Ecole des Ponts ParisTechMcanique des structures

TD 1: introduction la mcanique analytique des structures

10-21 octobre 2013

1 Liaisons cinmatiques (2D)

1.1 Dfinition des liaisons cinmatiques extrieuresCompte tenu du nombre des degrs de libert dun corps rigide dans le plan et du fait que le blocage du

mouvement de translation dans une direction ne diffre pas idalement du blocage du mme mouvementdans nimporte quelle autre direction, on sait quil nexiste que 5 liaisons possibles, dont 2 aptes aublocage de 1 degr de libert, 2 aptes au blocage de 2 degrs de libert et 1 qui en bloque 3, comme lemontre le tableau ci-dessous

liaison action sur les degrs de libert n. ddlbloqustranslation x translation y rotation1 bloque libre libre

11 libre bloque libre2 libre libre bloque3 bloque bloque libre

24 bloque libre bloque4 libre bloque bloque5 bloque bloque bloque 3

Appui simple ou liaison ponctuelle. Cette liaison est dfinie par la donne dun point au solA et dunedirection passant par ce point n ; un point du corps est li en ce mme point de sorte quon peut lidentifierpar la mme lettre A : la liaison ponctuelle place en A bloque les mouvements de translation du corpsdans la direction n, laissant les translations dans la direction t orthogonale n et les rotations autour deA libres.

n

t

A

1

1.1 Dfinition des liaisons cinmatiques extrieures

Pour reprsenter un appui simple on dessine un triangle mis en relation avec le sol par deux roulettes,comme un patin, et li au corps par le sommet oppos aux roulettes. Les roulettes reprsentent la pos-sibilit de se dplacer dans la direction dfinie par la ligne du sol, le contact ponctuel avec le corps lapossibilit pour celui-ci de tourner librement autour de ce contact ; seuls les mouvements de translationdans le sens orthogonal la ligne du sol sont bloqus.

Implicitement, dans ce cas comme dans tous les autres qui seront prsents dans la suite, on considreque les conditions de contact entre lments du dessin sont bilatrales, cest dire que le patin ne peut nipntrer dans le sol ni se soulever et que la poutre ne peut pas se dtacher du sommet du triangle. Notezaussi que la liaison est idalement vue comme occupant un seul point, A dans le dessin.

Double glissire. Liaison dfinie par la donne dun pointA commun aux sol et au corps, qui ne bloqueque les rotations de celui-ci, les translations restant libres dans nimporte quelle direction. La liaison estlquivalent de deux glissires conscutives places en A, permettant des translations sur deux directionsdiffrentes (la liaison dite glissire sera dfinie dans la suite).

A

La reprsentation de la liaison montre deux patins roulant sur deux directions orthogonales entre elles(en effet il suffit de prendre deux directions distinctes non ncessairement orthogonales) ; ainsi les mou-vements des patins permettent, en se composant, la ralisation de translations dans nimporte quelle di-rection du plan. Comme les roulettes ne peuvent pas se dtacher ni pntrer dans leur roulements, lesrotations sont empches.

On observe dans le dessin de la double glissire des traits reli entre eux sans lintermdiaire dutriangle comme dans le cas de lappui simple ; par exemple le trait reprsentant le support des roulettesposes au sol est directement li au trait reprsentant le plan sur lequel glissent les roulettes de la deuximeglissire. Cette continuit graphique indique deux objets solidaires, ne pouvant ni sloigner ni se rappro-cher ni tourner lun par rapport lautre. Ce concept, appel encastrement, sera prsent successivement.

Pivot ou charnire ou rotule. Liaison dfinie par la donne dun pointA commun au sol et au corps, dit centre de la rotule , qui bloque toute translation du corps en ne laissant libres que les rotations autourde A. Les dnominations donnes ne sont quivalentes que dans les systmes plans ; dans les systmes trois dimensions, charnire et rotule indiquent de liaisons qui autorisent les rotations autour dun axe,alors que pivot indique une liaison permettant les rotations autour dun point.

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1.1 Dfinition des liaisons cinmatiques extrieures

A A

Graphiquement on reprsente cette liaison soit par un cercle sparant le sol et le corps li, dont le centrecorrespond la trace sur le plan de laxe de la rotation possible autour de la rotule, soit par un triangle,comme celui de lappui simple, mais pos au sol sans roulettes, pour indiquer que la rotation se faitautour du sommet du triangle auquel est li le corps. En tout cas les reprsentations indiquent que aucunetranslation nest possible, alors que la rotation autour du point indiqu, par le centre du cercle ou par lesommet du triangle, reste possible.

Notez que la reprsentation de la rotule comme un cercle ne signifie pas que le corps li peut roulersur le sol : le cercle indique laxe de la rotation libre pour le corps et il est solidaire avec le sol. De cepoint de vue la reprsentation par un triangle est prfrable car elle ne genre aucune ambiguit.

Glissire. Liaison dfinie par la donne dun point A, commun au sol et au corps li, et dune directionn, qui bloque les rotations et les translations du corps dans la direction n, seules les translations dans ladirection t orthogonale n restant libres.

A

n

t

La reprsentation suit celle qui a t donne pour la double glissire, mais avec un seul patin et donc detranslations possibles dans une seule direction.

Encastrement. Liaison dfinie par la donn dun point A commun au sol et au corps, qui bloque toutmouvement de translation ou rotation du corps.

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1.2 Dfinition des liaisons intrieures

A

Le contact direct entre le corps et le sol prsent dans le dessin indique que aucun mouvement ne serapossible pour le premier.

1.2 Dfinition des liaisons intrieuresDes raisonnements analogues ceux qui nous ont conduit la dfinition des liaisons cinmatiques

du paragraphe prcdent quon appellera dsormais extrieures , nous mnent la dfinition de5 types de liaisons intrieures. Notez que le choix de deux axes pour identifier les translations relativesna pas de signification intrinsque. Dans les cas rels il est ventuellement intressant de distinguer lesliaisons exerces suivant les axes des poutres.

Sur les 5 liaisons possibles, 2 bloquent 1 degr de libert relative, 2 en bloquent 2 et 1 en bloque 3, cequi est rsum dans le tableau ci-dessous

liaison action sur degrs de libert relative n. ddlbloqustranslation x translation y rotation1 bloque libre libre

11 libre bloque libre2 libre libre bloque3 bloque bloque libre

24 bloque libre bloque4 libre bloque bloque5 bloque bloque bloque 3

Liaison ponctuelle ou bielle. Cette liaison est dfinie par la donne de deux points, A et B, un surchacun des deux corps relis, identifiant une direction n : la liaison ponctuelle place entre A et Bbloque les mouvements de translation relative dans la direction n, laissant les translations relatives dansla direction t orthogonale n et les rotations autour de A et B libres.

A

B

n

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1.2 Dfinition des liaisons intrieures

La reprsentation de la liaison montre une barre munie de rotules ses extrmits, par lesquelles elle estattache aux deux corps rigides qui se trouvent ainsi mis en relation. Les rotules sont reprsents par descercles, dont les centres A et B indiquent les axes de rotation ; laxe de la bielle indique la direction nsuivant laquelle les translations relatives sont bloques.

Double glissire. Liaison dfinie par la donne dun point A du corps, ne bloque que les rotationspropres, les translations restant libres dans nimporte quelle direction.

A

La reprsentation de la liaison par quatre bielles deux deux parallles indique la possibilit dun mou-vement obtenu par la composition de deux translations, chacune orthogonale la direction dun couplede bielle, et donc finalement la possibilit dun mouvement de translation dans une direction arbitraire.

Pivot ou charnire ou rotule. Liaison dfinie par la donne dun point A, dit centre de la rotule ,bloque toute translation en ne laissant libres que les rotations relatives autour de A. Les dnominationsdonnes ne sont quivalentes que dans les systmes plans ; dans les systmes trois dimensions, charnireet rotule indiquent de liaisons qui autorisent les rotations autour dun axe, alors que pivot indique uneliaison permettant les rotations autour dun point.

A

Glissire. Liaison dfinie par la donne dun point A et dune direction n, bloque les rotations et lestranslations dans la direction n, seules les translations dans la direction t orthogonale n restant libres.

A

n

La reprsentation par deux bielles parallles indique la possibilit dun mouvement de rotation autour dupoint linfini de la direction des bielles, cest dire dun mouvement de translation dans la directionorthogonale celle-ci.

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Encastrement. Liaison dfinie par la donn dun point A, bloque tout mouvement de translation ourotation relative des deux corps, de sorte quils peuvent tre considrs comme un seul corps rigide.

A

2 Exercices

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

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Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

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Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

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Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23

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Exercice 24

Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27

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Exercice 28

Exercice 29

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Exercice 30

Exercice 31

Exercice 32

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Exercice 33

Exercice 34

Exercice 35

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Exercice 36

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