Chapitre 2 Induction ElectromagnØtique

Module: Physique 3Module: Physique 3Elément 1: ElectricitéElément 1: Electricité IIII

Chapitre 2IInduction Electromagnétiquenduction Electromagnétique

Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences de Tétouan

Département de PhysiqueFilière SMP

Chapitre 2IInduction Electromagnétiquenduction Electromagnétique

Prof. Dr. M. Khalladi

I. Données expérimentalesa. Expérience (1)b. Expérience (2)

II. F.e.m. d’induction et la loi de FaradayIII. Loi de Lenz

Exemples d’applicationIV. Phénomène d’auto-induction mutuelle

a. Auto-induction1. Coefficient d’auto-induction2. F.e.m. d’auto-induction

b. Induction mutuelleV. Energie magnétique

a. Energie emmagasinée dans une selfb. Densité d’énergie magnétique

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Chapitre II: Induction électromagnétiqueI. Données expérimentales

a. Expérience (1)b. Expérience (2)






Les phénomènes d’Induction EMPhénomènes découverts et étudiés indépendamment (1830) par:

Michael Faraday et Joseph Henry

La découverte: La variation du champ magproduit un courant électrique dans unconducteur.

La découverte: La variation du champ magproduit un courant électrique dans unconducteur.

Ces champs mag variables produisent des:

1. Forces EM (f.e.m d’induction)2. Courants (courant d’induction)

Michael Faraday (Londres, 22 septembre 1791-Hampton Court, 25 août 1867) est un physicien anglais.À l'âge de 14 ans, Michael Faraday commença unapprentissage de relieur, mais durant sa septième annéed'apprentissage il développa un intérêt pour la science.En 1821, après la découverte du phénomène del'électromagnétisme par le chimiste danois Oersted,Faraday construisit deux appareils pour produire cequ'il appela une rotation électromagnétique : lemouvement circulaire continu d'une force magnétiqueautour d'un fil. Dix ans plus tard, en 1831, il commençaune longue série d'expériences durant lesquelles ildécouvrit l'induction électromagnétique. Cesexpériences forment la base de la technologieélectromagnétique moderne. Dans son travail sur lecourant continu, Faraday a démontré que la charge sesitue seulement à l'extérieur d'un conducteur chargé, etque celle-ci n'a aucun effet sur ce qui peut être situé àl'intérieur. Ceci est l'effet de blindage qui est utilisédans la cage de Faraday. En 1833, il introduit la notiond'ions. Il a donné son nom à l'unité de capacitéélectrique, le farad, ainsi qu'à une charge électrique, laconstante de Faraday. Michael Faraday est enterré aucimetière de Highgate, Londres, Angleterre.

Michael Faraday (1791- 1867) Michael Faraday (Londres, 22 septembre 1791-Hampton Court, 25 août 1867) est un physicien anglais.À l'âge de 14 ans, Michael Faraday commença unapprentissage de relieur, mais durant sa septième annéed'apprentissage il développa un intérêt pour la science.En 1821, après la découverte du phénomène del'électromagnétisme par le chimiste danois Oersted,Faraday construisit deux appareils pour produire cequ'il appela une rotation électromagnétique : lemouvement circulaire continu d'une force magnétiqueautour d'un fil. Dix ans plus tard, en 1831, il commençaune longue série d'expériences durant lesquelles ildécouvrit l'induction électromagnétique. Cesexpériences forment la base de la technologieélectromagnétique moderne. Dans son travail sur lecourant continu, Faraday a démontré que la charge sesitue seulement à l'extérieur d'un conducteur chargé, etque celle-ci n'a aucun effet sur ce qui peut être situé àl'intérieur. Ceci est l'effet de blindage qui est utilisédans la cage de Faraday. En 1833, il introduit la notiond'ions. Il a donné son nom à l'unité de capacitéélectrique, le farad, ainsi qu'à une charge électrique, laconstante de Faraday. Michael Faraday est enterré aucimetière de Highgate, Londres, Angleterre.

Joseph Henry (1797-1878), physicien américain quidécouvrit l'auto-induction et le principe del'induction électromagnétique des courants induits.En 1832 lui revint l'unité de mesure d'inductanceélectrique qui fut nommée le henry en son honneur.Henry expérimenta et améliora l'électroaimant,inventé en 1823 par l'anglais William Sturgeon. Dès1829, il avait développé des électroaimants d'unegrande puissance de levée. En 1831, il fabriqua lepremier télégraphe électromagnétique opérationnel.Henry conçut et construisit également l'un despremiers moteurs électriques… En 1847, alors qu'ilétait secrétaire de l'Institut Smithsonian des Etats-Unis, il instaure un système d'observationsmétéorologiques. Auteur de nombreux travaux surl'électromagnétisme.Il découvrit l‘auto-induction et le courant de rupture.Il perfectionna l‘électroaimant.

Joseph Henry (1797-1878)

Joseph Henry (1797-1878), physicien américain quidécouvrit l'auto-induction et le principe del'induction électromagnétique des courants induits.En 1832 lui revint l'unité de mesure d'inductanceélectrique qui fut nommée le henry en son honneur.Henry expérimenta et améliora l'électroaimant,inventé en 1823 par l'anglais William Sturgeon. Dès1829, il avait développé des électroaimants d'unegrande puissance de levée. En 1831, il fabriqua lepremier télégraphe électromagnétique opérationnel.Henry conçut et construisit également l'un despremiers moteurs électriques… En 1847, alors qu'ilétait secrétaire de l'Institut Smithsonian des Etats-Unis, il instaure un système d'observationsmétéorologiques. Auteur de nombreux travaux surl'électromagnétisme.Il découvrit l‘auto-induction et le courant de rupture.Il perfectionna l‘électroaimant.

I. Données ExpérimentalesL’induction EM se manifeste dans des diverses conditionsexpérimentales, deux exemples typiques: Expériences différentes -même résultat

Expérience (1)

B B(t)A - - --

-

Expérience (2)

A - - ---

(C)i

iA A

Conclusion: Pour des circonstances très différentes, il y a apparition d’uncourant induit (créé par une f.e.m. d’induction) dans un circuit électriquedépourvu de générateurs.

B B(t)

Invariable Déplacement ou déformation ducircuit

L-

-

--

----

Variable Circuit immobile

L-

-

--

----(C)

iL(C) L

II. F.e.m. d’induction et loi de FaradayLes expériences de Faraday, Henry et autres, ont montré que la variation totale

dans le temps du flux de champ mag m à travers un circuit (c) entraînel’apparition dans celui-ci d’un courant induit. Ce courant est créé par une f.e.m.d’induction.

dm

dte = -

Remarques1- La f.é.m d’induction due à un flux mag variable est distribuée à travers le circuit.2- Normalement, la f.é.m d’induction est détectée en observant un courant dans lecircuit, mais parfois apparaît même si le circuit est ouvert.3- Dans le cas général, l’expérience montre que:

e = (c) E .dℓ = - dm /dt Forme intégrale de la loi de Faraday

Cette f.e.m s’ajoute auxautres sources de tensiondans le circuit

Remarques1- La f.é.m d’induction due à un flux mag variable est distribuée à travers le circuit.2- Normalement, la f.é.m d’induction est détectée en observant un courant dans lecircuit, mais parfois apparaît même si le circuit est ouvert.3- Dans le cas général, l’expérience montre que:

e = (c) E .dℓ = - dm /dt Forme intégrale de la loi de Faraday

● E est un champ électrique induit non conservatif, il résulte du champ magnétique variable.

● m est le flux du champ magnétique B à travers le circuit (c) (ou à travers (S) du circuit). (S)est une surface s’appuyant sur le circuit (c).

Forme locale de la loi de Faraday

d’où (c) E.d ℓ = - d(s B.ds)/dtor d’après le théorème de Stockes (c) E.d ℓ =(s) rot E.dsil vient donc (c) rot E.ds = - d(s B.ds)/dt = s – (dB/dt).ds rot E = – dB/dtB peut dépendre de la position et du temps: B/t à la place de dB/dt,on a donc:

c’est la forme locale de la loi de Faraday.

d’où (c) E.d ℓ = - d(s B.ds)/dtor d’après le théorème de Stockes (c) E.d ℓ =(s) rot E.dsil vient donc (c) rot E.ds = - d(s B.ds)/dt = s – (dB/dt).ds rot E = – dB/dtB peut dépendre de la position et du temps: B/t à la place de dB/dt,on a donc:

c’est la forme locale de la loi de Faraday.

C’est une des équations de Maxwell qui représente l’unedes relations fondamentales de l’électromagnétisme.

4- Le signe (-) de la loi de Faraday est lié à la direction de la f.e.m d’induction.

rot E = – B/ t

0B

0A.

Soit A un vecteur quelconque:On sait que:

Le potentiel vecteur A

Par conséquent B dérive d’un potentiel vecteur A tel que:

ArotAB

Arot1A1H

Ou bien Arot1A1H

Ainsi, on peut aussi utiliser cette expression pour calculer Bsachant l’expression de A .A cet effet, la loi de Biot et Savart permet de faire ce calcul:

rd

4IAd 0

Où dA est le potentiel vecteurélémentaire créé par l’élément decourant Idℓ. Il suffit d’intégrer cetteexpression pour calculer A et ensuite B.

AB

0B

0A.

Soit A un vecteurquelconque

A1H

On sait que:

Champ électrique E en fonction du potentiel vecteur A

Att

HE

donc

0tAE

rot E = – B/ t = - (rot A ) /t, càd

0V Or pour un scalaire

quelconque V

0tAE

VtAE

Ǝ un scalaire V tq:V est un scalairequelconque qui dépendde la position

Ainsi, on atAVE

E est la somme de deux champs: Chp

électrostatique dû au accumulation decharges + chp induit dû à la variation de B

III. Loi de Lenz (Heinrich Friedrich Lenz, 1804-1865)

Loi de Lenz : Expression qualitative des phénomènes d’induction magnétique.

Loi de Faraday : Expression quantitative des phénomènes d’induction magnétique.

Enoncé de la loi de Lenz:Les phénomènes d’induction magnétique agissent toujours en unsens tel qu’ils tendent à s’opposer aux causes de leurs apparition.

La loi de Lenz permet de:1. Savoir le sens du courant induit.2. Traduit simplement une tendance naturelle à l’équilibre.

Exemple d’applicationSi on dispose d’un aimant et d’une spire circulaire:Considérons les deux expériences suivantes

Heinrich Friedrich Emil Lenz est unphysicien allemand d'origine russe("balte allemand") né à Dorpat(actuellement Tartu), Estonie, le 12février 1804 et mort à Rome le 10février 1865.Il est professeur puis recteur àl'Université de St.-Petersbourg où ilrefait les expériences de Faraday. Sonnom est resté attaché à la loi surl'interaction courant électrique- champmagnétique.Il observe en 1833 l'augmentation de larésistance des métaux avec latempérature et étudie l'effet Peltier(appelé aussi effet thermoélectrique:phénomène physique de déplacementde chaleur en présence d’un courant).

Heinrich Friedrich Emil Lenz 1804-1865

Heinrich Friedrich Emil Lenz est unphysicien allemand d'origine russe("balte allemand") né à Dorpat(actuellement Tartu), Estonie, le 12février 1804 et mort à Rome le 10février 1865.Il est professeur puis recteur àl'Université de St.-Petersbourg où ilrefait les expériences de Faraday. Sonnom est resté attaché à la loi surl'interaction courant électrique- champmagnétique.Il observe en 1833 l'augmentation de larésistance des métaux avec latempérature et étudie l'effet Peltier(appelé aussi effet thermoélectrique:phénomène physique de déplacementde chaleur en présence d’un courant).

IV. Exemples d’application: Loi de lenz

Expérience 1: On déplace un aimant vers la position d’une spirecirculaire immobile (l’aimant s’approche de la spire)

i*P

n*M

*P’Bi

B(M) > B(P) > B(P’)

S N

B induit

Bi

Bi

Bi

i

V

Aimant mobile

Lignes de champ mag. spire immobile

B●P●M

Exemples d’application: Loi de lenz

Expérience 2: L’aimant s’éloigne de la spire

i

Bi

*Pn*M

*P’Bi

B(M) > B(P) > B(P’)

B induit

Bi

Bi

i

V●P●P’

Exercice d’application: Loi de lenz

Soit un circuit (C) formé par un barreau AB mobile (de vitesse constante v)sur deux rails de résistance totale R. Le circuit est placé dans un champmagnétique B uniforme et perpendiculaire au plan du circuit. En supposantque le barreau se déplace sans frottement sur les rails, déterminer la f.e.m.d’induction et le sens du courant induit dans ce circuit.

ii

ℓ R

A

B

Instant t +dt

BXnX S

Bi●

i

ii

Bi●

xInstant t

x x + dx

V. Phénomène d’auto-induction mutuelleLe flux magnétique à travers un circuit peut être lié aux courantsqui circulent dans ce circuit et ceux des circuits voisins.

a. Auto-induction

1- Coefficient d’auto-induction

I

m = L I

SpireCas d’une Spire circulaire M B(M) I

I

● Dans un point M de l’espace:B(M) est toujours proportionnel à I

m = L I

Exemple: Calcul de L d’un Solénoïde

● Au point P de l’axe ox:B ( x ) = (0 .I.R2) / (2.(x2+R2)3/2)

L = cste > 0, dépend de la forme géométrique:

● Coefficient d’auto-induction de la spire● Self● Inductance [L] = [Henry]

Exemple: Calcul de L d’un Solénoïde

ℓ = 10 cm

R

0 2 2

1B =

μ NI

+ 4R

On a vu que le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde:

S = 5 cm2 = πR2 donc R = 1.26 cm

On peut considérer le cas: ℓ >> R B = μ0 N I / ℓ = μ0 n I

et Фm = N B S = L I L = Фm / I = μ0 N2 S / ℓ

L = 6,28 . 10-5H

V. Phénomène d’auto-induction mutuelle (suite)

Soit un circuit quelconque de self L, qui est parcouru par un courant I. Il esttraversé par le flux de son ‘ propre’ champ magnétique: m = L.I

2- f.e.m. d’auto-induction

A t = 0, K ouvert donc I = 0 et m = 0Après la fermeture de K, I augmenteet m aussi.D’après la loi de Lenz, une f.e.m.induite sera créée au niveau del’inductance L pour s’opposer à cetteaugmentation de flux (càd unef.c.e.m.= L.dI/dt au niveau de L):e = -dm/dt= -LdI/dt appelée f.e.m.d’auto- induction.

E0

I+

Lf.c.e.m.

K

A t = 0, K ouvert donc I = 0 et m = 0Après la fermeture de K, I augmenteet m aussi.D’après la loi de Lenz, une f.e.m.induite sera créée au niveau del’inductance L pour s’opposer à cetteaugmentation de flux (càd unef.c.e.m.= L.dI/dt au niveau de L):e = -dm/dt= -LdI/dt appelée f.e.m.d’auto- induction.

E0

+

-L

f.c.e.m.Ldi/dt

dm

dte = - = - L dI

dt

Dans le cas général, dans un circuitoù I est variable dans le temps:

Le phénomène par lequel le circuit ne laissepas le courant s’établir d’une façoninstantanée s’appelle phénomène d’auto-induction.

b. Induction mutuelle

L1+- E1

I1

(C1)

L2+-E2

I2

(C2)

sens arbitraire

P

I1 Produit en P un champ mag B1proportionnel à I1


Soient deux circuits voisins:

12 = M12 I1


22 = L2 I2

m2 = 22 + 12 = L2 I2 + M12 I1


Donc le flux mag total à travers (C2) est:

m1= 11 + 21 = L1 I1 + M21 I2

De même le flux mag total à travers (C1) est:

Remarques1- L1 et L2 sont toujours positifs.2- M12 et M21 peuvent être positifs ou négatifs.3- En général, les valeurs de M12 et M21 peuvent être déterminées

expérimentalement. Par raison de symétrie, on a pour lescircuits électriques M12 = M21=M.

4- L’unité de ces coefficients est le Henry (H).

Coefficients d’induction mutuelle

Exemple : 1- Cas de deux spires circulairesDéterminer le coefficient d’induction mutuelle entre les deux spires circulairessuivantes en considérant que le courant varie dans le temps et que b>>a.

Exemple : 1- Cas de deux spires circulairesDéterminer le coefficient d’induction mutuelle entre les deux spires circulairessuivantes en considérant que le courant varie dans le temps et que b>>a.

b

aax

(2)(1)

I

Réponse : Le champ mag créé par la spire (1) dans lecentre de la spire (2) est

B = µ0a2.I / (2.(a2 + b2)3/2) (B = -B.i)b>>a B = µ0a2.I / (2. b3), B est le même sur tous lespoint de la spire (2), donc le flux de B à travers la spire (2)est

12 = s B.ds =B.S = (µ0a2.I / (2. b3)).(a2)la f.e.m. d’induction lorsque I varie dans le temps estdonnée par

e = - d12/dt = - (µ0a4. / (2. b3)).(dI/dt)= -M12dI/dt

M12 = µ0a4. / (2. b3).

Exemple: 2- Cas de deux solénoïdes toriques (Contrôle n°2, 2005-06)On considère une bobine (C2) formée par N2 spires de diamètre (b - a) enrouléesur une partie du solénoïde torique d’un exemple précèdent (voir la figure).Sachant que le rayon moyen du solénoïde torique est (b + a)/ 2. Déterminer:a- Le flux magnétique à travers une seule spire de (C2).b- Le coefficient d’induction mutuel entre le solénoïde torique et la bobine (C2).On donne pour l’application numérique N1=1600, N2 =20, a =13.5 cm, b =16.5 cm.

Réponsea- 1 = B.S1 = B . S1

B = (µ0.N1.I / [(2π((b+a)/2)]

S1 = π [(b-a)/2)]2

1 = µ0.N1.I.(b-a)2 / (4. (b+a))

Bobine (C2)

a- 1 = B.S1 = B . S1

B = (µ0.N1.I / [(2π((b+a)/2)]

S1 = π [(b-a)/2)]2

1 = µ0.N1.I.(b-a)2 / (4. (b+a))

b- = N2.B.S1 = N2.B.S1

= M.I

M = (µ0.N1.N2.(b-a)2/ (4(b+a))

VI. Energie magnétique

a. Energie emmagasinée dans une self

LE0

KI

R

+

-

Interrupteur ouvert (I=0) flux magnétique= 0.

L dI/dtSens des ddpquand le courantaugmente dI/dt >0

Interrupteur ouvert (I=0) flux magnétique= 0.

Interrupteur fermé, I augmente flux magnétique augmente.

Loi de Lenz: f.e.m. induite sera créée au niveau de L pour s’opposer à cetteaugmentation de flux, càd on a une f.c.e.m. au niveau de L.Par l’application de la loi des mailles on a l’équation différentielle linéaire depremier ordre suivante:

a. Energie emmagasinée dans une self (suite)

Energieemmagasinée

dans L par unitéde temps

( x I ) E0 – RI – L = 0dIdt

E0 I – RI2 – L I = 0dIdt

E0 I = RI2 + L I dIdt

Puissancefournie par legénérateur au

circuit

Puissancedissipée pareffet Joule

dans R

Energieemmagasinée

dans L par unitéde temps

L IdIdtdt

dwm = L I dIdwm =

wm = dwmt0

tm= L I dI

0

Im

= L Im21

2Cas général: Energie Emmagasinée dans une self L parcourue par I est:

wm = L I212

dt

b. Densité d’énergie magnétique

Supposons que la self soit une portion de longueur ℓ d’un solénoïdeinfini comportant n spires par mètre, nous avons:L = 0.n2.S.ℓB = 0.n.IDonc wm = (½).L.I2 = (½).(0 n2.S.ℓ).I2

wm = (1/ (20)).B2. (J) = S. ℓ est le volume où règne le champ magnétique B.

d

B

I

Densité d’énergie magnétique =ddwm

Elément de volume où existe B

Energie magnétique dans d=

1(20)

= . B2

Cas général: l’énergie magnétique localisée dans un élément devolume d où existe un champ magnétique B est donnée par

Densité d’énergie magnétique (suite)ExempleDéterminer le coefficient d’auto-induction par unité de longueur d’un filcylindrique de rayon R et de longueurinfinie ℓ parcouru par un courant I.

Réponse:On a déjà vu que:Pour r < R B(M) = 0 I.r / ( 2. R2)

L’énergie magnétique localisée dans un élément de volume d = ℓ.2.r. drest dwm = (1/ (20)).B2.d

= (1/ (20)). (0 I.r / ( 2. R2))2.(ℓ.2.r. dr)wm = dwm = (0 I2ℓ/(4. R4)). r3dr

(wm / ℓ) = 0 I2/(16)or wm = (½) L.I2 donc le coefficient d’auto-induction par unité delongueur de ce fil cylindrique est L/ℓ = 0 /(8)

*MVolume d

r

R

Réponse:On a déjà vu que:Pour r < R B(M) = 0 I.r / ( 2. R2)

L’énergie magnétique localisée dans un élément de volume d = ℓ.2.r. drest dwm = (1/ (20)).B2.d

= (1/ (20)). (0 I.r / ( 2. R2))2.(ℓ.2.r. dr)wm = dwm = (0 I2ℓ/(4. R4)). r3dr

(wm / ℓ) = 0 I2/(16)or wm = (½) L.I2 donc le coefficient d’auto-induction par unité delongueur de ce fil cylindrique est L/ℓ = 0 /(8)

Densité d’énergie magnétique (suite)

Exercice

h

i (t)

b

a

r

dr

h

i (t)

Coupe longitudinale du tore

1- Déterminer le flux élémentaire dΦ à travers un élémentrectangulaire du tore, de largeur dr et de hauteur h.

2- Déduire le flux total envoyé par le fil rectiligne à travers letore portant N spires.

3- Calculer l’induction mutuelle M entre le fil infini et le tore.4- Déterminer l’énergie magnétique emmagasinée dans le

tore



b

ar

dr

hi (t)Réponse:

1- d = B.h.dr avec B = 0i(t)/ (2.r) est le champ magnétiquecréé par un fil conducteur traversé par un courant i(t).

d =0i(t).h.dr / (2.r)

2- tot = N.d = 0i(t).N. h.Log (b/a) / (2.)3- M = tot / i(t) =0.N. h.Log(b/a) / (2.) = 1.62 H4- dwm / d= (1/(20)).B2 Wm = 0i2(t). h.(b2 - a2) / (8.ab).







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Chapitre II: Induction électromagnétique







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