7/25/2019 Sujet Ex Amen

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L es graphes sont des structures combinatoires rencontrées dans des applications faisantintervenir des mathématiques discrètes et nécessitant une solution informatique. Circuitsélectriques, réseaux de transport (ferrés, routiers, aériens), réseaux d'ordinateurs,ordonnancement d'un ensemble de tches sont les principaux domaines d'application o! lastructure de graphe intervient. "'un point de vue formel, il s'agit d'un ensemble de points(sommets) et d'un ensemble d'arcs reliants des couples de sommets. #ne des premièresquestions que l'on se pose est de déterminer, étant donné un graphe et deux de ses sommets,s'il existe un chemin (suite d'arcs) qui les relie$ cette question très simple d'un point de vuemathématique pose des problèmes d'efficacité dès que l'on souhaite la traiter % l'aide del'ordinateur pour des graphes comportant un très grand nombre de sommets et d'arcs.

#ne structure de données simple pour représenter un graphe est la matrice d'ad&acence M .our obtenir M , on numérote les sommets du graphe de faon quelconque

 X * + x, x-... xn 

 M  est une matrice booléenne carrée n / n dont les coefficients sont 0 et 1 telle que

 M i, j *012

1  si ( xi, x j) 3 A0  sinon

#n intér4t de cette représentation est que la détermination de chemins sans G revient au calculdes puissances successives de la matrice M  comme le montre le théorème suivant.Théorème 3  Soit M  p la puissance p-ième de la matrice M, le coefficient M i,j

 p est égal au

nombre de cemins de longueur p de G dont l!origine est le sommet xi et dont l!extrémité est le

 sommet x j"