TD- Induction - I: Champ magnétique...

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Page 1 sur 10 TD- Induction - I: Champ magnétique Correction Application 1 : Dans les cartes de champs magnétique suivantes, où le champ est-il le plus intense ? Où sont placées les sources ? Le courant sort-il ou rentre-t-il du plan de la figure ? Le champ est le plus intense là où les lignes de champ sont les plus serrées : c’est-à-dire dans la zone centrale où les lignes sont verticales (dans le cas de gauche), et proche des sources (dans le cas de droites). Les lignes de champ tournent autour des sources. On a donc 6 points d’arrivée de courant (dans le cas de gauche) et 4 points d’arrivée de courant (dans le cas de droite). Pour chacun de ces points sources, on définit le sens du courant (entrant ou sortant du plan de la feuille) à partir du sens des lignes de champ en utilisant la règle de la main droite. On a alors trois spires parallèles (parcourues par des courants de même sens) qui génèrent la carte de champ à gauche, et deux spires parallèles (parcourues par des courants de sens opposé) qui créent la carte de champ à droite. Si la carte de champ à droite est invariante par rotation autour de l’axe vertical sur la feuille, alors l’axe des deux spires est vertical (comme indiqué sur la figure ci-dessous). Application 2 : On considère un solénoïde infini comportant n = 1,2. 10 3 spires par mètre, et parcouru par un courant I = 0,23 A. Déterminer la norme B du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde. Le solénoïde étant considéré comme infini, on peut utiliser l’expression B = μ 0 n I pour déterminer le champ magnétique B à l’intérieur. On obtient B = 4π 10 -7 x 1,2 10 3 x 0,23 = 3,5. 10 -4 T

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TD- Induction - I: Champ magnétique

Correction

Application 1 : Dans les cartes de champs magnétique suivantes, où le champ est-il le plus

intense ? Où sont placées les sources ? Le courant sort-il ou rentre-t-il du plan de la figure ?

Le champ est le plus intense là où les lignes de champ sont les plus serrées : c’est-à-dire dans

la zone centrale où les lignes sont verticales (dans le cas de gauche), et proche des sources

(dans le cas de droites).

Les lignes de champ tournent autour des sources. On a donc 6 points d’arrivée de courant

(dans le cas de gauche) et 4 points d’arrivée de courant (dans le cas de droite).

Pour chacun de ces points sources, on définit le sens du courant (entrant ou sortant du plan de

la feuille) à partir du sens des lignes de champ en utilisant la règle de la main droite.

On a alors trois spires parallèles (parcourues par des courants de même sens) qui génèrent la

carte de champ à gauche, et deux spires parallèles (parcourues par des courants de sens

opposé) qui créent la carte de champ à droite. Si la carte de champ à droite est invariante par

rotation autour de l’axe vertical sur la feuille, alors l’axe des deux spires est vertical (comme

indiqué sur la figure ci-dessous).

Application 2 : On considère un solénoïde infini comportant n = 1,2. 103 spires par mètre, et

parcouru par un courant I = 0,23 A. Déterminer la norme B du champ magnétique à l’intérieur

du solénoïde.

Le solénoïde étant considéré comme infini, on peut utiliser l’expression B = µ0 n I pour

déterminer le champ magnétique B à l’intérieur. On obtient B = 4π 10-7

x 1,2 103 x 0,23 = 3,5.

10-4

T

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Application 3 : La ligne de tension d’un trolleybus est à une hauteur de 10 m au-dessus du

sol. Elle est rectiligne et transporte un courant de 100 A dans la direction de l’Est. Décrire le

champ magnétique qu’elle produit et calculer sa valeur sous la ligne au niveau du sol.

Comparez-le avec le champ magnétique terrestre.

Donnée : Champ magnétique créé dans le vide par un conducteur rectiligne infini

transportant un courant d’intensité I à une distance r de l’axe : 0

2

IB

r

B= 4π 10-7

x 100 / (2π x 10) = 2.10-6

T < Bterrestre = 4,7 10-5

T

Application 4 : On considère une spire circulaire de rayon R = 1,2 cm, parcourue par un

courant I = 0,23 A. Déterminer la norme m du moment magnétique de cette distribution.

m = π R² I = 10-4

A.m²

Application 5 : Donner l'expression du moment magnétique des systèmes suivants :

a) Spire carrée de coté a

b) Solénoïde de longueur L et de rayon R formé de n spires par unité de longueur.

a) m = a² I

b) m= π R² I n L

Application 6 : Selon le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène l’électron circule autour

d’un proton sur une orbite de rayon 0,0529 nm à une vitesse de 2,2.106 m/s. Calculer le

moment orbital de l’électron µB nommé magnétron de Bohr.

Par définition du moment magnétique, µ = I S. Il faut donc déterminer l’intensité du courant

et l’aire de l’orbite associées à l’électron dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène.

Le courant est dû à un électron de charge qe qui passe en un point de l’orbite à chaque tour,

donc une fois par période T, donc I = qe/T. Le périmètre de la circonférence est 2πr, donc T =

2πr / v. Comme S = πr², on obtient : µB = (qe / T) (πr²) = (qe v / 2πr) (πr²) = qe v r /2, soit µB=

9,3 10-24

A.m²

Exercice 1 : Bobine

On considère une bobine de longueur L = 60 cm, de rayon R = 4 cm, parcourue par un

courant d’intensité i = 0,6 A.

1. La formule du champ dans une bobine infinie est-elle valable pour déterminer le champ

dans cette bobine?

2. Déterminer le nombre de spires nécessaires pour obtenir un champ magnétique de 0,001 T.

3. La bobine est réalisée en enroulant un fil de 1,6 mm de diamètre autour d’un cylindre en

carton. Combien de couches faut-il bobiner pour obtenir le résultat précédent ?

Correction :

1. L/R=15 donc la formule du champ dans une bobine infinie est valable.

2. B = µ0 n I avec n = N / L donc N = B L / (µ0 I) = 0,001 x 0,06 / (4π 10-7

x 0,6) = 800 spires.

3. On note d = 1,5 mm le diamètre du fil. On peut bobiner le long du cylindre N1 = L / d

spires. On a besoin de N=800 spires pour obtenir un champ de 0,001T. Il faut donc utiliser N2

= N / N1 = N d / L = 2 couches.

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Exercice 2 : Spectres de champs magnétiques

La carte de champ magnétique ci-contre a été obtenue dans le plan xOz.

1. Préciser où se trouvent les sources du champ et commenter la forme des lignes en leur

voisinage.

Les lignes de champ s’enroulent autour des courants. On peut ainsi localiser quatre points,

aux extrémités des segments noirs, qui doivent être des points de passage des fils, parcourus

par un courant électrique perpendiculaire au plan.

Chacun de ces points est au centre d’une ligne de champ quasi circulaire. Au voisinage de

l’un de ces conducteurs, le champ est principalement créé par ce seul courant, car les autres

champs deviennent négligeables.

2. Le spectre magnétique est invariant par rotation autour de (Oz). Préciser la nature des

circuits électriques produisant cette carte de champ.

L’invariance par rotation autour de l’axe (Oz) montre que les circuits sont des spires (ou des

bobines plates) d’axe (Oz). Les segments noirs sont les projections de ces spires dans le plan

(xOz).

3. Sur les axes (Ox) et (Oz), où se trouvent les points où le champ est le plus intense ? En

déduire les sens relatifs de parcours des intensités dans les différents circuits.

Les tubes de champ formés par les lignes de champ à proximité de l’axe (Oz) ont une section

minimale au niveau des spires : c’est là que le champ est le plus intense.

Les tubes de champ formés par les lignes de champ à proximité de l’axe (Ox) ont une section

minimale au niveau des spires : c’est là que le champ est le plus intense.

Pour cela, les champs magnétiques créés par chaque spire doivent s’ajouter : ils doivent être

orientés dans le même sens. D’après la règle de la main droite (appelée aussi règle du

bonhomme d’Ampère), on en déduit le sens des courants. Les courants circulent dans les deux

spires dans des sens opposés.

4. En exploitant les symétries, comparer les intensités des différents courants. Interpréter alors

la situation en O.

La symétrie des lignes de champ par rapport au plan (yOz) indique que les courants circulant

dans les spires ont même intensité.

En O les champs créés par chacune des spires sont opposés : le champ résultant est nul. Ceci

est cohérent avec le fait que la section d’un tube de champ formés par les lignes de champ à

proximité de l’axe (Oz) ont une section qui devient infinie au niveau de O.

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5. Quelle modification simple permettrait d’obtenir la carte de champ ci-contre, invariante par

rotation autour de l’axe (Oz)? Reconnaître ce dispositif.

On retrouve ici la configuration des bobines de Helmholtz : il suffit d’inverser le sens de

passage du courant dans l’une des spires pour passer d’une configuration à l’autre.

Exercice 3 : Solénoïde

Avec un solénoïde de longueur L = 41,2 cm et dont le rayon des spires vaut R = 2,5 cm, une

source de courant et un teslamètre, on réalise les expériences suivantes.

Expérience 1

On place la sonde au centre du solénoïde et on alimente seulement une partie des spires, sur

une longueur l de part et d’autre du centre. On mesure l’intensité du champ B.

/ cml 1,0 2,1 4,1 6,2 10,3 14,4 20,6

/ mTB 1,2 2,0 2,6 2,8 3,0 3,0 3,0

Expérience 2

On place la sonde au centre du solénoïde que l’on alimente sur toute sa longueur et on fait

varier le courant i. On mesure l’intensité du champ B.

/ Ai 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 4,5 5,0

/ mTB 0,4 0,7 1,4 2,0 2,7 3,0 3,4

Expérience 3 On alimente le solénoïde sur toute sa longueur et on place la sonde à une distance d du centre.

On mesure l’intensité du champ B.

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/ cmd 0,0 5,1 10,3 12,6 15,2 17,8 20,6

/ mTB 3,0 3,0 3,0 3,0 2,9 2,5 1,8

1. Quel est le nombre de spires N du solénoïde ?

L/R=16, la relation donnant le champ crée dans une bobine infinie peut donc être utilisée dans

l’expérience 2. On a ainsi B = µ0 n i avec n = N / L. On trouve ainsi pour un couple de valeurs

(i, B), N = B L / (µ0 i) = 220 spires.

2. Quelle est la valeur du courant dans les première et troisième expériences ?

Dans l’expérience 1, la mesure de B pour l = 20,6 cm correspond aux conditions de

l’expérience 2, avec une intensité i = 4,5 A.

Dans l’expérience 3, la mesure de B pour d = 0 cm correspond également aux conditions de

l’expérience 2, avec une intensité i = 4,5 A.

3. À partir de quel rapport entre la longueur alimentée du solénoïde et le rayon des spires le

champ au centre est-il donné par l’approximation du solénoïde infini avec un écart relatif

inférieur à 10 % ?

Un écart relatif de 10% correspond à un champ magnétique B = 2,7 T, ce qui, dans

l’expérience 1, correspond (moyennant une interpolation linéaire) à l = 5,2 cm, soit un rapport

2l/R = 4,2. 4. Lorsque toutes les spires sont alimentées, sur quelle proportion de la longueur du solénoïde

cette approximation est-elle vérifiée avec un écart relatif inférieur à 10 % ?

Un écart relatif de 10% correspond à un champ magnétique B = 2,7 T, ce qui, dans

l’expérience 3, correspond (moyennant une interpolation linéaire) à d = 16,5 cm, soit un

rapport 2d/R = 0,8.

Exercice 4 : Spire

Le champ créé par une spire de courant, parcourue par un courant

d’intensité i, de rayon R, est donné, en un point M qui appartient à

l’axe de la spire, par la relation

où α est l’angle sous lequel on voit la spire depuis le point M .

1. Le champ est-il dirigé selon + uz ou suivant - uz ?

2. Calculer la norme de B en un point de l’axe distant de L = 10 cm du centre de la spire. On

prendra R = 2 cm et i = 0,5 A.

1. D’après la règle du bonhomme d’Ampère, le champ est dirigé selon + uz.

2. sin α = R / (R² + L²)1/2

donc B = µ0 i R² / [2 ( R² + L²)3/2

] = 10-7

T.

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Exercice 5 : Modèle classique du magnétisme d’un atome

1. Dans une approche classique, un atome d'hydrogène se décrit via un modèle planétaire où

un électron mobile de charge -e et de masse m, décrit une orbite circulaire de rayon r autour

d'un noyau fixe de charge +e.

a) Exprimer, en fonction de m, e, r et la permittivité du vide ε0, la vitesse v de l'électron sur

son orbite, son énergie mécanique E, son moment cinétique L , puis la période T de ce

mouvement.

b) Sachant que l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène est mesurée à 13,6 eV, calculer la

valeur r0 du rayon de l'orbite correspondant à l'état fondamental de l'atome, puis les valeurs de

v et T associées. Que peut-on dire du rayon orbital lorsque l'atome est dans un état excité ?

2. a) Expliquer pourquoi l'atome d'hydrogène peut être assimilé, en moyenne au cours du

temps, à une petite spire circulaire parcourue par un courant constant I. Exprimer le courant I

ainsi que le moment magnétique M associés à l'atome, en fonction de m, e, r et ε0.

b) Lorsque l'atome est dans son état fondamental, évaluer numériquement le courant I, puis

les valeurs des champs magnétiques ressentis au niveau du noyau et à des distances égales à

20, 50 et 100 fois le rayon r0. Comparer au champ magnétique terrestre et conclure.

c) Montrer que, quel que soit l'état de l'atome, M et L sont liés par une relation du type :

M L où γ, appelé rapport gyromagnétique de l'électron, ne dépend que de constantes

fondamentales.

Données :

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Correction :

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Exercice 6 : Champ magnétique terrestre

Le champ magnétique terrestre est décrit en première approximation par le champ magnétique

d’un dipôle magnétique situé au centre de la Terre O, de moment M=-M uz (M=7,9.1022

A.m²

et uz désigne le vecteur unitaire de l’axe géomagnétique de la Terre, qui est légèrement incliné

par rapport à l’axe de rotation de la Terre). Un point de l’espace est repéré par ses

coordonnées sphériques (r, Φ, Ψ) par rapport à l’axe géomagnétique. En un point

suffisamment éloigné de O, les composantes du champ magnétique s’écrivent :

Br = - µ0/(4π) M 2cosΦ / r3 , BΦ = - µ0/(4π) M sinΦ / r

3 et BΨ = 0

Calculer la norme du champ magnétique vers le centre de la France métropolitaine, où r =

6300 km et Φ = 42°.

Correction : On note B la norme du vecteur champ magnétique. B = [Br² + BΦ² + BΨ²]1/2

On trouve B = 5,1 10-5

T.

Attention : pour calculer les sinus et cosinus, penser à convertir les degrés en radians si la

calculatrice est en mode radians, ou à utiliser la calculatrice en mode degrés.