SUR LE ROLE DES CIRCUITS DANS LES RESEAUX DE GENES

Christophe Soulé

IHES, 18 Mars 2010

A B

BA

A

A inhibe B

A active B

Problème :

Quelles propriétés dynamiques d’un réseau

de gènes peut-on inférer de la topologie du graphe

d’interactions associé (en l’absence de données

quantitatives sur ces interactions)?

Un circuit positif

Modèle différentiel

Soit n un entier et = { suites de n nombres réels}.

Fixons une application différentiable ,

et considérons le système d’équations différentielles

[[ Pour tout est la concentration dela protéine au temps .]]

On s’intéresse aux états stationnaires

de ce système, c’est-à-dire aux zéros

de la fonction F. Un zéro x de F est

dit non-dégénéré si la matrice jacobienne

JF(x) est inversible.

Soit G(x) le graphe à n sommets possédant

une arête positive (resp. négative) de i vers k

si la dérivée partielle est positive

(resp. négative).

Théorème :

Supposons que F possède deux zéros

non dégénérés. Alors il existe un point x

tel que le graphe G(x) contienne un circuit

positif.

Conjecture (Thomas) :

La présence d’un circuit négatif de longueur au moins deux est une condition nécessaire à la stabilité périodique.

Théorème (Richard-Comet) :

Si le système dx/dt = F(x)possède une solution périodique stable,le graphe G contient un circuit négatif de longueur au moins deux.

Soit G la réunion des graphes G(x).

Modèle Booléen

Soit = {0,1}n et F :

une application quelconque.

Un état stationnaire est un point fixe de F.

[[ Un point de indique quels gènes

sont actifs au temps t, et son image par F

indique quels gènes sont actifs au temps t+1]]

Si x est un point de et i un entier entre1 et n, on note y le point de qui a les mêmescoordonnées que x sauf sa i-ème coordonnée.

Le graphe G(x) possède une arête positive(resp. négative) de i vers k si F(x)k est différent de F(y)k et xi égale (resp. diffère de) F(x)k.

Le graphe d’interaction G(x) est défini commesuit: il a n sommets.

Théorème (Rémy-Ruet-Thieffry) :

Si F possède plusieurs états stationnaires

il existe un point x dans tel que G(x)

contienne un circuit positif.

Théorème (Richard) :

Si F possède un attracteur cyclique,le graphe G contient un circuit négatif.