Bac D 2009 session normale

Exercice 1

Lentreprise Ivoirbois, spcialise dans lindustrie du bois, envisage de faire des prvisions pour lanne 2007du cot de production de feuilles de contre-plaques en fonction du chiffre daffaires. Elle dispose cet effet desstatistiques rsumes dans le tableau ci-dessous :

Annes

Chiffre daffaires X (en millions de francs)

Cot de production Y (en millions de francs)

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

350 380 500 450 580 650 700

40 45 50 55 60 65 70

1. Reprsenter graphiquement le nuage de points associ la srie double (X, Y) dans le plan rapport un repre orthogonal (O, I, J).On prendra 1 cm pour 50 millions de francs en abscisse et 1 cm pour 5 millions de francs en ordonnes.

2.a. Calculer le chiffre daffaires moyen X.!b. Calculer le cot moyen de production Y.!

3.a. Vrifier quun arrondi lentier de la covariance cov (X, Y) de la srie statistique est gal 1193.

b. Justifier lexisrence dun ajustement linaire entre X et Y.

4.a. Dterminer une quation de la droite (D) dajustement de Y en fonction de X par la mthode des moindres carrs.

b. Construire (D) dans le repre (O, I, J).5. Utiliser lajustement prcdent pour prvoir le cot de production de lentreprise Ivoirbois de lanne 2007si le chiffre daffaires de lanne 2007 est de 800 millions de francs.

Exercice 2

Soit la suite dfinie par :Un( )n { UnU0= 0

Un + 1 35= + 1

U0 U3U2U1Un( )n

Un( )nUn( )n

Vn Un

Vn( )n

1. Dans le plan rapport un repre (O, I J) reprsenter sur laxe des abscisses les termes ; ; et de la suite (unit graphique 2 cm).

2.a. Dmontrer par rcurrence que la suite est majore par .52

b. Dmontrer que la suite converge.

Vn UnVn( )n523. Soit la suite dfinie par : n , =V

a. Dmontrer que la suite est une suite gomtrique dont on prcisera la raison et le premier terme.

b. Exprimer puis en fonction de n.

Un( )nc. Dterminer la limite de

Problme

PARTIE A

ROn considre la fonction g drivable sur et dfinie par : g(x) = (1 x) 1e1 x

1. a. Justifier que la limite de g en + est -188b. Dterminer la limite de g en - .

2. a. Dmontrer que, pour tout x lment de , g(x) = (x 2)R e1 x

b. Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.

R3. a. Dmontrer que lquation x , g(x) = 0 admet une solution unique ., "

" b. Justifier que 0,4 0,5V V

5. En dduire que : { V x , " ] 8;V x , " ] 8- ; , g(x) 0+ , g(x) 0PARTIE B

R e1 x-On considre la fonction f drivable sur et dfinie par : f(x) = x x + 2

On note (C) sa courbe reprsentative dans le plan muni dun repre orthonorm (O, I, J).Lunit graphique est 2 cm.

1. Dterminer les limites de f en et en .- 8

- 88+

2.a. Dmontrer que f est une primitive de g.b. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

- 83. a. Dmontrer que la droite (D) dquation y = x + 2 est une asymptote oblique (C) en +

b. tudier la position relative de (D) et (C).4. Dmontrer que (C) admet en une branche parabolique de direction (OJ).

5. Dterminer une quation de la tangente (T) (C) au point dabscisse 1.

" " -6. Dmontrer que f ( ) =1 + " -1

1

e 1 7. Justifier que, pour tout nombre rel x, f ( x + 2) = f (x)

8. On admet que lquation f (x) = 0 admet exactement deux solutions.

On appelle lune de ces solutions. Dmontrer que + 2 est lautre solution.$$

$"9. Tracer (D), (T), et (C). (On prendra = 0,4 et = 2,5).

PARTIE C

Soit un nombre rel strictement positif et A( ) laire en de la partie du plan dlimite par (C), la droite (D)dquation et les droites dquation x = 0 et x =

cm2

y = x + 2

1. Calculer A( ) laide dune intgration par parties.2. Dterminer la limite A( ) lorsque tend vers + 8

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