui passe d'un diamètre d à un diamètre D), on a un ralentissement du sang, une augmentation de la pression, un risque d'éclatement.

7. On considère maintenant la viscosité du sang η = 3.10-3 Pa.s. Calculez les pertes de pression dans l'aorte et les artères.

8. Calculez les pertes de pression dans les artérioles et les capillaires. Concluez.9. Calculer le rapport des résistances hydrauliques équivalentes de tout le système

d’artères (RA) et d’artérioles (R’A). Concluez.

2. Détermination du coefficient de viscositéOn veut déterminer de deux façons différentes le coefficient de viscosité η d’une huile dont la densité est de 0.9. On prendra g =10 m.s-2.A. Première méthode : une cuve d’huile est plongée dans un bac où elle se vide par cent trous calibrés de longueur 1 cm et de diamètre 0.2 mm. On ajoute régulièrement de l’huile dans la cuve de façon à y maintenir constamment le niveau de la surface libre à L = 50 cm au-dessus de celui du bac. La cuve et le bac sont de grandes dimensions. On trouve qu’il faut ajouter 5

cm3 d’huile par minute. En déduire le coefficient de viscosité de l’huile et la vitesse moyenne d’écoulement dans un trou. B. Deuxième méthode : on s’intéresse ici à la chute d’une bille d’acier (de densité 7.8), sphérique, de rayon r = 0.1 mm, à la vitesse v dans de l’huile. La force de frottement F qui s’exerce sur elle s’écrit F = 6 π η r v en module. La vitesse limite de chute ayant été atteinte, on mesure le temps t = 70 s de chute sur une hauteur de 50 cm. En déduire le coefficient de viscosité de l’huile.

3. Le pipe-lineUn pipe-line de 50 cm de diamètre intérieur est destiné à transporter du pétrole brut de viscosité η = 0.27 Pa.s et de masse volumique ρ = 900 kg.m-3 avec un débit de 360 tonnes par heure. Des stations de pompage sont régulièrement réparties le long de la conduite; chaque pompe augmente la pression de dP=4.5 bar et est actionnée par un moteur de rendement ε = 75%.

1. Calculer la distance maximale entre deux stations de pompage permettant l’écoulement du pétrole au débit escompté.

2. Calculer la puissance de chaque moteur.

4. Cœur artificielPour son utilisation au bloc opératoire, on étudie une pompe (coeur artificiel) représentée ci-contre et qui assure la circulation du sang entre la veine pulmonaire (A) et l'aorte (B). Le dispositif, destiné à remplacer la partie gauche du coeur, fonctionne dans le plan horizontal.Les données du dispositif sont les suivantes: les diamètres de la veine pulmonaire dA=1,4 cm et de l'aorte dB=2 cm, les pressions PA=60 mm Hg et PB=130 mm Hg; le débit Q = 5 litres par minutes. La masse volumique du sang : ρ = 1,055 103 kg.m-3, sa viscosité η = 5 10-3 Pl. 1. Exprimer l'énergie totale que doit fournir la pompe par unité de volume de sang qui la

traverse (on tiendra compte du travail des forces de pression et de l'énergie cinétique en A et en B).

2. En déduire l'expression de la puissance fournie par la pompe pour assurer le débit Q. Faire l'application numérique.

La pompe est utilisée pour irriguer un système vasculaire horizontal composé d'un réseau de N capillaires reliant l'aorte (dB) à une veine de même dimension que la veine pulmonaire (dA). Les N capillaires identiques sont supposés parallèles, horizontaux, de longueur (l = 2 mm) et de rayon r = 5 µm. Les distances BC et AD sont égales à L = 10 cm.3. On prendra pour vitesse moyenne d'écoulement

dans l'aorte v = 0,27 m.s-1. Calculer la perte de charge relative ΔP/PB= (PB-Pc)/PB dans l'aorte.

4. Calculer la vitesse moyenne v’ du sang dans un capillaire et le nombre de capillaires.