8/3/2019 TD Communication Analogique 12

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Exercice 4Une ligne sans perte d'impdance caractristique Z c est charge par une rsistance R. On intercale entre la ligne

et la charge un autre tronon de ligne sans perte mais d'impdance caractristique Z c', de longueur /4 dans le butd'adapter la ligne. Dmontrez que la condition d'adaptation est Z c R Z c

' = .

Exercice 5

Mesure du rapport d'ondes stationnaire: On branche en srie sur la ligne un tronon d'impdance identique cellede la ligne tudier. A la surface du tronon insr, une fente a t usine. Un chariot se dplace avec une grandeprcision le long de cette fente. Il porte une antenne trs fine qui mesure la tension l'intrieur de la ligne.Un voltmtre serait trs coteux pour les hautes frquences appliques. On utilise donc le montage suivant :

sonde (antenne)C

diode

milli ampremetre basse frquence

On applique un signal alternatif la ligne: ( ) ( )v t A t = cos . Le courant traversant la diode est de la forme:

i a1v a 2 v2 termes d'ordre suprieurs ngligeables= + + . La capacit filtre les composantes alternatives de ce

signal. En dplaant l'antenne, on mesure un courant minimum i m puis un courant maximum i M . En dduire, en

fonction de i m et de i M , le rapport d'ondes stationnaires dfini par =V M V m

.

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Exercices de Tlcommunications Transmission sur des lignesGTR 2 nde anne 17 Novembre 1997

CORRIG

Exercice 1

ZR est l'impdance de charge de la ligne. On a l'impdance rduite ramene en l est:

( )( )

Z Z c Z R j Z c l

Z c j Z R l0 =

++

tan

tan

Si la ligne est ouverte, Z R=et ( ) Z co

Z c

j l0 = tan

, donc( )

Z co j Z c

l j0 54 6= = tan

.

Si la ligne est coutcircuite, Z R=0 et ( ) Z cc j Z c l j0 103= =tan

donc Z c Z co Z cc2 0 0= , ce qui donne Z c=75 et ( )tan ,

2 0

0

1 89 l Z cc

Z co= = , ce qui donne l

Z cc

Z co=arctan 0

0donc:

= = =2 2

0

0

10l

Z cc

Z co

m

arctan

1. Exercice 2

2. v est une onde sinusoidale se propageant dans le sens des x croissants, u dans le sens des x dcroissants.Pour v: en t=0, le signal rel est ( )( ) ( )Re , cosv x t v t x= 0 En t+dt , le signal a avanc de dx : ( ) ( )( )v t dt x dx0 cos + +La vitesse laquelle se dplace un cos est celle laquelle se dplace sa phase. On suit par

exemple un maximum :

( ) ( )( ) t dt x dx cste+ + = donne: dxdt

=

Pour u, on a la mme vitesse, mais dans le sens x dcroissant.3. Dans une ligne semi infinie, il n'y a pas de rflexion et le signal qui se propage est uniquement le v de la

question 1 :

( )( )( )

v x t v ej t x

, =

0

4. ( ) ( )v x t v e j t d v e j t t = = = 0 0 2 01

2, sinc

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )v x t v e j t x d v e j t x t x, sinc= + = + 0 0 2 0 0 01

2

sinc est la fonction sinus cardinal, sin(x)/x.

Le terme exponentiel est une porteuse sinusoidale qui de propage la vitesse de phase( )

00

et le

reste est l'enveloppe qui se propage la vitesse de groupe 1

.

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5. Dessiner un sinus cardinal qui forme l'enveloppe d'une porteuse sinusoidale. Les deux composantes sepropagent des vitesses diffrentes (le plus souvent, la vitesse de groupe, celle du sinc, est infrieure la vitesse de phase, celle du cos).

Exercice 3

1.

= 0

r et 0 60= =

c f

cm

donc: 1 40= cm pour le polythylne2 60= cm pour l'air 3 42 43= , cm pour le tflon

2. ( )( )

Z Z c Z R j Z c l

Z c j Z R l0 =

++

tan

tan

et

= 2

impdance ramene en C par le tronon 1: si on applique brutalement, on doit faire :

50100 50 2

40110

50 100240

11025

+

+ =

j

j

tan

tan

??

ou encore on remarque que c'est une ligne quart d'onde et Z Z c Z R

02 50 2

10025= = =

L'impdance rduite est Z Z c

, donc rduite par 1: 0,5 et rduite par 2: 0,333

3. ( )

( ) Z Z c

Z R j Z c l

Z c j Z R l

0 =+

+

tan

tan

et

= 2

impdance ramene en B par le tronon 2 :

7525 75

260

50

75 25260

5017557 86 27

+

+ = +

j

j j

tan

tan. .

impdance rduite par 2: 2,341 +j 1,15 et rduite par 3: 3,5114 + j 1,7254

4. ( )( ) Z Z c

Z R j Z c l

Z c j Z R l0 =

++

tan

tan

et

= 2

impdance ramene en A par le tronon 3 :

( )

( )50

175 57 86 27 502

42 43 120

50 175 57 86 272

42 43120

0 23 0 42, . tan ,

, , tan,

, ,+ +

+ + = +

j j

j j

j

Exercice 4

La ligne quart d'onde est un inverseur d'impdance: z(extrmit 1)=1/z(extrmit 2).L'impdance rduite par le tronon de la charge est z=R/Zc'.Le tronon doit ramener l'impdance Zc, ce qui donne l'impdance rduite Zc/Zc'.Donc Zc'/Zc=R/Zc' ce qui donne la relation voulue.

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Exercice 5

i a v a v= +1 2 2 , ce qui donne ( ) ( )( )i a A t a A t = +1 2 2( cos ) cos .

( ) ( )ia A

a A t

a A

t = + +2

2

2 12

2

2 2cos cos .Les composantes alternatives sont supprimes par la capacit. La composante continue obtenue est doncproportionnelle au carr de l'amplitude de la tension collecte.

donc = =V M V m

i M im

.