Chapitre 6 : Statistiques (2 semaines)

• Vocabulaire• Représentations• Moyenne, médiane, étendue, quartiles• Utilisation de la calculatrice

STATISTIQUES

1 Vocabulaire 1.1 A partir d'un exempleAux 36 élèves de la classe de 2D2 qui ont regardé (en entier ou en partie) le dernier film de James Cameron, AVATAR, passé à la télévision, on a posé deux questions :1ère question : Quelle note, sur 20, proposeriez-vous pour ce film ?2ème question : Combien de temps avez-vous passé devant le poste de télévision ?

Exemples 1On a noté ci-dessous la série des 32 notes obtenues en réponse à la première question.

14 13 15 13 14 13 11 1313 13 11 14 12 14 12 1812 13 12 15 14 12 13 1512 12 11 11 13 14 10 1714 11 10 14

Exemples 2On a regroupé les réponses obtenues à la deuxième question en six classes.temps (en min) [ 40; 60 [ [60 ;80 [ [80 ;100 [ [100 ;120 [ [120 ;140 [ [140 ;160 [effectifs 1 4 7 9 6 9 1.2 Vocabulaire

Les premières études statistiques étaient des recensements démographiques : on en a conservé le vocabulaire.

➢ L'ensemble sur lequel on travaille en statistique est appelé population.Dans l’exemple 1, la population considérée est : l’ensemble des élèves de la classe 2D2.

➢ Si cet ensemble est trop vaste, on en restreint l'étude à une partie appelée échantillon.➢ Un élément de cet ensemble est appelé individu.

Dans l’exemple 1, l'individu étudié est : un élève de 2D2➢ La particularité commune que l'on étudie est appelée caractère (ou variable)

Dans l’exemple 1, le caractère étudié est : la note sur 20 donnée par chacun de ces élèves.

➢ Les valeurs prises par le caractère sont aussi appelées les modalités.Dans l’exemple 1, les modalités sont : des nombres entiers de 0 à 20

➢ Remarque : On pourrait s’intéresser à d’autres caractères concernant cette population : par exemple,

l’âge des élèves ou bien la taille ou bien le sexe ou bien le loisir préféré ou encore la catégorie

socioprofessionnelle des parents etc…➢ Un caractère est dit quantitatif, lorsque les modalités de ce caractère sont des nombres .

o Si les valeurs prises par le caractère sont isolées , il s’agit d’un caractère discret (exemple 1).o Si le caractère peut prendre toutes les valeurs d ’ un intervalle , il s’agit d’un caractère continu

(exemple 2)

o Dans le cas d'un caractère continu, ou quand le caractère discret prend trop de valeurs, on regroupe en général les individus dans des intervalles de type ]a ;b [ appelés classes.

➢ Un caractère est dit qualitatif, lorsque les modalités de ce caractère ne sont pas des nombres.Exercice 1 : Parmi les caractères cités dans la remarque précédente, indiquer quels sont ceux qui sont quantitatifs et quels sont ceux qui sont qualitatifs.

Quantitatifs : âge, la taille

Qualitatifs : le sexe, le loisir préféré, la catégorie socioprofessionnelle des parents

➢ Le nombre d'individus (ni ) d'une modalité est appelé effectif.

➢ Le nombre total d'individus (N ) de la population est appelé effectif total . (dans les exemples précédents N=36

➢ Le rapport f i=n iN

est appelé fréquence (fi est un nombre toujours compris entre 0 et 1). Souvent, les

nombres f i s'expriment par un pourcentage. La somme des nombres f i est toujours égale à 1.

Exercice 2 : Compléter le tableau suivant (on étudie la série de notes de l’exemple 1)

note donnée 10 11 12 13 14 15 17 18

effectif 2 5 7 9 8 3 1 1

fréquences 0 ,056 0 ,139 0 ,194 0 ,25 0 ,222 0 ,083 0 , 028 0 ,028

fréquences ( en %) 5, 6% 13,9% 19 ,4% 25 % 22 ,2% 8,33 % 2 , 8% 2 ,8%

2 Paramètre d'une série statistique 2.1 Étendue

➢ La différence des valeurs extrêmes du caractère s’appelle l ’ étendue (notée e)

➢ C’est un indicateur de dispersion.

Exercice 3 : Déterminer les valeurs extrêmes de la série de l’exemple 1, puis en déduire l’étendue.xMin=10xMax=18}⇒ e=xMax−x Min=18−10=8

2.2 Moyenne 2.2.1 Définition

➢ C’est un indicateur de position . (notation )

➢ x=n1 x1+n2 x2+...+np x p

N= somme des valeurs

effectif total=∑i=1

i= p

ni x i

N

➢ Caractérisation importante : La moyenne arithmétique d’une série statistique est la valeur que toutes

les données de la série auraient si elles étaient égales.

➢ Remarque : Dans le cas d’une série statistique à caractère continu regroupée en classes, on se sert du

centre des classes pour calculer la moyenne.

Exercice 5 : Calculer la moyenne pour chacun des exemples

exemple 1 : 10×2+11×5+12×7+13×9+14×8+15×3+17+1836

=46836

=13

exemple 2: 50×1+70×4+90×7+110×9+130×6+150×936

=408036

≈113 ,3 soit environ

1h53min

2.2.2 PropriétésExercice 8 : Le professeur MATADOR corrige les copies d’un contrôle.Voici les notes qu’il obtient :6 ;4 ;7 ;9 ;11 ;8;5 ;12 ;3 ;4 ;7 ;1 ;13;5 ;8 ;3; 4 ;9 ;10 ;10; 7;5 ;6 ; 2; 4Calculer la moyenne arithmétique x de cette série.

x= 6+4+7+9+11+8+5+12+3+4+7+1+13+5+8+3+4+9+10+10+7+5+6+2+425

=16325

=6 ,52

Le professeur, conscient des difficultés de ses élèves décide de relever les notes, mais il hésite entre deux méthodes :◦ Il envisage de multiplier chaque note par 1,5. Calculer alors les notes obtenues, puis la moyenne arithmétique y à ce devoir. Quelle relation existe-t-il entre x et y ?Les notes sont : 9 ;6 ;10,5 ;13,5 ;16,5 ;12; 7,5 ;18; 4 ,5 ;6 ;10 ,5 ;1 ,5 ;19 ,5 ;7 ,5 ;12 ;4 ,5; 6;13,5 ;15;15 ;10 ,5 ;7 ,5 ;9 ;3 ;6,

y= 9+6+10 ,5+13 ,5+16 ,5+...+10 ,5+7 ,5+9+3+625

=244 ,5

25=9,78

◦ Il envisage d’ajouter 2 points à chaque note. Calculer alors les notes obtenues, puis la moyenne arithmétique z à ce devoir. Quelle relation existe-t-il entre x et z ?8; 6; 9;11 ;13; 10; 7;14 ;5 ;6 ;9 ;3 ;15;7 ;10 ;5 ;6 ;11;12 ;12 ;9 ;7 ;8; 4 ;6

z= 8+6+9+11+13+10+7+14+5+6+9+3+15+7+10+5+6+11+12+12+9+7+8+4+625

=21325

=8 ,52➢ Si on multiplie toutes les valeurs par un nombre a , alors la moyenne de la série est aussi multiplier par

a . On a donc a x=a× x

➢ Si on ajoute le même nombre b à chaque valeur, alors la moyenne est aussi augmentée de b .

On a donc x+b=x+b

2.3 Médiane 2.3.1 Définition

➢ C’est aussi un indicateur de position . (notation Me )

➢ La médiane d’une série statistique est une valeur Me qui partage la série en deux séries de même

effectifs.

2.3.2 Recherche de la médiane▪ 1 er cas : le caractère de la série est discret

◦ Ordonner la série de la plus petite à la plus grande des valeurs du caractère ou dresser un tableau

d’effectif cumulé croissant

◦ Si l ’ effectif total est impair , on prend pour médiane la valeur centrale.

◦ Si l ’ effectif total est pair , par convention, la médiane est obtenue en prenant la moyenne des deux

valeurs centrales du caractère.

Exercice 9 : Déterminer la médiane de la série de l’exemple 1

Après avoir ordonné la série de note on obtient :

10; 10; 11; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12; 12;12; 12; 12; 13; 13;13;13⏟18 valeurs

13;13; 13; 13; 13; 14; 14; 14; 14;14; 14; 14; 14; 15; 15;15;17;18⏟18 valeurs

La médiane est donc 13

➢ 2 ème cas : le caractère de la série est continu

On trace la courbe des fréquences cumulées croissantes (ou décroissantes). La médiane est l’abscisse du

point d’ordonnée 50%

Exercice 10 : Déterminer la classe médiane puis la médiane de la série proposée dans l’exemple 2.

On lit Me=113 2.4 Quartile

2.4.1 Définition➢ C’est aussi un indicateur de position . (notation Q1 et Q3 )

➢ Le premier quartile d’une série statistique est la plus petite valeur Q1 telle que au moins 25% des valeurs soient inférieure ou égales à Q1 .

➢ Le troisième quartile d’une série statistique est la plus petite valeur Q3 telle que au moins 75% des valeurs soient inférieures ou égales à Q3 .

2.4.2 Recherche des quartiles

➢ Pour déterminer Q1 : On ordonne notre série. On calculer N4

:

• si c'est un nombre entier, le caractère de rang N4

est Q1

• sinon, on prend le caractère de rang supérieur.

➢ Pour déterminer Q3 : On ordonne notre série. On calculer 3 N4

:

• si c'est un nombre entier, le caractère de rang 3 N4

est Q3

• sinon, on prend le caractère de rang supérieur.Exercice 11 : Déterminer les quartiles de la série de l’exemple 110 ;10 ;11;11 ;11;11 ;11 ;12;12 ;12 ;12 ;12; 12;12 ;13 ;13;13 ;13 ;13;13 ;13;13 ;13

14 ;14 ;14;14 ;14 ;14 ;14 ;14 ;15;15 ;15 ;17;18 , on a N=36

MedQ1 Q330 40010

heures

fréquence en %

364

=9 , donc Q1 est le 9ème caractère de notre série ordonnée. Donc Q1=12

3×364

=27 , donc Q3 est le 27ème caractère de notre série ordonnée. Donc Q3=14

3 Représentations

➢ Nuage de points ➢ Diagramme en bâtons

➢ Histogramme

4 Utilisation de la calculatrice➢ Voir séance TD.

9 1001

Note

Effectif

9 1001

Note

Effectifs

= 1020 40 heures