L2 Sciences Economiques Cours Luc JosephMathematiquesAnnee 2007/2008

FEUILLE DE TD 5 - OPTIMISATION

Exercice 1

Soit f : x 7 x4 + ax3 + bx2 + 1. Determiner a et b pour que A(1, 2) corresponde a` unextremum local. Preciser la nature de cet extremum.

Exercice 2

1. Trouver les extrema et extrema locaux de la fonction definie par:x 7 exx1 .2. Memes questions, mais avec un domaine de definition restreint a` IR.

3. Memes questions, mais avec un domaine de definition restreint a` ]32 ,+[.4. Memes questions, mais avec un domaine de definition restreint a` ]2,+[.5. Trouver les extrema et extrema locaux de la fonction definie par: x 7 3x4 20x3+36x2

Remarque: f(2) = 32 et f(3) = 27.

Exercice 3

Soit f la fonction definie par f(x, y) = x3 + 2xy 2x2 + y2.1. Calculer limx+ f(x, 0) et limx+ f(x, 0).

2. Trouver les extremas locaux eventuels de f .

3. Ces extrema locaux sont-ils des extrema globaux ?

4. Memes questions si on rajoute la contrainte 3 x 3 et 3 y 3.

Exercice 4

Soit f la fonction definie par f(x, y) = (x+ y2 + 2y)e2x.

1. Montrer que f admet un et un seul extremum local, atteint en (12 ,1).2. Soit (x0, y0) un couple de reels quelconque. En etudiant les variations de la fonction dune

variable definie par y f(x0, y), comparer f(x0, y0) et f(x0,1).3. De la meme manie`re, comparer f(x0,1) et f(12 ,1) en etudiant les variations de la

fonction dune variable definie par x f(x,1).4. f atteint-elle un extremum global en (12 ,1) ?

1

Exercice 5

Soit f la fonction definie par f(x, y) = (x2 + y2)ey.

1. Montrer que (0, 0) et (0, 2) sont les uniques points stationnaires de f .

2. Determiner la nature de ces points stationnaires.

3. Soit (x0, y0) un couple de reels quelconque. En etudiant les variations de la fonction dunevariable definie par x f(x, y0), comparer f(x0, y0) et f(0, y0).

4. De la meme manie`re, comparer f(0, y0) et f(0, 0) en etudiant les variations de la fonctiondune variable definie par y f(0, y).

5. Quels sont les extrema globaux de f (justifier cette reponse)? Verifier la compatibilite dece resultat avec celui du 2).

Exercice 6

Soit f et g les fonctions definies par f(x, y, z) = x2 + (y 1)2 + (z 2)2 etg(x, y, z) = f(x, y, z) + x3.

1. f admet-elle un maximum global? un minimum global? un minimum local? (Les reponsesdoivent etre justifiees !).

2. Memes question avec g.

Exercice 7

Soit f la fonction definie par f(x, y) = x4y2 + x2 + y2 + 2.

1. Trouver les points stationnaires de f et determiner leur nature.

2. f atteint-elle un maximum global ?

3. f atteint-elle un minimum global ?

Exercice 8

Rappel:(1 + u) = 1 + u2 u

2

8 + o(u2)

Soit f la fonction definie par f(x, y) =1 + x2 + y2 x2 2y2.

1. Quel est le domaine de definition de f ? f est-elle differentiable sur son domaine dedefinition ?

2. Trouver les points stationnaires de f .

3. Determiner leur nature de la facon la plus simple possible.

4. f atteint-elle un minimum global ?

5. (*) f atteint-elle un maximum global ? (on pourra etudier la fonction y f(x0, y) pourxo un reel quelconque) .

2

Exercice 9

Etudier lexistence et la nature des extrema eventuels des fonctions f dans les cas suivants :1 ) f(x, y) = x3 + 3xy2 15x 12y

2) f(x, y) = 2(x2 + y2) 4xy 5 3) f(x, y) = x4 x2 + 2xy + y2

4) f(x, y) = ln(x2+y2+1)4x2 + y2 + 1. (indication: utiliser les developpements limites).

Exercice 10

Soit f(x, y) = x3+xy2+2x2y. Rechercher les extrema eventuels de la fonction f et preciserleur nature.

Exercice 11

Etudier, selon la valeur du parame`tre m, lexistence et la nature des extrema de f telle que :f(x, y) = y3 + x2 3my.

Exercice 12

Soit fm la fonction definie par fm(x, y) = mx2 +my2 + 2xy. Discuter, en fonction de m, lespoints stationnaires de fm et leur nature (point-col, maximimum local ou minimum local).

Exercice 13

Soit f la fonction qui a` tout couple de reel (x, y) associe f(x, y) = x4 + 2y2 + 2x2y 2x2 2y.1. Montrer que (0, 1/2), (1, 0) et (1, 0) sont les seuls points stationnaires de f .2. Determiner leur nature (maximum local, minimum local ou point-col).

3. f admet-elle un maximum gobal ?

Exercice 14

Etudier lexistence et la nature des extrema de la fonction f definie par :

f(x, y) = (x2 + y2)ex2y2 .

3

Exercice 15

Soit f(x, y) = (x+ y)ex+y .1) Calculer les derivees partielles de f et en deduire les points stationnaires de f .2) Que donne la condition du second ordre quant a` lexistence dun extremum pour f(x, y).3) Rappeler le developpement limite de eu au voisinage de 0.Etudier alors la difference f(x, y) f(x0, y0) au voisinage de tout point stationnaire (x0, y0)

de f . Conclure quant aux extrema de f(x, y).4) Pouvait-on trouver ce resultat plus simplement ? (justifier).

Exercice 16

Soit fm la fonction definie par fm(x, y) = 4 ln(x) + x2 6x+m(xy y).1. Quel est le domaine de definition de f ?

2. Determiner, suivant les valeurs de m, les points stationnaires de fm et determiner leurnature.

3. Montrer que

h2 +mhk = m2k2

4 (h mk

2)2

puis retrouver le resultat de la question precedente a` laide dun developpement limite.

Exercice 17

Soit f(x, y, z) = 1y2xx2z2+xy + xy + y + y

2.

1. Montrer que (-1,0,0) est un point stationnaire de f .

2. Determiner la nature de ce point stationnaire.

4