Faculte des Sciences Appliquees

Diagnostic des Lignes Aeriennes aHaute Tension

Travail de fin d’etudes realise en vue de l’obtention du grade deMaster en Ingenieur Civil Electricien

Christophe D’IPPOLITO

Promoteur : Jean-Louis LILIENAnnee academique 2013-2014

Universite de LiegeFaculte des Sciences AppliqueesMaster en Ingenieur Civil ElectricienAnnee academique 2013-2014

Christophe D’IPPOLITO

Travail de fin d’etudesDiagnostic des Lignes Aeriennes a Haute Tension

ResumeL’objectif de ce travail est d’etudier les vibrations eoliennes subies par les lignes

aeriennes a haute tension. Les caracteristiques modales des cables sont une image de leursante. Une surveillance de ces grandeurs au cours du temps permet de diagnostiquer lafatigue du conducteur. Ce memoire se concentre specifiquement sur la determination del’amortissement modal dans le domaine temporel. Les donnees vibratoires proviennentd’une campagne de tests realisee par Ampacimon s.a., spin-off de l’Universite de Liege.Ce travail revisite les investigations menees par Sergi Gonzalez Prunera dans le cadrede son memoire.

Apres une presentation des concepts theoriques, une etude de plusieurs evenementsde vibrations eoliennes est realisee. En correlant ces resultats avec les principes phy-siques sous-jacents, un algorithme de detection et de traitement des vibrations eoliennesest developpe. L’amortissement modal est deduit d’un evenement detecte en etudiantl’oscillation libre du mode propre. Plusieurs resultats sont ainsi collectes et verifies ma-nuellement pour evaluer les performances de l’algorithme.

L’evaluation de la sante du cable n’a pas pu etre realisee. Les ordres de grandeur desresultats etaient trop faibles par rapport a ceux trouves dans la litterature. Des lors,une seconde methode de traitement a ete developpee dans le domaine frequentiel pourverifier l’ordre de grandeur des amortissements modaux. Les resultats ont confirme ceuxobtenus par la premiere methode.

En fin de rapport, des pistes additionnelles sont brievement etudiees et des recom-mandations sont dressees en vue de travaux futurs.

i

RemerciementsMes premiers remerciements vont a mon promoteur, Jean-Louis Lilien, pour son

accompagnement tout au long de ce travail. Son soutien m’a toujours place dans lesmeilleures conditions, que ce soit en me fournissant la litterature adequate ou en medonnant les bons conseils. Nos echanges de mails resteront pour moi des grands mo-ments de ce travail, la ou mes analyses se confrontaient a son expertise. Sa vision emuleet prone la creativite. Je suis heureux d’avoir pu parcourir ce chemin a ses cotes.

Je remercie ensuite Bertrand Godard pour l’appui technique qu’il m’a offert. C’estgrace a lui que j’ai pu prendre en main les donnees et les maıtriser. Il a toujours eula patience de repondre a mes questions. Ses connaissances et les routines qu’il a dejadeveloppees forcent le respect.

Je remercie Jean-Claude Golinval pour son cours de Dynamique des systemes mecaniques.Bien que je ne l’aie pas contacte dans le cadre de ce travail, c’est lui qui m’a donne legout de l’analyse vibratoire. Sa pedagogie et ses supports de travail clairs sont des atoutsqui m’ont donne l’envie d’apprendre. Ses exemples interactifs restent de bons souvenirs.

Plus globalement, je remercie le corps professoral de la Faculte des Sciences Ap-pliquees, et en particulier celui de l’Institut Montefiore. Au terme de ces cinq anneesd’etudes, j’ai rencontre des personnes qui ont su me passionner par leurs connaissances,leur charisme et les projets qu’ils m’ont proposes.

Je remercie finalement ma famille et mes proches pour leur soutien. En particulier,je remercie Carlo, Agnes, Elisa et Perrine pour leur patience, leur comprehension etl’aide qu’ils m’ont fournies. Ce travail vous est legitimement dedie.

ii

Table des matieresIntroduction 1

1 Bases theoriques 21.1 Equation de mouvement des structures lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Systeme amorti a 1 degre de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Systeme amorti a N degres de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Domaine frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Transformee de Fourier rapide (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Filtrage passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Theoreme de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Modelisation de l’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Modele visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Modele structurel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3 Dans le cadre des vibrations eoliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 L’amortissement sous ces differentes formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Les conducteurs des lignes a haute tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1 Contraintes mecaniques et electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.2 Influence de la rigidite flexionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.3 Influence des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6.4 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Surveillance vibratoire en condition ambiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.2 Methodes de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.3 Identification des parametres modaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Les vibrations eoliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.1 Notion de mecanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.2 Principe physique des vibrations eoliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.3 Danger lie aux vibrations eoliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8.4 Pourquoi etudier les vibrations eoliennes ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8.5 Caracteristiques supplementaires des vibrations eoliennes . . . . . . . . . . 211.8.6 Balance energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 L’amortissement naturel des lignes aeriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9.1 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9.2 Grandeurs d’interet et d’influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9.3 Mesures de l’amortissement naturel en laboratoire . . . . . . . . . . . . . . 231.9.4 Mesures de l’amortissement naturel sur site . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.5 Evaluation de la sante du cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Donnees vibratoires 302.1 Analyse de donnees : grands principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Description des donnees utilisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Cables etudies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3 Donnees meteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.4 Tension des cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.5 Apercu des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Pre-traitement 333.1 Calibration des accelerometres et unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Retrait de la composante continue et filtre median . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Representation des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

iii

4 Traitement 354.1 Etude d’une premiere sequence vibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.1 Prise en main du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.2 Detection de pics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.3 Extraction d’un mode propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Etude d’une seconde sequence vibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.1 Etude du spectre de la seconde sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Filtrage dans les deux modes propres d’interet . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.3 Spectre caracteristique d’un evenement de vibrations eoliennes . . . . . . . 424.2.4 Manifestation du decrochage en lock-in et en amortissement naturel . . . . 464.2.5 Determination de l’amortissement modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.6 Selection de la fenetre temporelle d’approximation . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Algorithme de detection et d’analyse de vibrations eoliennes . . . . . . . . . . . . . 524.3.1 Etapes de la detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.2 Necessite d’un decouplage entre les blocs et les evenements . . . . . . . . . 534.3.3 Etapes de l’analyse d’evenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.4 Presentation des parametres principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.5 Un premier essai : le cas de la deuxieme sequence . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 Une premiere journee etudiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Collecte de resultats sur plusieurs journees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5.1 Le 06 Juin 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5.2 Le 13 Juin 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5.3 Le 17 Juin 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5.4 Le 21 Juin 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5.5 Recapitulatif des resultats collectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Tentative d’evaluation de la sante du cable 695.1 Nouvelle methode de determination de l’amortissement modal . . . . . . . . . . . . 695.2 Faiblesse de l’algorithme de detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Essai des nouveaux algorithmes : etude des cas de reference . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.1 Le 19.6 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.2 Le 8.8 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 Essai des nouveaux algorithmes : quelques cas supplementaires . . . . . . . . . . . 715.5 Enseignements a tirer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Pistes additionnelles 736.1 Les vibrations eoliennes HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 L’axe X de l’accelerometre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3 L’etude d’un autre cable : ASTER 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Recommandations pour les travaux futurs 787.1 Mieux exploiter la vitesse du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2 Detecter par apprentissage automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.3 Utiliser des outils statistiques dans le diagnostic de sante . . . . . . . . . . . . . . . 79

Conclusions 80

Bibliographie 82

iv

NomenclatureSymbole Description Unite

t Temps [s]m Masse [kg]mL Masse par unite de longueur [kg/m]c Coefficient d’amortissement visqueux [kg/s]k Raideur [kg/s2]

F (t) Force appliquee [N ]ζ Amortissement reduit [1]

ζself Amortissement naturel reduit [1]ωeig,ω0 Pulsation propre [rad/s]ccr Coefficient d’amortissement critique [kg/s]fs Frequence d’echantillonnage [Hz]E Energie du signal [J ]

X(f) Transformee de Fourier du signal −δ Decrement logartihmique [1]D Diametre du conducteur [m]ρ Masse volumique [kg/m3]EY Module de Young [N/mm2]I Moment d’inertie [m4]Re Nombre de Reynolds [1]um Vitesse moyenne d’ecoulement [m/s]DH Diametre hydraulique [m]ν Viscosite cinematique [m2/s]fS Frequence de Strouhal [Hz]Str Nombre de Strouhal [1]uperp Vitesse perpendiculaire d’ecoulement [m/s]ueig Vitesse d’initiation de vibrations eoliennes [m/s]

fkarman Frequence d’apparition des tourbillons [Hz]feig,f0 Frequence propre [Hz]

Φ Phase [rad]L Longueur de la portee [m]Sk,i ISWR du noeud i au keme mode [1]T Tension du cable [kN ]Y Amplitude peak to peak [m]Pc Puissance dissipee par unite de longueur [mW/m]y,A Amplitude zero to peak [m]β Parametre de sante du cable [J ]M Support du filtre median [1]a,b Approximation linaire a+ b.t −

γ, λ, ξ, C? Parametres adimensionnels d’evaluation [1]k0 Facteur propre au cable −

l,m, n Exposants refletant la sante du cable [1]Sc Nombre de Scruton [1]δr Fonction polynomiale de puissance de vent −bi Coefficient de δr −N Nombre d’echantillons temporels [1]K Nombre de points de la FFT [1]

v

Liste des abreviationsAbreviation Description

AVM Ambient vibration monitoringLF Basses frequences (Low frequencies)HF Hautes frequences (High frequencies)PM Power Method

ISWR Inverse Standing Wave RatioDOF Degrees of FreedomFFT Fast Fourier TransformDFT Discrete Fourier Transformsinc Sinus cardinalEBP Energy Balance PrincipleRTS Rated Tensile StrengthDSP Digital Signal ProcessorAAAC All Aluminium Alloy Conductors

vi

IntroductionLe but de ce travail est d’etudier le comportement des lignes aeriennes soumises a des vibrations

eoliennes. Sur base de ses parametres modaux, la sante du cable peut etre evaluee. L’amortissementmodal est la grandeur sur laquelle ce travail se concentre. L’objectif initial etait de developper unemethode permettant de calculer l’amortissement dans le domaine temporel. Il avait ete demandede tester entre autre la methode de Prony. Les donnees utilisees proviennent d’une campagne detests realisee par Ampacimon s.a., spin-off de l’Universite de Liege. Environ 550 heures de mesuresd’accelerometres ont ete mises a disposition pour ce travail.

Ce memoire vient a la suite de celui realise par Sergi Gonzalez Prunera en 2013. Vu l’ampleurdu sujet traite, Sergi n’a eu le temps que de s’approprier la litterature et de prendre en main lesdonnees. Ses analyses n’avaient pas su etre approfondies. Ici, le but etait de reprendre son travailet de le prolonger jusqu’a sa fin, c’est-a-dire etre capable d’extraire l’amortissement modal d’unevenement de vibrations eoliennes.

L’objectif initial a ete respecte. Un algorithme de detection et de traitement des vibrationseoliennes a ete developpe sous Matlab. Ce rapport fournit beaucoup de representations graphiquesafin de permettre aux lecteurs de se familiariser avec les phenomenes etudies. L’amortissementmodal n’etant pas une fin en soi, une tentative d’evaluation de la sante du cable a ete realisee. Mal-heureusement, il s’est avere que les resultats obtenus ne collaient pas avec les modeles theoriques.

Dans la premiere partie de ce travail (Chapitre 1), nous revisitons les bases theoriques necessairespour prendre en main les vibrations eoliennes. Tout d’abord, les notions de mode propre et defrequence propre sont rappelees. Ensuite, des concepts lies au domaine frequentiel sont explicites,comme par exemple la FFT, les filtrages et le theoreme de Parseval. En toute generalite, les modelesd’amortissement et des ordres de grandeur sont ensuite presentes. Une introduction aux conducteursdes lignes aeriennes precede les principes de surveillance vibratoire en condition ambiante (AVM).Les principes physiques des vibrations eoliennes sont ensuite detailles, en precisant leur dangeret l’interet qu’on leur porte. Finalement, l’amortissement naturel des conducteurs est revisite, endeveloppant notamment les methodes d’evaluation de la sante du cable.

Le Chapitre 2 presente les donnees vibratoires a disposition, ainsi que les modalites de la cam-pagne d’essais. Au terme de cette partie, les donnees sont disponibles sous Matlab. Le Chapitre 3presente une serie de pre-traitements necessaires pour que les signaux etudies soient corrects.

L’analyse des donnees et le developpement des algorithmes sont decrits au Chapitre 4. Desevenements de vibrations eoliennes sont etudies en detail et correles avec les concepts du rappeltheorique. Sur base de ces analyses, la routine de detection et de traitement est elaboree etape paretape. Les parametres principaux sont explicites et affines au fil des resultats. Environ une dizained’evenements sont visibles graphiquement dans ce rapport.

Le Chapitre 5 avait pour but initial d’evaluer la sante du cable sur base des resultats collectes.Face a l’echec de cette etape d’evaluation, un deuxieme algorithme de traitement est developpe,uniquement dans le domaine frequentiel. De nouvelles analyses sont menees pour verifier les ordresde grandeur de l’amortissement.

Le Chapitre 6 offre un ensemble de pistes additionnelles d’analyse. Un autre cable y est notam-ment etudie. Finalement, le Chapitre 7 est destine a ceux qui souhaiteraient reprendre ce travail.Il donne des points d’amelioration pour la routine developpee, mais aussi des conseils pour letraitement futur des diagnostics.

Une conclusion paracheve ce rapport pour en resumer les grands enseignements.

1

1 Bases theoriques1.1 Equation de mouvement des structures lineaires1.1.1 Systeme amorti a 1 degre de liberte

En toute generalite, un systeme amorti a un seul degre de liberte est schematise a la Figure 1.

Figure 1: Modelisation d’un systeme amorti a 1 DOF (Source : [6]).

L’equation de mouvement associee au systeme est donnee par :

mx+ cx+ kx = F (t) (1)

ou- m = Masse [kg].- c = Coefficient d’amortissement visqueux [kg/s].- k = Raideur du systeme [kg/s2].- F (t) = Force appliquee sur le point de masse [N ].

La solution de cette equation differentielle est une composition de deux contributions. La premiereest la solution relative aux conditions initiales du systeme, appelee solution de l’equation homogenexh(t). La seconde est la reponse forcee du systeme, appelee solution particuliere xp(t). Nous avons :

x(t) = xh(t) + xp(t) (2)

Pour des raisons qui seront decrites ulterieurement, nous allons uniquement considerer la solutionhomogene xh(t), relative a la vibration libre du systeme. L’equation de mouvement du systeme sesimplifie comme suit :

mx+ cx+ kx = 0 (3)

Cette equation se reecrit communement sous la forme suivante :

x+ 2ζω0x+ ω20x = 0 (4)

ou- ζ = c

ccr

- ω0 =√k

m

2

Le terme ω0 represente la pulsation naturelle du systeme, c’est-a-dire la pulsation a laquelle lesysteme oscille lorsqu’il n’est pas amorti (conservation de l’energie). Le terme ζ est l’amortissementreduit du systeme. Il quantifie la facon dont l’energie est dissipee. Le coefficient d’amortissementcritique ccr est la valeur qu’il faudrait donner au coefficient d’amortissement c pour que le systemese relache en un temps minimal. Son expression est donnee par :

ccr = 2√km (5)

La dynamique du systeme est gouvernee par les parametres ω0 et ζ. Dans le cadre des lignesaeriennes, l’hypothese ζ << 1 est toujours verifiee. Des lors, l’oscillation libre du systeme prend laforme suivante :

x(t) = e−ζω0t(Acos(ω0t) +Bsin(ω0t)) (6)

ou- A et B = Constantes determinees sur base des conditions initiales.

La reponse x(t) est un signal oscillant a la pulsation naturelle dans une enveloppe exponentielledecroissante. L’amplitude de vibration decroit au cours du temps, au fur et a mesure que l’energieinterne est dissipee.

1.1.2 Systeme amorti a N degres de liberte

Toute structure reelle contient une infinite de degres de liberte (DOF). Il est cependant possibled’approximer son comportement en ne prenant que les N premiers DOF. La situation est schematiseea la Figure 2 pour un cable hypothetique.

b b b b b b b1 2 3 N

Figure 2: Approximation du cable selon N DOF.

En toute generalite, l’oscillation libre du systeme est decrite par les N equations differentiellessuivantes :

Mx+ Cx+Kx = 0 (7)ou

- M = Matrice NxN de masse.- C = Matrice NxN d’amortissement.- K = Matrice NxN de raideur.

Un exemple de modelisation est donne a la Figure 3.

Dans un premier temps, nous etudions le systeme (7) dans sa forme conservative, c’est-a-direen negligeant la matrice d’amortissement C. Sous l’hypothese d’une solution synchrone (toute lastructure vibre en phase), les equations de mouvement homogenes peuvent etre decomposees endes equations spatiales et des equations temporelles associees. Les equations spatiales prennent laforme suivante :

(K − ω2M)x = 0 (8)

3

Figure 3: Systeme amorti a 2 DOF (Source : [6]).

Ces equations constituent un probleme aux valeurs propres. Les N valeurs propres approximentles N premieres frequences propres de la structure. Les valeurs propres successives sont mono-tonement croissantes. Elles sont obtenues en resolvant l’equation suivante :

dtm(K − ω2M) = 0 (9)

Ensuite, il est possible de determiner pour chaque valeur propre son vecteur propre associe.On associe donc a chaque frequence propre un seul et unique mode propre. Ils sont determinessuccessivement via la relation :

(K − ω2iM)xi = 0 (10)

ou- ωi = Pulsation propre du ieme mode [rad/s].- xi = Mode propre i.

La resolution de l’equation spatiale nous donne donc N couples frequence propre/mode propre.Pour chacun de ces couples, on associe une equation temporelle du type :

φi + ω2i φi = 0 (11)

La solution s’exprime en toute generalite de la facon suivante :

φi(t) = Aicos(ωit) +Bisin(ωit) (12)ou

- Ai et Bi = Constantes determinees sur base des conditions initiales.

La solution generale des equations homogenes est la superposition de chaque solution naturelle.En combinant les resultats obtenus, on obtient :

x(t) =N∑i=1

(Aicos(ωit) +Bisin(ωit))xi (13)

La solution obtenue signifie que la structure ne peut vibrer que dans un ensemble discret demodes. Le principe d’orthogonalite des modes propres stipule que ces modes sont decouples. Il estdes lors possible de modeliser une structure a N DOF comme la superposition de N systemes a seuldegre de liberte. La demarche est schematisee a la Figure 4.

4

Figure 4: Decouplage des modes propres (Source : [6]).

A chacun de ses N oscillateurs individuels, on associe une masse et une raideur generalisee. Cesgrandeurs sont obtenues en projetant respectivement la matrice de masse M et de raideur K dansle mode propre considere. La dynamique de ces oscillateurs est regie par les equations normales dusysteme. La Figure 5 decrit cette equation pour le keme mode de la structure.

Figure 5: Equations normales (Source : [6]).

Le facteur de participation du mode Φk quantifie l’influence des forces d’excitation p sur le modepropre considere. Dans le cadre des vibrations eoliennes, nous verrons que ce facteur sera maximisepour le mode propre d’interet et ses acolytes. Φk sera tres faible pour les autres modes propres duconducteur, ce qui donnera donc lieu a des spectres frequentiels localises. Les equations normalespermettent d’isoler la dynamique du mode d’interet et de l’etudier comme un systeme a un seulDOF.

La prise en compte de la matrice d’amortissement C modifie la dynamique du systeme. Ledecouplage des modes propres est soumis a des hypotheses supplementaires. Dans le cas de faiblesamortissements, on peut montrer que les frequences propres et modes propres se dedoublent vialeurs complexes conjugues (2N frequences propres/ modes propres pour N DOF). La partie imagi-naire des modes propres retire le caractere synchrone de la solution.

En ajoutant l’hypothese d’un amortissement proportionnel, il est possible de retrouver la confi-guration decrite dans le cas non-amorti. Cette hypothese se formule sous la forme :

C = αK + βM (14)

Par consequent, il est possible d’associer un amortissement modal reduit a chacun des oscillateursdecouples du cas non-amorti. La situation est illustree a la Figure 6.

5

Figure 6: Amortissement modal reduit (Source : [6]).

Sous les hypotheses precitees, on peut de nouveau analyser chaque mode de vibration comme unsysteme a un seul degre de liberte.

Quelques remarques se doivent d’etre mentionnees. Premierement, les developpements precedentssont uniquement valides dans le cas d’un modele d’amortissement visqueux. Par la suite, il serademontre qu’un modele d’amortissement structurel correspond mieux a la dynamique vibratoiredes conducteurs des lignes aeriennes. Deuxiemement, l’hypothese d’amortissement proportionnela ses limitations. La variation des facteurs d’amortissement par rapport a la frequence propre devibration ne fait qu’approximer le comportement reel de la structure [1].

Que faut-il retenir de la theorie qui vient d’etre presentee ? Les notions de frequence propre etde mode propre sont evidemment incontournables. Cela nous permet de selectionner par filtragefrequentiel le signal que l’on souhaite analyser. La notion d’amortissement modal est plus delicate.Avant tout, il faut veiller a bien identifier les mecanismes physiques de dissipation energetiquede la structure etudiee. Sur base de ces resultats, on peut choisir le modele d’amortissement quicorrespond au mieux a la realite. On peut ensuite definir un amortissement visqueux equivalentafin d’utiliser les formules precedentes. Dans tous les cas, un amortissement tres faible facilite lescalculs.

1.2 Domaine frequentiel1.2.1 Transformee de Fourier rapide (FFT)

Dans ce travail, la FFT est l’outil le plus utilise pour etudier le contenu frequentiel des signaux.Cet algorithme permet de calculer rapidement la transformee discrete d’un signal (DFT).

Les traitements de donnees developpes dans ce travail ont ete realises sous Matlab. Les signauxa disposition sont donc sous forme numerique. En pratique, il faut realiser une conversion entre lesignal de vibration mesure (forme analogique) et le signal stocke en memoire (forme numerique).

Une donnee fondamentale lors d’un echantillonnage est la frequence d’echantillonnage fs. Elledetermine le nombre d’echantillons preleves par seconde au signal analogique. Intuitivement, on serend compte que l’information recoltee est d’autant plus grande que fs est eleve. De maniere rigou-reuse, le theoreme d’echantillonnage de Nyquist-Shannon nous stipule qu’un signal de frequencemaximale fmax pourra etre integralement reconstruit si la condition suivante est respectee :

fs > 2fmax (15)

6

Autrement dit, pour une frequence d’echantillonnage fs donnee, seules les frequences inferieuresou egales a fs/2 seront correctement visibles. Les frequences superieures a fs/2 subissent unphenomene de repli de spectre et l’integrite du signal est modifiee.

Dans le cadre des vibrations eoliennes, les frequences propres excitees valent au maximum unecentaine de Hertz. La frequence d’echantillonnage utilisee dans ce travail est fixee a 200 Hz. Ellepermet ainsi de detecter tout phenomene de vibration eolienne inferieur ou egal a 100 Hz.

La notion de bandes de frequence est importante dans l’utilisation de la FFT. Elle met en lumierele compromis entre la resolution frequentielle et la longueur du signal en temporel. La FFT serealise en un nombre de points K pouvant etre specifie en argument. Ce nombre entier K divise lespectre frequentiel en K bandes de frequence, chacune de longueur egale et comprise entre 0 et fsHz. La resolution maximale est obtenue en prenant K egal au nombre d’echantillons temporels adisposition. Ceci est la valeur prise par defaut dans ce travail.

Les differents parametres doivent etre adaptes en fonction de l’application. Par exemple, si fsest faible et que la resolution frequentielle souhaitee est elevee, on prendra K egal au nombred’echantillons a disposition. Si fs est faible et que la resolution frequentielle souhaitee est faible,on pourra effectuer la FFT avec un nombre de points limites. La configuration ideale est obtenuelorsque fmax et la resolution frequentielle desiree sont connus. La connaissance de fmax permetde minimiser fs et donc de limiter les ressources de stockage. Ensuite, le nombre de points Kminimum pour obtenir la resolution desiree est fixe par la relation :

K = fsresolution

(16)

Finalement, la longueur de la fenetre temporelle est fixee a K. Par consequent, on minimisele nombre d’echantillons temporels et on maximise le caractere instantane des spectres, tout enayant une resolution frequentielle adequate. Cette propriete est capitale dans l’etude des vibrationseoliennes. Nous verrons plus tard qu’il est important de savoir a quel moment un pic de frequencecesse de predominer le spectre. Pour ce faire, la fenetre temporelle se doit d’etre la plus courtepossible.

Ce critere de design est contre-balance par le fait qu’une fenetre temporelle trop courte introduitdes erreurs dans les spectres associes. Ce comportement trouve son origine dans le processus defenetrage temporel.

La multiplication d’un signal par une fenetre temporelle rectangulaire revient a convoluer satransformee avec un sinus cardinal (voir Figure 7).

Figure 7: Influence d’un fenetrage temporel sur le domaine frequentiel (Source : [13]).

7

Figure 8: Exemples de fenetres temporelles (Source : [13]).

Cette operation engendre deux effets sur le spectre du signal. Le premier a deja ete evoquepuisqu’il concerne la perte de resolution frequentielle [13]. Lors de la convolution, le lobe principaldu sinc moyennise les valeurs presentes sur sa largeur. Le deuxieme effet provient de l’influencedes lobes secondaires. On observe un phenomene de fuite, c’est-a-dire une dispersion des maximalocaux [13]. Les maxima locaux se convoluent avec les lobes secondaires et entachent le spectred’erreurs.

En conclusion, on voit qu’il existe un juste milieu entre l’instantaneite du spectre et son integrite.

Il est possible d’ameliorer l’integrite de la FFT en utilisant une fenetre temporelle adaptee. Cettetechnique sacrifie une part supplementaire de resolution frequentielle pour eliminer le phenomenede fuite [13]. Differentes fenetres temporelles sont illustrees a la Figure 8. On peut remarquer queles lobes secondaires ont quasiment disparus. En particulier, la fenetre de Hamming discrete estdecrite par l’equation :

w(n) = 0.54− 0.46cos(2π nN

), 0 ≤ n ≤ N (17)

Le critere a privilegier est sans nul doute l’integrite du signal. Dans ce travail, il y a peu d’intereta etudier un spectre ayant une tres bonne resolution mais entache d’erreurs. Avant de realiserune FFT, on appliquera donc une fenetre de Hamming sur la portion de signal consideree. Onaugmentera en consequence la longueur de la fenetre temporelle jusqu’a atteindre la resolutionfrequentielle requise.

1.2.2 Filtrage passe-bande

Une etape essentielle dans l’etude des vibrations eoliennes est l’extraction de la vibration dans lemode propre excite. Le signal provenant des accelerometres contient plusieurs frequences propres

8

et l’objectif est de le filtrer dans le mode propre choisi. Dans le spectre frequentiel, on doit doncidealement annuler toute frequence situee en dehors de la bande d’interet.

Un fenetrage rectangulaire de la bande d’interet constitue un filtrage frequentiel ideal. En tem-porel, cette operation se traduit par une convolution avec un sinc, comme la Figure 9 l’illustre.

Figure 9: Influence d’un fenetrage frequentiel sur le domaine temporel (Source : [13]).

Les performances temporelles de ce type de filtrage ne sont pas satisfaisantes. On observe desproblemes lies au temps de montee, a de l’overshoot et a des oscillations dans la reponse indicielledu filtre.

Comme dans le cas du fenetrage temporel, il est possible d’ameliorer le comportement dufenetrage frequentiel en relachant certaines caracteristiques du filtrage ideal [13]. On realise ainsiun equilibre entre les specifications temporelles et frequentielles.

Les parametres de design temporels ont deja ete decrits au paragraphe precedent. En frequentiel,les parametres de design sont les suivants :

– La largeur de la bande de transition, delimitee par une frequence passante et une frequencebloquante ;

– Le niveau de rejet [dB] de la bande frequentielle indesirable.

En pratique, les filtres lineaires discrets de Butterworth sont couramment utilises car ils per-mettent de faire un compromis entre les differentes specifications precitees. L’etude de ces filtressortent du cadre de ce travail et ne sera donc pas abordee. Ceux-ci sont neanmoins facilementimplementables sous Matlab et seront utilises pour realiser les filtrages passe-bande.

1.3 Theoreme de ParsevalLe theoreme de Parseval stipule que l’energie totale d’un signal est independante de sa representation

temporelle ou frequentielle. Concretement [3] :

E =∫ +∞

−∞|x(t)|2 dt =

∫ +∞

−∞|X(f)|2 df (18)

ou- E = Energie totale du signal.- x(t) = Representation temporelle du signal.- X(f) = Representation frequentielle du signal.

9

L’interet de ce theoreme vient du fait que l’on peut avoir, uniquement sur base du spectre, uneinformation sur l’amplitude de vibration temporelle. En effet, pour des fenetres temporelles courtes,il est difficile d’obtenir des filtrages passe-bande precis. On ne peut donc pas extraire facilementl’amplitude de vibration d’un mode propre particulier.

Le spectre d’un signal quantifie l’energie contenue dans chaque frequency bins. L’energie d’unmode propre se calcule de la maniere suivante :

Emode =∫ +∞

−∞|xmode(t)|2 dt =

∫F

|X(f)|2 df (19)

ou- Emode = Energie contenue dans le mode considere.- xmode(t) = Evolution temporelle de l’amplitude vibratoire du mode.- F = Plage frequentielle relative au mode.

Nous fournissons ici un exemple relatif a des cosinusoıdes pures, soit un signal temporel du type :

x(t) = C1cos(2πf1t) + C2cos(2πf2t) (20)

Ce signal pourrait modeliser l’excitation de deux modes propres en regime etabli. Le signal x(t)est visible a la Figure 10 pour C1 = 4, f1 = 15, C2 = 2 et f2 = 25. La frequence d’echantillonnageutilisee est de 1000 Hz.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−6

−4

−2

0

2

4

6

time [s]

ampl

itude

x(t)

Figure 10: Somme des 2 cosinusoıdes de l’equation (20).

La transformee de Fourier d’un signal cosinusoıdal vaut en toute generalite :

Acos(2πf0t)F−→ A

2 [δ(f − f0) + δ(f + f0)] (21)

Dans le domaine frequentiel, on voit donc apparaıtre deux raies d’amplitude egale. Ceci estillustre a la Figure 11a.

10

−500 0 5000

500

1000

1500

2000

2500

Frequency bins [Hz]

abso

lute

val

ue o

f fft

coef

ficie

nts

FFT of 1 second A*cos(2*pi*f*t) where A=4 and f=15 (fs=1000 Hz)

(a) FFT

−500 0 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

6 A*cos(2*pi*f*t) where A=4 and f=15 (fs=1000 Hz)

Frequency bins [Hz]

Spe

ctru

m c

oeffi

cien

ts

(b) Spectre

Figure 11: Analyse frequentielle d’une cosinusoıde.

L’energie totale du signal peut se calculer comme suit (en temps continu) :

Etot =∫ +∞

−∞|x(t)|2 dt (22)

=∫ D

0A2cos2(2πf0t)dt

=∫ D

0A2[ 1 + cos(4πf0t)

2 ]dt

= A2D

2

ou- D = Duree du signal d’etude (supposee multiple de 1/f0) [s].

En temps discret :

Etot = A2N

2fs(23)

Le theoreme de Parseval nous dit que la somme des deux raies du spectre doit egaler l’expression(23). Sur base de la Figure 11b, on remarque cependant que les valeurs des pics ne correspondentpas a celles attendues. Dans notre cas, l’energie attendue Etot devrait valoir 8, contrairement aux8.106 obtenus sur base du spectre.

Il existe un facteur de conversion a appliquer aux spectres pour retablir la dimensionnalite despics. Il faut en effet diviser chaque valeur du spectre par N.fs. Ce faisant, le theoreme de Parsevalse manifeste correctement.

Reprenons finalement l’expression x(t) decrite a l’equation (20). Supposons egalement que lorsd’une deuxieme seconde d’observation, C1 passe de 4 a 2. Les spectres relatifs aux deux configura-tions sont visibles a la Figure 12. Dans le cas d’une cosinusoıde, on remarque qu’il existe une relationquadratique entre l’amplitude zero to peak du mode et la valeur des pics. En observant l’evolutiondes pics au fil des spectres, on peut des lors inferer sur l’evolution temporelle de l’amplitude devibration.

11

−100 −50 0 50 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Frequency bins [Hz]

Spe

ctru

m (

with

fact

or o

f con

vers

ion)

x(t) where C1=4,f1=15,C2=2,f2=25

(a) C1 = 4

−100 −50 0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x(t) where C1=2,f1=15,C2=2,f2=25

Spe

ctru

m (

with

fact

or o

f con

vers

ion)

Frequency bins [Hz]

(b) C1 = 2

Figure 12: Relation entre amplitude de vibration et valeur des pics.

En pratique, les signaux vibratoires ne sont pas parfaitement cosinusoıdaux (presence d’uneenveloppe), ce qui perturbe la relation ideale qui vient d’etre decrite. Cependant, il est toujourspossible de travailler sur des criteres energetiques. Par exemple, dans l’etude de la decroissanced’une vibration eolienne, on peut emettre un critere sur la reduction d’energie contenue dans lemode propre. Si la condition d’arret est validee lorsque l’energie a diminuee d’un facteur 4 (reductiondes pics d’un facteur 4), cela signifiera que l’amplitude de vibration a diminue plus ou moins d’unfacteur 2.

1.4 Modelisation de l’amortissement1.4.1 Modele visqueux

L’amortissement visqueux provient de la dissipation energetique d’un corps lorsque celui-ci est enmouvement dans un fluide. Dans ce mouvement, une force proportionnelle et opposee a la vitessedu corps prend naissance [2]. L’oscillation libre du systeme est caracterisee par une enveloppeexponentielle, comme le montre la Figure 13.

Figure 13: Oscillation libre d’une poutre soumise a un amortissement visqueux (Source : [2]).

1.4.2 Modele structurel

L’amortissement structurel provient des frottements internes du systeme mecanique considere.Par exemple, dans le modele de Coulomb, la force appliquee est constante et opposee a la vitessedu corps (equation (24)) [2]. Pour un frottement sec, l’oscillation libre du systeme est caracteriseepar une enveloppe lineaire (Voir Figure 14).

F = c.sgn(x) (24)

12

Figure 14: Oscillation libre d’une poutre soumise a un frottement sec (Source : [2]).

1.4.3 Dans le cadre des vibrations eoliennes

Le frottement entre les brins du conducteur est la principale source d’amortissement lors de vibra-tions eoliennes. En theorie, le modele d’amortissement le plus approprie est donc le modele structu-rel. Cependant, les grandeurs communement utilisees pour quantifier l’amortissement decoulent dumodele visqueux. De plus, la modelisation reelle de l’amortissement devrait etre une combinaisondu modele visqueux et structurel. Elle permettrait de prendre en compte les differentes sources dedissipation energetique. Lors du relachement d’un mode de vibration, on devrait ainsi s’attendre aobserver une decroissance lineaire suivie d’une decroissance exponentielle.

Finalement, nous conservons le modele visqueux dans le diagnostic des lignes aeriennes. Nousajoutons que l’hypothese d’un amortissement proportionnel est supposee verifiee.

1.5 L’amortissement sous ces differentes formulationsLe terme amortissement fait toujours reference a la propension d’un systeme a dissiper son

energie interne. Cependant, il existe dans la litterature de nombreuses formulations qui se doiventd’etre clarifiees.

Tout d’abord, il convient de faire la distinction entre l’amortissement global ζ et l’amortisse-ment modal ζi d’un conducteur. Dans le cadre de ce travail, on souhaite etudier un mode propreindependamment des autres. Le concept d’amortissement modal permet d’associer a chaque modepropre un amortissement correspondant. Cette demarche est valide uniquement lorsqu’on utilise unmodele d’amortissement visqueux et lorsqu’on y ajoute l’hypothese d’amortissement proportionnel.Par soucis de simplicite, il a ete precedemment admis que ces conditions etaient verifiees.

Ensuite, on distingue l’amortissement modal ζi de l’amortissement modal propre ζi,self (selfdamping) du conducteur. Cette difference vient du fait que la dissipation energetique ne se realisepas uniquement au sein du cable, mais aussi dans des elements externes (amortisseurs, pylones,etc.). L’amortissement modal propre decrit la capacite d’un mode propre du conducteur a dissiperson energie par frottements internes. En AVM, il est difficile d’extraire l’amortissement modal proprecar la dynamique du systeme est complexe. A priori, on ne sait pas quels modes vont etre affectespar un amortissement externe (sauf dans le cas d’un amortisseur). Les grandeurs determinees ferontdonc toujours reference a ζi.

Le probleme se complique lorsqu’il s’agit d’evaluer la sante du cable. En effet, les formulesd’evaluation - presentees dans une section ulterieure - dependent de ζi,self et non de ζi. On s’attenddonc a avoir des points de discontinuite entre les valeurs mesurees et le modele theorique adapte.Comme le lecteur l’aura suppose, ces points de discontinuite correspondent a des modes ou ζi,self estune faible portion de ζi, c’est-a-dire ou l’amortissement externe supplante l’amortissement propredu conducteur. En theorie, ces valeurs devraient pouvoir etre detectables et retirees de la liste deresultats pour permettre une adaptation optimale du modele.

13

Par abus de langage, le terme amortissement a ete lie a la variable ζ dans les paragraphesprecedents. Pour etre correct semantiquement, ζ doit faire reference a l’amortissement reduit.L’amortissement reduit modal se definit comme [5] :

ζi = cici,cr

= 14π

EdissEk,max

(25)

ou- ci = Coefficient d’amortissement du mode i (modele visqueux) [kg/s].- ci,cr = Coefficient d’amortissement critique du mode i [kg/s].- Ediss = Energie totale dissipee par le mode i [J ].- Ek,max = Energie cinetique maximale du mode i [J ].

De meme, l’amortissement modal reduit propre se formule selon :

ζself,i = cself,iccr

= 14π

Eself,dissEk,max

(26)

ou- cself,i = Coefficient d’amortissement du mode i relatif aux frottements internes [kg/s].- Eself,diss = Energie dissipee par le mode i au sein du conducteur [J ].

D’autres formulations de l’amortissement existent. Pour les systemes faiblement dissipatifs (ζi <<1), le decrement logarithmique modal se definit selon :

δi = 2πζi (27)

Dans le domaine des vibrations induites par vorticite, le nombre de Scruton exprime la relationentre le decrement logarithmique et les forces aerodynamiques appliquees sur le conducteur [5] :

Sc = δimL

D2ρ(28)

ou- mL = Masse par unite de longueur du cable [kg/m].- D = Diametre du cable [m].- ρ = Densite du fluide [kg/m3].

Nous terminons cette section par les ordres de grandeur typiquement attendus dans le cadre desvibrations eoliennes :

ζi = 10−3

δi = 6.3.10−3

Sc = 10.0385(29)

ou- mL = 0.737 (cable AZALEE 261) [kg/m].- D = 0.0196 (cable AZALEE 261) [m].- ρ = 1.204 (densite volumique de l’air a 20◦C [kg/m3]).

14

1.6 Les conducteurs des lignes a haute tensionCette section a pour objectif de decrire les caracteristiques et les comportements des conducteurs

utilises dans la conception des lignes a haute tension. Le choix de ces conducteurs est une etapeimportante du design car leur cout represente jusqu’a 40% des couts fixes d’une ligne [5].

1.6.1 Contraintes mecaniques et electriques

A l’heure actuelle, les materiaux les plus couramment utilises dans la conception des conducteurssont l’aluminium et ses alliages. En general, le conducteur est construit en superposant des couchesde fil, que l’on appelle des brins. Les brins sont enroules de maniere a satisfaire les contraintesmecaniques auxquelles le conducteur sera soumis. Differentes topologies existent (voir Figure 15),chacune ayant leurs caracteristiques. Par exemple, la topologie Z-shaped est plus compacte qu’unetopologie basique (brins ronds). Dans le cadre de ce travail, ce sont ces deux topologies qui serontabordees.

Figure 15: Coupe transversale de differents conducteurs (Source : [5]).

Les contraintes electriques sont fonction de la densite de courant maximale et de la resistanceelectrique souhaitee. Il en decoule des pertes de puissance par effet Joule. On joue ainsi sur lediametre du conducteur pour obtenir la valeur souhaitee.

1.6.2 Influence de la rigidite flexionnelle

Le comportement dynamique d’un conducteur differe du cas theorique de la corde vibrante. Eneffet, la rigidite flexionnelle EY I du conducteur (ou EY est le module de Young et I le moment

15

d’inertie) n’est pas negligeable. Il s’en suit que les frequences propres du conducteur cessent d’etrelineairement espacees a frequences HF. En LF, la courbure des modes propres est faible et la rigiditeflexionnelle a un effet mineur [8]. Ce comportement est illustre a la Figure 16 pour le conducteurqui sera principalement etudie dans ce travail (AZALEE 261).

Figure 16: Influence de la rigidite flexionnelle sur le conducteur etudie (AZALEE 261) (Source : [9]).

1.6.3 Influence des conditions aux limites

Un element supplementaire ecarte la dynamique d’un conducteur reel du modele de la cordevibrante : les conditions aux limites. A proximite des encastrements, le conducteur n’a pas lameme liberte de se mouvoir que sur le reste de la portee. Il s’en suit qu’une distinction doit etrefaite entre la longueur effective de la portee (ou le conducteur peut vibrer librement) et sa longueurreelle.

1.6.4 Ordres de grandeur

Pour cloturer cette section, nous presentons une serie d’ordres de grandeur relatifs aux conduc-teurs des lignes a haute tension :

– L’amortissement modal reduit ζ est de l’ordre de 10−3 ;– Le diametre D des conducteurs est de quelques dizaines de mm ;– La charge maximale admissible est de l’ordre de la centaine de kN .

1.7 Surveillance vibratoire en condition ambiante1.7.1 Generalites

Cette section a pour but de presenter les bases de la surveillance vibratoire en condition ambiante(ambient vibration monitoring - AVM). En toute generalite, il existe differentes facons de caracteriserles proprietes mecaniques d’une structure [8] :

– Via des tests en laboratoire ;– Via un modele numerique simule ;– Via des tests en condition ambiante.

Ces differentes methodes ont leurs avantages et leurs inconvenients, si bien que chacune estutilisee a un moment particulier.

16

Les tests en laboratoire ont l’avantage d’etre facile a analyser. On connait la frequence propreexcitee car on l’a choisie a l’aide de l’excitateur, le shaker. Le niveau de bruit des signaux estminimise et les parametres modaux sont facilement accessibles. Neanmoins, plusieurs desavantagessont inherents a la methode. Premierement, les tests sont realises dans des conditions qui ne sontpas reelles. Lorsque la structure sera implementee sur site, une multitude d’elements externespeuvent changer sa dynamique, comme les appuis a ses extremites, les conditions particulieresd’excitation (conditions meteo, source vibratoire perturbatrice), etc. De plus, ces tests prennent dutemps et sont couteux, si bien qu’ils ne peuvent etre realises qu’un nombre de fois limite. Les testsen laboratoire sont des lors utiles pour determiner au prealable des caracteristiques mecaniques dereference. Ils ne sont pas adaptes pour une surveillance en continu de la structure.

Les logiciels de simulation numerique sont une alternative souvent utilisee pour deduire le com-portement dynamique d’une structure. Ils offrent une grande flexibilite au niveau modelisation etpermettent de simuler des conditions proches de la realite. Cependant, les limitations du modelefont que certains comportements physiques sont negliges.

L’AVM offre de nombreux avantages. Premierement, on a acces a la dynamique de la structure dansses conditions reelles d’utilisation. Deuxiemement, ces tests peuvent etre realises en continu, ce quipermet de connaıtre a tout instant l’evolution des parametres modaux. Finalement, le cout associea la realisation des tests est faible, etant donne que c’est l’environnement qui excite la structure.Neanmoins, de nombreuses contraintes viennent perturber les objectifs precites. Contrairement auxtests en laboratoire, on ne connaıt pas a priori les modes excites. Les conditions ambiantes peuventevoluer rapidement, changeant le profil vibratoire de la structure. Les sources de bruit sont doncnombreuses et entravent la determination des parametres modaux. Finalement, l’AVM requiert uneconnaissance precise des phenomenes physiques pour pouvoir detecter, parmi les signaux mesures,les evenements exploitables.

Dans les paragraphes qui vont suivre, nous allons parcourir les differentes etapes d’un AVM. Lareference utilisee concerne l’AVM des ponts [8]. Les grands principes restent neanmoins les memesquel que soit le type de structure etudie. Nous allons uniquement nous concentrer sur les parties quinous concernent, c’est-a-dire la maniere d’effectuer les mesures et l’identification des parametresmodaux.

1.7.2 Methodes de mesure

Plusieurs points sont a prendre en consideration lorsqu’il s’agit de mesurer la vibration d’unestructure.

L’accelerometre doit tout d’abord avoir une grande sensibilite. Cela permet d’etudier des modesde vibration hauts en frequence, la ou les signaux sont plus faibles en amplitude.

La position de l’accelerometre sur la structure doit etre etudiee. Si le capteur se situe sur unnœud de vibration, aucun signal ne sera mesure. Il est donc important d’avoir une estimation dela forme des modes propres etudies. On peut egalement installer plusieurs capteurs.

Le systeme de mesure doit etre assez robuste pour resister aux conditions exterieures. Lesparametres a prendre en compte sont entre autres la temperature, l’humidite et les contraintesmecaniques.

La masse du capteur est un element critique. En effet, elle doit etre minimisee pour perturber lemoins possible la dynamique de la structure. Dans le cas du module Ampacimon, c’est comme si laportee du cable etait divisee en deux sous-portees dont les extremites correspondent a la position

17

du capteur [7]. Les vibrations des deux sous-portees sont liees mais la dynamique initiale du cableest modifiee. Dans ce travail, la masse du capteur sera negligee en premiere approximation.

La maniere dont le capteur est fixe sur la structure est egalement un sujet sensible. Pour lavibration des lignes aeriennes, il faut veiller a ce que le capteur modifie le moins possible la rigiditeflexionnelle du cable. C’est principalement ou le mouvement naturel du cable est entrave que lesdommages surviennent. Intuitivement, la courbure est plus elevee a ces endroits, maximisant lefrottement entre les brins du cable.

Finalement, les mesures obtenues doivent etre comparees avec une autre source de mesure fiableafin d’effectuer une eventuelle calibration de l’accelerometre.

1.7.3 Identification des parametres modaux

L’objectif de ce travail est d’evaluer l’evolution de la sante des lignes aeriennes au cours dutemps. Par sante, on sous-entend toute caracteristique intrinseque au cable qui serait susceptiblede s’ecarter de sa valeur reference. Cette deviation doit etre detectee le plus tot possible afin deprendre les mesures de mitigation adequates. Dans le cas contraire, la deterioration du cable estsusceptible de s’accelerer et de provoquer des degats plus importants.

L’identification des parametres modaux permet d’evaluer les caracteristiques physiques de lastructure sur base de signaux vibratoires. Parmi ces parametres, on retrouve notamment :

– Les frequences propres et modes propres associes. En cas de dommage sur la globalitede la structure, la frequence fondamentale change par rapport a sa valeur reference [8]. Laforme des modes propres evolue egalement. Dans le contexte des lignes aeriennes, on doitgeneralement traiter des degats locaux, c’est-a-dire situes a des points de fixation. Ce sontalors les frequences et modes propres HF qui se trouvent principalement alteres ;

– L’amortissement naturel. En supposant l’absence d’amortisseurs externes, l’amortisse-ment naturel est la propension d’une structure a dissiper l’energie qui lui est fournie. Lafatigue des conducteurs modifie la structure interne du cable, ce qui influence en consequencel’amortissement.

Dans ce travail, nous choisissons de surveiller l’evolution de l’amortissement au cours du temps.

1.8 Les vibrations eoliennesLes lignes aeriennes sont soumises a des mouvements vibratoires cycliques. Ces vibrations pro-

viennent de l’interaction du vent avec les conducteurs. Les lignes aeriennes subissent les forcesappliquees par le vent et absorbent une certaine quantite d’energie. Cette energie se traduit parun mouvement, jusqu’a ce que les cables aient tout dissipe.

Il existe trois categories de vibrations induites par le vent. Dans le cadre de ce travail, nousn’etudierons qu’une seule d’entre elles : les vibrations eoliennes. Les paragraphes suivants sontbases sur les references [5], [7] et [10].

1.8.1 Notion de mecanique des fluides

Lorsqu’un objet est place perpendiculairement dans l’ecoulement d’un fluide, il est possible quedes tourbillons apparaissent dans son sillage. Ces tourbillons sont appeles tourbillons de Von Kar-man.

18

Le nombre de Reynolds est une valeur adimensionnelle qui permet de predire le profil d’ecoulementautour de l’objet considere, soit un cylindre dans le cadre de ce travail. Nous avons :

Re = um.DH

ν(30)

ou- Re = Nombre de Reynolds [1].- um = Vitesse moyenne d’ecoulement du fluide [m/s].- DH = Diametre hydraulique [m].- ν = Viscosite cinematique [m2/s].

Les tourbillons apparaissent dans le sillage du cylindre pour une gamme de Re connue, typique-ment entre 350 et 35000 [5]. Dans le cas des lignes aeriennes, cette gamme fixe une plage de vitessede vent perpendiculaire, typiquement entre 0.3 et 7 m/s.

Ces tourbillons successifs creent un profil de pression et de depression dans le sillage du cylindre.Une succession de forces sont des lors appliquees sur les parois du corps. Si le cylindre est libre de semouvoir, celui-ci aura tendance a se deplacer vers la zone de pression la plus faible. Un mouvementcyclique est alors susceptible de s’initier.

Il est a noter que ce mouvement modifie la dynamique de l’ecoulement. Pour un cylindre al’arret, la frequence d’apparition des tourbillons dans son sillage est donnee par :

fS = Str.uperpD

(31)

ou- fS = Frequence de Strouhal [Hz].- Str = Nombre de Strouhal [1].- uperp = Vitesse du vent perpendiculaire au cylindre [m/s].- D = Diametre du cylindre [m].

Le nombre de Strouhal est fonction de Re mais aussi de la forme et de la rugosite relative ducable. Dans la gamme de Re decrite precedemment, Str peut etre fixe pour un cable donne. Unevaleur typique est de 0.18.

1.8.2 Principe physique des vibrations eoliennes

La vibration eolienne peut etre vue comme la mise en relation de deux dynamiques distinctes.La premiere concerne la frequence d’apparition des tourbillons dans le sillage du cable, que nousnoterons fkarman. Pour un cable en mouvement, fkarman est proche mais different de fS . fS donnedonc une bonne approximation de fkarman et offre l’avantage d’etre facilement calcule.

La seconde dynamique concerne le cable en lui-meme. Le cable est capable de vibrer dans unecomposition de ses modes propres, auxquels on associe des frequences propres. Ces frequencespropres definissent le nombre de fois que le cable oscille autour de sa position d’equilibre. Dans leraisonnement qui va suivre, nous prenons un cas irreel ou une seule frequence propre existerait,soit feig. En resume, nous avons a disposition trois frequences : fS ,fkarman et feig.

19

Tout debute lorsque fkarman approche feig, soit lorsque la vitesse du vent perpendiculaire aucable approche la vitesse d’initiation ueig = feig.D/Str. Le cable commence a vibrer car il est ex-cite dans son unique mode. Tant que l’amplitude de vibration reste faible, fkarman oscille entre lesdeux frequences proches fS et feig. La transmission d’energie du vent vers le cable reste modereecar fkarman n’est pas toujours en phase avec feig. Lorsque l’amplitude devient suffisamment im-portante, le systeme atteint un point de bifurcation : fkarman devient egal a feig. A cet instant, latransmission d’energie est maximale et l’amplitude de vibration augmente fortement. Cette phasede la vibration eolienne s’appelle la phase de croissance.

La seconde phase est la phase de stabilisation. L’amplitude a atteint sa valeur maximale et resteidealement constante au cours du temps. En pratique, l’amplitude peut subir des variations dans sonordre de grandeur. En effet, meme pour un vent a vitesse moyenne constante, la coherence spatialesur la portee du cable evolue et change la puissance fournie au cable. On assiste egalement a unphenomene de lock-in. fkarman reste accroche a feig meme si la vitesse du vent s’ecarte legerementde ueig, typiquement entre 90 et 130%. Des lors, si le phenomene de vibrations eoliennes a ete initieet que le profil de vent n’evolue presque pas, la phase de stabilisation peut perdurer et typiquements’etaler sur quelques heures.

La derniere phase est la phase de decrochage. Lorsque la vitesse du vent a fortement changepar rapport a la vitesse d’initiation, fS est fort different de feig. Des lors, fkarman se decrochesubitement de feig pour revenir a des valeurs proches de fS . Le systeme subit un nouveau pointde bifurcation. En pratique, ce decrochage se fait en deux etapes. La premiere est celle ou lestourbillons passent de la frequence feig a celle proche de fS . Cette etape peut etre appelee l’etapede decrochage du lock-in. Une certaine quantite d’energie est toujours transmise au cable, bienqu’elle soit plus faible que dans la phase de stabilisation. L’amplitude de vibration connaıt doncune decroissance. La deuxieme etape est l’etape de decrochage en amortissement naturel. fkarmanest totalement different de feig et aucune energie n’est fournie au mode propre. L’amplitude devibration decroıt suivant la capacite du cable a dissiper son energie. Finalement, le mode s’estrelache et l’amplitude de vibration est faible.

1.8.3 Danger lie aux vibrations eoliennes

La principale source de degradation des lignes aeriennes provient de la fatigue des conducteurs.Cette fatigue trouve son origine dans les vibrations du cable, et notamment celles induites par lesvibrations eoliennes. En effet, comme cela a ete decrit, le conducteur est susceptible de vibrer selonune amplitude non negligeable et sur un nombre de cycles important.

La fatigue se manifeste par la presence d’une poudre noire deposee entre les brins d’un cable. Elleest la consequence d’un mouvement relatif entre les differents brins, la ou de la matiere est arracheepar frottement. Les zones du cable les plus vulnerables a ce phenomene sont celles ou le mouvementtransverse est entrave, c’est-a-dire pres des elements de fixation. On concoit intuitivement que cesont les vibrations frequentes et de grande amplitude qui sont les plus dangereuses.

Tous les conducteurs n’ont pas le meme comportement face a la fatigue. Leurs structures in-ternes font que, toute vibration etant egale, les cables peuvent avoir des durees de vie totalementdifferentes. Tout depend de la maniere dont les brins vont frotter.

1.8.4 Pourquoi etudier les vibrations eoliennes ?

Un des points fondamentaux de ce travail est l’interet que l’on porte a l’etude des vibrationseoliennes. On rappelle que l’objectif est de faire le diagnostic des lignes aeriennes au cours dutemps. Nous devons des lors extraire des parametres modaux du cable pour en deduire l’evolutionde sa structure interne.

20

On pourrait se passer des vibrations eoliennes et analyser, a intervalle de temps regulier, lespectre des signaux mesures par les accelerometres. On en deduirait une serie de raies spectrales quiseraient l’image des differents modes de vibration mis en jeu. Ensuite, on comparerait ces frequencesentre chaque nouveau set de mesures et on essaierait d’evaluer toute eventuelle deviation. Cettemethode offre l’avantage de surveiller les lignes en continu : on peut par exemple evaluer le spectredu signal toutes les dix secondes. Cependant, les resultats obtenus ne seraient pas assez precis.La connaissance unique des frequences propres ne permet pas d’obtenir la qualite de surveillancesouhaitee.

L’etude des vibrations eoliennes donne acces a un parametre physique supplementaire : l’amor-tissement. Pour peu qu’il provienne uniquement de la structure interne du cable et non de sourcesexterieures (amortisseurs, jeu dans les entretoises, etc.), l’amortissement de chaque mode permetd’evaluer precisement l’etat de fatigue du conducteur. Cette methode est applicable car la physiquedu phenomene des vibrations eoliennes est relativement bien maıtrisee. Par consequent, il est pos-sible d’extraire les sequences d’interet parmi les signaux mesures . Finalement, les phenomenes devibrations eoliennes apparaissent assez frequemment pour permettre un diagnostic quasi continu.

1.8.5 Caracteristiques supplementaires des vibrations eoliennes

Nous dressons dans cette sous-section une liste de caracteristiques qui n’ont pas encore ete men-tionnees, notamment par rapport aux ordres de grandeur attendus :

– Les frequences de vibration d’un cable soumis a des vibrations eoliennes sont comprises entre3 et 150 Hz ;

– L’amplitude de vibration pic a pic (reduite au diametre du conducteur) est communementcomprise entre 0.01 et 1 ;

– Les vibrations eoliennes prennent naissance pour des vitesses de vent faibles a moderees. Leprofil de vent est quant a lui regulier ;

– Les vibrations eoliennes apparaissent generalement tot le matin ou tard le soir ;– Le spectre d’un evenement de vibrations eoliennes est caracterise par un nombre limite de

pics localises en frequence. On distingue generalement un pic principal, accompagne de sesquelques acolytes.

1.8.6 Balance energetique

A present, nous presentons une modelisation energetique de la dynamique des vibrations eoliennes.En toute generalite, la situation est illustree a la Figure 17.

Wind Input Power

Dissipated power

Internal energy

System

Figure 17: Balance energetique du systeme.

La puissance fournie au systeme provient du vent. Les pressions appliquees sur la paroi du conduc-teur transmettent une certaine puissance. L’energie interne du systeme est l’energie apportee par

21

le vent qui a pu etre emmagasinee. Elle se traduit par une amplitude de vibration donnee. Finale-ment, le cable dissipe de la puissance selon differents mecanismes [5] :

– Via de la friction interne au niveau moleculaire ;– Via de la friction entre les brins du conducteur ;– Via un transfert de puissance vers les amortisseurs, les pinces, les pylones, etc ;– Via un transfert de puissance vers un autre conducteur adjacent ;– Via un retour de puissance vers le vent.

Le mode de dissipation qui nous interesse est la friction entre les brins du conducteur. C’estprincipalement de la que provient l’amortissement naturel du cable. Dans la section suivante, nousallons decrire plus en detail le mecanisme de frottement entre brins et la maniere de determinerl’amortissement naturel, en laboratoire et sur site. Finalement, nous presenterons les formulespermettant d’evaluer la sante du cable.

1.9 L’amortissement naturel des lignes aeriennes1.9.1 Origine physique

La presence d’amortissement naturel dans un cable temoigne de sa capacite a dissiper de l’energie.La mise en flexion d’un conducteur genere des contraintes en son sein. Lorsque qu’une vibrationest initiee, les brins du cable frottent alors les uns contre les autres. Ce mecanisme est la principalesource de self damping du conducteur.

Les frottements sont maximises aux endroits ou le mouvement du conducteur est entrave, c’est-a-dire au niveau des fixations. En effet, la courbure est a ces endroits maximisee et les contraintesdynamiques sont les plus importantes. Les frottements se traduisent par des micro-glissementsentre brins, voire meme de vrais glissements. Le mouvement cyclique d’un cable vibrant induit uneinversion du sens de ces micro-glissements et provoque, a long terme, des fissures par arrachementde matiere [7].

1.9.2 Grandeurs d’interet et d’influence

L’interet que l’on porte a l’amortissement naturel vient du fait que cette grandeur est une imagede la sante du cable.

Au cours du temps, tout systeme physique tend a se deteriorer. Il s’en suit que sa structureinterne s’ecarte des conditions d’idealite initiales, soit lorsque le systeme etait a l’etat neuf. Auplus la degradation est importante, au plus l’energie est utilisee de facon contre-productive. Leslignes aeriennes ne derogent pas a cette regle. Lorsque les conducteurs vieillissent, une plus grandepartie de l’energie fournie par le vent est dissipee dans les defauts. Les non-idealites sont parexemple les jeux dans les entretoises, l’augmentation des frottements suite a la rupture d’un brin,etc. L’amortissement tend donc a augmenter au fil des annees.

L’amortissement naturel d’un mode de vibration evolue selon la frequence propre consideree. Auplus la frequence propre excitee est elevee, au plus le cable dissipe de l’energie. Intuitivement, unmode propre HF a plus de ventres et de nœuds qu’un mode propre LF. Globalement, la courburedu cable est plus importante et les contacts entre brins sont maximises lors de la vibration. Deplus, une frequence propre HF induit un plus grand nombre de cycles de vibration qu’une LF surune meme periode de temps. Il s’en suit que l’inversion des micros-glissements est plus frequente,menant a une dissipation de puissance plus grande.

22

L’amplitude de vibration influence egalement les amortissements naturels des differents modespropres. Au plus l’amplitude est elevee, au plus le cable dissipe de l’energie. Une nouvelle fois, onconcoit intuitivement que les frottements sont maximises dans ce cas de figure.

La situation se complique lorsque la tension mecanique du conducteur rentre egalement en jeu.Plus la tension appliquee est elevee, moins le conducteur dissipe de l’energie. Cette tendance semarque nettement pour les frequences propres HF, comme le montre la Figure 18.

Figure 18: Dissipation energetique pour des tensions croissantes (Source : [5]).

Le probleme lie a la tension vient de sa variabilite au cours du temps. En effet, la tension evolueen fonction de la temperature. La temperature ambiante, les dissipations par effet Joule et lesconditions meteo sont des sources de cette variabilite. Par exemple, il se peut que la ligne aeriennesoit en plein soleil sur une periode de temps bien precise. La tension a donc change dans cetintervalle temporel.

1.9.3 Mesures de l’amortissement naturel en laboratoire

Les paragraphes qui suivent vont decrire les differentes methodes utilisees en laboratoire pourdeterminer l’amortissement naturel d’un conducteur. Ces essais sont generalement realises sur desportees variant de 30 a 90 metres [5]. Le conducteur est fixe a ces deux extremites et tendu a lavaleur de tension souhaitee. Les tests doivent etre realises pour differentes tensions, conformementa ce qui a ete dit precedemment. Un shaker excite le cable dans un de ces modes propres. Laconfiguration decrite est schematisee a la Figure 19.

Methode PM

La methode PM (Power Method) se base sur le principe suivant : lorsque le conducteur atteintune amplitude de vibration stationnaire, l’energie dissipee par le cable est egale a l’energie fourniepar le shaker [7]. Cette energie est calculee sur base de la formule suivante :

Efournie = Ediss = πFµF sin(Φ) (32)

23

Figure 19: Configuration de l’essai en laboratoire (Source : [5]).

ou- F = Force entre le conducteur et le shaker [N ].- µF = Deplacement du point ou la force est appliquee [m].- Φ = Phase entre la force F et le deplacement µF [rad].

La puissance dissipee par unite de longueur est donnee par la formule :

Pdiss = EdissfeigL

(33)

ou- feig = Frequence propre excitee [Hz].- L = Longueur de la portee [m].

L’amortissement naturel peut ensuite etre exprime selon un parametre adimensionnel, l’amor-tissement reduit ζ. La formule liant ζ et Ediss s’exprime sous la forme :

ζ = 14π

EdissEk,max

(34)

ou- Ek,max = Energie cinetique maximale du cable [J ].

L’energie cinetique maximale du cable peut etre determinee de la facon suivante. L’amplitudede vibration transversale y(x, t) du mode propre excite, relatif a la keme harmonique, peut etredecrite en premiere approximation par la relation suivante :

y(x, t) = Aksin(kπxL

)cos(ωkt) (35)

ou- Ak = Amplitude zero to peak d’un ventre de vibration a la keme harmonique [m].- ωk = Pulsation propre du mode excite [rad/s].

24

En introduisant la masse par unite de longueur mL du cable, Ek,max est donne par :

Ek,max = 12mL

∫ L

0y2maxdx (36)

= 12mLω

2kA

2k

∫ L

0sin2(kπx

L)dx

= 14mlω

2kA

2kL

La methode decrite est attractive car Ediss est egal a Efournie en regime stationnaire. Lesresultats seraient valides si toutes les boucles de vibration etaient similaires le long de la portee.En pratique, les extremites de la portee et les points aux extremites du shaker sont des zones oula dissipation d’energie est plus importante. En effet, la dissipation energetique est proportionnelle(en premiere approximation) au carre de la courbure [5]. Or, nous avons deja mentionne que ce sontles endroits ou le mouvement du conducteur est entrave que la courbure est maximisee. Pour que lamethode PM fonctionne, il faut donc distinguer la partie de Efournie dissipee sur la portee libre (oules boucles de vibration sont similaires) de celle dissipee aux encastrements. Il faudrait egalementremplacer, dans l’expression de Ek,max, la longueur de la portee par une estimation de la longueurde la portee libre. Ce faisant, l’amortissement reduit ζ sera correctement lie a l’amortissementnaturel du conducteur.

Methode de decroissance

La methode de decroissance (Decay Method) commence par l’excitation d’un mode de vibrationparticulier, soit a la frequence propre feig. L’excitation est ensuite arretee et la decroissance de lavibration est etudiee [7].

Soit Ai l’amplitude maximale de vibration au cycle i. Le decrement logarithmique δ est donnepar :

δ = ln( AiAi+1

) (37)

Pour un amortissement reduit ζ nettement inferieur a l’unite :

ζ = δ

2π (38)

Dans le cas des lignes aeriennes, l’hypothese sur ζ est verifiee au vu des ordres de grandeurattendus, typiquement aux alentours de 10−3.

Dans la methode de decroissance, il faut veiller a arreter correctement l’excitation du shakerpour ne pas perturber le relachement du mode. De plus, le ζ determine inclut les effets dissipatifsdes encastrements, ce qui est un desavantage.

Methode ISWR

La methode ISWR (Inverse Standing Wave Ratio) se base sur le principe suivant : si aucunedissipation energetique n’etait presente dans le cable, les nœuds de vibration resteraient immobiles[7]. Dans ce cas de figure, les ondes de vibration incidentes et reflechies seraient egales. Des lors,l’amplitude de vibration existante aux differents nœuds est une image de l’amortissement natureldu cable.

25

En supposant que le cable vibre dans son keme mode propre, l’ISWR se definit comme :

Sk,i = ak,iAk

(39)

ou- Sk,i = ISWR [1].- ak,i = Amplitude de vibration au nœud i dans le keme mode [m].- Ak = Amplitude de vibration sur un ventre, dans le keme mode [m].

Une analogie electromecanique permet de quantifier la quantite de puissance qui est transfereesur une portion de cable :

Pk,i = V 2k

2 Sk,i√TmL (40)

ou- Vk = ωkAk.- T = Tension appliquee au conducteur [N ].

Des lors, la puissance dissipee entre les nœuds de vibration i et j consideres est donnee par :

Pk = Pk,i − Pk,j (41)

La puissance dissipee par unite de longueur du conducteur vaut :

Pk,diss = Pk,i − Pk,jnvλk/2

(42)

ou- nv = Nombre de nœuds entre les nœuds i et j [1].- λk = Longueur d’onde de la vibration [m].

En combinant les resultats precedents avec l’energie cinetique maximale dissipee entre deuxnœuds, l’amortissement reduit ζ s’exprime sous la forme :

ζk = Sk,i − Sk,jnvπ

(43)

L’avantage de cette methode est qu’elle permet de quantifier la dissipation energetique sur uneportion de cable souhaitee. On peut donc s’affranchir des effets dissipatifs aux extremites du cableet sur d’autres equipements. On a acces a l’amortissement propre du conducteur.

1.9.4 Mesures de l’amortissement naturel sur site

En AVM, la finalite est de diagnostiquer le conducteur. La valeur d’amortissement mesuree nousimporte peu en tant que telle. Ce qu’on desire, c’est pouvoir en deduire des parametres qui refletentla sante du cable. Ces parametres seront presentes dans la prochaine section, relative a l’evaluationdes resultats. Pour l’instant, on cherche a determiner les grandeurs physiques qui vont nous per-mettre de realiser l’evaluation.

26

Trois grandeurs principales sont necessaires pour evaluer la sante du cable sur base d’un evenementde vibrations eoliennes :

– La frequence du mode propre excite feig [Hz] ;– L’amplitude de vibration maximale peak to peak du mode Ymax [m] ;– La puissance par unite de longueur dissipee par le mode Pc [mW/m].

feig est simple a determiner puisqu’il est relatif au pic maximal du spectre. Concentrons-nous pour l’instant sur Pc, en supposant que Ymax est connu. Un principe fondamental dansla determination de Pc est le principe de la balance energetique (EBP). Lorsque l’evenement devibrations eoliennes atteint sa phase de stabilisation, l’amplitude de vibration est theoriquementconstante et maximale. Cela signifie que l’energie interne du systeme reste constante au cours dutemps et que la puissance dissipee est egale a la puissance injectee par le vent [5]. Pc peut doncetre evalue en quantifiant la puissance que le vent fourni au conducteur (Pwind).

Pwind est le plus souvent estime sur base d’essais realises en soufflerie. Un cylindre rigide ouflexible en mouvement simule le comportement d’un conducteur vibrant [7]. Pour differentes vi-tesses, on peut calculer l’energie transferee du vent vers le systeme mecanique. Le modele utilisedans ce travail se base sur les travaux de Charles Rawlins [12] [11]. Pour des boucles de vibrationsinusoıdales :

Pwindf3eigD

4 = ρπ2

4 (Ymax/D)2δr (44)

ou- δr =

∑8i=0 bi(

YmaxD

)i .

Les coefficients bi sont adaptes en fonction de la turbulence. Leurs valeurs sont visibles a laFigure 20.

Figure 20: Coefficients bi en fonction de la turbulence (Source : [12]).

Finalement, il nous reste a evaluer Ymax pour avoir les grandeurs necessaires a disposition.Etant donne que Pc est fonction de Ymax, toute l’information relative a l’amortissement modal estcontenue dans Ymax. Il faut donc prendre beaucoup de precautions avec ce parametre. L’objectif dece memoire est de diagnostiquer les lignes aeriennes en developpant une methode alternative pourdeterminer Ymax. Dans ce travail, on privilegie une methode indirecte par rapport a une methodedirecte.

27

Methode directe

La methode directe a pour but de trouver Ymax en analysant directement l’amplitude vibratoired’un mode soumis a des vibrations eoliennes. La difficulte de cette methode vient du fait qu’enpratique, l’amplitude de vibration n’est pas constante en regime etabli. Une faible erreur sur Ymaxpeut vite arriver et deteriorer l’integrite de l’information relative a l’amortissement. De plus, les vi-brations eoliennes ne se deroulent pas toujours a puissance injectee maximale. Il faut donc effectuerun certain nombre de mesures relatif au meme mode et choisir le plus grand Ymax mesure.

L’avantage de cette methode provient de sa relative simplicite. En effet, l’amplitude de vibrationest l’image de l’energie du mode. Avec le spectre, on a acces a cette energie grace aux valeurs despics. On peut donc determiner Ymax par une analyse frequentielle du signal. On est ainsi affranchide tout filtrage passe-bande. On ajoutera qu’il est aussi plus facile d’etudier des modes propres HF.

Methode indirecte

La methode indirecte a pour but de trouver Ymax en le reliant au nombre de Scruton (Sc). Sc estquant lui directement proportionnel au decrement logarithmique δi du mode etudie. L’avantage decette approche est que Ymax decoule ainsi de δi, ce qui est une information plus robuste par rapporta la methode directe. Sous les hypotheses d’un amortissement modal visqueux et proportionnel,un amortissement modal reduit ζi se definit univoquement et independamment de l’amplitude devibration. Des lors, une mesure unique sur le mode donne acces au Ymax recherche, ce qui est unavantage supplementaire. Finalement, cette methode est independante de la position du capteur.En effet, le module Ampacimon ne se trouve pas forcement sur le maximum d’un ventre de vibration.Dans la methode directe, il faut donc convertir l’amplitude mesuree en utilisant un modele pourles modes de vibration. Cette operation induit des approximations supplementaires.

Le desavantage de la methode indirecte est sa complexite. En effet, il faut extraire la vibrationmodale par filtrage passe-bande. Cette operation est delicate et deteriore l’integrite du signal.Ensuite, il faut encore pouvoir approximer correctement l’amortissement reduit. Finalement, il estdifficile d’etudier des modes propres HF. L’amplitude de vibration est tellement faible que le signalest inexploitable.

Ce faisant, nous nous interessons a la maniere de trouver Ymax sur base de Sc. Tout d’abord,il faut determiner la valeur du decrement logarithmique modal δi. Cette etape est realisee enapproximant lineairement le logarithme du relachement du mode. Ensuite, nous comparons lesformules suivantes [5] [11] :

Pwind = f3eigD

4fnc(Ymax/D)Pwindf3eigD

4 = ρπ2

4 (Ymax/D)2δr

Sc = fnc(Ymax/D)ρ2π2(Ymax/D)2

(45)

Des lors, on obtient : fnc(Ymax/D) = ρπ

2

4 (Ymax/D)2δr

Sc =ρπ

2

4 (Ymax/D)2δr

ρ2π2(Ymax/D)2

(46)

28

Finalement :

Sc = δr8 = 1

8

8∑i=0

bi(YmaxD

)i (47)

Comme on peut le voir, une fois que Sc a ete determine et que le niveau de turbulence estconnu (adaptation des coefficients bi), on peut resoudre l’equation (47) selon l’amplitude reduiteYmax/D. L’amplitude Ymax est ensuite convertie en amplitude zero to peak ymax via la relationymax = Ymax/2.

1.9.5 Evaluation de la sante du cable

Une fois que des resultats ont pu etre extraits des evenements de vibrations eoliennes, il est pos-sible de determiner des coefficients qui sont l’image de la sante du cable. Toute evolution temporellede ces coefficients par rapport a leurs valeurs references est sensee mettre en garde le gestionnairedes lignes. Des mesures de mitigation peuvent etre prises avant que le conducteur rompe par fatigue.

Une loi de puissance est generalement utilisee pour quantifier la puissance dissipee par unite delongueur du conducteur :

Pdiss = k0ylmaxf

meig

Tn(48)

ou

- k0 = D[mm]√RTS[kN ] ∗mL[kg/m]

.

- RTS = Tension maximale admissible.- l,m, n = Exposants refletant la sante du cable.

Pour chaque evenement de vibrations eoliennes, ymax,feig et T sont connus, ainsi que Pdiss al’aide du principe EBP. Les coefficients sont choisis de maniere a ce que le modele soit le plus prochepossible des resultats mesures. En pratique, un ou deux des coefficients peuvent etre fixes (l et m)et le troisieme ajuste, ce qui donne a la formule un seul degre de liberte.

Un modele alternatif, plus proche de la realite, a ete propose par Suzanne Guerard et Jean-LouisLilien [7] [14]. Le lecteur est invite a consulter les references precitees pour la derivation du modele.Concretement :

Pdiss ≈1024

9 γ2(C?T )λ+1/2ξ2π5βy3maxm

3Lf

7eig

EY I

T 4 (49)

ou- γ, λ, ξ, C? = Parametres adimensionnels [1] .- EY I = Rigidite flexionnelle du conducteur [Nm2].- T = Tension mecanique [N ].- β = Parametre de sante du conducteur [J ].

Le β du conducteur est lie a la facon dont les brins frottent les uns sur les autres (aire de contactentre brins). Au fil des annees, le β devie de sa valeur initiale. Le diagnostic des lignes aeriennespeut donc se concentrer sur la surveillance de ce parametre.

29

2 Donnees vibratoires2.1 Analyse de donnees : grands principes

Le traitement du signal est une discipline presente dans tous les domaines. Les grandes etapesd’analyse restent souvent identiques et peuvent etre reparties selon les quatre categories suivantes :

Acquisition des donneesLa premiere etape consiste a mesurer la grandeur physique souhaitee. Un capteur convertit la

grandeur en un signal exploitable, par exemple en un signal electrique. Generalement, le traitementdu signal est numerique et des lors, une phase d’echantillonnage est necessaire. Ensuite, les donneespeuvent etre directement analysees ou envoyees vers un element de stockage externe.

Dans le cadre de ce travail, le module Ampacimon realise les mesures vibratoires a l’aide d’accelerometresde grande sensibilite. Le signal est echantillonne a une frequence fs fixe de 200 Hz. Ensuite, lesdonnees sont envoyees du module vers une station de base. La-bas, les donnees sont stockeesdans des fichiers de 32768 mesures, ce qui equivaut a 2min43sec de surveillance vibratoire pourla frequence d’echantillonnage fs fixee. Il est ensuite possible de traiter les fichiers a tour de role,offrant ainsi une surveillance en temps reel de la ligne aerienne.

Pre-traitement des donneesLes mesures disponibles dans les fichiers precites sont a l’etat brut car elles proviennent directe-

ment du capteur. Cependant, ces donnees necessitent a la fois un traitement de forme et de fondpour etre ensuite correctement analysees.

Le traitement de forme a pour but de traduire le langage des donnees dans le langage requispour leurs analyses. Concretement, les fichiers stockes dans la station de base sont d’extension txt.Pour des raisons de facilite sous Matlab, il est necessaire de convertir ces fichiers en extension mat.On peut donc se demander s’il n’aurait pas ete plus simple de stocker directement les mesures enextension mat, des leur arrivee a la station de base. Le probleme avec cette extension est que lesanalyses ne peuvent etre ensuite effectuees que sous Matlab. En pratique, on realise generalementdu traitement numerique de signal sur un DSP, a la fois pour satisfaire des criteres de cout etd’efficacite de calcul. L’extension txt offre une plus grande flexibilite sur le choix de la plateformede traitement.

Le traitement de fond a pour objectif d’eliminer une partie de l’information parasite. On peutentre autres citer la calibration du capteur, la composante continue du signal et les mesures erra-tiques. Ce traitement sera decrit dans le Chapitre 3.

Traitement des donneesCette etape est celle ou l’information souhaitee est extraite des donnees a disposition. Dans ce

travail, on souhaite extraire l’amortissement modal de chaque mode propre soumis a des vibrationseoliennes. La philosophie des routines developpees sous Matlab sera decrite au Chapitre 4.

Interpretation et evaluation des resultatsLa derniere etape consiste a comparer les resultats obtenus avec les ordres de grandeur attendus.

Cela permet de verifier que les algorithmes fonctionnent comme prevu. Ensuite, les resultats sontcompares aux modeles theoriques afin de mieux caracteriser le systeme etudie (Chapitre 5).

30

A terme, l’objectif est d’evaluer la maniere dont les brins du conducteur frottent. Cette ca-racteristique est decrite par le β du conducteur, suppose independant du mode propre considere.Il est obtenu sur base des resultats de l’etape precedente.

2.2 Description des donnees utiliseesDans ce travail, le diagnostic des lignes aeriennes se base sur des donnees issues d’une campagne

de mesures realisee en 2007, a Dead Water Fell (Royaume-Uni). Se deroulant sur une perioded’approximativement 550 heures, ces tests ont permis d’evaluer le comportement de quatre cablessoumis a des vibrations eoliennes. Nous presentons dans cette section les caracteristiques des cableschoisis, la topologie, les conditions de tests et la station meteo utilisee lors de cette campagne.

2.2.1 Cables etudies

Parmi les quatre cables etudies, deux d’entre eux sont des cables AAAC conventionnels a brinsronds (ASTER 228 et ASTER 570). Les deux autres sont des cables Z-shaped (AZALEE 261 et AZALEE666). Pour rappel, les structures internes de ces types de cables sont illustrees a la Figure 21. Lescarateristiques de chaque cable sont decrites a la Table 1.

Figure 21: Structure interne des conducteurs (brins ronds et Z-shaped) (Source : [10]).

Type Aster 228 Aster 570 Azalee 666 Azalee 261Aire [mm2] 227.83 570.22 666 261Diametre [mm] 19.6 31.05 31.5 19.6Charge de rupture [kN ] 74.05 185.3 211.6 84.9Masse par unite de longueur [kg/km] 648 1631 1900 737Module de Young [N/mm2] 57000 54000 56000 54000Brins rondsNombre de brins 37 61 1 + 6 + 12 1 + 6Diametre [mm] 2.8 3.45 3.5 2.8Brins Z-shapedNombre de brins 18 + 24 12 + 24Epaisseur [mm] 3.5 2.8

Table 1: Caracteristiques des cables etudies (Source : [9]).

2.2.2 Topologie

Les quatre cables sont fixes entre deux pylones ou la portee s’etend sur 190 metres. Aucun courantelectrique ne circule en leur sein. Aucun equipement externe n’est fixe aux cables, a l’exception du

31

module Ampacimon. On fait l’hypothese que le module ne modifie pas la dynamique des conducteurs.On neglige donc le poids de l’equipement (6kg). On notera finalement que le site de Dead WaterFell est un lieu propice pour la naissance des vibrations eoliennes.

2.2.3 Donnees meteo

Les donnees meteo proviennent d’une station Lacrosse WS2300. La frequence d’echantillonnagede l’appareil est fixe a 1/8 Hz. Les mesures meteo sont des grandeurs moyennes sur la perioded’echantillonnage (8 secondes). L’anemometre a les caracteristiques suivantes :

– Plage de vitesse de vent mesurable : 0− 50 m/s ;– Precision : 0.1 m/s.

Sur base de l’ensemble des mesures meteo de la campagne, il a ete decrete que le niveau deturbulence etait de l’ordre de 20% [7].

2.2.4 Tension des cables

Durant la campagne, la tension appliquee aux conducteurs a ete volontairement modifiee. Eneffet, la tension mecanique modifie la facon dont les brins frottent. La tension evolue aussi involon-tairement en fonction des conditions climatiques. Les valeurs relatives a chaque cable sont reprisesa la Table 2.

Plage [%RTS] Plage [N ]AZALEE 261Plage de tension 1 9.4− 12 7992− 10206Plage de tension 2 12− 15 10206− 12720Plage de tension 3 15− 17.3 12720− 14687ASTER 228Plage de tension 1 11.5− 13.2 8526− 9773Plage de tension 2 13.2− 16.4 9773− 12127Plage de tension 3 16.4− 18.1 12127− 13408AZALEE 666Plage de tension 1 12.7− 14.7 26852− 31116Plage de tension 2 14.7− 16.0 31116− 33949Plage de tension 3 16.0− 17.3 33949− 36680ASTER 570Plage de tension 1 12.6− 15.3 23250− 28351Plage de tension 2 15.3− 17.4 28351− 32215Plage de tension 3 17.4− 19.3 32215− 35805

Table 2: Plages de tensions pour les differents cables etudies (Source : [9]).

2.2.5 Apercu des donnees

Pour terminer cette description des donnees, nous presentons concretement l’allure des signauxqui vont etre etudies. Un signal vibratoire selon la direction transversale du cable AZALEE 261 estvisible a la Figure 22a. La vitesse de vent associee, perpendiculaire au cable, est visible a la Figure

32

22b. La tension est visible a la Figure 22c. Finalement, la temperature ambiante est visible a laFigure 22d. On peut deja remarquer le lien entre la temperature et la tension du cable.

Il est a noter que ces signaux ont deja subi un pre-traitement. Les paragraphes qui suivent ontpour but de decrire la phase de pre-traitement et les choix de design dans la representation desdonnees.

00:00:00 06:00:00 12:00:00 18:00:00 00:00:00−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:00:56/final time :09−Jun−2007 23:59:59

(a) Acceleration [m/s2].

00:00:00 06:00:00 12:00:00 18:00:00 00:00:000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

time [HH:MM:SS]

vite

sse

du v

ent (

com

posa

nte

perp

endi

cula

ire)

[m/s

]

initial time :09−Jun−2007 00:00:04/final time :09−Jun−2007 23:59:57

(b) Vitesse de vent perpendiculaire [m/s]

00:00:00 06:00:00 12:00:00 18:00:00 00:00:0012

12.5

13

13.5

14

14.5

time [HH:MM:SS]

tens

ion

[kN

]

initial time :09−Jun−2007 00:02:58/final time :09−Jun−2007 23:50:53

(c) Tension [kN ].

00:00:00 06:00:00 12:00:00 18:00:00 00:00:0010

15

20

25

time [HH:MM:SS]

Tem

péra

ture

am

bian

te [°

C]

initial time :09−Jun−2007 00:00:04/final time :09−Jun−2007 23:59:57

(d) Temperature ambiante [◦C]

Figure 22: Apercu des donnees a disposition, 9 Juin 2007, AZALEE 261.

3 Pre-traitement3.1 Calibration des accelerometres et unite

L’interfacage des mesures vibratoires (passage de l’extension txt en mat) se realise pour :

– Un jour donne dans la periode de la campagne ;– Un cable donne ;– Un axe donne.

Le signal obtenu est donc unidimensionnel, en unite [count]. Un calibrage a ete realise pourchaque module Ampacimon et pour chaque axe des accelerometres. Il faut des lors corriger enconsequence les signaux interfaces. La formule de correction est donnee par :

33

scal = sraw − offsetconversionfactor

(50)

ou- scal = Signal calibre [g] .- sraw = Signal brut [count].- offset = Offset induit par l’accelerometre [count].- conversionfactor = Facteur de conversion [count/g].

Etant donne que plusieurs calibrages ont ete faits pour les memes accelerometres, nous rappelonsa la Table 3 les coefficients utilises pour le cable AZALEE 261 (module a accelerometre bidimension-nel).

Axe X = X1 Y = Y1facteur de conversion 770 773offset −16 −98

Table 3: Calibration du module V1, AZALEE 261.

Finalement, les unites du signal sont converties du [g] au [m/s2] en multipliant par 9.81.

3.2 Retrait de la composante continue et filtre medianAvant d’analyser tout signal temporel de vibration, un retrait de la composante continue et un

filtre median sont appliques pour ameliorer l’integrite du signal. La composante continue du signalpeut etre enlevee car elle ne contient aucune information pertinente. Le filtre median permet derejeter les mesures erratiques, tout en preservant l’allure des signaux. Pour chaque echantillon dusignal etudie, le filtre median de support M trie de maniere croissante les echantillons i− M−1

2 ,i−M−1

2 + 1,i,...,i+ M−12 et selectionne ensuite l’element central [4]. Dans ce travail, le support utilise

est de longueur M = 3. Un exemple de filtrage median est visible a la Figure 23. Comme attendu,le signal de sortie (Figure 23b) est plus propre.

3.3 Representation des donneesPour faciliter le traitement des signaux, il est utile de choisir une representation adequate des

donnees. Dans ce travail, on extrait un signal vibratoire pour un cable, un axe et une journeespecifique. On associe a ce signal un vecteur temporel qui referencie chaque echantillon a sa datecorrespondante. Cela nous permet de toujours connaıtre le moment ou le signal vibratoire a etemesure. Un exemple de signal concatene est visible a la Figure 24. En memoire, les dates sontconverties univoquement en un nombre entier.

Les mesures de la station meteo sont contenues dans une structure de donnees (data meteo).Chaque grandeur d’interet, comme la temperature ou la vitesse du vent perpendiculaire au cable,occupe un champ de la structure. De nouveau, un vecteur temporel permet de referencer chaquemesure dans le temps. On notera que ce vecteur time meteo est different de celui relatif au signalvibratoire (time). En effet, les frequences d’echantillonnage du module Ampacimon (200 Hz) et dela station meteo (1/8 Hz) sont differentes.

34

200 250 300 350 400

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

index

ampl

itude

[m/s

2 ]

(a) Sans filtre median.

200 250 300 350 400

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

index

ampl

itude

[m/s

2 ]

(b) Avec filtre median.

Figure 23: Application du filtre median a un signal de vibration.

00:05:00−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :08−Jun−2007 00:02:01/final time :08−Jun−2007 00:07:01

Figure 24: Referencement du signal sur l’echelle de temps.

Les mesures de tension et leur vecteur temporel time tension sont egalement repris sur laperiode de temps consideree. Une nouvelle mesure de tension est disponible toutes les dix minutes.Finalement, pour un set de donnees considere, la Figure 25 nous montre sous Matlab les mesuresa disposition.

Figure 25: Representation des donnees sous Matlab.

4 TraitementAu cours de ce travail, un algorithme de detection des vibrations eoliennes et de determination

de l’amortissement modal a ete developpe. L’objectif de ce chapitre est de decrire la logique utilisee.

35

Dans ce rapport, une approche sequentielle a ete privilegiee au detriment d’une approche globale.Pas a pas, sur base des premiers resultats, nous allons montrer comment les routines ont ete affineespour converger vers le code final.

On notera que le cable etudie principalement dans ce travail est l’AZALEE 261. Par facilite delangage, on evitera de toujours le mentionner. Lorsqu’on parlera de la vitesse de vent, elle feratoujours reference a la composante perpendiculaire au cable. La frequence d’echantillonnage desaccelerometres est fixee a 200 Hz. Finalement, on etudie uniquement le signal vibratoire selon l’axetransversal (Y ).

4.1 Etude d’une premiere sequence vibratoirePour debuter l’etude des vibrations eoliennes sous Matlab, nous selectionnons manuellement une

sequence vibratoire dans les donnees a disposition. Pour ce faire, on observe le signal de vibrationsur une journee et on extrait une sequence ou des vibrations eoliennes semblent s’etre deroulees.La demarche est decrite a la Figure 26. Vers midi, on constate que le signal vibratoire (Figure 26a)connait une augmentation, une phase de stabilisation et puis une decroissance. Ce comportementnous fait penser a la theorie des vibrations eoliennes et c’est pour cette raison que le signal a eteselectionne. Cependant, la Figure 26b nous prouve le contraire : la vitesse de vent est en dehors dela plage admissible 0.3− 7 m/s. La vibration n’est donc pas une vibration eolienne.

(a) Signal d’acceleration. (b) Vitesse du vent.

Figure 26: Selection d’une premiere sequence vibratoire.

Bien que ce signal vibratoire ne soit pas du type recherche, son analyse permet de nous familiariseravec plusieurs concepts. Nous allons decrire les premieres routines developpees sur base du spectrede la sequence.

4.1.1 Prise en main du spectre

La sequence etudiee et son spectre associe sont visibles a la Figure 27. Tout d’abord, on remarqueque l’energie de vibration est essentiellement localisee aux alentours de 14 Hz (Figure 27b). Pourcette sequence, cette caracteristique est trompeuse car on retrouve toujours un spectre localise lorsd’un evenement de vibrations eoliennes.

La Figure 28 presente trois zooms frequentiels. La Figure 28a illustre bien la notion de modepropre. On voit que le conducteur vibre selon un ensemble discret de modes localises a desfrequences specifiques. On remarque egalement que l’espacement entre chaque raie est constantet egal a la valeur de la fondamentale (0.4 Hz dans ce cas-ci).

36

11:00:00 12:00:00 13:00:00

−6

−4

−2

0

2

4

6

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :14−Jun−2007 11:00:00/final time :14−Jun−2007 13:10:00

(a) Signal d’acceleration.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :14−Jun−2007 11:00:00/final time :14−Jun−2007 13:10:00

(b) Spectre normalise.

Figure 27: Premiere sequence selectionnee.

La Figure 28b est un zoom sur les modes principalement excites. On remarque qu’a cote de laraie d’amplitude maximale, des raies adjacentes existent et sont du meme ordre de grandeur. Pourun evenement de vibrations eoliennes, on retrouvera cette meme configuration : un mode ne serajamais excite seul. On aura donc inevitablement un phenomene de battement qui est induit par lapresence de plusieurs raies de frequences proches. L’enjeu est donc d’extraire par filtrage le modepropre d’interet (on prendra la raie d’amplitude maximale) pour s’affranchir de cet effet parasite.En pratique, cette operation est neanmoins delicate car un filtrage trop serre en frequence induitdes erreurs sur le signal temporel. On ajoutera que l’acuite des pics engendre aussi un phenomenede battement tres basses frequences.

La Figure 28c est un zoom sur la raie principale. On remarque que l’acuite du pic vaut approxi-mativement 0.1 Hz, ce qui est egalement le cas pour les autres raies. Sur la largeur du pic, le spectreest diffus et contient un ensemble de sous-raies aleatoirement distribuees. On notera que le spectren’est pas symetrique par rapport au pic principal.

En conclusion, le phenomene de battement est inevitable dans l’etude vibratoire du cable. Quoique l’on puisse faire, il y a un compromis entre cet effet et l’integrite du signal temporel. Enpratique, on est oblige d’analyser des signaux physiquement corrects. Le battement sera donc unobstacle auquel nous devons faire face.

4.1.2 Detection de pics

Nos premiers objectifs commencent a prendre forme. On voit qu’il serait interessant d’isoler lesraies du spectre. Ainsi, on pourrait par exemple calculer l’energie localisee dans certains modes,filtrer le signal selon un mode particulier ou regarder l’evolution d’une raie sur plusieurs spectressuccessifs. Une routine de detection de pics (band pass.m) a donc ete implementee pour realisercette tache.

La detection de pics s’articule autour de deux grandeurs caracteristiques : l’acuite des pics et lavaleur de la fondamentale. Pour la configuration decrite a la Figure 28, les valeurs sont distincteset sont prises comme valeur reference dans la routine (0.1 Hz et 0.4 Hz). On suppose ensuite qu’aucours du temps, ces grandeurs peuvent devier de leurs valeurs references. On definit ensuite uneplage frequentielle au-dela de laquelle un maximum local est associe un mode propre. Cette plageest ici fixee a la moitie de la fondamentale. Ainsi, la detection fonctionne meme pour d’eventuellesvariations d’acuite ou de fondamentale. La situation est schematisee a la Figure 29. On voit qu’unediminution moderee de la fondamentale n’empeche pas de discerner chaque frequence propre. La

37

0 5 10 15 20 25

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :14−Jun−2007 11:00:00/final time :14−Jun−2007 13:10:00

(a) Premier zoom.

12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :14−Jun−2007 11:00:00/final time :14−Jun−2007 13:10:00

(b) Deuxieme zoom.

13.6 13.65 13.7 13.75 13.8 13.85 13.90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :14−Jun−2007 11:00:00/final time :14−Jun−2007 13:10:00

(c) Troisieme zoom.

Figure 28: Zooms sur le spectre de la premiere sequence.

plage limite s’adapte en fonction de la position frequentielle du pic. Lorsque la diminution defondamentale est trop importante, les pics peuvent se masquer entre eux si la difference d’amplitudeest trop grande.

La sortie de la routine band pass.m se presente sous la forme d’une matrice ou chaque lignecorrespond a une frequence propre (Figure 30). La premiere colonne correspond a la frequencepropre en question. La deuxieme colonne quantifie l’energie presente dans le mode propre corres-pondant. Les resultats relatifs a la Figure 28b sont visibles a la Figure 30b. La detection de picsest correctement realisee. Il est donc desormais possible de travailler uniquement avec les raies duspectre.

4.1.3 Extraction d’un mode propre

Sur base des resultats precedents, on a notamment la possibilite de filtrer la sequence initiale (Fi-gure 27a) selon le mode propre desire. La routine mode extraction.m prend en entree la sequenceet le mode propre choisis. Elle renvoie en sortie le signal filtre dans ce mode. Le filtrage passe-bandeest realise par un filtre de Butterworth, comme evoque dans le rappel theorique.

Le resultat du filtrage de la sequence initiale dans le mode propre principalement excite (13.7Hz) est visible a la Figure 31. Comme attendu, le spectre du signal se resume en une frequencepropre unique (Figure 31b).

38

b b bb b b

Plage limite Plage limite

acuité fondamentale

Cas référence :

b b bb b b

Plage limite Plage limite

acuité fondamentale

Diminution modéréede la fondamentale :

b b bb b b

Plage limite

acuité fondamentale

Diminution franchede la fondamentale :

Un autre maximum localest détecté dans la plage limite

Figure 29: Detection de pics des modes propres.

(a) Extrait de resultats.

(b) Extrait de resultats autour du pic principal.

Figure 30: Sortie du fichier band pass.m pour la premiere sequence.

39

11:00:00 12:00:00 13:00:00

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :14−Jun−2007 11:00:00/final time :14−Jun−2007 13:10:00

(a) Signal d’acceleration.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :14−Jun−2007 11:00:00/final time :14−Jun−2007 13:10:00

(b) Spectre normalise.

Figure 31: Filtrage de la premiere sequence dans le mode 13.7 Hz.

Le signal temporel extrait (Figure 31a) est instructif a plus d’un titre. Premierement, l’amplitudede vibration du 13.7 Hz est tres faible sur le premier tiers de la sequence, contrairement a ce quietait observe sur le signal initial. Vers midi, l’amplitude du 13.7 Hz croıt fortement. Sans filtragepasse-bande, il aurait ete impossible de reperer ce comportement en temporel. Deuxiemement, unbattement est present sur le signal filtre. Ce battement n’est pas du a l’influence d’autres modespropres, vu que ceux-ci ont ete rejetes par le filtre. Il est la consequence de l’interaction entre lesfrequences presentes dans l’acuite du 13.7 Hz. Il n’est donc pas possible d’y remedier. Une autreexplication plausible provient du phenomene de fuite cause par le fenetrage frequentiel.

En conclusion, l’etude de cette premiere sequence nous a permis de mettre au point des routinesbasiques mais neanmoins tres importantes. La detection des vibrations eoliennes est complexe etne peut se construire que sur de bonnes fondations, soit avec une detection de pics et un filtragecorrects. L’analyse d’une seconde sequence aura pour objectif d’etoffer les concepts acquis jusqu’apresent.

4.2 Etude d’une seconde sequence vibratoireLa seconde sequence selectionnee est visible a la Figure 32. Ce signal vibratoire a ete choisi

(Figure 32a) pour son amplitude croissante, sa stabilisation et ensuite sa decroissance. Commeevoque precedemment, ces caracteristiques sont des conditions suffisantes - mais non necessaires- pour la presence de vibrations eoliennes. Par rapport a la premiere sequence etudiee, celle-ci al’avantage d’avoir un profil de vitesse de vent tres interessant (Figure 32b). Sur une duree d’environ45 minutes, le vent a balaye un ensemble de vitesses susceptibles d’activer un mode propre parexcitation tourbillonnaire. De plus, on remarque une correlation entre le signal temporel et savitesse de vent associee. A priori, il y a donc une chance qu’un evenement de vibrations eoliennesse soit produit.

Toujours sur base de la Figure 32b, il est possible d’evaluer la plage de frequences propresqui seraient hypothetiquement excitables par vibrations eoliennes. Nous utilisons pour ce faire laformule de Strouhal, adaptee au conducteur AZALEE 261. Pour un cable a brins ronds (ASTER), lenombre de Strouhal vaut 0.185. Vu le manque de donnees par rapport aux cables Z-shaped (AZALEE),cette valeur est egalement retenue dans ce cas-ci. Des lors, pour un diametre D = 0.0196[m] et desvitesses de vent comprises entre 0.3 et 2.3 [m/s] (Figure 32b) :

fS = [3, 22]Hz (51)

40

Il est donc temps d’investiguer le spectre du signal vibratoire pour verifier les hypothesesavancees.

00:45:00 01:00:00 01:15:00 01:30:00 01:45:00−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

(a) Signal d’acceleration.

00:45:00 01:00:00 01:15:00 01:30:00 01:45:000

0.5

1

1.5

2

2.5

time [HH:MM:SS]

vite

sse

du v

ent (

com

posa

nte

perp

endi

cula

ire)

[m/s

]

initial time :09−Jun−2007 00:48:06/final time :09−Jun−2007 01:32:04

(b) Vitesse instantanee du vent.

Figure 32: Deuxieme sequence selectionnee.

4.2.1 Etude du spectre de la seconde sequence

Les graphiques relatifs au spectre de la sequence sont visibles a la Figure 33. Interessons noustout d’abord a la Figure 33b, soit le spectre dans la plage frequentielle predite a l’equation (51).Le mode principalement active se situe aux alentours de 19.6 Hz, ce qui correspond a une vitessed’initiation de 2.07 m/s. Ce resultat est tres interessant lorsqu’il est mis en relation avec la Figure32b. En effet, on voit justement que la vitesse moyenne du vent vaut approximativement 2 m/s surune trentaine de minutes, de 01 00 00 a 01 25 00.

Le deuxieme pic de la Figure 33b se situe aux environs de 8.8 Hz, soit une vitesse d’initiation de0.93 m/s. Cette vitesse est surtout presente en debut de sequence, lorsque la vitesse du vent croıt.

Ici, la duree est plus courte puisque la periode concernee va de 00 55 00 a 01 00 00. Il sera fortinstructif de filtrer le signal temporel selon chacun de ces deux modes. On pourra des lors voir siles plus grandes amplitudes modales de vibration apparaissent aux instants extrapoles ci-dessus.

La Figure 33c est un zoom sur le pic principal du spectre. On remarque que l’acuite du pic estbeaucoup plus faible que dans le cas de la premiere sequence. Parmi les causes envisageables, onpeut citer la longueur du signal temporel. La premiere sequence s’etalait sur plus de 120 minutes,alors que la deuxieme est environ 3 fois plus courte. On peut se dire intuitivement que sur uneperiode plus courte, la tension du cable va moins varier. De ce fait, les caracteristiques modales duconducteur varient moins, reduisant la diffusion des frequences propres.

La Figure 33a nous montre le spectre dans sa globalite. Celui-ci contient des raies inattendues,situees au-dela de 30 Hz. Physiquement, elles n’ont aucune raison d’etre presentes si l’on s’entient a la theorie des vibrations eoliennes. Ces raies sont du meme ordre de grandeur que desraies supposees etre l’objet de vibrations eoliennes (8.8 Hz par exemple). Il faudra donc essayer detrouver une origine a ce phenomene.

4.2.2 Filtrage dans les deux modes propres d’interet

Comme attendu, nous choisissons de filtrer le signal temporel autour de 8.8 et 19.6 Hz. Lesresultats sont visibles a la Figure 34. Nous n’aurions pas pu esperer mieux : les zones de grandes

41

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

(a) Spectre dans sa globalite.

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

(b) Zoom sur la plage predite par fS .

19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

(c) Zoom sur le pic principal.

Figure 33: Spectre de la deuxieme sequence etudiee.

amplitudes correspondent exactement a celles presagees sur base de la vitesse du vent (Figure 32b).On a tres certainement entre les mains deux evenements de vibrations eoliennes.

Nous choisissons de prendre ces evenements comme des references pour la suite de ce travail. Laforme des signaux (croissance, stabilisation, decroissance) et leurs correlations avec les donneesdu vent sont des bases solides pour developper des routines de detection d’evenements et dedetermination d’amortissements modaux.

Le premier sujet que l’on souhaiterait investiguer est la forme typique d’un spectre de vibrationseoliennes. Pour l’instant, on n’a pas encore eu l’occasion de voir un spectre localise se manifester.Idealement, en evaluant le spectre sur la periode correspondant a la vibration du 8.8 Hz (Figure34a), l’energie devrait etre concentree autour cette raie. Un comportement similaire devrait ap-paraıtre pour le 19.6 Hz sur la periode de la Figure 34b.

4.2.3 Spectre caracteristique d’un evenement de vibrations eoliennes

Les graphiques relatifs au spectre des vibrations eoliennes du 8.8 Hz sont visibles a la Figure35. La Figure 35a montre le spectre dans sa globalite et la Figure 35b effectue un zoom sur le picprincipal et ses acolytes. Comme espere, l’energie de vibration du conducteur est localisee autourd’une frequence propre principale (8.8 Hz). Les modes propres adjacents contiennent une partienon negligeable de l’energie totale, ce qui laisse supposer que ces modes subissent egalement desvibrations eoliennes. Intuitivement, cette hypothese est plausible car les vitesses d’initiation de ces

42

01:00:00 01:15:00 01:30:00

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

(a) Filtrage passe-bande autour de 8.8 Hz.

00:45:00 01:00:00 01:15:00 01:30:00 01:45:00−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

(b) Filtrage passe-bande autour de 19.6 Hz.

Figure 34: Deux evenements de vibrations eoliennes.

modes sont tres proches du mode principal. Dans ce cas particulier, on serait meme tente de direque ce sont les acolytes superieurs a 8.8 Hz qui vont etre sujet a des vibrations eoliennes. En effet,on a vu sur base de la Figure 32b que la vitesse du vent croıt monotonement sur cette periode detemps.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 00:55:00/final time :09−Jun−2007 01:02:00

(a) Spectre dans sa globalite.

8 8.5 9 9.5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 00:55:00/final time :09−Jun−2007 01:02:00

(b) Zoom sur le pic principal et ses acolytes.

Figure 35: Spectre de la seconde sequence lorsqu’un evenement a 8.8 Hz se produit.

Il est possible de verifier les arguments avances ci-dessus en filtrant le signal de depart selon un desacolytes du 8.8 Hz, soit le 9.6 Hz par exemple (Voir Figure 35b). Le resultat est probant (Figure36) : le mode subit effectivement un evenement de vibrations eoliennes. Cet evenement est parailleurs legerement dephase temporellement par rapport a l’evenement du 8.8 Hz. Ceci s’expliquepar le fait que la vitesse du vent croıt et atteint la vitesse d’initiation du 9.6 Hz legerement plustard que celle du 8.8 Hz.

Une question se pose des lors naturellement : doit-on oui ou non etudier tous les evenementsde vibrations eoliennes, c’est-a-dire aussi ceux relatifs a des acolytes d’un mode principal ? Lespartisans de cette demarche diront qu’etudier plus d’evenements apportent plus de resultats, etqu’on connaıtra ainsi mieux les caracteristiques intrinseques du conducteur. Cette approche seraitvalide si l’on etait capable de detecter ces evenements et d’en deduire les parametres modaux. Enpratique, les choses sont bien differentes. Dans la determination de l’amortissement modal, on voit

43

00:45:00 01:00:00 01:15:00 01:30:00 01:45:00−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

Figure 36: Filtrage passe-bande autour de 9.6 Hz.

deja que la decroissance en amplitude du 9.6 Hz (Figure 36) est moins propre que celle du 8.8 Hz(Figure 34a). Cela pose donc des problemes sur l’integrite des eventuels resultats.

Les problemes relatifs a la detection des evenements des acolytes (9.6 Hz ici) sont illustres a laFigure 37. Les Figures 37a et 37b representent le spectre du signal initial au moment ou le mode 8.8Hz atteint son amplitude de vibration maximale. De meme, les Figures 37c et 37d representent lespectre du signal initial au moment ou le mode 9.6 Hz atteint son amplitude de vibration maximale,soit deux minutes plus tard. Pour les deux cas de figure, on voit que la raie du 9.6 Hz est noyee parcelle du 8.8 Hz. Elle est donc tout simplement indetectable sur base d’un critere lie au caracterelocalise de l’energie autour du maximum du spectre. Dans ce travail, nous prenons le parti den’etudier que les vibrations eoliennes respectant le critere qui vient d’etre mentionne. Ce choix estmotive par le fait que la determination de l’amortissement modal ne peut se faire - avec la methodeemployee - qu’avec des signaux propres. Ce critere de spectre garantit que sur la periode de tempsconsideree, seuls les meilleurs signaux seront detectes. Cette approche a le desavantage de passera cote de beaucoup d’evenements de vibrations eoliennes.

Dans un tout autre registre, une derniere remarque peut etre faite sur la Figure 37. Celle-ci concerne la resolution frequentielle des spectres. En prenant des signaux temporels sur uneduree de 10 secondes, nous avons a disposition 2000 echantillons temporels pour une frequenced’echantillonnage de 200 Hz. La resolution frequentielle vaut des lors 0.1 Hz, chose qui se ressentpar rapport a des spectres de meilleure resolution (par exemple a la Figure 33c). Cette resolutionde 0.1 Hz est une limite qu’il ne faut pas depasser, auquel cas les frequences propres risquent dedevenir indiscernables. Une fenetre temporelle de 10 secondes offre donc un bon compromis entreinstantaneite temporelle et resolution frequentielle.

Les graphiques relatifs au spectre des vibrations eoliennes du 19.6 Hz sont visibles a la Figure38. On remarque que l’energie est moins localisee que dans le cas du 8.8 Hz, alors que l’amplitudede vibration est cette fois-ci deux fois superieure. Un critere trop restrictif sur la localisationenergetique du spectre ne nous permettrait pas de detecter cet evenement. Ceci est prejudiciablecar on se rend bien compte que cet evenement serait tout a fait exploitable et permettrait d’aboutir aun resultat licite. On notera egalement que les acolytes du 19.6 Hz (Figure 38b) ont moins d’impactque dans le cas du 8.8 Hz. Cela est surement du a l’importance de l’excitation du mode principalqui supplante les modes adjacents.

44

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 00:58:00/final time :09−Jun−2007 00:58:10

(a) Evenement a 8.8 Hz.

5 6 7 8 9 10 11 12 130

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 00:58:00/final time :09−Jun−2007 00:58:10

(b) Evenement a 8.8 Hz.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:00:30/final time :09−Jun−2007 01:00:40

(c) Evenement a 9.6 Hz.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:00:30/final time :09−Jun−2007 01:00:40

(d) Evenement a 9.6 Hz.

Figure 37: Probleme lie a la detection des acolytes.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:10:00/final time :09−Jun−2007 01:15:00

(a) Spectre dans sa globalite.

18.8 19 19.2 19.4 19.6 19.8 20 20.2 20.4 20.6−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:10:00/final time :09−Jun−2007 01:15:00

(b) Zoom sur les acolytes du pic principal.

Figure 38: Spectre de la seconde sequence lorsqu’un evenement a 19.6 Hz se produit.

45

32 34 36 38 40 42

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:10:00/final time :09−Jun−2007 01:15:00

Figure 39: Manifestation supposee d’une excitation parametrique.

Une piste d’explication decrivant le caractere diffus du spectre de la Figure 38a est la presenceeventuelle d’une excitation parametrique. Un zoom sur les raies concernees est visible a la Figure39. La configuration de portee d’ancrage dans laquelle le conducteur est etudie favorise la naissancede vibrations pour des frequences 2 fois superieures a la fondamentale consideree. Ceci pourraitexpliquer la presence d’une raie aux alentours de 40 Hz, ce qui est approximativement le doublede la fondamentale a 19.6 Hz. L’etude de ces phenomenes depasse le cadre de ce travail.

4.2.4 Manifestation du decrochage en lock-in et en amortissement naturel

Le rappel theorique mentionnait l’existence d’un relachement en deux phases pour un modepropre excite par vibrations eoliennes. On avait distingue le decrochage en lock-in, relatif au chan-gement en frequence des tourbillons dans le sillage du conducteur, du decrochage en amortissementnaturel, la ou plus aucune energie n’est plus fournie par le vent au cable. Ces deux phases sontvisibles a la Figure 40 pour le mode a 8.8 Hz. La Figure 40a illustre le decrochage en lock-in et laFigure 40b le decrochage en amortissement naturel. Lors de la premiere phase de decrochage, leprofil de vent garde une certaine coherence spatiale et une certaine quantite d’energie est toujoursfournie au cable. La seconde phase de decrochage est plus abrupte car le conducteur ne fait quedissiper de l’energie. La difference de pente entre les deux sous-figures est clairement visible.

Sur base de la Figure 40b, on constate egalement que l’approximation de l’amortissement modalpar un modele visqueux est acceptable. On voit qu’il serait possible de greffer une exponentielledecroissante sur l’enveloppe du signal. En debut de decrochage, on notera qu’il est difficile detrancher en une decroissance lineaire (modele structurel) ou exponentielle. Physiquement, le modelestructurel est plus licite au vu des dissipations principalement provoquees par frottements entrebrins.

4.2.5 Determination de l’amortissement modal

Nous nous placons dans une situation ideale ou nous serions capable d’automatiser la detectiondes evenements de vibrations eoliennes. Des lors, on aurait hypothetiquement su extraire l’evenementse produisant sur le mode a 19.6 Hz. La Figure 34b illustre le type de signal que l’on aurait a dis-position.

L’etape suivante est de determiner l’amortissement modal dans le mode considere. Initialement,la methode qui devait etre utilisee dans ce travail etait la methode de Prony. Elle consiste a trouver

46

(a) Decrochage en lock-in. (b) Decrochage en amortissement naturel.

Figure 40: Les differentes phases de decrochage du 8.8 Hz.

les exponentielles complexes qui correspondent au mieux au signal d’entree. L’ordre p du modelepermet de determiner p/2 modes propres distincts. Cependant, cette methode a ete rejetee pourles raisons suivantes :

– La methode de Prony estime la frequence propre et l’amortissement modal. Cependant, lafrequence propre est deja connue dans notre cas, vu qu’elle a ete detectee sur base des spectres.Sa determination est donc obsolete ;

– La methode est limitee en termes d’echantillons a l’entree (contrainte sur les ressources decalcul a disposition). On ne peut donc estimer le signal que sur une fenetre temporelle courte.Une solution envisageable serait de sous-echantillonner le signal en fonction de la frequencepropre etudiee. On pourrait ainsi passer d’un fs de 200 Hz au double de la frequence propre(condition de Shannon). Cette approche rajoute cependant de la complexite a la methode ;

– Les effets de battement presents dans les signaux etudies perturbent les resultats de lamethode.

Parmi les elements qui viennent d’etre cites, le desavantage le plus important est la limitationsur les capacites de calcul. En effet, notre approche de l’amortissement modal nous impose amaximiser la longueur de la fenetre temporelle d’approximation. Cela nous permet ainsi d’evaluerun amortissement reduit equivalent pour le mode considere. Une fenetre temporelle trop courtedetermine un amortissement reduit sur une trop faible portion du signal, rendant cette valeurfonction du decalage temporel de la fenetre. Physiquement, il n’existe pas un amortissement uniquevu les processus de dissipation (non validite du modele visqueux). Notre but est justement d’extrairela caracteristique globale d’amortissement en definissant un amortissement reduit qui correspondau mieux a l’ensemble du relachement du mode.

Nous pouvons illustrer concretement le propos qui vient d’etre avance. La Figure 41 montre unesequence selectionnee dans le relachement du mode propre (19.6 Hz). Avec les ressources de calculdisponibles pour ce travail, la routine utilisee pour la methode de Prony accepte au maximum5000 echantillons temporels d’entree. La longueur de la sequence choisie est donc a la limite de lalongueur maximale autorisee.

Les resultats obtenus sont visibles a la Figure 42. La Figure 42a montre respectivement l’ap-proximation du signal et une estimation des parametres modaux. La Figure 42b presente le memetype de resultats, mais pour une fenetre legerement decalee temporellement dans le relachement.On remarque que la valeur de l’amortissement reduit evolue d’environ 20% entre les deux fenetres

47

(a) Portion choisie dans la sequence.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

19.6 Hz (zoom)

(b) Decroissance etudiee.

Figure 41: Selection d’une portion de signal dans le relachement.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

signal (blue) vs Prony approximation (green)

signaliapp

(a) feig = 19.6196 [Hz] ; ζ = 1.2208.10−4

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

signal (blue) vs Prony approximation (green) − Time−window shifted

signaliapp

(b) feig = 19.6218 [Hz] ; ζ = 1.0758.10−4

Figure 42: Methode de Prony appliquee a 2 fenetres d’approximation adjacentes.

temporelles, bien que celles-ci soient adjacentes. Cette constatation nous conforte dans l’idee qu’ilfaut maximiser la longueur de la fenetre temporelle d’approximation.

Idealement, la fenetre d’approximation de longueur maximale s’etendrait du debut jusqu’a la findu relachement, comme illustre a la Figure 43 pour le 19.6 Hz. Il y a donc une borne inferieure etune borne superieure a definir dans la sequence modale extraite.

Une methode alternative a la methode de Prony est d’approximer le logarithme neperien del’enveloppe par une droite. Commencons par extraire l’enveloppe du signal et selectionnons lasequence d’interet, soit celle centree sur la decroissance du mode (Voir Figure 44). L’enveloppe estextraite en appliquant au signal la transformee d’Hilbert.

Sous les hypotheses d’amortissement visqueux et proportionnel, l’enveloppe du relachement d’unmode propre de pulsation ωeig et d’amortissement modal reduit ζ est du type (en temps continu) :

Ae−ζωeigt (52)

Le logarithme neperien de cette expression donne une relation lineaire en t (en continu), soit :

48

Figure 43: Fenetre d’approximation optimale.

0 1 2 3 4 5 6

x 105

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

enveloppe du 19.6 Hz

(a) Enveloppe dans sa globalite.

3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

x 105

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

enveloppe du 19.6 Hz: relâchement du mode

(b) Enveloppe centree sur la decroissance.

Figure 44: Enveloppe de l’evenement a 19.6 Hz.

ln(A)− ζωeigt = a+ b.t (53)

On voit que la pente de la droite est fonction de l’amortissement modal reduit. Ainsi, en ap-proximant le signal par un modele lineaire, le coefficient b est connu et l’on obtient (pour un signaldiscret) :

ζ = −bfsωeig

(54)

On notera que ωeig est connu grace au filtrage passe-bande. Nous illustrons les resultats precedentsa la Figure 45. Plusieurs enseignements peuvent en etre tires. Premierement, la valeur de l’amor-tissement modal reduit est du meme ordre de grandeur que celui trouve avec la methode de Prony.Deuxiemement, la longueur de la fenetre temporelle est desormais maximisee. L’evaluation del’amortissement visqueux equivalent se fait sur environ 40000 echantillons (voir Figure 45b). Enfin,la Figure 45a nous montre l’importance de la borne superieure de la fenetre temporelle. En effet,

49

lorsque l’amplitude de vibration devient trop faible, il est impossible d’approximer precisement lesdonnees par une droite.

0 5 10 15

x 104

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

index

ampl

itude

log − 19.6 Hz

(a) Logarithme de l’enveloppe.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

index

ampl

itude

y = − 8.2e−005*x − 1.2

19.6 Hz linear approx

(b) ζ = 1.3303.10−4

Figure 45: Approximation lineaire du relachement.

En conclusion, on voit que le choix de la fenetre temporelle d’approximation est un point delicata aborder. La borne inferieure ideale serait celle ou le mode commence a se relacher. La bornesuperieure ideale serait celle ou l’amplitude de vibration est ni trop faible, ni trop grande. Lasection suivante a pour but de traiter ce sujet epineux.

4.2.6 Selection de la fenetre temporelle d’approximation

Borne inferieure Le but est ici de determiner le moment ou le mode se relache. L’algorithmeutilise est le suivant (natural decay detection.m) :

– Grace a l’algorithme de detection, on connaıt approximativement ou le mode decroıt. Onpeut des lors remonter le temps et analyser le signal de vibration modale sur une certaineduree (voir Figure 46a) ;

– Le signal est divise selon 4 intervalles de meme longueur. La valeur moyenne est calculee pourchaque intervalle (voir Figure 46b) ;

– L’intervalle ayant le plus faible changement de derivee negative est rejete du signal (voirFigure 46c). En effet, le relachement du mode se caracterise par le plus grand changement depente negative. Cette variation temoigne du passage entre la phase de decrochage du lock-inet la phase de decrochage en amortissement naturel ;

– L’algorithme itere de maniere recursive (voir Figure 46c a 46j pour les 5 premieres iterations).Le nombre d’iterations est fixe dans la routine.

La Figure 46 montre une convergence vers la borne inferieure desiree. Pour un nombre d’iterationsimportant, le resultat final est visible a la Figure 47a.

Borne superieure On cherche desormais a savoir quand le mode a fini de se relacher. L’algo-rithme fonctionne de la facon suivante (natural decay detection.m) :

– Grace a l’algorithme de detection, on connaıt approximativement ou le mode decroıt. Onpeut des lors prolonger vers le futur la fenetre temporelle et etudier dans celle-ci le signal ;

– Le signal est divise selon 4 intervalles de meme longueur. La valeur moyenne est calculee pourchaque intervalle ;

50

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

envelope 19.6 Hz

(a) Enveloppe du signal : iteration 1.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

index

mea

n ac

cele

ratio

n [m

/s2 ]

mean envelope 19.6 Hz

(b) Enveloppe moyennee sur 4 intervalles : it. 1.

1 2 3 4 5 6 7

x 104

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

envelope 19.6 Hz

(c) Enveloppe du signal : iteration 2.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

indexm

ean

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

mean envelope 19.6 Hz

(d) Enveloppe moyennee sur 4 intervalles : it. 2.

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

x 104

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

envelope 19.6 Hz

(e) Enveloppe du signal : iteration 3.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

index

mea

n ac

cele

ratio

n [m

/s2 ]

mean envelope 19.6 Hz

(f) Enveloppe moyennee sur 4 intervalles : it. 3.

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

x 104

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

envelope 19.6 Hz

(g) Enveloppe du signal : iteration 4.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

index

mea

n ac

cele

ratio

n [m

/s2 ]

mean envelope 19.6 Hz

(h) Enveloppe moyennee sur 4 intervalles : it. 4.

4.5 5 5.5 6 6.5 7

x 104

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

index

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

envelope 19.6 Hz

(i) Enveloppe du signal : iteration 5.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

index

mea

n ac

cele

ratio

n [m

/s2 ]

mean envelope 19.6 Hz

(j) Enveloppe moyennee sur 4 intervalles : it. 5.

Figure 46: Convergence vers la borne inferieure optimale.

51

0 5 10 15

x 104

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

X: 5.779e+004Y: 0.275

index

acce

leta

tion

[m/s

2 ]

envelope − 19.6 Hz

(a) Borne inferieure.

0 5 10 15

x 104

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

X: 8.75e+004Y: 0.02379

index

acce

leta

tion

[m/s

2 ]

envelope − 19.6 Hz

(b) Borne superieure.

Figure 47: Bornes determinees pour l’evenement a 19.6 Hz.

– On analyse successivement les grandeurs obtenues. Si la valeur moyenne d’un intervalle estinferieure au seuil defini ou que la derivee devient croissante (l’amplitude cesse de decroıtre),la condition d’arret est verifiee ;

– On reitere sur l’intervalle concerne.

Pour l’evenement etudie, la borne superieure obtenue est visible a la Figure 47b.

En conclusion, les algorithmes developpes nous permettent, dans le cas simple etudie, de selectionnerla fenetre temporelle d’approximation optimale. Ensuite, le modele lineaire est superpose au loga-rithme du signal et l’amortissement modal reduit est calcule. Il est desormais temps de se consacrera l’elaboration d’un algorithme de detection de vibrations eoliennes. Les routines presentees jus-qu’ici pourront etre ensuite appliquees aux evenements detectes.

4.3 Algorithme de detection et d’analyse de vibrations eoliennesL’objectif de l’algorithme de detection est d’extraire les evenements de vibrations eoliennes du

signal de vibration d’entree. Ensuite, les evenements peuvent etre traites et les resultats stockes enmemoire. Une fois que suffisamment de resultats ont ete collectes, l’etape d’evaluation permet dedeterminer la sante du cable.

4.3.1 Etapes de la detection

Les etapes de la detection sont visibles a la Figure 48. Dans les paragraphes qui suivent, nousexplicitons chacune d’entre elles.

Signal d’entree La sequence vibratoire est obtenue par interfacage des mesures du capteur(.txt) vers un fichier .mat. Cette routine a ete fournie par Bertrand Godard. Les donnees meteo,ainsi que les mesures de tension, sont egalement interfacees.

Extraction d’un bloc de donnees Le signal est decoupe en blocs d’echantillons. Les blocssont analyses les uns apres les autres. La longueur des blocs est definie selon une duree souhaitee(convertie en nombres d’echantillons par la frequence d’echantillonnage). Une longueur trop faibleinduit des problemes de resolution frequentielle, tandis qu’une longueur trop grande pose desproblemes d’instantaneite. La longueur choisie par defaut est de 10 secondes. Les donnees meteosont moyennees sur la duree consideree.

52

Pre-traitement du bloc Le signal extrait dans la fenetre temporelle est soumis a un filtremedian de support M = 3. On lui retire egalement sa composante continue. Les donnees meteo etla tension du cable sont collectees.

Detection de pics La FFT et le spectre du sous-signal sont calcules. La routine band pass.mdetecte ensuite les pics relatifs a chaque mode propre.

Vitesse du vent : plage admissible Ce critere stipule que la vitesse du vent perpendiculaire aucable doit etre comprise dans un certain intervalle. Les vibrations eoliennes prennent communementnaissance pour des vents de 0.3 a 7 m/s. Si la mesure meteo ne se situe pas dans cette plageadmissible, il n’est pas possible qu’un evenement soit present dans la fenetre etudiee.

Spectre localise Ce critere a pour but de verifier que la majeure partie de l’energie du signalest comprise autour du pic maximal (spectrum criterium.m). Si l’energie du spectre n’est passuffisamment localisee, il est alors peu probable que des vibrations eoliennes soient presentes. Lafenetre est donc rejetee.

Respect de la formule de Strouhal Un evenement de vibrations eoliennes prend naissancelorsque la frequence des tourbillons correspond a une frequence propre du cable. La formule deStrouhal, associee a l’effet de lock-in, donne une plage specifique de vitesse vent pour une frequencepropre donnee. Si la mesure meteo ne se situe pas dans cette plage, il n’est pas possible que, sur lemode considere, des vibrations eoliennes puissent perdurer en regime etabli. Ce critere fait partieintegrante de la routine update table.m.

Fenetres a caracteristiques similaires A ce stade, la fenetre etudiee a des chances de contenirdes vibrations eoliennes. Cependant, on sera seulement certain qu’un evenement existe si des ca-racteristiques similaires se repetent sur plusieurs blocs. Ainsi, on regarde si des fenetres similairesont ete detectees par le passe. Si c’est le cas, un point de confirmation est donne a l’evenement.Dans le cas contraire, un nouvel evenement est mentionne dans la table des evenements detectes.Ces taches sont realisees dans la routine update table.m.

4.3.2 Necessite d’un decouplage entre les blocs et les evenements

Comme nous l’avons precedemment decrit, le signal d’entree est analyse par bloc d’echantillons.Les evenements de vibrations eoliennes en sont evidemment independants. Il est donc essentiel dedecoupler l’analyse bloc par bloc du signal d’entree et l’analyse specifique des evenements. Le pre-mier processus vise a detecter la presence d’un evenement, quelle que soit sa duree temporelle. Pourrealiser cette tache, un tableau d’evenements detectes a ete utilise (update table.m). A chaquefin d’analyse de bloc, le tableau se met a jour en fonction des resultats obtenus. Prenons quelquesexemples concrets pour illustrer la mise a jour :

– Supposons que pour des fenetres temporelles precedentes, un evenement a la frequence proprefeig a ete detecte. Le tableau contient des lors une ligne specifique a l’evenement, tant quela condition d’arret n’a pas ete verifiee. Supposons que dans la fenetre courante, on detectela presence de ce meme evenement. La mise a jour est la suivante : on ajoute un point deconfirmation a la ligne correspondante du tableau ;

– Supposons qu’un evenement est detecte dans la fenetre courante alors qu’aucune fenetreprecedente ne l’a fait. La mise a jour est la suivante : on cree une ligne pour ce nouvelevenement dans le tableau ;

– Supposons qu’aucun evenement n’est detecte dans la fenetre courante mais qu’un evenementavait ete detecte dans les fenetres precedentes. La mise a jour est la suivante : la conditiond’arret de l’evenement doit etre evaluee. Cette tache est realisee sur base du spectre du signaldans le bloc courant.

53

b b bb b b

Bloc de données : N échantillons temporels

Signal d’entrée :

Pré-traitement de la fenêtre extraite

FFT, Spectre et détection de pics

+ données externes (météo, tension)

Vitesse du vent dans la plage admissible ?

Oui

Spectre suffisamment localisé ?

Oui

Respect de la formule de Strouhal ?

Oui

Fenêtres à caractéristiques similaires ?

Non

Oui

Détection d’un éventuel nouvel évènement

Confirmation d’un évènement

Non

Non

Non

Fenêtre rejetée : non-respect des conditionsde présence de vibrations éoliennes

Analyse du bloc de données suivant

Figure 48: Logique de detection d’evenements de vibrations eoliennes.

Lorsque que la condition d’arret est verifiee, la ligne correspondante est extraite du tableau ettransferee vers l’algorithme d’analyse d’evenements.

4.3.3 Etapes de l’analyse d’evenements

Les etapes de l’analyse d’evenements sont visibles a la Figure 49. Ici, la majorite des routinesont ete decrites lors de l’etude de la deuxieme sequence. Par consequent, nous nous concentronsuniquement sur les etapes non abordees.

Condition d’arret Lorsqu’un evenement a ete detecte, notre objectif est de determiner quandle mode se relache. On estime que l’evenement est en phase de decroissance lorsque l’energie dusignal est n fois inferieure a l’energie moyenne du mode en phase de stabilisation. Cette techniquese base sur le theoreme de Parseval et sur notre connaissance de l’energie de chaque mode dansle spectre courant. On sait que l’amplitude de vibration chute fortement en decrochage. De cettemaniere, on connaıt approximativement l’endroit ou l’amortissement modal doit etre evalue. Lacondition d’arret est implementee dans update table.m.

Confirmations Comme explique precedemment, un evenement doit etre detecte sur un nombreminimal de blocs pour pouvoir etre analyse. On est ainsi certain que les conditions d’existence desvibrations eoliennes ne sont pas apparues par hasard.

Extraction de l’evenement Pour extraire l’evenement detecte, il est necessaire d’appliquer unfiltre passe-bande sur la sequence d’interet. Les conditions de filtrage sont definies par la frequencepropre du mode etudie et la supposee acuite du pic.

54

Détection de relâchement du mode :

Nombre de confirmations suffisant ?

Energie de vibration suffisamment faible

Extraction de l’évènement

Calcul de l’enveloppe du signal

Fenêtre temporelle d’approximation optimale

Approximation linéaire du relâchement

Evènement en cours

Rejet

Oui Non

Stockage des résultats

Figure 49: Logique d’analyse d’evenements de vibrations eoliennes.

4.3.4 Presentation des parametres principaux

La routine principale (main.m) contient un ensemble de parametres dits principaux. Nous lespresentons ici brievement.

time window [s] Ce parametre definit la duree des fenetres temporelles associees a chaque blocd’echantillons.

min hits [1] Ce parametre definit le nombre minimum de confirmations qu’un evenement doitobtenir pour etre analyse. A chaque fois qu’un bloc de donnees correspond a un evenement dejadetecte, un hit se produit.

min Strouhal percentage [ %100 ] Lorsqu’un evenement atteint sa condition d’arret, celui-ci a

recolte un certain nombre de confirmations . Le parametre min Strouhal percentage definit, pourle nombre de fenetres detectees, le pourcentage d’entre elles qui ont verifie la formule de Strouhal.

energy factor [1] Ce parametre definit la condition d’arret d’un evenement. Lorsque l’energiedu signal est inferieure a Emean,steadystate/energy factor, cela signifie que le mode se relache.

localized energy percentage [ %100 ] Pour un spectre donne, ce parametre definit le pourcentage

d’energie qui doit etre localisee autour du pic principal. Si la condition est verifiee, le spectre estsuffisamment localise pour appartenir a un evenement.

55

peak bandwidth coeff [1] Ce parametre definit le nombre d’acolytes pris en compte autour dumode principal. Lorsqu’il vaut 1, cela signifie qu’on prend les 2 premiers modes adjacents. Lorsqu’ilvaut 2, cela signifie qu’on prend les 4 premiers modes adjacents. Etc.

extend time window [s] La condition d’arret d’un evenement donne le moment ou le mode serelache. Ensuite, on agrandit d’une duree extend time window la fenetre temporelle de l’evenement.Cela permet d’extraire toute la decroissance du mode.

amplitude factor [1] Ce parametre donne une limite dans la recherche de la fenetre d’approxi-mation optimale. La borne inferieure de la fenetre se situe a l’endroit ou commence la decroissance.L’amplitude de vibration vaut a cet instant yinitiale. La borne superieure s’etend jusqu’a ce quel’amplitude de vibration soit inferieure a yinitiale/amplitude factor ou que la derivee deviennepositive.

decay time window [s] On recherche la borne inferieure de la fenetre d’approximation entre lacondition d’arret de l’evenement et un index situe decay time window secondes dans le passe.

4.3.5 Un premier essai : le cas de la deuxieme sequence

Reprenons la deuxieme sequence etudiee precedemment. Nous allons desormais tenter de detecteret d’analyser les deux evenements de vibrations eoliennes (8.8 et 19.6 Hz) qu’on avait trouves ma-nuellement. Les parametres utilises et les resultats obtenus sont visibles a la Table 4. L’evenementdetecte est visible a la Figure 50.

01:10:00 01:15:00 01:20:00 01:25:00 01:30:000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 01:10:30/final time :09−Jun−2007 01:28:10

(a) Enveloppe detectee : feig = 19.65[Hz]

01:22:00 01:23:00 01:24:00 01:25:00 01:26:00−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :09−Jun−2007 01:22:47/final time :09−Jun−2007 01:25:40

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

Figure 50: Resultats obtenus pour la seconde sequence.

L’evenement a 19.6 Hz est correctement detecte. L’amortissement modal reduit est identique acelui obtenu manuellement.

Essayons de comprendre pourquoi l’evenement a 8.8 Hz n’a pas ete detecte. La non-detectionsignifie que les contraintes imposees par les parametres etaient trop strictes. Sur base des analysesmenees a la Section 4.2.3, on sait que ce n’est pas le critere de spectre localise qui rejete le 8.8 Hz.Nous reduisons donc uniquement la contrainte liee au respect de la formule de Strouhal.

Le 8.8 Hz commence seulement a etre detecte (voir Figure 51) lorsque min Strouhal percentage=0.3. Cela signifie qu’un peu plus de 30% des fenetres detectees (36 au total) respectent la condition.Intuitivement, cette valeur est beaucoup trop faible. Pour un evenement de vibrations eoliennes, la

56

Parametre Valeurtime window 10[s]

min hits 10min Strouhal percentage 0.9[ %

100 ]energy factor 9

localized energy percentage 0.8peak bandwidth coeff 1extend time window 300[s]amplitude factor 8decay time window 100[s]

Resultat Valeur1feig[Hz] 19.63T [kN ] 14.2056ζ[1] 1.3103.10−4

Table 4: Premier essai des routines sur la seconde sequence etudiee.

00:50:00 00:55:00 01:00:00 01:05:00 01:10:000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:53:10/final time :09−Jun−2007 01:07:20

(a) Enveloppe detectee : feig = 8.85[Hz]

01:00:00 01:05:00 01:10:00−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :09−Jun−2007 01:01:06/final time :09−Jun−2007 01:06:04

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

Figure 51: Resultats en diminuant min Strouhal percentage a 0.3.

vitesse du vent est la variable a l’origine de l’excitation du mode propre. Un pourcentage au-delade 90% est donc facilement concevable, comme dans le cas de la detection du 19.6 Hz.

Une premiere amelioration est de moyenner la vitesse du vent sur une periode independante desfenetres temporelles d’analyse. En effet, pour des fenetres temporelles courtes, les mesures meteosont quasi a l’etat brut car la frequence d’echantillonnage de la station est faible (1/8 Hz). Deslors, on introduit la variable wind averaging period [min].

En moyennant les vitesses de vent sur une periode de 5 minutes, on atteint desormais un pour-centage de 66% pour le 8.8 Hz (24 fenetres sur 36). Pour sa part, le 19.6 Hz atteint le score de100% (12 sur 12). Le pourcentage du 8.8 Hz est donc toujours trop faible.

Pour comprendre ce phenomene, il faut revenir a la logique meme de l’algorithme. Pour rappel,l’objectif est de detecter la phase de stabilisation de l’evenement et d’obtenir un nombre suffisantde confirmations. En prenant une localisation energetique trop faible autour du pic principal, onprend le risque de detecter des fenetres situees dans le relachement du mode, la ou la formule deStrouhal n’est jamais verifiee. En theorie, il faut donc etre plus strict au niveau du spectre poureviter de voir le pourcentage chuter.

On peut verifier cette extrapolation theorique dans le cas du 8.8 Hz. La Figure 52 montreune succession de resultats relatifs au respect de la formule de Strouhal. Pour chaque nouvellefenetre detectee (separation par des asterisques), on donne la frequence de l’evenement (8.85 Hz),

57

(a) Resultats. (b) Resultats (suite 1). (c) Resultats (suite 2).

Figure 52: Etat de la detection pour une localisation energetique de 80%.

la position temporelle de la fenetre et un vecteur ligne a 2 composantes. La premiere donne lenombre total de fenetres qui ont respecte la condition, la seconde le nombre total de fenetresdetectees pour l’evenement.

La Figure 52a montre que jusqu’a 00 58 05, toutes les fenetres detectees ont respecte la condition(24 sur 24).

A partir de 00 58 35, les fenetres detectees vont etre mises en defaut (Figure 52b, 52c), jusqu’aatteindre un score de 24 sur 36.

En comparant ces resultats avec la Figure 51a, on remarque que les bonnes fenetres se situentdans la periode de croissance de l’evenement. Les mauvaises apparaissent dans le relachement dumode, comme on l’avait suppose.

Nous augmentons la contrainte liee au spectre (min Strouhal percentage= 0.95). Les resultatssont concluants (voir Figure 53) : les fenetres sont detectees sur la periode de croissance del’evenement (jusqu’a 00 58 25), pour un pourcentage de 93% (13 sur 14). Avec cette valeur deparametre, le sens physique de l’algorithme est respecte et le 8.8 Hz est detecte correctement. Lerevers de la medaille concerne la non-detection actuelle du 19.6 Hz. En effet, comme mentionneauparavant, l’evenement est accompagne de vibrations supplementaires qui influencent le caracterediffus des spectres. Pour rappel, la cause avancee etait la presence d’une excitation parametrique.

Pour aborder ce compromis, nous avons peu de marge de manœuvre. D’un cote, des contrainteselevees rejettent un evenement exploitable (19.6 Hz). De l’autre, des contraintes faibles entraventla detection d’un autre evenement (8.8 Hz). L’intuition physique tranche en disant que ce sont lescontraintes elevees et repetees dans le temps qui garantissent une detection toujours correcte.

Pour conclure, nous recapitulons les resultats acquis jusqu’a present (voir Table 5).

58

(a) Resultats. (b) Resultats (suite 1). (c) Resultats (suite 2).

Figure 53: Etat de la detection pour une localisation energetique de 95%.

feig[Hz] T [kN ] ζ[1] Date Heure8.84 14.2056 1.2783.10−4 09 01 05 0019.63 14.2056 1.3103.10−4 09 01 25 00

Table 5: Resultats acquis sur la seconde sequence.

59

Parametre Valeurtime window 10[s]

min hits 30min Strouhal percentage 0.9[ %

100 ]energy factor 4

localized energy percentage 0.9peak bandwidth coeff 2extend time window 300[s]amplitude factor 4decay time window 100[s]

wind averaging period 2[min]

Resultat Valeur1 Valeur2feig[Hz] 21.16 20.01T [kN ] 14.2056 14.15ζ[1] 4.8697.10−5 6.2227.10−5

Table 6: Parametres et resultats obtenus pour le 09 Juin 2007.

4.4 Une premiere journee etudieeA cet instant, nous avons tous les outils a disposition pour aborder un set de donnees inconnu.

Nous maıtrisons suffisamment les parametres de l’algorithme pour esperer obtenir des resultatssupplementaires.

Nous etudions la journee du 09 Juin 2007. Sur base des parametres utilises (voir Table 6), 2detections sur 3 sont exploitables. Elles sont visibles aux Figures 54 et 55. Les resultats sontdisponibles a la Table 6.

02:40:00 02:50:00 03:00:00 03:10:00 03:20:000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 02:44:46/final time :09−Jun−2007 03:10:56

(a) Enveloppe detectee : feig = 21.16[Hz]

03:05:00 03:06:00 03:07:00 03:08:00 03:09:00−3.2

−3

−2.8

−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

−1.4

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :09−Jun−2007 03:05:08/final time :09−Jun−2007 03:08:44

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

Figure 54: Premier evenement detecte (09 Juin 2007).

Nous pouvons verifier manuellement les resultats obtenus. Pour ce faire, nous filtrons le signalbrut dans la fenetre temporelle adequate, autour des frequences propres excitees. L’operation estdecrite a la Figure 56 pour le 21.16 Hz. La zone rouge met en evidence l’evenement detecte. Ellecorrespond a l’enveloppe de la Figure 54a.

On remarque qu’un autre evenement apparaıt a la suite de celui qui vient d’etre analyse. Ilcorrespond au troisieme evenement detecte, mais rejete car non exploitable. L’ensemble est visiblea la Figure 57. Lors de la phase de stabilisation, l’evenement subit une variation d’amplitude tropimportante pour que l’algorithme determine l’amortissement modal.

60

04:20:00 04:30:00 04:40:00 04:50:00 05:00:000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 04:28:06/final time :09−Jun−2007 04:52:35

(a) Enveloppe detectee : feig = 20.01[Hz]

04:47:00 04:48:00 04:49:00 04:50:00 04:51:00−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :09−Jun−2007 04:47:11/final time :09−Jun−2007 04:50:10

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

Figure 55: Deuxieme evenement detecte (09 Juin 2007).

Figure 56: Filtrage passe-bande autour de 21.16 Hz.

61

(a) Mise en evidence de l’evenement non exploite.

03:10:00 03:20:00 03:30:00 03:40:000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 03:14:26/final time :09−Jun−2007 03:35:36

(b) Enveloppe detectee : feig = 21.16[Hz]

Figure 57: Evenement non exploite a 21.16 Hz.

Figure 58: Filtrage passe-bande autour de 20.01 Hz.

Le filtrage passe-bande de l’evenement a 20.01 Hz est visible a la Figure 58. La zone rouge meten evidence l’evenement detecte. Elle correspond a l’enveloppe de la Figure 55a.

En conclusion, nous voyons que les resultats provenant de l’algorithme ont un sens physique. Lesevenements detectes semblent etre des evenements de vibrations eoliennes. On peut esperer quel’evaluation de la sante du cable porte ses fruits.

4.5 Collecte de resultats sur plusieurs journeesEn vue d’evaluer la sante du cable, notre objectif actuel est de collecter un nombre suffisant de

resultats.

Les etudes deja menees nous montrent que la pratique s’ecarte de la detection theorique.

62

Parametre Valeurtime window 30[s]

min hits 3min Strouhal percentage 0.6[ %

100 ]energy factor 4

localized energy percentage 0.8peak bandwidth coeff 2extend time window 300[s]amplitude factor 4decay time window 100[s]

wind averaging period 2[min]

Resultat Valeur1 Valeur2feig[Hz] 32.68 20.79T [kN ] 15.21 14.21ζ[1] 1.0618.10−4 1.2322.10−4

Table 7: Parametres et resultats obtenus pour le 06 Juin 2007.

Concretement :

– Il est difficile de toujours respecter la condition de Strouhal sur les fenetres detectees. Pourfaire face a ce probleme, on peut a la fois diminuer min Strouhal percentage ou augmentertime window ;

– Pour des fenetres temporelles plus grandes, il est difficile d’avoir des spectres tres localises.Il est donc preferable d’un peu relacher la contrainte correspondante ;

– Demander beaucoup de confirmations empeche la detection d’evenements courts. Il faut doncdiminuer min hits ;

– L’evolution de la tension au cours de la journee (par changement de temperature ambiante)modifie les caracteristiques modales du cable. La detection de pics est donc perturbee car lesfrequences propres oscillent au cours du temps.

4.5.1 Le 06 Juin 2007

Sur base de ces constatations, nous abordons la journee du 06 Juin 2007. Les parametres et lesresultats obtenus sont visibles a la Table 7. Les 2 detections obtenues sont exploitables.

L’evenement relatif au 32.68 Hz et sa verification manuelle sont visibles a la Figure 59. Onremarque que la vitesse moyenne du vent correspond plus ou moins a la vitesse d’initiation du32.68 Hz. Cependant, le pourcentage de fenetres respectant Strouhal ne s’eleve qu’a 60%, soit 3fenetres sur 5.

Pour le 20.79 Hz, des graphiques du meme type sont visibles a la Figure 60. La Figure 60amontre que l’enveloppe est deterioree par un effet de battement. Par consequent, la determinationde l’amortissement modal (Figure 60b) devient delicate.

4.5.2 Le 13 Juin 2007

Sur base des memes parametres d’algorithme, 2 detections sur 3 sont exploitables pour la journeedu 13 Juin 2007. Les resultats sont visibles a la Table 8. On note que les deux evenements sederoulent sur le meme mode propre.

Le traitement du premier et du second evenement sont visibles respectivement a la Figure 61 et62. La verification manuelle est visible a la Figure 63.

On remarque qu’entre 00 05 00 et 06 00 00, plus de deux evenements prennent naissance sur le33.45 Hz. Cependant, certains d’entre eux sont indetectables/inexploitables car ils ne respectentpas les contraintes predefinies.

63

02:00:00 02:05:00 02:10:00 02:15:000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :06−Jun−2007 02:01:13/final time :06−Jun−2007 02:12:15

(a) Enveloppe detectee : feig = 32.68[Hz]

02:06:00 02:06:30 02:07:00 02:07:30−4.2

−4

−3.8

−3.6

−3.4

−3.2

−3

−2.8

−2.6

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :06−Jun−2007 02:06:07/final time :06−Jun−2007 02:07:15

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

01:50:00 02:00:00 02:10:00

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :06−Jun−2007 01:45:00/final time :06−Jun−2007 02:15:00

(c) Filtrage passe-bande autour de 32.68 Hz.

02:00:00 02:10:00 02:20:00 02:30:001.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

X: 7.332e+005Y: 3.087

time [HH:MM:SS]

vite

sse

de v

ent p

erpe

ndul

aire

, moy

enné

e su

r 2

min

utes

[m/s

] initial time :06−Jun−2007 02:01:02/final time :06−Jun−2007 02:29:26

(d) Vitesse moyenne du vent.

Figure 59: Premier evenement detecte (06 Juin 2007).

4.5.3 Le 17 Juin 2007

Notre collecte de resultats continue avec la journee du 17 Juin 2007. Les parametres d’algorithmecontinuent d’evoluer. Ceux-ci sont visibles a la Table 9. On y retrouve aussi les resultats relatifs al’evenement detecte. Le traitement et la verification sont representes a la Figure 64. Nous choisissonsd’etudier une derniere journee avant d’evaluer l’ensemble des resultats.

4.5.4 Le 21 Juin 2007

Les resultats et les traitements des evenements detectes sont visibles respectivement a la Table10 et la Figure 65. Les Figures 65a et 65b montrent qu’il est possible d’obtenir un amortissementmodal meme lorsqu’il y a beaucoup de battements.

Resultat Valeur1 Valeur2feig[Hz] 33.45 33.47T [kN ] 14.76 14.82ζ[1] 1.3602.10−4 1.0345.10−4

Table 8: Resultats obtenus le 13 Juin 2007.

64

19:50:00 19:55:00 20:00:00 20:05:000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :06−Jun−2007 19:52:29/final time :06−Jun−2007 20:02:31

(a) Enveloppe detectee : feig = 20.79[Hz]

19:56:30 19:57:00 19:57:30 19:58:00−3.4

−3.2

−3

−2.8

−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :06−Jun−2007 19:56:41/final time :06−Jun−2007 19:57:48

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

19:40:00 19:50:00 20:00:00 20:10:00 20:20:00−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :06−Jun−2007 19:45:00/final time :06−Jun−2007 20:15:00

(c) Filtrage passe-bande autour de 20.79 Hz.

19:45:00 20:00:00 20:15:000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X: 7.332e+005Y: 2.347

time [HH:MM:SS]

vite

sse

de v

ent p

erpe

ndic

ulai

re, m

oyen

née

sur

2 m

inut

es [m

/s] initial time :06−Jun−2007 19:46:03/final time :06−Jun−2007 20:14:28

(d) Vitesse moyenne du vent.

Figure 60: Deuxieme evenement detecte (06 Juin 2007).

00:25:00 00:30:00 00:35:00 00:40:000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :13−Jun−2007 00:25:41/final time :13−Jun−2007 00:38:41

(a) Enveloppe detectee : feig = 33.45[Hz]

00:33:00 00:33:15 00:33:30 00:33:45 00:34:00−5

−4.8

−4.6

−4.4

−4.2

−4

−3.8

−3.6

−3.4

−3.2

−3

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :13−Jun−2007 00:33:07/final time :13−Jun−2007 00:33:59

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

Figure 61: Premier evenement detecte (13 Juin 2007).

65

05:00:00 05:05:00 05:10:00 05:15:000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :13−Jun−2007 05:02:40/final time :13−Jun−2007 05:14:41

(a) Enveloppe detectee : feig = 33.47[Hz]

05:08:30 05:09:00 05:09:30 05:10:00 05:10:30−4.2

−4

−3.8

−3.6

−3.4

−3.2

−3

−2.8

−2.6

−2.4

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :13−Jun−2007 05:08:51/final time :13−Jun−2007 05:10:02

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

Figure 62: Deuxieme evenement detecte (13 Juin 2007).

(a) Mise en evidence du premier evenement. (b) Mise en evidence du second evenement.

Figure 63: Filtrage passe-bande autour de 33.45 Hz (13 Juin 2007).

Parametre Valeurtime window 60[s]

min hits 5min Strouhal percentage 0.6[ %

100 ]energy factor 16

localized energy percentage 0.7peak bandwidth coeff 2extend time window 300[s]amplitude factor 8decay time window 100[s]

wind averaging period 2[min]

Resultat Valeur1feig[Hz] 20.52T [kN ] 14.48ζ[1] 1.4462.10−4

Table 9: Parametres et resultats obtenus pour le 17 Juin 2007.

66

14:20:00 14:30:00 14:40:00 14:50:000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :17−Jun−2007 14:24:31/final time :17−Jun−2007 14:42:31

(a) Enveloppe detectee : feig = 20.52[Hz]

14:36:00 14:37:00 14:38:00 14:39:00−5.5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

time [HH:MM:SS]lo

g am

plitu

de

initial time :17−Jun−2007 14:36:51/final time :17−Jun−2007 14:38:51

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

14:30:00 14:40:00

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :17−Jun−2007 14:25:00/final time :17−Jun−2007 14:45:00

(c) Filtrage passe-bande autour de 20.52 Hz.

14:25:00 14:30:00 14:35:00 14:40:00 14:45:000

0.5

1

1.5

2

2.5

X: 7.332e+005Y: 2.334

time [HH:MM:SS]

vite

sse

de v

ent p

erpe

ndic

ulai

re, m

oyen

née

sur

2 m

inut

es [m

/s] initial time :17−Jun−2007 14:26:03/final time :17−Jun−2007 14:44:13

(d) Vitesse moyenne du vent.

Figure 64: Evenement detecte le 17 Juin 2007.

Resultat Valeur1 Valeur2 Valeur3 Valeur4feig[Hz] 9.54 9.19 13.80 10.90T [kN ] 15.26 15.26 10.76 10.93ζ[1] 9.3114.10−5 1.1193.10−4 1.4373.10−4 1.3335.10−4

Table 10: Resultats obtenus le 21 Juin 2007.

67

00:00:00 00:15:00 00:30:00 00:45:00 01:00:000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :21−Jun−2007 00:11:41/final time :21−Jun−2007 00:54:41

(a) Enveloppe detectee : feig = 9.54[Hz]

00:46:00 00:47:00 00:48:00 00:49:00 00:50:00−3.2

−3

−2.8

−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :21−Jun−2007 00:46:14/final time :21−Jun−2007 00:49:41

Modal envelopeLinear approx.

(b) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

04:50:00 05:00:00 05:10:00 05:20:000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :21−Jun−2007 04:59:41/final time :21−Jun−2007 05:19:41

(c) Enveloppe detectee : feig = 9.19[Hz].

05:11:00 05:12:00 05:13:00 05:14:00 05:15:00−2.2

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :21−Jun−2007 05:11:19/final time :21−Jun−2007 05:14:41

Modal envelopeLinear approx.

(d) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

17:25:00 17:30:00 17:35:00 17:40:00 17:45:000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :21−Jun−2007 17:26:05/final time :21−Jun−2007 17:40:05

(e) Enveloppe detectee : feig = 13.80[Hz].

17:32:00 17:33:00 17:34:00 17:35:00 17:36:00−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :21−Jun−2007 17:32:16/final time :21−Jun−2007 17:35:06

Modal envelopeLinear approx.

(f) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

17:35:00 17:40:00 17:45:00 17:50:00 17:55:000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :21−Jun−2007 17:36:06/final time :21−Jun−2007 17:53:06

(g) Enveloppe detectee : feig = 10.90[Hz].

17:44:00 17:45:00 17:46:00 17:47:00 17:48:00 17:49:00−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

time [HH:MM:SS]

log

ampl

itude

initial time :21−Jun−2007 17:44:27/final time :21−Jun−2007 17:48:06

Modal envelopeLinear approx.

(h) Fenetre d’approximation et modele lineaire.

Figure 65: Evenements du 21 Juin 2007.

68

feig[Hz] T [kN ] ζ[1] Date Heure32.68 15.21 1.0618.10−4 06 02 10 0020.79 14.21 1.2322.10−4 06 20 00 008.84 14.21 1.2783.10−4 09 01 05 0019.63 14.21 1.3103.10−4 09 01 25 0021.16 14.21 5.7208.10−5 09 03 10 0020.01 14.15 7.9275.10−5 09 04 50 0033.45 14.76 1.3602.10−4 13 00 35 0033.47 14.82 1.0345.10−4 13 05 10 009.54 15.26 9.3114.10−5 21 01 00 009.19 15.26 1.1193.10−4 21 05 20 0013.80 10.76 1.4373.10−4 21 17 40 0010.90 10.93 1.3335.10−4 21 17 50 00

Table 11: Resultats collectes.

4.5.5 Recapitulatif des resultats collectes

L’ensemble des resultats collectes est visible a la Table 11. Sur cette base, on peut essayerd’evaluer la sante du cable. En pratique, il est evident qu’il faudra beaucoup plus de mesurespour effectuer un diagnostic precis. Dans le cadre de ce travail, on se focalisera essentiellement surla demarche d’evaluation plutot que sur la validite du diagnostic. Nous esperons que cette tachepourra etre approfondie dans des travaux ulterieurs.

5 Tentative d’evaluation de la sante du cableSur base des resultats collectes, nous tentons d’evaluer la sante du cable. Pour ce faire, nous

devons d’abord calculer le nombre de Scruton. Ainsi, nous pouvons acceder a l’amplitude reduitemaximale du regime etabli. Ensuite, il sera possible de calculer la puissance injectee par le vent surle mode et de lier le tout au coefficient β d’interet.

Malheureusement, cette procedure est mise en defaut des la premiere etape. Il n’est pas possiblede trouver une relation qui lie correctement nos nombres de Scruton avec des amplitudes reduitescoherentes. En particulier, la formule derivee dans le rappel theorique (equation (47)) ne donnerien de probant.

Les valeurs des amortissements reduits collectes sont mises en cause. Celles-ci sont plus faiblesque les ordres de grandeur trouves dans la litterature [5]. Il serait donc judicieux de trouver uneautre methode de determination d’amortissement. On pourrait ainsi verifier la validite des valeursactuelles.

5.1 Nouvelle methode de determination de l’amortissement modalJusqu’a present, les desavantages de la methode utilisee sont les suivants :

– Le filtrage autour d’une frequence propre est delicat et modifie l’integrite du signal ;– La superposition d’un modele lineaire est une operation douteuse, compte tenu des effets de

battement ;– Peu de resultats sont exploitables.

69

0 1 2 3 4 5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

time [s]

Am

plitu

de

A*exp(−zeta*omega*t)*cos(omega*t) ; A=4,zeta=10−3,omega=2*pi*30

(a) Oscillation libre de parametres modaux connus.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

index

log

− a

mpl

itude

Peak values monitoring (Blue) ; Linear model (Red)

Values Linear model

(b) Logarithme des valeurs (√.) de pics collectees.

Figure 66: Relation entre amplitude de vibration et valeur des pics.

Il est donc souhaitable de s’affranchir des filtrages pour esperer obtenir des ameliorations. Cefaisant, comment pourrait-on acceder a l’amortissement modal reduit si la vibration du mode n’estplus extraite en temporel ? Nous avons vu que l’amortissement est le temoignage de la dissipationenergetique du cable. De plus, les spectres frequentiels quantifient l’energie contenue dans chaquefrequency bins du signal. En observant la decroissance des pics du spectre, il serait theoriquementpossible de deduire un amortissement modal reduit. Ainsi, tout le travail se ferait dans le domainefrequentiel et les filtrages ne seraient plus necessaires.

A la Figure 66, nous illustrons cette demarche pour un relachement hypothetique. Par pas de1 seconde, le spectre du signal est calcule et la valeur du pic principal est collecte (en racinecarree). Le logarithme des valeurs obtenues est ensuite approxime par une droite (Figure 66b).L’amortissement modal reduit est donne par :

−bωeig

= ζ = 10−3 (55)

On retrouve correctement l’amortissement qui avait ete applique (voir Figure 66a). Si plusieursfrequences sont presentes dans le signal, il suffit d’observer le pic d’interet pour en deduire l’amor-tissement modal.

En pratique, la representation frequentielle du mode propre a une certaine acuite. L’energie dumode est diffusee autour du pic principal. C’est donc l’energie totale du mode qui se doit d’etreobservee, et pas uniquement la valeur de pic maximale.

5.2 Faiblesse de l’algorithme de detectionLa constatation precedente met en evidence une faiblesse de l’algorithme de detection. En effet,

l’acuite des pics etait negligee car nous travaillions sur un coefficient unique, relatif a la valeurmaximale de la frequence propre. Pour que les criteres d’arret soient physiquement corrects, il fautprendre en consideration l’energie totale du mode.

Les fonctions band pass.m et spectrum criterium.m sont donc modifiees en consequence. Ondevrait logiquement detecter des evenements de maniere plus fiable.

70

5.3 Essai des nouveaux algorithmes : etude des cas de referenceComme nous avons pris l’habitude de le faire, nous revenons aux evenements references (8.8

et 19.6 Hz) du 09 Juin 2007. Notre objectif est d’evaluer a nouveau les amortissements modauxreduits.

5.3.1 Le 19.6 Hz

Commencons par l’etude du 19.6 Hz. L’algorithme de detection determine correctement le mo-ment ou le mode se relache. Ensuite, le contenu frequentiel du mode est surveille jusqu’a ce qu’unseuil soit atteint (energie suffisamment faible ou derivee positive). La situation est illustree quali-tativement a la Figure 67. Au fil des fenetres, la valeur du pic d’interet decroıt et le spectre devientde moins en moins localise. Ceci est le temoignage de la decroissance energetique du 19.6 Hz.

Le signal temporel de vibration est visible a la Figure 68. On remarque qu’en utilisant cettenouvelle methode, aucun filtrage n’est necessaire. La contre-partie vient du fait que l’on n’a plusd’elements de verification visuels, dans le sens ou on ne voit plus explicitement la vibration dans lemode d’interet. La methode est donc moins intuitive pour les non inities, mais meilleure en termesde performances.

L’amortissement modal reduit determine vaut :

ζ19.6 = 1.1763.10−4 (56)

Cette valeur est proche de celle determinee par etude d’enveloppe (ζ = 1.3103.10−4).

5.3.2 Le 8.8 Hz

Interessons nous desormais au 8.8 Hz. La surveillance spectrale du mode est visible a la Figure69. Le signal temporel etudie est visible a la Figure 70. Une nouvelle fois, on voit que le relachementdu mode est noye dans les autres vibrations. Sans l’analyse spectrale, aucune investigation n’auraitpu etre menee.

L’amortissement modal reduit determine vaut :

ζ8.8 = 1.2438.10−4 (57)

A nouveau, l’ordre de grandeur est identique a celui obtenu par la methode precedente (ζ =1.2783.10−4).

5.4 Essai des nouveaux algorithmes : quelques cas supplementairesL’etude des cas de reference nous conforte dans l’idee que nos amortissements modaux sont

correctement determines (similarite des resultats). Neanmoins, les resultats restent toujours in-exploitables. Nous decidons d’appliquer les nouveaux algorithmes a de nouvelles sequences pourverifier l’hypothese avancee.

Les resultats obtenus ne donnent pas plus d’indications. L’algorithme de detection est plus ro-buste et permet de detecter plus d’evenements. L’algorithme de traitement permet d’exploiter plusd’evenements grace a la nouvelle methode. Les ordres de grandeur restent quant a eux inchanges.

71

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:22:49/final time :09−Jun−2007 01:23:00

(a) Fenetre n◦1.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:23:00/final time :09−Jun−2007 01:23:10

(b) Fenetre n◦2.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:23:10/final time :09−Jun−2007 01:23:20

(c) Fenetre n◦3.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:23:20/final time :09−Jun−2007 01:23:30

(d) Fenetre n◦4.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:23:30/final time :09−Jun−2007 01:23:40

(e) Fenetre n◦5.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:23:40/final time :09−Jun−2007 01:23:50

(f) Fenetre n◦6.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:23:50/final time :09−Jun−2007 01:24:00

(g) Fenetre n◦7.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:24:00/final time :09−Jun−2007 01:24:10

(h) Fenetre n◦8.

Figure 67: Decroissance energetique du 19.6 Hz.

72

01:23:00 01:24:00 01:25:00

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 01:22:49/final time :09−Jun−2007 01:24:50

Figure 68: Sequence a partir de laquelle la decroissance du 19.6 Hz est etudiee.

5.5 Enseignements a tirerLa non-evaluation des resultats remet en cause les investigations menees au cours de ce travail.

Nous sommes forces de constater que le diagnostic des lignes aeriennes ne peut pas etre etabli. L’ob-jectif principal du travail etait de determiner l’amortissement modal. Les analyses nous prouventque nous sommes proches de la verite. Nous emettons ici quelques hypotheses qui peuvent expliquerce denouement :

– Une erreur est presente dans le code ;– Une erreur d’interfacage modifie l’integrite des signaux etudies ;– Une erreur est presente dans le developpement mathematique de l’amortissement reduit ;– L’hypothese du modele visqueux est incorrecte ;– Une erreur de traitement de signal modifie l’integrite des signaux etudies ;– Les fonctions polynomiales de puissance de vent injectee ont ete mal utilisees ;– Les developpements mathematiques concernant le nombre de Scruton sont errones ;– Le cable etudie possede un amortissement tres faible pour lequel aucun modele n’a ete trouve.

6 Pistes additionnellesL’objectif de cette derniere partie est de suggerer quelques nouvelles pistes d’investigation. Ici,

nous n’avons pas la pretention d’obtenir de nouveaux resultats. Nous nous laissons guider par notrecuriosite et notre volonte de mieux comprendre les vibrations eoliennes.

6.1 Les vibrations eoliennes HFAu cours de ce travail, nous avons rarement rencontre des evenements HF. Pour la plage de

vent etudiee, la formule de Strouhal nous donne une borne superieure de 66.41 Hz. Cependant, lesevenements detectes HF (non repertories dans ce rapport) valaient tout au plus 40 Hz. On est deslors en droit de se questionner sur la validite des criteres de detection.

En theorie, les modes HF dissipent plus d’energie que les LF. Ainsi, l’amplitude maximale devibration des HF est plus faible, de meme que l’energie contenue dans le mode. Intuitivement, ilsemble difficile qu’un evenement HF puisse respecter le critere de spectre localise. De son cote, lecritere de Strouhal n’a pas de raison d’etre invalide en HF. La coherence spatiale du vent a certaine-ment plus de variabilite a vitesses elevees, mais la formule devrait logiquement etre respectee sur lamajorite des fenetres detectees. Finalement, des dissipations importantes induisent des evenementsplus courts dans le temps. Il est donc plus difficile d’obtenir un nombre eleve de confirmations pour

73

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:02:10/final time :09−Jun−2007 01:02:20

(a) Fenetre n◦1.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:02:20/final time :09−Jun−2007 01:02:30

(b) Fenetre n◦2.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 01:02:30/final time :09−Jun−2007 01:02:40

(c) Fenetre n◦3.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

minitial time :09−Jun−2007 01:02:40/final time :09−Jun−2007 01:02:50

(d) Fenetre n◦4.

Figure 69: Decroissance energetique du 8.8 Hz.

01:02:00 01:02:30 01:03:00

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 01:02:00/final time :09−Jun−2007 01:03:00

Figure 70: Sequence a partir de laquelle la decroissance du 8.8 Hz est etudiee.

74

un evenement HF. Une bonne resolution temporelle est donc requise, ce qui entraıne des contraintessupplementaires dans le domaine frequentiel.

On souhaite explorer la piste de la localisation energetique en HF. Idealement, il est necessairede diviser le spectre frequentiel en plusieurs parties pour le critere puisse etre satisfait. De cefait, on eviterait que les ordres de grandeur des pics ne se melangent : les vibrations eoliennes HFpourraient ne pas etre noyees dans des vibrations LF. On pourrait egalement se dire que l’on etudieuniquement la localisation energetique sur la plage de frequence donnee par le lock-in. Il faut deslors etre certain que la vitesse du vent perpendiculaire au cable est connue precisement.

Les solutions avancees vont etre brievement testees. Une fois l’algorithme de detection adapte,nous obtenons des evenements HF. Cependant, les amortissements modaux correspondants sontplus ou moins egaux a ceux determines pour les evenements LF. Ceci est physiquement contre-intuitif. La Figure 71 illustre un exemple d’evolution de l’amortissement reduit pour differentesfrequences et differentes amplitudes reduites. On voit une separation d’un ordre de grandeur entreles LF et les HF.

Figure 71: Evolution de l’amortissement reduit des LF aux HF (Source : [5]).

6.2 L’axe X de l’accelerometreAu cours de ce travail, nous avons vu que les vibrations eoliennes apparaissaient sur l’axe trans-

versal Y du conducteur. Lorsqu’un evenement se produit, il serait interessant de regarder ce quise passe sur l’axe X. Cela permettrait de degager eventuellement un nouveau critere de detection.

Pour les evenements de reference, nous filtrons le signal de vibration autour des frequencespropres d’interet. L’operation est visible a la Figure 72. Premierement, on remarque que les unitesde l’axe X sont erronees. Ceci provient certainement d’une erreur d’interfacage ou de calibration.Neanmoins, en negligeant ce facteur d’echelle, on voit que les evenements de vibrations eoliennessont clairement visibles sur l’axe X.

Il serait donc possible d’affiner les criteres de detection en utilisant l’information de l’axe X. Onpourrait envisager un critere de localisation energetique pour les spectres des 2 axes. On pourraitegalement utiliser l’axe X pour obtenir une mesure supplementaire de l’amortissement modal.

75

00:45:00 01:00:00 01:15:00 01:30:00 01:45:00−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:30:00

(a) Filtrage passe-bande autour de 8.8 Hz (axe X).

01:00:00 01:15:00 01:30:00

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

(b) Filtrage passe-bande autour de 8.8 Hz (axe Y ).

00:45:00 01:00:00 01:15:00 01:30:00 01:45:00−3

−2

−1

0

1

2

3

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:30:00

(c) Filtrage passe-bande autour de 19.6 Hz (axe X).

00:45:00 01:00:00 01:15:00 01:30:00 01:45:00−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 00:48:00/final time :09−Jun−2007 01:32:00

(d) Filtrage passe-bande autour de 19.6 Hz (axe Y ).

Figure 72: Comparaison des axes X et Y pour les deux evenements de reference.

6.3 L’etude d’un autre cable : ASTER 228Jusqu’a present, nous n’avons pas encore etudie les vibrations eoliennes sur un cable AAAC conven-

tionnel. Nous profitons de cette section pour investiguer les vibrations du cable ASTER 228. Notrepriorite est de connaıtre les ordres de grandeur de l’amortissement reduit modal.

En appliquant l’algorithme de detection a la journee du 09 Juin 2007, plusieurs evenements sontdetectes. Nous nous interessons a l’un d’entre eux en particulier, visible a la Figure 73. La Figure73a montre le signal de vibration non filtre. On remarque une decroissance en amplitude sur lafin de sequence. La Figure 73b montre le spectre du signal precedent. C’est un spectre typiqued’evenement de vibrations eoliennes. Le mode propre excite se situe a la frequence propre de 21.16Hz. La Figure 73c represente le signal filtre autour du pic principal. Le relachement du mode estclairement visible. Finalement, la Figure 73d montre la vitesse instantanee du vent (composanteperpendiculaire au cable). Pour une frequence propre a 21.16 Hz, la formule de Strouhal preditune vitesse d’initiation de 2.24 m/s. Avec l’effet de lock-in, nous voyons que la vitesse du ventcorrespond plus ou moins a la plage admissible. En fin de sequence, la vitesse croıt et provoque ledecrochage du 21.16 Hz.

Sur base de cet evenement, notre objectif est d’evaluer l’amortissement modal reduit. Commenous l’avons constate precedemment, l’ordre de grandeur des ζ etait trop faible pour permettre uneevaluation de la sante du cable. Des lors, on a remis logiquement en cause la maniere de calculerl’amortissement. Ici, on choisit d’adapter manuellement une exponentielle decroissante pour qu’elle

76

03:00:00

−1

−0.5

0

0.5

1

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 02:50:00/final time :09−Jun−2007 03:10:00

(a) Signal de vibration non filtre.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1X: 21.16Y: 1

frequency bins [Hz]

Nor

mal

ized

spe

ctru

m

initial time :09−Jun−2007 02:50:00/final time :09−Jun−2007 03:10:00

(b) Spectre de la sequence etudiee.

03:00:00

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

time [HH:MM:SS]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

initial time :09−Jun−2007 02:50:00/final time :09−Jun−2007 03:10:00

(c) Filtrage passe-bande autour de 21.16 Hz.

02:45:00 03:00:00 03:15:001

1.5

2

2.5

3

3.5

time [HH:MM:SS]

vite

sse

inst

anta

née

du v

ent (

com

posa

nte

perp

endi

cula

ire)

[m/s

] initial time :09−Jun−2007 02:50:01/final time :09−Jun−2007 03:10:04

(d) Vitesse instantanee du vent.

Figure 73: Evenement isole dans la journee du 09 Juin 2007.

77

0 50 100 150 200 250

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

temps [s]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

Relâchement du mode (amortissement modal réduit inconnu)

(a) Zoom sur le relachement du mode.

0 50 100 150 200 250 300−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

temps [s]

acce

lera

tion

[m/s

2 ]

Décroissance exponentielle (zeta = 6*10−5)

(b) Decroissance exponentielle (ζ connu).

Figure 74: Determination de l’amortissement modal reduit du 21.16 Hz.

corresponde au mieux a la decroissance du signal. La demarche est visible a la Figure 74. LaFigure 74a represente le relachement du mode et la Figure 74b montre l’exponentielle adaptee. Onremarque que l’ordre de grandeur est identique au cable AZALEE 261. Ces valeurs restent toujoursinexploitables.

On notera que cet evenement avait egalement ete detecte pour le cable AZALEE 261 (Figure 54a).Cela n’a rien de surprenant. Les deux cables ont le meme diametre et un nombre de Strouhal quasiidentique.

7 Recommandations pour les travaux futursNous sommes arrives au terme de ce travail. Grace aux differentes investigations menees, nous

avons pu prolonger le travail de Sergi Gonzalez Prunera, en apportant notre pierre a l’edifice.Desormais, nous passons le flambeau aux futurs etudiants desireux de poursuivre ces analyses.Pour les aider, nous donnons ici quelques recommandations pour leurs travaux ulterieurs.

7.1 Mieux exploiter la vitesse du ventDans ce travail, les mesures du vent sont utilisees de maniere passive, dans le sens ou c’est

le signal de vibration qui est etudie avant que la vitesse du vent ne soit correlee a la frequencede Strouhal. Cependant, le vent est la variable principale du phenomene de vibrations eoliennes.Toute notre attention devrait donc se concentrer sur cette grandeur, etant donne qu’elle determinele debut et la fin d’un evenement.

On pourrait imaginer un algorithme de detection base principalement sur les mesures meteo.On surveillerait ainsi la composante perpendiculaire de la vitesse du vent. Lorsque la vitesse resteconstante au cours du temps (dans la plage admissible), il y a de fortes chances que des vibrationseoliennes apparaissent. Ensuite, si le signal meteo subit des variations importantes, on peut s’at-tendre a ce que le mode decroche et se relache selon son amortissement naturel. Cette demarchepourrait etre soit une alternative, soit venir en complement a la methode developpee dans ce travail.

7.2 Detecter par apprentissage automatiqueQuel que soit le domaine d’application, la detection d’un objet particulier se base sur la connais-

sance de ses caracteristiques. Dans ce travail, les concepts theoriques nous ont permis de detecter

78

un certain nombre d’evenements de vibrations eoliennes. Neanmoins, nous avons rapidement re-marque que la detection dependait des sets de donnees etudies, et que les parametres d’algorithmedevaient s’adapter. Ceci est une limitation importante de la routine developpee. Il serait preferableque les performances de detection soient independantes des signaux etudies.

Pour ce faire, il existe des methodes de detection plus rigoureuses qui permettent de jugerles evenements de maniere impartiale. L’apprentissage automatique serait une solution elegante.Sur base d’evenements deja detectes, il serait possible d’entraıner la machine a reconnaıtre lesevenements de vibrations eoliennes.

7.3 Utiliser des outils statistiques dans le diagnostic de santeCe travail n’a pas permis d’evaluer la sante du cable etudie. On peut esperer que dans les travaux

futurs, les erreurs supposees soient corrigees et que le β du conducteur puisse etre determine.

Sur une courte periode de temps, les effets de fatigue sur la structure interne du conducteursont negligeables. Il s’en suit que le β du conducteur devrait idealement etre constant, quel quesoit le mode propre etudie. En pratique, les sources d’amortissement externes au cable viennentperturber le β reel. Sur une plus longue periode de temps, on peut supposer que le β va augmentercar l’amortissement croıt au fur a mesure que le cable se degrade. L’energie de vibration est eneffet convertie dans les micro-fissures. Par consequent, le β devrait devier de sa valeur reference.

On remarque qu’il est complexe de surveiller l’evolution de ce parametre. Beaucoup de fac-teurs entrent en jeu : ils influencent le diagnostic du conducteur. Des outils statistiques seraientnecessaires pour etudier cette evolution au cours du temps. On pourrait imaginer construire unematrice a N dimensions, ou les valeurs des β seraient associees a leurs N parametres specifiques(frequence propre, tension mecanique, presence d’un amortisseur, etc.). Ensuite, l’evolution statis-tique des proprietes intrinseques de la matrice permettrait de detecter un changement de sante.

79

ConclusionsL’objectif de ce travail etait de pouvoir determiner l’amortissement modal d’une ligne aerienne

soumise a un evenement de vibrations eoliennes. A cette fin, un algorithme de detection d’evenementsa du etre egalement developpe. Sur base des resultats collectes, une tentative de diagnostic de laligne a ete realisee.

Ce travail a debute par l’etude de deux sequences vibratoires. Il a ete prouve que la seconded’entre elles contenait au minimum deux evenements de vibrations eoliennes. Ces signaux dereference ont permis aux concepts theoriques de se manifester concretement. En particulier, ona etudie la localisation energetique des spectres et les differentes phases de decroissance d’unevenement. Ensuite, la methode de Prony a ete testee pour determiner l’amortissement modal.Il a ete prouve que cette methode pouvait etre utilisee mais qu’elle n’etait pas bien adaptee auxcontraintes en presence. Au final, une technique basee sur l’approximation lineaire du logarithmede la decroissance a ete retenue.

Sur base de criteres elementaires, il a ete possible de detecter des evenements de vibrationseoliennes. Un algorithme de detection et de traitement a ete developpe sous Matlab. Les resultatsobtenus ont offert de nouvelles representations graphiques d’evenements, et ce dans leurs modespropres d’interet. Elles donnent aux lecteurs une vision intuitive des vibrations eoliennes. Ceci estune originalite par rapport a la litterature utilisee.

Malgre les efforts mis en œuvre, l’evaluation de la sante des cables n’a pas ete realisee car l’ordrede grandeur des amortissements modaux reduits etait trop faible. Une erreur de developpementdevrait en etre la cause la plus probable. Plusieurs methodes ont ete employees et toutes ont conduita ce meme ordre de grandeur.

En particulier, une seconde methode de traitement a ete developpee dans le domaine frequentiel.Elle se base sur la surveillance des pics frequentiels designes par l’algorithme de detection. Lesspectres ont permis de quantifier l’amortissement modal en observant la decroissance energetiquedes raies. Cette technique nous a affranchis de tout filtrage.

Un certain nombre de pistes additionnelles ont ete decrites. Elles ouvrent la voie a de nouvellesinvestigations pour les etudiants desireux de continuer ce travail. On y retrouve notamment l’etuded’un autre cable, d’un autre axe de l’accelerometre et des vibrations eoliennes hautes frequences.

80

References[1] Sondipon Adhikari. Damping Modelling and Identification using Generalized Proportional

Damping. Department of Aerospace Engineering, University of Bristol, Queens Building,University Walk, Bristol BS8 1TR (U.K.).

[2] Al Majid Ahmad. Dissipation de l’energie en mecanique vibratoire : operateur d’hysteresis,phenomene metrique. PhD thesis, INSA Lyon, 2002.

[3] Alan S. Willsky Alan V. Oppenheim. Signals and Systems. Prentice Hall, 1996.[4] Gerard de Haan. Digital Video Post Processing. CIP-data Koninklijke Bibliotheek, The Hague,

2006.[5] EPRI Editor. Transmission Line Reference Book : Wind-Induced Conductor Motion. Electric

Power Research Institute, Palo Alto, California, United States, 2006.[6] Jean-Claude Golinval. Cours de Dynamique des systemes mecaniques. Universite de Liege.[7] Suzanne Guerard. Power Line Conductors, a Contribution to the Analysis of their Dynamic

Behaviour. PhD thesis, University of Liege, 2011.[8] Dieter Pichler Helmut Wenzel. Ambient Vibration Monitoring. John Wiley & Sons, Ltd, West

Sussex PO19 8SQ, England, 2005.[9] Bertrand Godard Jean-Louis Lilien, Suzanne Guerard. Power Line Aeolian Vibrations. Com-

parative evaluation of Azalee/Aster cable at Dead Water Fell location. University of Liege,Department of Electronics, Electricity and Computer Sciences, Transmission and Distributionof Electrical Energy, 2007.

[10] Sergi Gonzalez Prunera. Investigations on Overhead Power Line Cables Health Monitoring.Master’s thesis, University of Liege, 2013.

[11] Charles Rawlins. Wind Tunnel Measurements of the Power Imparted to a Model of a VibratringConductor. IEEE Transactions on Power Apparatus & Systems, vol.PAS-102, No 4, 1983.

[12] Charles Rawlins. Model of Power Imparted to a Vibrating Conductor under Turbulent Wind.Technical Report Technical note 31, Alcoa, 1998.

[13] Rodolphe Sepulchre. Cours de Modelisation et analyse des systemes. Universite de Liege.[14] Jean-Louis Lilien Suzanne Gerard. A Breaktrough in the Evalutation of Conducteur Self Dam-

ping. IEEE Transactions on Power Delivery, vol6, No 1, 2012.

82