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TD Physique n°8 : Transport de masse et d’énergie par convection

Exercice 1 : Etude d’un mélangeur de douche

On étudie un mélangeur de douche parfaitement calorifugé. L’écoulement d’eau chaude, de débit massique Dm1, provient d’un chauffe-

eau à T1 = 65 ◦C. Celui d’eau froide, de débit massique Dm2, est à la température T2 = 5,0 ◦C. La pression, identique pour les deux

écoulements, vaut P = 1,5 bar. Les variations d’énergie cinétique et potentielle sont négligées. La capacité thermique massique de l’eau

liquide vaut 𝑐𝑃 = 4,18 𝑘𝐽. 𝐾−1𝑘𝑔−1. Le régime permanent est supposé établi. On note Dm3, le débit massique de l’eau sortant du

pommeau.

1. Donner l’expression de Dm3 en fonction de Dm1 et Dm2.

2. Montrer que le premier principe en système ouvert se traduit par la relation : 𝐷𝑚3ℎ3 = 𝐷𝑚1ℎ1 + 𝐷𝑚2ℎ2.

3. Déterminer le rapport D1/D2 entre les débits d’eau chaude et d’eau froide pour que la température de l’eau sortant du pommeau de

douche soit T3 = 40 ◦C.

Exercice 2 : Refroidissement à eau d’un air chaud

L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire 𝑀 = 29 𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1

et de coefficient 𝛾 =𝑐𝑃

𝑐𝑉= 1,4. L’eau est considérée comme un fluide

incompressible de capacité thermique massique 𝑐 = 4,2 𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1.

De l’air sortant d’un compresseur à la pression 𝑃1 = 5,0 𝑏𝑎𝑟 et à la

température 𝑇1 = 519 𝐾 est refroidi de façon isobare jusqu’à la

température 𝑇0 = 300 𝐾 dans un échangeur parfaitement calorifugé.

Le fluide réfrigérant est de l’eau qui entre à la température 𝜃𝑒 = 12 °𝐶 et ressort à la température 𝜃𝑠.

On considère un régime permanent établi avec des débits massiques suivants : 𝐷𝑚,𝑎𝑖𝑟 = 6,8 𝑔. 𝑠−1 pour l’air et 𝐷𝑚,𝑒𝑎𝑢 = 100 𝑔. 𝑠−1

pour l’eau.

1. Montrer que l’application du premier principe au système ouvert constitué de l’air et de l’eau donne : 𝐷𝑚,𝑎𝑖𝑟Δℎ𝑎𝑖𝑟 +

𝐷𝑚,𝑒𝑎𝑢Δℎ𝑒𝑎𝑢 = 0.

2. Exprimer alors littéralement puis numériquement la température 𝜃𝑠 en °C.

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Exercice 3 : Etude d’une installation motrice à vapeur

Les installations motrices à vapeur sont des machines à apport de chaleur externe, fournie soit par réaction nucléaire soit par

combustion. Au cœur de ces installations se trouve un fluide, de l’eau, auquel on fait subir une succession de transformations formant

un cycle. Au cours de ce cycle, l’eau se transforme en vapeur, à haute pression, sa détente met en rotation une turbine qui entraîne un

alternateur qui convertir l’énergie mécanique en énergie électrique. Toutes les transformations envisagées sont considérées comme

réversibles.

Les propriétés thermodynamiques de l’eau nécessaires à la résolution du problème sont données dans le tableau ci-dessous :

hl est l’enthalpie massique de l’eau liquide saturant, hv est l’enthalpie massique de l’eau vapeur saturante.

sl est l’entropie massique de l’eau liquide saturant, sv est l’entropie massique de l’eau vapeur saturante.

T et P désignent la température et la pression de l’eau.

cpl et cpv sont respectivement les capacités thermiques massiques à pression constante de l’eau sous forme de liquide et de vapeur

saturante.

.. signifie que la grandeur de la colonne n’est pas définie dans la ligne correspondante.

1. a) En considérant la vaporisation, isotherme à la température T, complète d’un kilogramme d’eau, dont l’état initial est liquide

saturant, indiquer le lien entre hl, hv ,sl, sv et T.

b) Compléter la colonne sl du tableau pour la ligne (I)

c) Commenter les données numériques fournies dans les lignes (III) et (IV) du tableau.

2. On considère le cas où le fluide est un corps pur diphasé, à l’équilibre à la température T, composé d’une phase liquide et d’une

phase vapeur et on note x la fraction massique de vapeur.

a) Etablir la relation entre x, hl, hv et h l’enthalpie massique du système diphasé.

b) Donner, par analogie, la relation entre x, sl, sv et s l’entropie massique du système diphasé.

Le schéma d’une installation motrice à vapeur est donné ci-dessous. Cette installation fonctionne avec de l’eau et fait apparaître

différents éléments.

• l’eau liquide pénètre dans le générateur de vapeur GV et se vaporise au contact d’un fluide caloporteur issu du cœur d’un

réacteur. L’eau diphasique n’est pas totalement vaporisée mais les phases vapeur et liquide sont déparées par gravité dans

le ballon de sorte que le fluide en 1 soit bien de la vapeur saturante. La transformation de l’eau de 4 à 1 est isobare.

• La vapeur subit une détente adiabatique dans une turbine (transformation de 1 à 2)

• L’eau traverse alors un condenseur (C) où elle se condense avec un fluide froid provenant par exemple d’un fleuve.

La transformation dans le condenseur de 2 à 3 est isobare.

• L’eau subit une compression adiabatique dans la pompe (P) (transformation de 3 à 4).

L’énergie mécanique recueillie au niveau de la turbine est transformée en énergie électrique par l’alternateur (A).

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La cycle subit par l’eau est représenté dans un diagramme entropique ci-dessous. Il s’agit de la représentation de la température (en °C)

en fonction de l’entropie massique de l’eau :

• ------ : en tirets gras est représentée la courbe de saturation qui limite le domaine de l’équilibre liquide vapeur.

• …….. : en pointillés fins sont représentés les courbes le long desquelles la fraction massique x de vapeur est constante (x =

0,1 ; x= 0,2, x= 0,3 par exemple)

• -∙-∙-∙-∙- : en tirets-pointillés sont représentés les isobares.

3. Représenter le cycle décrit par l’eau dans le diagramme ci-dessus.

4. a) Déterminer par lecture directe sur le diagramme de la figure 4 les titres massiques au point 2 et 3.

b) Retrouver ces résultats en exploitant les données du tableau (1).

c) En déduire les valeurs numériques des enthalpies massiques, notées h2 et h3, aux points 2 et 3.

5. Quelle est la phase pendant laquelle l’eau reçoit de la chaleur ? Quelle est la phase pendant laquelle l’eau cède de la chaleur.

6. Pour chacune des 4 transformations du cycle déterminer littéralement puis numériquement le travail massique et/ou la chaleur

massique reçue par l’eau.

7. Déterminer littéralement, puis numériquement, le travail reçu par l’eau au cours du cycle.

8. Définir le rendement du cycle, puis le calculer numériquement.

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Exercice 4 : Procédé Linde-Hampson : liquéfaction du gaz naturel

Le 8 juillet 2016 le terminal méthanier de Dunkerque fut réellement mis en service avec l’arrivée du premier méthanier le Madrid

Spirit, battant pavillon espagnol, en provenance du Nigéria, qui a déchargé 130 000 m3 de gaz naturel liquéfié (GNL). Ce terminal

recevra ensuite le GNL de Norvège, premier importateur de gaz naturel en France.

1. Par analogie avec le diagramme de Clapeyron (P, 𝑣) liquide-vapeur, où 𝑣 est le volume massique du méthane, reproduire et

annoter le diagramme (𝑃, ℎ) fourni en Annexe 2, où ℎ est l’enthalpie massique du méthane. On précisera le nom des courbes,

les différents domaines et le point particulier apparaissant dans ce diagramme.

On désire étudier le procédé de Linde de liquéfaction du méthane, utilisé par exemple dans l’usine de Snøhvit en Norvège, schématisé

Figure 1 avec les différents états du fluide numérotés de 0 à 10, permettant d’obtenir un débit massique 𝐷𝑚10 de méthane liquide

saturant à la pression 𝑃10 = 1 bar à une température 𝑇10 = –161,7 °C (état 10), à partir de méthane gazeux avec un débit massique 𝐷𝑚0

= 1,0 kg.s–1 à la température 𝑇0 = 7,0 °C et à la pression 𝑃0 = 1,0 bar (état 0).

Figure 1 : Installation de Linde permettant la liquéfaction du méthane

Description de l’installation de Linde :

• Dans l’installation de Linde (Figure 1), le méthane est initialement introduit dans un mélangeur Mél.

• Le gaz est ensuite admis dans trois compresseurs 𝐶1, 𝐶2 et 𝐶3 solidaires d’un même arbre entrainé sans perte par un moteur 𝑀,

ainsi que trois échangeurs de chaleurs (systèmes de refroidissement) 𝐸1, 𝐸2 et 𝐸3 permettent d’obtenir en l’état 7 du gaz à la

pression 𝑃7 = 100 bar et à la température 𝑇7 = – 63 °C.

• Un régénérateur 𝑅 permet de refroidir le gaz comprimé à −82 °C (état 7bis). Ce gaz refroidi est détendu isenthalpiquement de

100 bar à 1 bar par le détendeur 𝐷 jusqu’à l’état diphasé 8 de titre massique en vapeur 𝑥8.

• Les phases liquide et gazeuse sont ensuite séparées dans le séparateur isobare 𝑆. La vapeur saturante sèche sortant du séparateur

est recyclée dans le régénérateur 𝑅.

• Dans toute l’étude qui suit, on se place en régime permanent d’écoulement. On négligera toute variation d’énergie mécanique

du fluide.

Dm0

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Les données numériques, nécessaires à la résolution du problème, des différents états du fluide dans l’installation de Linde, sont

regroupées dans le Tableau 2 ci-dessous.

Tableau 2 : Données numériques des différents états i au cours de la liquéfaction du méthane

Le diagramme Pression – Enthalpie massique du méthane est fourni en Annexe 2. On rendra l’Annexe 2 complétée avec sa

copie.

Etat 𝒊 𝑷𝒊 (en bar) 𝑻𝒊 (°C) 𝑫𝒎𝒊 (en kg.s-1)

0 1,0 7,0 1,0

1 1,0 2,6

1bis

2 5,0 2,6

3 2,6

4 25 2,6

5 2,6

6 2,6

7 100 - 63 2,6

7bis 100 - 82 2,6

8 1,0 - 161,7 2,6

9 - 161,7 = 𝐷𝑚1𝑏𝑖𝑠

10 1,0 - 161,7

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2. En traduisant la conservation du débit massique au niveau du mélangeur Mél, donner une relation entre 𝐷𝑚0, 𝐷𝑚1 et 𝐷𝑚1bis.

Déterminer la valeur numérique du débit massique 𝐷𝑚1bis. On montre que 𝐷𝑚1𝑏𝑖𝑠 = 𝑥8𝐷𝑚1. En déduire le titre massique 𝑥8 en

vapeur à l’état 8.

3. Déterminer graphiquement (sur le diagramme fourni en Annexe 2) les enthalpies massiques aux états 7 (𝑃7 = 100 bar et 𝑇7 =

–63 °C), 7bis (𝑃7bis = 𝑃7, 𝑇7bis = –82 °C) et 9 respectivement notées ℎ7, ℎ7bis et ℎ9. On rappelle qu’à l’état 9 (𝑇7bis = –161,7 °C)

est obtenu de la vapeur saturante sèche. On placera les points 7, 7bis et 9 sur le diagramme.

4. En effectuant un bilan énergétique au niveau du régénérateur 𝑅 globalement calorifugé et ne comportant pas de partie mobile,

montrer que :

𝐷𝑚7𝑏𝑖𝑠ℎ7𝑏𝑖𝑠 + 𝐷𝑚1𝑏𝑖𝑠ℎ1𝑏𝑖𝑠 = 𝐷𝑚9ℎ9 + 𝐷𝑚7ℎ7

5. Déterminer alors la valeur numérique de l’enthalpie massique ℎ1bis.

6. On admet, au niveau du mélangeur Mél, la relation 𝐷𝑚0ℎ0 + 𝐷𝑚1bisℎ1bis = 𝐷𝑚1ℎ1. Déterminer graphiquement la valeur de

l’enthalpie massique ℎ0 à l’état 0 puis calculer la valeur numérique de ℎ1. Positionner alors le point 1 sur le diagramme.

7. La transformation au niveau du compresseur 𝐶1 étant supposée isentropique, déterminer graphiquement la valeur de l’enthalpie

massique ℎ2 à l’état 2.

8. En déduire la puissance 𝑃𝑢1 fournie par le moteur au compresseur 𝐶1.

9. Sachant que le gaz obtenu en 7bis est refroidi isenthalpiquement jusqu’en 8, positionner le point 8 et retrouver graphiquement

(sur le diagramme fourni en Annexe 2) la valeur du titre massique en vapeur 𝑥8 à l’état 8. Déterminer alors le débit massique

𝐷𝑚10 de méthane liquide formé à – 161,7°C.

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Annexe 2 : Diagramme Pression – Enthalpie massique du corps pur méthane

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DM : Etude d’un centre aquatique

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