Séries entières...Il s’agit de séries lacunaires : an = 1 si n est un carré (resp. une...

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Séries entières __________ 1. Convergence d’une série entière.

2. Exemples.

3. Opérations algébriques.

4. Propriétés de la somme dans le disque ouvert de convergence.

5. Propriétés de la somme dans l’intervalle ouvert de convergence.

6. Étude de la somme près du cercle d’incertitude.

7. Fonctions développables en série entière de variable complexe.

8. Fonctions développables en série entière de variable réelle.

Pierre-Jean Hormière

____________

La théorie des séries entières a été fondée par le norvégien Niels Henrik Abel (1802-1829), dans son Mémoire sur la série du binôme paru au Journal de Crelle en 1826. Avant lui, toutes les fonctions étaient considérées comme développables en série entière, et donc continues, dérivables, etc. C’est Abel qui le premier a entrepris d’établir rigoureusement les propriétés des sommes de séries entières, démontrant à leur propos le lemme d’Abel, et en déduisant ce que nous appelons la convergence uniforme de la série, puis le théorème de la limite radiale.

Les séries entières sont le point de départ de la théorie des fonctions analytiques de variables complexes et réelles. Ces fonctions ont des propriétés intermédiaires entre celles des polynômes et des fractions rationnelles d’une part, et celles des

fonctions différentiables d’autre part. Entre géométrie algébrique et géométrie différen-tielle, elles sont les ingrédients d’une troisième géométrie, la géométrie analytique. Cependant, lorsque la variable est complexe, le programme de taupe s’arrête à la continuité de la somme à l’intérieur du disque ouvert de convergence. J’ai respecté ce choix dans l’ensemble, rejetant dans des problèmes placés en annexe une introduction plus approfondie aux fonctions analytiques et holomorphes, ainsi qu’une introduction au logarithme complexe.

Ce chapitre est au confluent du chapitre sur les séries entières formelles et du chapitre sur les séries de fonctions. Dans cet exposé, il est entendu que z désigne une variable complexe, x une variable réelle.

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1. Convergence d’une série entière.

Définition : On appelle série entière une série de fonctions de la forme ∑+∞

=0.

n

nn za , où (an) est une

suite complexe, et z une variable complexe.

Le terme général d’une série entière est donc de la forme un(z) = an.zn : c’est un monôme.

Proposition 1 : Le domaine de convergence absolue d’une série entière est un disque de centre 0, ouvert ou fermé, de rayon R ∈ [0, +∞]. R s’appelle le rayon de convergence de la série.

Preuve : Soit I = { r ≥ 0 ; ∑ nn ra . < +∞ }. I est une partie de R

+ vérifiant clairement 0 ∈ I et ( r ∈ I , 0 ≤ r’ ≤ r ) ⇒ r’∈ I .

Il en découle que I est un intervalle de la forme [0, R), où R = sup I ∈ [0, +∞]. Soit D = { z ∈ C ; ∑

nn za .. < +∞ }. On a aussitôt z ∈ D ⇔ |z| ∈ I ; cqfd.

Proposition 2 : lemme d’Abel. Soit z0 ∈ C* tel que la suite (an.z0n) soit bornée. Alors la série ∑ nn za . est absolument convergente pour tout z tel que |z| < |z0|, … … et normalement convergente dans tout disque |z| ≤ r < |z0|.

Preuve : Supposons | an.z0n | ≤ B.

• Soit z tel que |z| < |z0|. Alors | an.zn | = | an.z0n |.|0zz |n ≤ B.|

0zz |n .

La série géométrique de terme général | z/z0 |n

converge. Donc ∑ nn za . converge absolument. • Soit z tel que |z| ≤ r < |z0|. Alors | an.zn | = | an.z0n |.|

0zz |n ≤ B.|

0zz |n ≤ B.(

0zr )n. cqfd…

Proposition 3 : Soit ∑ nn za . une série entière de rayon de convergence R. i) Pour tout |z| > R, la série ∑ nn za . diverge ; mieux, son terme général est non borné. ii) Pour tout |z| < R, la série ∑ nn za . est absolument convergente ; elle est de plus normalement convergente dans tout « disque de sûreté » |z| ≤ r , où 0 ≤ r < R.

Conséquence : Le domaine de convergence simple de la série est compris entre le disque ouvert D(0, R) et le disque fermé ∆(0, R). C’est pourquoi le cercle |z| = R est appelé cercle d’incertitude. Seule une étude concrète permet de préciser ce qui se passe sur ce cercle ; nous reviendrons sur ce point dans les exemples du § 2 et dans le § 6.

Comment déterminer le rayon de convergence R d’une série entière ?

1) Un recours aux définitions permet toujours de le déterminer, à l’aide des deux règles :

Pour tout z0 tel que ( an.z0n ) soit bornée, alors |z0| ≤ R ; Pour tout z1 tel que ( an.z1n ) soit non bornée, alors R ≤ |z1|.

2) Règle de d’Alembert : Si an ≠ 0 à partir d’un certain rang, et si |n

n

aa 1+ | → L ∈ [0, +∞], alors R =

L1 (avec la convention 1/0 = +∞ et 1/+∞ = 0).

3) La règle de d’Alembert s’applique dans le cas où an ≠ 0 àpcr et où (an) est une suite régulière. Lorsqu’une infinité de an sont nuls, on pourra recourir au 1) ou au critère de d’Alembert numérique.

Lorsque la suite (an) est oscillante, on pourra utiliser un argument de comparaison, fondé sur les résultats suivants, faciles à établir :

3

Soient ∑ nn za . et ∑ nn zb . deux séries entières de rayons respectifs Ra et Rb . • Si (∀n) |an| ≤ |bn| , alors Ra ≥ Rb ; cela reste vrai si |an| ≤ |bn| àpcr. • Si an = O(bn) , alors Ra ≥ Rb . • Si les suites (an) et (bn) sont semblables, et a fortiori équivalentes, Ra = Rb .

Compléments :

Exercice 1 : Règle de Cauchy.

1) Montrer que, si la suite (n na ) a une limite L ∈ [0, +∞], alors R = L1 .

2) Montrer que l’on a |n

n

aa 1+ | → L ⇒ n na → L , la réciproque étant fausse.

Ainsi, la règle de Cauchy est plus générale que celle de d’Alembert.

3) Application : rayon de convergence de la série nn

n

zn

.)1

1( ²

1∑+∞

=

+ .

Exercice 2 : Formule de Cauchy-Hadamard (1821-1892)1.

Montrer que, dans tous les cas, si L = limsup n na , alors R = L1 .

[Rappelons que limsup un = infn supp≥n up ; c’est aussi la plus grand valeur d’adhérence de (un).]

Application : Rayon de convergence de la série n

n

nn ze .0

sin.∑+∞

=

.

2. Exemples de séries entières.

Exemple 1 : Les polynômes P(z) = ∑=

n

k

kk za

0

. sont, si l’on veut, des séries entières de rayon de

convergence infini. Ici, point de règle de d’Alembert !

Exemple 2 : l’exponentielle ∑+∞

=0 !n

n

nz

. n

n

aa 1+ =

11+n → 0, donc R = +∞. Cette série est définie dans C, et

normalement convergente dans tout disque |z| ≤ A. Mais elle n’est pas uniformément convergente

dans R, car exp x −∑=

n

k

k

kx

0 ! n’est pas bornée sur R, en raison des limites en ±∞. Plus généralement, elle

ne converge uniformément sur aucune région non bornée A de C. En effet, si tel était le cas, on

aurait : ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 ∀z ∈ A | )!1(1

++

nzn

| ≤ ε : impossible !

Exemple 3 : la série géométrique ∑+∞

=0n

nz .

Les sommes partielles se calculent ∑=

n

k

kz0

= z

zn

−− +1

1 1 pour z ≠ 1 , n + 1 pour z = 1.

La série converge pour |z| < 1 et a pour somme z−1

1 . Elle diverge grossièrement sinon. Le rayon est 1.

La convergence est normale sur tout |z| ≤ r < 1, mais n’est uniforme sur aucun domaine D dont l’adhérence rencontre le cercle unité.

1 Selon Knopp, cette formule générale figurait dans le cours d’Analyse algébrique de Cauchy (1821), mais resta ignorée, jusqu’à ce qu’Hadamard la redécouvre en 1892 et lui trouve d’importantes applications.

4

Exemple 4 : la série ∑+∞

=1 ²n

n

nz

.

n

n

aa 1+ → 1, donc R = 1. De plus, comme ∑

+∞

=1 ²1

n n converge, il y a convergence normale de la série sur le

disque fermé |z| ≤ 1. La fonction f(z) = ∑+∞

=1 ²n

n

nz

est définie et continue sur ce disque.

Exemple 5 : la série ∑+∞

=1n

n

nz

.

n

n

aa 1+ → 1 , donc R = 1. ∑

+∞

=1

1n n

diverge, donc il n’y a pas convergence absolue sur le cercle unité.

Montrons que la série converge si |z| = 1 et z ≠ 1. Pour cela utilisons une transformation d’Abel .

Soit |z| ≤ 1, z ≠ 1. Posons Vn = 1 + z + … + zn = zzn

−− +1

1 1 .

∑=

n

k

k

kz

1

= ∑=

−−n

k

kk

kVV

1

1 = ∑=

n

k

k

kV

1

− ∑=

−n

k

k

kV

1

1 = ∑=

n

k

k

kV

1

− ∑−

= +1

0 1

n

k

k

kV

= n

Vn − 10V − ∑

−

=

1

1

n

kkV { k

1 − 1

1+k } = 1−n

Vn − 1 − ∑−

= +1

1 )1(

n

k

k

kkV .

Comme (Vn) est bornée, ( nVn ) tend vers 0, et ∑

−

= +1

1 )1(

n

k

k

kkV est somme

partielle d’une série absolument convergente. De plus, la série converge uniformément sur toute galette entamée |z| ≤ 1, |1 − z| ≥ r > 0. En effet,

on a alors |Vn| ≤ r2 , de sorte que (

nVn ) tend uniformément vers 0, et

∑−

= +1

1 )1(

n

k

k

kkV

est somme partielle d’une série normalement convergente.

Conclusion : ∑+∞

=1n

n

nz

est définie et continue dans le domaine D = { z ; |z| ≤ 1, z ≠ 1 }.

Si x ∈ [−1, 1[, on sait que ∑+∞

=1n

n

nx

= − ln(1 − x). Nous calculerons la série pour |z| ≤ 1, z ≠ 1 au § 6.2.

Exemple 6 : (généralisation) les séries ∑+∞

=1n

n

nz

α , α ∈ R,

Ces séries ont toutes 1 pour rayon de convergence.

• Pour α > 1, il y a convergence normale sur |z| ≤ 1. • Pour 0 < α ≤ 1, il y a convergence absolue dans |z| < 1, semi-convergence pour |z| = 1, z ≠ 1 ; la somme est continue dans le domaine D = { z ; |z| ≤ 1, z ≠ 1 } (même preuve que dans l’exemple 4). • Pour α ≤ 0, il y a convergence absolue dans |z| < 1, divergence grossière ailleurs.

Remarque : On nomme polylogarithmes les fonctions définies par polylog(α, z) = ∑+∞

=1n

n

nz

α , α ∈ R

(en fait, leur prolongement analytique).

Exemple 7 : Les séries ∑+∞

=0

.n

nn zn et ∑+∞

=0

!.n

nzn (Stieltjes).

5

Dans les deux cas, n

n

aa 1+ → +∞ : les deux séries ont un rayon de convergence nul. Elles ne sont

définies qu’en 0, et ne donnent pas naissance à des séries entières utilisables. Elles ne nous intéressent donc pas. Cependant, elles existent en tant que séries formelles, et on peut se poser à leur sujet des questions dérangeantes, ayant des retombées en analyse.

Exemple 8 : Les séries ∑+∞

=0

²

n

nz et ∑+∞

=0

2

n

n

z .

Il s’agit de séries lacunaires : an = 1 si n est un carré (resp. une puissance de 2) , 0 sinon. La règle de d’Alembert ne s’applique pas, mais on voit que 1 est le rayon de convergence commun. • Si |z| < 1, on a |zn²| ≤ |z|n , resp. |z2^n| ≤ |z|n , terme général d’une série géométrique convergente. • Si |z| ≥ 1, il y a divergence grossière des deux séries.

On peut aussi utiliser la règle de d’Alembert numérique : pour z non nul, |)()(1

zuzu

n

n+ | = |z|2n+1 tend vers

0 pour |z| < 1, vers +∞ si |z| > 1.

Exercice : Rayons de convergence des séries entières suivantes :

♣ ∑+∞

=1(

n

1 +21 + … +

n1 ).zn ♦ ∑

+∞

=1(

n∫

ndtcht

0. ).zn ♥ ∑

+∞

=1(

n∫

+∞ −

n

t

dtt

e. ).zn ♠ ∑

+∞

=1n

nznn

.)1(−

♣ nn

n za .1∑+∞

= , où an est le nème chiffre de l’écriture décimale de 7 , ou de π.

♦ ∑+∞

=1nsin(n).zn [ Indication : noter que la suite (sin n) diverge. ]

♥ ∑+∞

=1nτ(n).zn , ∑

+∞

=1nσ(n).zn , ∑

+∞

=1nϕ(n).zn ,

où τ(n) est le nombre de diviseurs, σ(n) la somme des diviseurs, ϕ(n) l’indicateur d’Euler de n.

♠ ∑+∞

=1n )2sin( πnzn

, ∑+∞

=1n )3sin( πnzn

, ∑+∞

=1n ]2[2 nn

zn

−.

[ Indication : encadrer le sinus sur [0, π/2]. ]

3. Opérations sur les séries entières.

Dans les prop. 1 et 2, ∑ nn za . et ∑ nn zb . désignent des séries entières de rayons resp. Ra et Rb, supposés > 0, et de sommes f(z) et g(z) dans les disques ouverts de convergence.

Proposition 1 : Somme de séries entières. La série entière ∑ + nnn zba ).( a un rayon de convergence ρ > 0. On a plus précisément ρ = min(Ra , Rb) si Ra ≠ Rb , et ρ ≥ Ra , si Ra = Rb. et : ∑ + nnn zba ).( = f(z) + g(z) pour |z| < min(Ra , Rb) .

Remarques : Si Ra = Rb , on peut avoir ρ > Ra .

Exemple 1 : les séries ∑n≥0 zn et ∑n≥0 −zn : ici Ra = Rb = 1 , ρ = +∞ ;

Exemple 2 : les séries ∑n≥0 ( 1 + 2n ).zn et ∑n≥0 ( 1 − 2n ).zn : ici Ra = Rb = ½ , ρ = 1.

Exercice : Les séries entières ∑ nn za . et ∑ nn zb . sont dites disjointes si (∀n) an.bn = 0. Montrer qu’alors ∑ + nnn zba ).( a pour rayon de convergence ρ = min(Ra , Rb) .

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Application : Rayon de convergence de ∑ nn za . , où an = n si n est pair , 1/n si n est impair. Proposition 2 : Produit de Cauchy de séries entières. Sous les mêmes hypothèses, la série entière ∑ nn zc. , où cn = ∑

=+ nqpqp ba . , a un rayon de convergence

ρ ≥ min(Ra , Rb), et l’on a : ∑ nn zc. = f(z).g(z) pour |z| < min(Ra , Rb).

Remarque : Même si Ra ≠ Rb , on peut avoir ρ > min(Ra , Rb) . Par exemple : 1 − z a pour rayon +∞, et ∑n≥0 zn a pour rayon 1 ; leur produit de Cauchy est la série 1 de rayon +∞.

Exercice : On considère les séries ∑ nn za . et ∑ nn zb . où : an = 1/3

n+1 + (−1)n+1/2n+1 et bn = − 5.2

n−1 pour n ≥ 1, et b0 = −2.

Rayons de convergence de chacune des séries, puis de leur produit de Cauchy.

Exemple : Si f(z) = ∑ nn za . , et si An = ∑≤≤ nk

ka0

, je dis que ∑ nn zA . = zzf

−1)(

pour |z| < min(Ra , 1).

Nous allons maintenant résoudre deux problèmes simples : 1) à quelle condition sur ses coefficients une série entière a un rayon de convergence > 0 ? 2) à quelle condition sur ses coefficients une série entière a un rayon de convergence infini ? Les exemples traités au § 2 nous mettent sur la voie.

Proposition 3 : Critère des majorantes géométriques n° 1. On a l’équivalence : i) La série entière ∑ nn za . a un rayon de convergence R > 0 ; ii) (∃C > 0) (∃A ≥ 0) (∀n) | an | ≤ A.Cn .

Preuve : i) ⇒ ii) Si la série entière ∑ nn za . a un rayon de convergence > 0, il existe z0 ≠ 0 tel que

∑n

n za 0. converge. La suite (an.z0n) tend vers 0, donc est bornée. Posant C = 1/|z0|, on a bien

(∃C > 0) (∃A ≥ 0) (∀n) | an | ≤ A.Cn .

ii) ⇒ i) Si (∃C > 0) (∃A ≥ 0) (∀n) | an | ≤ A.Cn , alors la suite (an.C−n

) est bornée, donc la série

∑ nn za . converge pour |z| < 1/C. Elle a un rayon de convergence R ≥ 1/C > 0

Corollaire : L’ensemble des séries entières formelles ∑ nn Xa . à rayon de convergence > 0 est une sous-algèbre de C[[X]], notée parfois C{X}.

Preuve : Cela se déduit des prop. 1 et 2, mais peut aussi se déduire de la prop. 3.

Proposition 4 : Critère des majorantes géométriques n° 2. On a l’équivalence : i) La série entière ∑ nn za . a un rayon de convergence infini ; ii) (∀C > 0) (∃A > 0) (∀n) |an| ≤ A.Cn .

Preuve : laissée en exercice.

Corollaire : L’ensemble des séries entières formelles ∑ nn Xa . de rayon de convergence infini est une sous-algèbre de C{X}.

Proposition 5 : Inverse d’une série entière. Soit ∑ nn za . une série entière de rayon de convergence R > 0, de somme f(z), telle que a0 ≠ 0. Son inverse formelle ∑ nn zb . a un rayon de convergence R' > 0. Si g(z) = ∑ nn zb . pour |z| < R', alors on est sûr que f(z).g(z) = 1 pour |z| < min(R, R').

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Preuve : Si a0 ≠ 0, la série formelle A = ∑ nn Xa . est inversible d’inverse B, où B = ∑ nn Xb . a des coefficients donnés par : a0.b0 = 1 a0.b1 + a1.b0 = 0 . . . . . . . . . . . a0.bn + ... + an.b0 = 0 . . . . . . . . . . . Ce système linéaire triangulaire inférieur permet de déterminer les an par récurrence :

b0 = 0

1a

, b1 = − 0

01

aba et si b0 , ..., bn−1 sont connus, bn = −

0

1a

( a1.bn−1 + ... + an.b0 ).

Supposons pour simplifier a0 = 1. Soient C et A ≥ 0 tels que (∀n) |an| ≤ A.Cn (prop. 3). Une récurrence soignée montre que (∀n ≥ 1) |bn| ≤ A.Cn.( A + 1 )n−1 .

En vertu de la prop. 3, ∑ nn zb . a un rayon de convergence R' > 0. Et l’on conclut via la prop. 2.

Remarques : 1) On ne peut préciser davantage à ce stade le rayon de convergence de ∑ nn zb . :

• ∑+∞

=0n

nz (de rayon 1) a pour inverse formelle 1 − z (de rayon ∞) … et inversement !

• ∑+∞

=0 !n

n

nz

a pour inverse ∑+∞

=

−0 !

)(

n

n

nz

: toutes deux ont un rayon infini.

• ∑+∞

=0

2

)!2(n

n

nz

a un rayon infini. Son inverse a un rayon ≤ π/2 : pourquoi ?

2) La prop. 5 s’étend aux quotients ∑∑

nn

nn

zbza

.

., quand la valuation du dénominateur est inférieure à

celle du numérateur.

Exemples : nombres de Bernoulli, nombres d’Euler.

1) 1−ze

z = 1 − 2z + ².

!21 zB − 42 .

!4zB + 63 .

!6zB − … , où les Bn sont les nombres de Bernoulli.

Ils se calculent par division selon les puissances croissantes de z par la série ez – 1.

Il n’y a que des monômes de degré pair pour k ≥ 2 , car la fonction 1−ze

z − 1 + 2z est paire.

La série du second membre a, à coup sûr, un rayon ≤ 2π : pourquoi ? On peut montrer qu’il vaut 2π.

2) zcos

1 = 1 + ².!21 zE + 42.

!4zE + 63 .

!6zE − … ,

chz1 = 1 − ².

!21 zE + 42.

!4zE − 63 .

!6zE − … ,

où les En sont les nombres d’Euler. Ils se calculent par division selon les puissances croissantes de z par la série cos z. Les séries du second membre ont, à coup sûr, un rayon ≤ π/2 : pourquoi ? On peut montrer que ce rayon vaut π/2.

3) tan z = zz

cossin = z +

31 .z3 +

152 .z5 +

31517 .z7 + … , th z =

chzshz = z −

31 .z3 +

152 .z5 −

31517 .z7 + …

Les séries du second membre ont, à coup sûr, un rayon ≤ π/2. On peut montrer qu’il vaut π/2.

Exercice : Trouver des formules de récurrence reliant les nombres de Bernoulli, puis ceux d’Euler. Exprimer le développement en série de tan z à l’aide des nombres de Bernoulli. À ces résultats algébriques, il faudrait adjoindre un théorème relatif à la substitution d’une série dans une autre, lorsqu’elle est possible ; mais cela est hors programme (cf. pb final).

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Exercice : Montrer l’équivalence :

n na = O(1/n) quand n → +∞ ⇔ le rayon de convergence de ∑n≥0 an.n!.zn est > 0.

Exercice : Soit ∑ nn za . une série entière de rayon R > 0. On suppose les an ≠ 0. Que dire du rayon de ∑n≥0 (1/an).zn ?

Exercice : Soient ∑ nn za . et ∑ nn zb . deux séries entières de rayons R et R’ > 0 . Que dire des rayons de ∑n≥0 an.bn.zn , de ∑n≥0 (an)

2.zn , et de ∑n≥0 (an /bn).zn si les bn sont tous ≠ 0 ?

4. Propriétés de la somme dans le disque ouvert de convergence.

Soit ∑ nn za . une série entière de rayon de convergence R > 0, de somme f(z). On se propose d'étudier les propriétés de f dans le disque ouvert D = { z ; |z| < R }.

Proposition 1 : f est continue dans D.

Preuve : Soit 0 < r < R. La série entière étant normalement convergente dans le disque de sûreté |z| ≤ r, a une somme continue dans ce disque. Soit z0 ∈ D, r tel que |z0| < r < R ; f est continue en z0.

Proposition 2 : développement limité de f en 0.

f a un DL à tous ordres en 0, obtenu par troncature : f(z) = ∑=

n

k

kk za

0

. + O(zn+1) .

Preuve : Ecrivons f(z) = ∑=

n

k

kk za

0

. + zn+1.g(z) , où g(z) = an+1 + an+2.z + an+3.z2 + … .

La série entière définissant g a même rayon de convergence que f ( Pourquoi ? ). g(z) est donc continue en 0 et a fortiori localement bornée.

Résultats complémentaires. Lorsque la variable est complexe, le programme de taupe s’arrête à la continuité de f. Les résultats suivants sont donc hors programme... mais néanmoins importants. 1) Zéro isolé.

Proposition 3 : principe du zéro isolé. Si les coefficients an ne sont pas tous nuls, ∃r ∈ ]0, R[ 0 < |z| < R ⇒ f(z) ≠ 0 . Autrement dit, si 0 est un zéro de f, c’est un zéro isolé.

Corollaire : unicité de la représentation en série entière.

Soient ∑+∞

=0.

n

nn za et ∑

+∞

=0.

n

nn zb deux séries entières de rayons de convergence > 0 telles que :

∑+∞

=0.

n

nn za = ∑

+∞

=0.

n

nn zb dans un voisinage de 0. Alors (∀n) an = bn .

Exercice : Si l’on a (∑+∞

=0.

n

nn za ).(∑

+∞

=0.

n

nn zb ) = 0 dans un V(0), l’une des deux séries est la série nulle.

L’unicité de la représentation en série entière va également découler des compléments suivants : 2) Dérivation complexe.

Proposition 4 : C-dérivabilité de la somme.

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1) La série entière 11

. −+∞

=∑ nn

n zna a même rayon de convergence que nn

n za .0∑+∞

=.

2) Sa somme g(z) est la C-dérivée de f dans D, en ce sens que :

(∀z0 ∈ D) limz→z0,z ≠ z0 0

0)()(zz

zfzf−−

= f'(z0).

Preuve : 1) Notons R’ le rayon de convergence de la série entière 11

. −+∞

=∑ nn

n zna .

Si |z| < R’, la suite (nanzn−1

) est bornée, donc (anzn) est bornée, et |z| ≤ R. Par conséquent R’ ≤ R.

Réciproquement, soit |z| < R ; choisissons r tel que |z| < r < R.

La suite (n(z / r)n−1

) tend vers 0, donc est bornée : n |z / r|n−1

≤ B. Par conséquent, | nan z

n−1 | ≤ B.|an| rn−1

, suite elle-même bornée. Donc |z| ≤ R’ et R ≤ R’.

2) Soit |z0| < r < R. Ecrivons : f(z) – f(z0) = ( z – z0 )∑+∞

=

−−−− ++++1

10

20

20

1 )...(n

nnnnn zzzzzza .

∑+∞

=

−−−− ++++1

10

20

20

1 )...(n

nnnnn zzzzzza n’est pas une série entière, mais une série de polynômes.

Cette série est normalement convergente dans le disque |z| ≤ r, donc sa somme est continue dans ce disque, et en particulier en z0.

Donc : limz→z0 ∑+∞

=

−−−− ++++1

10

20

20

1 )...(n

nnnnn zzzzzza = 101

. −+∞

=∑ nn

n zna , et l’on conclut aussitôt.

Corollaire 1 : f est indéfiniment C-dérivable dans D et ses C-dérivées s’obtiennent par dérivations

terme à terme de la série nn

n za .0∑+∞

= :

f(k)(z) = ∑+∞

=knna n(n − 1) ... (n − k + 1).zn−k = ∑

+∞

=+

0nkna (n + k).(n + k − 1) ... (n + 1).zn .

Corollaire 2 : expression différentielle des coefficients (MacLaurin) (∀n ∈ N) an = !)0()(

nf n

.

Cette expression différentielle des coefficients est peu pratique, vu les mauvaises propriétés de la dérivation, mais elle permet néanmoins de retrouver le corollaire de la prop. 3. 3) Intégration complexe de Cauchy. Définition : Soit γ : t ∈ [0, 1] → γ(t) ∈ D(0, R) un arc paramétré de classe C1 tracé dans le disque ouvert de convergence. On appelle intégrale curviligne de f le long de γ , et on note :

∫γ f(z).dz = ∫1

0).'()).(( dtttf γγ .

Proposition 5 : La série entière ∑+∞

=0nna

1

1

++

nzn

a pour rayon de convergence R.

Si h(z) est sa somme, on a ∫γ f(z).dz = h(z1) − h(z0) , où z0 = γ(0) et z1 = γ(1) sont les extrémités de γ.

Il en résulte que ∫γ f(z).dz ne dépend que des extrémités de γ. Par suite :

Corollaire : Si γ est un lacet tracé dans D(0, R) ( i.e. γ(0) = γ(1) ), alors ∫γ f(z).dz = 0.

Remarque : Ce dernier résultat découle aussi de Riemann-Green :

10

f(z).dz = f(z).(dx + i.dy) = P(x, y).dx + Q(x, y).dy. D’où ),( yxxQ

∂∂

= i.f’(z) = ),( yxyP

∂∂ .

Ces résultats s’étendent sans peine aux arcs continus et de classe C1 par morceaux.

Proposition 6 : expression intégrale des coefficients.

(∀n ∈ N) (∀r ∈ ]0, R[) an = nr.21

π . θπ

θθ deerf ini .)..(2

0∫− .

Preuve : Fixons r ∈ ]0, R[ et considérons la série trigonométrique : θ → f(r.eiθ) = ∑k≥0 ak.rk.eikθ. Elle est normalement convergente, ainsi que f(r.eiθ).e−inθ . Une intégration terme à terme sur [0, 2π] donne le résultat. Au fond, f(r.eiθ) = ∑k≥0 ak.rk.eikθ est la série de Fourier de sa somme.

Remarque : Cette expression intégrale est très souple, et permettrait de pousser plus avant la théorie (cf pb sur le sujet). En particulier, si l’on veut un équivalent de (an) , on peut utiliser la méthode de Laplace. Cela est déjà intéressant si f est un polynôme.

Exercice : Exprimer sous forme intégrale le coefficient an du terme en xn du polynôme (1 + x + x

2)n.

En trouver un équivalent et un développement asymptotique (Laplace).

Exercice : Soit D = { z ∈ C ; |z| < 1 }, f une fonction continue D → C, et qui est somme d’une série

entière dans D : (∀z ∈ D) f(z) = ∑+∞

=0.

n

nn za .

1) Montrer que, pour tout r ∈ ]0, 1[ ∑+∞

=0

2².n

nn ra = π2

1 . θπ

θ derf i .²).(2

0∫ .

2) En déduire que ∑+∞

=0²

n

na < +∞ et que ∑+∞

=0²

n

na = π21 . θ

πθ def i .²)(

2

0∫ .

3) Que dire de f si f(z) = 0 pour tout z tel que |z| = 1 ?

Exercice : Soient D = { z ∈ C ; |z| < 1 }, FFFF l’ensemble des fonctions continues f : D → C, et qui sont

de plus somme d’une série entière sur D : (∀z ∈ D) f(z) = ∑+∞

=0.

n

nn za .

1) Montrer que (∀f ∈ FFFF) an = π21 θ

πθθ deef ini .).(

2

0∫− .

2) Montrer que FFFF , muni de la norme uniforme, est complet.

3) Montrer que l’espace vectoriel des polynômes est dense dans FFFF .

5. Propriétés de la somme dans l’intervalle ouvert de convergence.

Dans ce §, nous supposons la variable réelle. Soit ∑ nn xa . une série entière de rayon de convergence R > 0, de somme f(x). On se propose d’étudier les propriétés de f dans l’intervalle ouvert ]−R, R[.

Il suffirait certes d’appliquer les résultats précédents, mais ceux-ci sont hors programme.

Proposition 1 : 1) La série entière 10

.. −+∞

=∑ nn

n xan a même rayon de convergence que nn

n xa .0∑+∞

=.

2) f est de classe C1 dans ]−R, R[ , et : f'(x) = ∑+∞

=++

11.).1(

n

nn xan .

3) f est indéfiniment dérivable dans ]−R, R[, ses dérivées s’obtenant par dérivation terme à terme :

f(k)(x) = ∑+∞

=knna n(n − 1) ... (n − k + 1).xn−k = ∑

+∞

=+

0nkna .(n + k).(n + k − 1) ... ( n + 1).xn .

11

Preuve : 1) repose sur un lemme plus général :

Lemme : Pour tout α, les séries ∑n≥0 an.xn et ∑n≥1 nα.an.xn ont même rayon de convergence.

Quitte à échanger les deux séries, on peut supposer α > 0. Notons R et R’ les rayons respectifs. Comme |an.xn| ≤ n

α |an.xn| l’absolue convergence de la seconde série implique celle de la première,

d’où R’ ≤ R. Si R = 0, R = R’ = 0. Sinon, soit 0 < x < R, et x < r < R. On a nα.| an.xn | ≤ | an.rn | àpcr. Comme ∑n≥0 |an.rn| converge, ∑n≥0 n

α.|an.xn| converge. Ainsi, R ≤ R’. cqfd.

2) Les deux séries ∑n≥0 an.xn et ∑n≥0 (n + 1).an+1.xn convergent uniformément sur tout segment inclus dans dans ]−R, R[ . Le théorème de dérivation terme à terme des séries conclut.

3) S’en déduit par récurrence.

Corollaire : expression différentielle des coefficients (Mac-Laurin) (∀n ∈ N) an = !)0()(

nf n

.

6. Étude de la somme près du cercle d’incertitude.2

Incertitude, ô mes délices, Vous et moi nous nous en allons Comme s'en vont les écrevisses, À reculons, à reculons.

Guillaume Apollinaire, Le bestiaire

Soit ∑ nn za . une série entière de rayon R > 0, de somme f(z). Nous nous proposons d’étudier la série sur le cercle d’incertitude Γ = { z ; |z| = R } lorsque R est fini, ou au voisinage de ce cercle dans tous les cas. Cependant, ces résultats, étant hors programme, sont présentés en exercices. Lorsque R est fini, on peut toujours, à homothétie près, se ramener à R = 1. Etudier la convergence

de la série ∑ nn za . pour z ∈ Γ , c’est étudier la convergence de la série trigonométrique ∑n≥0 an.Rn.einθ pour θ réel. Vaste sujet !… Il peut y avoir convergence absolue en tout point de Γ (il y a alors convergence normale sur le disque |z| ≤ R et il est inutile de recourir à la limite radiale d’Abel), ou convergence simple en certains points de Γ, voire aucun. L’outil est la transformation d’Abel :

Proposition : Soit ∑n≥0 an.vn une série à éléments dans C.

• Si Vn = ∑=

n

kkv

0

, on a : ∑=

n

kkk va

0

. = an.Vn − ∑−

=+ −

1

01 ).(

n

kkkk Vaa (1)

• Si Vp,q = ∑=

q

pkkv , on a : ∑

=

q

pkkk va . = aq.Vp,q − ∑

−

=+ −

1

,1 ).(q

pkkpkk Vaa (2)

6.1. Étude d’une série entière sur le cercle d’incertitude .

Exercice 1 : Soit ∑+∞

=0.

n

nn za une série entière de rayon de convergence R fini.

Montrer que l’ensemble C = { z ∈ Γ ; ∑+∞

=0.

n

nn za converge } est un FFFFσδ de Γ.

[ Indication : montrer que C = I U I U1 1≥ ≥ ≥ ≥k n np nq

{ z ∈ Γ ; | ap.zp + … + aq.zq | ≤ k1 }. ]

2 Les § 6.1 et 6.2 sont à réserver à une seconde lecture.

12

Exercice 2 : Montrer que si la série∑+∞

=0.

n

nn za diverge en z0 ∈ Γ, elle ne converge uniformément sur

aucune partie de |z| ≤ R admettant z0 comme point d’accumulation.

Les exercices suivants montrent différents types de comportement sur le cercle d’incertitude.

Exercice 3 : 1) Domaine de convergence de la série entière ∑≥1n

n

nz

?

2) Montrer que, pour toute partie finie non vide F du cercle trigonométrique U, il existe une série entière convergente en tout point de U−F , divergente en tout point de F.

Exercice 4 : On considère la série entière ∑+∞

=0.

n

nn za , où :

an = p1 si n = 3p , an = − p

1 si n = 2.3p (p ≥ 1) , an = 0 sinon.

Montrer qu’elle a 1 pour rayon de convergence, et que les ensembles C et U−C sont denses dans U.

[ Indication : Considérer les points exp(iπ. ba

32 ) et exp(iπ. b

a3

12 + ) , où a ∈ Z , b ∈ N*. ]


=2

!.n

nn za , où an−1 = [ n

nln

]. nn

in )1(2)1(−+

−π .

1) Rayon de convergence de la série ? 2) Montrer que pour z = exp(2iπθ) , θ ∈ Q , la série diverge. 3) Montrer que pour z = exp(2iπ/e) , la série converge. 4) En déduire que les ensembles C et U−C sont denses dans U.

Exercice 6 : Rayon de convergence de la série ∑n≥1 z[√n]

/n ? Montrer que cette série converge en tout point de U (distinguer les cas z = 1, z ≠ 1), mais ne converge absolument en aucun point de U.

Exercice 7 : Une série de Pringsheim.

Soit la série entière ∑+∞

=0.

n

nn za , où a1 = 1, a2 = − 2

1 , et an = nn

m

ln.)1(−

où m = [ log2 n ] , si n ≥ 3.

1) Pour m ≥ 1, on pose cm = ∑−

=

+ 12

2

1

ln.1

m

mnnn

.

a) Montrer que 0 < cm − ∫+12

2 ln.

m

m xxdx <

2ln.2.1mm

.

b) En déduire que ∑m≥1 (−1)m

.cm et ∑n≥0 an convergent.

2) Montrer que ∑n≥0 | an − an+1 | converge.

3) Montrer que ∑+∞

=0.

n

nn za a pour rayon de convergence 1, et que tout point de U est point de semi-

convergence.


=1.

n

nn zc , où cn = n

pn et pn = card{ k ∈ N* ; k! divise n }.

1) Rayon de convergence de cette série ?

2) Soit r ∈ Q ; étudier la série ∑+∞

=1.

n

nn zc , lorsque z = exp(2iπr).

13

3) Etudier la série ∑+∞

=1.

n

nn zc , lorsque z = exp(2iπe).

6.2. Limite radiale, conséquences et améliorations.

Théorème de la limite radiale d’Abel (1826)3 : Soit ∑+∞

=0.

n

nn za une série entière de rayon de conver-

gence R > 0 et fini, et de somme f(z). Si la série ∑+∞

=0.

n

nn za converge en un point z0 du cercle

d’incertitude Γ, elle converge uniformément sur le rayon [0, z0]. En particulier f(z0) = limr→1−0 f(r.z0).

Preuve : À homothétie-rotation près, c’est-à-dire en considérant la série ∑n≥0 an.(z/z0)n , on se

ramène à Γ = U et z0 = 1. Nous sommes donc sur le segment [0, 1], et la variable est réelle.

Notons Ap,q = ∑=

q

pkka les tranches de Cauchy de la série convergente ∑n≥0 an . On a :

kq

pkk xa .∑

= = Apq x

k −∑

−

=

+−1

,1).(

q

pkkp

kk Axx = (1 − x).( App.xp + App+1.x

p+1 + … + Apq−1.x

q−1 ) + Apq.x

q

Soit ε > 0. (∃n0) ∀q > p ≥ n0 |Apq| ≤ ε . Alors, si 0 ≤ x ≤ 1,

| kq

pkk xa .∑

=| ≤ ( 1 − x ).( |App|.x

p + |App+1|.x

p+1 + … + |Apq−1|.x

q−1 ) + |Apq|.x

q

≤ ε.( 1 − x ).( xp + xp+1 + … + xq−1 ) + ε.xq = ε.xp ≤ ε .

Le critère de Cauchy uniforme est vérifié. La convergence de la série entière est donc uniforme sur le rayon [0, 1]. En particulier, f(x) est continue à gauche en 1. [Rappelons que la continuité, à droite et à gauche, en les autres points découle des résultats du §1.]

Exercice 1 : Rédiger une variante du raisonnement précédent en abélisant à l’aide des restes :

Rn = ∑+≥ 1nk

ka , c’est-à-dire en notant que an = Rn−1 − Rn .

Exercice 2 : un théorème d’Abel.

Si les séries ∑+∞

=0nna et ∑

+∞

=0nnb convergent, et si leur produit de Cauchy ∑

+∞

=0nnc converge, montrer que :

∑+∞

=0nnc = (∑

+∞

=0nna ).(∑

+∞

=0nnb ) [ Indication : considérer les séries entières associées. ]

Exercice 3 : calcul de la série ∑+∞

=1n

n

nz

.

1) Rayon de convergence et domaine de définition de cette série ?

2) On pose g(r) = ∑+∞

=1n

n

n

r.e

inθ pour 0 ≤ r

14

∑+∞

=1n

in

ne θ

= − ln( 2 sin2θ ) + i

2θπ − pour θ ∈ ]0, 2π[

∑+∞

=1

)cos(

n nnθ

= − ln( 2 sin2θ ) ∑

+∞

=1

)sin(

n nnθ

= 2θπ − .

Exercice 4 : Convergence et sommes des séries suivantes :

∑+∞

= +−

0 13

)1(

n

n

n , ∑

+∞

= +−

0 23

)1(

n

n

n , ∑

+∞

= +−

0 14

)1(

n

n

n , ∑

+∞

=

+0 131

n n +

231+n − 33

2+n }

On introduira des séries entières convenables, et on utilisera la limite radiale.

Exercice 5 : Réciproques d’Abel.

1) Montrer que le théorème de la limite radiale est sans réciproque : si ∑≥0n

nnxa a pour rayon de

convergence 1, l’existence de limx→1−0 ∑≥0n

nnxa n’implique pas que ∑≥0n

na converge.

[ Penser à 1/(1 + x). ]

2) Montrer cependant que si les an sont tous ≥ 0, l’implication est juste. Les théorèmes de Tauber (fin de chapitre) approfondissent cela.

Le théorème suivant améliore le théorème d’Abel. Enonçons-le pour R = 1, z0 = 1 :

Exercice 6 : Théorème d’Abel « bec de canard » (Stolz 1875 , Picard 1893).

Soit ∑+∞

=0.

n

nn za une série entière de rayon 1, et de somme f(z).

Si ∑+∞

=0nna converge, la série ∑

+∞

=0.

n

nn za converge uniformément sur

tout domaine Kr = Conv( {1} ∪ ∆(O, r) ), 0 < r < 1. En particulier f(z) tend vers f(1) lorsque z tend vers 1 en restant

dans un secteur angulaire |)1Re()1Im(

−−

zz | ≤ k

(chemin non tangentiel) . Indication : reprendre la preuve du théorème d’Abel, en montrant

d’abord que Kr vérifie : (∃C > 0) (∀z ∈ Kr) | 1 − z | ≤ C ( 1 − |z| ).

Exercice 7 : Enveloppe étoilée.

Soit ∑+∞

=0.

n

nn za une série entière de rayon 1, E une partie du cercle d’incertitude U. Montrer que si la

série converge uniformément sur E, elle converge uniformément sur l’enveloppe étoilée de E, c’est-à-dire sur la réunion des rayons [0, z], où z décrit E.

6.3. Équivalent de la somme au V(R−−−−0).

Soit ∑+∞

=0.

n

nn za une série entière de rayon de convergence R > 0, fini ou non. Comment trouver un

équivalent de f(x) = ∑+∞

=0.

n

nn xa lorsque x → R−0 par valeurs réelles ? Voici quelques méthodes :

• La comparaison avec une série plus simple de même rayon . • Les lemmes de pincement consistent, si R = 1, à poser x = e−h, et à faire tendre h vers 0+.

15

Il vient alors f(e−h

) = ∑≥

−

0n

nhnea , transformée de Laplace discrète, que des encadrements intégraux

permettent d’étudier. • Des techniques de régularisation. Si la suite (an) est irrégulière, on peut régulariser la série en

faisant apparaître les sommes cumulées, via la multiplication xxf

−1)(

(si R = 1).

Exercice 1 : Soit (an) une suite telle que ∑ −+ nn aa 1 < +∞. 1) Montrer que (an) converge. Qu’en déduire au sujet du rayon de convergence de ∑ nn xa . ? 2) Montrer que limx→+∞ (1 − x)∑ nn xa . = 0.

Exercice 2 : Soient ∑ nn xa . et ∑ nn xb . deux séries entières, de sommes respectives f(x) et g(x). 1) Si an ∼ bn , que dire des rayons de convergence des deux séries ? 2) On forme les hypothèses suivantes :

i) ∑ nn xb . a un rayon de convergence R > 0 et fini ; ii) bn ≥ 0 pour tout n , et ∑ nn Rb . diverge ; iii) an ∼ bn. Quelle est la limite de g(x) en R−0 ? Montrer que f(x) ∼ g(x) quand x → R−0 . 3) On forme les hypothèses suivantes :

i) ∑ nn xb . a un rayon de convergence infini ; ii) bn > 0 pour tout n ;

iii) an ∼ bn . Montrer que f(x) ∼ g(x) quand x → +∞ .

4) Montrer que les résultats de 2 et 3 subsistent si bn ≥ 0 , resp. bn > 0, à partir d’un certain rang.

Exercice 3 : On considère les deux séries ∑+∞

=1).(ln

n

nxn et ∑+∞

=+

1

1(n 2

1 + … + n1 ).xn .

1) Quels sont leurs rayons de convergence ? On note f(x) et g(x) leurs sommes resp. Calculer g(x).

2) Déduire du résultat précédent un équivalent de f(x) quand x → 1−0 .

3) On rappelle que 1 + 21 + … +

n1 = ln n + γ +

n21 + cn , où cn = O( ²

1n

).

En déduire que f admet le développement asyptotique suivant au V(1−0), où A est une constante :

f(x) = −xx

−−

1)1ln(

− x−1

γ +

21 ln( 1 − x ) + A + o(1)

Exercice 4 : Rayons de convergence et équivalents en R−0 des séries entières :

f(x) = ∑+∞

=1n

pn xn ( p ∈ N ) [ Noter que np ∼ n.(n − 1) … (n − p + 1) ]

f(x) = ∑+∞

=+

1

)11(n

n

nxn f(x) = ∑

+∞

=+

1

²)11(n

n

n.x

n f(x) = n

n

xnn∑

+∞

=1 !.1 .

Exercice 5 : Lemmes de pincement.

1) Soit f : ]0,+∞[ → R+ une fonction décroissante et intégrable. Montrer que, pour tout h > 0, la

série ∑+∞

=1)(

n

nhf converge, et que : limh→0+ h.∑+∞

=1)(

n

nhf = ∫+∞

0).( dttf .

2) Applications :

16

a) Trouver un équivalent de ∑+∞

=1n

n

n

x au V(1−) [ Poser x = e−h ] .

b) Plus généralement, trouver un équivalent de ∑+∞

=1na

n

n

x au V(1−) pour a ≤ 1.

c) Équivalents de ∑+∞

=0

²

n

nx et de ∑+∞

=0n

nx

α

au V(1−) .

Exercice 6 : 1) Rayon de convergence de la série ∑+∞

=1 )²!(n

n

n

x . Soit h(x) sa somme.

2) Montrer (∀x ≥ 0) h(x) = π21 . θθ

πdx ).cos.2exp(

2

0∫ . 3) Equivalent de h(x) en +∞ ? __________ Les § 4, 5 et 6 étaient consacrés aux propriétés de la somme d’une fonction définie comme somme de série entière. Les deux § suivants sont consacrés au problème inverse : étant donnée une fonction f, de variable complexe ou réelle, à quelles conditions peut-elle être représentée comme somme d’une série entière ? Des raisons administratives (dans le cas de la variable complexe, seule la continuité de la somme est au programme), mais aussi mathématiques, obligent à distinguer variable complexe et variable réelle.

7. Fonctions développables en série entière de variable complexe. Définition : Soient Ω un ouvert de C, f une fonction : Ω → C. Si z0 est un point de Ω, f est dite développable en série entière au voisinage de z0 si l’on peut écrire :

f(z) = ∑+∞

=−

00).(

n

nn zza dans un disque D(z0 , α) inclus dans Ω.

f est dite analytique dans Ω si elle est développable en série entière en tout point de Ω.

Commentaire : Pour que f soit dse au V(z0), il faut et il suffit que :

1) Il existe une série entière ∑+∞

=0.

n

nn za de rayon de convergence ρ > 0 ;

2) Il existe α ∈ ]0, ρ] tel que D(z0 , α) ⊂ Ω et f(z) = ∑+∞

=−

00).(

n

nn zza dans D(z0 , α).

Proposition : Les fonctions f : Ω → C dse en z0 forment une algèbre pour les lois usuelles. Si f est dse en z0 et si f(z0) ≠ 0, 1/f est définie dans un voisinage ouvert de en z0 et dse en ce point.

Corollaire : Les fonctions analytiques dans Ω forment une sous-algèbre, notée AAAA(Ω, C), de l’algèbre CCCC(Ω, C), pour les lois usuelles.

Remarque administrative : Nous avons vu en § 4 que les fonctions analytiques dans Ω sont C-dérivables, mais rappelons que seule la continuité est au programme de taupe.

Exemples de fonctions dse et analytiques :

1) La fonction exponentielle est dse en 0, car exp z = ∑+∞

=0 !n

n

nz

dans C.

Elle est analytique dans C, car on peut écrire : exp z = exp(z0 + z − z0) = exp(z0)∑+∞

=

−0

0

!)(

n

n

nzz

17

2) Les fonctions sin, cos, sh et ch sont dse en 0, comme on sait. Mais elles sont plus généralement analytiques dans C, car on peut écrire, par exemple :

sin z = sin(z0 + z − z0) = sin(z0).cos(z − z0) + cos(z0).sin(z − z0) = etc. Les exponentielles-polynômes sont analytiques dans C.

3) La fonction f : z →→→→ z−1

1 est continue dans Ω = C−{1},

Elle est dse en 0, car f(z) = ∑+∞

=0n

nz pour |z| < 1.

Mais f est même analytique dans Ω, car on peut écrire :

f(z) = )(1

100 zzz −−−

= 01

1z−

×)1/()(1

100 zzz −−−

= ∑n≥0 10

0

)1(

)(+−

−n

n

z

zz

pour | z − z0 | < | 1 − z0 | , autrement dit dans D(z0 , |1 − z0|).

4) Les fonctions z → pz)1(1

− sont continues dans Ω = C−{1}.

Elles sont dse en 0 comme produits de fonctions dse, ou comme C-dérivées.

En effet, si l’on C-dérive p−1 fois la fonction f : z → z−1

1 , il vient :

f(p−1)

(z) = pzp

)1()!1(

−−

= ∑n≥0 n.(n − 1) … (n − p + 2).zn−p+1

d’où, pour |z| < 1 : pz)1(1

− = ∑n≥0 n pnC 1−+ .zn (*)

Exercice 1 : En déduire que n pnC 1−+ = card { (a1, …, ap) ∈ Np ; a1 + … + ap = n }.

Exercice 2 : Montrer que z → pz)1(1

− est analytique dans Ω = C−{1}.

Exercice 3 : La preuve de la formule (*) donnée ci-dessus est hors programme, puisque la C-

dérivation l’est. En considérant, à z fixé, la fonction de variable réelle t → zt.1

1− , donner une preuve

de (*) respectant le programme.

Exercice 4 : Montrer que z → paz )(1

− est analytique dans son domaine.

5) Fractions rationnelles.

Proposition : Soit F(z) = )()(

zQzP

une fraction rationnelle n’admettant pas 0 pour pôle.

Soit r = min{ |a| ; a pôle de R }. F est développable en série entière dans le disque |z| < r, la série entière ayant exactement r pour rayon de convergence.

Théorème : Soit F(z) = )()(

zQzP

une fraction rationnelle. F est analytique dans Ω = C−Z, où Z est

l’ensemble des pôles de F. Son développement en série entière en z0 a pour rayon de convergence r =

d(z0 , Z) et coïncide avec F dans le disque ouvert | z − z0 |< r.

6) Analyticité de la somme d’une série entière.

Théorème : Soit f(z) = ∑+∞

=0nna zn une série entière de rayon de convergence R > 0. La fonction f est

analytique dans le disque Ω = D(0, R). Plus précisément, pour tout z0 ∈ Ω, on pourra écrire :

18

f(z) = ∑+∞

=0nnb (z − z0)n dans le disque D(z0 , R − | z0|) .

Preuve : Il faut développer f(z) en série de puissances de z − z0. Pour cela, écrivons :

f(z) = ∑+∞

=0nna z

n = ∑

+∞

=0nna (z0 + z − z0)

n = ∑

+∞

=0nna .∑

=

n

k

knC

0

.(z0)n−k

(z − z0)k

= ∑+∞

=0 !1

k k(z − z0)

k ∑

+∞

= −kn knn

)!(! .an.z0

n−k = ∑

+∞

=0kkb (z − z0)

k .

Justification : La famille ( knC .an.(z0)n−k

.(z − z0)k)n≥k est sommable pour |z − z0| < R − |z0| .

En effet, pour tout n ∑=

n

k

knC

0

.|an|. |z0|n−k

.|z − z0|k = |an|.( |z0| + |z − z0| )

n

Et ∑+∞

=0nna ( |z0| + |z − z0| )

n < +∞ dès que |z0| + |z − z0| < R .

Exercice 1 : Soit a ∈ C, |a| < 1, Fa(z) = ∑+∞

=0n[exp(a

nz) − 1] . Montrer que Fa est dse(0) de rayon infini.

Quel est ce développement ?

Exercice 2 : Soit a ∈ C, |a| < 1, F(z) = ∑+∞

= +0n

n

nza

. Montrer que F est dse(1) de rayon 1.

Exercice 3 : Montrer que la fonction F(z) = ∑+∞

= +1 )²(1

n nz est définie, dse(0) et analytique dans son

domaine de définition.

Exercice 4 : Montrer que Γ(z) = dtte zt ..0

1∫+∞

−− est définie et analytique dans le demi-plan Re z > 0.

Exercice 5 : Montrer que les fonctions suivantes sont dse(0) sur des domaines que l’on précisera :

f(z) = expzz

−−1

g(z) = exp( exp z ) .

8. Fonctions développables en série entière de variable réelle. 8.1. Définitions.

Définition : Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I → C est dite développable en série entière au voisinage de x0 si l’on peut écrire :

f(x) = ∑+∞

=−

00).(

n

nn xxa dans un intervalle I ∩ [x0 − α, x0 + α].

f est dite analytique dans I si elle est développable en série entière en tout point de I.

Commentaire : Pour que f soit dse au V(x0), il faut et il suffit que :


=0.

n

nn xa de rayon de convergence ρ > 0 ;

2) Il existe α ∈ ]0, ρ] tel que f(x) = ∑+∞

=−

00).(

n

nn xxa dans I ∩ [x0 − α, x0 + α].

Nous reviendrons sur ces conditions en 8.3. Pour l’instant, énonçons des propriétés générales.

Proposition : Les fonctions f : I → C dse en x0 forment une algèbre pour les lois usuelles. Si f est dse en x0 et si f(x0) ≠ 0, 1/f est définie dans un voisinage ouvert de en x0 et dse en ce point.

19

Si f est dse en x0 , f’ aussi , ainsi que F(x) = ∫x

xdttf

0

).( .

Corollaire : Les fonctions analytiques dans I forment une sous-algèbre, notée AAAA(I, C), de l’algèbre

CCCC∞

(I, C), pour les lois usuelles.

Exercice : Soient I un intervalle de R, f : I → C une fonction analytique dans I. Montrer que {x ∈ I ; (∀n) f(n)(x) = 0} est un ouvert-et-fermé de I. Que dire de f s’il existe x0 ∈ I tel que (∀n) f

(n)(x0) = 0 ?

Exercice : Soit a un réel tel que |a| < 1. Montrer que la fonction F(x) = ∑n≥0 sin(an.x) est analytique.

Exercice : Soient (an) et (bn) deux suites complexes vérifiant |an| ≤ C.exp(−λ.n) et |bn| ≤ C.exp(−λ.n), pour des constantes C et λ > 0. Montrer que la série trigonométrique :

F(x) = 20a + ∑n≥1 an.cos(n.x) + bn.sin(n.x) est une fonction analytique réelle.

8.2. Exemples de développements en série entière.

Développement en série de l’exponentielle. 4

La fonction exp vérifie f’(x) = f(x) et f(0) = 1.

Si on lui applique la formule de Taylor avec reste intégral, il vient : exp x = ∑=

n

k

k

kx

0 !+ Rn(x) où :

Rn(x) = ∫ −x t

n dtne

tx0

.!

.)( = !

1

nxn+

dueu xun ..)1(1

0∫−− = ex

!

1

nxn+

dvev xvn ..1

0∫− .

Cette formule a toute une série de conséquences :

• Sur R+, les polynômes de Taylor sont tous inférieurs à exp, et forment une suite croissante.

Si x ≥ 0, on a : 0 ≤ dvev xvn ..1

0∫− ≤

11+n , donc 0 ≤ Rn(x) ≤ )!1(

1

++

nxn

ex .

De plus, la convergence est uniforme sur tout segment [0, A].

• Sur R−, ils sont alternativement inférieurs et supérieurs à l’exponentielle.5

Si x ≤ 0, on a : 0 ≤ dvev xvn ..1

0∫− ≤

1+−

ne x

, donc 0 ≤ Rn(x) ≤ )!1(

1

++

nxn

.

De plus, la convergence est uniforme sur tout segment [−A, 0].

On déduit de ces résultats que, pour tout x réel :

exp x = ∑+∞

=0 !k

k

kx

et ∑+∞

+= 1 !nk

k

kx

= ex

!

1

nxn+

dvev xvn ..1

0∫− .

Exercice : On fixe x réel. Equivalent et d. a. du reste : Rn(x) = ∑+∞

+= 1 !nk

k

kx

lorsque n → +∞.

Exercice : Etudier la suite de fonctions fn(x) = e−x ∑

+∞

+= 1 !nk

k

kx

.

Le logarithme.

Partons du développement en série x+1

1 = ∑+∞

=−

0

.)1(n

nn x , valable sur ]−1, 1[.

4 Il peut paraître stupide d’étudier le développement en série entière de l’exponentielle, puisque cette fonction a été définie comme somme de série entière. Mais on aurait aussi pu la définir comme réciproque du logarithme ln

x = ∫[1,x] dt/t , ou autrement. 5 Mais attention ! La série n’obéit au critière des séries alternées qu’à partir d’un certain rang, à savoir [x].

20

Par intégration terme à terme, il vient ln(1 + x) = ∑+∞

=

−−1

1.)1(n

nn

nx

, développement valable sur ]−1, 1[, et

même sur ]−1, 1], car la série alternée converge uniformément sur [0, 1], donc est continue en 1.

Le logarithme est donc dse(1). Il est même dse en tout point x0, car :

ln x = ln x0 + ln (1 + 0

0

xxx−

) = ln x0 + ∑+∞

=

−−

−1 0

01

.)(

.)1(n

n

nn

xnxx

pour | x – x0 | < x0 .

Le binôme de Newton.

Le développement de (1 + x)n pour n naturel était connu de longue date ; Blaise Pascal notamment

consacra un traité aux propriétés arithmétiques du triangle qui porte son nom. L’idée d’étendre ce

développement aux exposants non entiers, et de développer en série (1 + x)a pour a fractionnaire, réel,

ou complexe, remonte à Isaac Newton : il annonça cette découverte dans une lettre à Oldenburg du 13 juin 1676. Il n’en avait apparemment pas de preuve rigoureuse (la notion même de démonstration n’était pas alors clairement ressentie). La première tentative de preuve remonte à Euler (1774). Gauss en donna la première preuve, d’ailleurs incomplète, en 1812 ; ce fut la première tentative pour démontrer rigoureusement un résultat relatif aux séries entières. Cependant les travaux de Gauss ont dû rester confidentiels, puisqu’en 1825, Niels Abel se plaignait toujours de l’absence de preuve précise de la formule du binôme, et publia en 1826 un grand mémoire sur ce sujet : ce mémoire fut le vrai point de départ de la théorie des séries entières.

Théorème du binôme de Newton (1676) : Pour a réel ou complexe, on a :

( 1 + x )a = 1 + a.x +

!2)1( −aa

.x2 + … +

!)1)...(1(

nnaaa +−−

.xn + …

Si a ∈ C−N, la série entière a pour rayon de convergence 1 et l’identité est valable pour |x| < 1. Si a ∈ N, elle a pour rayon de convergence +∞ , et l’identité est valable pour tout x réel.

Démonstrations : 1) Méthode de l’équation différentielle.

• La fonction f(x) = ( 1 + x )a est de classe C1 dans ]−1, 1[, et vérifie l’équation différentielle : (1 + x).f’(x) − a.f(x) = 0 et f(0) = 1 (E)

• Réciproquement, si g est une fonction C1 dans ]−1, 1[ vérifiant (E), g = f. Cela découle de la méthode de variation des constantes : poser g(x) = C(x).f(x) conduit à C’(x) = 0, d’où C(x) = cte = 1.

• Cherchons une série entière formelle ∑ nnxa vérifiant (E). ( 1 + x )∑ ++ nn xan 1)1( − a∑ nnxa = 0 et a0 = 1 .

On est conduit à (∀n) (n + 1).an+1 = (a − n).an. D’où : an = !)1)...(1(

nnaaa +−−

pour n ≥ 1.

Comme n

n

aa 1+ → −1, la série entière obtenue a pour rayon de convergence 1. La fonction

g(x) = 1 + a.x + a×(a − 1).!2

2x + … + a×(a − 1)×(a − 2)×… ×(a − n + 1).

!nxn

+ …

est définie et de classe C1 dans ]−1, 1[, et vérifie (E). Donc g = f . cqfd.

2) Méthode du reste intégral.

La fonction f(x) = ( 1 + x )a est C

∞ dans ]−1, 1[, et, en vertu de la formule de Taylor-Laplace :

f(x) = f(0) + f’(0)!1

x + … + f(n)(0)!n

xn + ∫

−x nntx

0 !)(

f(n+1)

(t).dt .

21

Le reste s’écrit aussi : Rn(x) = !))...(1(

nnaaa −−

∫x

0[

ttx

+−

1]n ( 1 + t )a−1 dt .

Or t → ttx

+−

1 décroit sur ]−1,+∞[. Donc sur [0, x] ou [x, 0] on a : |

ttx

+−

1| ≤ |x| .

| Rn(x) | ≤ Mn(x) = | !))...(1(

nnaaa −− |.|x|n |∫

1

0(1 + t)

a−1.dt | .

Le quotient )()(1

xMxM

n

n+ tend vers |x|, donc Mn(x) → 0 pour |x| < 1. cqfd.

Remarque : On étend parfois les coefficients binômiaux npC à naC (a ∈ C , n ∈ N) en posant :

naC =

!)1)...(1(

nnaaa +−−

si n ≥ 1 et 0aC = 1.

Le binôme en poésie :

de Victor Hugo …

« Le binôme, cette merveille ajustable à tout, n'est pas moins inclus dans la poésie que dans l'algèbre. La nature, plus l'humanité, élevées à la seconde puissance, donnent l'art. » (William Shakespeare) .

… à Fernando Pessoa

Le binôme de Newton est aussi beau que la Vénus de Milo. Le fait est qu'il y a bien peu de gens pour s'en aviser.

Ôôôô-ôôôôôô ôôô ... ôôôôôôô ôôôôôôôô

( le vent là dehors )

Exercice 1 : Nombres zébrés.6

Calculer les premières décimales de 1,0000017 , 1/9999999997 , 11010− , 11060− .

Exercice 2 : En écrivant que ( 1 + x )a+b

= ( 1 + x )a.( 1 + x )

b, montrer que n baC + = ∑

=+ nqp

qb

pa CC . .

Exercice 3 : En écrivant que ( 1 + x )−1

= [( 1 + x )−1/2]2 , montrer que 4n = ∑=+ nqp

qq

pp CC 22 . .

Exercice 4 : Autre preuve de la formule du binôme.

1) Montrer que la série nn

na xC .0∑+∞

= converge pour a ∈ C et |x| < 1. On note F(a, x) sa somme.

2) Montrer que F est une fonction continue.

3) Montrer élémentairement la formule n baC + = ∑=+ nqp

qb

pa CC . (par récurrence ou combinatoire). En

déduire que F(a + b , x) = F(a , x).F(b , x).

4) Montrer que F(a, x) = ( 1 + x )a pour a réel, puis complexe.

Exercice 5 : On rappelle que : ∀z ∈ C−(−N) Γ(z) = limn→∞ ))...(1(!.

nzzznnz

++ .

Montrer que pour Re a > 0 la série du binôme converge normalement sur [−1, 1], et la formule du binôme est valable sur ce segment.

Exercice 6 : Soit a > −1. Montrer que nn

a xn .0∑+∞

= ∼

1)1()1(+−

+Γax

a au V(1−0)

[ Les deux méthodes du § 6.3. s’appliquent : lemme de l’équivalent ou lemme de pincement.]

6 cf. J.-P. Delahaye, Pour la science, juillet 2004, p.90-95.

22

Exercice 7 7 : Soit a > 0. 1) Calculer l’intégrale ∫+∞

−0

. .dte ta .

2) Développer en série entière en a : F(a) = ∫+∞ −

0

).1( .dte ta .

3) En déduire la valeur des intégrales ∫+∞

−0

. .. dtet tan .

Exercice 8 : On rappelle que ∫+∞

−0

².dte t = 2π .

1) Soit a > 0. Convergence et calcul de l’intégrale ∫+∞

−0

². .dte ta .

2) Développer en série entière en a : F(a) = ∫+∞ −

0

²).1( .dte ta .

3) En déduire la valeur des intégrales ∫+∞

−0

²2 .. dtet tn .

Exercice 9 : Calcul d’intégrales de Wallis.

1) Pour |a| < 1, calculer F(a) = ∫ −2/

0 ²cos.1π

xadx et développer F(a) en série entière.

2) En déduire les intégrales de Wallis ∫2/

0

2 .cosπ

dttn .

Le tableau ci-dessous se déduit des résultats précédents, certains développements s’obtenant par intégration terme à terme. Le fait que certains développements soient valables sur [−R, R] s’explique par des considérations de convergence uniforme.

Développpements en série entière en 0 usuels

Fonction et développement en série Rayon Domaine de validité

exp x = ∑+∞

=0 !n

n

nx

+ ∞ R

ch x = ∑+∞

=0

2

)!2(n

n

nx

+ ∞ R

sh x = ∑+∞

=

+

+0

12

)!12(n

n

nx

+ ∞ R

cos x = ∑+∞

=−

0

2

)!2(.)1(

n

nn

nx

+ ∞ R

sin x = ∑+∞

=

+

+−0

12

)!12(.)1(

n

nn

nx

+ ∞ R

(1 + x)a = 1 + n

n

xn

naaa.

!)1)...(1(

1∑+∞

=

+−− + 1 si a ∉ N ]−1, +1[

x+11 = ∑

+∞

=−

0

.)1(n

nn x + 1 ]−1, +1[

x−11 = ∑

+∞

=0n

nx +1 ]−1, +1[

ln(1 + x) = ∑+∞

=

−−1

1.)1(n

nn

nx

+1 ]−1, +1]

7 Cet exercice et le suivant sont tirés du Cours d’Analyse d’Hermite à l’Ecole polytechnique (1870-71).

23

−ln(1 − x) = ∑+∞

=1n

n

nx

+1 [−1, +1[

Arctan x = ∑+∞

=−

0

)1(n

n .12

12

++

nx n

+1 [−1, +1]

Argth x = 21 .ln(

xx

−+

11 ) = ∑

+∞

=0n 12

12

++

nx n

+1 [−1, +1]

Arcsin x = x + ∑+∞

=1n )2...(6.4.2)12...(5.3.1

nn−

.12

12

++

nx n

+1 [−1, +1]

Argsh x = ln(x + 1²+x ) = x + ∑+∞

=−

1

)1(n

n .)2...(6.4.2)12...(5.3.1

nn−

.12

12

++

nx n

+1 [−1, +1]

Exercice 9 : π sans frontières… Montrer les formules suivantes :

6π =

33 .∑

+∞

= +−

0 )12.(3)1(

nn

n

n (Sharp, 1699)

6π =

21 +

21 . 32.3

1 + 4.23.1 . 52.5

1 + 6.4.25.3.1 . 72.7

1 + … (Newton, 1676)

2π = 1 +

21 .

31 +

4.23.1 .

51 +

6.4.25.3.1 .

71 +

8.6.4.27.5.3.1 .

91 + …

Autres exemples de fonctions DSE.

Pour montrer qu’une fonction est C∞

, il suffit de montrer qu’elle est dse.

Exemples : x

xsin , 3sin

xxx− ,

²1cos

xx− ,

xx 1exp −

, 1exp −x

x sont C∞ sur R.

Il n’y a de problème qu’en 0 ; or toutes ces fonctions sont dse en ce point.

De même, x1 −

xsin1 ,

xx

sin , cotan x −

x1 sont C∞ sur ]−π, π[ ,

xxtan est C∞ sur ]−

2π ,

2π [ .

Exercice : 1) Montrer que la fonction f(x) = cos x− si x ≤ 0 , f(x) = ch x si x ≥ 0 est C∞ sur R. Graphe de cette fonction ?

2) Idem pour la fonction g(x) = x

xArc−

−tan si x < 0 , g(x) = x

xArgth si x > 0.

3) Idem pour la fonction h(x) = x

xArgsh−

− si –1 < x < 0 , h(x) =

xxArcsin si 0 < x < 1.

Exercice : Montrer que f(x) = ln | x2 − 5x + 6 | est dse en 0, 5/2, 4. Quels sont ses développements ?

Montrer que f est dse en tout point x0 de son domaine ; quel est son développement ?

Exercice : Montrer que Arctan est dse en tout point x0 . Développement ?

Exercice : On considère la fonction Ei(x) = ∫∞+ −

x

t

dtt

e. .

1) Déterminer le domaine de définition (réel) de Ei . Montrer que Ei est C∞ .

2) Montrer que Ei(x) = − ln x + c + ρ(x) , où c = dtt

e t.

110∫

−− + ∫

∞+ −

1.dt

te t

, et ρ(x) est dse sur R.

8.3. Caractérisations des fonctions dse.

Étudions en détail les fonctions dse au V(x0). Rappelons que f : I → C est dse au V(x0) ssi :

24


=0.

n

nn xa de rayon de convergence ρ > 0 ;

2) Il existe α ∈ ]0, ρ] tel que f(x) = ∑+∞

=−

00).(

n

nn xxa dans I ∩ [x0 − α, x0 + α].

On a déjà vu qu’une telle fonction est nécessairement C∞

au V(x0), et que ∑+∞

=−

00).(

n

nn xxa est sa série

de Taylor de f en ce point. On peut donc reformuler les choses ainsi :

Proposition 1 : La fonction f : I → C est dse au V(x0) ssi : 1) f est C

∞ dans un intervalle I ∩ [x0 − β , x0 + β] , β > 0.

2) La série de Taylor de f en x0 : ∑+∞

=0

0)(

.!

)(

n

n

n

xn

xf a un rayon de convergence ρ > 0 ;

3) Il existe α ∈ ]0 , min(ρ, β)] tel que f(x) = ∑+∞

=−

00

0)(

).(!

)(

n

n

n

xxn

xf dans I ∩ [x0 − α, x0 + α].



2) La série de Taylor de f en x0 : ∑+∞

=0

0)(

.!

)(

n

n

n

xn

xf converge simplement vers f dans un intervalle I ∩

[x0 − α, x0 + α] , où α ∈ ]0 , β].



2) Les restes de Taylor : Rn(x) = f(x) − ∑=

−n

k

k

k

xxk

xf

00

0)(

).(!

)(

= ∫−x

x

n

ntx

0 !)(

f (n+1)

(t).dt = !)( 10

nxx n+−

∫ −1

0)1( nu f (n+1)(x0 + u.(x − x0)).dt

convergent simplement vers 0 dans un intervalle I ∩ [x0 − α, x0 + α] , où α ∈ ]0 , β].

Exercice : Montrer que, si que f : I → C est C∞ et si ses dérivées sont uniformément bornées par une même constante M, alors f est dse en tout point de I.

Exercice : Montrer que f : I → C est dse au V(x0) ssi : 1) f est C


2) ∃α ∈ ]0, β] ∃(A, C) ∈ R*+ ∀x ∈ ]x0 − α, x0 − α[ ∀n ∈ N | f(n)

(x) | ≤ C.!n

An.

Exercice : Soient f et g deux fonctions dse sur R. Montrer qu’il en est de même de leur convolée

h = f * g définie par : (∀x) h(x) = ∫ −x

dttxgtf0

).().( .

Exercice : Montrer que la fonction F(x) = ∑+∞

= +−

1

)1(

n

n

nx est définie et C

∞ sur ]−1, +∞[, puis qu’elle est

dse(0) sur un intervalle à préciser. [ Attention, il y a une difficulté ! ] Les grands contre-exemples.

Exemple 1 : La fonction de Cauchy f(x) = exp²1

x− si x ≠ 0 , f(0) = 0 (1822).

25

Cette fonction est de classe C∞

sur R*, et sa dérivée nème s’écrit : f(n)

(x) = Pn(x). nxx

3

²)/1exp(−, où Pn

est un polynôme. La fonction et toutes ses dérivées tendent vers 0 en 0. Par applications répétées du théorème de la limite de la dérivée, f est indéfiniment dérivable en 0 et ses dérivées sont toutes nulles.

Et elles sont bien sûr continues en 0. Ainsi, f est de classe C∞

sur R. Sa série de Taylor en 0 est la série nulle. Elle a un rayon infini, mais elle ne coïncide avec f qu’au point 0.

Exercice : Représenter sur un même graphe f(x) et ses 3 premières dérivées.

Exercice : Montrer que g(x) = exp(−1/x) si x > 0 , g(x) = 0 si x ≤ 0 est également C∞.

Exercice : Construire une fonction C∞

sur R, non nulle, mais nulle hors de [−1, 1], une fonction C∞ sur R nulle si x ≤ −1, et valant 1 si x ≥ 1.

Exercice : Soit n → rn une bijection N → Q. Etudier la fonction F(x) = ∑+∞

=0 21

nn exp(− )²(

1nrx−

) .

Ces exemples montrent que les fonctions analytiques sont beaucoup plus rigides que les fonctions

de classe C∞

. On peut modifier à volonté une fonction de classe C∞

, pas une fonction analytique.

Exemple 2 : La fonction F(x) = ∑+∞

=

−

0

².n

xinn ee .

La série est normalement convergente sur R, car |un(x)| = | e−n

.exp(i.n2

x) | = e−n

.

Du coup, F est continue bornée sur R, et |F(x)| ≤ F(0) = 1−e

e .

Chacune des séries dérivées ∑n≥0 un(k)

(x) est également normalement convergente, car :

un(k)

(x) = e−n

ik

n2k

exp(i.n2

x) et ∑+∞

=

−

0

2.n

kn ne < +∞.

Par applications répétées du terme de dérivation terme à terme des séries de fonctions, F est C∞

et :

F(k)

(x) = ∑+∞

=

−

0

2.n

kn ne ik

exp(i.n2x) .

La série de Taylor de F en 0 est ∑+∞

=0 !)(

.k

k

k kix

A , où Ak = ∑+∞

=

−

0

2.n

kn ne . Graphe de Re F :

26

L’exercice suivant montre qu’elle a un rayon de convergence nul, par trois méthodes :

Exercice : 1) Montrer que pour tout x > 0, la série ∑+∞

=0 !.

k

k

k kx

A diverge, et conclure.

2) Étudier les variations de la fonction t → e−t.t2k .

Conclure en minorant Ak = ∑+∞

=

−

0

2.n

kn ne par son plus grand terme.

3) À l’aide d’un encadrement intégral, obtenir un équivalent de Ak , et conclure derechef. 4) Représenter graphiquement les parties réelle et imaginaire de F(x).

Exercice : Montrer que F(x) = ∫+∞

−0

.²)..cos( dtetx t est C∞ , mais que sa série de Taylor en 0 diverge.

Exercice : Montrer que les fonctions F(x) =∑+∞

=1

1n

nn.exp(i.2

nx) et G(x) = ∑

+∞

=1 !1

n n.exp(i.2

nx) sont de classe

C∞

sur R, et que leurs séries de Taylor en 0 ont un rayon de convergence nul. (Lerch, 1888, Pringsheim, 1893).

Exercice : Trouver une fonction f de classe C∞

au voisinage de 0 telle que : (∀n) f (n)(0) = n2.n! . Généraliser. ______________

Annexe 1 : Séries entières vectorielles.

Le chapitre précédent est susceptible de deux types d’extensions vectorielles.

• Le premier concerne les séries entières à coefficients vectoriels. Si K = R ou C, et si E est un

espace de Banach, on peut considérer les séries entières ∑+∞

=0.

n

nn xa , la variable x étant réelle si K = R,

complexe si K = C. Tout le chapitre s’étend sans peine à ce cas.

• Le second concerne les séries entières à coefficients dans K, mais dont la variable X est élément d’une K-algèbre de Banach. On appelle ainsi un K-espace vectoriel normé complet A muni d’une

multiplication interne bilinéaire, associative et unifère telle que : ||X.Y|| ≤ ||X||.||Y|| et ||1A|| = 1.

Si la série entière réelle ou complexe ∑+∞

=0.

n

nn xa a pour rayon de convergence R, on peut substituer à

x tout élément X ∈ A tel que ||X|| < R. En effet, la série ∑+∞

=0.

n

nn Xa reste absolument convergente. On

27

définit donc une fonction F : X ∈ D(O, R) → F(X) = ∑+∞

=0.

n

nn Xa ∈ A qui est continue, puisqu’il y a

convergence normale de la série dans toute boule de sûreté ||X|| ≤ r < R.

Exemple : la fonction exponentielle.

On prendra garde que si A est non commutative (par exemple, si A est une algèbre de matrices

carrées, ou plus généralement l’algèbre de Banach LLLLc(E) des endomorphismes continus d’un espace de Banach E pour la norme subordonnée), certaines propriétés requièrent la commutation des éléments. Ainsi, la formule exp(A + B) = exp(A).exp(B) n’est pas toujors vraie ; elle est vraie si A et B commutent.

Exercice : On munit Cn d’une norme || . ||, et Mn(C), identifié à LLLL(C

n) de la norme subordonnée ||| . |||.

Soit A ∈ Mn(C). Montrer que, pour |z| > ||| A |||, la série ∑+∞

=+

01

kk

k

zA

converge et : ∑+∞

=+

01

kk

k

zA

= (z.I − A)−1 .

Annexe 2 : Fonctions génératrices de variables aléatoires discrètes.

Soit (Ω, AAAA P) un espace probablisé, X : (Ω, AAAA P) → N une variable aléatoire discrète. Pour tout n ∈ N, on note P(X = n) = pn, et on appelle fonction génératrice de la variable X la fonction :

FX(x) = ∑+∞

=0.

n

nn xp .

Les pn étant positifs de somme 1, la série entière a un rayon de convergence R ≥ 1, et FX(1) = 1.

L’espérance, la variance, les moments centrés ou non, de X, s’expriment à l’aide de F et de ses dérivées en 1, qui peuvent valoir +∞ :

Proposition 1 : L’espérance de X est : E(X) = F'(1) , sa variance : V(X) = F"(1) + F'(1) − F'(1)2.

On a en effet E(X) = ∑n≥0 n.pn = F'(1)

et V(X) = E((X − E(X))2) = E(X2) − E(X)2 = (∑n≥0 n2.pn) − (∑n≥0 n.pn)

2 ,

Plus généralement, les moments E(Xk) et E((X − E(X))k) non centrés et centrés de X s’expriment comme combinaisons linéaires des moments factoriels E(X.(X − 1)...(X − k + 1)) = F(k)(1).

Proposition 2 : Si X et Y sont deux v.a. indépendantes on a FX+Y(x) = FX(x).FY(x) pour |x| < 1.

Preuve : P(X + Y = n) = ∑=+ nba

P(X = a et Y = b) = ∑=+

=nba

aXP ).( P(Y = b) (par indépendance)

Il en résulte que FX+Y(x) est le produit de Cauchy des séries FX(x) et FY(x).

Exemples :

1) Loi uniforme discrète sur { 1, 2, ... , n }.

P(X = 1) = ... = P(X = n) = n1 ; d’où FX(x) = n

x .xxn

−−11

.

2) Loi de Bernoulli BBBB(1, p).

P(X = 0) = q = 1 − p , P(X = 1) = p ; d’où FX(x) = q + p.x , E(X) = p, V(X) = p.q.

3) Loi binômiale BBBB(n, p).

P(X = k) = knC .pk.qn−k pour 0 ≤ k ≤ n. FX(x) = (q + p.x)n , E(X) = n.p, V(X) = n.p.q. Cela découle d’un calcul direct, ou de ce que BBBB(n, p) est somme de n lois de Bernoulli BBBB(1, p) indépendantes.

4) Loi géométrique GGGG(p).

28

P(X = k) = p.qk−1 pour k ≥ 1. FX(x) = xqxp.1

.− , E(X) = p

1 , V(X) = ²p

q.

5) Loi de Poisson PPPP(λ).

P(X = k) = e−λ.!k

kλ pour k ∈ N (λ > 0). D’où FX(x) = eλ(x − 1) , E(X) = λ = V(X) .

___________ Exercices

Thème 1 : Calculs de séries entières.

Exercice 1 : Calculer les séries entières

∑+∞

=0

3

)!3(n

n

nz

et ∑+∞

=0

3

)!3(n

n

nx

, ∑+∞

=

+

+0

13

)!13(n

n

nz

et ∑+∞

=

+

+0

13

)!13(n

n

nx

,

∑+∞

=0

4

)!4(n

n

nz

et ∑+∞

=0

4

)!4(n

n

nx

, ∑+∞

=0

5

)!5(n

n

nz

et ∑+∞

=0

5

)!5(n

n

nx

. Généraliser.

Exercice 2 : Calculer les séries entières ∑+∞

=0.

!)(

n

nznnP

, où P est un polynôme.

Quelles fonctions obtient-on ? Réciproque ?

Exercice 3 : Calculer les séries entières ∑+∞

=0).(

n

nznP , où P est un polynôme.

Quelles fonctions obtient-on ? Réciproque ? Résoudre l’équation ∑+∞

=+

0

)².13(n

nxn = 0 .

Exercice 4 : Calculer les sommes des séries suivantes :

∑+∞

= ++0 )12)(1(1

n nn , ∑

+∞

= −−

2 )1()1(

n

n

nn , ∑

+∞

= ++−

0 )13)(12()1(

n

n

nn , ∑

+∞

= +0 )23.(31

nn n

.

Exercice 5 : Rayon de convergence et somme des séries entières ∑ nn za . , où (an) est périodique à partir d’un certain rang.

Exercice 6 : ( Oral X 1862 8 ) Rayon de convergence et somme de la série entière :

1.2 … p.xp + 2.3 … ( p + 1 ).x

p+1 + 3.4 … ( p + 2 ).x

p+2 + …

Exercice 7 : Soit an = ∫ +1

0..

²1dt

t

tnRayon de convergence et somme de f(x) = ∑ nn xa . ?

Equivalent de la suite (an) ?

Exercice 8 : Soit an = ∫ −1

0..)1( dttt nn Rayon de convergence et somme de f(z) = ∑ nn za . ?

Equivalent de la suite (an) ?

Exercice 9 : Soit an = ∫ +1

0 3)1( ntdt . a) Etudier la suite (an). Limite, équivalent ?

b) Montrer que ∑ − nn a.)1( converge ; calculer sa somme. c) Nature de ∑ na . d) Rayon de convergence et calcul de ∑ nn xa . .

8 En hommage à Louis-Nathaniel Rossel (1844-1871), X 1862.

29

Exercice 10 : Soit a0 = 1, an = !1n ∫ +−−

1

0).1)...(1( dtnttt pour n ≥ 2.

a) Rayon de convergence de la série∑ nn xa . . b) Calculer sa somme. c) Equivalent de la suite (an).

Thème 2 : Séries entières et fonctions.


=+++

1

).1...211(

n

nxn

( x est réel ).

1) Rayon de convergence R ? Domaine de définition D ? On note f(x) sa somme. 2) Calculer f(x). Variations et graphe de f ? Est-elle intégrable sur [0, 1[ ?


=1n

n

n

x ( x est réel ).

1) Rayon de convergence R ? Domaine de définition D ? On note f(x) sa somme. 2) Propriétés de f dans ] – 1, 1[ ? Montrer que f est continue dans D. 3) Variations de f sur [0, 1[ ? Montrer que f est intégrable sur [0, 1[.

4) Montrer que quand x → 1−0, ( 1 – x ).f’(x) – 21 f(x) = L + o(1), où L = 1 + ∑

+∞

=−−+

1

)211(

n nnn

En déduire que f(x) ∼ x

C−1

, avec C > 0, au V(1– 0). Retrouver cet équivalent en posant x = e−h

.

5) Montrer que ( 1 – x ).f’(x) = ∑+∞

= ++1 1n

n

nn

x. En déduire les variations de f sur [– 1, 0].

Montrer que f est dérivable en – 1. 6) Montrer que f est convexe sur D.


=02 .

n

nnn xC .

1) Rayon de convergence R ? Domaine de définition ? Soit h(x) la somme de cette série . 2) Montrer qu’elle vérifie dans ]−R, +R[ l’équation différentielle (1 − 4x).h’(x) = 2 h(x) .

3) En déduire h(x) . Calculer ∑+∞

=0

2

8nn

nnC , ∑

+∞

=−

0

2

4.)1(

nn

nnn C .

Exercice 3 (Suite) : On considère la série entière ∑+∞

=≤≤

0

).0,max(n

nkn xnkC .

Quel est son rayon de convergence ? Montrer que sa somme vaut ( 1 + x2

1 )²41

1x−

− x2

1 .

Exercice 4 : On considère la série entière entière ∑+∞

=

+

+0

12

)12...(5.3.1n

n

nx

.

1) Rayon de convergence ? Soit f(x) la somme de la série. 2) Trouver une équation différentielle vérifiée par f. En déduire une autre expression de f.

3) En déduire ∑+∞

= +0 )12...(5.3.11

n n = e .∑

+∞

= +−

0 !)12.(2)1(

nn

n

nn .

Exercice 5 : Montrer l’identité (∀x ∈ R) ∑+∞

=

−−1

1

!.)1(

n

nn

nnx

= e−x

.∑+∞

=+++

1 !)1...

211(

n

n

nx

n.

Exercice 6 : Soit α > −1. On considère la série entière entière ∑+∞

= +++1 ))...(2)(1(n

n

nx

ααα .

1) Rayon de convergence ? Soit f(x) la somme de la série.

2) Montrer que g(x) = xα.f(x) est continue sur R+, et C

1 sur R*+. Equadiff vérifiée par g ?

30

3) En déduire f(x) = x−α

ex ∫ −

xt dtet

0..α = x. ∫ −

1

0..)1( dses sxα , puis f(x) ∼ Γ(α + 1)x−αex quand x → +∞.

4) On rappelle que Γ(α) = limn ))...(1(!.

nnn

++ αααα

. Montrer que ∑+∞

=1 !.n

n

nnxα ∼ x

−α.e

x quand x → +∞.

Exercice 7 : On considère la fonction f(x) = )1(

sinxx

xArc−

.

1) Domaine de définition ? Montrer que f est dse en 0 sur son domaine.

2) Former une équation différentielle simple vérifiée par f. Trouver le dse f(x) = ∑+∞

=0.

n

nn xa , et son

domaine de validité.

3) Exprimer la fonction ∑+∞

=0.

n

nn xa sur ]−1, 0].

Exercice 8 : Pour |k| < 1, on définit F(k) = π2 ∫ −

2/

0 ²sin².1

π

tkdt .

1) Développer F en série entière. 2) Limite et équivalent de F(k) quand k → 1−0 (§ 6.3.).

Exercice 9 : On considère l’équation différentielle x.y’’ + y’ + x.y = 0.

1) Déterminer les solutions développables en série entière en 0.

2) Montrer que si f est une telle solution, vérifiant f(0) ≠ 0, f s’annule entre 2 et 8 .

Exercice 10 : Fonctions hypergéométriques.

On considère l’équation différentielle, où c ∈ R − { 0, −1, −2, −3, … } :

(E) x.(1 − x).y’’(x) + [ c – ( a + b − 1 ).x ].y’(x) – a.b.y(x) = 0 .

1) Trouver les solutions développables en série entière en 0 ; rayon de convergence en 0. Montrer que ce sont des polynômes si a ou b ∈ { 0, −1, −2, −3, … }.

2) On note (x)0 = 1, (x)n = x(x + 1) … (x + n −1) (symbole de Pochhammer ou des factorielles

montantes), et F(a, b, c ; x) = 1 + ∑+∞

=1.

!.)().()(

n

n

n

nn xncba

.

Montrer que dxd F(a, b, c ; x) =

cab .F(a + 1, b + 1, c + 1 ; x) .

3) Exemples : Etablir les identités suivantes :

F(1, b, b ; x) = x−1

1 F(a, b, b, x) = ( 1 − x )−a

x.F(1, 1, 2 ; −x) = ln( 1 + x ) x.F(21 ,

21 ,

23 ; x2) = Arcsin x

x.F(21 , 1,

23 ; −x2) = Arctan x x.F(

21 , 1,

23 ; x2) =

xx

−+

11ln.

21 .

Thème 3 : Suites récurrentes et séries génératrices.

Pour étudier une suite récurrente (un), une importante méthode consiste à lui associer sa série

génératrice ∑n≥0 un.xn , ou une série d’un type voisin ∑n≥0 (un/n!).xn . La formule de récurrence liant les (un) se traduit souvent par une équation fonctionnelle (algébrique ou différentielle) vérifiée

par la série. En résolvant cette équation,

Séries entières...Il s’agit de séries lacunaires : an = 1 si n est un carré (resp. une...

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