Statistiques Appliqu¶ees µa l’Exp¶erimentation en … · Statistiques Appliqu¶ees ESH C....

Statistiques Appliquees ESH

C. Lalanne

Introduction

Plan general de l’atelier

Objet de la statistique

Methodologie experimentale

Terminologie

Typologie des variables

Plans d’experiences

Analyse descriptive

Objet de l’analysedescriptive

Indicateurs descriptifs

Tendance centrale

Dispersion

Forme de la distribution

Indicateurs de difference etde liaison

Analyse inferentielle

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Comparaison de 2 moyennes

Principe general

Comparaison a une moyennede reference

ANOVA a un seul facteur

Principe general

Procedure de test

Exemple

Statistiques Appliquees al’Experimentation en Sciences Humaines

C. Lalanne

LENA, CNRS UPR 640

22 fevrier 2005

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Objectifs :

recueillir recueil et traitement de donnees numeriques

decrire production de resumes numeriques et graphiquessynthetiques

inferer analyse inferentielle

Organisation :

ce qui sera traite.

ce qui sera survole.

ce qui ne sera pas traite.

s’il reste du temps, s’il y a des questions. . .

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Objectifs :

Organisation :

ce qui sera traite.

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Objectifs :

Organisation :

ce qui sera traite.

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Objectifs :

Organisation :

ce qui sera traite.

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

resumerI transformer les donnees brutes en un ensembled’indicateurs descriptifs(echantillon)

decrireI caracteriser la distribution des observations (univarie),comparer les distributions (multivarie) et analyser leseffets des facteurs en fonction du type de variable(quantitative/quantitative, quantitative/qualitative, etc.)(echantillon)

expliquer / predireI generaliser les resultats observes sur la population nonobservee, expliquer la variabilite, predire des valeurs nonobservees en fonction d’un modele lineaire(population)

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Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

C. Lalanne

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Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

situation experimentaleI situation controlee - effet exclusif du ou des facteur(s)d’etude(hypothese generale)

protocole experimentalI formaliser cette situation experimentale a l’aide demethodes specifiques d’allocation des sujets et derepartition des conditions experimentales → notion deplan experimental(hypothese(s) operationnelle(s))

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

situation experimentaleI situation controlee - effet exclusif du ou des facteur(s)d’etude(hypothese generale)

protocole experimentalI formaliser cette situation experimentale a l’aide demethodes specifiques d’allocation des sujets et derepartition des conditions experimentales → notion deplan experimental(hypothese(s) operationnelle(s))

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Terminologie

un peu de vocabulaire. . .

observation, effectif, individu, unite statistique

echantillon, groupe, population (parente ou de reference)

variable, facteur, caractere

niveau, modalite, traitement

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Terminologie

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

variable = constituee d’un ensemble de modalitesmutuellement exclusives definissant son domaine de variation.

variables qualitative ou quantitative- ordinale, nominale, dichotomisee- discrete, continue

variables dependante et independante- VD = variable mesuree- VI = variable manipulee (invoquee ou provoquee)

C. Lalanne

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

variable = constituee d’un ensemble de modalitesmutuellement exclusives definissant son domaine de variation.

variables qualitative ou quantitative- ordinale, nominale, dichotomisee- discrete, continue

variables dependante et independante- VD = variable mesuree- VI = variable manipulee (invoquee ou provoquee)

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

differentes methodes d’allocation des sujets dans differentesconditions experimentales definies par les variables de l’etude(i.e. facteurs)

groupes independants→ individus differents dans les groupes (ou conditions)(pas de correlation entre resultats)

groupes apparies→ memes individus dans les differentes conditions(correlation inter-conditions liee a l’appariement)

mesures repetees→ chaque i-eme individu passe toutes les conditions(‘generalisation’ de l’appariement)

Interet : decomposer les differentes sources de variation de laVD→ variabilite expliquee par le(s) facteur(s) vs. fluctuationsaleatoires

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

I Formalisme particulier2 notions pour les relations k-aires entre variables :

relation d’emboıtement S < G >

relation de croisement S ∗ T

e.g. un facteur de groupement/classification (sexe des sujets)et un facteur croise (type d’items presente)plan : S < A > ∗B- facteurs elementaires = A, B , S(A)- termes d’interaction = AB , BS(A)

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

2 exemples de plans classiques :

plan factoriel

plan en carre latin

→ permet de ‘ventiler’ les conditions au travers d’un nombreoptimal de sujets

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Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

plan factoriel

plan en carre latin

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

plan factoriel

plan en carre latin

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

e.g. 2 facteurs A et B a 2 et 3 modalites : S3 < A2 ∗ B3 > ouS6 < B3 > ∗A2 et carre latin a 3 facteurs

s1, s2, s3 s4, s5, s6s7, s8, s9 s10, s11, s12

s13, s14, s15 s16, s17, s18

s1, s2, s3 s1, s2, s3s4, s5, s6 s4, s5, s6s7, s8, s9 s7, s8, s9

a1b1c1 a1b2c2 a1b3c3a2b1c2 a2b2c3 a2b3c1a3b1c3 a3b2c1 a3b3c2

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Dispersion

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Objet de l’analyse descriptive

resumer l’information- codage, recodage des donnees- differentes representations numeriques : effectifs, effectifscumules, frequences, frequences cumulees, . . .- differents indicateurs de synthese : tendance centrale,dispersion, . . .- differentes representations graphiques : diagramme enbatonnets, histogrammes, boıtes a moustaches, . . .

decrire l’information- situer un individu (ou une observation) dans ladistribution d’effectifs (cas univarie)- caracteriser les liaisons entre variables (cas bivarie)

L’analyse univariee precede toujours l’analyse bivariee !

etape prealable indispensable a l’analyse inferentielle

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

C. Lalanne

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Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

cas univarie

indicateurs de tendance centrale

indicateurs de dispersion

indicateurs de forme de la distribution

cas bivarie

indicateurs de difference : variablesquantitative/qualitative

indicateurs de liaison : variables quantitative/quantitative

indicateurs de liaison : variables quantitative/qualitative

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Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

cas univarie

cas bivarie

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

cas univarie

cas bivarie

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

cas univarie

cas bivarie

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

cas univarie

cas bivarie

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

cas univarie

cas bivarie

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Dispersion

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Tendance centrale

ModeI valeur de la variable etudiee associee au plus grandnombre d’observationse.g. ages (arrondis a l’annee) releves dans une classe :16 17 17 16 18 16 15 16 17 15 16 17 16mode = 16 (observe 6 fois)→ variables ordinales

MedianeI valeur telle que 50 % des effectifs sont situes avantmed = 16 (var discrete : calcul a partir des effectifscumules)→ variables nominales, quantitatives (discretes/continues)

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Dispersion

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Tendance centrale

ModeI valeur de la variable etudiee associee au plus grandnombre d’observationse.g. ages (arrondis a l’annee) releves dans une classe :16 17 17 16 18 16 15 16 17 15 16 17 16mode = 16 (observe 6 fois)→ variables ordinales

MedianeI valeur telle que 50 % des effectifs sont situes avantmed = 16 (var discrete : calcul a partir des effectifscumules)→ variables nominales, quantitatives (discretes/continues)

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Tendance centrale

Methode de calcul de la mediane• cas discret : a partir des effectifs cumules Ni

e.g. effectifs d’une ‘classe de neige’ en fonction de l’age

xi 13 14 15 16 17 18 19 20 21

ni 6 3 4 1 3 4 1 2 2Ni 6 9 13 14 17 21 22 24 26fi 0.23 0.12 0.15 0.04 0.12 0.15 0.04 0.08 0.08Fi 0.23 0.35 0.50 0.54 0.66 0.81 0.85 0.93 1.00

- rang median (n/2 ou n/2 + 1 suivant la parite de n)

- mediane = valeur VD correspondante au rang median→ ici, rang median = 13.5 ⇒ med = 16

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Principe general

Procedure de test

Exemple

Tendance centrale

Illustration sur un histogramme (e.g. meme type de donneesregroupees par classe) :

• cas continu : formule d’interpolation

xmed = x′

( n2 − Nmed−1)

→ ‘formule d’accroissement’ appliquee aux donneesrepresentees sur une courbe des effectifs cumules

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Tendance centrale

Moyenne arithmetique→ centre de gravite, quantification

avec pi = ni/n > 0 et∑

i pi = 1.Remarque. Autres types de moyenne (geometrique,harmonique, quadratique)...

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

Comment quantifier la dispersion des notes autour desindicateurs de tendance centrale ?e.g.

→ differentes mesures des ecarts associes aux valeurs centrales(mediane et moyenne)

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

Etendue- ecart entre valeur max et valeur min- sensible aux valeurs extremes

Intervalle inter-quantile- ecart entre 1er et 3eme quartile- moins sensible aux valeurs extremes

Ecarts a la moyenne- (xi − x) ou |xi − x |- indices relatifs, ne renseignent que sur les ecarts locaux- sensible aux valeurs extremes

Ecart moyen (EAM)- moyenne des ecarts absolus a la moyenne :

EAM =1

|xi − x |

- sensible aux valeurs extremes

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

EAM =1

|xi − x |

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

EAM =1

|xi − x |

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Dispersion

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

EAM =1

|xi − x |

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

Somme des carres des ecarts- (xi − x)

- sensible aux valeurs extremes- proprietes interessantes : ecarts quadratiques

Variance- moyenne des ecarts quadratiques- formule :

V (x) =1

(xi − x)2

- sensible aux valeurs extremes- non-interpretable dans l’unite de mesure, mais proprietesinteressantes pour l’inference

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

Somme des carres des ecarts- (xi − x)

- sensible aux valeurs extremes- proprietes interessantes : ecarts quadratiques

Variance- moyenne des ecarts quadratiques- formule :

V (x) =1

(xi − x)2

- sensible aux valeurs extremes- non-interpretable dans l’unite de mesure, mais proprietesinteressantes pour l’inference

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

Ecart-type- racine carree de la variance- sensible aux valeurs extremes- exprime dans l’unite de mesure

Coefficient de variation- ponderation de l’ecart-type en fonction de la moyenne- formule :

cvx =σx

x× 100

- utile pour la comparaison de groupes non-homogenes dupoint de vue de leurs moyennes

C. Lalanne

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Dispersion

Ecart-type- racine carree de la variance- sensible aux valeurs extremes- exprime dans l’unite de mesure

Coefficient de variation- ponderation de l’ecart-type en fonction de la moyenne- formule :

cvx =σx

x× 100

- utile pour la comparaison de groupes non-homogenes dupoint de vue de leurs moyennes

C. Lalanne

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

differents moyens d’etude :

alignement des indicateurs de tendance centralee.g. mode < mediane < moyenne : asymetrie a droite

indicateurs caracteristiques (moments centres d’ordre 3 et4)

Coefficient d’asymetrie

moyenne des cubes des valeurs centrees-reduites desobservations→ symetrie relative de la distribution d’effectifs parrapport a la moyenneCoefficient d’aplatissement

moyenne des puissances quatriemes des observationscentrees-reduites→ mesure de dispersion exprimee en fonction de la valeurde la moyenne ± son ecart-type

Remarque. toujours en reference a une distribution normale

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Dispersion

Concepts de base

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

differents moyens d’etude :

alignement des indicateurs de tendance centralee.g. mode < mediane < moyenne : asymetrie a droite

indicateurs caracteristiques (moments centres d’ordre 3 et4)

Coefficient d’asymetrie

moyenne des cubes des valeurs centrees-reduites desobservations→ symetrie relative de la distribution d’effectifs parrapport a la moyenneCoefficient d’aplatissement

moyenne des puissances quatriemes des observationscentrees-reduites→ mesure de dispersion exprimee en fonction de la valeurde la moyenne ± son ecart-type

Remarque. toujours en reference a une distribution normale

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Difference entre deux echantillons

quantifier une difference, du point de vue d’une variablequantitative, entre deux echantillons definis par une variablequalitative (facteur) : notion d’effet d’un facteur

effet moyen dobs

- dobs = x1 − x2

- interpretation sens et ampleur (criteres semantiques)

effet calibre EC- EC = dobs/s (s = variance intra)- interpretation sens et ampleur (criteres psychometriques)- Criteres psychometriques :- EC < 1/3, l’effet est considere comme faible ;- 1/3 ≤ EC ≤ 2/3, l’effet est considere comme

intermediaire ;- EC > 2/3, l’effet est considere comme important.

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Dispersion

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Difference entre deux echantillons

quantifier une difference, du point de vue d’une variablequantitative, entre deux echantillons definis par une variablequalitative (facteur) : notion d’effet d’un facteur

effet moyen dobs

- dobs = x1 − x2

- interpretation sens et ampleur (criteres semantiques)

effet calibre EC- EC = dobs/s (s = variance intra)- interpretation sens et ampleur (criteres psychometriques)- Criteres psychometriques :- EC < 1/3, l’effet est considere comme faible ;- 1/3 ≤ EC ≤ 2/3, l’effet est considere comme

intermediaire ;- EC > 2/3, l’effet est considere comme important.

C. Lalanne

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Liaison var. quantitative/quantitative

liaison entre 2 variables numeriques continues : associationlineaireAttention : pas necessairement de relation de causalite entreles variables !I 2 indicateurs :

covariance

cov(x , y) =∑

(xi − x)(yi − y)

coefficient de correlation lineaire (Bravais Pearson)

rxy =cov(x , y)

σxσy

|r | ≤ 1

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

→ mesurent le degre d’association lineairerxy est plus facilement interpretable car indicateur borneOn distinguera le sens de la liaison (signe de r) et son ampleur(valeur absolue de r)Criteres (psychometriques) :- |r | < 0.20 : correlation faible- |r | > 0.40 : correlation forte(depend egalement du contexte)

C. Lalanne

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Autre indicateur : coefficient de determinationR2 = r2

→ indique la part de variabilite de Y expliquee par la prise encompte de la liaison lineaireCriteres (psychometriques) :- 0 ≤ R2 < 0.04 : R2 faible- 0.04 ≤ R2 ≤ 0.16 : R2 intermediaire- R2 > 0.16 : R2 important

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Ne pas negliger l’interpretation graphique...

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

... tout en prenant garde aux unites des axes !

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Liaison var. quantitative/qualitative

variabilite totale observee sur n sujets repartis en plusieursgroupes (facteur) :

Vtotale = Vinter + Vintra

i.e. fluctuations inter-groupes (Vinter ) et intra-groupes (Vintra)Qauntification de la liaison entre la variable qualitative(facteur) et les reponses observees (variable quantitativequelconque) ?I η2, rapport de variance

η2 =Vinter

Vtotale

→ mesure analogue au coefficient de determination ; memescriteres d’interpretation...

C. Lalanne

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Objectifs des procedures inferentielles

- echantillon extrait d’une population parente non observee- effet moyen d’un ou plusieurs facteurs sur VD mesuree autravers de cette echantillon- generalisation a la population parente : effet parent ?

estimation parametres de population

decision concernant un modele probabiliste

C. Lalanne

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Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Objectifs des procedures inferentielles

- echantillon extrait d’une population parente non observee- effet moyen d’un ou plusieurs facteurs sur VD mesuree autravers de cette echantillon- generalisation a la population parente : effet parent ?

estimation parametres de population

decision concernant un modele probabiliste

C. Lalanne

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Terminologie

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Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Formalisme

• notations :- echantillon : x , s2, . . .- population : µ, σ, . . .• notions d’estimateur :estimer les parametres de population a partir de l’echantillon...moyenne empirique x = estimateur sans biais de la moyenne depopulation µmaisvariance classique doit etre corrigee car sous-estime la variancede population (estimateur biaise) : s2 = variance classique avecdenominateur a n − 1

→ estimation ponctuelle

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Formalisme

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Formalisme

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Loi normale

loi normale N (µ;σ) = loi continue a 2 parametres, tresutilisee en statistiques et en calcul des probabilites

f (x) =1

(x−µ)2

→ forme de la distribution d’echantillonnage de la moyenne :X ∼ N (µ;σ/

Remarque. loi (faible) des grands nombres, theoreme centrallimite . . .

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Loi normale

f (x) =1

(x−µ)2

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Loi normale

f (x) =1

(x−µ)2

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Loi normale

loi normale centree-reduite N (0; 1) : zi = xi−xσ

→ Avantage : la fonction de repartition est tabulee ; on connaıtdonc la proportion des valeurs situees avant une certaine valeurde reference

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Loi normale

loi normale centree-reduite N (0; 1) : zi = xi−xσ

→ Avantage : la fonction de repartition est tabulee ; on connaıtdonc la proportion des valeurs situees avant une certaine valeurde reference

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Calcul elementaire de probabilites

e.g. distribution theorique de la taille des individus (sexemasculin, nationalite francaise, age 20-35 ans) = N (170; 10)

P(X < 185) = P(Z < 185−17010 ) = 0.933

P(X > 198) = 1−P(X < 198) = 1−P(Z < 198−17010 ) = 0.003

P(174 < X < 186) = P(X < 186) − P(X < 174) = P(Z <186−170

10 ) − P(Z < 174−17010 ) = 0.290

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Calcul elementaire de probabilites

e.g. distribution theorique de la taille des individus (sexemasculin, nationalite francaise, age 20-35 ans) = N (170; 10)

P(X < 185) = P(Z < 185−17010 ) = 0.933

P(X > 198) = 1−P(X < 198) = 1−P(Z < 198−17010 ) = 0.003

P(174 < X < 186) = P(X < 186) − P(X < 174) = P(Z <186−170

10 ) − P(Z < 174−17010 ) = 0.290

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Dispersion

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Intervalles de confiance - PP connue

X ∼ N (µ;σ/√

n)alors la statistique

Z =x − µ

σ/√

n∼ N (0; 1)

et P(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1 − αd’ou

IC100(1−α) =[

X − zα/2σ/√

n; X + zα/2σ/√

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Dispersion

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Estimation

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Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

X ∼ N (µ;σ/√

Z =x − µ

σ/√

n∼ N (0; 1)

et P(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1 − αd’ou

IC100(1−α) =[

X − zα/2σ/√

n; X + zα/2σ/√

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Dispersion

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

X ∼ N (µ;σ/√

Z =x − µ

σ/√

n∼ N (0; 1)

et P(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1 − αd’ou

IC100(1−α) =[

X − zα/2σ/√

n; X + zα/2σ/√

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Principe general

Procedure de test

Exemple

Intervalles de confiance - PP inconnue

σ inconnue...meme raisonnement mais avec la statistique

T =X − µ

n∼ T (n − 1)

→ loi de Studentintervalle de confiance construit de maniere identique :

IC100(1−α) =[

X − tα/2S/√

n; X + tα/2S/√

avec S comme estime de la variance parente.

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

T =X − µ

n∼ T (n − 1)

IC100(1−α) =[

X − tα/2S/√

n; X + tα/2S/√

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

T =X − µ

n∼ T (n − 1)

IC100(1−α) =[

X − tα/2S/√

n; X + tα/2S/√

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

T =X − µ

n∼ T (n − 1)

IC100(1−α) =[

X − tα/2S/√

n; X + tα/2S/√

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Principe des tests statistiques

test d’hypothese : schema d’inference

statistiques et lois de distribution

type d’hypothese alternative (orientee ou non)

risque d’erreur et seuil de decision, puissance des tests

conditions d’application (parametriques vs.non-parametriques), robustesse des tests

interpretation

→ Test de typicalite

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

interpretation

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

interpretation

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

interpretation

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

interpretation

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

interpretation

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Types d’analyse

differentes techniques en fonction du type de variables, et enfonction du protocole experimental...

1 ou 2 echantillon(s) : comparaison de moyennes

1 var. quantitative/1 var. qualitative : ANOVA a un seulfacteur (modeles I et II)

1 var. quantitative/p var. qualitatives : ANOVA aplusieurs facteurs (modeles I, II, III ; planfactoriel/hierarchique/bloc/mesures repetees)

1 var. quantitative/1 var. quantitative :Correlation/Regression

1 var. quantitative/p var. quantitatives : Regressionmultiple

2 var. quantitatives/1 var. qualitative : Analyse deCovariance

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Types d’analyse

p var. quantitatives/q var. qualitatives : Analyse devariance multivariee

1 var. qualitative/p var. quantitatives : AnalyseDiscriminante

1 var qualitative/p var. qualitatives : Regression logistique

sans oublier les methodes d’analyse factorielle simples etmultiples, sans visee inferentielle : ACP, AFC, ACM, etc.

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Principe general

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Comparaison a une moyenne de reference

Donnees.- 1 VD numerique quelconque- 1 echantillon selectionne au hasard, n observations (x ,sx)

Question.L’echantillon observe provient-il de la meme populationque la population de reference ?(test de conformite)

Conditions d’applications.

normalite

Hypotheses.H0 : µ = µ0 ; H1 : µ 6= µ0 (non orientee)ou H1 : µ > µ0 (orientee)ou H1 : µ < µ0 (orientee)

Remarque.H0 : µ = µ0 ⇔ µ − µ0 = 0H1 : µ > µ0 ⇔ µ − µ0 > 0

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

normalite

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

normalite

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Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

normalite

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

normalite

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

normalite

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

normalite

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

normalite

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Seuil de decision.- H1 non-orientee ⇒ test bilateral, risque de premiereespece α- H1 orientee ⇒ test unilateral, risque de premiere especeα/2

Statistique de test.

tobs =X − µ0

sX√n

avec sX =Pn

i=1(xi−x)2

n−1 (variance corrigee de l’echantillon)

→ loi de Student a (n − 1) dl

Decision.rejet H0 ssi tobs > tα,n−1

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

tobs =X − µ0

sX√n

avec sX =Pn

i=1(xi−x)2

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

tobs =X − µ0

sX√n

avec sX =Pn

i=1(xi−x)2

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Echantillons independants

Donnees.- 1 VD numerique quelconque- 2 echantillons independants selectionnes au hasard, n1 etn2 observations (x1, sx1

, x2, sx2)

independants = pas de correlation entre les deux seriesd’observations (2 groupes de sujets differents)

Question.Les echantillons observes proviennent-ils de la memepopulation parente ou de populations ayant descaracteristiques similaires ?

normalite (iid)homogeneite des variances (homoscedasticite)

Hypotheses.H0 : µ1 = µ2 ; H1 : µ1 6= µ2 (non orientee)ou H1 : µ1 > µ2 (orientee) ou H1 : µ1 < µ2 (orientee)

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Dispersion

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

, x2, sx2)

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

, x2, sx2)

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

, x2, sx2)

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

, x2, sx2)

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

, x2, sx2)

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

tobs = tobs =X1 − X2

sX1−X2

avec sX1−X2=

n2ou s2

c = SC1+SC2

ν1+ν2(variance

commune)

→ loi de Student a (n1 + n2 − 2) dl

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

sX1−X2

avec sX1−X2=

n2ou s2

c = SC1+SC2

ν1+ν2(variance

commune)

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

sX1−X2

avec sX1−X2=

n2ou s2

c = SC1+SC2

ν1+ν2(variance

commune)

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Estimation

Modelisation

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Principe general

Procedure de test

Exemple

Test approximatif de Welch

si hypothese d’homoscedasticite non verifiee :Statistique de test.

tobsW=

X1 − X2√

a comparer a la distribution du t de Student avec

+s22n2

n1−1 +

n2−1

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Dispersion

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Echantillons apparies

meme principe general, sauf que l’on prend en comptel’appariement des observations...On se ramene au cas de la comparaison d’un echantillon a unemoyenne theorique en derivant le protocole par difference, eten posant H0 : µ1 − µ2 = 0 vs. H1 : µ1 − µ2 6= 0 (non orientee)Statistique de test.

tobs =X1 − X2√

ou s2d est la variance (estimee) de l’echantillon derive par

difference.Remarque. s2

d = s21 + s2

2 − 2ρs1s2

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Modelisation

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Principe general

Procedure de test

Exemple

tobs =X1 − X2√

d = s21 + s2

2 − 2ρs1s2

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Principe general

Procedure de test

Exemple

tobs =X1 − X2√

d = s21 + s2

2 − 2ρs1s2

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Principe general

Procedure de test

Exemple

Alternatives non-parametriques

echantillons independants → Wilcoxon-Mann-Whitney

echantillons apparies → Wilcoxon (test des signes)

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Estimation

Modelisation

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Principe general

Procedure de test

Exemple

Alternatives non-parametriques

echantillons independants → Wilcoxon-Mann-Whitney

echantillons apparies → Wilcoxon (test des signes)

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Dispersion

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Lors d’une experimentation medicale, on a releve le temps desommeil de 10 patients sous l’effet de deux medicaments.Chaque sujet a pris successivement l’un et l’autre des deuxmedicaments. Ces donnees ont ete recueillies pour testerl’hypothese que le medicament m2 est plus efficace que lemedicament m1.

i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 i10

m1 5.7 3.4 4.8 3.8 4.9 8.4 8.7 5.8 5 7

m2 6.9 5.8 6.1 5.1 4.9 9.4 10.5 6.6 9.6 8.4

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Principe general

Procedure de test

Exemple

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

H0 : µ2 = µ1 vs. H1 : µ2 > µ1 (hypothese orientee)α = 0.025

Procedure manuelle :

tobs =dobs√

=1.58√

1.5110

= 4.06 > t0.005,9 = 3.250

conclusion : test significatif, rejet H0

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Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

ANOVA d’ordre 1 : Comparaison de kmoyennes

ANOVA = ANalysis Of VAriance→ generalisation de la comparaison de 2 moyennes a kmoyennes1 variable de classement = facteur a k modalites2 questions :

effet global du facteur ?

effets specifiques du facteur ?

2 techniques :

comparaisons multiples

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

2 techniques :

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Estimation

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Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

2 techniques :

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Estimation

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Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Types d’ANOVA

differents modeles d’ANOVA :

modele I : effets fixes

modele II : effets aleatoires

modele III : effets mixtes (uniquement pour les ANOVA aplusieurs facteurs)

et differents types de plan :

plan factoriel

plan hierarchique

plan avec blocs

plan avec mesures repetees

avec ou sans replication

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Estimation

Modelisation

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Principe general

Procedure de test

Exemple

Donnees

• Donnees.- 1 VD numerique quelconque- 1 VI qualitative (facteur a k modalites) : k echantillonsindependants selectionnes au hasard, nk observations→ organisation dans un tableau :- observations en lignes- modalites du facteur en colonnes

g1 g2 . . . gi . . . gk

X11 X21 . . . Xi1 . . . Xk1

X12 X22 . . . Xi2 . . . Xk2

X13 X23 . . . Xi3 . . . Xk3

. . . . . . . . . . . . . . . . . .X1j X2j . . . Xij . . . Xkj

. . . . . . . . . . . . . . . . . .X1n1 X2n2 . . . Xini

. . . Xkni

X1 X2 . . . Xi . . . Xk X

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Donnees

g1 g2 . . . gi . . . gk

X11 X21 . . . Xi1 . . . Xk1

X12 X22 . . . Xi2 . . . Xk2

X13 X23 . . . Xi3 . . . Xk3

. . . . . . . . . . . . . . . . . .X1j X2j . . . Xij . . . Xkj

. . . . . . . . . . . . . . . . . .X1n1 X2n2 . . . Xini

. . . Xkni

X1 X2 . . . Xi . . . Xk X

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Donnees

g1 g2 . . . gi . . . gk

X11 X21 . . . Xi1 . . . Xk1

X12 X22 . . . Xi2 . . . Xk2

X13 X23 . . . Xi3 . . . Xk3

. . . . . . . . . . . . . . . . . .X1j X2j . . . Xij . . . Xkj

. . . . . . . . . . . . . . . . . .X1n1 X2n2 . . . Xini

. . . Xkni

X1 X2 . . . Xi . . . Xk X

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Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Test d’hypothese

• Conditions d’application.

residus independants, distribues selon une loi normaleN (0;σ) (σ = Cte)

homogeneite des variances (homoscedasticite)

→ A verifier avant le test d’hypothese !- normalite : droite de Henry, test d’ajustement a une loinormale (e.g. Shapiro-Wilks), tests generaux d’adequation(Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, . . .)- homoscedasticite : tests de Cochran, Bartlett, Hartley, LeveneRemarque. Modele I robuste aux deviations par rapport anormalite.• Hypotheses.

H0 : µ1 = µ2 = µ3 = . . . = µk

H1 : µ1 6= µ2 ou µ1 6= µ3 ou µ2 6= µ3 . . .

Attention ! H0 stipule que toutes les moyennes sont egales,alors que H1 sera acceptee si au moins une paire de moyennesdiffere

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Test d’hypothese

H0 : µ1 = µ2 = µ3 = . . . = µk

H1 : µ1 6= µ2 ou µ1 6= µ3 ou µ2 6= µ3 . . .

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Test d’hypothese

H0 : µ1 = µ2 = µ3 = . . . = µk

H1 : µ1 6= µ2 ou µ1 6= µ3 ou µ2 6= µ3 . . .

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Test d’hypothese

H0 : µ1 = µ2 = µ3 = . . . = µk

H1 : µ1 6= µ2 ou µ1 6= µ3 ou µ2 6= µ3 . . .

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Test d’hypothese

H0 : µ1 = µ2 = µ3 = . . . = µk

H1 : µ1 6= µ2 ou µ1 6= µ3 ou µ2 6= µ3 . . .

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Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Tableau d’ANOVA

• Analyse.decomposition des sources de variabilite :

Vinter : variance due au facteurVintra : variance residuelleAutre formulation :

(yij − y) = (yi − y) + (yij − yi )

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Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Tableau d’ANOVA

• Analyse.decomposition des sources de variabilite :

Vinter : variance due au facteurVintra : variance residuelleAutre formulation :

(yij − y) = (yi − y) + (yij − yi )

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Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

- on travaillera preferentiellement avec les sommes des carres(SC) et les ddlvariance (estimee) = carre moyen (CM) = SC/ddl- tout est resume dans le tableau d’analyse de la variance :

Variance SC dl CM F

TotalePk

Pnij=1(Xij − X )2 n-1 CMt=SCt/dl

GroupesPk

i=1 ni (Xi − X )2 k-1 CMg=SCg/dl CMg/CMe

ErreurPk

Pnij=1(Xij − Xi )

2 n-k CMe=SCe/dl

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Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

- on travaillera preferentiellement avec les sommes des carres(SC) et les ddlvariance (estimee) = carre moyen (CM) = SC/ddl- tout est resume dans le tableau d’analyse de la variance :

Variance SC dl CM F

TotalePk

Pnij=1(Xij − X )2 n-1 CMt=SCt/dl

GroupesPk

i=1 ni (Xi − X )2 k-1 CMg=SCg/dl CMg/CMe

ErreurPk

Pnij=1(Xij − Xi )

2 n-k CMe=SCe/dl

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Dispersion

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Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Statistique de test

Valeur de test.

Fobs =CMg

→ loi de Fisher − Snedecor a (k − 1, n − k) dl

Decision.rejet H0 ssi Fobs > Fα,(ν1,ν2)

si rejet H0, il faut etudier quelles sont les paires demoyennes significativement differentes → comparaisonsmultiples

C. Lalanne

Introduction

Terminologie

Analyse descriptive

Tendance centrale

Dispersion

Concepts de base

Estimation

Modelisation

Types d’analyse

Principe general

Procedure de test

Exemple

Comparaisons multiples

• differents types de comparaisons multiples : planifiees vs.non-planifiees• idee = modifier la statistique du t ou ajuster seuil α carprobabilite de commettre une erreur de type I augmente avec le

nombre de comparaisons : 1 − (1 − α)m, avec m = k(k−1)2

e.g. 5 comparaisons ⇒ α = 0.40

plus de 15 tests de comparaisons multiples disponibles...

I Test de Bonferroni, LSD, Scheffe, Tukey, GT2,Student-Newman-Keuls, Duncan, Dunnett...Tukey < Newman-Keuls < Duncan (puissance)

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Principe general

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Exemple

Alternative non-parametrique

test de Kruskall-Wallis = ANOVA basee sur les rangs

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Procedure de test

Exemple

Lors d’une experimentation pedagogique, on desire comparerl’efficacite de quatre methodes d’enseignement. On dispose desnotes (sur 25 points) obtenues a un examen par quatre groupesd’eleves ayant chacun recu un des 4 types d’enseignement a, b,c ou d (Source : donnees fictives).

a b c d

10 14 18 16

17 17 16 20

17 11 14 22

13 14 14 14

17 13 19 18

14 13 16 18

13 13 16 15

17 15 17 16

. . . . . . . . . . . .

14.88 14 16.54 16.28

2.09 1.78 2.15 2.74

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Exemple

plan : S < P4 >

H0 : µa = µb = µc = µd vs. H1 : au moins 2 moyennes differentα = 0.05

tableau d’ANOVA : Vtotale = Vpedago + Vresidus

Source de Variabilite SC dl CM F

Pedagogie 95.47 3 31.82 6.64***Erreur 417.22 87 4.80

conventions : (*) p < 0.05, (**) p < 0.01, (***) p < 0.001

conclusion : F significatif au seuil bilateral 0.001, rejet H0

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Procedure de test

Exemple

Comparaisons multiples : Test HSD de Tukey

conclusions : paires c-a, c-b et d-b significativementdifferentes...

Statistiques Appliqu¶ees µa l’Exp¶erimentation en … · Statistiques Appliqu¶ees ESH C....

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