stabilité en automatique

CHAPITRE 4

STABLILITÉ DES SYSTÈMES ASSERVIS

4.1, CONDITION GENERALE DE STABILITE

4.1.1. Définition au sens de l'Automatique

Pour l'automaticien, un système est stable si, abandonné à lui-même à partir de

conditions initiales quelconques, il revient à son état d'équilibre. Cette exigence peut se

traduire par une première définition :

Un système linéaire est stable si et seulement si sa réponse impulsionnelle tend vers

zéro lorsque le temps tend vers l'infini.

limh(t) = 0t->°°

Automatique S.A.L. chapitre 4 : Stabilité des systèmes asservis

© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1997], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Soit un système linéaire dont la fonction de transfert se présente sous la forme :

H^ = 7T\d(P)

L'on désigne par zéros du système les racines du numéroteur n(p) et par pôles du

système les racines de son dénominateur d(p). Par décomposition en éléments simples et

recherche des originaux par tranformation de Laplace inverse, on sait que la solution

temporelle h(t) est fonction des pôles de H(p), c'est-à-dire des racines du polynôme

d(p).

On en conclut immédiatement que :

Un système linéaire est stable si et seulement si tous ses pôles sont à partie réelle

strictement négative ;

c'est-à-dire si sa réponse impulsionnelle est une combinaison d'exponentielles dont les

exposants réels sont tous négatifs (exponentielles décroissantes).

L'analyse graphique de la position des pôles de la fonction de transfert dans le

plan complexe permet de visualiser le type de stabilité (ou d'instabilité) qui affecte le

système considéré.

Stabilité : tous les pôles de la fonction de transfert ont leur partie réelle négative

(exponentielles décroissantes)

Stabilité

isymptotique

apériodique



Instabilité : l'un au moins des pôles de H(p) a sa partie réelle positive (au moins

l'une des exponentielles est croissante)


4.1.2. Règle de Routh

Cependant pour tester la stabilité, point n'est besoin de calculer impérativement

les racines du polynôme d(p). Parmi les divers critères algébriques couramment utilisés,

on peut citer le critère de Routh. La règle de Routh peut être formulée comme suit.

Soit le polynôme : d(p) = 1 + aj3 + a2p + ...

Le système est stable si et seulement si les déterminants de tous les blocs délimités sur

le tableau ci-dessous sont positifs. On ne teste évidemment que les n-1 premiers blocs

pour un polynôme de degré n. Les coefficients inexistants (an+i) sont remplacés par 0

dans le tableau.

aj 1 0 0 0 0 0

a3 a2 aj 1 0 0 0

a5 a4 a3 a2 aj 1 0

a7 a6 a5 a4 a3 a2

*9

Il vient les conditions suivantes :

- pour le 1er ordre : al > 0

- pour le 2ème ordre : ^ > 0 a2 > 0



- pour le 3ème ordre : a{ > 0 a^2 - a3 > 0 a3 > 0 ^X)

Quelque soit Tordre, la posïtivité de tous les coefficients a{ est une condition

nécessaire ; jusqu'à Tordre 2, elle est suffisante.

4.2. CAS DES SYSTÈMES ASSERVIS

4.2.1. Critère de NYQUIST

Nous avons déjà vu que la stabilité d'un système asservi dépend des pôles de sa

fonction de transfert en boucle fermée, c'est-à-dire des racines de son dénominateur :

l+Hb o(p) = l + K . G ( p ) = 0

Soit des racines de sa sensibilité : £ = 0

Si Z est le nombre de racines de Z à partie réelle positive et si P est son nombre

de pôles également à partie réelle positive :

* On sait, d'une part, que pour assurer la stabilité, les zéros de Z ne doivent pas être

contenus dans le demi-plan droit ; il faut donc :

Z = Q

* On démontre, d'autre part, que la condition nécessaire et suffisante pour que le

système soit stable est que la relation suivante soit vérifiée (théorème de CAUCHY) :



AArgE(jco)|r=-, = 27iP

Pratiquement, on préfère s'intéresser, non pas à la sensibilité Z du système, mais

à sa fonction de transfert en boucle ouverte :

I = l+H b o = 0

devient Hbo (jco) = K . G (jeo) = -1

II en résulte le critère de NYQUIST :

Un système asservi est stable si et seulement si lorsque son lieu de transfert en boucleouverte, décrit dans le sens des G) croissants, entoure le point (-1, 0) autant de fois que

sa sensibilité possède de pôles à partie réelle positive.

Le point A de coordonnées (-1,0) est appelé point critique du plan ; il jouera un

très grand rôle dans l'étude graphique de la stabilité des systèmes asservis.

Remarque : La démonstration de ce critère, qui s'appuie sur l'étude des fonctions

de la variable complexe et sur le théorème de CAUCHY, sera détaillée

dans le fascicule d'accompagnement de ce cours : support de cours et

de conférences.

Les cas de systèmes présentant des pôles à partie réelle positive (P ^ 0) sont assez

rares : on peut citer parmi ceux-ci le pendule inversé et la fusée :



La stabilité verticale du pendule inversé n'est assurée que par

le déplacement latéral compensateur du point d'articulation.

De même, dans le cas de la fusée, la poussée se situe en-dessous du centre de

gravité ; le système est instable en boucle ouverte. Pour stabiliser l'engin et pour luiimposer une trajectoire, on joue sur la commande de l'angle (3.


4.2.2. Critère du Revers

La plupart des systèmes couramment rencontrés dans l'Industrie ont des

fonctions de transfert en boucle ouverte qui ne possèdent pas de pôle à partie réelle

positive, aussi le critère précédent peut-il être simplifié.

Cette forme réduite du critère de Nyquist, valable uniquement pour les systèmes

asservis dont la fonction de transfert en boucle ouverte est stable, est désignée sous

l'appellation de critère du REVERS, qui s'énonce comme suit :

Un système asservi linéaire est stable si, en décrivant son lieu de transfert en boucle

ouverte dans le sens des fréquences croissantes, on laisse le point critique A (-1, 0) à

sa gauche.


Soit un système asservi présentant une fonction de transfert en boucle ouverte :

Hbo(jco) = K.G(ja))

L'équation caractéristique I(jco) = 0 qui permet de discuter de la stabilité du

système a déjà été transformée une première fois en l'écrivant sous la forme :

HboGœ) = K.G( jœ) = -l

Le critère du Revers exprime la stabilité du système par la situation de son lieu

de transfert en boucle ouverte par rapport à la position du point-critique A de

coordonnées (-1,0). Or la stabilité du système dépend en très grande partie du réglage

adéquat du gain statique en boucle ouverte K ; celui-ci n 'est donc pas connu a priori et,

même, il est à fixer en fonction de critères de performances (dont la stabilité).

De ce constat, on peut transformer l'équation précédente en l'écrivant sous la

forme :

G(jû)) = -l

II s'agit alors de comparer les positions relatives du lieu de transfert en boucle

ouverte G (jœ), gradué en pulsation co de 0 à +°o, et d'un point (correspondant à une

valeur donnée de K) courant sur un lieu dit lieu critique C(K) = K"1, gradué en gain Kde Oà +00.



On voit immédiatement que l'intersection des deux lieux, correspondant

respectivement à co0 sur G (jcô) et à K^ sur C(K), délimite deux zones sur le lieu

critique, telles que :

- si K < KO l'application du critère de Revers indique que le

système considéré est stable.

- si K > KO le système est instable.

Le point d'intersection, défini par K = K0, qui correspond au basculement de

l'état stable à l'état instable, conduit le système à être juste oscillant à la pulsation œ0 ;

c'est-à-dire que la réponse impulsionnelle du système est telle que :

MO = I>i e~ait + A,0sin(û)0t + <Po)i

La pulsation d'oscillation co0 est donnée par la relation :

Arg[Hbo(jcô0)] = -7i



et le réglage de gain est tel que :

K0=|G(jû>0f

Remarque 1 : les systèmes asservis stables pour K < K0 et instable pour tout K > KQ

sont dits systèmes réguliers.

D'autres systèmes, présentant plusieurs intersections du lieu detransfert G (jco) avec le lieu critique, sont dits systèmes à stabilité

conditionnelle.

Remarque 2 : Pour qu'une instabilité puisse apparaître, il faut au moins que

l'argument de la fonction de transfert en boucle ouverte puisseatteindre la valeur - n ; le point critique étant atteint pour :

Arg[G(jco0)] = -7i



Ceci nécessite que Von ait affaire à un système bouclé dont la fonction

de transfert en boucle ouverte soit au moins du 3eme ordre. En effet, les

systèmes du 1er et du 2ème ordre sont tels que :

lim Arg [G(jco)l = —w->°° L J 2 (premier ordre)

lim Arg [G (jco)] = - TE (deuxième ordre)C0->oo L V /J

dans ce dernier cas, cette valeur-limite n'est théoriquement atteinte

que pour K -4 +«° (impossibilité physique).

4.2.3. Le critère du Revers dans les autres représentations graphiques

En pratique, le plan de Black ou les diagrammes de Bode se révèlent plus

commodes d'emploi que la représentation des lieux dans le plan complexe.

* Plan de Black

Le point critique (-1,0) se transforme en un point A de coordonnées : 0 db, -TE.

Le système sera stable si, en

parcourant le lieu dans le sens de co

croissantes, on laisse le point

critique à droite.

Automatique S.A.L.


Pratiquement, il est plus astucieux de regarder si pour un argument de -71, le lieu

de transfert en boucle ouverte se situe au-dessus du point-critique (instable) ou en-

dessous (stable).

* Diagramme de Bode

Du fait de l'éclatement du lieu de transfert en boucle ouverte en deux

diagrammes (module et argument), il n'est plus possible de localiser le point critique

(module : 0 db ; argument : -n).

La règle pratique, proposée pour l'utilisation du plan de Black, est également

préconisée, dans ce cas.



4.3. MARGE DE STABILITÉ

4.3.1. Robustesse d'un système

Lors de la mise en équations d'un système asservi, on constate que dans le

modèle élaboré pour fixer ses performances il subsiste certaines incertitudes, relatives

notamment au processus à automatiser lui-même : modélisation forcément

simplificatrice, actionneurs exagérément sollicités, bruits de capteurs, conditions

d'utilisation extrêmes,...

De ce fait, le réglage des performances qui s'appuie sur la connaissance de lafonction G(jco) doit tenir compte d'un facteur de Robustesse du système, c'est-à-dire

du fait qu'une faible variation AG de la fonction de transfert G ne doit pas détériorer les

performances de l'ensemble et surtout ne doit pas entraîner l'instablité de la boucle.

La robustesse :

P<«>=^G(j<D)

est une fonction mal connue, qui croît généralement avec la fréquence.

Ceci revient à dire qu'il y a une certaine incertitude quant'à la position exacte du

lieu de transfert dans le plan ; incertitude que l'on peut matérialiser par des cercles, dont

le rayon est fonction de la pulsation et de la robustesse du système.



4.3.2. Marge de gain et marge de phase

De tout ce qui précède, on peut en déduire que pour qu'un système bouclé soitstable, il faut :

• qu'il respecte le critère du Revers (ou d'une façon plus générale le critère de

Nyquist).

• que son lieu Hbo (jco) ne s'approche pas trop du point-critique, pour ne pas avoir une

stabilité trop oscillatoire (oscillations certes amorties, mais décroissant de plus en

plus lentement au fur et à mesure que l'on se rapproche du point A).



• que l'incertitude AG sur la fonction G ne fasse pas basculer le lieu de transfert en

boucle ouverte de l'autre côté du point-critique (ce qui rendrait le système instable,

bien que stable théoriquement).

Ces deux derniers points conduisent le praticien à définir des marges de

stabilité (sur le gain et/ou sur la phase) comme bornes extrêmes des gains et des

déphasages parasites (dont on ne peut tenir compte dans la modélisation du système) qui

peuvent intervenir dans le processus et qui garantissent que le lieu de transfert en boucle

ouverte ne pourra jamais atteindre le point-critique.

Pratiquement, les valeurs raisonnables des marges de stabilité se situent pour :

- la marge de gain à : Gm = ±6db (soit rapports 2 ou 14)

- la marge de phase à : 0 = ± .—4



Remarque 1 : Dans la pratique, on préfère définir la qualité de la stabilité d'un

système en terme de marge de phase. En effet, l'argument de la

fonction de transfert étant indépendant du gain statique en boucle

ouverte K, il est plus commode de déterminer (par le calcul ou

graphiquement) la pulsation œ*, qui est telle que :

Arg [Hbo (jœ*)] = Arg[G(jœ*)] = -TT + 0m

et de calculer ensuite le gain statique K* de telle façon qu'il

corresponde à :

K* = G(jœ' )['

Remarque 2 : Pour les systèmes réguliers, marge de phase et marge de gain sont

liées ; par exemple, l'augmentation de l'une entraîne l'augmentation

de l'autre.

4.4. CAS DE LA RÉGULATION DE VITESSE

L'exemple de la Régulation de vitesse, que nous avons choisi pour illustrer les

avancées du cours, n'est pas du tout probant ici !

En effet, la fonction de transfert en boucle ouverte d'un tel système est du

premier ordre seulement. Son argument varie, suivant la fréquence, entre zéro et -n/2.



Son lieu de transfert en boucle ouverte est donc très éloigné du point-critique et

ne peut jamais l'atteindre. Un tel système est stable naturellement, quelque soit la valeur

donnée à son gain statique K. Sa stabilité est du type asymptotique apériodique.

La notion de marge de stabilité est dans ce cas précis inadéquate. Il faudra donc

s'appuyer sur d'autres critères de performances pour régler convenablement ce

dispositif (c.f. chapitre suivant : Précision et rapidité des systèmes de commande).

4.5. CAS D'UN ASSERVISSEMENT DE POSITION

Du fait du passage à la commande de position (qui résulte de l'intégrale de la

vitesse), la fonction de transfert en boucle ouverte type d'un asservissement de position

est :



Hbo(p) = ̂ -Tp(l + Tp)

Son argument est tel que :

fn ^Arg [Hbo (jco)] = Arg [G(jcô)] - -I - + ArctgTCol

En s'appuyant sur un critère de stabilité, on peut rechercher par exemple lavaleur du gain statique K* qui confère au système une marge de phase 0m de 45°.

La marge de phase imposée sera atteinte pour la pulsation œ* telle que :

Arg[GGœ*)] = -7 i+0 m = -^

nsoit pour : Arctg TOD = —

4

d'où co* = T"1

Pour respecter la définition de la marge de phase, il faut que le gain statique en

boucle ouverte soit tel que :

K* = G(jco*f

ce qui donne ici :

K*=V2/r'



Un asservissement de position classique présentant en boucle ouverte deux pôles

: 0, T"1, respectera une marge déphasé de 45°si son gain statique en boucle ouverte est

réglé à la valeur : V^.T1.

Remarque : Si l'on choisit une marge de phase de 60°, on doit régler le système à :

^* 2 _! ( * 1 -ilK =-T CO =-î=T

3 l V3 )


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