TD Logique Combinatoire - CiP 1 Les systmes de Numration

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1 - Les systmes de Numration

1) Calculer lquivalent dcimal des nombres 548, 5878, 1103, 11012, AB9F16 2) Calculer lquivalent binaire et octal des nombres dcimaux 30 et 196 3) Convertir en base 10 les nombres suivants :

a) 10011,0111012 b) 1101,1018 c) 110,1116 d) 1AB,C416 4) Trouver directement les quivalents en octal puis en hexadcimal des nombres

a) 00110010,012 b) 100101,0111012 5) Calculer lquivalent binaire du nombre dcimal 43,12510 puis en dduire simplement

son quivalent octal. 6) Soit le nombre dcimal 1986,1910. Trouvez, 10-2 prs, ses expressions en binaire,

octal, hexadcimal et DCBN 7) Convertir dans le systme binaire le nombre 345,118 8) Convertir en base 2 les nombres hexadcimaux suivants :

a) 91,DE16 b) F9,3B16 c) C1A,5716 d) 1AB,C416 9) Quelle est la capacit dcimale correspondant

a) un nombre hexadcimal de 6 chiffres b) un nombre binaire de 10 bits

10) Calculer, en base 2, la somme, la diffrence, le produit et le quotient des nombres 111100112 et 000010102

11) Effectuer, en base 2, la soustraction suivante : 101101,1012 10110,012 Donner le rsultat en base 8 sans recourir lcriture dcimale

12) Effectuer, dans le systme hexadcimal, laddition 4B916 + FFF16 13) Oprant en complment deux , on dispose de mots-machine dun octet :

Ecrire les nombre entiers signs suivants : 123, 73, -73 Effectuer en explicitant laddition algbrique : (+123) + (-73)

14) Trouver les quivalents binaires de A=51,7510, B=2,2510 et C=0,37510 Rappel : 2-1=0,5 ; 2-2=0,25 ; 2-3=0,125 ; 2-4=0,0625 Calculer le produit de B et C, la division de A par B, la soustraction de B par C

15) On dispose dune reprsentation normalise en virgule flottante (Norme IEEE 754, voir cours) Ecrire les nombres A, B, -B, C et C de lexercice 14 dans cette reprsentation

normalise Calculer dans cette reprsentation la soustraction de B par C, arithmtiquement et

par complment 2 Calculer dans cette reprsentation la soustraction de C par B et vrifier que lon

obtient bien loppos de B-C effectu prcdemment.

TD Logique Combinatoire - CiP 1 Fonctions et Circuits Logiques

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2 - Fonctions et Circuits Logiques

1) Dmontrer, en utilisant les axiomes de lalgbre de Boole, les thormes suivants : Idempotence 11 , ,. =+=+= XXXXXXX Absorption YXYXXXXYXX +=+=+= , ,0.0 Consensus VXXYYVVXXY +=++

XYXYX =++ ))(( ))(())()(( VXYXVYVXYX ++=+++

Thormes de Morgan YXYXYXYX +==+ .et . 2) Calculer une expression simplifie de YVXVYZXZF +++= 3) Soit la fonction DBABCCDF ++= , trouver, algbriquement, une forme simplifie

du type YZXYF += . Expliciter X, Y et Z. 4) Ecrire les tables dimplication (tables de vrit) des fonctions BABAABBA .et . ,. + .

Montrer quelles permettent de comparer A et B.

5) Trouver, laide des thormes de Morgan, une expression simple pour YXXYF .+= Soit la fonction YXYXF += , trouver deux expressions quivalentes, lune se met sous la forme dun produit de produels et lautre est le produit dun produel par linverse dun produit. Tracer les logigrammes des trois circuits correspondant.

6) Complmenter et simplifier la fonction DCBADCBAF +++= 7) Exprimer sous forme de produels de produits de variables (complmentes ou non) les

fonctions F1, F2, F3 exprimes sous forme de tables de vrits suivantes : X Y Z F1 F2 F30 0 0 0 0 00 0 1 1 0 10 1 0 1 1 00 1 1 0 1 11 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 1 0 1 0 11 1 1 0 0 0

Peut-on raliser F3 partir de F1 et F2 ? Justifier la rponse. 8) Simplifier les fonctions logiques ( )( )YXZXYF =1 et ( )YXXYZF =2 9) Montrer que CBA = est quivalent CAB = et est quivalent ABC = 10) Raliser laide de diodes les circuits logiques ET et OU 11) Questions

a) Quest-ce quun oprateur logique complet ? b) Loprateur A+B est-il un oprateur logique complet ? Justifier le rsultat c) Les oprateurs NAND et NOR sont-ils des oprateurs logiques complets ?

Tracer, lorsque cela est possible, les logigrammes des circuits raliss

TD Logique Combinatoire - CiP 1 Fonctions et Circuits Logiques

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d) Mme question pour loprateur YX + 12) Etablir la fonction logique S=F(E0,E1,E2 ,E3,A,B) dun multiplexeur 4 entres

dinformation E0,E1,E2 ,E3, 2 entres de commande A et B et une sortie S.

13) Dduire, du schma de la figure ci-dessous, lexpression simplifie de F(X,Y).

X

YF

14) Soit le circuit arithmtique suivant.

A

LF

M Trouver lexpression de la premire forme canonique de la fonction F=F(A,L,M)

Raliser la table de vrit de F en fonction de A, L et M.

On considrera maintenant L et M comme des entres de contrle. Remplir la table de vrit ci-dessous en exprimant F en fonction de 1, 0, A et /A. Que peut-on en dduire ?

L M F

TD Logique Combinatoire - CiP 1 Diagrammes de Karnaugh

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3 - Diagrammes de Karnaugh

1) Etablir les diagrammes de Karnaugh des fonctions suivantes:

( ) BABABABAF ...,1 ++= ( ) CBABACBACBAF .....,,2 ++= ( ) BACBCACBAF ...,,3 ++= ( ) DCBADCBADCBADCBADCBADCBAF ...............,,,4 ++++=

En outre, on tiendra compte du fait que F4 est indtermine pour ACD et BCD. ( ) variables4 EXCLUSIF OU ,,,5 =DCBAF ( ) ( ) ( ) += 0 1 6 3,1 10,8,5,4,2,0,,, DCBAF ( ) ( )++++++++= .........................,,,,7 DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAEEDCBAF

( )DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAE ...................... ++++++ 2) Soit les fonctions F1, F2, F3 exprimes sous la forme des tables de vrit suivantes :

X Y Z F1 F2 F3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0

a) Etablir les diagrammes de Karnaugh de ces fonctions b) En dduire des expressions simplifies de F1, F2, F3 c) Raliser les logigrammes de ces fonctions laide de portes NOR uniquement

3) Raliser, laide de portes NOR uniquement, le transcodeur permettant de passer du code GRAY excdent 3 au code 8421 (Dcimal Cod Binaire Naturel). On dressera dabord les diagrammes de Karnaugh en tenant compte des conditions interdites puis on donnera les fonctions logiques Di simplifies.

G3 G2 G1 G0 D3 D2 D1 D0 Dcimal 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 1 0 0 0 1 0 1 5 1 1 0 1 0 1 1 0 6 1 1 1 1 0 1 1 1 7 1 1 1 0 1 0 0 0 8 1 0 1 0 1 0 0 1 9

4) Proposer un schma de circuit logique ralisant laddition de 2 nombres binaires de 3 digits (bits). Pour cela, on ralisera dabord :

Un schma de circuit logique ralisant laddition de 2 digits binaires, en crivant la somme sous la forme de 2 digits binaires :

TD Logique Combinatoire - CiP 1 Diagrammes de Karnaugh

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S pour celui de poids 20 R pour celui de poids 21 Nota : Un tel circuit est appel demi- ou semi-additionneur

Le schma du circuit logique ralisant laddition de 3 digits Mme question pour la soustraction

5) Trois oprateurs A, B, C commandent lallumage de deux lampes R et S dans les conditions suivantes :

Ds quun ou plusieurs oprateurs sont activs, la lampe R doit sallumer La lampe S ne doit sallumer que si au moins deux oprateurs sont activs Calculer, laide de diagrammes de Karnaugh, les expressions des fonctions binaires R et

S ne faisant intervenir que des portes NAND.

6) On veut raliser un circuit capable de comparer 2 nombres digitaux de 4 bits nots A=A3A2A1A0 et B= B3B2B1B0 que lon appelle communment comparateur 4 bits . Pour cela, on demande :

a) de raliser le logigramme du comparateur de 2 bits Ai et Bi, schmatis ci-dessous

Comparateur2 bits

Ai

Bi

Si : Ai > Bi

Ei : Ai = Bi

Ii : Ai < Bi

b) de comparer les deux nombres digitaux des bits A et B. Pour cela, il est conseill :

dtablir, par raisonnement, la fonction boolenne S telle que S=S(E3,E2,E1,E0,A3,A2,A1,A0,B3,B2,B1,B0) reprsente la condition A>B

de trouver, par dduction, la fonction reprsentant la condition A