System Lineare

7/24/2019 System Lineare

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Systmes linaires

Exo7

1. Introduction aux systmes dquations linaires

Lalgbre linaire est un outil essentiel pour toutes les branches des mathmatiques appliques,en particulier lorsquil sagit de modliser puis rsoudre numriquement des problmes issus dedivers domaines : des sciences physiques ou mcaniques, des sciences du vivant, de la chimie, delconomie, des sciences de lingnieur,...

Les systmes linaires interviennent dans de nombreux contextes dapplications car ils forment

la base calculatoire de lalgbre linaire. Ils permettent galement de traiter une bonne partie dela thorie de lalgbre linaire en dimension finie. Cest pourquoi le prsent cours commence avec

une tude des quations linaires et de leur rsolution.

Ce chapitre a un but essentiellement pratique : rsoudre des systmes linaires. La partie tho-rique sera revue et prouve dans le chapitre Matrices .

1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Lquation dune droite dans le plan (Ox y) scrit

ax + b y =e

o a, b et e sont des paramtres rels. Cette quation sappelle quation linaire dans lesvariables (ou inconnues) x et y.

Par exemple, 2x +3y = 6 est une quation linaire, alors que les quations suivantes ne sont pasdes quations linaires :

2x +y2 = 1 ou y = sin(x) ou x = y.

Considrons maintenant deux droites D 1 et D 2 et cherchons les points qui sont simultanmentsur ces deux droites. Un point (x,y) est dans lintersection D 1 D2 sil est solution du systme :

ax + b y = ecx + d y = f (S)

Trois cas se prsentent alors :

1. Les droitesD1et D2se coupent en un seul point. Dans ce cas, illustr par la figure de gauche,le systme(S)a une seule solution.

2. Les droites D 1et D 2sont parallles. Alors le systme (S) na pas de solution. La figure ducentre illustre cette situation.

1
http://www.youtube.com/watch?v=0uYJ3RNL5SUhttp://www.youtube.com/watch?v=0uYJ3RNL5SUhttp://www.youtube.com/watch?v=0uYJ3RNL5SUhttp://www.youtube.com/watch?v=h62zbpi39YYhttp://www.youtube.com/watch?v=h62zbpi39YYhttp://www.youtube.com/watch?v=h62zbpi39YYhttp://www.youtube.com/watch?v=WDHDv55LS-Ihttp://www.youtube.com/watch?v=WDHDv55LS-Ihttp://www.youtube.com/watch?v=WDHDv55LS-Ihttp://www.youtube.com/watch?v=h62zbpi39YYhttp://www.youtube.com/watch?v=0uYJ3RNL5SU


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3. Les droitesD1etD2sont confondues et, dans ce cas, le systme (S) a une infinit de solutions.

x

y

D1

D2

x

y

D2

D1

x

y

D1 =D2

Nous verrons plus loin que ces trois cas de figure (une seule solution, aucune solution, une infinitde solutions) sont les seuls cas qui peuvent se prsenter pour nimporte quel systme dquationslinaires.

1.2. Rsolution par substitution

Pour savoir sil existe une ou plusieurs solutions un systme linaire, et les calculer, une premiremthode est lasubstitution. Par exemple pour le systme :

3x + 2y = 12x 7y = 2 (S)

Nous rcrivons la premire ligne 3x +2y = 1 sous la forme y = 12

32x. Et nous remplaons (nous

substituons) le yde la seconde quation, par lexpression 12

32

x. Nous obtenons un systme qui-valent :

y = 1

2 3

2x

2x 7(1

2 3

2x) = 2La seconde quation est maintenant une expression qui ne contient que des x, et on peut larsoudre :

y = 12

32

x

(2+ 7 32

)x = 2+ 72

y = 12

32

x

x = 325

Il ne reste plus qu remplacer dans la premire ligne la valeur de x obtenue : y = 8

25

x = 325

Le systme (S)admet donc une solution unique ( 325

, 825

). Lensemble des solutions est donc

S=

3

25,

8

25

.

1.3. Exemple : deux plans dans lespace

Dans lespace (0x yz), une quation linaire est lquation dun plan :

ax + b y + cz = d

Lintersection de deux plans dans lespace correspond au systme suivant 2 quations et 3inconnues :

ax + b y+ cz = dax + by+ cz = d

Trois cas se prsentent alors :


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les plans sont parallles (et distincts) et il ny a alors aucune solution au systme,

les plans sont confondus et il y a une infinit de solutions au systme,

les plans se coupent en une droite et il y a une infinit de solutions.

Exemple 1

1. Le systme

2x + 3y 4z = 74x + 6y 8z = 1 na pas de solution. En effet, en divisant par 2

la seconde quation, on obtient le systme quivalent :

2x + 3y 4z = 72x + 3y 4z = 1

2

. Les

deux lignes sont clairement incompatibles : aucun (x,y,z) ne peut vrifier la fois2x + 3y 4z = 7 et 2x + 3y 4z = 1

2. Lensemble des solutions est donc S=.

2. Pour le systme

2x + 3y 4z = 74x + 6y 8z = 14 , les deux quations dfinissent le mme plan!

Le systme est donc quivalent une seule quation : 2x +3y4z = 7. Si on rcrit cette

quation sous la forme z = 1

2x +3

4y 7

4 , alors on peut dcrire lensemble des solutionssous la forme : S=

(x,y,12x + 3

4y 7

4) |x,y R

.

3. Soit le systme

7x + 2y 2z = 12x + 3y +2z = 1 . Par substitution :

7x + 2y 2z = 12x + 3y +2z = 1

z = 7

2x +y 1

2

2x + 3y + 2

72

x +y 12

= 1

z = 7

2x +y 1

2

9x + 5y = 2

z = 72

x +y 12

y = 95x + 2

5

z = 1710

x 110

y = 95

x + 25

Pour dcrire lensemble des solutions, on peut choisir x comme paramtre :

S=

x,95

x + 25

,17

10x 1

10

|x R

.

Gomtriquement : nous avons trouv une quation paramtrique de la droite dfiniepar lintersection de deux plans.

Du point de vue du nombre de solutions, nous constatons quil ny a que deux possibilits, savoiraucune solution ou une infinit de solutions. Mais les deux derniers cas ci-dessus sont nanmoins

trs diffrents gomtriquement et il semblerait que dans le second cas (plans confondus), linfinitde solutions soit plus grande que dans le troisime cas. Les chapitres suivants nous permettrontde rendre rigoureuse cette impression.

Si on considre trois plans dans lespace, une autre possibilit apparat : il se peut que les troisplans sintersectent en un seul point.

1.4. Rsolution par la mthode de Cramer

On notea bc d

=ad bc le dterminant. On considre le cas dun systme de 2 quations 2inconnues : ax + b y = e

cx + d y = f


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4

Siad bc = 0, on trouve une unique solution dont les coordonnes (x,y) sont :

x =

e b

f d

a bc d

y =

a e

c f

a bc d

Notez que le dnominateur gale le dterminant pour les deux coordonnes et est donc non nul.Pour le numrateur de la premire coordonne x, on remplace la premire colonne par le secondmembre ; pour la seconde coordonney, on remplace la seconde colonne par le second membre.

Exemple 2

Rsolvons le systme

tx 2y = 13x + t y = 1 suivant la valeur du paramtre t R.

Le dterminant associ au systme est

t23 t

= t2 +6 et ne sannule jamais. Il existe donc une

unique solution (x,y) et elle vrifie :

x =

1 21 t

t2 + 6 =t + 2

t2 + 6 , y =

t 13 1

t2 + 6 =t 3

t2 + 6 .

Pour chaque t, lensemble des solutions est S=

t+2t2+6 ,

t3t2+6

.

1.5. Rsolution par inversion de matrice

Pour ceux qui connaissent les matrices, le systme linaire ax + b y = e

cx + d y = f

est quivalent

A X= Y o A =

a b

c d

, X=

x

y

, Y=

e

f

.

Si le dterminant de la matrice A est non nul, cest--dire si ad bc = 0, alors la matrice Aestinversible et

A1 = 1ad

bc

d b

c a

et lunique solution X=x

y

du systme est donne par

X=A1Y.

Exemple 3

Rsolvons le systme

x +y = 1

x + t2y = t suivant la valeur du paramtre t R.

Le dterminant du systme est1 1

1 t2

= t2 1.Premier cas. t = +1 et t = 1.Alors t2 1 = 0. La matrice A =

1 11 t2

est inversible dinverseA

1

= 1

t21 t 2 11 1 . Et la solution X= xyestX=A1Y= 1

t2 1

t2 11 1

1

t

= 1

t2 1

t2 tt 1

=

tt+1

1t+1

.


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5

Pour chaque t = 1, lensemble des solutions est S=

tt+1 ,

1t+1

.

Deuxime cas. t = +1.Le systme scrit alors :

x +y = 1x +y = 1 et les deux quations sont

identiques. Il y a une infinit de solutions : S=

(x, 1x) |x R

.

Troisime cas. t = 1.Le systme scrit alors : x +y = 1x +y = 1 , les deux quations sont

clairement incompatibles et donc S=.

Mini-exercices

1. Tracer les droites et rsoudre le systme linaire

x 2y = 1x + 3y = 3 de trois faons

diffrentes : substitution, mthode de Cramer, inverse dune matrice. Idem avec 2x y = 43x + 3y = 5 .

2. Rsoudre suivant la valeur du paramtre t R:

4x 3y = t2x y = t2 .

3. Discuter et rsoudre suivant la valeur du paramtre t R :

tx y = 1x + (t 2)y = 1 .

Idem avec

(t 1)x +y = 1

2x + t y = 1 .

2. Thorie des systmes linaires

2.1. Dfinitions

Dfinition 1

On appellequation linairedans les variables (ou inconnues) x1, . . . ,xptoute relation dela forme

a1x1 + + apxp = b, (1)

oa1, . . . , ap etb sont des nombres rels donns.

Remarque

Il importe dinsister ici sur le fait que ces quations linaires sontimplicites, cest--direquelles dcrivent des relations entre les variables, mais ne donnent pas directement lesvaleurs que peuvent prendre les variables.

Rsoudreune quation signifie donc la rendre explicite, cest--dire rendre plus appa-rentes les valeurs que les variables peuvent prendre.

On peut aussi considrer des quations linaires de nombres rationnels ou de nombrescomplexes.

Soitn 1 un entier.


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Dfinition 2

Unsystme den quations linaires pinconnuesest une liste de n quations linaires.

On crit usuellement de tels systmes en n lignes places les unes sous les autres.

Exemple 4

Le systme suivant a 2 quations et 3 inconnues : x1 3x2 + x3 = 12x1 + 4x2 3x3 = 9

La forme gnrale dun systme linaire de n quations p inconnues est la suivante :

a11x1 +a12x2 +a13x3 + +a1pxp = b1 ( quation 1)

a21x1 +a22x2 +a23x3 + +a2pxp = b2 ( quation 2)... ... ... ... = ...ai1x1 +ai2x2 +ai3x3 + +ai pxp = bi ( quationi )

......

...... = ...

an1x1 +an2x2 +an3x3 + +anpxp = bn ( quationn)

Les nombresa i j,i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,p, sont lescoefficientsdu systme. Ce sont des donnes. Lesnombresb i, i = 1, . . . , n, constituent lesecond membredu systme et sont galement des donnes.Il convient de bien observer comment on a rang le systme en lignes (une ligne par quation)

numrotes de 1 n par lindice i , et en colonnes : les termes correspondant une mme inconnue

xjsont aligns verticalement les uns sous les autres. Lindice jvarie de 1 p . Il y a donc p colonnes gauche des signes dgalit, plus une colonne supplmentaire droite pour le second membre.La notation avec double indice ai j correspond ce rangement : le premier indice (ici i) est lenumro deligneet le secondindice (ici j) est le numro de colonne. Il est extrmement importantde toujours respecter cette convention.

Dans lexemple4, on a n = 2 (nombre dquations = nombre de lignes), p = 3 (nombre dinconnues= nombre de colonnes gauche du signe =) et a11 = 1,a12 = 3,a13 = 1,a21 = 2,a22 = 4,a23 = 3,b1 = 1 etb 2 = 9.

Dfinition 3

Unesolutiondu systme linaire est une liste de pnombres rels (s1,s2, . . . ,sp) (un p-uplet)tels que si lon substitue s1pour x1, s2pour x2, etc., dans le systme linaire, on obtient unegalit. Lensemble des solutions du systmeest lensemble de tous ces p-uplets.

Exemple 5

Le systme x1 3x2 + x3 = 12x1 + 4x2 3x3 = 9

admet comme solution (18,6,1), cest--dire

x1 = 18 , x2 = 6 , x3 = 1 .


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Par contre, (7,2,0) ne satisfait que la premire quation. Ce nest donc pas une solution dusystme.

En rgle gnrale, on sattache dterminer lensemble des solutions dun systme linaire. Cestce que lon appellersoudrele systme linaire. Ceci amne poser la dfinition suivante.

Dfinition 4

On dit que deux systmes linaires sont quivalentssils ont le mme ensemble de solutions.

partir de l, le jeu pour rsoudre un systme linaire donn consistera le transformer enun systme quivalent dont la rsolution sera plus simple que celle du systme de dpart. Nousverrons plus loin comment procder de faon systmatique pour arriver ce but.

2.2. Diffrents types de systmes

Voici un rsultat thorique important pour les systmes linaires.

Thorme 1

Un systme dquations linaires na soit aucune solution, soit une seule solution, soit uneinfinit de solutions.

En particulier, si vous trouvez 2 solutions diffrentes un systme linaire, alors cest que vouspouvez en trouver une infinit ! Un systme linaire qui na aucune solution est ditincompatible.La preuve de ce thorme sera vue dans un chapitre ultrieur ( Matrices ).

2.3. Systmes homognes

Un cas particulier important est celui dessystmes homognes, pour lesquelsb1 = b2 = = bn =0, cest--dire dont le second membre est nul. De tels systmes sont toujours compatibles car ilsadmettent toujours la solution s1 = s2 = = sp= 0. Cette solution est appele solution triviale.Gomtriquement, dans le cas 2 2, un systme homogne correspond deux droites qui passentpar lorigine, (0,0) tant donc toujours solution.

Mini-exercices

1. crire un systme linaire de 4 quations et 3 inconnues qui na aucune solution. Idemavec une infinit de solution. Idem avec une solution unique.

2. Rsoudre le systme nquations et ninconnues dont les quations sont (L i) : xi xi+1 = 1 pour i = 1,..., n 1 et (Ln) : xn = 1.

3. Rsoudre les systmes suivants :

x1 +2x2 +3x3 +4x4 = 0x2 +2x3 +3x4 = 9

x3 +2x4 = 0

x1 +2x2 +3x3 = 1x1 +x2 +x3 = 2

x1 x2 +x3 = 3

x1 +x2 = 1x2 +x3 = 2

x3

+x4

= 3

x1 +2x2 +2x3 +x4 = 04. Montrer que si un systme linairehomognea une solution (x1, . . . ,xp) = (0, . . . ,0), alors

il admet une infinit de solutions.


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3. Rsolution par la mthode du pivot de Gauss

3.1. Systmes chelonns

Dfinition 5

Un systme estchelonnsi :

le nombre de coefficients nuls commenant une ligne crot strictement ligne aprs ligne.Il estchelonn rduit si en plus :

le premier coefficient non nul dune ligne vaut 1 ;

et cest le seul lment non nul de sa colonne.

Exemple 6

2x1 +

3x2 +

2x3

x4 =

5

x2 2x3 = 43x4 = 1

est chelonn (mais pas rduit).

2x1 +3x2 +2x3 x4 = 52x3 = 4

x3 +x4 = 1nest pas chelonn (la dernire ligne commence avec

la mme variable que la ligne au-dessus).

Il se trouve que les systmes linaires sous une forme chelonne rduite sont particulirementsimples rsoudre.

Exemple 7

Le systme linaire suivant 3 quations et 4 inconnues est chelonn et rduit.

x1 +2x3 = 25x2 2x3 = 16

x4 = 1

Ce systme se rsout trivialement en

x1 = 25 2x3x2

= 16

+2x3

x4 = 1.

En dautres termes, pour toute valeur de x3 relle, les valeurs de x1, x2 et x4 calcules ci-dessus fournissent une solution du systme, et on les a ainsi toutes obtenues. On peut doncdcrire entirement lensemble des solutions :

S=

(25 2x3, 16+ 2x3,x3, 1) |x3 R

.

3.2. Oprations sur les quations dun systme

Nous allons utiliser trois oprations lmentaires sur les quations (cest--dire sur les lignes) quisont :

1. L i L i avec = 0 : on peut multiplier une quation par un rel non nul.


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2. L i L i +Ljavec R(et j = i) : on peut ajouter lquation L i un multiple dune autrequationL j .

3. L i Lj : on peut changer deux quations.Ces trois oprations lmentaires ne changent pas les solutions dun systme linaire ; autrement

dit ces oprations transforment un systme linaire en un systme linaire quivalent.

Exemple 8

Utilisons ces oprations lmentaires pour rsoudre le systme suivant.

x +y +7z = 1 (L1)2x y +5z = 5 (L2)x 3y 9z = 5 (L3)

Commenons par lopration L 2 L2 2L1: on soustrait la deuxime quation deux fois lapremire quation. On obtient un systme quivalent avec une nouvelle deuxime ligne (plus

simple) :

x +y +7z = 13y 9z = 3 L2L22L1

x 3y 9z = 5PuisL 3 L3 +L1 :

x +y +7z = 1

3y 9z = 32y 2z = 6 L3L3+L1

On continue pour faire apparatre un coefficient 1 en tte de la deuxime ligne ; pour cela ondivise la ligne L 2 par 3 :

x +y +7z = 1

y +3z = 1 L2 13L22y 2z = 6

On continue ainsi

x +y +7z = 1y +3z = 1

4z

= 4 L3L3+2L2

x +y +7z = 1y +3z = 1

z

= 1 L3 14L3

x +y +7z = 1y = 4 L2L23L3

z = 1

x +y = 6 L1L17L3y = 4

z = 1

On aboutit un systme rduit et chelonn :

x = 2 L1L1L2y = 4

z = 1

On obtient ainsi x = 2, y = 4 et z = 1 et lunique solution du systme est (2,4, 1).

La mthode utilise pour cet exemple est reprise et gnralise dans le paragraphe suivant.


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3.3. Mthode du pivot de Gauss

La mthode du pivot de Gauss permet de trouver les solutions de nimporte quel systme linaire.Nous allons dcrire cet algorithme sur un exemple. Il sagit dune description prcise dune suitedoprations effectuer, qui dpendent de la situation et dun ordre prcis. Ce processus aboutit

toujours (et en plus assez rapidement) un systme chelonn puis rduit, qui conduit immdia-tement aux solutions du systme.

Partie A. Passage une forme chelonne.

Soit le systme suivant rsoudre :

x2 +2x3 +13x4 = 5x1 2x2 +3x3 +17x4 = 4x1 +3x2 3x3 20x4 = 1

Pour appliquer la mthode du pivot de Gauss, il faut dabord que le premier coefficient de lapremire ligne soit non nul. Comme ce nest pas le cas ici, on change les deux premires lignespar lopration lmentaire L 1 L2 :

x1 2x2 +3x3 +17x4 = 4 L1L2

x2 +2x3 +13x4 = 5x1 +3x2 3x3 20x4 = 1

Nous avons dj un coefficient 1 devant le x1de la premire ligne. On dit que nous avons un pivoten position (1,1) (premire ligne, premire colonne). Ce pivot sert de base pour liminer tous lesautres termes sur la mme colonne.

Il ny a pas de termex1sur le deuxime ligne. Faisons disparatre le termex1de la troisime ligne;

pour cela on fait lopration lmentaire L 3 L3 +L1 :

x1 2x2 +3x3 +17x4 = 4x2 +2x3 +13x4 = 5x2 3x4 = 3 L3L3+L1

On change le signe de la seconde ligne (L2 L2) pour faire apparatre 1 au coefficient du pivot(2,2) (deuxime ligne, deuxime colonne) :

x1 2x2 +3x3 +17x4 = 4

x2 2x3 13x4 = 5 L2 L2x2 3x4 = 3

On fait disparatre le terme x2de la troisime ligne, puis on fait apparatre un coefficient 1 pourle pivot de la position (3,3) :

x1 2x2 +3x3 +17x4 = 4x2 2x3 13x4 = 5

2x3 +10x4 = 8 L3L3L2

x1 2x2 +3x3 +17x4 = 4x2 2x3 13x4 = 5

x3 +5x4 = 4 L3 12L3

Le systme est maintenant sous forme chelonne.

Partie B. Passage une forme rduite.

Il reste le mettre sous la forme chelonne rduite. Pour cela, on ajoute une ligne des multiplesadquats des lignes situes au-dessous delle, en allant du bas droite vers le haut gauche.


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On fait apparatre des 0 sur la troisime colonne en utilisant le pivot de la troisime ligne :

x1 2x2 +3x3 +17x4 = 4x2 3x4 = 3 L2L2+2L3

x3 +5x4 = 4

x1 2x2 2x4 = 8 L1L13L3x2 3x4 = 3

x3 +5x4 = 4On fait apparatre des 0 sur la deuxime colonne (en utilisant le pivot de la deuxime ligne) :

x1 4x4 = 2 L1L1+2L2

x2 3x4 = 3x3 +5x4 = 4

Le systme est sous forme chelonne rduite.

Partie C. Solutions.Le systme est maintenant trs simple rsoudre. En choisissantx4commevariable libre, on peut exprimer x1,x2,x3 en fonction de x4 :

x1=

4x4

2, x2=

3x4+

3, x3=

5x4+

4.

Ce qui permet dobtenir toutes les solutions du systme :

S=

(4x4 2, 3x4 + 3,5x4 + 4,x4) |x4 R

.

3.4. Systmes homognes

Le fait que lon puisse toujours se ramener un systme chelonn rduit implique le rsultatsuivant :

Thorme 2

Tout systme homogne dquations linaires dont le nombre dinconnues est strictementplus grand que le nombre dquations a une infinit de solutions.

Exemple 9

Considrons le systme homogne

3x1 + 3x2 2x3 x5 = 0x1 x2 + x3 + 3x4 + x5 = 02x1 + 2x2 x3 + 2x4 + 2x5 = 0

x3 +

8x4 +

4x5 =

0.

Sa forme chelonne rduite est

x1 + x2 + 13x5 = 0x3 + 20x5 = 0

x4 2x5 = 0.On pose comme variables libresx2 et x5 pour avoir

x1 = x2 13x5, x3 = 20x5, x4 = 2x5,

et lensemble des solutions :

S=

(x2 13x5,x2,20x5, 2x5,x5) |x2,x5 R

qui est bien infini.


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Mini-exercices

1. crire un systme linaire 4 quations et 5 inconnues qui soit chelonn mais pasrduit. Idem avec chelonn, non rduit, dont tous les coefficients sont 0 ou +1. Idem

avec chelonn et rduit.

2. Rsoudre les systmes chelonns suivants :

2x1 x2 +x4 = 1x2 +x3 2x4 = 3

2x3 +x4 = 4x4 = 2

x1 +x2 +x4 = 0

x2 +x3 = 02x3 +x4 = 0

x1 +2x2 +x4 = 0

2x3 3x4 = 0

3. Si lon passe dun systme (S) par une des trois oprations lmentaires un systme(S), alors quelle opration permet de passer de (S) (S) ?

4. Rsoudre les systmes linaires suivants par la mthode du pivot de Gauss :

2x + y + z = 3x y + 3z = 8x + 2y z = 3

2x1 + 4x2 6x3 2x4 = 23x1 + 6x2 7x3 + 4x4 = 25x1 + 10x2 11x3 + 6x4 = 3

5. Rsoudre le systme suivant, selon les valeurs dea, b R:

x +y z = ax +2z = b

2y +2z = 4

Auteurs

Daprs un cours de Eva Bayer-Fluckiger, Philippe Chabloz, Lara Thomas de lcolePolytechnique Fdrale de Lausanne,

et un cours de Sophie Chemla de luniversit Pierre et Marie Curie, reprenant des par-

ties dun cours de H. Ledret et dune quipe de luniversit de Bordeaux anime par J.Queyrut, mixs et rviss par Arnaud Bodin, relu par Vianney Combet.

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