Systèmes de Traitement du Signal Polytech Marseille – INFO –...

Filtres numériques

Systèmes de Traitement du SignalPolytech Marseille – INFO – 2016

Filtrage temporel

Spectre decos(nω0)sur 5 périodes

Polytech Marseille - INFO 2Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016

Intervalle de mesure ≡filtrage par une porte

Pondération ou apodisation

� Fenêtres de N+1 points : k=0,…, N� Hanning

� Hamming

� Blackman

� …

π−=N

k2cos50.050.0)k(w

π−=N

k2cos46.054.0)k(w

π+

π−=N

k4cos08.0

N

k2cos50.042.0)k(w


Pondération ou apodisation (2)

HanningHammingBlackman


Porte versus Hanning


Hamming et Blackman


Spectre non pondéré


Spectre pondéré par Blackman


Filtrage fréquentiel


Filtres élémentaires

� Retard :

� Dérivée numérique :

� Intégration numérique :

)1n()n()n(h)1n(e)n(e)n(s −δ−δ=⇔−−=

)1n(u)n(u)n()n(e)1n(s)n(s −−=δ⇔+−=

)kn()n(h)kn(e)n(s −δ=⇔−=

)n(u)n(h =⇔


Signal ad hoc de référence : x(n)


Signal ad hoc de référence : x(n)

N =70 ;n1 = 0 ;n2 = N-1 ;n = n1:n2 ;x = zeros(1,N) ;a = 0.2 ;x(11:20) = a.*(n(11:20).-10) ;b = a*(n(21)-10) ;a = 0.5 ;x(21:30) = (a.*(n(21:30)-20))+b ;x(31:40) = x(30) ;a = -2 ;b = 10 ;x(41:50) = (a*(n(41:50)-40))+b ;a = 0.3 ;x(51:N) = x(50)*exp(-a*(n(51:N)-49)) ;


Dérivée numérique : y(n) = h(n)*x(n)

)1n()n()n(h −δ−δ=


Produit de convolution

� Définition :

� Si séquences limitées :

x(n) : [n1, n2]y(n) : [n3, n4]

x(n)*y(n) : [n1+ n3, n2+ n4]

∑∞+

−∞=−=

k

)kn(y)k(x)n(y*)n(x


≤≤=

ailleurs0

20n10si1)n(x


≤≤−=

ailleurs0

5n5sin)n(h


y(n) = h(n)*x(n) est défini sur l’intervalle [5, 25]Polytech Marseille - INFO 17Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016

Intégration numérique : z(n) = u(n)*y(n)


Comparaison x(n) et z(n)


Signal retardé : δδδδ(n-k)*x(n)

k = 10


Filtre passe-bas

Fréquence réduitede coupure :υc = 0.1


Réponse impulsionnelle

� En analogique :

� En numérique :

t

)t(sin

t

)t(sinTF)t(h c

c

cc

c

1

πω

=ω

ωπ

ω=

ωωΠ= −

n

)n2(sin)n(h c

πνπ

=


h(n) et H(υυυυ)


Amélioration avec Blackman

Bande de transition :


Comparaison des pondérations



Comparaison des pondérations (2)



Bande de transition

N

4BT =

N = 17N = 33N = 129


Exemple de filtre passe-bas

% Filtre passe-bas

N = 4097 ; % Nombre de points du noyauNc = floor(N/2) ;n = 0:N-1 ;nu_c = 0.0095 ; % Fréquence réduite de coupurev = 2*nu_c*(n-Nc) ;h = 2*nu_c*sinc(v) ;nh = n-Nc ;

% Pondération de Blackman

w = 0.42.-(0.5*cos(2*pi*n/N))+(0.08*cos(4*pi*n/N)) ;h = w.*h ;


Signal de référence

fe = 44100 ; % fréquence d’échantillonnagedt1 = 0.5 ;dt2 = 0.5 ;Nr = (7.*(dt1+dt2)+dt1) * fe ;n = 0:Nr-1 ;

la = 440 ;f(1) = 16*la/27 ; % dof(2) = 2*la/3 ; % réf(3) = 3*la/4 ; % mif(4) = 64*la/81 ; % faf(5) = 8*la/9 ; % solf(6) = la ; % laf(7) = 9*la/8 ; % si


Signal de référence (2)

x = 0.2*sin(2*pi*la*n/fe) ;

for i=1:7n1 = (((i-1)*(dt1+dt2))+dt1)*fe ;n2 = n1+(dt2*fe) ;dn = n1:n2 ;x(dn) = x(dn).+0.2*sin(2*pi*f(i)*dn/fe) ;

endfor

plot(x) ;wavwrite(x',fe,16,"before.wav") ;


Signal de référence (3)


Signal filtré

y = conv(h,x) ;plot(y) ;

wavwrite(y',fe,16,"after.wav") ;


Signal filtré (2)


Filtre passe-haut

)n(h)n()n(h1 −δ= [ ] )(H1)n(h)n(TFD)(H1 ν−=−δ=ν


Filtre passe-haut (2)

� Changement de signe d’un échantillon sur deux

� Fréquence de coupure : 0.5-υc


Filtres passe-bande et coupe-bande

� Deux filtres successifs :

� Filtre équivalent :

)n(e*)n(h*)n(h)n(s

)n(x*)n(h)n(s

)n(e*)n(h)n(x

12

2

1

=⇒

=

=

)n(h*)n(h)n(h 21=


Filtre passe-bande

Passe-bas (coupure 0.4) et passe-haut (coupure 0.1)


Filtre coupe-bande

Passe-bas (coupure 0.2) et passe-haut (coupure 0.3)


Filtre à moyenne glissante

� Caractéristique :

moyenne de M échantillons� Réponse impulsionnelle : porte de largeur M

et d’amplitude 1/M� Forme récursive :

∑−

=

−=1M

0k

)kn(eM

1)n(s

)1Mn(e)1n(e)n(sM)1n(sM +−−++=+


Filtre à moyenne glissante (2)

Fenêtre glissante sur 21 échantillons


Filtres adaptés

� Signal à analyser : s(n)

� Recherche d’un signal x(n) dans du bruit


Filtres adaptés (2)



� Supposons connue l’allure temporelle du signal à détecter



� Moyenne glissante



� Inter-corrélation entre s(n) et x(n)



� Filtre de Wiener :

22

2

W)(B)(X

)(X)(H

ν+ν

ν=ν



� Réponse impusionnelle du filtre de Wiener� Transformée de Fourier inverse de la fonction

de transfert HW(υ)� Avec pour TFD-1 :

N/k2nj1N

0k

eN

k2X

N

1)n(x π

−

=∑

π=


Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée


Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée (2)� Méthode :

Transformée de Fourier numérique inverse pour N échantillons de la fonction de transfert prise sur une période complète : -0.5 à 0.5.


Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée (3)� Exemple pour N = 63

� En général, on peut négliger la partie imaginaire


Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée (4)� Réponse fréquentielle pour N = 63



échantillons pondérés par Blackman


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