Filtrage - vgies.com€¦ · Filtrage analogique Objectifs du cours Objectifs : Comprendre les...

Filtrage analogique

Filtrage

Valentin Gies

Seatech - 4AUniversité de Toulon (UTLN)

Valentin Gies Électronique - Seatech - Université de Toulon

Filtrage analogique

Objectifs du cours

Objectifs :

Comprendre les principes du filtrage analogique

Savoir choisir et utiliser les principales approximationsutilisées en filtrage

Connaître les structures électroniques de réalisation desfiltres


Filtrage analogiqueFiltres idéauxFonctions d’approximation des filtres analogiquesImplantation électronique des filtres

Plan

1 Filtrage analogiqueFiltres idéauxFonctions d’approximation des filtres analogiquesImplantation électronique des filtres



Pourquoi filtrer un signal ?

Permettre aux opérations de traitement du signal de sefaire dans de bonnes conditions, par exemple :

Anti-aliasing avant conversions ADC.Lissage du signal en sortie d’un DAC.Stabilisation des amplificateurs en haute fréquenceElimination de la composante continue en circuits àalimentation unique.

Permettre l’extraction d’informations dans le signal, parexemple :

Extraction d’une valeur moyenne.Suppression de la gravité dans un signal accélérométriqueSélection d’une bande de fréquence en radioAmélioration d’un signal médical par rejet du 50 Hz ambiant



Plan




Les filtres idéaux : passe-bas idéal

0 20 40 60

−10

−5

0

5

10

Signal d’origine

t (milliseconds)

X(t

)

0 500 10000

1

2

3

4Tranformée de Fourier du signal d’origine

f (Hz)

|P1(

f)|

0 20 40 60

−10

−5

0

5

10

Signal filtré passe−bas idéal

t (milliseconds)

X(t

)

0 500 10000

1

2

3

4Tranformée de Fourier du signal filtré passe−bas idéal

f (Hz)

|P1(

f)|



Les filtres idéaux : passe-bas idéal

Un filtre passe-bas idéal a les caractéristiques suivantes :

Amplification A = K dans la bande passante

Amplification A = 0 hors bande passanteDéphasage proportionnel à la fréquence

Temps de propagation constant pour toutes les fréquencesVitesse de groupe constante pour toutes les fréquences

⇒ Filtre non causal !



Les filtres idéaux : passe-haut idéal

0 20 40 60

−10

−5

0

5

10

Signal d’origine

t (milliseconds)

X(t

)

0 500 10000

1

2

3


f (Hz)

|TF

|

0 20 40 60

−10

−5

0

5

10

Signal filtré passe−haut idéal

t (milliseconds)

X(t

)

0 500 10000

0.5

1

1.5

2Tranformée de Fourier du signal filtré passe−haut idéal

f (Hz)

|TF

|



Les filtres idéaux : passe-haut idéal

Un filtre passe-haut idéal a les caractéristiques suivantes :







Les filtres idéaux : passe-bande idéal

0 10 20 30 40 50

−10

−5

0

5

10

Signal d’origine

t (milliseconds)

X(t

)

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


f (Hz)

|TF

|

0 10 20 30 40 50

−10

−5

0

5

10

Signal filtré passe−bande idéal

t (milliseconds)

X(t

)

0 200 400 600 800 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Tranformée de Fourier du signal filtré passe−bande idéal

f (Hz)

|TF

|



Les filtres idéaux : passe-bande idéal

Un filtre passe-bande idéal a les caractéristiques suivantes :







Les filtres idéaux : réjecteur de bande idéal

0 10 20 30 40 50

−10

−5

0

5

10

Signal d’origine

t (milliseconds)

X(t

)

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


f (Hz)

|TF

|

0 10 20 30 40 50

−10

−5

0

5

10

Signal filtré réjecteur de bande idéal

t (milliseconds)

X(t

)

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Tranformée de Fourier du signal filtré réjecteur de bande idéal

f (Hz)

|TF

|



Les filtres idéaux : réjecteur de bande idéal

Un filtre réjecteur de bande idéal a les caractéristiquessuivantes :




⇒ Filtre non causal !Valentin Gies Électronique - Seatech - Université de Toulon


Filtres idéaux et causalité

Les réponses impulsionnelles des filtres idéaux sont nonnulles pour t < 0 : ces filtres ne sont pas réalisables.On aura donc recours à des filtres non idéaux :

Amplification non constante dans la bande passanteAmplification non nulle hors bande passanteDéphasage non proportionnel à la fréquence

On essaiera toutefois de se rapprocher des filtres idéaux !



Plan




Implantation des filtres : principales caractéristiquesd’un filtre



Implantation des filtres : gabarit de filtrage

Exemple de gabarit d’un filtre passe-haut :

Le diagramme de Bode du filtre doitrester à l’intérieur du gabarit defiltrageUn filtre est difficile a synthétiser si :

La bande de transition est étroite.L’atténuation minimale est grandeL’ondulation autorisée dans labande passante est faible

fig: exemple : filtrepasse-haut



Implantation des filtres : principaux gabarits de filtrage

fig: Filtre passe-bas fig: Filtre passe-haut

fig: Filtre passe-bande fig: Filtre réjecteur de bande



Détermination de l’ordre d’un filtre à partir du gabarit

On détermine l’ordre correspondant à chaque transition :

n =

log

∣

∣

∣

∣

Ap

Aa

∣

∣

∣

∣

log

∣

∣

∣

∣

ωp

ωa

∣

∣

∣

∣

=

|Gp − Ga|20

log

∣

∣

∣

∣

ωp

ωa

∣

∣

∣

∣

L’ordre du filtre est au moins égal à la somme des ordresde chacune des transitions.



Fonctions d’approximations usuelles

Un fois déterminé le gabarit de filtrage souhaité, il reste àdéterminer l’implantation du filtre :

Une détermination directe serait complexe... et inutileOn utilise des fonctions d’approximations permettantd’optimiser certains critères pour un ordre de filtre donné :

Chebychev : maximise la pente dans la bande de transitionButterworth : minimise l’ondulation du gain dans la bandepassanteBessel : minimise les écarts de temps de propagation dansla bande passante

Le choix de la fonction d’approximation retenue dépend del’usage du filtre.



Fonctions d’approximations usuelles : Chebychev

Maximise la pente dans la bande de transition : passageplus rapide de la bande passante à la bande atténuéeAugmente l’ondulation de gain dans la bande passanteAugmente l’ondulation de phase dans la bande passante :déformation du signal

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Chebyshev



Fonctions d’approximations usuelles : Butterworth(maximally flat)

Minimise l’ondulation du gain dans la bande passanteRéduit la pente dans la bande de transitionAugmente l’ondulation de phase dans la bande passante :déformation du signal

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Butterworth



Fonctions d’approximations usuelles : Bessel

Minimise les écarts de temps de propagation dans labande passanteRéduit la pente dans la bande de transition

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Bessel

fig: Réponse impulsionnelle : filtre de Bessel



Fonctions d’approximations usuelles : comparaison




Diagramme de Bode

Frequence (rad/s)

101

102

103

104

−360

−270

−180

−90

0

Pha

se (

deg)

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

butw

cheb

bessel

Response à un échelon

Temps (seconds)

Am

plitu

de

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

butw

cheb

bessel

Diagramme de Bode : zoom sur la bande passante

Frequence (rad/s)

101

102

103

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Mag

nitu

de (

dB)

Réponse Impulsionnelle

Temps (seconds)

Am

plitu

de

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06−100

−50

0

50

100

150

200

250Diagramme de Black Nichols

Open−Loop Phase (deg)

Ope

n−Lo

op G

ain

(dB

)

−360 −315 −270 −225 −180 −135 −90 −45 0−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

−1 dB

−3 dB

−6 dB

−12 dB

−20 dB

−40 dB




Chebychev : maximise la pente dans la bande de transition

Butterworth : minimise l’ondulation du gain dans la bandepassante

Bessel : minimise les écarts de temps de propagation dansla bande passante, et donc la déformation du signal



Plan




Implantation électronique des filtres analogiques

Le type de filtre choisi, il reste à déterminer sa structureélectronique.

Premier ordre :Passe-haut (circuit RC)Passe-bas (circuit RC)

Deuxième ordre :Filtre RLC : peu utilisé en micro-électronique en raison dela présence d’une bobineStructure de Sallen-Key. (implanté avec R et C)Structure Multiple Feedback (MFB) ou de Rauch. (implantéavec R et C)



Filtre passe-bas passif du 1er ordre

On étudie le circuit suivant :

Ve Vs

C

R

H(ω) =Vs(ω)

Ve(ω)=

ZC

ZR + ZC

=

1Cω

R + 1Cω

=1

1 + RCω




On en déduit les grandeurs caractéristiques :

Amplification :

A = |H(ω)| =∣

∣

∣

∣

11 + RCω

∣

∣

∣

∣

=1

√

1 + (RCω)2

Phase :

ϕ = arg H(ω) = arg 1 − arg (1 + RCω)

= 0 − tan−1(

RCω

1

)

= −tan−1(RCω)




Représentation de la fonction de transfert :

Ve Vs

C

R

Gain en décibels :

G = 20 log

(

1√

1 + (RCω)2

)

Phase :

ϕ = −tan−1(RCω)





Asymptote de pente-20dB/dec

Fréquence de

coupure : fc =1

2πτ

Frequence (rad/s)

100

101

102

103

104

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

−40

−30

−20

−10

0From: In To: Analog Filter Design

Mag

nitu

de (

dB)

linsys3



Filtre passe-haut passif du 1er ordre


Ve VsC R

H(ω) =Vs(ω)

Ve(ω)=

ZR

ZR + ZC

=R

R + 1Cω

=RCω

1 + RCω




On en déduit les grandeurs caractéristiques :Amplification :

A = |H(ω)| =∣

∣

∣

∣

RCω(

1 + RCω

∣

∣

∣

∣

=RCω

√

1 + (RCω)2

Phase :

ϕ = arg H(ω) = arg (RCω)− arg (1 + RCω)

=π

2− tan−1

(

RCω

1

)

=π

2− tan−1(RCω)





Ve VsC R

Gain en décibels :

G = 20 log

(

1√

1 + (RCω)2

)

Phase :

ϕ = −tan−1(RCω)





Asymptote de pente+20dB/dec

Fréquence de

coupure : fc =1

2πτ

Frequency (rad/s)

100

101

102

103

104

0

45

90

Pha

se (

deg)

−50

−40

−30

−20

−10

0From: In To: Analog Filter Design

Mag

nitu

de (

dB)

linsys4



Filtre RLC passe-bas passif du 2e ordre


Ve Vs

C

RL

H(ω) =Vs(ω)

VE (ω)=

ZC

ZR + ZC + ZL

=

1Cω

R + Lω + 1Cω

=1

1 + RCω − LCω2




En posant ω0 =1

LCet Q =

1R

√

LC

, on obtient :

H(ω) =1

1 + RCω − LCω2

=1

1 + 1Q

ω

ω0− ω2

ω20

=ω2

0

s2 +ω0

Qs + ω

20




On en déduit les grandeurs caractéristiques :

Amplification :

A = |H(ω)| =∣

∣

∣

∣

11 + RCω − LCω2

∣

∣

∣

∣

=1

√

(1 − LCω2)2 + (RCω)2

Phase :

ϕ = arg H(ω) = arg 1 − arg (1 + RCω − LCω2)

= tan−1(

RCω

1 − LCω2

)




Asymptotes de la fonction de transfert :

Aux hautes fréquences : ω → +∞

G = 20 log

(

1√

(1 − LCω2)2 + (RCω)2

)

≃ 20 log(

1LCω2

)

≃ −40 log (√

LCω)

ϕ = −π





Aux basses fréquences : ω → 0

G = 20 log

(

1√

(1 − LCω2)2 + (RCω)2

)

≃ 20 log 1 ≃ 0

ϕ = 0





Note : un filtre du second ordre commence à avoir unerésonance dès que Q >

1√

2




Résonance du filtre :

Au voisinage de la fréquence ω0 ≃ 1√

LC:

G = 20 log

1√

(1 − LCω20)

2 + (RCω)2

= 20 log(

1RCω0

)

= 20 log

1

R√

CL

= 20 log

(

1R

√

LC

)

= 20 log Q



Filtre RLC passe-haut passif du 2e ordre


Ve Vs

C

R

L

H(ω) =Vs(ω)

VE (ω)=

ZL

ZR + ZC + ZL

=Lω

R + Lω + 1Cω

=−LCω2

1 + RCω − LCω2




En posant ω0 =1

LC, Q =

1R

√

LC

et s = ω, on obtient :

H(ω) =−LCω2

1 + RCω − LCω2

=

−ω2

ω20

1 + 1Q

ω

ω0− ω2

ω20

=s2

s2 +ω0

Qs + ω

20




On en déduit les grandeurs caractéristiques :Amplification :

A = |H(ω)| =∣

∣

∣

∣

−LCω2

1 + RCω − LCω2

∣

∣

∣

∣

=LCω2

√

(1 − LCω2)2 + (RCω)2

Phase :

ϕ = arg H(ω) = arg (−LCω2)− arg (1 + RCω − LCω

2)

= −π + tan−1(

RCω

1 − LCω2

)





Aux hautes fréquences : ω → +∞

G = 20 log

(

LCω2√

(1 − LCω2)2 + (RCω)2

)

≃ 20 log 1 ≃ 0

ϕ = 0





Aux basses fréquences : ω → 0

G = 20 log

(

LCω2√

(1 − LCω2)2 + (RCω)2

)

≃ 20 log (LCω2)

ϕ = −π





Note : un filtre du second ordre commence à avoir unerésonance dès que Q >

1√

2




Résonance du filtre du second ordre étudié :

Au voisinage de la fréquence ω0 ≃ 1√

LC:

G = 20 log

LCω20

√

(1 − LCω20)

2 + (RCω)2

= 20 log(

1RCω0

)

= 20 log

1

R√

CL

= 20 log

(

1R

√

LC

)

= 20 log Q



Implantation électronique des filtres analogiques

Parmi les filtres du 2e ordre, les filtres RLC ont un intérêt limitéen électronique en raison de la bobine

Coûteuse

Difficile à trouver

Encombrante par rapport à une capacité

On préfère des structures du 2e ordre basées uniquement surdes capacités et des résistances

Sallen-Key

Multiple Feedback (MFB) aussi appelée Rauch



Structure de Sallen-Key

Sallen-Key est une structure générique permettant d’implantertout type de filtre d’ordre 2 :

Ve

Vs

Z1 Z2

Z3

Z4

H =Vs

Ve=

Z3Z4

Z1Z2 + Z3(Z1 + Z2) + Z3Z4



Filtre passe-bas d’ordre 2 à structure de Sallen-Key

Ve

Vs

C2

R1 R2

C1

H =Vs

Ve=

ω20

s2 +ω0

Qs + ω

20

avec ω0 =1

√

R1R2C1C2et Q =

√

R1R2C1C2

C2(R1 + R2)



Filtre passe-haut d’ordre 2 à structure de Sallen-Key

Ve

Vs

C2

R1

R2

C1

H =Vs

Ve=

s2

s2 +ω0

Qs + ω

20

avec ω0 =1

√

R1R2C1C2et Q =

√

R1R2C1C2

R1(C1 + C2)



Structure de Sallen-Key : avantages et inconvénients

La structure de Sallen-Key a les caractéristiques suivantes :

Filtre simple avec peu de composants (et sansinductance).

Bonne tolérance aux variations des valeurs descomposants

Ne permet pas d’avoir des valeurs de Q > 3, sinon risqued’oscillation.

Peu adapté pour implanter des filtres passe-bande d’ordre2.

Il existe une version de la structure de Sallen-Keypermettant d’avoir un gain statique non nul (mais avec 6composants discrets).



Structure Multiple Feedback (MFB) ou de Rauch

La structure de filtre de type MFB est utilisée pour les filtresayant un facteur de qualité Q important, et en particulier pourles filtres passe-bande. Ses caractéristiques sont lessuivantes :

Idéal pour les filtres passe-bande.

Inconvénient d’avoir une impédance d’entrée faible pour lefiltre MFB passe-haut aux hautes fréquences.

Coûte un composant passif de plus que la structure deSallen-Key.

Possède un gain statique non nul.



Filtre passe-bas d’ordre 2 à structure MFB

Ve

VsC2

R1

R4 C5

R3

H =Vs

Ve=

−Kω20

s2 +ω0

Qs + ω

20

avec ω0 =1

√

R3R4C2C5, Q =

√

R3R4C2C5

(R4 + R3 + KR3)C5et K =

R4

R1



Filtre passe-haut d’ordre 2 à structure MFB

Ve

VsC1 C3

R2

C4 R5

H =Vs

Ve=

−Kω20

s2 +ω0

Qs + ω

20

avec ω0 =1

√

C3C4R2R5, Q =

√

C3C4R2R5

(C1 + C3 + C4)R2et K =

C1

C4



Filtre passe-bande d’ordre 2 à structure MFB

Ve

Vs

R1

C3R2

C4 R5

H =Vs

Ve=

−Hω0s

s2 +ω0

Qs + ω

20



Problèmes pratiques liés à l’implantation des filtresanalogiques

Tolérance des composants : les résistances sont engénéral vendues avec une tolérance de 1% et les capacitésavec une tolérance de 5%. Si Q est grand, les tolérancesdes condensateurs peuvent être trop importantes.Variation en température des composants

Limitations des amplificateurs opérationnels : gain fini,produit gain bande limité, slew rate...



Filtrage à gabarit complexe

Un filtre à gabarit complexe peut être réalisé par la mise en cascade deplusieurs étages de Sallen-Key ou MFB d’ordre 2. Par exemple : filtrepasse-bande d’ordre 4 :

On utilise le plus souvent un logiciel pour déterminer les valeurs descomposants pour chacun des étages de filtrage, par exemple :http ://www.analog.com/designtools/en/filterwizard/http ://www.ti.com/lsds/ti/analog/webench/webench-fil ters.page


http://www.analog.com/designtools/en/filterwizard/

http://www.ti.com/lsds/ti/analog/webench/webench-filters.page


Filtrage en électronique à alimentation non symétrique

La plupart de l’électronique actuelle fonctionne avec des alimentations nonsymétriques, par exemple 3.3V .On utilise dans ce cas une masse virtuelle équidistante de Vdd (3.3V ) et deVss (0V ). Appelée VREF , elle remplace la masse dans les schémas vusprécédemment.


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