CHAPITRE 3 OPTIMISATION

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

CHAPITRE 3CHAPITRE 3OPTIMISATIONOPTIMISATION

Concepts de base: recherche opérationnelle Programmation linéaire Programmation en nombre entier Logiciel LINDO

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É CONCEPTS DE BASECONCEPTS DE BASE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

Définitions Origines Applications Méthodes Modèles

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE

DÉFINITIONS• Application de méthodes, techniques, instruments

scientifiques pour modéliser et résoudre les problèmes dans tous les domaines

• Application de la méthode scientifique pour modeler et résoudre les problèmes dans tous les domaines

• Art de donner des mauvaises réponses à des problèmes auxquels autrement de pires réponses seraient données

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


ORIGINES• Développement durant la seconde guerre mondiale

applications aux opérations militaires• répartition des troupes, du matériel, des ressources• approvisionnement en vivres, en pièces, en armement

• Scientifiques et ingénieurs: applications civiles programmation linéaire (1ère publication en 1939) développement du simplexe par G. Dantzig (1947) développement des techniques classiques en

programmation linéaire, non-linéaire, dynamique, théorie des files d’attente, etc.

ralentissement des recherches généré par le manque d’outils de calcul

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


APPLICATIONS• Applications aux problèmes réels de grande envergure

arrivée des processeurs rapides développement des bases de données techniques d ’optimisation appliquées à de nombreux domaines

• Domaines d’utilisation militaire transport

• aéroport• route, trajet, livraison• horaire

contrôle des réseaux• infrastructures, distribution

etc.

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


2 importants centres de recherche à Montréal• CRT: Centre de Recherche sur les

Transports• GÉRAD: Groupe d’Étude et de Recherche en

Analyse des Décisions

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


CONCEPT DE SYSTÈME• Système

Agrégat ou assemblage d’objets joints par des interactions ou interdépendances régulières

• Activité Processus qui crée un changement de l’état du système

• Entité Objet d’intérêt dans un système

• Attribut Propriétés relatives à une entité

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


EXEMPLE DE SYSTÈME

SYSTÈME ACTIVITÉ ENTITÉ ATTRIBUT

circulation mouvements véhicules vitessetrajets routes distances

banque dépôts clients état de crédit

communications transmission message priorité

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


MÉTHODES• Techniques mathématiques• Techniques statistiques• Modèles de gestion des stocks• Modèles d’affectation• Modèles de programmation dynamique• Modèles de files d’attente• Modèles séquentiels• Modèles de remplacement• Modèles de compétition• Techniques de simulation• Méthodes heuristiques

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


MODÈLE• Moyen pour mieux comprendre la réalité utilisée pour

représenter les propriétés fondamentales d’un certain phénomène

• Problèmes de gestion souvent complexes• Nécessité fréquente d’ignorer certains paramètres pour

tirer une version idéale, épurée: c’est un modèle

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


CLASSIFICATION DES MODÈLES• Modèles physiques

Modèles iconiques• Pour visualiser une solution pratique• Modèles réduits, maquettes

Modèles analogiques• Phénomène qu’on étudie pour représenter un autre• Analogie électrique en hydraulique

• Modèles symboliques Modèles mathématiques

• Déterministiques• Probabilistes ou stochastiques

Modèles verbaux

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Modèles mathématiques• Modèles déterministiques

Incertitude négligeable Résultats du phénomène prévu avec certitude

• Modèles probabilistes ou stochastiques Incertitude considérée comme facteur important du

phénomène ou système analysé

Classe de modèles déterministiques• Modèles de programmation linéaire

Équations ou inéquations du premier degré représentant les contraintes du problème

Fonction économique qui traduit l’objectif de l’entreprise

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Méthode scientifique1. Expériences vécues

2. Critères qui permettent de juger si le problème est résolu

3. Principaux aspects de la réalité

4. Paramètres du modèle

5. Méthodes appropriées

6. Conclusions obtenues versus opinions des personnes

7. Implantation de la décision

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Formulation du modèle mathématique• Définir le problème

Quelle est la nature exacte du problème? Quel est l’objectif recherché? Quelles sont les conditions d’opération? Quels sont les paramètres à considérer? Quelle

influence? Quel est le degré de précision requis?

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROGRAMME LINÉAIREPROGRAMME LINÉAIRE

PL• problème d’optimisation consistant à• maximiser (ou minimiser) une fonction objectif linéaire• de n variables de décision• soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous

forme d’équations ou d’inéquations linéaires

La terminologie est due à George B. Dantzig, inventeur de l’algorithme du simplexe (1947)

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROGRAMMATION LINÉAIREPROGRAMMATION LINÉAIRE

Hypothèses:• La linéarité des contraintes et de la fonction objectif• La proportionnalité des gains/coûts et des

consommation de ressources• La divisibilité des variables• Le déterminisme des données

Lors de la modélisation d'un problème réel, l'impact de ces hypothèses sur la validité du modèle mathématique doit être étudié

Cette analyse peut mener à choisir un modèle différent (non linéaire, stochastique, ...) et est essentielle pour la phase d'interprétation des résultats fournis par le modèle

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

MISE EN FORME MATHÉMATIQUEMISE EN FORME MATHÉMATIQUE

Définir les variables de décision• ensemble des variables qui régissent la situation à modéliser• variables réelles, entières, binaires

Préciser la fonction objectif• fonction mathématique composée des variables de décision qui

représente le modèle physique modélisé• fonction linéaire, non-linéaire

Préciser les contraintes du problème• ensemble des paramètres qui limitent le modèle réalisable• équations ou inéquations composées des variables de décision

Préciser les paramètres du modèle• constantes associées aux contraintes et à la fonction objective

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Validation du modèle et des résultats• S’assurer

que le modèle développé est conforme à la réalité que les résultats sont valides dans toutes les conditions

Conception du système d’application• Possibilité d’utiliser des logiciels spécialisés

Implantation

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É FORMULATION MATHÉMATIQUE FORMULATION MATHÉMATIQUE D’UN PROGRAMME LINÉAIRED’UN PROGRAMME LINÉAIRE

FONCTION OBJECTIF• Maximiser ou minimiser • z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + + cnxn

Contraintes• a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn (, =, ) b1

• a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn (, =, ) b2

• am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn (, =, ) bm

Contraintes de non-négativité• xj 0 ; j = 1, 2, 3, … n

avec• xj variables de décision (inconnues)• aij, bi, cj paramètres du programme linéaire

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

TERMINOLOGIE DU MODÈLETERMINOLOGIE DU MODÈLE

Activités• Ensemble des actes et opérations à effectuer• j = 1,…n activités

Ressources• Moyens disponibles pour effectuer les activités• bi, i = 1,…m ressources

Quantité requise de ressource• Quantité unitaire de ressources consommées pour chaque activité

aij Niveau activation

• Quantité de ressources affectée à une activité• xj = niveau d’activation de l’activité j

Coût ou profit• Mesure de performance de l’allocation des ressources aux activités

cj

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

TERMINOLOGIE DE LA SOLUTIONTERMINOLOGIE DE LA SOLUTION

Solution réalisable• Solution où toutes les contraintes du modèle sont

satisfaites Zone de solution

• Ensemble de toutes les solutions réalisables Solution optimale

• Solution réalisable où la fonction objectif atteint la meilleure valeur, maximum ou minimum

• Plusieurs solutions optimales possibles

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É EXEMPLE: PROBLÈME EXEMPLE: PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCESD'ALLOCATION DE RESSOURCES

Vous disposez de• 8 kg de pommes• 2,5 kg de pâte• 6 plaques

pour confectionner des chaussons et des tartesPour faire un chausson, il vous faut:

• 150 g de pommes• et 75 g de pâte

Chaque chausson est vendu 3 $Pour faire une tarte, il vous faut

• 1 kg de pommes• 200 g de pâte • et 1 plaque

Chaque tarte est divisée en 6 parts vendues chacune 2 $Que faut-il cuisiner pour maximiser le chiffre d'affaires de la vente ?

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É PROBLÈME D'ALLOCATION DE PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCESRESSOURCES

Définissons 2 variables de décision• x1 : le nombre de chaussons confectionnés

• x2 : le nombre de tartes confectionnées

Le chiffre d’affaires associé à une production (x1; x2) est

z = 3x1 + (6 x 2)x2 = 3x1 + 12x2

Il ne faut pas utiliser plus de ressources que disponibles• 150x1 + 1000x2 8000 (pommes)

• 75x1 + 200x2 2500 (pâte)

• x2 6 (plaques)

On ne peut pas cuisiner des quantités négatives :x1 et x2 0

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É MODÈLE: PROBLÈMEMODÈLE: PROBLÈMED'ALLOCATION DE RESSOURCESD'ALLOCATION DE RESSOURCES

Pour maximiser le chiffre d’affaires de la vente, il faut déterminer les nombres x1 et x2 de chaussons et de tartes a cuisiner, solution du problème

Max z = 3x1 + 12x2

Sujet à 150x1 + 1000x2 8000

75x1 + 200x2 2500

x2 6

x1 ; x2 0

En fait, il faudrait également imposer à x1 et x2 de ne prendre que des valeurs entières

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É EXEMPLE: PROBLÈME DE EXEMPLE: PROBLÈME DE RECOUVREMENTRECOUVREMENT

DONNÉES : Les demandes journalières en chauffeurs dans une entreprise de transport

Lu Ma Me Je Ve Sa Di

13 18 21 16 12 25 9

Les chauffeurs travaillent 5 jours d'affilée (et peuvent donc avoir leurs 2 jours adjacents de congé n'importe quand dans la semaine)

OBJECTIFS : Déterminer les effectifs formant les 7 équipes possibles de chauffeurs de manière à:

• couvrir tous les besoins• engager un nombre minimum de chauffeurs

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É PROBLÈME DE RECOUVREMENTPROBLÈME DE RECOUVREMENTMODÉLISATIONMODÉLISATION

Variables de décision : On associe une variable de décision à chacune des 7 équipes possibles

• x1 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du lundi (repos le samedi et le dimanche),

• x2 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du mardi, ...

• x7 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du dimanche.

Fonction objectif : On veut minimiser le nombre total de chauffeurs engagés

z = x1 + … + x7

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É PROBLÈME DE RECOUVREMENTPROBLÈME DE RECOUVREMENTCONTRAINTESCONTRAINTES

Contraintes : Le nombre de chauffeurs présents chaque jour doit être suffisant

• x1 + x4 + x5 + x6 + x7 13 (lundi)

• x1 + x2 + x5 + x6 + x7 18 (mardi)

• …

• x3 + x4 + x5 + x6 + x7 9 (dimanche)

Contraintes de bornes : Le nombre de chauffeurs dans chaque équipe doit non seulement être non négatif mais également entier

• xi 0 et entier; i = 1; …; 7

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É PROBLÈME DE RECOUVREMENT : PROBLÈME DE RECOUVREMENT : FORMULATIONFORMULATION

Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7

Sujet à:• x1 + x4 + x5 + x6 + x7 13• x1 + x2 + x5 + x6 + x7 18• x1 + x2 + x3 + x6 + x7 21• x1 + x2 + x3 + x4 + x7 16• x1 + x2 + x3 + x4 + x5 12• x2 + x3 + x4 + x5 + x6 25• x3 + x4 + x5 + x6 + x7 9• x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; x7 0 entiers

Ce problème n'est pas un PL mais un programme linéaire en nombres entiers (PLNE)

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

MODÉLISATIONMODÉLISATION

Exemple: production de portes et fenêtres• 3 usines:

#1 cadres d ’aluminium #2 cadres de bois #3 vitres et assemblages des produits

• 2 produits A portes vitrées avec cadrage d ’aluminium B fenêtres avec cadrage en bois

• demande illimitée pour les produits• profits par lot: A: 3000$ B: 5000$• temps de production pour chaque lot produit par heure

#1 A: 1 B: 0 #2 A: 0 B: 2 #3 A: 3 B: 2

• temps de production disponible par semaine #1: 4% #2: 12% #3: 18%

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

FORMULATION DU PROBLÈMEFORMULATION DU PROBLÈME

PRODUCTION DE PORTES ET FENÊTRES

Temps de production

Usine 1 2 Temps disponible par semaine

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Profit 3000 5000

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Objectif• Maximiser les profits

Variables de décision• x1: quantité du produit A fabriquée

• x2: quantité du produit B fabriquée

Fonction objectif• MAXIMISER z = 3x1 + 5x2

Contraintes• usine 1:1x1 + 0x2 4

• usine 2:0x1 + 2x2 12

• usine 3:3x1 + 2x2 18

Contraintes de non-négativité• x1 0

• x2 0

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Résolution selon les techniques appropriées• Exemple

MAXIMISER z = 3x1 + 5x2

SUJET À• x1 4• 2x2 12• 3x1 + 2x2 18• x1 0 ; x2 0

• Solutions optimales programmation linéaire: simplexe programmation en nombre entier: branch-and-bound programmation dynamique

• Solutions sous-optimales: heuristiques

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

ZONE DE SOLUTION RÉALISABLEZONE DE SOLUTION RÉALISABLE

Zone limitée par l’ensemble des équations de contraintes du problème et par les limites des variables de décision

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

x10

18x2x3 21

12x2 2

4x1

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

FONCTION OBJECTIVEFONCTION OBJECTIVE

Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremum

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

x10

21 x5x336z

21 x5x310z

21 x5x320z

Solutionx1 = 2x2 = 6z = 36

(2,6)

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


PHASES D’UNE ÉTUDE DE R.O.• Formulation du problème• Construction du modèle mathématique

Identification des variables associées au problème Formulation des contraintes qui délimitent les valeurs que

peuvent prendre les variables Formulation de la mesure d’efficacité associée aux

variables (fonction linéaire dite fonction objectif)

• Obtention d’une solution optimale à partir du modèle• Vérification du modèle et de la solution• Établissement de contrôles sur la solution• Mise en œuvre de la solution

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É RÉSULTAT D’UNERÉSULTAT D’UNEOPTIMISATION LINÉAIREOPTIMISATION LINÉAIRE

Le domaine admissible d’un PL peut être• vide: dans un tel cas, le problème est sans solution

admissible (pas de solution optimale)• borné (et non vide): le problème possède toujours au

moins une solution optimale• non borné: dans ce cas, selon la fonction objectif

le problème peut posséder des solutions optimales il peut exister des solutions admissibles de valeur

arbitrairement grande (ou petite) dans un tel cas, le PL n'admet pas de solution optimale

finie et est dit non borné

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


PROGRAMMATION LINÉAIRE

Ressources par activité

Activités

Ressources 1 2 … n Ressource disponible

1 a11 a12 … a1n b1

2 a21 a22 … a2n b2

… … … …. … .

m am1 am2 … amn bm

Contribution c1 c2 … cn

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROBLÈME DE MAXIMISATIONPROBLÈME DE MAXIMISATION

MaximiserZ = x1 + 2x2

Sujet à2x1 + x2 4

x1 + x2 8

-x1 + x2 4

x1 5

x1 0, x2 0

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROBLÈME DE MAXIMISATIONPROBLÈME DE MAXIMISATION

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

x102x1 + x2 = 4

x1 = 5

x1 + x2 = 8

-x1 + x2 = 4 X1 = 2

X2 = 6

Z = 14

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROBLÈME DE MINIMISATIONPROBLÈME DE MINIMISATION

MinimiserZ = x1 - x2

Sujet à½x1 + x2 8

-x1 + 8x2 40

x1 8

x2 8

x1 0, x2 0

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROBLÈME DE MINIMISATIONPROBLÈME DE MINIMISATION

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

x10

x1 = 8

-x1 + 8x2 = 40

½x1 + x2 = 8

X1 = 8

X2 = 6

Z = 2

12 14 16 18

x2 = 8

20

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE

INTRODUCTION• développée initialement par George Dantzig en 1947• seule méthode exacte pour solutionner des problèmes

linéaires de grande taille• méthode itérative algébrique où l’on circule

séquentiellement sur les sommets à l’intérieur de la zone de solution jusqu’à l’obtention de la solution optimale

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROPRIÉTÉS DU SIMPLEXEPROPRIÉTÉS DU SIMPLEXE

Zone de solution du problème linéaire toujours convexe• une surface est convexe si elle est située toute entière du

même coté d ’un plan tangent S’il existe une seule solution optimale au problème

linéaire, elle est obligatoirement localisée sur un sommet de la zone de solution

S’il existe de multiples solutions optimales, au moins deux d’entre elles doivent être localisées sur des sommets adjacents

Le nombre de sommets de la zone de solution est fini Si la solution réalisable localisée à un sommet donné

n’a pas de voisin adjacent dont la solution est supérieure, ce sommet est la solution optimale

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

ALGORITHME DU SIMPLEXEALGORITHME DU SIMPLEXE

1. Déterminer une solution de base réalisable

2. Vérifier si la solution actuelle est optimale

3. Déterminer la variable hors base qui va devenir variable de base

4. Déterminer la variable de base qui sortira de la solution

5. Effectuer les opérations linéaires (pivots) selon la technique de Gauss-Jordan

ALGORITHME ALGORITHME DU SIMPLEXEDU SIMPLEXE

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE DÉFINITIONSDÉFINITIONS

Systèmes d’équations équivalents• Systèmes qui possèdent le même ensemble de solutions

Variable de base• Variable qui a un coefficient unitaire positif dans une des équations

du système et un coefficient nul partout ailleurs

Opérations pivot• Opération de Gauss-Jordan pour transformer un système

d’équations équivalent dans lequel une variable devient de base

Système canonique• Système d’équations où il y a une variable de base par équation

Solution de base• Système d’équations où les variables hors base sont fixées à zéro

résolu pour les variables de base

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

FORME CANONIQUEFORME CANONIQUE

PROBLÈME DE MAXIMISATION

PROBLÈME DE MINIMISATION

,...,n j x

, ...,m i b xa

xc

j

i

n

jjij

n

jjj

10

1àsujet

Max

1

1

,...,n j x

, ...,m i b xa

xc

j

i

n

jjij

n

jjj

10

1 àsujet

Min

1

1

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

FORME NORMALISÉEFORME NORMALISÉE

PROBLÈME DE MAXIMISATION

PROBLÈME DE MINIMISATION

,...,n j x

, ...,m i b xa

xc

j

i

n

jjij

n

jjj

10

1 àsujet

Max

1

1

,...,n j x

, ...,m i b xa

xc

j

i

n

jjij

n

jjj

10

1 àsujet

Min

1

1

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


FORME CANONIQUE

Max Z = 3 x1 + 5 x2

sujet à

x1 4

2 x2 12

3 x1 + 2 x2 18

et

x1 0, x2 0

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


FORME NORMALISÉE

Max ZZ - 3 x1 - 5 x2 = 0 (0)

x1 + x3 = 4 (1)

2 x2 + x4 = 12 (2)

3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 (3)

avec

xj 0, pour j =1, 2, 3, 4, 5

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


ÉTAPE D’INITIALISATION• Déterminer une solution de base réalisable• Porter les variables hors base à zéro• Solutionner les variables de base• Exemple:

z, x3, x4 et x5 sont les variables de base

x1 et x2 sont les variables hors base

• On obtient: x1 = 0 et x2 = 0

x3 = 4, x4 = 12 et x5 = 18 z = 0

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


VARIABLE ENTRANT DANS LA BASE• Variable hors base entrant dans la base• Celle qui sera choisie fera augmenter la valeur de la

fonction objective le plus rapidement possible• Variable ayant le plus grand coefficient négatif (cas de

maximisation)de l’équation (0)• Exemple:

X2 devient variable de base

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


VARIABLE SORTANT DE LA BASE• Variable qui limitera le plus rapidement la progression

de la nouvelle variable de base• Exemple

si x2 entre dans la base équation (2)

• 2 x2 + x4 = 12

• x2 max = 6

équation (3) • 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18

• x2 max = 9

limite maximale de x2 égale 6 sinon x4 devient négatif

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


OPÉRATIONS PIVOT• Système d’équations original (variables de base en gras)

Z - 3 x1 - 5 x2 = 0 (0) x1 + x3 = 4 (1)

2 x2 + x4 = 12 (2) 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 (3)

• Pour revenir à la forme canonique, il faut que les variables de base aient un coefficient unitaire dans une équation et nul dans les autres

• Équation (2) multipliée par ½ 2 x2/2 + x4/2 = 12 /2 (2)

x2 + ½ x4= 6 (2)

• Il faut éliminer les termes x2 des autres équations

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


OPÉRATIONS PIVOT (suite)• Équation (0) = ancienne (0) + 5 équation (2)

Z - 3 x1 - 5 x2 = 0 (0)

5 x2 + 5/2 x4 = 30 (2)

Z - 3 x1 + 5/2 x4 = 30 (0)

• Équation (3) = ancienne (3) – 2 équation (2) 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 (3)

- 2 x2 - x4 = -12 (2) 3 x1 - x4 + x5 = 6 (3)

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


OPÉRATIONS PIVOT (suite)• Nouveau système équivalent d’équations

Z - 3 x1 - 5/2 x4 = 30 (0) x1 + x3 = 4 (1)

x2 + ½ x4 = 6 (2) 3 x1 - x4 + x5 = 6 (3)

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


CRITÈRE D’OPTIMALITÉ• Optimalité assurée lorsqu’il est impossible de faire

augmenter (cas de maximisation) la valeur de z• Exemple:

x1 peut faire augmenter z

Variable entrante x1

Variable sortante x5

• équation (1) • x1 + x3 = 4

• x1 max = 4

• équation (3) • 3 x1 – x4 + x5 = 6

• x1 max = 2

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


SOLUTION OPTIMALE• Système équivalent d’équations

Z + 3/2 x4 + x5 = 36 (0) x3 + 1/3 x4 - 1/3 x5 = 2 (1)

x2 + ½ x4 = 6 (2) x1 - 1/3 x4 +1/3 x5 = 2 (3)

• Variables hors base x4 = 0, x5 = 0

• Variables de base x1 = 2, x2 = 6, x3 = 2

• Fonction objective z = 36

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRESIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE

Méthode essentiellement identique Informations

• Coefficients des variables• Constantes des équations• Variables de base de chaque équation

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Initialisation Critère d’optimalité

• Coefficients de l’équation (0) non négatifs ? Itération # 1

• Variable entrante x2

Entourer la colonne pivot• Variable sortante x4

Entourer la ligne pivot Point pivot à l’intersection

• Transformation de Gauss-Jordan

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Itération #1 (suite)• Diviser la ligne pivot par le nombre pivot

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Itération #1 (suite) Appliquer les transformations

Nouvelle solution

z = 30

Solution (0, 6, 4, 0, 6)

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Itération # 2 Solution

• (2, 6, 2, 0, 0)• z = 36

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


Ensemble complet

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É SIMPLEXESIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLESOUS FORME MATRICIELLE

mnmm

n

n

mn

aaa

aaa

aaa

b

b

b

x

x

x

Z

.....

....................

.....

.....

0

...

0

0

......

où

àsujet

Max

21

22221

11211

2

1

2

1

A

0bx

0x

bAx

cx Forme canonique

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT


mn

n

n

s

x

x

x

Z

...

mm identitée matrice

où

,

àsujet

Max

2

1

x

I

0x

x

bx

xIA

cx

s

s

Forme normalisée

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT


Problème

5

4

3

2

1

18

12

4

10023

01020

00101

,

53

x

x

x

x

xsxxb

IA

c

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT


Itération 0

X2 entre

X4 sort

0

18

12

4

000000

18

12

4

18

12

4

100

010

001

x

x

x

100

010

001

100

010

001

x

x

x

5

4

3

1

5

4

3

ZB

B

B

c

x

BBx

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT


Itération 1

X1 entre

X5 sort

30

6

6

4

050050

6

6

4

18

12

4

110

05,00

001

x

x

x

110

05,00

001

120

020

001

x

x

x

5

2

3

1

5

2

3

ZB

B

B

c

x

BBx

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT


Itération 2

36

2

6

2

350350

2

6

2

18

12

4

33,033,00

050,00

33,033,01

x

x

x

33,033,00

050,00

33,033,01

320

020

101

x

x

x

1

2

3

1

1

2

3

ZB

B

B

c

x

BBx

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É RÉSOLUTION AVECRÉSOLUTION AVECMICROSOFT EXCELMICROSOFT EXCEL

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

RÉSOLUTION AVEC LINDORÉSOLUTION AVEC LINDO

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


SITUATIONS PARTICULIÈRES• Égalité des profits relatifs

Choix aléatoire de la variable

• Égalité des ratios Choix aléatoire Situation de dégénérescence: remonter à l’étape des

ratios identiques

• Solution non bornée En pratique, une contrainte est absente

• Solutions multiples Variables hors base avec des coefficients nuls dans la

fonction objective

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


VARIABLES ARTIFICIELLES• Cas

ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn bi

Ajout d’une variable d’écart ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn – xm = bi

Coefficient de la variable d’écart négatif ne peut servir comme variable de base

Ajout d’une variable artificielle ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn – xm + xa = bi

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É


VARIABLES ARTIFICIELLES• Cas =

L’ajout d’une variable artificielle permet l’insertion d’une variable de base dans la solution de départ

Les variables artificielles sont éliminées de la solution en leur assignant une pénalité importante dans la fonction objective

RÉSOLUTION• Méthode du grand M• Méthode des deux phases

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

DUALITÉDUALITÉ

PROBLÈME PRIMAL PROBLÈME DUAL

,...,n j x

et

, ...,m i b xa

xc Z

j

i

n

jjij

n

jjj

10

1

àsujet

Max

1

1

,...,m i y

et

, ...,n cj j yia

yb Y

i

m

iij

m

iii

10

1

àsujet

Min

1

10

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

EXEMPLE DE DUALITÉEXEMPLE DE DUALITÉ

Le problème dual du programmeMax z = x1 + 4x2

Sujet à : x1 – x2 2 2x1 + x2 5 x2 3 x1, x2 0

est Min w = 2y1 + 5y2 + 3y3

Sujet à : y1 + 2y2 1 -y1 + y2 + y3 4 y1, y2 , y3 0

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

DUALITÉDUALITÉ

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

EXERCICEEXERCICE

Utiliser la méthode du simplexe• Max Z = 4 x1 + 3 x2 + 6 x3

• Sujet à 3 x1 + x2 + 3 x3 30

2 x1 + 2 x2 + 3 x3 40

• et x1 0, x2 0, x3 0

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROBLÈME DE TRANSPORTPROBLÈME DE TRANSPORT

EXEMPLE• Une municipalité possède 3 serres pour fournir 4 parcs• Capacité de production des serres C1, C2 et C3

• Demande hebdomadaire D1, D2 et D3

• Coût unitaire de transport Cij

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

PROBLÈME DE TRANSPORTPROBLÈME DE TRANSPORT

FORMULATION DU PROBLÈME

41310

et

31

41

àsujet

Min

4

1

3

1

3

1

4

1

,..., j ,..., i x

, ..., i C x

, ..., j D x

xc Z

ij

ij

j

ji

ij

i jijij

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

EXERCICEEXERCICE

3 serres:• S1 = 3

• S2 = 7

• S3 = 5

4 parcs:• P1 = 4

• P2 = 3

• P3 = 4

• P4 = 4

Coûts d’expédition:

8667

45810

1222

ijc

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É

EXERCICEEXERCICE

4 usines et 3 centres de distribution

Distribution

UsinesM1 M2 M3 Disponibilité

W1 4 3 7 140

W2 5 2 10 100

W3 13 8 17 60

W4 9 3 11 40

Demande 120 20 200

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

É PROGRAMMATION LINÉAIRE EN PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIERNOMBRE ENTIER

Max Z = 10 x1 + 50 x2

• Sujet à -x1 + 2 x2 5

x1 + 2 x2 14

x1 8

• et x1 0, x2 0

x1, x2 entiers

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT


OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT


Méthode de séparation et d’évaluation progressive (Branch-and-Bound Technique)

• Choix de la variable de séparation Critère de la variable la plus distante Critère du meilleur cj

Critère de la variable la plus distante

Séparation selon x1


Séparation à partir de P2


Séparation à partir de P1

Critère du meilleur cj

OP

TIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT

ÉO

PTIM

ISA

TIO

N E

T A

NA

LY

SE D

E F

AIS

AB

ILIT


CHAPITRE 3 OPTIMISATION

Documents

Transcript of CHAPITRE 3 OPTIMISATION