Synthèse de régulateurs numériques -...

I.D.Landau "Commande des systèmes" 1

Chapitre 3

Synthèse de régulateurs numériques

1. Structure des régulateurs numériques : exemple du PI2. Structure canonique des régulateurs numériques3. Boucle de régulation avec PI numérique4. Régulateurs numériques en présence de perturbations et de bruit5. Boucle de régulation avec PID numérique6. Dispositifs anti windup7. Placement de pôles8. Méthodes de discrétisation de correcteurs continus

I.D.Landau "Commande des systèmes"2

1. Structure des régulateurs numériques : cas du PI

yr(t)PROCEDE

P.I. continu

K

K/T i +

-

+

+

y(t)u(t)Régulateur (PI)

continu

yr(k)

PROCEDE

u(k) y(k)

t

t

0

r1

q-1

q-1

1

r 0

+-+

+

-

qq

-1

qq-2

+

s 0

s1

Régulateur Numérique

Régulateurnumérique


Régulateur PI numérique

)()()()()()( 111 kyqRkrqTkuqS

)1(;11)( 11

111 sqsqqS 1

1011 )1()( qrrKqT

TKqTi

e

r(k) PROCEDE

u(k) y(k)

r

r

r

r

0

1

q-1

q -1

q q -1

10

+-+

+

-

P.I. numérique

)()()()()1()( 11 krzTkyzRkuku


2. Structure canonique des régulateurs numériques (R-S-T))()()()()()( 111 kyqRkrqTkuqS (T différent de R en général)

)()()()(

)()()( 1

1

1

1

krqSqTky

qSqRku

)()()( 1

11

zAzBzH

)()()()()( 11

111

zSzAzRzBzH BO

)()()(

)()()()()()()( 1

11

1111

111

zPzTzB

zRzBzSzAzTzBzH BF

...1)()()()()( 22

11

11111 zpzpzRzBzSzAzPLes pôles de la B.F. sont définis par :

T

R

1/S B/A

PROCEDE

r(k) u(k) y(k)+

-

Exercice 1


3. Boucle de régulation avec PI numérique, système du 1er ordre

11

11

1

qaqbT 1/S

R

procédé+

-

r(k) y(k)u(k)

110

11 )()( qrrqTqR 11 1)( qqS

)()()(

)()()()()()()( 1

11

1111

111

qPqTqB

qRqBqSqAqTqBqH BF

Pôles désirés ( discrétisation 2e ordre-)

22

11

110

11

111 1)()1)(1( qpqpqrrqbqqa

22

11

2111

1101 1)()1(1 qpqpqarbqbra

; ; ?, 10 rr


Boucle de régulation avec PI numérique

(suite)

2111

1101 1parb

pbra

1

121 b

apr

1

110

1bapr

Paramètres du régulateur PI numérique :

Ils dépendent des paramètres du procédé (a1, b1) et desperformances imposées (p1, p2)

Dans ce cas particulier on peut remonter au paramètres du régulateur PI continu

110

11 )1()( qrrKqTTKqT

ie

1rK 01

1

rrrT

T ei

7

Spécificationen continu(tM, D%, tr)

2e ordre ()discrétisation

eT )( 1qP

5.125.0 0 eT17.0

Spécifications (BF) : systèmes du 2eme ordre

I.D.Landau "Commande des systèmes"

4. Régulation numérique en présence de perturbations et bruit

T

R

1/S B/A

PROCEDE

r(k)u(k) y(k)+

-

p(k)

b(k)

++

++

(perturbation)

(bruit de mesure)

v(k)++

Fonction de sensibilité perturbation - sortie(p y) )()()()(

)()()( 1111

111

zRzBzSzAzSzAzS yp

)()()()()()()( 1111

111

zRzBzSzA

zRzAzSup

)()()()()()()( 1111

111

zRzBzSzA

zRzBzS yb

)()()()()()()( 1111

111

zRzBzSzAzSzBzS yv

Fonction de sensibilité perturbation - entrée (p u)

Fonction de sensibilité bruit – sortie(b y)

Fonction de sensibilité perturbationentrée – sortie (v y)

Toutes les 4 fonctions de sensibilité doivent être stables


5. Régulateur PID numérique

• Résulte de la discrétisation du régulateur PID continu

• La méthode de calcul ne s’applique rigoureusement qu’aux:- procédés modélisables par une F.T. de maximum du 2e ordre- retard pur inférieur à une période d’échantillonnage

• La méthode de calcul est un cas particulier du placement de pôles


Régulateur PID numérique 1

PID continu:

sNT

sTsT

KsHd

d

iPID

1

11)(

K – gain proportionnel,Ti – action intégrale Td – action dérivéeTd/N - filtrage de l’action

dérivée

Discrétisation: ee Tqs

Tqs 11

111;/)1(

1

1

11

11

1

1

)1(

111

)()()(

qNTT

T

qNTT

NT

qTTK

qSqRqH

ed

d

ed

d

i

ePID

PID numérique 1:



)()()( 1

11

1

qSqRqHPID

22

110

1)( qrqrrqR 22

11

11

11 1)'1)(1()( qsqsqsqqS

ed

d

NTTT

s

1

10 '1 Ns

TTKr

i

e

121'11 N

TTsKr

i

e )1('12 NKsr

Remarques:• Le régulateur PID numérique a 4 paramètres (comme le PID cont.)• facteur commun au dénominateur: (intégrateur)• filtrage: terme au dénominateur

)1( 1 q)'1( 1

1 qs



y(t)

+

-

r(t) u(t)

R/S B/A

PROCEDE

r(t)

R

1/S B/A

PROCEDE

u(t) y(t)+

-

T=R

Structure R-S-T avec T = R

F.T. de la boucle fermée (r y)

)()()(

)()()()()()()( 1

11

1111

111

qPqRqB

qRqBqSqAqRqBqH BF

)( 1qP définit les pôles de la boucle ferméeLe régulateur introduit des zéros supplémentaires (R)


Modèle échantillonné de procédé

B.O.Z.

H (z )-1

H (s)

sTGesH

s

1)(

20

20

20

2)(

sse

sHs

ou )( eT

22

11

22

11

1

11

1)()()(

qaqa

qbqbqAqBqH

Le modèle échantillonné s’obtient:• directement par identification du procédé (dans presque tous les cas)• par discrétisation du modèle continu


Calcul des paramètres du régulateur numérique PID 1

Spécification des performances:

)()(

)()()()()()()( 1

1

1111

111

qPqB

qRqBqSqAqRqBqH M

BF

)( 1qBM ne peut pas être spécifié à priori (car on garde B et lerégulateur introduit des zéros)On spécifie le polynôme caractéristique de la boucle fermée (P)

22

11

1 ''1)( qpqpqP

(*)


Calcul des paramètres du régulateur numérique PID 1

-Modèle de procédé connu (ou identifié):- Performance désirées (pôles de la B.F.):

)(/)( 11 qAqB)( 1qP

Il faut résoudre:Il faut calculer: )(;)( 11 qSqR

)()()()()( 11111 qRqBqSqAqP

? ?

)()()()(

))((

)1)(1)(1(

)()()()(1)(

1111

22

110

22

11

11

122

11

111122

11

1

qRqBqSqA

qrqrrqbqb

qsqqaqa

qRqBqSqAqpqpqP

)1()1)(()( 33

22

11

111 qaqaqaqqAqA 11

1 1)( qsqS


Choix du polynôme P

-Equation polynômiale d’ordre 4.- P peut être choisi aussi d’ordre 4 (ajout de pôles aux.)

)1)(1)(1(

)1()(2

21

12

21

1

44

33

22

11

1

qqqpqp

qpqpqpqpqP

x xx

x

1-1

j

pôles dominants2ème ordre (0

pôles auxiliaires

Les pôles auxiliaires augmentent la robustesse du régulateur

05.0,5.0 21

17

Régulateur numérique PID 1. Exemple

Procédé: 21

)1()(

sksF

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.5

0

0.5

1

1.5PID 1 - Asservissement

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-100

-50

0

50

100

Spécifications : on veut en Boucle fermée • un comportement du second ordre avec pôle double• un temps de réponse 2 fois plus rapide en BF qu’en BO • Une commande comprise entre -5V et +5V


Le « bon » PID numérique (PID 2)

F.T. souhaitée pour la boucle fermée:)()(

)1()1()( 1

11

qPqB

BPqH BF 1)1( BFH

N’introduit pas des zéros supplémentaires

)()()]1(/)1([

)()()()()()()( 1

1

1111

111

qPqBBP

qRqBqSqAqBqTqH BF

)1()1(

)1()1()1()1()( 1 R

BRB

BPqT R et S restent inchangés

Un seul coefficient au lieu de 2 coeff.

19

Régulateur numérique PID 2. Exemples

Procédé: 21

)1()(

sksH

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1PID 2 - Asservissement

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4

6


PID continu correspondant au régulateur numérique PID 2

k ds

1 + ----T

Ns

+

+-

-

PROCEDE

Kd

-

KTds

K____Ti s

r(t)u(t) y(t)

1/ ( )

------------------1

1 + -----T

Ns

d

Les actions proportionnelles et dérivées uniquement sur la mesure

1

21

1)2(

srr

K

)1)(2()1(

121

2111

srrrsrsTT ed

210

21 )2(rrr

rrTT ei

1

1

1 sTs

NT ed


Effets des pôles auxiliaires

Pour des performances identiques , les pôles auxiliaires réduisentla fonction de sensibilité Sup en hautes fréquences

Meilleure robustesse et réduction des sollicitations de l’actionneur


PID numérique: conclusions

• Structure canonique R-S-T

• PID continu équivalent si

• S’utilise pour des systèmes du 1er ou 2e ordre avec retard < Te

• Le PID numérique donne de meilleures performances pour lessystèmes avec retard (mais il n’y a plus d’équivalent continu)

• Le PID 2 conduit à une réponse en consigne avec un plus faibledépassement que le PID 1

0'1 1 s

Exercice 2

23

• Solution possible : inhiber l’action intégrale lorsque la commande sature• Exemple de dispositif anti saturation :

Dispositif anti saturation (anti windup)

d’après Control System Design : Karl Johan Aström

24

6. Dispositif anti saturation (anti windup)

• Présence de saturations liées aux limitations des actionneurs Problème lié à l’interaction entre l’action intégrale et les saturations• Exemple :



Dispositif anti saturation (anti windup)



7. Placement des pôles

Le placement des pôles permet de calculer un régulateur R-S-T pour:• systèmes stables ou instables• sans restriction sur les degrés des polynômes A et B• sans restriction sur le retard du procédé• sans restriction sur les zéros du procédé (stables ou instables)

•Tous les régulateurs numériques ont une structure à trois branches (R-S-T). Ils ont deux degrés de liberté (régulation et poursuite)• Le calcul du régulateur s’effectue en deux étapes :

1) R et S (régulation) 2) T (poursuite) • La complexité du régulateur dépend de la complexité du modèle• Le placement de pôles est la stratégie de base • Le PID numérique est un cas particulier du placement de pôles

utilisables pour la commande de procédés simples (ordre max. = 2)

I.D.Landau "Commande des systèmes"/Chapitre 2

8. Méthodes de discrétisationde correcteurs continus

HORLOGE

C.A.N. CALCU- LATEUR

C.N.A. +B.O.Z. PROCEDE

REGULATEUR

u(k)e(k) e(t) u(t)

r(t)

+ -

y(t)

-On reproduit l’analogique en échantillonnant vite-Fonction du calculateur : simple (manque d’intelligence)

Contexte : Réalisation numérique d’un régulateur analogique


Méthode des rectangles supérieurs (backward difference method) p

Méthode des rectangles inférieurs (Forward difference method) p

Méthode des trapèzes ou méthode de Tustin (bilinear transformation method)

p

Méthodes de discrétisation de correcteurs continus

Analyse de la Stabilité

Synthèse de régulateurs numériques -...

Documents

Transcript of Synthèse de régulateurs numériques -...