8/10/2019 TD1RO (2)

1/7

Universite Hassan II Mohammedia - Casablanca

Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca

Recherche Oprationnelle : TD1

Exercice 1.

Une usine fabrique 2 produits P1et P2en utilisant un certain nombre de ressources : quipement,main duvre, matires premires. Ces besoins sont indiqus dans le tableau ci-dessous. Par ailleurs,chaque ressource est disponible en quantit limite (cf. tableau).

P1 P2 disponibilitquipement 3 9 81Main duvre 4 5 55Matire premire 2 1 20

Les deux produitsP1et P2rapportent la vente respectivement des bnfices de 6$ et 4$ par unit.

1. Formuler algbriquement le PL ainsi pos.

Choix des variables : x1 et x2 sont respectivement les quantits des produits P1 et P2fabriqus.

Choix de la fonction objectif : Pour x1 quantit de P1, on aura un profit de 6x1 et pourx2quantit de P2, on aura 4x2.Le bnfice total est alors Z= 6x1+ 4x2

Les contraintes :Lquipement: on utilise 3x1 pour x1 de P1 et 9x2 pour x2 de P2 et au total on utilise3x1+ 9x2 de lquipement et qui ne doit pas dpasser 81.Main duvre : on utilise 4x1 pour x1 de P1 et 5x2 pour x2 de P2 et au total on utilise4x1+ 5x2 de main duvre qui ne doit pas dpasser 55.Matires premires : On utilise 2x1 pour x1 de P1 et 1x2 pour x2 de P2 et au total onutilise2x1+ 1x2 de Matires premires qui ne doit pas dpasser 20.Plus la positivits des variables : x1, x2 0.En rsum, le problme de production se modlise sous la forme

max z = 6x1+ 4x2

s.c

3x1 + 9x2 814x1 + 5x2 552x1 + x2 20

x1, x2 0

2. Dterminez graphiquement lensemble des solutions admissibles.Dans le cas dun PL deux variables, on peut rsoudre le problme par la mthode graphique.Les contraintes avec des ingalits corrsepondent gomtriquement des demi-plans.

Lintersection de ces demi-plans forme lensemble des solutions admissibles (ralisables) (lapartie colorie)

1

8/10/2019 TD1RO (2)

2/7

Pour dterminer la solution optimale, on fait glisser la droite (z = 6x1 + 4x2)(translationparallle la direction de la droite) du bas (z= 6x1+ 4x2 = 0) vers le haut jusqu rencontrerle point optimal.

3. Quelles quantits de produits P1 et P2 doit produire lusine afin de maximiser le bnfice totalvenant de la vente des 2 produits ?Graphiquement, on trouve les coordonnes de la solution optimale(voir la question prcdente)x= (x1, x2) = (15/2, 5)

4. Donnez le profit maximal.Le profit maximal est donc Zmax= 6 15/2 + 4 5 = 65

Exercice 2.

On se propose de raliser une alimentation conomique pour des bestiaux, qui contient obligatoi-rement 4 sortes de composants nutritifs, A, B, C et D. Lindustrie alimentaire produit prcismentdeux aliments M et N qui contiennent ces composants :1 Kg daliment M contient 100 g de A, 100 g de C, 200 g de D ;1 Kg daliment N contient 100 g de B, 200 g de C, 100 g de D.Un animal doit consommer par jour au moins 0.4 Kg de A, 0.6 Kg de B, 2 Kg de C et 1.7 Kg de D.Laliment M cote 10$ le Kg et N cote 4$ le Kg.

1. Formuler algbriquement le PL ainsi pos.On peut rsumer toutes les donnes du problme dans le tableau suivant

M N Quantits prescritesA 0.1 0 0.4B 0 0.1 0.6C 0.1 0.2 2

D 0.2 0.1 1.7Cot 10 4

Les variables de dcision sont- x1 : la quantit daliments M- x2 : la quantit daliments NLes contraintes de positivit sont x1, x2 0.On utilise la composante nutritif A dans laliment M ( 0.1x1) et dans laliment N(0x2), au total

2

8/10/2019 TD1RO (2)

3/7

0.1x1+ 0x2 0.4 consommation minimale de A par lanimalOn utilise la composante nutritif B dans laliment M (0x1) et dans laliment N(0.1x2), au total0x1+ 0.1x2 0.6 consommation minimale de B par lanimalOn utilise la composante nutritif C dans laliment M (0.1x1) et dans laliment N(0.2x2), autotal0.1x1+ 0.2x2 2 consommation minimale de C par lanimalOn utilise la composante nutritif D dans laliment M (0.2x1) et dans laliment N(0.1x2), autotal0.2x1+ 0.1x2 1.7 consommation minimale de C par lanimalLa fonction objectif est une fonction cot : z = 10x1+ 4x2.Le programme linaire est un programme de minimisation :

min z = 10x1+ 4x2

s.c

x1 + 0x2 40x1 + 1x2 61x1 + 2x2 202x1 + 1x2 17

x1, x2 0

2. Dterminez graphiquement les quantits daliments M et N doit-on utiliser par jour et paranimal pour raliser lalimentation la moins coteuse ?

La solution optimale est x = (4, 9).

3. Donnez le cot minimal.Le cot minimal estZmin= 10 4 + 4 9 = 76

Exercice 3.

Soit le programme linaire suivant :

maxz = x1+ 3x2

s.c

x1 + x2 14

2x1 + 3x2 12

2x1 x2 12

x1, x2 0

3

8/10/2019 TD1RO (2)

4/7

Dterminez, en utilisant linterprtation gomtrique :

1. Lensemble des solutions ralisables du PL :Polydre (OABCD), voir la figure suivante

2. Les sommets de lensemble des solutions admissibles et la solution optimaleLes sommets sont O,A, B,C,D. La solution optimale est x = (6, 8)

3. Dans la fonction objectif on change le coefficient (c2 = 3) par c (z = x1+ cx2). Pour quellesvaleurs dec le problme PL possde une infinit de solutions une solution autre que celle trouve en 2.La solution optimale ne change pas si :pente(x1+ x2 = 4)< pente(x1+ cx2)< pente(2x1+ 3x2 = 12)cest--dire1< 1

c 1 et c > 3/2ce qui implique c >1.

Donc si c >1, la solution optimale ne change pas .Si c = 1alors z = x1+ x2. Cette droite devienne parallle avec la droite x1+x2 = 14ce quidonne une infinit de solution,Si 0 < c < 1, on aura une solution autre que celle trouve en 2.

Exercice 4.

Soit le programme linaire suivant :

maxz = 3x1+ 2x2

s.c

2x1 + x2 4

2x1 + x2 2

x1 x2 1

x1, x2 0

1. Rsoudre le problme par la mthode graphique. Quelle est la solution optimale et la valeurmaximale de la fonction conomique ?

4

8/10/2019 TD1RO (2)

5/7

La solution optimale est x = (0.5, 3)et la profit maximal estZmax= 0.5 3 + 2 3 = 7.5

2. Donner les coordonnes des sommets de lensemble des solutions admissibleLes sommets avec les coordonnes :O(0,0), A(1,0), B(5/3,2/3), C(0.5,3), D(0,2). Pour le B, on rsout le systme suivant :

2x1+ x2 = 4x1 x2 = 1

Par limination (la somme des equations 1 et 2) on a x1 = 5/3et si on remplace x1on obtientx2 = 2/3.

3. Quelles sont les valeurs du second membreb1(dans la premire contrainte), pour lesquelles lasolution optimale initiale ne change pas ?La solution optimale se strouve lintersection entre le droite 2x1+ x2 = b1 = 4 et la droite2x1+ x2 = 2 cest--dire ces deux contraintes sont satures et tout changement du secondmembre de ces quations entraine ncessairement un changement de solution optimale. La seulevaleur deb1 qui laisse la solution optimale initiale inchange est la valeur initiale de b1 = 4.

4. Pour quelles valeurs du second membre b2 (dans la deuxime contrainte), lensemble des solu-tions ralisables est vide

Si la droite 2x1+ x2 = b2 dpasse le point B vers le bas(c--db2 < 2 5/3 + 2/3 = 8/3) alors lensemble admissible est vide.

contient une seule solutionSi la droite 2x1+ x2 = b2 dpasse le point B(5/3,2/3) vers le haut(c--db2 > 2 5/3 + 2/3 = 8/3) au aura toujours une seule solution optimale.

5. Pour quelles valeurs du coefficientc1de la fonction objectif, le PL admet plus quune solution?La solution optimale ne change pas si :pente(2x1+ x2 = 4)< pente(cx1+ 2x2)< pente(2x1+ x2 = 2)cest--dire

5

8/10/2019 TD1RO (2)

6/7

2< c2

8/10/2019 TD1RO (2)

7/7

Exercice 6.(Groupes Gestion)

Un conseiller financier doit choisir pour un club dinvestissement un certain nombre dactionsdans lesquelles investir. Le club souhaite investir 100 000$ dans six actions diffrentes. Le conseillerlui indique le retour dinvestissement (taux de retour) quil peut esprer pour une priode de sixmois. Le tableau suivant donne pour chaque action son nom, sa catgorie (T : technologique, N :non technologique) et le taux de retour espr. Le club impose certaines contraintes au conseiller.Il veut investir au moins 5 000 $ et au plus 40 000$ dans chaque action. Le club dinvestissementdsire investir la moiti de son capital dans les actions franaises et au plus 30% dans des valeurstechnologiques.

No Nom catgorie Retour1 Dash Associates (UK) T 5.3%2 Ilog France (F) T 6.2%3 France Telecom(F) T 5.1%

4 General Motor (USA) N 4.9%5 Elf (F) N 6.5%6 BNP(F) N 3.4%

Comment doit se rpartir le capitale entre chaque action pour esprer le meilleur retour sur in-vestissement ? (formuler le problme par un programme linaire puis le rsoudre avec le solveurdExcel)

Voir le fichier Excel TD1EXE6.xlsx

7