tablor.sty

La machine à créer des tableaux de signes et de variations

Guillaume CONNAN

http://gconnan.free.fravec l’efficace participation de Jean-Michel BOUCART

Forum d’aide : http://gconnan.free.fr/punbb/upload/index.php

14 juin 2008 - Version 3.00

I - Ça sert à quoi ?

Il s’agit d’obtenir rapidement un tableau de signe ou un tableau de variation en entrant un minimum decommandes.

II - Comment ça marche ?

a. Principe général

On entre une instruction qu’on envoie via LATEX à XCAS qui effectue un certain nombre de calculs (résolu-tion d’équations, calcul de limites). XCAS renvoie un résultat sous la forme d’un script MetaPOST qui estcompilé. Un tableau est créé et ensuite inséré dans le document tex.

b. Rentrons dans les détails

En utilisant un environnement tablor, de nombreux fichiers sont créés dans le répertoire courant puiseffacés par la commande nettoyer si vous le souhaitez :– des fichiers d’extension .cxx : il s’agit du fichier le plus important. C’est le programme XCAS qui « fa-

brique » le tableau. Vous pouvez l’utilisez tel quel dans une session XCAS ou giac.– des fichiers d’extension .giac qui regroupent des instructions lues et exécutées par giac. Il est très

court :

maple_mode (0); / / a u c a s o ù c e r t a i n s t r a v a i l l e r a i e n t e n m o d e m a p l e ,

m u p a d o u t i

read("config.cxx"); / / p o u r c o n f i g u r e r l a 1 è r e c o l o n n e ( s i g n e d e o u

s i g n o f e t c . )

read("XcasTV.cxx"); / / g i a c c h a r g e l e p r o g r a m m e

read("XCasTV.user"); / / g i a c l i t l e s p a r a m è t r e s r e n t r é s d a n s l e

s o u r c e

tex et fabrique à la volée le source MetaPOST .

– des fichiers d’extension .user qui sont créés par LATEX grâce à l’environnement VerbatimOut de l’ex-tension fancyvrb : il s’agit en fait de la commande qui se trouve par exemple entre \begin{TV} et\end{TV}.

1

Autres collaborations XCAS/LATEX

On peut suivre ce même principe pour créer d’autres associations de vos outils préférés. Voir parexemple :http://gconnan.free.fr/?page=53ethttp://melusine.eu.org/syracuse/giac/

c. Code XCAS

Toutes les procédures suivent le même principe :– la plus grande partie s’occupe de créer les lignes du tableaux à l’aide de nombreux tests et boucles ;– ensuite, on regroupe ces lignes dans une variable MetaLfc ;– on exporte le tableau à l’aide des trois dernières lignes :

sortie:=fopen("XCasmpfc .mp"); / / o n c r é e u n f i c h i e r X C a s m p f c . m p

fprint(sortie ,Unquoted ,MetaLfc); / / o n y m e t M e t a L f c

fclose(sortie); / / o n f e r m e X C a s m p f c . m p

III - De quoi a-t-on besoin ?

– Il faut avoir installé XCAS, logiciel multi-plateforme de calcul et de programmation :http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/%7Eparisse/giac_fr.html;

– il faut avoir le fichier de macros MetaPOST tableauVariation.mp de Frédéric Mazoit :http://frederic.mazoit.free.fr/LaTeX_metapost/tableauVariations/;Pour ceux qui sont guère habitués à MetaPOST, cela ne pose aucun problème car les scripts et com-pilations MetaPOST se font automatiquement. Il suffit de créer dans son texmf personnel une arbo-rescence du style : ./texmfperso/metapost/tablor/ et d’y placer tableauVariation.mp puis unrehash. C’est exactement la même démarche que pour installer une nouvelle extension LATEX.

– il faut être en mode shell-escape pour autoriser les sorties de la compilation tex. Pour emacs, on ra-joute en fin de fichier %%% LaTeX-command: "latex --shell-escape" *** ; pour les autres éditeurs,il faut modifier la commande de compilation. Sinon, on peut modifier le fichier texmf.cnf pour que lemode soit automatisé en modifiant la ligne suivante : shell-escape t ;

– il faut avoir à disposition les extensions fancyvrb, filecontents, ifthen et ifpdf ;– pour ceux qui compilent avec pdfLATEX, il n’y a aucun problème et rien à faire car tablor contient déjà

ce qu’il faut pour s’adapter : \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi– il faut installer le fichier tablor.stydans son texmfpersonnel. Pour ceux qui ont MiKTeX sous windows,

il suffit d’aller le chercher dans les dépôts. Pour les utilisateurs de Unix, vous devez savoir commentfaire... Par commodité, vous pouvez en profiter pour installer la version Unix de MiKTeX package ma-

nager. J’ai fait un petit script pour vous y aider ici :http://gconnan.free.fr/?page=52

– il faut installer les fichiers de configuration tablor.cfg et entateMP.cfg dans le même répertoire detablor.sty

Commandes créées

Huit nouvelles commandes sont crées : \tv, \tvbis, \nettoyer, \initablor, \Tableaux,\dresse, \dressetoile, \executGiacmp. Attention aux conflits si de tels noms existent

quelque part dans vos fichiers personnels.

2

shell-escape

Pour les utilisateurs de TeXnicCenter, observez cette explication du paramétrage du shell-escape.On peut par exemple mettre :-enable-write18 –shell-escape –src -interaction=nonstopmode "%Wm".Sur TeXmaker, c’est latex -enable-write18 –shell-escape -interaction=nonstopmode%.tex.Pour faire comprendre à Microsoft Windows XP où trouver giac, vous pouvez modifier le path ensuivant ces instructions :Demarrer->Panneau de configuration->Système onglet Avancé->Variable d’environnement. Il fautcliquer sur la ligne PATH puis sur le bouton modifier et là il faut ajouter

;C:\repertoire_d’installation_de_xcas

(Merci à Gaëtan et à Daniel).

Conflit d’extensions

L’extension fancybox rentre en conflit avec fancyvrb qu’utilise tablor car elles définissent toutesdeux différemment l’environnement VerbatimOut.

IV - Comment l’utiliser ?

a. Préambule

Les ECM donnés en exemple ne dépendent pas du moteur de compilation : LATEX+dvi+dvips ou pdfLATEXconviennent.Le préambule sera toujours :

\documentclass{article }\usepackage {graphicx }\usepackage [french ]{babel} % o r e u n o z e r l a n g o u a g e

\usepackage [xcas ]{tablor} % x c a s e n o p t i o n : c f p l u s l o i n

b. L’option xcas

On met xcas si l’on a installé giac/XCAS sur son ordinateur et on ne met rien si giac/XCAS n’est pasinstallé ou (et) que l’on a récupéré un fichier tex avec les fichiers sources MetaPOST ; Ainsi, tablor ne ferapas appel à giac/XCAS et se contentera de compiler les fichiers MetaPOST.

c. Fichier de configuration tablor.cfg

Contenu

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% F i c h i e r d e c o n f i g u r a t i o n d e t a b l o r . s t y %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

3

% L a m i s e à j o u r d e c e f i c h i e r p e r m e t d ’ a d a p t e r c e r t a i n s p a r a m è t r e s d u

p a c k a g e t a b l o r . s t y

% a u p o s t e d e t r a v a i l e t a u x h a b i t u d e s d e s u t i l i s a t e u r s .

% = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

% I − C o n f i g u r a t i o n d u p r é a m b u l e M e t a P O S T

% = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

\begin{filecontents*}{ enteteMP .cfg}

input tableauVariation;

verbatimtex

% & l a t e x

\documentclass{article }

\usepackage[upright ]{ fourier} % o u m a t h p a z o , l m o d e r n , e t c . o u r i e n !

\usepackage{amsmath}

\renewcommand\mbox[1]{ #1 } % p o u r l e s m b o x i n t e m p e s t i f s d e x c a s

\renewcommand\cdot{ } % i d e m p o u r l e s c d o t

\begin{document }

etex

\end{filecontents*}

% = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

% I I − D é c l a r a t i o n d u s y s t è m e d ’ e x p l o i t a t i o n :

% = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

% S i v o u s u t i l i s e z w i n d o w s , d é − c o m m e n t e z l a l i g n e s u i v a n t e :

% \ s e t b o o l e a n { w i n d o w s } { t r u e }

% = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

% I I I − D é c l a r a t i o n d e l ’ é d i t e u r u t i l i s é

% = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

%

% R e m p l a c e z " k i l e " p a r l a c o m m a n d e q u i l a n c e v o t r e é d i t e u r f a v o r i .

% L a i s s e z u n e e s p a c e a v a n t d e f e r m e r l ’ a c c o l a d e .

\newcommand{\ editeur }{kile }

% = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

% I V − 1 è r e c o l o n n e

% = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

%

% p e r m e t d e c o n f i g u r e r l e s t e r m e s d a n s l a p r e m i è r e c o l o n n e d e s

% t a b l e a u x : " s i g n e d e " o u " s i g n o f " o u " " e t c .

%

4

\begin{VerbatimOut}{config.cxx}

// POUR LES TV, TVI ,TVZ ,TVapp ,TSq ,TSa

// pour la ligne signe

lsic:="

newLigneSignes(btex $\\hbox{ Signe de }\\atop{\\ displaystyle ";

// POUR LES TV, TVI ,TVZ ,TVapp

// pour la ligne variation

lvic:="

newLigneVariations(btex $\\hbox{ Variations de }\\atop{\\ displaystyle ";

\end{VerbatimOut}

%% y o u m a y p r e f e r

% \ b e g i n { V e r b a t i m O u t } { c o n f i g . c x x }

% / / F O R T V , T V I , T V Z , T V a p p , T S q , T S a

% / / f o r t h e s i g n s

% l s i c : = "

% n e w L i g n e S i g n e s ( b t e x $ \ \ h b o x { S i g n o f } \ \ a t o p { \ \ d i s p l a y s t y l e " ;

% / / P O U R L E S T V , T V I , T V Z , T V a p p

% / / f o r t h e v a r i a t i o n s

% l v i c : = "

% n e w L i g n e V a r i a t i o n s ( b t e x $ \ \ h b o x { V a r i a t i o n s o f } \ \ a t o p { \ \ d i s p l a y s t y l e " ;

% \ e n d { V e r b a t i m O u t }

%% o u s i v o u s p r é f é r e z q u e n i s i g n e n i v a r i a t i o n n ’ a p p a r a i s s e n t

% \ b e g i n { V e r b a t i m O u t } { c o n f i g . c x x }

% / / P O U R L E S T V , T V I , T V Z , T V a p p , T S q , T S a

% / / p o u r l a l i g n e s i g n e

% l s i c : = "

% n e w L i g n e S i g n e s ( b t e x $ { \ \ d i s p l a y s t y l e " ;

% / / P O U R L E S T V , T V I , T V Z , T V a p p

% / / p o u r l a l i g n e v a r i a t i o n

% l v i c : = "

% n e w L i g n e V a r i a t i o n s ( b t e x $ { \ \ d i s p l a y s t y l e " ;

5

% \ e n d { V e r b a t i m O u t }

Vous le placerez dans la même arborescence que tablor.sty et le modifierez si besoin est.

Rôle

I La première partie permet de configurer le préambule tex qui sera utilisé par MetaPOST pour créerles tableaux. La ligne contenant l’extension des fontes est en particulier optionnelle : vous pouvezla modifier, voire la supprimer selon vos choix de fontes ;

II si vous utilisez Microsoft-Windows, il faudra décommenter la ligne spécifiée afin que les com-mandes unix soient remplacées automatiquement par des commandes dos ;

III l’éditeur sera appelé dans certains cas pour modifier l’aspect des tableaux dans les fichiers sourcesMetaPOST. Il faudra choisir un éditeur comme par exemple emacs, xemacs, texmaker, vi, winshell,notepad, vim, kate, gedit, textmate,texshop, kile, etc. Voir aussi le paragraphe VI - ;

IV par défaut, on voit apparaître dans la première colonne des tableaux « signe de » ou « variations de ».Vous pouvez modifier ces réglages ici comme indiqué ; deux exemples sont donnés : en anglais ouen n’écrivant que les expressions.

d. Initialisation de tablor et préfixe des tableaux

Les fichiers MetaPOST des tableaux sont regroupés dans un fichier de suffixe .Tab.mp. Le préfixe est pardéfaut celui du fichier tex appelant tablor. Il est possible, pour des raisons de classement personnel, demodifier ce préfixe à la suite du \begin{document} en entrant :

\initablor

si l’on veut avoir comme préfixe le préfixe courant (obtenu par \jobname) ou bien :

\initablor [Waouh]

si l’on veut que le fichier MetaPOST des tableaux s’appelle Waouh.Tab.mp

Si tout s’est bien passé, on doit supprimer les fichiers log de MetaPOST et clore le fichier .Tab.mp enentrant juste avant \end{document} la commande :

\nettoyer

ou bien, selon les cas :

\nettoyer [Waouh]

En résumé, notre fichier tex aura cette ossature :

\documentclass{article }\usepackage {graphicx }\usepackage [french ]{babel} % o r e u n o z e r l a n g o u a g e

\usepackage [xcas ]{tablor} % o p t i o n s m o d i f i a b l e s

\begin{document }

\initablor

...

6

\nettoyer

\end{document }

V - Tableaux des variations

a. Tableau standard

L’environnement s’appelle TV. On utilise une commande au format XCAS :

TV([ borne inf ,borne sup],[ valeurs interdites ],"nom␣fonction ","nom␣variable ",expression en fonction de x,t,\tv)

– [borne inf,borne sup] désigne les bornes de l’ensemble de définition. On note +∞ : +infinity et−∞ : -infinity. N’oubliez pas les crochets !

– [valeurs interdites] désigne la liste des valeurs interdites ;– "nom fonction" désigne la lettre représentant la fonction telle que vous voulez qu’elle apparaisse : f ,

g , ϕ, etc.– "nom variable" : même chose pour la variable, selon que vous voulez la désigner par x, t , etc. N’ou-

bliez pas les guillemets !– expression en fonction de x désigne l’expression de la fonction. Attention ! Utilisez ici toujours x

pour désigner la variable ;– le paramètre t est à remplacer par 1 si vous voulez voir apparaître une ligne avec le signe de la dérivée,

par 0 si vous ne voulez pas de cette ligne et par 2 si vous ne voulez que le signe de la dérivée.– on termine par \tv, une commande permettant de numéroter les tableaux en interne.Voyons à présent quelques exemples.

1. Le tableau de variation sans signe de la dérivée de la fonction f : x 7→ x2 sur [−5;7].

On obtient :

x −5 0 7

Variations def

25

0

49

après avoir entré :

\begin{TV}TV([-5,7],[]," f","x",x^2,0,\tv)\end{TV}

2. Si on veut la même fonction sur R avec le signe de la dérivée :

\begin{TV}TV([-infinity ,+ infinity ],[],"f","x",x^2,1,\tv)\end{TV}

x −∞ 0 +∞

Signe def ′(x)

− 0 +

Variations def

+∞

0

+∞

7

3. Avec la même fonction sur R avec uniquement le signe de la dérivée :

\begin{TV}TV([-infinity ,+ infinity ],[],"f","x",x^2,2,\tv)\end{TV}

x −∞ 0 +∞

Signe def ′(x)

− 0 +

4. Voici ce que cela donne pour g : t 7→ t2

t2−1 sur [−10;+∞[ :

\begin{TV}TV([-10,+ infinity ],[-1,1],"g","t",x^2/(x^2-1) ,1,\tv)\end{TV}

t −10 −1 0 1 +∞

Signe deg ′(t )

+ + 0 − −

Variations deg

10099

+∞

−∞

0

−∞

+∞

1

5. Il y aura des problèmes pour des équations f ′(x) = 0 que XCAS ne saurait pas résoudre de manièreformelle. Il faudrait alors utiliser une résolution numérique et remplacer resoudre par fsolve.Mais dans les études demandées au Bac, l’étude des signes de la dérivée est possible formellement.Dans les cas plus exotiques, on peut faire le tableau « à la main ».

b. Tableau de variation avec « zone(s) interdite(s) »

Pour certaines fonctions, tout un (ou plusieurs) intervalle(s) est(sont) exclu(s) de l’ensemble de définition.Par exemple, la fonction x 7→

px2 −1 est définie sur ]−∞;−1]∪ [1;+∞[.

On utilise alors l’environnement TVZ (Z comme zone...).

\begin{TVZ}TVZ([- infinity ,+ infinity ],[],[[-1,1]]," f","x",sqrt(x^2-1) ,1,\tv)

\end{TVZ}

x −∞ −1 1 +∞

Signe def ′(x)

− +

Variations def

+∞

0 0

+∞

Voici un exemple comportant plusieurs zones interdites : x 7→ ln(

(x −5)2 −1)

+ ln(

x2 −1)

\begin{TVZ}TVZ([- infinity ,+ infinity ],[-1,1,4,6],[[-1,1],[4,6]] ," f","x",ln((x

-5)^2-1)+ln(x^2-1) ,1,\tv)\end{TVZ}

8

Listes des intervalles interdits

Le troisième argument est une liste d’intervalles : la liste des « zones interdites » qui peut éventuel-lemnt se réduire à un seul intervalle comme dans l’exemple précédent.

x −∞ −1 1 52 4 6 +∞

Signe def ′(x)

− + 0 − +

Variations def

+∞

−∞ −∞

ln( 441

16

)

−∞ −∞

+∞

c. Tableau des variations avec théorème des valeurs intermédiaires

Si l’on veut mettre en évidence les solutions de l’équation f (x) = a, on utilise l’environnement TVI.La syntaxe est :

TVI([ borne inf ,borne sup],[ valeurs interdites ]," nom fonction ","nomvariable ",expression en fonction de x,t,a,\tv)

Les paramètres sont les mêmes que pour TV mais on ajoute la valeur a bien sûr.

Par exemple, pour f : x 7→ x2

x2−1et l’équation f (x) = 10 on entre :

\begin{TVI}TVI([-10,+ infinity ],[-1,1],"f","x",x^2/(x^2-1) ,1,10,\tv)\end{TVI}

et on obtient :

x −10 α1 −1 0 1 α2 +∞

Signe def ′(x)

+ + + 0 − − −

Variations def

10099

10

+∞

−∞

0

−∞

+∞

10

1

Les solutions sont notées α1, α2, etc.Si l’équation est plutôt f (x) =−1 :

\begin{TVI}TVI([-10,+ infinity ],[-1,1],"f","x",x^2/(x^2-1) ,1,-1,\tv)\end{TVI}

et on obtient :

x −10 −1 α1 0 α2 1 +∞

Signe def ′(x)

+ + + 0 − − −

Variations def

10099

+∞

−∞−1

0

−1−∞

+∞

1

9

d. Tableaux de variations avec approximation des zéros de la dérivée

Il n’est parfois pas possible d’obtenir une valeur formelle des zéros de la dérivée. On est donc amené àrechercher une approximation numérique de ces zéros. Cela est possible grâce à la commande fsolvede XCAS utilisée à bon escient. On appelera les environnements TVapp et TVIapp ainsi que leurs associésétoilés.Voyons sur un exemple.

Exemple Soit g la fonction x 7→ ln(x)−xe2−x .On étudie d’abord la fonction x 7→ g ′(x) :

\begin{TVIapp}TVIapp ([0,+ infinity ],[0],"g’","x",diff(ln(x)-x*exp(2-x),x) ,1,0,\tv)

\end{TVIapp}

On en déduit le tableau suivant :

\begin{TVapp *}{201}TVapp([0,+ infinity ],[0],"g","x",ln(x)-x*exp(2-x) ,1,\tv)

\end{TVapp*}

x 0 0.212584 0.584635 +∞

Signe deg ′(x)

+ 0 − 0 +

Variations deg

−∞

−2.818394

−2.944288

+∞

e. Tableaux de variations et courbes paramétrées

On peut obtenir le tableau de variations correspondant à des courbes paramétrées définies par un systèmedu type :

{

x = f (t )

y = g (t )

La syntaxe est la suivante :

\begin{TVP}TVP(IE ,VI ,["x","y"],"t",[x(t),y(t)],a,trigo ,\tv)\end{TVP}

avec IE l’intervalle d’étude, VI la liste des listes de valeurs interdites respectives pour les deux fonctions,a pour avoir un tableau complet ou partiel comme dans les autres "TV", enfin trigo qui vaut 1 si inter-viennent des fonctions trigonométrqiues, 0 sinon.

Version de XCAS

L’utilisation de TVP implique l’utilisation d’une version de XCAS d’une date postérieure au 14 juin2008 !

10

v. Cas des fonctions trigonométriques

Étudions par exemple sur[

0 ; π

2

]

{

x(t ) = cos(3t )

y(t ) = sin(4t )

\begin{TVP}TVP([0,pi /2] ,[[] ,[]] ,[" x","y"],"t",[cos(3*t),sin(4*t)],1,1,\tv)\end{TVP}

t 0 18 ×π

13 ×π

38 ×π

π

2

Signe dex ′(t )

0 − −(

3sin( 3π

8

))

− 0 + 3sin(

π

8

)

+ 3

Variations dex

1

cos( 3π

8

)

−1

−(

cos(

π

8

))

0

Signe dey ′(t ) 4 + 0 − −2 − 0 + 4

Variations dey

0

1

−( 1

2 ×p

3)

−1

0

v. Les autres cas

Étudions par exemple sur ]−∞ ; +∞[

{

x(t ) = t2

(t+1)(t−2)

y(t ) = t2(t+2)t+1

\begin{TVP}TVP([- infinity ,+ infinity ],[[-1,2],[-1]],[" x","y"],"t",[t^2/((t+1)*(t

-2)),t^2*(t+2)/(t+1)],1,0,\tv)\end{TVP}

t −∞ −4 −1 0 2 +∞

Signe dex ′(t )

− 0 + + 0 − −

Variations dex

1

89

+∞

−∞

0

−∞

+∞

1

Signe dey ′(t )

−

−649 − − 0 +

449 +

Variations dey

+∞323

−∞

+∞

0

163

+∞

11

f. Tableaux de signes

Cas du produit de deux facteurs affines

Pour étudier le signe de (−2x +3)(−x +5) sur R, on entre :

\begin{TSa}TSa(-2,3,-1,5,\ tv);

\end{TSa}

On obtient :

x −∞ 32 5 +∞

Signe de−2x +3

+ 0 − −

Signe de−x +5

+ + 0 −

Signe de(−2x +3)(−x +5)

+ 0 − 0 +

Cas du produit d’un nombre quelconque de facteurs quelconques sur un intervalle quelconque

Nouveauté à partir de la version 2.08

Par souci de cohérence avec l’environnement TSq, on doit rajouter maintenant en premier argumentle nom de la fonction produit dans l’environnement TS.

Certains cas pathologiques ne vont pas fonctionner, mais sinon, pour étudier le signe de

(−2x +3)(x2 −1)(x2 +1)(x −1)(x2 −2)

on entre cette fois les expressions sous cette forme en précisant l’intervalle d’étude :

\begin{TS}TS("P",[-2*x+3,x^2-1,x^2+1,x-1,x^2-2],[- infinity ,+ infinity ],\tv);

\end{TS}

On obtient :

x −∞ −(p

2)

−1 1p

232 +∞

Signe de− (2x)+3

+ + + + + 0 −

Signe dex2 −1

+ + 0 − 0 + + +

Signe dex2 +1

+ + + + + +

Signe dex −1

− − − 0 + + +

Signe dex2 −2

+ 0 − − − 0 + +

Signe deP(x)

− 0 + 0 − 0 − 0 + 0 −

Ou bien, sur un intervalle borné :

12

\begin{TS}TS("f",[x-10,x+10],[-15,10],\ tv)\end{TS}

x −15 −10 10

Signe dex −10

− − 0

Signe dex +10

− 0 +

Signe def (x) + 0 − 0

Signe d’un quotient

On entre dans deux listes différentes les facteurs du numérateur et du dénominateur :

\begin{TSq}TSq("nom du quotient ",[ liste des facteurs du numérateur ],[liste des

facteurs du dénominateur ],[inf ,sup])\end{TSq}

Par exemple, pour étudier le signe de (−2x+3)(−4x+5)(x2−16)(x−2) sur R :

\begin{TSq}TSq("Q",[-2*x+3,-4*x+5],[x^2-16,x-2],[-infinity ,+ infinity ],\tv)\end{TSq}

x −∞ −4 54

32 2 4 +∞

Signe de− (2x)+3

+ + + 0 − − −

Signe de− (4x)+5

+ + 0 − − − −

Signe dex2 −16

+ 0 − − − − 0 +

Signe dex −2

− − − − 0 + +

Signe deQ(x)

− + 0 − 0 + − +

Sur un intervalle borné :

\begin{TSq}TSq("Q",[x-10],[x+10],[- infinity ,10],\ tv)\end{TSq}

x −∞ −10 10

Signe dex −10

− − 0

Signe dex +10

− 0 +

Signe deQ(x)

+ − 0

13

Signe d’une seule expression

On utilise l’environnement TSc comme Tableau de Signe court en précisant l’expression étudiée et l’inter-valle considéré :

\begin{TSc}TSc((x-10) *(x+5) ,[-10,10],\ tv)\end{TSc}

x −10 −5 10

Signe de(x −10)(x +5)

+ 0 − 0

VI - Comment modifier les tableaux à partir des

fichiers MetaPOST?

a. Tableau par tableau

Il est impossible de prévoir toutes les requêtes des différents utilisateurs. Le style du tableau produit peutnéanmoins vous déplaire. Vous pouvez le modifier en intervenant directement sur le fichier MetaPOSTcréé pour chaque tableau. Pour cela, il suffit d’ajouter une étoile au nom de l’environnement utilisé et dedonner un numéro à votre nouvelle figure pour qu’elle ne soit pas écrasée par les compilations suivantes.Numérotez à partir de 100 par exemple.Si vous tapez :

\begin{TV *}{100}TV([-1,+ infinity ],[],"f","x",x-ln(x+1) ,1,\tv)

\end{TV*}

l’éditeur que vous avez mis en option (voir le paragraphe b. ) est directement lancé et le fichier MetaPOSTcorrespondant à votre tableau qui portera le numéro 100 est affiché. Vous pouvez alors le modifier, tapersur Ctrl + S pour l’enregistrer et Ctrl + Q pour fermer l’éditeur1. La compilation s’achève alorsautomatiquement comme pour un environnement non étoilé.Par exemple, je tape :

\begin{TS *}{100}TS("F",[3*x+2,5*x^2-1],[-50,50],\ tv)

\end{TS*}

et apparaît une fenêtre de l’éditeur (ici TEXmaker) avec le fichier correspondant au tableau. Je le modifieà volonté :

1Ces combinaisons de touches correspondent à la plupart des éditeurs mais ne sont pas universelles : vérifiez pour celui quevous avez choisi.

14

Je tape sur Ctrl + S puis Ctrl + Q et la compilation reprend automatiquement pour m’afficher letableau voulu :

x −50 − 23 −

p5

5

p5

550

Signe de3x +2

− 0 + + +

Signe de5x2 −1

+ + 0 − 0 +

Signe deF(x)

− 0 + 0 − 0 +

Une fois la modification faite, on ne vous redemandera pas d’effectuer de modifications, sauf si vous chan-gez le numéro de la figure.

b. Traitement global dans un unique fichier MetaPOST

Un fichier préfixe.Tab.mp est créé où sont copiés les sources de chaque tableau. Vous pouvez ainsiretravailler globalement sur les tableaux si besoin ou les transmettre à une personne n’ayant pas installéXCAS. Voir le paragraphe d. pour plus de détails.

VII - Merci...

– à Frédéric MAZOIT pour son fichier tableauVariation.mp ;– à Yves DELHAYE pour ses idées sur le shell-escape– à Bernard PARISSE pour XCAS ;– à Jean-Michel BOUCART pour ses précieuses et efficaces améliorations de la partie LATEX du code.

VIII - Erreurs habituelles

Avez-vous rendu possible le shell-escape ? Avez-vous installé toutes les extensions listées en début dece document ? Est-ce que XCAS est dans votre PATH ?

15

La première chose est d’analyser le fichier log.En cas de problème, n’hésitez pas à me contacter à l’adresse indiquée sur mon site en joignant le fichierlog.

IX - Tablor et Emacs

Pour les heureux utilisateurs de tempo, voici quelques lignes pour faciliter votre vie à rajouter dans unfichier latex-tempo :

;;;; TABLOR;;;;cas tableau de variation

("TV" (& > "\\ begin{center }"n>"\\ begin{TV}" n>

"TV(["(p "debut de l’intervalle :")","(p "fin de l’intervalle :")"],""["(p "liste de valeurs interdites (,) :")"],""\""(p "nom de la fonction :")"\",""\""(p "nom de la variable :")"\","""(p "expression de la fonction (utiliser x) :")","

""(p "type de tableau (1: complet , 0:sans signe , 2:que le signe) :")","

"\\tv)" n>"\\ end{TV}" n>"\\ end{center }" > % ) )

;cas TVI("TVI" (& > "\\ begin{center }"n>

"\\ begin{TVI}" n>"TVI (["(p "debut de l’intervalle :")","(p "fin de l’intervalle :")"],"

"["(p "liste de valeurs interdites (,) :")"],""\""(p "nom de la fonction :")"\",""\""(p "nom de la variable :")"\","""(p "expression de la fonction (utiliser x) :")

","""(p "type de tableau (1: complet , 0:sans signe , 2:que le signe) :")

","""(p "f(x)=l pour la valeur l :")",""\\tv)" n>"\\ end{TVI}" n>"\\ end{center }" > % ) )

;cas signe produit("TS" (& > "\\ begin{center }"n>

"\\ begin{TS}" n>"TS (\""(p "nom du produit :")"\","

"["(p "liste des facteurs (,) :")"],""["(p "debut de l’intervalle :")","(p "fin de l’intervalle :")

"],""\\tv)" n>"\\ end{TS}" n>

16

"\\ end{center }" > % ) )

;cas signe quotient("TSq" (& > "\\ begin{center }"n>

"\\ begin{TSq}" n>"TSq (\""(p "nom du quotient :")"\",""["(p "liste des facteurs du numerateur (,) :")

"],""["(p "liste des facteurs du denominateur (,) :")

"],""["(p "debut de l’intervalle :")","(p "fin de l’intervalle :")

"],""\\tv)" n>"\\ end{TSq}" n>"\\ end{center }" > % ) )

;cas TVP("TVP" (& > "\\ begin{center }"n>

"\\ begin{TVI}" n>"TVP (["(p "debut de l’intervalle :")","(p "fin de l’intervalle :")"],"

"[["(p "liste de valeurs interdites de x(t)(,) :")"],"

"["(p "liste de valeurs interdites de y(t)(,) :")"]],"

"[\""(p "nom de la fonction x :")"\",""\""(p "nom de la fonction y :")"\"],"

"\""(p "nom de la variable :")"\",""["(p "expression de la fonction x (utiliser t)

:")","""(p "expression de la fonction y (utiliser t) :")

"],"""(p "type de tableau (1: complet , 0:sans signe , 2:que le signe) :")

","""(p "1 si fonctions trigo , 0 sinon :")",""\\tv)" n>"\\ end{TVP}" n>"\\ end{center }" > % ) )

;cas tableau de variation avec zone interdite("TVZ" (& > "\\ begin{center }"n>

"\\ begin{TV}" n>"TVZ (["(p "debut de l’intervalle :")","(p "fin de l’intervalle :")"],"

"["(p "liste de valeurs interdites (,) :")"],""["(p "liste des zones interdites ([,],[,]) :")

"],""\""(p "nom de la fonction :")"\",""\""(p "nom de la variable :")"\","""(p "expression de la fonction (utiliser x) :")","

""(p "type de tableau (1: complet , 0:sans signe , 2:que le signe) :")","

"\\tv)" n>

17

"\\ end{TV}" n>"\\ end{center }" > % ) )

Merci à Phil Pham.

X - Galerie

Voici quelques exemples de tableaux :

\begin{TVI}TVI([-1,+ infinity ],[-1],"f","x",x^2/ sqrt(x+1) -1,1,2,\tv)\end{TVI}

x −1 α1 0 α2 +∞

Signe def ′(x)

− − 0 + +

Variations def

+∞

2

−1

2

+∞

\begin{TVI}TVI([-1/2,+ infinity ],[],"f","x",x^2,1,2,\tv)\end{TVI}

x −12 0 α1 +∞

Signe def ′(x)

− 0 + +

Variations def

14

0

2

+∞

\begin{TVI}TVI([0,+ infinity ],[0],"f","x",ln(x) ,1,2,\tv)\end{TVI}

x 0 α1 +∞

Signe def ′(x)

+ +

Variations def

−∞2

+∞

\begin{TV}TV([1,+ infinity ],[],"f","x",-ln(x) ,1,\tv)\end{TV}

18

Fonctions périodiques

Il y aura des problèmes si vous demandez un tableau des variations d’une fonction périodique surun intervalle d’amplitude supérieure à la période, mais est-ce vraiment utile ?...

x 1 +∞

Signe def ′(x)

−

Variations def

0

−∞

\begin{TVI}TVI([-pi ,pi],[],"f","x",cos(x) ,1,1/2,\tv)\end{TVI}

x −π α1 0 α2 π

Signe def ′(x)

0 − − 0 − −

Variations def

−1

1/2

1

1/2

−1

\begin{TV}TV([0,2*pi],[],"f","x",cos(x) ,1,\tv)\end{TV}

x 0 π 2π

Signe def ′(x)

0 − 0 +

Variations def

1

−1

1

\begin{TVI}TVI([0,pi],[pi/2],"h","t",tan(x) ,1,7,\ tv)\end{TVI}

t 0 α1π

2 π

Signe deh′(t )

+ + +

Variations deh

0

7

+∞

−∞

0

19

\begin{TVI}TVI([-1,1],[]," f","x",(1-x)*sqrt (1-x^2) ,1,1,\tv)\end{TVI}

x −1 α1−12

α2 1

Signe def ′(x)

+ + 0 − −

Variations def

0

1

34 ×

p3

1

0

\begin{TV}TV([-1,+ infinity ],[-1],"f","x",ln(1+x) -(x-x^2/2+x^3/3) ,1,\tv)\end{TV}

x −1 0 +∞

Signe def ′(x)

+ 0 −

Variations def

−∞

0

−∞

\begin{TS}TS("G",[-2*x+3,x-1,x+1,x^2+3*x+1],[-10,+ infinity ],\ tv);\end{TS}

x −10 −( 1

2 ×p

5)

+ −32 −1 1

2 ×p

5+ −32 1 3

2 +∞

Signe de− (2x)+3

+ + + + + 0 −

Signe dex −1

− − − − 0 + +

Signe dex +1

− − 0 + + + +

Signe dex2 +3x +1

+ 0 − − 0 + + +

Signe deG(x)

+ 0 − 0 + 0 − 0 + 0 −

\begin{TVI}TVI([- infinity ,+ infinity ],[],"f","x",(x+2)*exp(x-1) -1,1,0,\tv)\end{TVI}

x −∞ −3 α1 +∞

Signe def ′(x)

− 0 + +

Variations def

−1

−(

e−4)

−1

0

+∞

20

\begin{TVI}TVI([- infinity ,+ infinity ],[],"f","x",1+(-2* x+1)*exp (2*x) ,1,0,\ tv)\end{TVI}

x −∞ 0 α1 +∞

Signe def ′(x)

+ 0 − −

Variations def

1

2

0−∞

\begin{TV}TV([0,+ infinity ],[],"f","x",ln(exp(x)+x)-x,1,\tv)\end{TV}

x 0 1 +∞

Signe def ′(x)

+ 0 −

Variations def

0

ln(

(e1+1)e1

)

0

\begin{TVI}TVI([0,pi],[],"f","x",cos(x)-x,1,0,\tv)\end{TVI}

x 0 α1 π

Signe def ′(x)

− −

Variations def

1

0

−π−1

\begin{TVI}TVI([0,+ infinity ],[0],"f","x",ln(x) -(ln(x))^2,1,-1,\tv)\end{TVI}

x 0 α1 e12 α2 +∞

Signe def ′(x)

+ + 0 − −

Variations def

−∞−1

14

−1−∞

21

\begin{TSc}TSc((x-10) *(x+10) ,[-10,10],\ tv)\end{TSc}

x −10 10

Signe de(x −10)(x +10) 0 + 0

\begin{TVZ}TVZ([- infinity ,+ infinity ],[],[[-1,1]]," f","x",( sqrt (x^2-1))*(x

^2-4) ,1,\tv)\end{TVZ}

x −∞ −(p

2)

−1 1p

2 +∞

Signe def ′(x)

− 0 + − 0 +

Variations def

+∞

−2

0 0

−2

+∞

\begin{TVZ}TVZ([- infinity ,+ infinity ],[],[[-1,1]]," f","x",ln(x^2-1) ,1,\tv)

\end{TVZ}

x −∞ −1 1 +∞

Signe def ′(x)

− +

Variations def

+∞

−∞ −∞

+∞

\begin{TVP}TVP([0,pi/2] ,[[] ,[]] ,[" x","y"],"t",[cos (3*t),sin (4*t)],1,1,\tv)\end{TVP}

t 0 18 ×π

13 ×π

38 ×π

π

2

Signe dex ′(t )

0 − −(

3sin( 3π

8

))

− 0 + 3sin(

π

8

)

+ 3

Variations dex

1

cos( 3π

8

)

−1

−(

cos(

π

8

))

0

Signe dey ′(t ) 4 + 0 − −2 − 0 + 4

Variations dey

0

1

−( 1

2 ×p

3)

−1

0

22

\begin{TVP}TVP([0,2*pi],[[],[]],["x","y"],"t",[t-2*sin(t) ,-1+2* cos(t)],1,1,\tv)\end{TVP}

t 0 13 ×π π

53 ×π 2π

Signe dex ′(t )

−1 − 0 + 3 + 0 − −1

Variations dex

0

−(p

3)

−( 1−3 ×π

)

π

p3+ 5

3 ×π

2π

Signe dey ′(t )

0 − −(p

3)

− 0 +p

3 + 0

Variations dey

1

0

−3

0

1

\begin{TVZ}TVZ([- infinity ,+ infinity ],[-1,1,4,6],[[-1,1],[4,6]] ," f","x",ln((x

-5)^2-1)+ln(x^2-1) ,1,\tv)\end{TVZ}

x −∞ −1 1 52 4 6 +∞

Signe def ′(x)

− + 0 − +

Variations def

+∞

p35

p15

p21

p15

p35

+∞

\begin{enumerate }\item

Selon le tableau de variation de la fonction $f$ci -dessous , on peut affirmer que \ ldots

\begin{TV}TV([-5,10],[]," f","x" ,(5/2)*x^2-2*x+12,0,\ tv)

\end{TV}

\VF\begin{itemize }

\item [\ ldots] 5 n’a pas d’antécédent \Rep\item [\ ldots] 5 n’a pas d’image \Rep\item [\ ldots] 5 a deux antécédents \Rep\item [\ ldots] 5 a une image supérieure à celle de $\sqrt {2}$\Rep

\end{itemize }

23

\item Soit $f$ la fonction définie par $f~:~x\mapsto 3x^3-5x^2+2x-7$. Les tableaux suivants peuventcorrespondre à $f$~:

\VF

\begin{enumerate }

\item Tableau 1 \Rep

\begin{TV}TV([-20,20],[],"f","x",3*x^3-5*x^2+2*x-7,0,\tv)

\end{TV}

\item Tableau 2 \Rep

\begin{TV}TV([-20,20],[],"f","x",-3*x^3+5*x^2-2*x+7,0,\tv)

\end{TV}

\item Tableau 3 \Rep

\begin{TSc}TSc(-3*x^3+5*x^2-2*x+7,[-20,20],\ tv)

\end{TSc}

\item Tableau 4 \Rep

\begin{TSc}TSc (3*x^3-5*x^2+2*x-7,[-20,20],\ tv)

\end{TSc}

\end{enumerate }

\end{enumerate }

1. Selon le tableau de variation de la fonction f ci-dessous, on peut affirmer que . . .

x −5 25 10

Variations def

1692

585

242

V F

24

. . . 5 n’a pas d’antécédent ❒ ❒

. . . 5 n’a pas d’image ❒ ❒

. . . 5 a deux antécédents ❒ ❒

. . . 5 a une image supérieure à celle dep

2 ❒ ❒

2. Soit f la fonction définie par f : x 7→ 3x3 −5x2 +2x −7. Les tableaux suivants peuvent-ils corres-pondre à la fonction f :

V F

(a) Tableau 1 ❒ ❒

x −20 −( 1

9 ×p

7)

+ 59

19 ×

p7+ 5

9 20

Variations def

−26047

14243 ×

p7+ −1681

243

−( 14

243 ×p

7)

+ −1681243

22033

(b) Tableau 2 ❒ ❒

x −20 −( 1

9 ×p

7)

+ 59

19 ×

p7+ 5

9 20

Variations def

26047

−( 14

243 ×p

7)

+ 1681243

14243 ×

p7+ 1681

243

−22033

(c) Tableau 3 ❒ ❒

x −20 1.942052 20

Signe de−

(

3x3)+5x2 − (2x)+7+ 0 −

(d) Tableau 4 ❒ ❒

x −20 1.942052 20

Signe de3x3 −

(

5x2)+2x −7− 0 +

On considère la fonction $f$ définie sur \textbf{R} par $f(x)=\frac{1}{2}\ bigl(x+(1-x){\rm e}^{2x}\ bigr)$

Étudions sa dérivée ~:

\begin{TVIapp}TVIapp([- infinity ,+ infinity ],[],"f’","x",diff (1/2*( x+(1-x)*exp(2*x)

),x) ,1,0,\ tv)\end{TVIapp}

On en déduit le tableau de variation de $f$

\begin{TVapp}TVapp([-infinity ,+ infinity ],[],"f","x" ,1/2*(x+(1-x)*exp (2*x)) ,1,\tv

)\end{TVapp}

25

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 12

(

x + (1−x)e2x)

Étudions sa dérivée :

x −∞ 0.000000 α1 +∞

Signe def ′′(x)

+ 0 − −

Variations def ′

12

1.000000

0−∞

On en déduit le tableau de variation de f

x −∞ 0.639232 +∞

Signe def ′(x)

+ 0 −

Variations def

−∞

0.967397

−∞

26

Table des matières

I - Ça sert à quoi ? 1

II - Comment ça marche ? 1

a. Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1b. Rentrons dans les détails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1c. Code XCAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

III - De quoi a-t-on besoin ? 2

IV - Comment l’utiliser ? 3

a. Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3b. L’option xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3c. Fichier de configuration tablor.cfg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3d. Initialisation de tablor et préfixe des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

V - Tableaux des variations 7

a. Tableau standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7b. Tableau de variation avec « zone(s) interdite(s) » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8c. Tableau des variations avec théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . 9d. Tableaux de variations avec approximation des zéros de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . 10e. Tableaux de variations et courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

v. Cas des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11v. Les autres cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

f. Tableaux de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

VI - Comment modifier les tableaux à partir des fichiers MetaPOST ? 14

a. Tableau par tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14b. Traitement global dans un unique fichier MetaPOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

VII - Merci... 15

VIII - Erreurs habituelles 15

IX - Tablor et Emacs 16

X - Galerie 18

27