Systèmes électroniques (M 2104) « filtrage analogique actif

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Systèmes électroniques (M 2104)« filtrage analogique actif »

Sébastien [email protected]

UTLN, IUT GEIIfev-mars '21

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Sommaire

1- Introduction (p. 3)1.1- Pourquoi filtrer un signal ? (p. 3)1.2- Filtre idéal réalisable ou non ? (p. 4)

2- Rappels et compléments sur le filtre analogique passif du 1er ordre (p. 5)2.1- Méthode, notation et vocabulaire (p. 5)2.2- Conclusion (p. 8)

3- Quelles natures de filtres du 2e ordre étudiés ? (p. 9)3.1- Symbole et f.d.t. (p. 9)3.2- Notation, vocabulaire et unité (p. 10)3.3- Exemple (p. 11)3.4- Gabarit (gain ou module) (p. 12)

4- Diagramme de Bode (p. 13)4.1- LP filter du 2e ordre (p. 13)4.2- Autres filtres du 2e ordre (p. 24)

5- Mise en situation (p. 26)5.1- Méthode (p. 26)5.2- Mise en œuvre de la méthode (p. 27)5.3- Pour un filtre autre que LP ? (p. 37)

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1- Introduction (1/2)1.1- Pourquoi « filtrer » un signal ?

Exemple

Domaine temporel Domaine fréquentiel

théorique

expérimental

Réponses- conserver une ou plusieurs fréquences

- atténuer une ou plusieurs fréquences

signal analogiqueà temps continu

Analyseur de spectre Oscilloscope numérique(option FFT)

avec transformée de Fourier

(cf. S3 programme de math.)

(français, 1768-1830)(source : Wikipédia)

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Exemple du filtre passe-bas idéal

Amplitude (dans la bande passante)

pente

linéaire

Réponse impulsionnelle

RéponseLe filtre (système) répond avant (t<0) l'impulsion (t=0).Autrement dit, l'effet précède la cause

« filtre idéal » irréalisable

violation duprincipe de causalité !

Courbe représentative de la réponse impulsionnelle

Pour l'exemple

1- Introduction (2/2)1.2- Filtre idéal réalisable ou non ?

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Exemple d'un système électrique du 1er ordre

2- Rappels et compléments sur le filtre analogique passif du 1er ordre (1/ 4)

2.1- Méthode, notation et vocabulaire

a/ Équation différentielle

Utiliser les lois de Kirchhoff (loi des mailles)

(allemand, 1824-1887)(source : Wikipédia)

donc « équation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficients constants »

constante de temps

Pourquoi ?

système « S.I.S.O. »(Single Input Single Output,

en anglais)

ici

or

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b/ Solution de l'équation différentiellePour le cas d'un S.L.I.T. (Système Linéaire Invariant dans le Temps)

L.T.I.S. (Linear Time Invariant System, en anglais)

variable muette

produit de convolution(cf. S3 programme de math.)

réponse impulsionnelle

c/ Expression de ?

d'où « fonction de transfert (f.d.t.) »

condition initiale

donc « réponse impulsionnelle »transformée de la Laplace inverse

Appliquer la transformée de Laplacepour transformer l'équation différentielleen un polynôme

(français, 1749-1827)(source : Wikipédia)

2- Rappels et compléments sur le filtre analogique passif du 1er ordre (2/4)


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d/ Réponse harmonique (fréquentielle)

En régime harmonique alors



avecpulsation de coupure

fréquence de coupure

amplitudeavec

phase

Diagramme deBode

(américain, 1905-1982)(source : Wikipédia)

Pour l'exemple

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2.2- Conclusion

Réaliser le circuit électrique, puis passer à l'étape mesure pour tracer le diagramme de Bode expérimentalafin d'en déduire les paramètres caractéristiques : bande-passante, gain, fréquence de coupure, fréquence derésonance, facteur de surtension (qualité) ou coefficient d'amortissement. Et, comparer ces résultats mesurés à ceuxthéoriques par un pourcentage d'erreur

Un S.L.I.T. est régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants

avec p. ex. une tension de sortie, et une tension d'entrée. La solution générale est

La transformée de Laplace de l'éqt. diff. se transforme en un rapport de deux polynômes, avec les conditionsinitiales nulles, pour donner la f.d.t.

avec pour que le système soit physiquement réalisable, et indique l'ordre du filtre

La transformée de Laplace inverse de la f.d.t donne la réponse impulsionnelle

La réponse harmonique du système (filtre) s'obtient en effectuant le changement de variablepour déduire le tracé du diagramme de Bode (gain, phase) et du temps de groupe

Remarque importantePour déterminer la f.d.t. à partir d'un circuit électrique constitué de R, C et L, prendre les impédancesou les admittances

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3- Quelles natures de filtres du 2e ordre étudiés ? (1/4)3.1- Symboles et f.d.t.

Symboles

Low-Pass filter(filtre passe-bas)

f.d.t.

High-Pass filter(filtre passe-haut)

f.d.t.

Symboles

Band-Pass filter(filtre passe-bande)

Notch filter(filtre réjecteur / coupe bande)

Symboles

f.d.t.

Symboles

f.d.t.

formecanonique

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3- Quelles natures de filtres du 2e ordre étudiés ? (2/4)3.2- Notation, vocabulaire et unité

Notation Vocabulaire Unité

pulsation propre(pulsation naturelle)

fréquence propre(fréquence naturelle)

Tous ces paramètres sont fonction des composants présents dans le circuit

Nombre

coefficientd'amortissement

facteur de surtension (LP, HP)facteur de qualité (BP, N)

amplification statique (LP)amplification (HP, BP, N)

pulsation de résonance (LP, HP)

fréquence de résonance (LP, HP)

fréquence de coupure

bandwidth (bande-passante)

existe aussipour

systèmedu 1er ordre

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3- Quelles natures de filtres du 2e ordre étudiés ? (3/4)3.3- Exemple

LP filter du 2e ordre

Circuit (passif) Circuit (actif)

Circuit (passif) Circuit (actif)Paramètres

??

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3- Quelles natures de filtres du 2e ordre étudiés ? (4/4)3.4- Gabarit (gain ou module)

Low-Pass filter(filtre passe-bas)

High-Pass filter(filtre passe-haut)

Band-Pass filter(filtre passe-bande)

Notch filter(filtre réjecteur / coupe bande)

BTBA

BPacceptabletracé expérimental

idéal

intolérable

BT

BP

BA

sélectivité avec mais ordre dufiltre élevé

BP

BA BA

BA

BP BP

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4- Diagramme de Bode (1/13)4.1- LP filter du 2e ordre

Rappel

Diagramme de Bode

Méthodea/ F.d.t. du LP filter

b.1/ Amplitude

b.2/ Gain

gain exprimé en dB (décibel)

phase exprimée en degré ou en radian

temps de groupe exprimé en seconde

(britannique, canadien,américain, 1847-1922)

A. G. Bell

(source : Wikipédia)

b/ F.d.t. en régime harmonique

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b.3/ Phaserappel

si

si

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c/ Étude de l'amplitudePourquoi l'amplitude ?

Normalement, l'étude doit se faire sur le gain tout enprenant en considération que l'axe des fréquencesest représenté en échelle logarithmique.(cf. poly. de cours p.9)

Parce-que l'étude est simple et permet de dégager certains résultats vrais.Mais pas tous se retrouvent dans la courbe de gain.

Pour preuve, prenez l'exemple du LP filter 1er ordreet étudier l'amplitude, puis comparer avec lacourbe de gain (cf. S.7)

Point de départ

mais pour se simplifier

avec

c.1/ Limites

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c.2/ Dérivée d'ordre 1

Extrêma

(solution négativerejetée)

si alors

ou

fréquence de résonance

Signe de la dérivéedonné uniquement par le numérateur de car et sont strictements positifs

alors donc✔ si

✔ si alors d'où ssi

ssi

avec

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c.3/ Tableau de variation et courbes

Pour l'exemple

Pour l'exemple

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c.4/ Fréquence de coupure

fréquence pour laquelle la puissance de sortie vaut la moitié de la puissance d'entréeRappel

or donc

Dans le cas où ne surtout pas faire

1re étape

car LP filter

changement variable

2e étape

Résoudre l'équation

solution négative écartée

simplifier par et élever au carré

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c.5/ Influence du coefficient d'amortissement

Pour

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c.6/ Conclusion

Si la courbe de gain fait apparaître un pic de surtension à la fréquence de résonancedonc le gain n'est pas constant dans la bande passante du filtre

Si

la courbe de gain ne fait plus apparaître le pic de surtension à la fréquence de résonancedonc le gain est constant dans la bande passante du filtre

la fréquence de résonance est nulle

la fréquence de coupure est identique à la fréquence propre (naturelle)

où les fréquences de coupure de chacun d'eux sont Si le LP filter du 2e ordre peut se décomposer en un produit de deux LP filter du 1er ordre

intéressant pour le tracé asymptotique,mais pas pour la réalisation !

Remarquesi alors

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d/ phase

si

Quelques remarques générales...

Rappel

donc

donc

partie imaginaire dudénominateur de la f.d.t.

alors

partie réelle dudénominateur de la f.d.t.

alors

d/ phase

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Courbes de phase

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4- Diagramme de Bode (11/13)4.2- Autres filtres du 2e ordre

Quelques éléments sur le HP filter

Amplitude

Pour se simplifier

etavec

(cf. p. 15, 16)Dérivée d'ordre 1

Après calculs...

Extrêma

fréquence derésonance si

BP filter => traité en td

Notch filter => à vous de travailler, éventuellement...

Rappel de la f.d.t.

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4- Diagramme de Bode (12/13)4.2- HP filter du 2e ordre

Tableau de variations et courbes de gain

PourPour

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4- Diagramme de Bode (13/13)4.2- HP filter du 2e ordre

Courbes de phase

si

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5- Mise en situation (1/12)5.1- Méthode

ObjectifRéaliser un filtre analogique actif répondant à un cahier des charges (c.d.c.) fonctionnel imposé par un clientsans oublier :

- évolutif ;- faible coût ;- encombrement réduit ;- packaging ;- faible consommation ;- rapide ;

1/ Tracer le gabarit du filtreDonc, nécessité de bien comprendre le c.d.c. Sinon, le filtre réalisé ne répond à l'attente du client.Conclusion, vous perdez le marché.

2/ Normaliser le gabaritC.-à-d. l'axe des fréquences est divisé par une certaine fréquence. Laquelle ?Tout dépend de la nature du filtre à réaliser.

3/ Choisir la fonction d'approximationCe choix vous appartient. Mais, tenir compte du c.d.c. (p. ex. filtre à phase linéairedans le cas d'une application audio)

4/ Déterminer les caractéristiques de la fonction d'approximationConnaître : ordre du filtre, expression de la f.d.t., tracé du gain en fonction de la fréquence, etc.

5/ Choisir la structure électroniqueCe choix vous appartient. Toutefois, connaître les avantages et inconvénients de chacune d'elle

6/ Réaliser le circuit

7/ Mesures et pourcentage d'erreur

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5- Mise en situation (2/12)5.2- Mise en œuvre de la méthode

Exemple de c.d.c.Réaliser un filtre analogique actif tel que :

1/ Tracer le gabarit du filtre

Remarque :- si HP filter diviser aussi par- si BP ou Notch filter diviser par

2/ Normaliser le gabarit

axe des fréq. divisépar

car LP filter d'ordre

3/ Choisir la fonction d'approximation

Classe des fonctions polynômiales

W. Cauer(allemand, 1900-1945)

Classe des fonctionsrationnelles

F.-W. Bessel(allemand, 1885-1958)

P. Chebyshev(russe, 1821-1894)

A.-M. Legendre(français, 1752-1833)

(source : Frequency DomainAnalysis, Chapter 2 (pdf))

S. Butterworth(anglais, 1885-1958)

(source : Wikipedia)

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Expression de l'amplitude

Comment trouver ?

Comment trouver ?

on veut

Réponse :

Réponse :

on veut

Remarque :

si alors

Remarque :

si alors

ou

pulsation normalisée

zone dans laquelle le gain peut osciller

ordre du filtre

oufréquence normalisée

avec

sans unité !

4/ Déterminer les caractéristiques de la fonction d'approximation de Butterworth (cf. poly. de cours p. 41-45)

donc

ou

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Courbe représentative du gain en fonction de la fréquence

dans la BW, gain constant (maximally flat)

ordre du filtre élevé pour tendre vers le filtre idéal

grand nombre de circuits électroniques (mis en cascade)

encombrement important

dénominateur de

F.d.t. (cf. p.44 et 45 du poly. de cours)

avec variable de Laplace normalisée et

vrai pour

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Pour le c.d.c. donné

dénormaliser

Courbe de gain

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5/ Choisir la structure électroniqueIl en existe plusieurs : Rauch, Sallen-Key et filtre à capacités commutées

réaliser LP, HP et BP filter, du 2e ordre

5.1/ Structure de Rauch (cf. poly. de cours p. 45-50)

appelée également « M.F.B. » (Multiple FeedBack filter, en anglais)

réaliser un N filter du 2e ordre

signe négatif (dans la phase) pour filtre d'ordre impair

p. ex. ajouter un circuit inverseur

augmentation encombrement

Cellule n° 1 Cellule n° 2

A B

Pour le c.d.c. donné

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5.2/ Structure de Sallen-Key « version light » (cf. poly. de cours p. 50-51)

A B

A.O.P. non inverseur

appelée également « V.C.V.S. » (Voltage Controlled Voltage Source, en anglais)

réaliser LP, HP et BP filter, du 2e ordre

« et » Notch filer mais pas avec cette structure(doit-être complétée)

Pour le c.d.c. donnéCellule n° 1 Cellule n° 2

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5.3/ Structure à capacités commutées (cf. poly. de cours p. 51-56)Principe

Réduire l'encombrement d'un filtre (d'autant plus si l'ordre est grand) en associant à l'intérieur d'un C.I la fonction R-C et A.O.

Comment ?

Réaliser une résistance au moyen d'une capacité et d'un transistor

avec

ExempleCircuit intégrateur

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Exemples de filtre du 2e ordre avec des intégrateurs à capacités commutées

Exemple n° 1

Noeud Filtre

A

F.d.t.

Notch

B BandPass

C LowPass

réaliser un HP filter du 2e ordre

N BP LP

O

A

B C

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Exemple n° 2 (cf. td, exercice 5)

A

B

C

LP, HP, BP et N filter du 2e ordre

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Exemple n° 3 (cf. tp, filtre à capacités commutées )

LP, HP, BP et N filter du 2e ordre

C.I. MAXIM MF10

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5- Mise en situation (12/12)5.3- Pour un filtre autre que LP ?

Pour un c.d.c. différent (autre que LP), appliquer une transformation sur la variable de Laplace pour obtenir la f.d.t.répondant au c.d.c. imposé par le client

1/ Tracer le gabarit du filtre désiré puis le normaliser

2/ Revenir au gabarit normalisé du LP filter

3/ Déterminer les caractéristiques de la fonction d'approximation de ButterworthOrdre du filtre et expression de la f.d.t.

6/ Choisir la structure électroniqueRauch, Sallen-Key ou filtre à capacitées commutées

7/ Réaliser le circuit

8/ Mesures et pourcentage d'erreur

4/ Appliquer la transformation sur la variable de Laplace pour avoir la f.d.t. en adéquation avec la nature dufiltre voulu

pour avoir un HP

pour avoir un BP

pour avoir un N

5/ Tracer le gain du filtre vouluPour vérifier qu'il s'inscrit dans le gabarit demandé

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